matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring"

Transkript

1 matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring 7. april 2011

2 Indhold 1 Undersøgelsesdesign Kausalitet Validitet og bias Reliabilitet og konfundering Population og stikprøve Kvantitativ og kvalitativ Stokastiske variable Skalatyper Sandsynlighed Repræsentativitet Binomial-test Konklusion Middelværdi og spredning Summationsnotation De fire regneregler Varians og spredning T-test Normalfordeling T-testen Krydstabeller 34 7 χ 2 -test χ 2 -fordelingen Frihedsgrader Sammenligningstest Uafhængighedstest

3 8 Funktionssammenhæng Regression Tabeller 47 Tabeller 1 t-værdi tabel χ 2 -tabel

4 Forord Materiale gennemgår følgende områder. undersøgelsesdesign population og stikprøve 0-hypotese og alternativ hypotese krydstabeller og deres opbygning samt læsning af krydstabeller uafhængighedstest (Test for Independence) og sammenligningstest (goodness of fit) frihedsgrader repræsentativitet bias og validitet konfundering og reliabilitet sandsynlighedsfordelinger (normal-, binominal-, χ 2 -fordelingen signifikansniveau, kritisk værdi og signifikant forskel samlet teststørrelse samt udregne de enkelte bidrag hertil p-værdier Opgaver omhandler alle samme situation og et passende udvalg af opgaver vil samlet udgøre en rapport. Opgaverne kan erstattes af en anden undersøgelse som andre fag f.eks. biologi eller samfundsfag finder mere relevant. 4

5 1 Undersøgelsesdesign Inden en undersøgelse kan påbegyndes, skal en række elementer overvejes. Kausalitet betyder sammenhæng mellem to begivenheder. Validitet betyder at måle det rigtige. Reliabilitet betyder at måle rigtigt. Bias betyder at det rigtige ikke måles. Konfundering betyder at der ikke måles rigtigt. Population dem undersøgelsen gerne vil sige noget om. Stikprøve dem undersøgelsen siger noget om. Repræsentativitet betyder at stikprøven siger noget om populationen. 1.1 Kausalitet En af de vigtigste regler for opstilling af hypoteser er begrebet kausalitet. Kausalitet betyder årsagssammenhæng mellem det man undersøger. Men skal være i stand til at argumenterer for, at der er en sammenhæng mellem de ting man undersøger. Eksempel 1.1 Det er et problem, at mange unge ryger, på flere niveauer. Det er et problem for den unge fordi det betyder at levetiden bliver afkortet med ca. 10 år og de sidste år af levetiden er forbundet med mange smerter og ubehag. Det er et problem for den unges omgivelser fordi rygning skader også den unges børn og andre som den unge omgås. Det er et problem for samfundet fordi det koster meget at behandle og understøtte den unge når denne bliver syg og uarbejdsdygtig. For at kunne gøre noget ved disse problemer, er det interessant at undersøge hvorfor unge ryger. Det først umiddelbare svar på spørgsmålet om hvorfor unge ryger, er at det skyldes sociale faktorer. 5

6 Sociale faktorer Unge ryger Selve undersøgelse skal rettes mod unge, der lige er begyndt at ryge. Fordi de stadigvæk kan huske hvad der fik dem til at begynde, og fordi årsagerne kan være tidstypiske. En person som begynde at ryge for 40 år siden, vil givet have haft andre overvejelser i forbindelse med første gang han eller hun begyndte at ryge. Opgave 1.2 En medicinalvirksomhed ønsker at hjælpe fattige i kampen mod HIV, vil at afprøve deres nye produkt. Produktet er fremstillet til at blive anvendt af kvinder. Undersøgelsen skal foretages i Sydafrika. Overvej hvilke faktorer som medfører, at kvinder udsættes for HIV-virus. 2. om der skal tages specielle hensyn i udvælgelsen af målgruppe for undersøgelsen. 1.2 Validitet og bias Når data indsamles, skal det rigtige måles. At sikre dette gøres på forskellige måder alt efter hvordan data indsamles. Men det er vigtigt at være helt sikker på hvad man ønsker at måle inden undersøgelsen påbegyndes. Eksempel 1.3 I undersøgelsen "Hvorfor ryger unge?"undersøges hvorfor unge begynder at ryge. Fordi rygning skaber afhængighed, så de der ryger gør det fordi, de er begyndt. Årsagen til at en ryger ryger, er ganske simpelt at de er afhængige. Dette kan ikke være årsagen til at de begyndte. Nu er det helt klar hvad undersøgelsens målsætning er, det er det første trin i at sikre validiteten. Som eksempel på manglende validitet, ses her grafen for et forsøg hvor det ikke er det rigtige der er blevet målt, men metoden til at måle med er god nok. Det kunne f.eks. være en afvejning af salt, hvor der ikke blev taget højde for papiret som saltet var på mens det blev vejet. Vægten fungere fint, og det er en god 6

7 metode til at bestemme massefylden af salt. Men det der blev målt var bare ikke salt men salt+papir. Målepunkterne ligger tilnærmelsesvis på en ret linie, men de ligger ikke på den rette linie som der i følge teorien eller hypotesen er den rigtige. Derfor kan det være, at det ikke er det rigtige, som er blevet målt. Validiteten er lav. Der er bias i undersøgelsen y målepunkter teori/hypotese x Spørgsmålet om validitet, handler om at stille spørgsmålet: "Er det rigtige blevet mål?". I alle tilfælde er det vigtigt, at den stikprøve som data repræsentere er udtaget på den rigtige måde. Ellers vil der være bias i data. Undersøges holdningen til hvornår der er acceptabelt at slå børn som et led i deres opdragelse, vil det skævvride (bios) undersøgelsen, hvis undersøgelsen kun undersøgte personer som selv var blevet slået som et led i deres opdragelse. Undersøges virkningen af en behandling, er det bedst at lave dobbelt blind forsøg. Det betyder at hverken patient eller behandler må vide om behandlingen er virkningsfuld eller ej. På denne måde sikres at det kun er behandlingen, som er forskellen. Det er ikke altid muligt at lave dobbelt blind forsøg, ofte vil det kun være patienten der er uvidende om behandlingen er virkningsfuld eller ej. Ved at lave dobbelt-blind-test sikre man at validiteten er høj, fordi der kun måles på virkningen af behandling. Indsamles data via et spørgeskema er det vigtigt, at spørgsmålene bliver forstået af alle respondenterne. Det er derfor vigtigt, at bruge enkle spørgsmål, og at 7

8 tænke over rækkefølgen på spørgsmålene. Samt undgå abstrakte begreber og slang. Opgave 1.4 Hvordan skal medicinalfirmaet undersøge virkningen af deres medikament for at data er validt? Hvilken information skal testpersonerne modtage? Overvej hvilke etiske problemstillinger som der er i forbindelse med undersøgelsen. 1.3 Reliabilitet og konfundering Reliabilitet handler om at måle rigtigt. Det handler særligt om at bruge den rigtige metode til at måle med. Eksempel 1.5 Ved undersøgelse af sammenhængen mellem to begivenheder, f.eks. socialefaktorer og den første cigaret. Vil der være nogle variable som der ikke er taget hensyn til. Socialefaktorer Den første cigaret Konfunderingsvariable Det er meget vigtigt for undersøgelsen at afdække hvad konfunderingsvariablene er for nogle for at konklusionen bliver sikker. Problemet kommer når der skal gøres en indsats for at få unge til ikke at begynde at ryge. Så kan indsatsen ramme helt forbi, og undersøgelsen er derfor mislykket. En konfunderingsvariabel kunne være køn, da der kan være forskellige årsager til at drenge og piger begynder at ryge. Der er givet vis flere. Der er derfor vigtigt at have køn med i undersøgelsen som en varibel. Pilotprojekter er væsentlige for at finde ud af om spørgeskemaer og interviewguides er gode nok. Det afslører fejl, tvetydigheder og manglende logik. 8

9 y Målepunkterne ligger med en stor spredning på en ret linie, men de ligger omkring den rette linie som i følge teorien eller hypotesen er den rigtige. Derfor kan det være, at det ikke er blevet målt rigtigt. Reliabiliteten er lav. Der er konfundering i undersøgelsen målepunkter teori/hypotese x Opgave 1.6 Overvej hvilke konfunderingsvariable, som skal med i medicinalfirmaets undersøgelse. Målepunkterne ligger med en stor spredning på en ret linie, og de ligger ikke omkring den rette linie som i følge teorien eller hypotesen er den rigtige. Derfor kan det være, at der hverken er blevet målt rigtigt eller målt det rigtige. Både validiteten og reliabiliteten er lav. Der er konfundering og bias i undersøgelsen. Det er derfor ikke muligt at udtale sige om der er en sammenhæng mellem x og y y målepunkter teori/hypotese x 9

10 1.4 Population og stikprøve En stikprøve udtages fordi det vil være for dyrt at undersøge hele populationen. Det svære er hvem eller hvordan stikprøven skal udtages. Udtagelsen af stikprøven kan være mere eller mindre tilfældig. Den helt tilfældige undersøgelse, udtager et helt tilfældigt et givet antal cpr-numre f.eks cprnumre, og det er så disse personer som er stikprøven for hele populationen. Udtagelsen kan stratificeres ved f.eks. kun at udtage personer med en given alder f.eks årige. Stratificering er vigtigt fordi næsten alle undersøgelser har en bestemt population de ønsker at udtale sig om. Eksempel 1.7 For at undersøgelsen kan sige noget om hvorfor unge begynder at ryge, er det vigtigt at stikprøven indeholder både personer som er begyndt at ryge og personer som ikke er begyndt at ryge. Fordi det er disse to grupper som undersøgelsen ønsker at sammenligne. Stikprøven skal derfor helst indeholde lige mange personer fra de to grupper, også selvom der i populationen ikke er tale om en ligelig fordeling af rygere og ikke-rygere. Opgave 1.8 Overvej hvilken population undersøgelsen af medikamentet har. Og derfor hvordan stikprøven skal stratificeres. 1.5 Kvantitativ og kvalitativ Data kan være enten, kvalitative eller kvantitative. De kvantitative data er afmålte date, data som kan konverteres til tal. De kvalitative data er ikke afmålte data, f.eks. hårfarven er rød, der der siges ikke noget om hvor rød. Ofte starter man med at indsamle kvalitative data, fordi det kan give en idé om hvilke data der er væsentlige for det område man vil undersøge. På de kvalitative data kan der laves en statistisk bearbejdning, for at teste de teorier / hypoteser man har. Eksempel 1.9 I undersøgelsen "Hvorfor ryger unge"undersøges hvorfor unge begynder at ryge, er det første man bør gøre at snakke med nogle unge som ryger og spørger hvorfor de ryger. Man vil få en række forskellige svar. En siger 10

11 Jeg ryger fordi min bedste veninde også ryger og så hygger vi os sammen. En anden siger Jeg ryger, fordi det smager godt. En trejde sider Fordi det er sejt. Det interessante er at der næsten aldrig er nogen, som svarer Jeg ryger, fordi jeg er opvokset i en familie med 2 til 3 søskende og med en indkomst mellem og i index regulerede kroner, efter Danmarks statistiks udregnede forbrugerprisindex. Og fordi jeg har en kort uddannelse og er blevet skilt og bor alene med mine to børn på 2 og 5 år. Og fordi der i min familie har været en tendens til aggressiv opførsel efter WHO ICD-10 s definition. Og fordi jeg på nuværende tidspunkt er blevet afhængig og ikke har overskuddet eller mulighederne til at komme ud af mit misbrug. Selvom jeg er klar over de konsekvenser passiv rygning har for mine børn. Dette vil man aldrig få som svar, fordi mennesker i al almindelighed, ikke er så reflekterede over årsagerne til deres handlinger. Men skal altså selv lave sine hypoteser. Opgave 1.10 Opstil nogle hypoteser om virkningen af medikamentet mod HIV/ AIDS som medicinalfirmaet ønsker at afprøve. 2 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en funktion, der, til et givet udfald eller hændelse, giver et tal i betydningen et mål. Men i ordret ligger også et element af tilfældighed, man kan altså ikke på forhånd vide, hvad udfaldet bliver. Der er altså tale om tilfældighed. Idéen man statistik er at undersøge om de udfald som kommer er tilfældige eller om der er en bagvedliggende årsag. 11

12 2.1 Skalatyper Skalatype Ratio Ordinal Nominal Dikotom Beskrivelse Kategorierne kan rangordnes, og afstanden mellem kategorierne er lige stor på hele skalaen f.eks. alder, højde. Nogle gange indeles kategorierne i intervaller f.eks. Alder 0-10 år, år, osv. Kategorierne kan rangordnes, men afstanden mellem kategorierne er ikke lige stor på hele skalaen f.eks. uddannelsesniveau. Kategorierne kan ikke rangordnes f.eks. kommune, land. Der er to kategorier f.eks. køn. En spørgeskemaundersøgelse der har til formål at klarlægge hvorfor unge begynder at ryge er der udformet følgende spørgsmål. 1. Køn Kvinde 1 Mand 2 2. Alder i år År 3. Hvilken type bolig bor du i? Lejelejlighed 1 Andelslejlighed 2 Ejerlejlighed 3 Lejer hus 4 Ejer hus 5 12

13 4. Hvad er det højest niveau af uddannelse du har afsluttet? 6. klasse 1 7. klasse 2 8. klasse 3 9. klasse klasse 5 Ungdomsuddannelse 6 Højere 7 5. Ryger du? Ja 1 Nej 0 6. Har du røget? Ja 1 Nej 0 Opgave 2.1 Inddel spørgsmålene fra undersøgelse i skalatyper. Opgave 2.2 Lav nogle spørgsmål som skal hjælpe medicinalvirksomheden til at udvælge forsøgspersonerne. 3 Sandsynlighed Udover at den stokastiske variabel knytter et tal til hver udfald, høre der en sandsynlighed til hvert udfald. Denne sandsynlighed kan beregnes udfra den forventede hyppighed af udfaldene. Er der tale om et eksperiment f.eks. kast med en lige 6-sidet terning, antages det at alle udfaldene har samme sandsynlighed. Sandsynligheden for at udfaldet bliver f.eks. 1 er derfor 1 6. Er der tale om et spørgsmål til en større gruppe af mennesker, f.eks. Hvad er dit 13

14 køn? Kan fordelingen undersøges og herved kan sandsynligheden beregnes. 3.1 Repræsentativitet I kvantitative undersøgelser, hvor der tages stikprøver, er det vigtigt, for at opnå den bedst mulige sandhed, at stikprøven er repræsentativ i forhold til den populationen hypotese gælder for. Repræsentativ betyder, at den stikprøve der udtages skal gælde for hele populationen. De personer, der indsamles data fra, taler ikke blot tale for sig selv, men for hele populationen. Fordi alle ikke undersøges, skal dem der spørges tale på vegne af andre. Hver person repræsenterer altså også andre personer i populationen. Eksempel 3.1 I undersøgelsen "Hvorfor ryger unge?"vælger hver person ikke kun årsagerne til at han eller hun begyndte at ryge, men også på vegne af andre. I en stikprøve med 500 personer vil hver person i gennemsnit repræsentere Antal personer i populationen 500 andre personer. Hvis der er personer i populationen så vil hver respondent - person der indgår i stikprøven - tale for personer. Derfor skal udvælgelsen af respondenterne sikre, at de bedst muligt repræsenterer populationen. Spørgsmålet om repræsentativitet er afgørende, hvis svarene fra stikprøven skal gøre det ud for hele populationen. Der er to måder at opnå repræsentativitet på: statistisk repræsentativitet og strategisk repræsentativitet. Den statistiske udvælgelse sikrer repræsentativitet, når der skal udvælges flere respondenter, og når kendskabet til respondenterne er begrænset. Respondenterne udvælges tilfældigt ud fra et princip om, at netop tilfældigheden sikrer, at alle i populationen bliver repræsenteret, når blot stikprøven er tilstrækkeligt stor. Det er en betingelse at alle i populationen har lige stor chance for at blive trukket ud. Statistisk repræsentative stikprøvers størrelse afgøres af to forhold: 1. Det ønskede signifikansniveau 2. Antallet af opdelinger af stikprøven 14

15 Eksempel 3.2 I undersøgelsen "Hvorfor ryger unge?"opdeles stikprøven i rygere med ikke-rygere. Vi opdeler altså vores stikprøve i to grupper. Strategisk udvælgelse bygger på overvejelser ved udvælgelsen af respondenterne. F.eks. kan der udtages to lige store grupper som hver repræsentere to politiske partier, det kan bruges til at sammenligne holdninger hos de to partiers støtter. I dette tilfælde vil det politiske tilhørsforhold være kendt. Er data indsamlet ved brug af et spørgeskemaer skal der være en høj svarprocent (over 60 %), ellers vil den stikprøve man har lavet ikke længere være repræsentativ. Fordi da er den statistiske udvælgelse ikke længer strategisk fordi der kan være et mønster i dem, som ikke svarer. Kendes fordelingen i populationen kan det afgøres om stikprøve er en god repræsentation af populationen. En stikprøve siges at være en god repræsentation af populationen hvis fordelingen er den samme i stikprøven som i populationen. Lad nu den stokastiske variabel X være kønnet på en tilfældig gymnasieelev på dit gymnasium. Eksperimentet består nu at vælge én tilfældig elev blandt eleverne på dit gymnasium. Udføres dette eksperiment fås en observation af X. Denne observation betegnes x og antager værdien 0 eller 1, alt efter om der er tale om en dreng/mand (0) eller pige/kvinde (1). Ved hjælp af den stokastiske variabel kan man afgøre hvad sandsynligheden er for udfaldet, altså om der trækkes en dreng/mand eller pige/kvinde. Der kan f.eks. spørges: Hvad er sandsynligheden for at den tilfældigt udvalgte elev er en pige? Med matematiske symboler vil det betegnes P }{{} Sandsynligheden for at ( X }{{} kønnet = }{{} er 1 }{{} en pige ) = }{{} er Hvis der er 387 elever på gymnasiet på det tidspunkt hvor eleven blev udtrykket og af dem var 243 piger, kan spørgsmålet besvares med følgende udregning.? Antallet af piger på gymnasiet P(X = 1) = Antal elever på gymnasiet = = 0,

16 Sandsynligheden for at den tilfældigt udvalgte elev er en pige er derfor 63%. Hvis der udtages en stikprøve af elever på gymnasiet skal 63% af eleverne i stikprøven være piger for at stikprøven kan siges at være repræsentativ (med hensyn til køn). På gymnasiet hvor man ønsker at undersøge hvorfor unge begynder at ryge ser fordelingen af drenge og piger i en stikprøve således ud. Køn Antal Piger 26 Drenge 14 Total 40 For at kunne sammenligne disse tal med alle elever på hele gymnasiet omregnes til procent. Dette gøres ved at dividerer antallet i den enkelte kategori med det totale antal. Køn Antal Procent Piger 26 65% Drenge 14 35% Total % For at kunne afgøre hvor sandsynligt det er at udtrække en stikprøve med netop denne fordeling, laves en statistisk test. Den test der skal udføres er om 0-hypotesen, H 0, som siger at: "Den procentvise forskel på antallet af piger i hhv. populationen (62,79%) og stikprøven (65%) skyldes tilfældighed."mod alternativ hypotesen H 1, som siger at: "Den procentvise forskel på antallet af piger i hhv. populationen (62,79%) og stikprøven (65%) skyldes ikke tilfældighed." Kun hvis stikprøven er i væsentligt afvigende overfor populationen antages den ikke at være tilfældig. For at kunne lave en statistisk test skal der vælges et signifikansniveau α. Er test-sandsynligheden mindre end α, betyder det at 0-hypotesen forkastes og at alternativ-hypotesen accepteres. Samtidig vil α være sandsynligheden for at for- 16

17 kaste en korrekt 0-hypotese, altså laven en fejl. Definition 3.3 Fejl af type I Forkastning af korrekt 0-hypotese. Ved en signifikanstest med fast niveau α f.eks. 5% er sandsynligheden for en type I fejl netop α. I dette tilfælde laves en binomial-test fordi variablen køn er dikotom. 3.2 Binomial-test Binomial-testen hænger sammen med binomial-fordelingen, som er en fordeling af sandsynlighederne for at en hændelse indtræffer et bestemt antal gange. Sandsynligheden for at en hændelse indtræffer r gange er antallet af mulige måder hændelse kan indtræffe på gange sandsynligheden for at det sker en gang. Den matematiske formel for sandsynligheden, P, for at hændelsen, H, med sandsynlighed, p, indtræffer r ud af n gange er P(H = r) = n! r! (n r)! pr (1 p) n r Sandsynligheden for at udtrække 26 (r) piger (p=0,6279) ud af 40 (n) er P(H = 26) = 40! 26! (40 26)! 0, (1 0,6279) ,126 Der er altså en sandsynlighed på 12,6% for at det blev netop 26 ud af 40 som var piger. Men dette er ikke nok til at afgøre om denne stikprøve er sandsynlig. Hele fordelingen skal tages i betragtning. Sandsynligheden for at 0 til 40 var piger skal udregnes. Dette er bedst at vise i en graf. 17

18 P(H = r) 0,15 0,10 0, r Antallet af piger i stikprøven Mulige alternativ hypoteser. Alternativ hypotese Formel til udregning af test-sandsynlighed Andelen af piger er større i stikprøven (r) end i populationen. Andelen af piger er mindre i stikprøven (r) end i populationen. p 1 = p 2 = n i=r r i=0 n! i! (n i)! n! i! (n i)! pi (1 p) n i pi (1 p) n i Er der valgt et 5% signifikansniveau skal de kritiske værdier findes ud fra det valgte signifikansniveau. De kritiske værdier er, de antal af piger som netop kan være i stikprøven for at 0-hypotesen accepteres. 18

19 Test-sandsynlighed 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 % α (5%) Antallet af piger i stikprøven r Af grafen ses det at de kritiske værdier er 20 og 30, det betyder at der skal være mellem 20 og 30 piger i stikprøven for at den kan accepteres. Ved et signifikansniveau på 5%. Er der valgt et 10% signifikansniveau skal de kritiske værdier findes ud fra det valgte signifikansniveau. De kritiske værdier er, de antal af piger som netop kan være i stikprøven for at 0-hypotesen accepteres. % Test-sandsynlighed 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 α (10%) Antallet af piger i stikprøven Af grafen ses det at de kritiske værdier er 19 og 29, det betyder at der skal være mellem 19 og 29 piger i stikprøven for at den kan accepteres. Ved et signifikansniveau på 10%. Bemærk at 0-hypotesen forkastes nemmere jo højere signifikansniveauet α er. 19 r

20 Dette stemmer godt overens med at α netop var sandsynligheden for at forkaste en rigtig 0-hypotese. Opgave 3.4 Befolkningen i Sydafrika er på 47,8 mio. indbyggere hvor af 18% har HIV/AIDS. 14% af kvinderne i alderen år har HIV/AIDS og 4% af mændene i alderen år har HIV/AIDS.[4] Test om følgende stikprøven kan siges at være signifikant på 5%-niveau. Gruppe Antal Kvinder i alderen år med HIV/AIDS 15 Kvinder i alderen år uden HIV/AIDS 55 Total 70 Definition 3.5 Fejl af type II Accept af forkert 0-hypotese. Sandsynligheden for at begå en type II fejl er 1 minus testens styrke. 3.3 Konklusion Hele ideen man statistik er, at blive i stand til at afgører om den forskel man ser mellem to målinger er signifikant. Vi har altså i den deskriptive statistik fundet metoder til at overskue store datamængder. Disse metoder viser dog ikke noget om disse forskelle skyldes tilfældighed eller om der er en årsag bag forskellene. Dette ledere frem til det centrale dogme i statistik. Det at forkaste 0-hypotesen ved en statistisk signifikansprøve betyder at man mener at forskellen mellem to grupper af individer eller to målinger er så stor at den ikke kan bero på ren tilfældighed. 0-hypotesen er den hypotese, at der ikke er forskel på de to grupper af individer eller de to målinger. Statistike signifikansprøver er en beregning af sandsynligheden for at forkaste en rigtig hypotese hhv. acceptere en forkert hypotese. Her vi vi komme ind for flere 20

21 signifikansprøver. Signifikansprøven er afhængig af datatypen. Forskellen mellem to grupper af individer eller to målinger kan være mange forskellige variable. F.eks. kan det være højden på mænd og kvinder. De to grupper er så mænd og kvinder og variablen er højden. Det kan også være holdning der er variablen og grupperne kan være de politiske partier. Grupperne kan også være radioaktive materialer og variablen kan være henfaldstiden...så stor.. Hvornår forskellen er stor nok, afhænger af signifikansniveauet (hvor mange fejl man vil acceptere), mængden af data (stikprøven) og hvor stor forskellen er. Ren tilfældighed vil sige, at der kun er tale om tilfældighed og ikke en underliggende årsag. 4 Middelværdi og spredning Middelværdien µ af et datasæt (eller en stokastisk variabel X) er summen af værdierne divideret med antallet af værdierne. n µ(x) = i P(X = i) i=1 Eksempel 4.1 Ved kast med en terning kom følgende udfald. Middelværdien µ bliver så Øjne Total Antal µ = = ,55 For at kunne være præcis i bevisførelsen i dette emne er det væsentligt at have kendskab til summationsnotation, derfor starter vi med et lille afsnit om det. 21

22 4.1 Summationsnotation Fordi man ikke vil skrive f.eks. kan man i stedet skrive n=1 Der startes med selve tegnet dette er det græske bogstav for S og er det første bogstav i sum, som betyder at lægge samme. Man skal altså et eller andet med at lægge sammen, men hvad er det man skal lægge sammen. Vi går videre til n = 1 og 11 dette betyder at vi skal startet med n = 1 og derefter n = 2 og derefter n = 3 osv. til vi kommer til n = 11. Lad os prøve først sætter vi n = 1 dvs. så sætter vi n = 2 dvs. så sætter vi n = 3 dvs. så sætter vi n = 4 dvs. 11 n=1 11 n=1 11 n=1 11 n=1 11 n=1 n n n = 1+ n = 1+2+ n = n = på denne måde forsætter vi til i = 11 dvs. 11 n=1 i =

23 hvilket er resultatet. Lad os prøve med et anden eksempel 7 1 n = og endnu et n=1 8 x n = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 n=1 og et sidste 5 (2n 1) = (2 0 1)+(2 1 1)+(2 2 1)+(2 3 1)+(2 4 1)+(2 5 1) n=0 Eksempel 4.2 Udvid følgende sum Svar: 4 n=1 Opgave 4.3 Udvid følgende sum Opgave 4.4 Udvid følgende sum Opgave 4.5 Udvid følgende sum 4 n=1 3 1 = n=1 1 n+3 6 (n 1) n=2 8 n=3 n n+1 23

24 For rigtigt at kunne udnytte denne summationsnotation skal vi indføre en lille ekstra ting i summationsnotationen, og det er følgende n i=1 Nu står der ikke længere et tal for oven men n, og det betyder at man skal forsætte til man kommer til n. Eksempel 4.6 n i = (n 1)+n i=1 dette giver faktisk et resultat nemlig n(n+1) 2 prøv selv! Hvis f.eks. vi sætter n = 7 så vil summationen bliver 7 i = = 28 i=1 og n(n+1) = 7(7+1) 2 2 Dette er naturligvis ikke noget bevis. Eksempel 4.7 Udvid følgende sum n Svar: n i=3 Opgave 4.8 Udvid følgende sum i=3 = i i+1 = 56 2 = 28 i i+1 = n n+1 n (i 1) i=2 24

25 Opgave 4.9 Udvid følgende sum n i=3 i i De fire regneregler Vi starter med en præcis definition på middelværdien for den stokastisk variabel X. Definition 4.10 Middelværdien, µ, for den stokastiske variabel X er summen af produkterne af værdierne for X og deres sandsynligheder. n µ X = E(X) = x i p i hvor x i er værdierne for X og p i = P(X = x i ) deres sandsynligheder. i=1 Sætning 4.11 Hvis X og Y er stokastiske variable og a R er en konstant, gælder der følgende 4 regneregler: 1. E(a) = a 2. E(a X) = a E(X) 3. E(X +Y) = E(X)+E(Y) 4. E(X +a) = E(X)+a Bevis. Lad u 1,u 2,u 3,...,u n være de n udfald som de stokastiske variable er defineret ud fra. Og lad p 1,p 2,p 3,...,p n være sandsynlighederne for de n udfald. Husk på at sandsynlighederne tilsammen skal give 1. Dvs. n p i = 1 i=1 Og lad x 1,x 2,x 3,...,x n være værdierne for den stokastisk variabel X og lad y 1,y 2,y 3,...,y n være værdierne for den stokastisk variabel Y. Alle disse tal kan 25

26 opstilles i følgende tabel: u u 1 u 2 u 3 u n P(u) p 1 p 2 p 3 p n X(u) x 1 x 2 x 3 x n Y(u) y 1 y 2 y 3 y n Havde der været tale om kast med mønt ville tabellen se således ud: u plat krone P(u) 0,50 0,50 X(u) 1 2 Y(u) 0 1 Vi kan nu udregne middelværdien for den stokastiske variabel X i det den er summen af produkterne af værdier for X og deres sandsynlighed dvs. n µ X = E(X) = p 1 x 1 +p 2 x 2 +p 3 x 3 + +p n x n = p i x i og tilsvarende for den stokastisk variabel Y µ Y = E(Y) = p 1 y 1 +p 2 y 2 +p 3 y 3 + +p n y n = i=1 n p i y i i=1 Nu vises at E(a) = a E(a) = a p 1 +a p 2 +a p 3 + +a p n Ifølge definitionen af E(a). a sættes udenfor parantes. = a (p 1 +p 2 +p 3 + +p n ) = a 1 Idet n i=1 p i = 1. Nu vises at E(a X) = a E(X) 26

27 E(a X) = a p 1 x 1 +a p 2 x 2 + +a p n x n Ifølge definitionen af E(a+X). = a (p 1 x 1 +p 2 x 2 + +p n x n ) = a E(X) Nu vises at E(X +Y) = E(X)+E(Y) a sættes udenfor parantes. Ifølge definitionen af E(X). E(X +Y) = n i=1 (x i+y i ) p i Ifølge definitionen af E(X +Y). = n i=1 (x i p i +y i p i ) p i ganges ind i parentesen. = n i=1 (x i p i )+ n i=1 (y i p i ) Summationen deles op. Ifølge definitionen af = E(X)+E(Y) E(X) og E(Y). Nu vises at E(X +a) = E(X)+a E(X +a) = n i=1 (x i+a) p i Ifølge definitionen af E(X +a). = n i=1 (x i p i +a p i ) p i ganges ind i parentesen. = n i=1 (x i p i )+ n i=1 (a p i) Summationen deles op. = n i=1 (x i p i )+a n i=1 p i = E(X)+a 1 a sættes udenfor parantes. Ifølge definitionen på E(X) og idet n i=1 p i = 1. Q.E.D. 27

28 4.3 Varians og spredning Vi starter med en præcis definition på varians og spredning for den stokastisk variabel X. Definition 4.12 Variansen af den stokastiske variabel, X, er defineret som n Var(X) = E((X µ) 2 ) = (x i µ) 2 p i hvor µ er middelværdien for den stokastiske variabel, X, og x i er værdierne for den stokastiske variabel, X, og p i = P(X = x i ). i=1 Definition 4.13 Spredningen af den stokastiske variabel, X, er defineret som σ(x) = Var(X) Sætning 4.14 Variansen for den stokastiske variabel X kan udregnes som Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Bevis. Var(X) = E((X µ) 2 ) Ifølge definitionen = E(X 2 +µ 2 2 µ X) Parentesen udregnes. = E(X 2 )+E(µ 2 )+E( 2 µ X) If. 3. regel i sæt = E(X 2 )+E(µ 2 ) 2 µ E(X) If. 2. regel i sæt = E(X 2 )+µ 2 2 µ E(X) If. 1. regel i sæt = E(X 2 )+µ 2 2 µ µ Da µ = E(X). = E(X 2 )+µ 2 2 µ 2 = E(X 2 ) µ 2 = E(X 2 ) E(X) 2 Da µ = E(X). Q.E.D. Man kan med fordel bruge 4.14 når man skal beregne middelværdi og spredning 28

29 for en stokastisk variabel. Eksempel 4.15 Beregn middelværdi og spredning for den stokastisk variabel X. t P(X = t) 0,15 0,32 0,23 0,26 0,04 Middelværdien beregnes ved at tage summen af produkterne af værdierne for X og deres sandsynligheder. µ = E(X) = 1 0,15+2 0,32+3 0,23+4 0,26+5 0,04 = 2,72 Variansen beregnes så ved at finde middelværdien af den stokastisk variabel X 2 dvs. t P(X = t) 0,15 0,32 0,23 0,26 0,04 X E(X 2 ) = 1 0,15+4 0,32+9 0, , ,04 = 8,66 Nu kan variansen findes ved at bruge sætning Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 8,66 2,72 2 = 1,2616 og spredningen bliver σ(x) = Var(X) = 1,2616 = 1,1232 Sætning 4.16 Hvis X er en stokastisk variabel og a og b konstanter, gælder Var(aX +b) = a 2 Var(X) 29

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Uafhængighedstestet

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Uafhængighedstestet Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Uafhængighedstestet Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Behandling af kvantitative data 19.11.2012

Behandling af kvantitative data 19.11.2012 Behandling af kvantitative data 19.11.2012 I dag skal vi snakke om Kvantitativ metode i kort form Hvordan man kan kode og indtaste data Data på forskellig måleniveau Hvilke muligheder, der er for at analysere

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14 Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst 17. december 2013 Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst Dette notat redegør for den økonometriske analyse af indkomstforskelle mellem personer med forskellige lange videregående uddannelser

Læs mere

Hvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau

Hvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A)

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Opgave 1 I nedenstående tabel ses resultaterne af samtlige hjerteklapoperationer i 007-08 ved Odense Universitetshospital (OUH) sammenlignet

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Grundlæggende metode og videnskabsteori. 5. september 2011

Grundlæggende metode og videnskabsteori. 5. september 2011 Grundlæggende metode og videnskabsteori 5. september 2011 Dagsorden Metodiske overvejelser Kvantitativ >< Kvalitativ metode Kvalitet i kvantitative undersøgelser: Validitet og reliabilitet Dataindsamling

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

Workshop 6 Sundhedsprofilen metode og muligheder. Anne Helms Andreasen, Forskningscenter for Forebyggelse og Sundhed

Workshop 6 Sundhedsprofilen metode og muligheder. Anne Helms Andreasen, Forskningscenter for Forebyggelse og Sundhed Workshop 6 Sundhedsprofilen metode og muligheder Anne Helms Andreasen, Forskningscenter for Forebyggelse og Sundhed Metode og muligheder Design Beskrivelse af deltagere og ikke-deltagere Vægtning for design

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Test nr. 6 af centrale elementer 02402

Test nr. 6 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Stastistik og Databehandling på en TI-83

Stastistik og Databehandling på en TI-83 Stastistik og Databehandling på en TI-83 Af Jonas L. Jensen (jonas@imf.au.dk). 1 Fordelingsfunktioner Husk på, at en fordelingsfunktion for en stokastisk variabel X er funktionen F X (t) = P (X t) og at

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Grundlæggende metode og. 2. februar 2011

Grundlæggende metode og. 2. februar 2011 Grundlæggende metode og videnskabsteori 2. februar 2011 Dagsorden Metodiske overvejelser Kvantitativ >< Kvalitativ metode Validitet og repræsentativitet Stikprøver Dataindsamling Kausalitet Undervejs vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

Module 1: Data og Statistik

Module 1: Data og Statistik Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 1: Data og Statistik 1.1 Hvad er statistik?................................... 1 1.2 Datatyper.......................................

Læs mere

Program dag 2 (11. april 2011)

Program dag 2 (11. april 2011) Program dag 2 (11. april 2011) Dag 2: 1) Hvordan kan man bearbejde data; 2) Undersøgelse af datamaterialet; 3) Forskellige typer statistik; 4) Indledende dataundersøgelser; 5) Hvad kan man sige om sammenhænge;

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Betinget fordeling Uafhængighed. Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary

Betinget fordeling Uafhængighed. Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary 1 Kontingenstabeller Betinget fordeling Uafhængighed 2 Chi-kvadrat test for uafhængighed Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Markedsanalyse for Boligindretningsbutikker

Markedsanalyse for Boligindretningsbutikker Markedsanalyse for Boligindretningsbutikker Af gruppe 7: Mohammed Kayed, Patrick Kisbye, Maria Vinther og Kathrine Kristiansen 6. OKTOBER 2016 MAK, CPH BUSINESS Modul 2 Markedsanalyse for Boligindretningsbutikker

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere