Venus relative størrelse og fase

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Venus relative størrelse og fase"

Transkript

1 Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen gennemløber faser fra fuld til ny. Men samtidig ændrer den tilsyneladende størrelse af planeten sig, således at den er størst, når den er ny og mindst når den er fuld. Forklaringen er, at Venus ligesom Jorden kredser om Solen, men i en bane nærmere Solen. I denne artikel beregnes hvorledes Venus fase og relative størrelse ændrer sig med tiden. 1 Venus og Jordens kredsløb om Solen Både Venus og Jorden kredser om Solen i tilnærmelsesvis cirkelformede baner, med gennemsnitlige baneradier på r V = 0, 723 AU henholdsvis r J = 1 AU, hvor 1 AU = 149, km er den såkalde astronomiske enhed. Omløstiden er mindre for Venus end for Jorden, nemlig T V = 224, 70 d mod T J = 365, 25 d. Det betyder, at Venus engang imellem overhaler Jorden indenom. Når Venus overhaler Jorden indenom om dermed befinder sig mellem Jorden og Solen, siges Venus at være i indre konjunktion. Da Venus og Jordens baneplaner ikke er sammenfaldende vil det dog være sjældent, at Venus ligefrem går foran Solskiven. Men det skete blandt andet den 8. juni 2004 ved den såkaldte Venuspassage. (Noget tilsvarende gælder for Månen, som også placerer sig mellem Solen og Jorden ved nymåne, men kun sjældent går ind foran Solen og skaber solformørkelse, da Jordens og Månens baneplaner ikke er sammenfaldende.) 1.1 Venus synodiske omløbstid I det følgende antages at Venus overhaler Jorden indenom til tiden t = 0. Man kan forestille sig, at vi måler tiden på et stopur, som startes netop når Venus overhaler Jorden. Efter et stykke tid vil Venus have flyttet sig vinklen θ V = 2 π t T V (1)

2 mens Jorden har flyttes sig vinklen θ J = 2 π t T J (2) Se eventuelt figur 1 nedenfor. Den synodiske omløbsperiode for Venus, T, er tiden mellem to overhalinger (to følgende konjunktioner). Denne er givet ved, at Venus har nået et ekstra omløb, altså taget 2π mere end Jorden: Indsættes heri (1) og (2) følger θ V = θ J + 2 π 1 T = 1 T V 1 T J (3) eller T = T V T J T J T V Indsættes værdierne T V = 224, 70 d og T J = 365, 25 d fås T = 583, 9 d, altså knap 584 døgn eller lidt over halvandet år. Fig. 1: Til tiden t = 0 overhaler Venus Jorden indenom. Til et lidt senere tidspunkt (t) vil Venus have nået vinklen θ V rundt om Solen, mens Jorden kun har nået vinklen θ J. Vinklerne er givet ved planeternes omløbstider, (1) henholdsvis (2). Bemærk: Venus er den inderste planet og det er Solen i centrum :o) 2

3 2 Venus tilsyneladende størrelse Set fra Jorden vil den tilsyneladende størrelse af Venus, altså udstrækningen, ændre sig med tiden. I atronomisk sammenhæng benytter man som regel den vinkel, ω som diameteren af Venus måler (altså set fra Jorden). Af Figur 2 fremgår det, at den er givet ved ω = 2 ω 2 2 tan ω 2 = 2 RV r = 2 R V r hvor R V = 6052 km er Venus radius og r er afstanden fra Jorden til Venus på det givne tidspunkt. I udledningen er udnyttet, at tangens til en vinkel er tilnærmelsesvis lig med vinklen (målt i radianer), hvis vinklen er lille. (4) Fig. 2: Den relative størrelse af Venus (udstrækningen) er givet ved vinklen ω, der kan beregnes ud fra Venus radius R V og afstanden mellem Venus og Jorden r. 2.1 Afstanden mellem Jorden og Venus Fig. 3: Til et givent tidspunkt t vil vinklen mellem Venus og Jorden (set fra Solen) være θ V θ J. Afstanden mellem Venus og Jorden er da r, som kan beregnes ved hjæp af cosinusrelationen. 3

4 Af (1), (2) og (3) følger θ V θ J = 2 π t T V 2 π t T J = 2 π t T Af cosinusrelationerne (se Figur 3) følger r 2 = r 2 V + r 2 J 2 r V r J cos(θ V θ J ) og dermed at afstanden mellem Venus og Jorden er givet ved ( ) 2 π t r = rv 2 + r2 J 2 r V r J cos T (5) Specielt bemærkes at r = r J r V for t = 0 og t = T (altså når Venus er i indre konjunktion) og at r = r J + r V for t = T/2 (dette kaldes ydre konjunktion). 3 Venus fase Fig. 4: Vinklen mellem Solen og Jorden set fra Venus (ϕ) kan beregnes ud fra cosinusrelationer. Samtidig kan den benyttes til at beregne, hvor stor en del af den oplyste del af Venus, der kan ses Jorden. Vinklen ϕ (se Figur 4) kan bruges til at bestemme hvor meget af den oplyste del af Venus, der er synlig fra Jorden. Af cosinusrelationerne fås r 2 J = r 2 V + r 2 2 r V r cos(ϕ) 4

5 Fig. 5: Et zoom på Venus: Området ABF EA ligger hen i mørke, da det ikke rammes af Solens lys. Fra Jorden ses området ACDEF A, hvoraf en bid, AEF A ligger hen i mørke. Området ACDA i sig selv ville gøre, at Venus ville ses som halv fra Jorden. Men i dette tilælde hvor ϕ < π 2 og ϕ > 0 vil der være en ekstra del, ADEA, som er oplyst og dermed synlig fra Jorden. Størrelsen x beskriver denne ekstra del kvantitativt. og dermed cos(ϕ) = r2 V + r2 rj 2 (6) 2 r V r Figur 5 viser hvor meget af Venus, der er synligt set fra Jorden. Her i tilfældet hvor ϕ < π 2. Specielt størrelsen x er interessant. Den er givet ved: x = R V cos(ϕ) = R V cos(ϕ) (7) Af figur 6 ses hvorledes Venus ter sig ud set fra Jorden. Man ser at den ekstra synlige del er en halv ellipse med storakse 2 R V og lilleakse 2 x = 2 R cos(ϕ). I tilfældet hvor ϕ > π 2 vil det oplyste område være mindre end en halv; det der mangler i at Venus ses som være halv er igen en ellipse med den halve lilleakse givet ved x - se figur 7. x er her givet ved hvor og dermed x = R V cos(φ) φ = π ( 2 ϕ π ) = π ϕ 2 x = R V cos(φ) = R V cos(π ϕ) = R V cos(ϕ) = R V cos(ϕ) altså samme udtryk som ovenfor (7) 5

6 Fig. 6: Venus set fra Jorden. Området ADA EA udgør en halv ellipse med storakse 2 R V og lilleakse 2 x = 2 R V cos(ϕ). Punktet A er anti-pol til A. 4 Sammenfatning Der er her gjort rede for hvorledes Venus størrelse og fase ændrer sig med tiden. Et kort resume er som følger: 1. Afstanden mellem Jorden og Venus til et givet tidspunkt t er givet ved (5): ( ) 2 π t r = rv 2 + r2 J 2 r V r J cos T hvor T = 583, 9 d er den synodiske omløbsperiode, der er givet ved Jorden og Venus omløbsperiode jævnfør (3) og hvor r V = 0, , km og r J = 149, km. Her skal tiden t regnes i forhold til en given indre konjunktion, for eksempel tiden siden Venuspassagen 8. juni Den tilsyneladende størrelse af Venus er givet ved (4): hvor R V = 6052 km. ω 2 R V r 3. Venus fase afhænger af vinklen mellem Solen og Jorden set fra Venus, ϕ. Denne er givet ved (6) cos(ϕ) = r2 V + r2 r 2 J 2 r V r 6

7 Fig. 7: Et zoom på Venus i tilældet hvor ϕ > π 2 : Området ACDEF A ligger hen i mørke, da det ikke rammes af Solens lys. Fra Jorden ses området ABCDEA, hvoraf kun ABCA bliver oplyst. Specielt området ACDA er interessant, da det er det området, der gør, at Venus ikke ses som halv i dette tilfælde. Vinklen ϕ bestemmer fasen således: Når ϕ = 0 vil Venus ses som fuld. Når 0 < ϕ < π 2 vil Venus ses som over halv fuld. Den ekstra del er givet ved en halv ellipse, hvis halve lilleakse er givet ved R V cos(ϕ), jævnfør (7) og figur 6. Når ϕ = π 2 vil Venus ses som halv. Når π 2 < ϕ < π vil Venus ses mindre end halv fuld. Den del der mangler i at være halv fuld er en halv ellipse, hvis halve lilleakse er givet ved R V cos(ϕ), jævnfør (7). 7

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op?

Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Matematisk modellering: Hvor tidligt står Venus op? Kasper Bjering Søby Jensen, ph.d. studerende i matematikkens didaktik ved Roskilde Universitet I LMFK bladet 2/2012 bragtes artiklen Anvendelse og modellering

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Modul 11-13: Afstande i Universet

Modul 11-13: Afstande i Universet Modul 11-13 Modul 11-13: Afstande i Universet Rumstationen ISS Billedet her viser Den Internationale Rumstation (ISS) i sin bane rundt om Jorden, idet den passerer Gibraltar-strædet med Spanien på højre

Læs mere

Planetatmosfærer. Hvorfor denne forskel?

Planetatmosfærer. Hvorfor denne forskel? Planetatmosfærer De indre planeter Venus og Jorden har tykke atmosfærer. Mars' atmosfære er kun 0,5% af Jordens. Månen har nærmest ingen atmosfære. De ydre planeter De har alle atmosfærer. Hvorfor denne

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...

Læs mere

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm Oven over skyerne..! Du skal lære mennesker, steder og ting ude i rummet og på jorden hvor du bor Du skal lære om stjernetegnene Du skal lave din egen planet-rap Du skal skrive et brev fra Månen Du skal

Læs mere

Afstande Afstande i universet

Afstande Afstande i universet Side 1 Til læreren i universet Her får man en fornemmelse af rummeligheden i universet at stjernerne ikke, som antaget i Middelalderen, sidder på indersiden af en kugleflade, men i stedet er spredt i rummet

Læs mere

5. Kometer, asteroider og meteorer

5. Kometer, asteroider og meteorer 5. Kometer, asteroider og meteorer 102 1. Faktaboks 2. Solsystemet 3. Meteorer og meteoritter 4. Asteroider 5. Kometer 6. Kratere på jorden 7. Case A: Bedout nedslaget Case B: Tunguska nedslaget Case C:

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Modul 7-10: Rumfart og afstande i Universet

Modul 7-10: Rumfart og afstande i Universet Modul 7-10 Modul 7-10: Rumfart og afstande i Universet Kort rids af rumfartens historie Den første astronaut i rummet var Juri Gagarin, men længe før hans rumfærd var der mange, der forestillede sig, at

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

1. Alléen & fredningen - som kulturhistorisk ikon - som landskabs element - som rumdannende element - som naturoplevelse

1. Alléen & fredningen - som kulturhistorisk ikon - som landskabs element - som rumdannende element - som naturoplevelse B o r g e r m ø d e d. 1 3. 0 6. 2 0 0 7 D a g s o r d e n A l l é e n & f r e d n i n g e n A l l é e n & f r e d n i n g e n A l l é e n & f r e d n i n g e n A l l é e n & f r e d n i n g e n A l l

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Observatio Transitus Veneris ante Discum Solis

Observatio Transitus Veneris ante Discum Solis Presentation title OSc 22/05/2012 Observatio Transitus Veneris ante Discum Solis Ole Schou AFfS OSc 22/05/2012 Slide no 2 Ole Schou Kirsebærvej 16, 4773 Stensved, Danmark Tlf: +45 4054 4699 e-mail: ole.schou@post.tele.dk

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? For at svare på spørgsmålet om, hvad vind er, så skal vi vide noget om luft. I alle stoffer er molekylerne i stadig bevægelse. I faste stoffer ligger de tæt og bevæger

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Lærervejledning til Kampen om solsystemet

Lærervejledning til Kampen om solsystemet Lærervejledning Lærervejledning til Kampen om solsystemet Indhold 1. Kampen om solsystemet 2. Tekniske krav 3. Spillereglerne 4. Fire klik og så er I i gang 5. Fagligt indhold 6. Flere links Kampen om

Læs mere

Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF

Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF På SG har vi i slutningen af 1.g en mulighed for at lave en mindre skriftlig opgave i historie i samarbejde med et andet af klassens fag. Formålet med

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013

To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 2012 Trykfejl rettet 14. oktober 2013 To-legemeproblemet Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus November 01 Trykfejl rettet 14. oktober 013 To-legemeproblemet af Michael A. D. Møller. November 01. side 1/0 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Magnetiske felter Ved luftledningsanlæg

Magnetiske felter Ved luftledningsanlæg Kapitel 12 Magnetiske felter Ved luftledningsanlæg Magnetfeltet ved højspændingsluftledninger ligger typisk i området fra nogle få µt op til maksimalt ca. 10 µt. I nedenstående figur er vist nogle eksempler

Læs mere

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a) Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I denne test skal I finde ud af, hvilket transportmiddel, I kan køre hurtigst på? Hypotese Hvilket transportmiddel tror I, I kan køre hurtigst på? Hvorfor? Det skal I bruge:

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15)

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15) Loven for bevægelse (Symbol nr. 15) 1. Guddommens jeg og skabeevne bor i ethvert væsens organisme og skabeevne Vi er igennem de tidligere symbolforklaringers kosmiske analyser blevet gjort bekendt med

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER

PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER PROBLEMLØSNING I FORSKELLIGE NIVEUAER l niveau: I hvilket du bearbejder givne ligninger og funktioner. 1 Kørselsstrækningen y km pr. liter benzin for en lastbil er givet ved y = x 750x, hvor x er hastigheden

Læs mere

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik.

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et MEGA godt emne det har været sjovt! Patrick Stistrup 6. klasse Indhold - Hvad har vi

Læs mere

Høj gæld i andelsboligforening højere risiko i lånevalg

Høj gæld i andelsboligforening højere risiko i lånevalg 19. februar 2013 Høj gæld i andelsboligforening højere risiko i lånevalg Vi har set nærmere på realkreditfinansieringen af andelsboligforeningerne herhjemme og udviklingen i denne over de senere år. Det

Læs mere

den Rollebaserede brugergrænseflade

den Rollebaserede brugergrænseflade WHITE PAPER Rollebaseret brugergrænseflade Hvordan anvendes diagrammer? Man siger, at et billede siger mere end 1.000 ord. En påstand, som de fleste nok er enig i. Øjet opfatter og hjernen tolker et billede

Læs mere

Statistik over undervisning i Stjernekammeret i skoleåret 2012/2013.

Statistik over undervisning i Stjernekammeret i skoleåret 2012/2013. Stjernekammeret på Bellahøj Skole Københavns kommunes Skoleplanetarium. Statistik over undervisning i Stjernekammeret i skoleåret 2012/2013. 122 hold fra Københavns Kommune blev undervist i Stjernekammeret

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 29-33. Side 1 af 6 Procent- og rentesregning ( 29-33) Opgaverne med svar starter på side 5, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står på side 6 med et s foran

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Livet giver dig chancer hver dag

Livet giver dig chancer hver dag Gnisten som guide I de momenter, hvor du lykkes at være dig selv, kommer helheden. Hvis du på dit livs rejse får nogle af de glimt igen og igen, begynder det at blive mere meningsfyldt at leve. Når gnisten

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Triangulering af Danmark.

Triangulering af Danmark. Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer

Læs mere

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen.

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen. P og En varmluftballon Denne artikel er en lettere revideret udgave af en artikel, om Dan Frederiken og Erik Vetergaard fra Haderlev Katedralkole havde i LMFK-bladet nr. 2, februar 1997. Enhver, om er

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Mental Træning og om at Score

Mental Træning og om at Score Mental Træning og om at Score Af Finn Havaleschka Mental Træning og om at Score. Finn Havaleschka, Garuda Research Institute. Dit Mentale Scorekort Det mentale scorekort handler ikke om at score det andet

Læs mere

Devoteam Consulting. Spørgeskemaundersøgelse i forbindelse med undersøgelsen af problemer med flertydige vejnavne LEDELSESRESUME

Devoteam Consulting. Spørgeskemaundersøgelse i forbindelse med undersøgelsen af problemer med flertydige vejnavne LEDELSESRESUME Devoteam Consulting Spørgeskemaundersøgelse i forbindelse med undersøgelsen af problemer med flertydige vejnavne LEDELSESRESUME Maj 26 Ledelsesresume Side 1 Maj 26 1. INDLEDNING Devoteam bistår Erhvervs-

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Rev. 11.04.2014. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil

Rev. 11.04.2014. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil Rev. 11.04.2014 Spilleregler Bånd oversigt Gevinst oversigt Featurespil Spilleregler: Bånd oversigt: Indsatsen vælges ved at logge på en automat med den ønskede indsats. 50 øre 1 krone eller 5 kroner pr.

Læs mere

Nethinden, glaslegemesammenfald. Nyt fra forskningsfronten Kan succesraten for operation ved nethindeløsning forbedres?

Nethinden, glaslegemesammenfald. Nyt fra forskningsfronten Kan succesraten for operation ved nethindeløsning forbedres? Årehinde Retinalt pigmentepitel (RPE) Sanseceller (Neuroretina) Glaslegeme Nethinden består af neuroretina og det retinale pigmentepitel (RPE) 1 Nyt fra forskningsfronten Kan succesraten for operation

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Målet med projektet er tredelt:

Målet med projektet er tredelt: Forord Denne antologi er et led i et større»giv dig rig«-projekt, som har været to år undervejs, og som søsættes i 2010. Forhåbentlig sætter projektet og dets elementer sig længerevarende spor. Jesus udfordrer

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst

Procent og eksponentiel vækst Procent og eksponentiel vækst Procent og decimaltal...52 Vækst-fomlen; K n er ukendt...54 Vækst-fomlen; K 0 er ukendt...56 Vækst-fomlen; r er ukendt...57 Vækst-fomlen; n er ukendt...58 Når du regner opgaverne

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR

Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR 1 Jørgen Erichsen Den logaritmiske spiral en introduktion til computerprogrammet LOGSPIR Kuno Fladt kalder i sin bog om plane kurver den logaritmiske spiral for die interessanteste aller Spiralen und vielleicht

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Prædiketeksten er læst fra kortrappen: Joh 4,5-26. Bøn. Lad os bede. Kom til os, Gud, og giv os liv fra kilder uden for os selv! (DDS 367, v.1) Amen.

Prædiketeksten er læst fra kortrappen: Joh 4,5-26. Bøn. Lad os bede. Kom til os, Gud, og giv os liv fra kilder uden for os selv! (DDS 367, v.1) Amen. 2.søndag efter helligtrekonger II. Sct. Pauls kirke 19. januar 2014 kl. 10.00. Salmer: 123/31/138/596//441/439/326/308 Uddelingssalme: se ovenfor: 326 Prædiketeksten er læst fra kortrappen: Joh 4,5-26

Læs mere

Grænseegnens Touring Club

Grænseegnens Touring Club Kørevejledning for Denne vejledning skal tjene til, at alle som kører med Grænseegnens Touring Club har så ensartet en forståelse af vores køresystem, at det er sikkert at deltage på ture med GTC. Det

Læs mere

Find nye veje i følelsernes labyrint

Find nye veje i følelsernes labyrint Find nye veje i følelsernes labyrint Indholdsfortegnelse Forord 7 Indledning 9 Kap 1: Find din primære følelse i nuet 11 Kap 2: Læg afstand til dine tanker 19 Kap 3: Undgå unødvendige konflikter 23 Kap

Læs mere

bliv rig Bliv et bedre menneske

bliv rig Bliv et bedre menneske bliv rig Bliv et bedre menneske Et to-dages kursus i at blive millionær, og de mener det endda helt alvorligt både at det kan lade sig gøre, og at det er værdigt formål. Det mest forvirrende er, at det

Læs mere

Rejsevaner blandt personalet i regionshuset, Region Syddanmark

Rejsevaner blandt personalet i regionshuset, Region Syddanmark Rejsevaner blandt personalet i regionshuset, Region Syddanmark - 1 - Ansatte i Region Syddanmark, regionshuset, blev i marts 29 spurgt om deres rejsevaner til og fra arbejdsstedet. Hermed følger et overblik

Læs mere

Link til min youtube kanal: http://www.youtube.com/user/davkdk

Link til min youtube kanal: http://www.youtube.com/user/davkdk Dette er skrevet til Fiskeavisen som i samarbejde med Gordon P. Henriksen i løbet af 2013 bragte en serie artikler om fiskeres brug af GoPro. Min artikel skulle handle lidt om gode råd til at undgå de

Læs mere

Fig. 1. Normal forfod som viser hallux valgus vinklen og intermetatarsal vinklen.

Fig. 1. Normal forfod som viser hallux valgus vinklen og intermetatarsal vinklen. Den smertende storetåknyst Hvad er en knyst? En knyst er et fremspring på en underliggende knogle. Årsagen til at knyster giver smerter er at bløddelsvævene udsættes for et tryk mellem knogle og fodtøj.

Læs mere

Driveteam s lille teoribog

Driveteam s lille teoribog Driveteam s lille teoribog Generelle hastigheder: 50 km/t Indenfor tættere bebygget område 80 km/t Udenfor tættere bebygget område 80 km/t Motortrafikvej 130 km/t Motorvej Bilens maksimum mål: (alle mål

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Nordisk innovation Porduktkatalog

Nordisk innovation Porduktkatalog Nordisk innovation Porduktkatalog ROTTESPÆR TX11 STOPPER ROTTErne FØR DE GØR SKADE VA-godkendt på Teknologisk Institut Fra Ø100 til Ø200mm, også til strømpeforet rør i ovenstående dimensioner Udført i

Læs mere