En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1

Transkript

1 En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater (0, 0) og (x, y), hvor y = y(x) er ligningen for kabelkurven. Kabelstykket er påvirket af tyngdekraften, T x, samt en snorekraft i hver ende, S 0 og S x. Kræfterne skitseres side 2 eller side 3 (afhængig af, hvilket elektronisk format, du har fat i). Tyngdekraften er lodret nedadrettet og proportional med den masse, der hænger direkte under kabelstykket. Denne masse er µx, hvor µ er den givne konstante masse per længdeenhed. Idet tyngdeaccelerationen som sædvanlig betegnes g, har vi altså T x = µxgj. (1) Snorekræfterne går i retning af kabelkurvens tangenter i de to endepunkter, og er orienteret væk fra kabelstykket. I venstre endepunkt er tangentretningen givet ved vektoren i, og i højre endepunkt ved vektoren i + y (x)j. Vi har altså to positive konstanter og C x, så S 0 = i, S x = C x (i + y (x)j). (2) Da kabelstykket er i mekanisk ligevægt, er Betragter vi de to komponenter af denne vektorligning, får vi T x + S 0 + S x = 0. (3) + C x = 0, µxg + C x y (x) = 0. (4) Den første af disse to ligninger viser at C x = er konstant, og af den sidste fås da hvor k = µg y (x) = kx, (5) er konstant. Ved integration fås så, at kabelkurven er givet ved ligningen y(x) = k 2 x2 + c, (6) 1

2 hvor k og c er konstanter. Galileis kabelkurve er altså en parabel. I det ovenstående har vi dog egentlig kun betragtet den del af kabelkurven, som ligger til højre for origo. Et symmetriargument viser imidlertid, at parabelformen også gælder for den anden side. Vi har brugt y = y(x) i stedet for opgaveformuleringens A = A(x), fordi det tillader direkte genbrug af et par af ligningerne oven for i det næste afsnit. 2 Det hængende kabel Vi lader nu y = y(x) være den funktion, der beskriver det hængende kabel. Vi er først blevet bedt om at bestemme længden af kabelstykket fra (0, 0) til (x, y). Betegner vi længden med s = s(x), har vi ifølge Adams, Calculus, nederst side 670, at Da s(0) = 0, får vi heraf, at ds dx = 1 + y (x) 2. (7) s(x) = x y (t) 2 dt. (8) Kabelstykket er igen påvirket af to snorekræfter, S 0 og S x og en tyngdekraft T x. Formlerne (2) og (3) gælder uændret for den nye situation, men den relevante masse for kabelstykket er nu ρs(x), hvor ρ er kablets konstante masse per længdeenhed. Derfor erstattes formlen (1) med T x = ρs(x)gj. (9) I stedet for (4) får vi da Dermed kommer (5) til at lyde + C x = 0, ρs(x)g + C x y (x) = 0. (10) y (x) = ks(x), (11) hvor k denne gang er k = ρg. Differentierer vi nu (11) og benytter vi (7) i resultatet af differentiationen, får vi differentialligningen y (x) = k 1 + y (x) 2. (12) For at løse (12) sætter vi v(x) = y (x). Da er dv dx = y (x), så (12) lyder nu dv dx = k 1 + v 2. (13) Dette er en separabel 1. ordens differentialligning, som også kan skrives dv 1 + v 2 = kdx. (14) 2

3 Figure 1: Kraftdiagram for et kabelstykke. 3

4 Da vi fra Matematik A undervisningen (se specielt afleveringsopgaven fra uge 40, afsnit 1 3.6, nr. 6) ved, at en stamfunktion til 1+v 2 er sinh 1 (v), følger der af (14), at sinh 1 (v) = kx + C, (15) hvor C er en integrationskonstant. For x = 0 har kabelkurven minimum og dermed vandret tangent, dvs v(0) = y (0) = 0. Da sinh(0) = 0, er sinh 1 (0) = 0, så vi ser, at C = 0. Ligningen (15) kan derefter omskrives til v = sinh(kx). Da v = y (x), får vi ved integration, at det hængende kabels form er beskrevet ved ligningen y = 1 cosh(kx) + c, (16) k hvor k, c er konstanter. Konstanten c er alene bestemt af, hvor højt vi placerer vor x-akse i forhold til broens laveste punkt. Tager vi som angivet i opgaveteksten origo i kablets laveste punkt, bliver c = 1, idet vi jo har cosh(0) = 1. k 3 Afrunding Som nævnt i opgaveformuleringen er det kun meningen at hver projektgruppe behandler et enkelt af de afrundende spørgmål. Her kommenteres dog alle fem. 3.1 Et lod i kædelinjens nederste punkt Hænges der et lod op i kædelinjens nederste punkt, bliver der en ekstra, lodret nedadrettet kraft på dette kurvepunkt. Der er kun de to snorekræfter fra hver sin side af punktet til at afbalancere kraften fra loddet. Snorekræfterne må altså have en opadrettet, lodret komponent, hvilket betyder, at kurveformen må få en nedadrettet spids. Kurveformerne på de to sider af denne spids er hver for sig stadig kædelinier. I praksis vil vor model dog svigte i denne situation, idet vi helt har set væk fra kablets tykkelse og dets bøjningsstivhed. 3.2 Taylorudvikling Lad ophængningspunkterne have x = ±L. Matematisk set spørges der da om en Taylorudvikling til grad n af funktionen (16) omkring x = L eller x = L. Vi har valgt n = 2 og taget x = +L. Der gælder y(x) = 1 k cosh(kx) + c, y (x) = sinh(kx) og y (x) = k cosh(kx). Derfor er y(l) = 1 k cosh(kl) + c, y (L) = sinh(kl), y (L) = k cosh(kl). Taylorpolynomiet af grad 2 er derfor (jvfr. evt. Adams, Calculus, side 285) P 2 (x) = ( 1 k cosh(kl) + c) + sinh(kl) (x L) + k 2 cosh(kl) (x L)2. (17) 4

5 3.3 Bestemmelse af totalmassen Kablets totale masse m bæres af to ophængningspunkter, dvs. hvert punkt bærer m/2. Komponenten af snorspændingen T i retning af tyngdekraften er T sin θ, hvor θ er vinklen mellem retningen af tyngdekraften mg og kablets retning i ophængningspunktet. I mekanisk ligevægt gælder da T sin θ = mg/2 (18) hvoraf m kan bestemmes, når T og θ er kendte. 3.4 Beslægtede former i naturen Her kan nævnes sæbefilm (f.eks. en sæbeboble, som trækkes ud mellem to ringe), 3.5 En infinitesimal betragtningsmåde Vi betragter det infinitesimale stykke af kablet, der strækker sig fra punktet (x, y(x)) til (x+ x, y(x+ x)). Når x er infinitesimal, er længden af stykket s = ( x) 2 + ( y) 2. Dets masse er dermed ρ s, så tyngdekraften, der virker på det, er T = ρg ( x) 2 + ( y) 2 j. (19) De to snorekræfter er tangentielle og udadrettede i forhold til vort kabelstykke. De har derfor formen S x = C x (i + y (x)j), S x+ x = C x+ x (i + y (x + x)j), (20) hvor C x er en skalar, som a priori kunne tænkes at afhænge af x. Da kabelstykket er i ligevægt, er S x + S x+ x + T = 0. (21) Den første komponent af denne vektorligning giver, at C x = C x+ x, så C x er faktisk uafhængig af x, altså C x =. Den anden komponent af vektorligningen giver herefter (y (x + x) y (x)) = ρg ( x) 2 + y) 2. (22) Når denne ligning divideres med x, får vi y (x + x) y (x) x = ρg 1 + ( ) y 2. (23) x Bruger vi nu den kendsgerning, at x er infinitesimal (dette er i virkeligheden slang for lader vi nu x 0 ), ser vi, at y (x) = ρg 1 + y (x) 2. (24) Dette er netop ligningen (12) og resten af argumentet forløber nu ligesom i afsnit 2. 5