Bestemmelse af CDS spreads ved strukturelle modeller. og Hull-White modellen

Transkript

1 Copenhagen Business School Insiu for finansiering cand.merc.ma og cand.merc.fir Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Kandida afhandling 8. okober 009 Udarbejde af Erik Linde cand.merc.ma ejleder Bo ad Seffensen homas Aased Sørensen cand.merc.fir Anal anslag:

2 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Absrac he aim of his hesis is o invesigae he heoreical basis for 3 models, used for pricing credi risk. We will examine, if he models are used easily in pracice, and how well hey replicae he spreads observed from he CDS marke. Our focus will be on he classic Meron model, which was he pioneer wihin his area, and he exension made o his model derived by Black and Cox. hose models are characerized as srucural models and will be compared o a marke model derived by Hull and Whie. For he purpose of esing he models on real daa, we have chosen companies from he auo indusry. We will use hese companies accouning figures as inpu o he srucural models, and bond prices observed from he marke as inpu o he marke model. We find from our analysis ha he esimaion of he inpu daa for he srucural models, are difficul and based on grea uncerainy. he applicaion of he Hull-Whie model in pracice, are easier because of he low requiremens regarding he inpu daa. he heoreical spreads calculaed from he models, are no able o replicae he observed spreads from he CDS marke. he Hull-Whie model ends o overesimae he spread while here is no general conclusion for he srucural models. Based on he whole analysis, Hull-Whie achieves he highes correlaion wih he observed spreads, bu here are cases where he srucural models have higher correlaion performance han Hull-Whie. In general we mus conclude ha i is no possible o replicae he observed spreads from any of hese models. Regarding he pracical applicaion, we will recommend he Hull-Whie model because of he low requiremens o he inpu daa. s i d e

3 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Indholdsforegnelse Absrac... Indledning...6 Moivaion...6 Problemformulering...6 Afgræsning og meodevalg...7 Disposiion...8 Inrodukion il kredimarkede...10 Kredimarkede...10 Credi defaul swap...15 eori...1 Inrodukion il fallimodeller...1 Srukurelle modeller...3 Meron modellen...3 ærdi af gæld og egenkapial...4 Kredispread...5 Egenskaber ved Meron modellen...6 Flere gældsklasser...7 Fallisandsynlighed...8 Black-Cox...9 Inrodukion...9 Fallibarrieren...30 Udbealing il obligaionsejere...31 Fallisandsynlighed...38 Egenskaber ved Black-Cox modellen...39 Hull-Whie modellen...44 Anagelser...44 Risikoneuralfalli sandsynlighed i diskre id...44 Risikoneuralfalli sandsynlighed i koninuer id...46 Besemmelse af CDS spreade...47 ærdi af bealingen i ilfælde af falli...47 ærdi af bealingen for beskyelse s i d e

4 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen CDS spread...49 Implemenering og es af model...51 Model virksomhed...51 Gennemgang af anagelser bag modellerne...54 Srukurelle modeller...54 olailie...55 Fordeling af afkas...55 Kapialsrukur...57 Gældsklasser...58 Hull-Whie...58 Pris forskel mellem saer og krediobligaioner...59 Uafhængighed mellem sasrener, recovery og fallihændelser...60 Modparsrisiko...60 CDS spreads og obligaions spreads...61 Sammenfaning...6 Prakisk implemenering af modellerne...64 irksomhedsbeskrivelse...64 De srukurelle modeller...65 olailie...65 Risikofri rene...7 Gælden...7 Barrieren...76 Dividende...77 Hull-Whie modellen...79 Kredi obligaioner...79 Recovery raes...80 Benchmark renekurve...80 Beregning af CDS spreads...8 oyoa...8 Renaul...86 Parameer diskussion...89 Hull-Whie...90 Opsamling...91 idsserie s i d e

5 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen alg af periode...93 Daa udvælgelse...94 Førse periode...94 Anden periode...98 Opsamling Konklusion Kildeforegnelse Bøger Arikler og rapporer Websider Bilag Bilag 1 es af Hull-Whie implemenering Bilag Model virksomhed Bilag 3 oyoa finansial saemen Bilag 4 Renaul finansial saemen s i d e

6 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Indledning Dee afsni giver e overblik over opgavens problemformulering og bidrager med e overblik over afhandlingens meodevalg og afgræsning. Afsnie afslues med en kor redegørelse for afhandlingens disposiion. Moivaion De senese års udvikling på de finansielle markeder har forøge fokus på emne kredirisiko. Bankerne har de senese år lid kolosale ab på lån il privae såvel som virksomheder. i har derfor funde ineresse for, a undersøge hvilke modeller der er il rådighed, il vurdering af virksomheders kredirisiko. De sore ab age i beragning, kunne give en indikaion om, a de er vanskelig for långiverne a forudsige falli hos kunder, og vi vil derfor undersøge om modellerne er i sand il, a give e præcis esima af en virksomheds fallirisiko. En væsenlig årsag il sammenbrudde i den finansielle sekor har være, a krediprodukerne har opnåe en sørre kompleksie end idligere. i vil derfor undersøge modellernes evne il a prisfassæe kredirisiko sam korlægge hvilke inpufakorer modellerne udviser den sørse sensiivie overfor. Område indenfor kredimodeller er kompleks og der findes flere forskellige modeller, der forsøger a prisfassæe risikoen for konkurs. Rober C. Meron var i 1973 den førse il, a inroducere en model der kunne prisfassæe gæld med fallirisiko, og modellen anvendes i dag som udgangspunk for mere komplekse modelseups som eksempelvis Moody s KM model. Da Meron modellen er pioneren indenfor område, vil den sam en udvidelse af denne, danne grundlag for o af de modeller vi vil undersøge. Dee leder os frem il følgende ing vi ønsker besvare via af denne afhandling. Problemformulering Målsæningen for denne kandidaafhandling er a undersøge og belyse de eoreiske grundlag for re modeller, der anvendes il prisfassæelse af kredirisiko. De skal undersøges, hvor anvendelige modellerne er i praksis og hvor gode de er il a besemme de observerede spread fra CDS markede. i vælger a fokusere på Merons model for kredirisiko sam udvidelsen der blev udled af Black-Cox. Derudover anvendes en markedsmodel udled af Hull-Whie. 6 s i d e

7 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Modellerne anvendes på markedsdaa fra o konkree virksomheder. Den prakiske anvendelse af modellerne skal illusrere, hvorvid modellerne er i sand il a besemme niveaue for de observerede markedsspreads, sam om modellernes resulaer giver mening ren inuiiv. De ønskes desuden undersøg, hvorvid modellernes prædikeringsevner afhænger af virksomhedens gearing/raing. Dee giver anledning il følgende hovedpunker, som søges besvare via denne afhandling: Hvordan anvendes modellerne i praksis? Syrkes Meron modellens præcision med udvidelsen af Black-Cox? Hvordan passer modellerne niveau- og korrelaionsmæssig mål ud fra de observerede markedsspreads? Er modellernes resulaer inuiive? ed besvarelse af disse spørgsmål vil de være mulig, a give en vurdering af om kredimodellerne er ilsrækkelige il a prisfassæe kredirisiko, og hvilke syrker og svagheder der eksiserer indenfor de forskellige modelklasser. Dee har en prakisk såvel som eoreisk relevans da de giver en vurderering af, hvorvid de eksiserende modeller er ilsrækkelige il, a beskrive og vurdere udfordringerne som opsår i forbindelse med prisfassæelse af kredirisiko. Afgræsning og meodevalg il besemmelsen af spreade på Credi defaul swaps, vælger vi a benye Meron, Black-Cox og Hull- Whie modellerne. Meron og Hull-Whie modellerne er valg på grund af deres simplicie. I den prakiske anvendelse af modeller, er de ofe ønskværdig a den anvende model er simpel og le a implemenere. De o modeller repræsenerer fundamenal forskellige meoder il kvanificering af kredirisiko, den srukurelle og inensies ilgangen. Indenfor kredirisiko anses disse modeller som værende de basale modelyper. Black-Cox modellen er valg som udvidelse il Meron modellen. Grundlage for a benye Black-Cox modellen er, a Black-Cox modellen er den naurlige udvidelse af Meron modellen. Black-Cox modellen søger a udvide Meron modellens beskrivelse af fallihændelsen for virksomheden ved a indføre e udvide model seup, som inroducerer koninuer falli og deb covenans. I afhandlingen vil vi anvende de lukkede formler for prisudrykkene for hhv. Meron, Black- Cox og Hull-Whie. i vil ikke forsøge a modificere formlerne eller a udbygge disse, så de kan age højde for evenuelle ændringer i de grundlæggende anagelser. i vil derimod fokusere på anvendelsen og besemmelse af inpu daa il de oprindelige modeller. 7 s i d e

8 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Modellernes resulaer holdes op mod empiriske daa besående af spreads på Senior CDS er udsed af virksomhederne. Daa benye il modellerne er udræk af daasæ, primær indsamle gennem Daasream og Bloomberg, som anses for værende pålidelige daakilder. De observerede markeds daa, hene via daasream og Bloomberg, vil vi såfrem ande ikke er nævn, anage er de korreke markedsdaa. I opgaven vil vi anage, a de observerede spread markedsspreade på CDS konrakerne er de korreke spread, som modellerne skal replikere. Modellernes succes krierium er ikke nødvendigvis a ramme de observerede spread, men a være indikaor for udviklingen i dee. il beregning af modellernes eoreiske spreads anvendes Microsof Excel, sam isual Basis Applicaion, da dee er ilsrækkelig il daa omfange i denne opgave. Afhandlingen vil ikke indeholde en gennemgang af den prakiske implemenering af modellerne i Excel. Kodning i Excel vil ske på baggrund af de i eori afsnie udlede formler. Den prakiske implemenering af modellerne vil ikke blive direke verificere i opgaven. erificeringen vil bero på den generelle es af modellerne. På den vedlage Cdrom er de mulig a se den prakiske implemenering af koden, sam daa som ligger il grund for beregningerne. Disposiion Afhandlingen er opbygge i fire hoveddele: 1. Inrodukion. eori 3. Implemenering 4. idsserie analyse Inrodukionen har il formål a give en grundliggende inrodukion il kredimarkede sam en beskrivelse af Credi defaul swaps. Dee afsni vil bidrage med en generel forsåelse af Credi defaul swaps sam definiion af ermer, som anvendes senere i afhandlingen. eori afsnie inroducerer læseren overfor eorien, som senere vil ligge il grund for fassæelsen af spreade på Credi defaul swaps. Forløbe i eori afsnie vil være re del: 1. Forklarende. Analyserende 3. Reflekerende 8 s i d e

9 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen I den forklarende del vil vi beskrive og forklare hvorledes de oprindelige modeller er opbygge og idegrundlage for modellerne. Dee afsni besår primær af en maemaisk udledning af formler il besemmelse af spreade på Credi defaul Swaps. Den analyserende del besår af en gennemgang af modellernes egenskaber, heri eser vi, hvorledes modellernes oupu varierer i forhold il valge af inpu paramere. Den Reflekerende del af eori afsnie besår af en diskussion af modellernes egenskaber og anagelserne bag modellerne. Heri vil vi komme med argumener for og imod modellernes anvendelse i praksis. Afsnie om implemeneringen af modellerne omhandler anvendelsen af disse, primær med fokus på besemmelse af inpu. Afsnie indledes med en gennemgang af inpuparamerene il modellerne. Denne gennemgang vil indeholde en analyse og diskussion af besemmelsen af de vigigse inpu variable. Afsnie afslues med en analyse af modellernes resulaer, frembrag ved forskellige inpu variable. idsserie analyse afsnie beror på resulaerne af den prakiske implemenering af modellerne. Formåle med dee afsni er a ese hvorledes modellerne performer over en længere idshorison. Afsnie danner basis for en konklusion om hvorvid de forskellige modelyper er prakisk anvendelige. 9 s i d e

10 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Inrodukion il kredimarkede Dee afsni har il formål a inroducere læseren for kredimarkede og gennemgå nogle generelle begreber, som vil blive anvend i opgaven. Kredimarkede Oprindelig besod kredimarkede af virksomheder, som udsede obligaioner for a rejse kapial il finansiering af selskabes akivieer, men gennem de senese åri har kredimarkede opleve en eksplosiv væks. æksen i kredimarkede har primær være dreve af udviklingen af ny og il sadighed mere eksoiske krediderivaer. Især på Credi Defaul Swap markede har udviklingen være eksplosiv. 1 Mia. USD Udviklingen CDS marked Mia. USD Udviklingen krediobligaionsmarked Efer finanskrisens sar i 3.kvaral 008 er der dog ske e fald i den udsede mængde af CDS konraker som følge af den generelle siuaion på de finansielle markeder. CDS markede har i høj grad være anvend il spekulaion, og i forbindelse med den generelle nedrapning af risiko i de finansielle markeder er den udesående mængde af CDS er således også bleve reducere. CDS en har udvikle sig fra a være e kredideriva, der ypisk havde en underliggende virksomhed, il i dag a have flere underliggende virksomheder. Dee er e resula af, a de i højere grad også er bleve anvend il spekulaion end ren risikoafdækning. Raings Risikoen på de forskellige virksomheders gæld varierer krafig, og der er således en beydelig udfordring i a vurdere risikoen på en given virksomhedsobligaion. En overordne segmenering af virksomhedernes krediværdighed findes i form af raings fra selskaber som Moody s, S&P og Fich. 1 Bis.org og isda.org - Saisik Money-zine.com 10 s i d e

11 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Credi Risk Moody's Sandard and Poor's Fich Raings Invesmen Grade Highes Qualiy Aaa AAA AAA High Qualiy Aa AA AA Upper Medium A A A Medium Baa BBB BBB Non-Invesmen Grade Lower Medium Ba BB BB Lower Grade B B B Poor Grade Caa CCC CCC Speculaive Ca CC CC No Paymens / Bankrupcy C D C In Defaul C D D Ovensående abel viser raing kaegorierne fra de re selskaber. Der skelnes imellem invesmen grade og non-invesmen grade obligaioner, hvor non-invesmen grade kaegorien sarer ved BB. Fordelen ved raings er a de giver en konsisen meode il a vurdere og sammenligne krediværdigheden for forskellige virksomheder. Krediraings spiller en sor rolle i kredimarkede, både som indikaor for hvordan obligaioner skal handle relaiv il hinanden, men også som krierium for hvilke grænser e inveseringsmanda skal have. Eksempelvis kan en pensionsfond have e inveseringsmanda, der ikke må placere midler i obligaioner, som har en lavere raing end AA og dermed sikre en vis kvalie af inveseringen. En raing skal søge a reflekere flere ing. Ifølge S&P 3 er de vigigse aspek a give en vurdering af risikoen for falli, ide dee er den ulimaive risiko for en obligaionsejer. Sekundære aspeker, der kan påvirke raingen, er obligaionens priorie i forhold il den øvrige gæld sam forvenningen il recovery ved falli. Nedensående abel illusrerer den gennemsnilige akkumulerede fallisandsynlighed for de forskellige raings. En invesor med en porefølje besående af B raede obligaioner og en horison på 4 år, vil se fra e hisorisk perspekiv, kunne forvene en samle falli på 0,1 pc. 3 Sandard and Poor s, 009b 11 s i d e

12 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen abellen viser, a man med rimelighed kan forvene, a en højere raing medfører en mindre falli sandsynlighed. S&P ilsiger, a raings skal være generelle og uafhængige af branche-ype, men man bør anvende raings på værs af sekorer med sor omhu. Ideel se anvendes raings beds il sammenligning af virksomheder inden for samme branche, da man hermed kan anage, a de underliggende markedsforhold er rimelig æ beslægede. Nedenfor ses en graf fra NYU, som viser hvordan den forvenede merpræmie er indenfor forskellige raing klasser. bps.500 Kredi spreads, US comp AAA AA A+ A A- BBB BB+ BB B+ B B- CCC CC C D 4 De ses, a der er en sor korrelaion mellem de observerede sandsynligheder for falli og de forvenede merafkas i forhold il den risikofrie rene. 4 hp://pages.sern.nyu.edu/~adamodar/new_home_page/daafile/raings.hm 1 s i d e

13 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Recoveryraes abellen nedenfor viser de hisoriske recoveryraes i perioden fra 198 il 008 og i årene 007 og 008 esimere af Moodys. Recoveryraes i denne forbindelse defineres som den værdi en kredior kan redde af sin invesering fra den konkursrame virksomhed. Average Corporae Deb Recovery Raes Measured by Pos-Defaul rading Prices Issuer-Weighed alue-weighed Bank Loans Sr. Secured 63.4% 68.6% 69.9% 49.0% 78.3% 6.1% Second Lien 40.4% 65.9% 50.4% 36.6% 65.8% 49.8% Sr. unsecured 9.8% %.6% % Bonds Sr. Secured 58.0% 80.5% 5.3% 45.9% 81.7% 53.0% Sr. unsecured 33.8% 53.3% 36.4% 6.% 56.9% 3.4% Sr. Subordinaed 3.0% 54.5% 31.7% 10.4% 67.7% 6.4% Subordinaed 3.6% % 7.3% % Jr. Subordinaed % % Pref. Sock % % rus Pref. 8.6% % 1.7% % Recoveryraerne i 008 var lave se i forhold il de hisoriske gennemsni, og i særdeleshed i forhold il 007. De værdi vægede recoveryraes ligger især under gennemsnie. Dee skyldes primær krakkene i den finansielle sekor, hvor recoveryraen for Lehman og flere islandske banker var mege lave. I nedensående abel ses e udsni af finansielle firmaer som gik falli i 008 Senior Unsecured Bond Recovery Raes for Financial Insiuion Defauls in 008 Defaul Sr. Unsecured Company olume Bond Recovery Lehman Brohers Holdings, Inc. Us 10, % Kauphing Bank hf Iceland 0, % Glinir banki hf Iceland 18, % GMAC LLC Us 17, % Washingon Muual Bank Us 13,6 6.5% Residenial Capial, LLC Us 1, % Landsbanki Islands hf Iceland 1, % Washingon Muual, Inc. Us 5, % GMAC of Canada Ld Canada % Downey Financial Corp. Us % Fremon General Corporaion Us % Luminen Morgage Capial, Inc. Us % riad Financial Corporaion Us % Franklin Bank Corp. Us % GMAC Inernaional Finance B.. Holland % 13 s i d e

14 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Spredningen på recovery raerne var mege sor. Dog er der, som nævn i ovensående afsni, en endens il a de sore firmaer har give en lavere recoveryrae end de små. Ovensående abeller giver således også e indryk af kompleksieen i a besemme en meningsfyld recovery rae indenfor en enkel branche. 14 s i d e

15 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Credi defaul swap I dee afsni vil vi beskrive seuppe for en sandard credi defaul swap. i vil indlede med en beskrivelse af hvilke elemener, der ypisk indgår i en konrak. Herefer vil vi illusrere, hvordan cashflowe mellem køber og sælger af konraken finder sed, hvordan en kredibegivenhed defineres sam hvordan bealingen besemmes i ilfælde af, a der indræffer en kredibegivenhed. Dernæs vil vi ved brug af e eoreisk eksempel vise hvorfor man kan anage, a afkase på en credi defaul swap i eorien svarer il afkase på en ilsvarende krediobligaion. Afsnie afslues med en kor gennemgang af nogle konkree anvendelsesmuligheder for credi defaul swaps. Konraken En credi defaul swap (CDS) er e bilaeral kredi-deriva, som har il formål a yde forsikring i ilfælde af en kredibegivenhed for en virksomhed. CDS en er e OC produk, men konraken er som regel en sandardisere konrak fra he Inernaional Swaps and Derivaives Associaion (ISDA). Denne konrak vil ypisk specificere følgende forhold: Reference virksomhed Reference obligaion Konrakens løbeid Kredibegivenhed Recovery anagelser Denne sandardisering af konraken gør, a de er nemmere a sammenligne forskellige konraker, da de hermed har samme juridiske grundlag. Cashflow Den grundlæggende anke bag CDS en er, a køberen af CDS en bealer en fas præmie il sælgeren, som bealing for sælgerens forpligelse il a beale køberen e på forhånd definere beløb i ilfælde af a reference virksomheden miser evnen il a beale sine forpligelser eller på anden måde misvedligeholder de i konraken definerede forpligigelser. Konraken er basere på en underliggende enhed, som eksempelvis kan være en eller flere virksomheder. 15 s i d e

16 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen irksomheden kaldes for reference enheden, eller den underliggende virksomhed, og danner grundlage for konraken. En CDS konak kan konsrueres både med en specifik kredi/obligaion som reference, eller med hele virksomhedens usikrede gæld som de underliggende il konraken. Parerne indgår en afale om den nominelle værdi af konraken, og præmiebealingen beregnes herefer som en procendel (e anal basispunker) af de nominelle beløb. Gennem konrakens løbeid bealer køberen en løbende præmie il sælger, enen frem il udløb, eller il der opsår en kredibegivenhed. Såfrem der opsår en kredibegivenhed i konrakens løbeid, vil sælgeren af CDS en være konraklig forpligige il a beale køberen de i konraken afale beløb. Udløb CDS konraken kan udløbe som følge af en af følgende begivenheder Enen udløber konraken kredibegivenhed indræffer Ifølge ISDA er der seks generelle kaegorier, hvor køberen af beskyelse kan kræve, a sælgeren skal indfri sin forpligigelse. Hver af disse kaegorier definerer en kredibegivenhed 5 Konkurs Manglende bealing Bealingshensand / bealingsudsæelse Øge gældsæning Misligholdelse af gælden Resrukurering af virksomhed Den enese fakor, som har mere relevans for CDS en i konrakuel forsand, end definiionen på en kredibegivenhed, er definiionen af den underliggende fordring. 5 Wagner, s i d e

17 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Afvikling af kredibegivenhed I ilfælde af en kredibegivenhed specificerer konraken, hvorledes køberens bealing skal finde sed. De vil ypisk ske på én af følgende måder Fysisk levering. Sælgeren bealer den nominelle værdi af de underliggende akiv il køberen, som derimod skal levere de underliggende akiver il sælger. Dee er den mes udbrede form for levering 6. Fysisk levering har den ulempe, a de kan medføre e shor squeeze, såfrem spekulaion har medfør, a den udesående mængde af CDS er har oversege den nominelle værdi af virksomhedens obligaionsudsedelse. Konan afregning. Sælgeren bealer forskellen mellem den underliggende obligaions værdi og den nominelle værdi af konraken Fas bealing. Sælger bealer e på forhånd definere beløb il køberen af konraken Recoveryraen er andelen af den nominelle værdi af en obligaion, som sælgeren af CDS en kan redde fra virksomheden efer en kredibegivenhed. Selvom en virksomhed går falli kan en fordring sadigvæk have værdi i forhold il invesoren. Recoveryraen har en væsenlig beydning i kredimodeller og vil blive behandle nærmere senere i rapporen. 6 Wagner, s i d e

18 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen CDS spreads og renen på krediobligaioner Ud fra e ingen arbirage argumen er de mulig approksimaiv a besemme spreade på en CDS. Hvis en invesor sammensæer en porefølje besående af en -årig krediobligaion og en CDS på en ilsvarende obligaion, vil poreføljen være næsen risikofri under anagelse af, a den enese risiko for den udsede obligaion i forhold il en risikofri obligaion er konkursrisikoen. Dermed skal en porefølje besående af en kredi obligaion sam en CDS give e afkas svarende il den risikofrie rene. Ide arbirage ikke er mulig, skal poreføljen give e afkas på x = y s Hvor s spread på CDS en. y afkas på krediobligaion x afkas på risikofri obligaion Såfrem afkase på poreføljen afviger fra dee afkas, vil der være en arbirage mulighed, enen ved a sælge poreføljen og købe den risikofrie obligaion eller omvend. i anager a den risikofrie renesrukur er flad og konsan, og a CDS en og krediobligaionen har sammenfaldne bealingsidspunker. Eksempel En invesor køber en porefølje besående af en CDS, sam en beholdning af den underliggende krediobligaion med en nominel værdi svarende il swappens nominelle værdi. Denne porefølje giver nøjagig de samme cashflow, som en -årig sasobligaion, der har samme løbeid som poreføljen. 18 s i d e

19 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Kredi obl CDS Sas obl Cashflow (par)* (par)* =0 -B(0) 0 G(0) 0 =1 y -s -x 0 = 1+y -s -1-x 0 Falli, τ Recovery 1-Recovery -G(τ) 1-G(τ)=0* * flad, konsan renesrukur De ses hermed, a poreføljen replikerer cashflowe fra den -årige sasobligaion og dermed må s være de korreke CDS spread, da der ellers ville opså arbirage muligheder. Dee er dog beinge af, a både krediobligaionen og sasobligaionen handler il kurs pari, a de har ens kupondage og udløb sam a renesrukuren er flad og konsan. Anvendelse af CDS konraker Anvendelsesmulighederne for CDS konraker er mange, men kan overordne deles op i re kaegorier Risikosyring Invesering/spekulaion Indikaor Risikosyring per definiion er en CDS en forsikringskonrak på en virksomhed. Dermed kan konraken bruges i forbindelse med syring af kredirisiko. På ilsvarende vis kan CDS en bruges il en redukion af modparsrisiko. Invesering i sede for a invesere direke i krediobligaioner, kan en invesor skrive en CDS på den underliggende virksomhed. Dee kan give en kredi eksponering il virksomheden uden en ilsvarende kapialbinding. Desuden kan spreade mellem bud og udbuds renerne være mindre for CDS er som følge af en højere likvidie i CDS markede. Indikaor Hull, Perdescu og Whie viser, a CDS markede er en leading indikaor for både akie og obligaionsmarkede 7. Derudover mener Backshall, a CDS spreads er en god approksimaion for markedsvurderingen af en virksomheds fallisandsynlighed. 8 7 Hull, Perdescu og Whie, Backshall, s i d e

20 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen i har med dee afsni give en overordne beskrivelse af CDS er, og hvordan de i praksis fungerer. I de eferfølgende vil vi beskæfige os med de eoreiske aspek vedrørende prisfassæelse af kredirisiko. 0 s i d e

21 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen eori I dee afsni vil vi gennemgå de eoreiske grundlag for re modeller il prisfassæelse af kredirisiko: Meron, Black-Cox og Hull-Whie modellerne. i sarer afsnie med en kor inrodukionen il emne fallimodeller. Derefer gennemgår vi Meron modellen og udleder prisformlen i Black-Cox modellen og Hull-Whie modellen. Afsnie afslues med en gennemgang og diskussion af de kriiske anagelser for modellerne. Inrodukion il fallimodeller Der er o primære modelklasser, srukurelle- og inensiesmodeller, som beskriver fallier bland krediobligaioner og andre finansielle insrumener. Srukurelle modeller ager udgangspunk i virksomhedernes fundamenale daa, såsom akiverne og gældens værdi il besemmlse af falliidspunke. Merons model var den førse moderne fallimodel, og den berages som den grundlæggende og mes basale srukurelle model. I Merons model går virksomheden falli, såfrem værdien af virksomhedens akiver er lavere end summen af virksomhedens forpligelsers ved gældens udløb. En anden meode indenfor de srukurelle rammer blev indfør ved Black og Cox. I Black-Cox seuppe indræder falli så snar værdien af virksomhedens akiver falder under en på forhånd definere fallibarriere. I modsæning il Merons ilgang, kan falli i Black-Cox indræde på e hvilke som hels idspunk i gældens løbeid. Den anden klasse af modeller er inensies modeller. De udrykker ikke forholde mellem virksomhedens akiver og passiver eksplici. I de grundlæggende inensiesmodeller besemmes falliidspunke som en hændelse i en poissonprocess. Som følge af dee kan man i disse modeller, i modsæning il de srukurelle modeller, ikke besemme idspunke for falli via udviklingen i virksomhedens akiver og passiver. Paramerene, som ligger il grund for besemmelsen af poissonprocessen, udledes direke fra markedsdaa. ariaionen i inensiesmodeller er sor, lige fra modeller som beskriver possionprocessen med sokasisk inensie (CIR proces) il den simple Hull- Whie model, som besemmer fallisandsynligheder direke fra obligaionsmarkede. Mellem de o yderpunker srukurelle og inensiesmodeller, findes modeller som Leland s opimale kapialsrukurmodel, der søger a udvide Merons model med en opimal kapialsrukur ilgang, hvor virksomhedens kapialsrukur besemmes inern i modellen. 1 s i d e

22 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen De srukurelle modeller udrykker kredikvalieen af virksomheden via virksomhedens økonomiske og finansielle forhold. Falli i denne klasse af modeller er endogen generere i modellerne, i sede for a være eksogen give som i inensiesilgangen il falli. En væsenlig forskel mellem de o ilgange il falli er definiionen af recovery raes. I de srukurelle modeller bliver recovery raerne besem ud fra værdien af virksomhedens akiver og passiver, mens recovery raerne i inensiesmodellerne er eksogen definere. s i d e

23 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Srukurelle modeller I dee afsni vil vi gennemgå eorien bag de srukurelle modeller. i sarer med en gennemgang af den basale srukurelle model Meron. Efer gennemgangen af Meron modellen bevæger vi os videre il en udvidelse af Meron modellen, som er udled af Black-Cox. Black-Cox modellen inroducerer mulighed for falli på alle idspunker i obligaionens løbeid og en eksogen falli barriere il de srukurelle seup. Når eorien bag modellerne er gennemgåe vil vi ese modellernes følsomhed overfor inpu variablene. Meron modellen Anagelser Meron modellen berager e selskab, hvis kapialsrukur besår af o elemener, gæld og egenkapial. irksomheden har i de simplese ilfælde udelukkende én gældsudsedelse i form af en nulkuponobligaion med udløb på id. Akionærerne i selskabe disponerer over selskabes akiver. ed gældens udløb skal akionærerne beale hovedsolen D ilbage il obligaionsejerne. Ide akionærerne har begrænse hæfelse, vil de udelukkende ilbagebeale gælden såfrem værdien af akiverne er sørre end gældens hovedsol. Hvis dee ikke er ilfælde, overdrages akiverne il obligaionsejerne, som vil opnå en recovery svarende il værdien af akiverne. Med udgangspunk i denne ankegang vil payoff srukuren il obligaionsejerne B sam egenkapialen S, se ud på følgende måde på id. B S = min( D, = max( ) = D max( D D,0),0) 10 Payoff obligaionsejere 10 Payoff akionærer Payoff Payoff ærdi af virksomhed ærdi af virksomhed De fremgår af payoff srukuren, a egenkapialen kan opfaes som en europæisk call opion på selskabes akiver med srike D, svarende il hovedsolen af selskabes gæld. Samidig kan 3 s i d e

24 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen obligaionsejernes payoff ses som forskellen mellem en risikofri obligaion og en europæisk pu opion med en srike svarende il hovedsolen af selskabes gæld. Med udgangspunk i disse anagelser er de mulig a anvende Black-Scholes opionseori il prisfassæelse af virksomhedens gæld og egenkapial. Ide Meron modellen er basere på Black-Scholes opions eori anages de derfor indledningsvis, a vi befinder os i e Black-Scholes seup. Dee indebærer følgende anagelser. Akiverne følger en sokasisk proces på formen d = µ d + σ dz hvor dz er en wienerproces og værdien af virksomheden kan skrives Som = exp ( r 0, σ + σ ) 0 5 W Akivernes afkas er normal fordel korsalg er illad Ingen ransakionsomkosninger eller skaer Ingen dividender i opionens løbeid Ingen arbirage muligheder ærdipapirhandel er koninuer Den risikofrie rene er konsan og renesrukuren er flad ærdi af gæld og egenkapial I modellen er de er udelukkende akionærerne sam obligaionsejerne, der modager bealing fra selskabes akiver. Dermed ses der i modellen bor fra konkursomkosninger. Der er desuden ingen skaer og skaefordele ved a udsede gæld. Hermed er selskabes akiver lig med værdien af egenkapial plus gæld. = B + S En konsekvens af denne sammenhæng er, a valge af gældens sørrelse ikke ændrer på værdien af akiverne. Modigliani-Millers eori om kapialsrukur bliver dermed anvend direke i modellen. 4 s i d e

25 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen 5 s i d e ærdien af en europæisk pu og call opion kan besemmes udfra følgende udryk jf. Black-Scholes opions eori 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ) ( ) ( 1 d N d N De P d N De d N C r r = = hvor ( ) ( ) d d r D d = + + = σ σ σ 1 1 0,5 ln ed a anvende de lukkede formler for værdien af en europæisk call og pu opion, kan værdien af virksomhedens gæld og egenkapial besemmes på id ud fra følgende udryk. ( ) ( ) r D P De B r D C S r = =,,,,,,,, ) ( σ σ Da Modigliani-Millers kapialsrukureori er anvend direke i modellen, kan værdien af virksomhedens gæld også udrykkes som residuale af virksomhedens akiver og værdien af egenkapialen ),,,, ( r D C B = σ Kredispread I sede for a se på værdien af virksomhedens gæld, er de mere prakisk a se på modellens forvenede afkas når der ikke indræffer falli ( )( ) [ ] ( ) B D y y B D log 1,, exp = = Ses afkase i forhold il den relevane benchmark renekurve fås kredispreade 9 John Hull, 006

26 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen s (, ) = y(, ) r Egenskaber ved Meron modellen Ide gælden prissæes ud fra værdien af en risikofri obligaion sam en pu opion, vil prissæningen af gælden få følgende egenskaber B er sigende i. Dee skyldes a værdien af pu opionen falder ved signing i. Ren inuiiv er denne egenskab også fornufig, ide obligaionsejerne silles bedre såfrem virksomhedens akiver siger i værdi. B er sigende i D. Dee ses beds udfra følgende sammenhæng B = S, hvis D siger vil værdien af call opionen falde, dee vil forøge værdien af B. Dee kan ses som e resula af, a Modigliani-Millers eori om kapialsrukur er direke implemenere i modellen. Inuiiv er denne egenskab ikke en syrke ved modellen, a en signing i virksomhedens gældssæning skulle sænke renen på gælden virker ikke sandsynlig. B er faldende i r. ærdien af en call opion er sigende i r, dermed vil B falde da = B + S er upåvirke af sammensæningen af kapialsrukuren. Inuiiv er egenskaben god, ide obligaionspriserne falder ved en sigende rene. B er faldende i. Prisen på obligaionen falder jo længere løbeiden er. De er diskoneringen af den risikofrie obligaion, der er den dominerende effek. B er faldende i σ. olailieen øger værdien af både call- og pu-opionen. Således vil en signing i akivvolailieen flye værdi fra obligaionsejerne il akionærerne. 6 s i d e

27 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen 100% Akiv subsiuion Gæld Egenkapial 80% ærdi 60% 40% 0% 0% 5% 10% 15% 0% 5% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% akiv volailie 100% Ovensående graf illusrerer hvordan volailieen er afgørende for værdifordelingen i virksomheden. Inuiiv er de en meningsfuld egenskab. Obligaionsejerne har sørre risiko for, a virksomhedens akiver er mindre værd end gælden, når akiverne har en høj volailie. Derfor kræver invesoren en højere rene, hvis denne skal finansiere akivieer i en mere volail virksomhed. Risikoen for akivsubsiuion hånderes ofe ved covenans i forbindelse med gældsudsedelser. I den simple Meron model anages de, a akivvolailieen ikke kan ændres over gældens løbeid. Flere gældsklasser Meron modellen har mulighed for a håndere flere gældsklasser. Modellen kan således prisfassæe gældsklasser, der er prioriere i forhold il hinanden. En kapialsrukur besående af o gældsklasser sam egenkapial, vil i Meron modellen kunne repræseneres på følgende måde. B B sen jun = = S = C C(, DS ) C(, DS ) C(, DS + DJ ) (, D + D ) S Seniorgælden kan prissæes som om de er den enese gældsklasse der eksiserer. Dermed anvendes hovedsolen for seniorgælden som srike i den anvende call opion. Junior gælden kan opfaes som værdien af en call opion med en srike på hovedsolen af seniorgælden minus værdien af en call opion med en srike på hovedsolen af den samlede gæld. Sidsnævne call opion svarer il værdien af egenkapialen. J 7 s i d e

28 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Prioriere gæld Senior gæld Junior gæld Egenkapial 60 Payoff ærdi af virksomhed Ovensående graf illusrerer payoff funkionerne for en kapialsrukur med re elemener. 10 Fallisandsynlighed Fallisandsynligheden i Merons model svarer il sandsynligheden for, a værdien af virksomhedens akiver er under den nominelle værdi af virksomhedens gæld ved udløb af gælden på id. P ( W < ln D) ( ln < ln D) = P ln + ( r ½σ )( ) + σ ( ) P W ln + < D ( r ½σ )( ) ( ) σ ln + = φ D ( r ½σ )( ) ( ) σ = N d I Black-Scholes opions model svarer dee il sandsynligheden for a opionen bliver indfrie. ( ) 10 Hovedsolen for senior og junior gæld er hhv. 50 og 60 8 s i d e

29 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Black-Cox I dee afsni vil vi gennemgå eorien bag Black-Cox modellen, vi sarer med a gennemgå forudsæningerne for modellen, hvorefer vi laver en kor gennemgang af modellens parameerfølsomhed. Afsnie afslues med besemmelse af fallisandsynligheden i Black-Cox modellen. Inrodukion I den klassiske Meron model kan falli udelukkende opså ved obligaionens udløb. Black og Cox lavede en udvidelse il dee seup der sikrede, a falli også kunne opså i obligaionens løbeid. I Black Cox seuppe anages de, a virksomheden går falli, såfrem markedsværdien af virksomhedens akiver rammer en given barriere. Hvis barrieren rammes vil obligaionsejerne gøre krav på virksomhedens akiver, og derigennem forsøge a dække deres ilgodehavende. Barrieren skal opfaes som en covenan i forbindelse med gældsudsedelse. Akivprocessen i Black-Cox modellen kan som i Meron modellen beskrives ved processen d = ( r a) d + σ dw 9 s i d e

30 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen hvor en koninuer dividende udbealing er illad i form af a og W repræsenerer en Brownsk bevægelse. Fallibarrieren I den klassiske Black-Cox model defineres fallibarrieren som en funkion af iden C1( ) = C exp( γ ( )) hvor γ 0 og de anages a den udsede nulkuponobligaion har hovedsol D sam a irksomhedens værdi er give ved følgende udryk D > C. σ + σ = 0 exp(( r a) 0, 5 W irksomheden kan gå falli på o måder enen er værdien af virksomhedens akiver lavere end gældens hovedsol ved udløb D eller også indræffer falli hvis værdien af virksomhedens akiver rammer fallibarrieren inden gældens udløb 0 exp(( r a) 0,5σ + σw = C exp( γ ( )) i lader τ beegne falliidspunke, hvor følgende er gældende for τ { 0 : log + (( r a) 0,5σ ) + σw = log C ( )} τ = inf γ τ 0 { 0 : σw + ( r a 0,5σ γ ) = log C log γ} = inf 0 hvilke svarer il førse gang en brownsk bevægelse med drif rammer e given niveau C. 30 s i d e

31 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Udbealing il obligaionsejere ed udløb udbeales enen gældens hovedsol eller værdien af virksomhedens akiver il obligaionsejerne B(, ) = min(, D)1 τ Dee svarer il payoff i Meron modellen korrigere for a virksomheden kan gå falli før gældens udløb. Dee er dog under forudsæning af, a barrieren ikke er ram inden udløb. Rammes barrieren vil de udløse følgende payoff il obligaionsejerne B τ ) τ 1 ( τ, = C1( ) { τ } { f } I de følgende anages de, a vi sår på idspunk 0 således a både er id il udløb sam udløbsdao. ærdien af virksomhedens gæld skal prisfassæes i o scenarier, ved udløb og ved falli. 1. Den forvenede værdi af bealing ved udløb på id, se fra id 0 B m [ exp( r ) min(, D) ] γ ) = E 1 τ (,, D, C, { f }. Den forvenede værdi af en bealing, såfrem værdien af virksomhedens akiver rammer falli barrieren, se fra id 0 De anages a ( 0) >. 0 C 1 B [ τ τ ] γ 1 b (,, D, C, ) 1 I de følgende prisfassæer vi de o scenarier hver for sig. = E exp( r ) C ( ) { τ } Gældens værdi ved udløb Obligaionens payoff ved udløb kan omskrives således, a denne svarer il forskellen mellem en risikofri obligaion og en pu opion på virksomhedens akiver. 31 s i d e

32 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen B(, ) = min(, D)1 τ B(, ) = D1 { f } { τf } + min( D,0) 1{ τf } B(, ) = D1 { τf } max( D,0) 1{ τf } Forskellen fra Meron modellen er, a ovensående kun er gældende såfrem barrieren ikke er bleve ram i obligaionens løbeid. Dermed skal der værdiansæes en obligaion og en pu opion, hvis løbeid afhænger af hvorvid barrieren bliver ram. Dee kan løses ved a anvende prismekanismen fra barrier opioner. Obligaionen og pu opionen i ovensående udryk kan således opfaes som henholdsvis en down and ou bond og en down and ou pu opion, hvor virksomheden er de underliggende akiv. De specielle ved disse yper af konraker er, a de ophører med a eksisere såfrem en given barriere rammes, hvilke i modellen svarer il, a virksomheden går falli. Indledningsvis ser vi på konrakerne med en anagelse om a fallibarrieren er konsan, selvom barrieren i Black-Cox ikke er konsan. Dee korrigeres eferfølgende. Udfra pu-call parieen for down and ou opioner 11 kan vi udlede følgende udryk + ( D ) 1 + { τf } = D1{ τf } + ( D) 1{ τf } 1{ τf } En down and ou pu opion er således lig med værdien af en down and ou bond plus en down and ou call minus en down and ou konrak på de underliggende akiv. Obligaionens payoff ved udløb kan dermed opskrives ved brug af ovensående pu-call parie for down and ou opioner. Prisen på obligaionen er således lig med forskellen mellem en down and ou 11 omas Björk, s i d e

33 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen 33 s i d e konrak, der bealer akivværdien såfrem barrieren ikke er bleve ram, og en down and ou call opion. { } { } { } { } D D D f f f f τ τ τ τ 1 ) ( 1 1 ) ( = For a prisfassæe disse o konraker definerer vi værdien af en konrak, som bealer 1 ved udløb såfrem værdien af virksomheden er sørre end e given niveau L. + = L N r L H σ 0,5σ ) ( ) / log( ) exp( ),, ( L repræsener barrieren og ) ( N er den kumulaive normalfordeling. En down and ou konrak kan prisfassæes ved følgende udryk 1 ),, ( ) ( ),, ( ),, ( ) ( ),, ( 1) ) / (( 1) ) / (( & D L C L L L C L L H L L L H L Con BS r BS r O D + = σ σ hvor ),, ( L C BS er en sandard Black-Scholes call opion med srike L og spokurs. En down and ou call opion kan prisfassæes fra udrykke 13 ),, ( ) ( ),, ( 1) ) / (( & D L C L D C Call BS r BS O D + = σ hvor L er lig med eller mindre end sriken på opionen. Udrykke for prisen på payoff ved udløb kan hermed besemmes som forskellen mellem en down and ou konrak på virksomheden og en down and ou call opion. O D O D m Call Con L D B & & ),,, ( = 1 omas Björk, 1998, lemma omas Björk, 1998, proposiion 13.17

34 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen B m L ((r / σ ) 1) L (,, D, L) = L H (,, L) L( ) H (,, L) + C L ((r / σ ) 1) L L( ) CBS (, D, ) C BS (, D, ) L ((r / σ ) 1) L + ( ) CBS (, D, ) BS (, L, ) Ovensående udryk vil vi anvende il a finde prisen på obligaionens payoff ved udløb i Black-Cox modellen. Ikke konsan fallibarriere I Black-Cox modellen er fallibarrieren ikke konsan, så for a anvende ovensående udryk skal vi modificere Black-Cox modellen således, a fallibarrieren bliver konsan. Dee opnås ved a omskrive processen for de underliggende akiv, således a drifen i fallibarrieren er indehold i akivprocessen. For a gøre barrieren konsan ganges igennem med exp ( γ ) De kræver dog, a akivprocessen også forlænges på ilsvarende vis., dermed fjernes drifen fra barrieren. i definerer dermed en ny proces Y for de underliggende akiv ved Y = exp( γ) Ide har drifen r afår processen Y, ved brug af IÔ s lemma, drifen 14 r a γ. For a vi kan anvende vores udryk B m skal vi omskrive den risikofrie rene il r a γ og definere værdien af down and ou call opionen og down and ou konraken med den nye risikofrie rene. Hændelsen ingen falli i obligaionens løbeid kan under de nye forudsæninger skrives som { τ > } = { exp( γ) > C exp( γ )} for alle [ 0, ] 14 Jens Dick, s i d e

35 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Og call opionens payoff ved udløb som + + ( D) 1 f = exp( γ ) exp( γ ) Dexp( γ ) 1 > { τ } [ ] { τ } De forvenede payoff for en down and ou call opion under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q, kan skrives som B m = E = E Q Q = exp = exp( + [ exp( r )[ D] 1{ τf }] + [ exp( r ) exp( γ ) exp( γ )[ D] 1{ τf }] Q + ( ( r γ ) ) E [ exp( γ )[ D] 1{ τf }] Q + a ) exp ( r a γ ) E ( Y D exp( γ ) 1 ) [ ] [ ] { τ > } Dee er neop værdien af en sandard barrier call opion med Y som de underliggende akiv, hvor drifen r a γ svarer il den risikofrie rene under de risikoneurale sandsynlighedsmål Q. Den konsane falli barriere bliver neop C exp ( γ ), og opionens srike værdi bliver D ( γ ) exp. På ilsvarende vis kan værdien af de underliggende akiv omskrives således, a vi kan benye sandard prisfassæelses meoder for down and ou konraker. Dermed har vi omskreve processen for virksomhedens værdi, således a drifen fra barrieren er indehold i akivprocessen i sede for barrieren, som nu er konsan. Hermed kan vi anvende de idligere udlede udryk for B m med en korrekion af inpu paramerene. B m ( γ ),, D exp( γ ), L exp( γ ) = ConD& O Call D& O ( exp Payoff ved falli De ande scenarium, der skal prisfassæes, er værdien af bealingen se fra id 0, såfrem virksomheden går falli i obligaionens løbeid. ærdien af bealing ved falli udrykkes ved B b. I modellen er falli definere som førse gang værdien af de underliggende akiver rammer fallibarrieren. idligere beskrev vi 35 s i d e

36 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen τ { 0 : σw + ( r a 0,5σ γ ) = log C log γ} = inf 0 som idspunke, hvor en brownsk bevægelse førse gang rame en konsan barriere C. il dee idspunk søger vi a finde værdien af virksomheden, når barrieren rammes. i sarer med a se på den forvenede værdi af en brownsk bevægelse med drif µ, når den førse gang rammer en konsan barriere Hvor = inf{ 0 : W b} barriere b. b = ( b, ) µ = E (exp( ατ b ) 1{ τ } τ angiver førse idspunk, hvor den brownske bevægelse rammer en given b il dee formål skal vi beregne e udryk på formen u( 0, x) = E C exp( α s) ϕ x 0, X ( s) ds hvor ϕ ( ) er førse idspunk en brownsk bevægelse med drif µ rammer en på forhånd definere, X s barriere C. C og α er konsaner hvor α = r γ. Skrives virksomhedens værdi på denne form fås a µ ( b, ) C exp( ατ ) p ( τ ds) = b b 0 µ hvor p ( τ ds) b er æheden for falli idspunkeτ b. µ De anages a fordelingen for falliidspunke i Black-Cox modellen p ( τ ds) b kan beskrives ved 15 P µ ( τ b 0 ) = exp( µ b 0,5µ s) p ( τ ds) 0 b 15 Karazas og Shreve, s i d e

37 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen 37 s i d e og dermed kan æheden for falli idspunke b τ for den brownske bevægelse med drif µ udrykkes ved ) ( ) 0,5 exp( ) ( 0 ds p s b ds p b b = τ µ µ τ µ Ovensående æhed benyes il a omskrive udrykke for værdien af virksomheden når barrieren rammes således a = b ds p s b s b 0 0 ) ( ) 0,5 )exp( exp( ), ( τ µ µ α ved a forlænge udrykke med brøken ) exp( ) exp( α µ α µ + + b b kan vi opnå samme form som for fordelingen af falliidspunke µ P ved ) ( ) ) 0,5( exp( ) exp( ) exp( ), ( 0 0 ds P s b b b C b b = τ α µ α µ α µ µ Dermed opnås a værdien, såfrem den brownske bevægelse med drif µ rammer barrieren, er give ved ) ( ) exp( ) exp( ), ( P b b C b b + = + τ α µ µ α µ I Black-Cox modellen søger vi idspunke, hvor værdien af virksomhedens akiver rammer barrieren C { } C a r W γ γ σ σ τ = + = ) / log( ) 0,5 ( : 0 inf 0 hvilke også kan skrives som = + = σ γ σ γ σ τ C a r W ) / log( ) 0,5 ( : 0 inf 0

38 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen hvor W er en brownsk bevægelse, ( r a 0,5σ γ ) σ er drifen og log( C / 0 ) γ σ angiver barrieren. * r a 0, 5σ γ Sæes µ = og b σ * log( C / 0 ) γ = σ { 0 : W * b * + = } τ = inf µ fås a Og dermed kan de idligere udlede resula ( b, ) for en brownsk bevægelse med drif µ således anvendes. ærdien af payoff når falli indræder bliver dermed * * * exp( µ b ) ( b, ) = C exp * * exp( b b µ + α ) * µ ( ) + α γ P ( τ ) ~ * Defineres µ = µ + α kan fordelingen for P jvf. Lando 16 skrives som P µ ~ b ~ µ ( ) ( ) exp( ~ b τ b = N + µ b) N( ~ µ + ~ µ ) Nuidsværdien af bealingen såfrem akivværdien rammer barrieren bliver dermed ~ ~ µ B b (,0,, C, γ, a) = C exp ~ ) exp( bµ ) exp( µ b) b µ + ( ) ( ) + exp( ~ b γ N µ b) N( ærdien af en obligaion i Black-Cox modellen kan dermed prisfassæes ved brug af de udlede udryk for hhv. ilfælde når ingen falli indræffer og når fallibarrieren bliver ram. Dee kan udrykkes som 0 m B = B + B b Fallisandsynlighed I Black-Cox modellen svarer fallisandsynligheden il sandsynligheden for a en brownsk bevægelse svarende il værdien af virksomhedens akiver rammer en eksponeniel voksende fallibarriere David Lando, 004. Appendix B.3 38 s i d e

39 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen P ln + ln B ( ) ( µ a ½σ ) ln ln B = φ ln ln B + φ σ σ ( µ a ½σ ) µ a ½σ + exp ln B σ Egenskaber ved Black-Cox modellen I de følgende undersøges Black-Cox modellens egenskaber og sammenlignes med Meron. De grundlæggende egenskaber, som er gennemgåe i afsnie om Meron modellen, er også gældende for Black-Cox model. Der vil dermed kun blive fokusere på de egenskaber, som er karakerisiske for Black- Cox. Som udgangspunk anvendes en model virksomhed, som er 110 værd og har en udesående gæld med hovedsol 90. Barrieren er 80, og drifen i denne er 0,65 pc. Renen er 5 pc., og akivernes volailie er 0 pc. Der udbeales ingen dividende. I de ilfælde, hvor disse værdier ikke anvendes anføres de i eksen. Indledningsvis illusreres forskellen på spreade i Meron og Black-Cox modellen. 150 Løbeid bps Mer on Black- Cox -100 id Black-Cox modellen har lavere spreads end Meron modellen, når modellerne ager udgangspunk i de samme værdier. Dee skyldes, a barrieren opræder som en deb covenan i Black-Cox og forårsager a falli indræffer, så snar værdien af virksomhedens akiver falder under barrieren. I Black-Cox opsår negaive spreads fra 5 år og frem. Dee skyldes, a værdien af barrieren på de længere idshorisoner oversiger værdien af en ilsvarende risikofri obligaion. Dee medfører negaive spreads. 17 Pael, Pereira, s i d e

40 Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen 60% Fallisandsynligheder 50% 40% 30% 0% Meron Black- Cox 10% 0% id På ovensående graf er de implicie fallisandsynligheder i Meron og Black-Cox modellerne illusrere. På rods af højere fallisandsynligheder i Black-Cox opnår modellen alligevel e lavere spread end i Meron. Dee er e resula af, a obligaionsejerne er sikre en bedre recovery i Black-Cox. I Black-Cox er obligaionsejerne minimum sikre værdien af barrieren på e given idspunk, hvorimod man i Meron har risiko for a abe hele sin invesering. Derudover vil en idlig falli give en idlig udbealing il obligaionsejerne, hvilke er mere værdifuld som følge af idsværdien af penge. Dermed minimeres risikoen for e sor ab i Black-Cox hvilke forårsager lavere spreads. Black-Cox modellen er lang mindre følsom overfor volailieen end Meron. Dee skyldes ligeledes den indføre barriere, der virker som deb covenan..000 olailie Meron Black- Cox - 0% 0% 40% 60% 80% -400 olailie 40 s i d e