Eksamentræning i mekanik, 10020/22/24, 2012

Transkript

1 Eamentræning i meani, 1//4, 1 Opgae 1 En lod ende af ted fra en pændt fjeder. Ført urer loden lang et andret underlag, der er glat. Ved B drejer underlaget opad, og på det rå tye fra B til C er der frition. Kloden, om an betragte om en partiel, har farten = 15 m/ ed punt B, og der er ie noget energitab i forbindele med retningiftet i punt B. Følgende data er giet: Mae af lod, m = 5. g. Fjederontant, = 3 N/m. Kineti fritionoefficient på det rå tye, =.3. Det rå tye inel med andret, = 4 A a) Hor meget er fjederen preet ammen, inden den yder loden af ted? b) Hor langt ommer loden op ad råplanet, inden den topper (punt C)? c) Had må der ræe af den tatie fritionoefficient på det rå tye for at loden ie rider ned af det rå tye igen. Hi dette ra ie an opfylde, hor tor blier accelerationen for loden, når den rider nedad igen?

2 Opgae En motor drier et inghjul rundt, om it på tegningen nedenfor til entre. For at unne måle hor hurtigt inghjulet drejer rundt, er der oenpå inghjulet anbragt et måleapparat. Tegningen herunder ier måleapparatet mere præcit. Måleapparatet betår af en ugle med mae m og radiu r, der an foryde lang en inne. Kuglen holde fat af en fjeder med fjederontant. Fjederen har en lap (utrat) længde, x, om angiet herunder. Den anden ende af fjereden idder fat på en tang, der er anbragt lige i omdrejningaen for inghjulet. Når hjulet drejer rundt med en gien inelhatighed, følger uglen med rundt og berier en cirelbane. Fjederen il, når hjulet drejer rund, ære forlænget i forhold til in utrate længde. Følgende data er giet: Kuglen mae m:.3 g. Fjederen lappe (utrate) længde x :.1 m Fjederontant : 144 N/m a) Had er fjederen forlængele, når inghjulet inelhatighed er 4 rad/? Af ierhedmæige årager ræe det, at motoren er i tand til at breme inghjulet ned fra en inelhatighed på 4 rad/ til rad/ i løbet af 5. eunder. Følgende data er giet for inghjulet: Singhjulet mae, M: 1 g. Singhjulet radiu, R:.4 m b) Hilet raftmoment al motoren mindt unne leere, for at opfylde raet til at unne breme inghjulet ned på den ræede tid?

3 Opgae 3 To identie ugler beæger ig ned ad to identie råplaner, dog med den forel, at der på råplanet til entre ie er nogen frition. I råplanet til højre er der tiltræelig med frition til at uglen ruller. Kuglerne anbringe i punt A, holde fat og lippe å. a) Vi, at når uglerne lodrette højde er formindet med H, er forholdet 5 mellem dere lineære hatigheder = 7. 1 Opgae 4 En ugle med mae m = 7. g ligger i hile på jorden. En ugletøder amler uglen op fra jorden og tøder den. Kuglen lander i den andrette aftand L = m fra det punt hor uglen lippe. Puntet, hor uglen lippe, ligger i højden h =. m oer jorden. Når uglen lippe, danner den hatighed en inel på o θ = 43 med andret. a) Betem farten af uglen i det øjebli den lippe. b) Hor tort et arbejde har ugletøderen udført på uglen?

4 Opgae 5 Ved at ubbe med ontant raft til en hældende blyant, an man få blyanten til at accelerere retlinet lang bordet, uden at blyanten ælter. Blyanten an opfatte om en tynd, homogen tang med maen M og længden L. Der ubbe med en ontant, andret raft F nedert på blyanten. Bordet an antage at ære glat. a) Tegn et raftdiagram for blyanten. Betem normalraften på blyanten, accelerationen af blyanten amt blyanten inel med andret. Opgae 6 Et hjul betår af to ringe med radierne r og R (de to ringe er fatgjort til hinanden med tynde metalrør, men da die ie har nogen betydning for inertimomentet eller maen af hjulet, er de ie it i figuren). Her ring har maen M. Hjulet drie fremad ed at toppuntet af den indre ring påire af en andret raft F, horefter hjulet ruller på jorden. a) Tegn et raftdiagram for hjulet. b) Betem hjulet inelacceleration. c) Had al der gælde om den tatie fritionoefficient µ for at den berene beægele er mulig?

5 Opgae 7 Et tranportbånd tranporterer må aer med ontant fart. Efter et andret tye ommer aerne ud på et halcirelformet tye. Den tatie fritionoefficient mellem aer og tranportbånd er µ. Her ae har maen m. a) Tegn et raftdiagram ( free-body diagram ) for aen, når den befinder ig på cirelbuen og tadig beæger ig med farten. Betem udtry for henholdi normalraften og fritionraften om funtion af inlen θ (e figuren). Betem ogå et udtry for farten i den nænte ituation. b) Vi, at den inel, θ, ed hilen aerne begynder at glide i forhold til 1 tranportbåndet tilfredtiller ligningen coθ inθ =, hor R µ gr betegner radiu af halcirlen og g tørrelen af tyngdeaccelerationen. Opgae 8 Til afprøning af emner følomhed oerfor ammentød benytte optillingen iteret i figuren til højre. Det emne, der al underøge blier placeret på et bord (i figuren en ae med mae m ). Kaen udætte for et tød med en hammer (det grå objet i figuren). Hammeren betår af en lang, tynd tang med længde L og mae M, der er at ammen med et tyndt hammerhoed, der har bredde d og ligelede mae M. Hammeren er ophængt i puntet O og an rotere fritionfrit omring en andret ae, der er inelret på papiret plan. For at tete emnet hæe hammeren, å den tynde tang ligger andret, og hammeren lippe herefter fra hile. O a) Vi, at inertimomentet af hammeren med henyn til rotationaen er 4 1 I = M L + d. ( 3 1 ) Inertimomentet af hammeren, I, an herefter antage at ære en endt tørrele, der i det følgende al benytte ed angiele af ar. Hammeren lippe fra en ituation hor tangen holde andret, og rammer herefter aen i et elati tød. b) Betem hammeren inelhatighed ω, umiddelbart før den rammer aen.

6 c) Optil en eller flere ligninger, horaf hammeren inelhatighed ω 3, umiddelbart efter den har ramt aen, an betemme, udtryt ed endte tørreler. Der al ie udlede en formel for ω 3. Opgae 1 løning a) Der er ingen frition på det andrette tye, å i an benytte energibearele. Energibearele: U A + K A = U B + KB 1 1 m x + = + mb x = B =.61 m b) Vi an benytte en energibetragtning på tyet fra B til C. Lad l ære træningen loden beæger ig opad råplanet. X-ae opad råplanet, y-ae inelret herpå. N1(y): F = n mg coθ = Energibetragtning: y U + K + W = U + K B B frition C C 1 + mb µ nl = mgl inθ mb B mb µ mg coθl = mgl inθ l = = = 13.1 m mg ( inθ + µ coθ ) g ( inθ + µ coθ ) n=m g co(θ) m g in(θ) n µ S m g co(θ) c) Et raftdiagram for ituationen er it i figuren heroer, den tatie frition er maimal. N1(x): F = µ n mg inθ = N1(y): F = n mg coθ = x y µ mg coθ mg inθ = µ = tanθ =.839 I raftdiagrammet oenfor an µ ertatte med µ hi loden glider nedad igen. N(x): ma = µ n mg inθ N1(y): F = n mg coθ = x x y ( co in ) 4.6 m/ a = g µ θ θ = B

7 Opgae løning a) Radial ae med nulpunt i centrum for cirelbeægelen. N(rad): ma = x rad Kinemati: arad = = ω R = ω ( x + x + rugle ) R mω ( x + r ugle ) x = mω ( x + x + rugle ) x = mω mω ( x + rugle ) b) Kinemati: IMS(CM): x = =.55 m mω mω ( x + rugle ) x = =.75 m mω ω = ω + α = α = ω = t 1 Iα = τ τ = MR α = 64 Nm med x =.1 m med x =.1 m t 8 rad/ Opgae 3 løning a) Da der un er oneratie ræfter inoleret benytter i energibearele. Den potentielle energi ætte til nul i uglerne lutpoition. Ren tranlation: Energibearele: U1 + K1 = U + K 1 mgh + = + m = gh Tranlation og rotation. Energibearele: U1 + K1 = U + K 1 1 mgh + = + mr ω + m Kinemati: = rω Forholdet mellem luthatighederne er: 5 mgh + = + m + m = m = gh gh = = 7 1 gh

8 Opgae 4 løning a) For en ateparabel har i for et råt at der tarter i origo, at g Kateparabel: y = tanθ x x co θ Vi indætter de endte ærdier for nedlagpuntet, hi oordinater er ( L, h) g Kateparabel: h = tanθ L L co θ 1/ gl Find farten: = = 13.3 m/ co θ ( tanθ L + h) b) Vi benytter arbejdætningen; un ugletøderen og tyngderaften udfører arbejde. 1 Arbejdætn.: K = m = W + W ugletøder tyngderaft 1 1 Wugletøder = m Wtyngderaft = m + mgh = 77 J Opgae 5 løning a) Kraftdiagrammet er it her til højre. Vi oprier N i andret for blyanten, N lodret og impulmomentætningen mht. maemidtpuntet. Kendte: m, L, F Uendte: a, n, θ N( ): ma = F N1( ): F = n mg = L L IMS(CM): τ = n coθ F inθ = n = mg F a = m mg tanθ = F y

9 Opgae 6 løning a) Kraftdiagrammet er it til højre. b) Uendte: ax, α, f, n Vi oprier N i andret og lodret retning, impulmomentætningen mht. maemidtpuntet amt den inematie ammenhæng mellem tranlation og rotation. N( ): Max = F f N( ): Ma = n Mg = IMS(CM): ( ) Kinemati: y M r + R α = Fr + fr ax = Rα F r + R α = M r + 3R c) Vi må ræe at uligheden f µ n er opfyldt. Vi betemmer de indgående tørreler. ( + 3R ) ( + 3 ) ( ) MRF( r + R) F r R rr R F R r f = F Max = F MRα = F = = M r r + 3R r + 3R Det e, at fritionraften er poiti, d. f peger i den tegnede retning. N( ) gier n = Mg. Uligheden for tati frition er f µ n. Indættele af udtryene for den tatie frition og normalraften gier: ( R r) F µ Mg r + 3R.

10 Opgae 7 løning a) Vi oprier N for radial og tangentiel beægele, og huer at farten er ontant, horfor a tan =. N(rad): marad = m = mg coθ n R N(tan): matan = mg inθ f = n = mg coθ m R f = mg inθ b) Frition: f µ n Indæt udtryene for normalraften og fritionraft i uligheden for den tatie frition, og benyt lighedtegn for maimal frition: N(rad): mg inθ = µ mg coθ m R 1 diider med m og omri: = coθ inθ gr µ Opgae 8 løning a) Inertimomentet beregne ed hjælp af parallelaeteoremet: I = I + I = 1 ML + 1 Md + ML = M 4 L + 1 d ( ) ( ) ( ) tang hammerhoed 3 tang 1 hammerhoed 3 1 1: betegner ituationen hor tangen holde andret : betegner lige før ammentødet 3: betegner lige efter ammentødet b) 1 ytemet er hammer; i benytter energibearele; U = på bordet. Hammeren maemidtpunt ligger i aftanden fra O. U1 + K1 = U + K += + = c) 3 ytemet er hammer og ae; i benytter energibearele amt impulmomentbearele U + K = U + K + Iω = + m + Iω L = L3 + Iω = m3l + Iω3