Integralregning ( 23-27)

Transkript

1 Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() = + ) f() = 7 ln() c) f() = ln() + 9 d) f() = cos() 6 sin() Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() = ln() ln() ep(ln() ) ) f() = + c) f() = ln() + d) f() = + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f ( ) = 6 ) f ( ) =, c) f ( ) = d) f ( ) = Bestem ved håndkraft hvert af de uestemte integraler a) f ( ) = 7 ep( ) ) f ( ) = ( 7 + ) c) f ( ) = (ep( ) + ep( )) d) f ( ) = (ep( ) + ep( )) 6 Bestem ved håndkraft hvert af de uestemte integraler a) f ( ) = ) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = ( ) 7 Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() = ( + ) ) f() = ep( + ) c) f() = sin( + ) d) f() = ln( + ) Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() = ( + ) ) f() = (6 + ) sin( + ) c) f() = cos( + 6) d) f() = ln( + ) 9 Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne ep( ) + a) f ( ) = ) f ( ) = ep( ) c) f ( ) = ( + ) (ln( ) + ) d) f ( ) = sin( ) (cos( ) + )

2 -7 Side Bestem ved håndkraft for hver af funktionerne den stamfunktion til funktionen hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,): a) f() = ( ) ) f() = 6 ( 7) c) f() = 6 ( ) d) f() = ( ) ( ) Bestem ved håndkraft for hver af funktionerne den stamfunktion til funktionen hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,): a) f ( ) = ) f ( ) = 7 + c) f ( ) = + 9 d) f ( ) = Bestem ved håndkraft for hver af funktionerne den stamfunktion til funktionen hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,): a) f() = cos( ) ) f() = sin(6 ) c) f() = ( ) sin( ) d) f() = cos( ) Bestem ved håndkraft for hver af funktionerne den stamfunktion til funktionen hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,7): a) f() = ep( + ) ) f() = ep( + ) c) f() = ( + ) ep( + + ) d) f() = ( + ) ep( + 6) Bestem ved håndkraft for hver af funktionerne den stamfunktion til funktionen hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (, ): a) f() = ) f() = + c) f() = e + d) f() = Bestem den stamfunktion til funktionen f ( ) = + hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,) 6 Bestem den stamfunktion til funktionen f ( ) = ln( + ) hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,7) 7 Bestem samtlige stamfunktioner til funktionen Bestem samtlige stamfunktioner til funktionen f ( ) = sin( ) f ( ) = Bestem samtlige stamfunktioner til funktionen f() = cos()

3 -7 Side Bestem den stamfunktion til funktionen f ( ) = ep( ) hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,) Bestem den stamfunktion til funktionen f ( ) = ln( + ) hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,6) Bestem den stamfunktion til funktionen f ( ) = ep( + ) hvis graf går gennem punktet med koordinatsæt (,7) Bestem den stamfunktion til funktionen + f ( ) = (ln( )) der går gennem punktet med koordinatsæt (,) Betragt funktionen f med forskrift f() = Bestem de to stamfunktioner til funktionen f hvis grafer har førsteaksen som tangent Betragt funktionen f med forskrift f() = + Bestem eventuelle stamfunktioner til funktionen f hvis grafer har linjen med ligning y = + som tangent 6 Betragt funktionen f med forskrift f() = ep( + ) Bestem eventuelle stamfunktioner til funktionen f hvis grafer har linjen med ligning y = + som tangent 7 Betragt funktionen f med forskrift f() = ep( + ) ep( ) Bestem eventuelle stamfunktioner til funktionen f hvis grafer har linjen med ligning y = som tangent Betragt funktionen f med forskrift f() = + ep() Bestem eventuelle stamfunktioner til funktionen f hvis grafer har linjen med ligning y = + som tangent (Du må her nøjes med tilnærmede værdier)

4 -7 Side 9 Betragt funktionen f med forskrift f() = ln( ) Bestem eventuelle stamfunktioner til funktionen f hvis grafer har linjen med ligning y = 7 som tangent Lad f være en funktion der er defineret i [ ;], og som har en stamfunktion F Taellen viser nogle værdier for funktionen f og stamfunktionen F: f( ) 6 F() 9 9 Beregn hvert af integralerne a) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) Lad f være en funktion der er defineret i [ ;], og som har en stamfunktion F Taellen viser nogle værdier for funktionen f og stamfunktionen F: f() 7 6 F( ) Beregn hvert af integralerne a) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) Lad f være en funktion der er defineret i [;], og som har en stamfunktion F Taellen viser nogle værdier for funktionen f og stamfunktionen F: 6 f( ) 7 F( ) 6 6 Beregn hvert af integralerne a) f ( ) 6 6 ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) Lad f være en funktion der er defineret i [ ;], og som har en stamfunktion F Taellen viser nogle værdier for funktionen f og stamfunktionen F: f() 6 7 F() 7 Beregn hvert af integralerne a) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) d) f ( )

5 -7 Side Det oplyses at Bestem hvert af integralerne f ( ) =, f ( ) = 7 og g( ) = 9 9 a) f ( ) Det oplyses at ) ( f ( ) + g( )) c) ( f ( ) + g( )) f ( ) =, f ( ) = og f ( ) = Bestem hvert af integralerne 6 6 a) f ( ) ) f ( ) 6 c) f ( ) d) f ( ) 6 Det oplyses at f ( ) Bestem hvert af integralerne = 7, f ( ) = 6 og g( ) = 6 a) f ( ) ) ( f ( ) g( )) c) ( f ( ) g( )) 7 Bestem ved håndkraft hvert af integralerne: a) ( + ) ) ( + ep( )) 6 π/ π/ c) cos( ) Bestem ved håndkraft hvert af integralerne: a) ( 6) ) (ln( ) + ) c) + 9 Bestem ved håndkraft hvert af integralerne: a) ) c) Bestem ved håndkraft hvert af integralerne: a) ) ( + ) ep( ) c) ln( + ) Bestem ved håndkraft hvert af integralerne: a) ( ) ( 6 + ) ) (ep( ) + ) (ep( ) + ln( ))

6 -7 Side Bestem hvert af integralerne: 7 a) + 6 ) sin( + ) Bestem hvert af integralerne: a) (ep( ) ) ) ( ln( )) c) ( 9 ln( )) Bestem ved håndkraft konstanten k så k ( + ) = 7 Bestem ved håndkraft konstanten k så ( k ) = 6 Bestem konstanten k så k = 7 Bestem konstanten k så 6 ( + k ) = Bestem konstanten k så 7 + k = 9 Et cas-program giver solve s ep =, s s = 969 or s = - Warning: More solutions may eist Gør rede for at der kun er to løsninger til ligningen Et cas-program giver solve + s = 6, s s = 69 Warning: More solutions may eist Gør rede for at der kun kan være en løsning til ligningen Et cas-program giver solve s ep =, s s = 6 Warning: More solutions may eist Gør rede for at der kun kan være en løsning til ligningen

7 -7 Side 7 Bestem ved håndkraft tallet s så Bestem ved håndkraft tallet s så s s ( + ) = ( + ) = 6 Bestem ved håndkraft tallet t så t e = Bestem tallet t så Det oplyses, at der kun er en løsning t ln( + ) = 6 Bestem tallet t så 7 Bestem tallet t så t ( + ep( )) = 9 t ( + ) = 9 Betragt følgende resultater ) - sin ) - 66 sin Warning: Questionale accuracy a) Overvej hvilke prolemer der er med hvert af integralerne ) Tegn graferne for integranderne 9 Betragt følgende resultater ) fnint ln,, -, ) fnint ep -,, -, 777 Warning: Questionale accuracy a) Overvej hvilke prolemer der er med hvert af integralerne ) Tegn graferne for integranderne

8 -7 Side 6 Betragt følgende resultater ) ) ln Warning: Questionale accuracy ep - 9 a) Overvej hvilke prolemer der er med hvert af integralerne ) Tegn graferne for integranderne 6 Bestem ved håndkraft arealet af det egrænsede område der afgrænses af graferne for funktionerne med forskrifter f() = + og g() = + 6 Bestem ved håndkraft arealet af det egrænsede område der afgrænses af graferne for funktionerne med forskrifter f() = + + og g() = + 6 Bestem arealet af det egrænsede område der afgrænses af graferne for funktionerne med forskrifter f ( ) = + og g() = + Prøv eventuelt om du kan løse opgaven ved håndkraft 6 Bestem arealet af det egrænsede område der afgrænses af graferne for funktionerne med forskrifter f() = ep() og g() = ep() +, 6 Bestem arealet af det egrænsede område der afgrænses af graferne for funktionerne med forskrifter f() = ln() + og g() = Betragt funktionerne med forskrifter f() = og g() = a) Tjek ved indsættelse i forskrifterne at graferne skærer hinanden for =, = og = ) Bestem ved håndkraft arealet af det todelte område der afgrænses af graferne for de to funktioner 67 Betragt funktionerne med forskrift f() = og g() = Bestem arealet af det tredelte område der afgrænses af graferne for de to funktioner 6 Det oplyses at graferne for funktionerne med forskrifter f() = + og g() = afgrænser et tredelt egrænset område Bestem arealet af dette tredelte område

9 -7 Side 69 Bestem arealet af det firdelte område der afgrænses af graferne for funktionerne med forskrifter f() = 9 cos() og g() = 7 Førsteaksen og grafen for funktionen med forskrift f() = afgrænser et område i fjerde kvadrant der har et areal a) Bestem arealet af dette område ) Linjen med ligning = k, deler området i to områder der hver har et areal Bestem tallet k så de to områders arealer er lige store 7 Grafen for funktionen med forskrift f ( ) = ep( ) afgrænser sammen med linjen med ligning = k, k > og koordinatsystemets akser et område der har et areal Bestem de værdier af tallet k for hvilke arealet er 7 Betragt funktionen med forskrift f() = ep() Grafen afgrænser sammen med linjen med ligning = k, k > og akserne et område i første kvadrant A k der har et areal Grafen afgrænser sammen med linjerne med ligninger = k og = k, k > og førsteaksen et område i første kvadrant B k der har et areal a) Bestem tallet k så B k er gange så stort som A k ) Bestem k som funktion af n, n >, når B k er n gange så stort som A k 7 Betragt funktionen med forskrift f() = + Grafen afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M i fjerde kvadrant der har et areal a) Bestem arealet af M Punktmængden M deles af linjen med ligning = k i to punktmængder der hver har et areal ) Mellem hvilke grænser skal k ligge? c) Bestem tallet k så den del af M der ligger til venstre for k, er gange så stor som den del der ligger til højre for k 7 Graferne for funktionerne f() = e og g() = + afgrænser sammen med linjen med ligning = k, k > en punktmængde A k i første kvadrant der har et areal a) Bestem tallet k så arealet af A k er De to grafer afgrænser også sammen med linjen med ligning = k, k > en punktmængde B k i anden kvadrant der har et areal ) Bestem tallet k så arealerne af A k og B k er lige store 7 Førsteaksen og grafen for funktionen med forskrift f() = ( ) ln() afgrænser et egrænset område Bestem arealet af dette område 76 Førsteaksen, linjen med ligning = k, < k < 7 og grafen for funktionen med forskrift f ( ) = ln( ) 7 afgrænser et egrænset område i fjerde kvadrant a) Bestem for k = arealet af dette område ) Bestem tallet k så arealet af området er 6 77 Førsteaksen, linjerne med ligninger = og = og grafen for funktionen med forskrift f() = ln( ) afgrænser et egrænset område Bestem arealet af dette område

10 -7 Side 7 Førsteaksen, linjerne med ligninger = k og = k, k > og grafen for funktionen med forskrift f ( ) = ep( ) afgrænser et egrænset område A i tredje og fjerde kvadrant a) Bestem tallet k så arealet af dette område er ) Bestem tallet k så arealet af dette område er c) Førsteaksen, linjerne med ligninger = k og = m, k < m < k og grafen for funktionen afgrænser et egrænset område B Bestem for k = 6 tallet m, så arealet af B er halvt så stort som arealet af A 79 Førsteaksen og grafen for funktionen med forskrift f() = ep( ) sin() afgrænser et egrænset område i fjerde kvadrant Bestem arealet af dette område Figuren viser grafen for en kontinuert funktion f Funktionen har nulpunkter, der kaldes a, og c Grafen afgrænser sammen med førsteaksen to områder M og M Det oplyses at f og at f ( ) =, 76 a M a c M f ( ) =, a c a) Bestem f ( ) ) Bestem arealet af området M Figuren viser grafen for en kontinuert funktion f Funktionen har nulpunkter, der kaldes a,, c og d Grafen afgrænser sammen med førsteaksen tre områder M, M og M Det oplyses at f og at c f ( ) =, 7, f ( ) = 7, 7 a c M M a c M d d f ( ) =, 96 Bestem arealet af hvert af områderne M, M og M

11 -7 Side Figuren viser grafen for en kontinuert funktion f Funktionen har nulpunkter, der kaldes a,, c og d Grafen afgrænser sammen med førsteaksen tre områder M, M og M Arealerne af de tre områder er α(m ) =, α(m ) = 6,7 α(m ) =, Bestem hvert af integralerne M a M c f M d a) f ( ) a c ) f ( ) d c) f ( ) a d d) f ( ) Figuren viser grafen for en kontinuert funktion f Funktionen har nulpunkter, der kaldes a, og c Grafen afgrænser sammen med førsteaksen to områder M og M Det oplyses at f ( ) =, 6 a og at arealet af området M er 6, c M a c M f Bestem c f ( ) Betragt funktionerne med forskrifter f() = ln() og g() = ep() Graferne har et skæringspunkt a) Find -koordinaten til skæringspunktet og kald den s Graferne afgrænser sammen med linjen med ligning = k, k > s et område M k, der har et areal A(k) ) Bestem en forskrift for funktionen A(k) c) Bestem tallet k, så arealet er d) Bestem tallet h, så linjen = h halverer arealet i c) e) Bestem arealet af den del af M der ligger over førsteaksen f) Bestem arealet af den del af M der ligger under førsteaksen

12 -7 Side Betragt for funktionerne med forskrifter f ( ) = og g( ) = Graferne afgrænser sammen med linjen med ligning = k, k < et område M k, der har et areal A(k) a) Bestem arealet af det område udtrykt ved k ) Bestem tallet k, så arealet er 76 c) Bestem A( ) d) Bestem arealet af den del af M 6 der ligger over førsteaksen e) Bestem arealet af den del af M 6 der ligger under førsteaksen 6 Beregn ved håndkraft volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) y + 6 } drejes 6 omkring førsteaksen 7 Beregn ved håndkraft volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) y + } drejes 6 omkring førsteaksen Beregn ved håndkraft volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) y e } drejes 6 omkring førsteaksen 9 Beregn ved håndkraft volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) 6 y ln( ) } drejes 6 omkring førsteaksen 9 Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området mellem førsteaksen og grafen for funktionen med forskrift f() = + ln(), drejes 6 omkring førsteaksen 9 Beregn volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) π y cos() + +} drejes 6 omkring førsteaksen 9 Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området mellem førsteaksen og grafen for funktionen med forskrift f() = + ln(), drejes 6 omkring førsteaksen 9 Lad k være et positivt tal Betragt det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) y k + } drejes 6 omkring førsteaksen Bestem tallet k, så volumenet liver

13 -7 Side 9 Lad k være et positivt tal Betragt det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) y (sin()) + k} drejes 6 omkring førsteaksen Bestem tallet k, så volumenet liver 9 Lad a være et positivt tal Betragt det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) a y + } drejes 6 omkring førsteaksen Bestem tallet a, så volumenet liver 6 96 Lad a være et positivt tal Betragt det omdrejningslegeme der fremkommer når området {(,y) a y + + } drejes 6 omkring førsteaksen Bestem tallet a så volumenet liver 9 97 Betragt i intervallet [;] funktionerne f og g med forskrifter f ( ) = + g( ) = + og a) Gør rede for at for er g() f() ) Beregn volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer ved at dreje området mellem graferne 6 omkring førsteaksen 9 Betragt i intervallet [ π/;π/] funktionerne f og g med forskrifter f() = + cos() og g() = cos() a) Gør rede for at for π/ π/ er g() f() ) Beregn volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer ved at dreje området mellem graferne 6 omkring førsteaksen 99 Betragt i intervallet [;] for k funktionerne f og g med forskrifter f() = + k og g() = + k a) Gør rede for at for er g() f() ) Bestem tallet k så volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer ved at dreje området mellem graferne 6 omkring førsteaksen, liver Betragt funktionen med forskrift f() = + 7 6, og linjen l med ligning y = Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området mellem grafen for funktionen f og linjen l drejes 6 omkring l Betragt funktionen med forskrift f() = ep(), og linjen l med ligning y = Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området mellem grafen for funktionen f og linjen l drejes 6 omkring l

14 -7 Side Betragt funktionen med forskrift f ( ) =, 6 og linjen l med ligning y = Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området mellem grafen for funktionen f og linjen l drejes 6 omkring l Betragt funktionen med forskrift f() = (sin()), π og linjen l med ligning y = Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når området mellem grafen for funktionen f og linjen l drejes 6 omkring l Betragt området M = {(,y) y + )} Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når M drejes 6 omkring linjen l med ligning y = Betragt området M = {(,y) y ep() + } Bestem volumenet af det omdrejningslegeme der fremkommer når M drejes 6 omkring linjen l med ligning y =