Introduktion til sandsynlighedsregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til sandsynlighedsregning"

Transkript

1

2 Jens E. Overø Introduktion til sandsynlighedsregning Samfundslitteratur

3 Jens E.Overø Introduktion til sandsynlighedsregning 1. udgave udgave, 2. oplag 2001 Samfundslitteratur 2001 Grafisk tilrettelæggelse: Forfatteren Tryk: Narayana Press, Gylling Omslag: Torben Lundsted ISBN Samfundslitteratur Rosenørns Allé Frederiksberg C Telefon Telefax Alle rettigheder forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelse.

4 FORORD Denne bog er udsprunget af et notesæt til et timers kursus i sandsynlighedsregning som indledning til statistikundervisningen på HA-studiet på Handelshøjskolen i København. Både stedet og formålet har præget fremstillingen. Stedet har især præget eksempelvalget, og formålet har hele tiden dæ m pet forfatterens trang til at fortabe sig. Teksten indeholder derfor kun de for et efterfølgende grundkursus i statistik mest nødvendige begreber og sammenhænge i sandsynlighedsregningen. Formålet har også begrundet, at gennemgangen af de for statistikken centrale fordelinger x 2 -, T- og F-fordelingen er henlagt til et appendix. Det er forfatterens erfaring, at det er mest effektivt at gennemgå disse fordelinger senere i forbindelse med de statistiske anvendelser af dem. Ved opslag i fordelinger er anvendt tabelværket, Erlang S, Statistiske tabeller ved Allan C. Malmberg, Gjellerup & Gad. Sidehenvisninger hertil i teksten er til 1988-udgaven. Dette skal dog kun betragtes som en oplysning, ikke som en forudsætning for at læse bogen, da tilsvarende tabeller findes i alle andre statistiske tabelværker. Efter hvert kapitel er anbragt et resumé for at gøre det lettere at foretage opslag og for at lette en eventuel repetition. Med samme formål for øje er anbragt et emneregister bagest i bogen. Til slut skal rettes en tak til Birgit Rasmussen og Marianne Andersen, som har udført den til tider vanskelige opgave at udrede og renskrive forfatterens notater. Jens E. Overø Institut for teoretisk Statistik Handelshøjskolen i København Juli 1992

5 KAPITEL 1. SANDSYNLIGHEDSREGNING 1.1. Stokastisk eksperiment. Udfaldsrum. Hændelser Sandsynlighed. Relativ hyppighed Sandsynlighedsregningens grundregler Udfaldsrum med lige sandsynlige udfald Bayes formel Resumé. 28 KAPITEL 2. STOKASTISKE VARIABLE. FORDELINGER Stokastisk variabel Tæthed, fordelingsfunktion Det diskrete tilfælde Det kontinuerte tilfælde Flerdimensionale fordelinger Summarisk fordelingsbeskrivelse Summarisk fordelingsbeskrivelse baseret på fraktilbegrebet Summarisk fordelingsbeskrivelse baseret på forventningsbegrebet Tchebychevs ulighed Kovarians, korrelation. 58

6 Regneregler for forventning og varians Eksempler på fordelinger Binomialfordelingen Poisson-fordelingen Normalfordelingen Sammenhæng mellem fordelingerne Multinomialfordelingen Multinomialfordelingen og Poisson-fordel ingen Resumé. 106 APPENDIX. 119 INDEX. 132

7 Kapitel 1 Side 7 KAPITEL 1. SANDSYNLIGHEDSREGNING 1.1. Stokastisk eksperiment. Udfald. Udfaldsrum Sandsynlighedsregningen omhandler stokastiske (tilfældige) eksperimenter 1. Som eksempler herpå kan nævnes spil, repræsentative undersøgelser, fænomener inden for økonomi som f. eks. forbrug og investering pr. tidsenhed i et samfund, eller afsat mængde pr. tidsenhed af en bestemt vare, eller de direkte omkostninger pr. produktenhed osv. I anden forbindelse kunne man have nævnt eksempler inden for områder som landbrugsvidenskab, lægevidenskab, biologi, meteorologi, fysik mv. Resultatet af et stokastisk eksperiment kaldes et udfald, mængden af mulige udfald et udfaldsrum. Det stokastiske (tilfældige) fremkommer ved, at man ikke på forhånd kan angive resultatet af et eksperiment, men kun resultatmulighederne, udfaldsrummet. Det stokastiske eksperiment er derved afgrænset fra det deterministiske eksperiment. som netop er karakteriseret ved, at samme udfald indtræffer hver gang eksperimentet udføres. Umiddelbart kan den stokastiske beskriveisesmåde måske forekomme overflødig, eftersom alting må have en forklaring. Forsøgsbetingelserne må kunne angives så detaljeret, at udfaldsrummet reduceres til ét udfald. Man vælger imidlertid den stokastiske beskrivelsesmåde, fordi mange fænomener er så indviklede, at en fuldstændig, deterministisk beskrivelse vil være uoverskuelig. For eksempel vil afsat mængde pr. tidsenhed af en vare være bestemt af mange faktorers indvirkning. Her vil den stokastiske beskrivelsesmåde være ensbetydende med at identificere nogle få, som hovedårsager til variationen i afsætningen, og lade de andre mange faktorers indvirkning udgøre det stokastiske element. I tilfældet repræsentative undersøgelser er en fuldstændig, deterministisk beskrivelse ensbetydende med en totalundersøgelse. Her bliver valget af stokastisk beskrivelsesmåde ensbetydende med stikprøveundersøgelse, der i reglen foretrækkes, fordi en totalundersøgelse kan være for besværlig og/eller omkostningskrævende. Man vælger altså den stokastisk beskrivelsesmåde af praktiske grunde. 1 Ordet eksperiment skal ikke opfattes alt for klinisk, men snarere sidestilles med ord som fænomen eller foreteelse.

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik 6. 5. udgave 2008 2013 Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press ISBN Trykt 978-87-593-1381-7 bog ISBN

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Steen Sørensen. Kreditvurdering. Materialesamling. Samfundslitteratur

Steen Sørensen. Kreditvurdering. Materialesamling. Samfundslitteratur Steen Sørensen Kreditvurdering Materialesamling Samfundslitteratur Steen Sørensen Kreditvurdering Materialesamling 1. udgave 2003 Samfundslitteratur, 2003 Omslag: Torben Lundsted Grafisk tilrettelæggelse:

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

E-markedspladser et springbræt for dansk eksport

E-markedspladser et springbræt for dansk eksport E-markedspladser et springbræt for dansk eksport Reimer Ivang, Morten Rask og Erik A. Christensen Reimar Ivang, Morten Rask og Erik A. Christensen E-markedspladser et springbræt for dansk eksport 1. udgave

Læs mere

Projektsamarbejde med organisationer og virksomheder

Projektsamarbejde med organisationer og virksomheder NICOLINE JACOBY PETERSEN SILLE ØSTERGAARD Projektsamarbejde med organisationer og virksomheder Forlaget Samfundslitteratur Nicoline Jacoby Petersen og Sille Østergaard Projektsamarbejde med organisationer

Læs mere

Brugervenlighed på internettet

Brugervenlighed på internettet Brugervenlighed på internettet TIMME BISGAARD MUNK og KRISTIAN MØRK Brugervenlighed på internettet - en introduktion Samfundslitteratur Timme Bisgaard Munk og Kristian Mørk Brugervenlighed på internettet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Kultur! iskolebiblioteket?

Kultur! iskolebiblioteket? Kultur! iskolebiblioteket? Tom Jørgensen Kultur! iskolebiblioteket? En undersøgelse af skolebibliotekarers kulturopfattelse Roskilde Universitetsforlag Tom Jørgensen Kultur! i skolebiblioteket? En undersøgelse

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Thomas Harboe Metode og

Thomas Harboe Metode og Thomas Harboe Metode og projektskrivning - en introduktion 2. udgave Thomas Harboe Metode og projektskrivning en introduktion 2. udgave, 2. oplag 2014 Samfundslitteratur 2010 Omslag: Imperiet Grafisk tilrettelæggelse:

Læs mere

Demokrati og deltagelse i arbejdslivet

Demokrati og deltagelse i arbejdslivet Demokrati og deltagelse i arbejdslivet Niels Warring Christian Helms Jørgensen (red.) Demokrati og deltagelse i arbejdslivet Forskningsprojektet Arbejdsliv, læringsmiljøer og demokratisering Institut for

Læs mere

Markedsføringsplanlægning og -ledelse

Markedsføringsplanlægning og -ledelse Markedsføringsplanlægning og -ledelse Stig Ingebrigtsen & Otto Ottesen Markedsføringsplanlægning og -ledelse Hvordan bruge teori til at identificere, prioritere og løse praktiske markedsføringsproblemer?

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 10/11 Institution Campus Vejle Handelsgymnasie Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Statistik

Læs mere

Lærerbacheloropgaven

Lærerbacheloropgaven Lærerbacheloropgaven Lotte Rienecker og Peter Stray Jørgensen Lærerbacheloropgaven DEN STUDERENDES BOG Forlaget Samfundslitteratur Lotte Rienecker og Peter Stray Jørgensen Lærerbacheloropgaven. Den studerendes

Læs mere

Lis Højgaard KØN OG LØN - En analyse af virksomhedskultur og lønforskelle mellem kvinder og mænd i fire private virksomheder Samfundslitteratur

Lis Højgaard KØN OG LØN - En analyse af virksomhedskultur og lønforskelle mellem kvinder og mænd i fire private virksomheder Samfundslitteratur Lis Højgaard KØN OG LØN - En analyse af virksomhedskultur og lønforskelle mellem kvinder og mænd i fire private virksomheder Samfundslitteratur Lis Højgaard Køn og Løn - En analyse af virksomhedskultur

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Nedslag i børnelitteraturforskningen 3

Nedslag i børnelitteraturforskningen 3 Nedslag i børnelitteraturforskningen 3 Tom Jørgensen, Henriette Romme Thomsen, Emer O Sullivan, Karín Lesnik-Oberstein, Lars Bøgeholt Pedersen, Anette Øster Steffensen og Nina Christensen Nedslag i børnelitteraturforskningen

Læs mere

Tolkning hvor og hvordan?

Tolkning hvor og hvordan? Inge Baaring Tolkning hvor og hvordan? 3. udgave Samfundslitteratur Inge Baaring Tolkning hvor og hvordan? 1. udgave, 1992 2. udgave, 1996 3. udgave, 2001 Samfundslitteratur 2001 Tryk: Narayana Press,

Læs mere

Modul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik

Modul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................

Læs mere

louise bøttcher & jesper dammeyer En grundbog om arbejdet med mennesker med funktionsnedsættelser

louise bøttcher & jesper dammeyer En grundbog om arbejdet med mennesker med funktionsnedsættelser louise bøttcher & jesper dammeyer En grundbog om arbejdet med mennesker med funktionsnedsættelser Louise Bøttcher og Jesper Dammeyer Handicappsykologi En grundbog om arbejdet med mennesker med funktionsnedsættelse

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Folkesundhed. en introduktion til sundhedsfremme og sygdomsforebyggelse. Britta Hørdam Dorthe Overgaard Ulla Ischiel Træden Ane Friis Bendix

Folkesundhed. en introduktion til sundhedsfremme og sygdomsforebyggelse. Britta Hørdam Dorthe Overgaard Ulla Ischiel Træden Ane Friis Bendix Folkesundhed Folkesundhed en introduktion til sundhedsfremme og sygdomsforebyggelse Britta Hørdam Dorthe Overgaard Ulla Ischiel Træden Ane Friis Bendix Samfundslitteratur Britta Hørdam, Dorthe Overgaard,

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik 6. 5. udgave 2008 2013 Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press ISBN Trykt 978-87-593-1381-7 bog ISBN

Læs mere

Psykoanalyse og billedkunst

Psykoanalyse og billedkunst Psykoanalyse og billedkunst JØRGEN BRUUN PEDERSEN Psykoanalyse og billedkunst Omkring Picassos "Guernica" Roskilde Universitetsforlag Jørgen Bruun Pedersen Psykoanalyse og billedkunst Omkring Picassos

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Læs!lesLäs Læsevaner og børnebogskampagner i Norden

Læs!lesLäs Læsevaner og børnebogskampagner i Norden Læs!lesLäs Læsevaner og børnebogskampagner i Norden Anette Øster Læs!les Läs Læsevaner og børnebogskampagner i Norden Roskilde Universitetsforlag Anette Øster Læs!les Läs. Læsevaner og børnebogskampagner

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

SOCIALT ARBEJDE I ET GLOBALISERET SAMFUND

SOCIALT ARBEJDE I ET GLOBALISERET SAMFUND Helle Antczak og Helle Johansen SOCIALT ARBEJDE I ET GLOBALISERET SAMFUND 2. udgave Helle Antczak og Helle Johansen Socialt arbejde i et globaliseret samfund 2. udgave Helle Antczak og Helle Johansen

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives

Læs mere

Nedslag i børnelitteraturforskningen 2

Nedslag i børnelitteraturforskningen 2 Nedslag i børnelitteraturforskningen 2 Anna Skyggebjerg, Niels Dalgaard, Anette Steffensen, Helene Høyrup, Torben Weinreich, Bodil Kampp og Hans-Heino Ewers Nedslag i børnelitteraturforskningen 2 Roskilde

Læs mere

Et arbejdsliv i acceleration. Og så giver bogen bud på, hvordan vi skaber arbejdslivskvalitet gennem formning af arbejdspladsens tidsmiljø.

Et arbejdsliv i acceleration. Og så giver bogen bud på, hvordan vi skaber arbejdslivskvalitet gennem formning af arbejdspladsens tidsmiljø. Bogen baserer sig på et forskningsprojekt, som i samarbejde med seks virksomheder har indsamlet erfaringer med og teoretisk viden om Tiden i det grænseløse arbejde. Derudover er der gennemført eksperimenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen

Læs mere

Dansk-Kinesisk Parlør

Dansk-Kinesisk Parlør . Dansk-Kinesisk Parlør Shaola J. G. Zhou Dansk-Kinesisk Parlør Samfundslitteratur Shaola J.G. Zhou Dansk-Kinesisk Parlør 1. udgave 2001 Samfundslitteratur, 2001 Omslag: Torben Lundsted Sats: Forfatteren

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015/16 Institution Erhvervsgymnasiet Grindsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHx Matematik

Læs mere

Kulørt historie. - krig og kultur i moderne medier

Kulørt historie. - krig og kultur i moderne medier Kulørt historie - krig og kultur i moderne medier Kulørt historie - krig og kultur i moderne medier Carsten Tage Nielsen og Torben Weinreich Roskilde Universitetsforlag Carsten Tage Nielsen og Torben Weinreich

Læs mere

FLOW OG STRESS. Stemninger og følelseskultur i hverdagslivet

FLOW OG STRESS. Stemninger og følelseskultur i hverdagslivet FLOW OG STRESS Stemninger og følelseskultur i hverdagslivet CHARLOTTE BLOCH FLOW OG STRESS Stemninger og følelseskultur i hverdagslivet Samfundslitteratur Charlotte Bloch FLOW OG STRESS Stemninger og følelseskultur

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Når virksomheden åbner sit vindue

Når virksomheden åbner sit vindue Når virksomheden åbner sit vindue Når virksomheden åbner sit vindue kommunikation og formidling et corporate perspektiv Jørn Helder og Bodil Kragh (red.) Samfundslitteratur Jørn Helder og Bodil Kragh (red.)

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Poul Bitsch Olsen Lars Fuglsang & Jacob Dahl Rendtorff (red.) VIRKSOMHEDS- LEDELSE. Positioner, teorier og strategier

Poul Bitsch Olsen Lars Fuglsang & Jacob Dahl Rendtorff (red.) VIRKSOMHEDS- LEDELSE. Positioner, teorier og strategier Poul Bitsch Olsen Lars Fuglsang & Jacob Dahl Rendtorff (red.) VIRKSOMHEDS- LEDELSE Positioner, teorier og strategier 1 Poul Bitsch Olsen, Lars Fuglsang og Jacob Dahl Rendtorff (red.) Virksomhedsledelse

Læs mere

Uro og disciplin i skolen

Uro og disciplin i skolen Uro og disciplin i skolen 1 Uro og disciplin i skolen Niels Egelund, Helle Jensen og Erik Sigsgaard Tilrettelæggelse: Carsten Bendixen og Gerd Christensen Roskilde Universitetsforlag 3 Niels Egelund, Helle

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

KOM PE TEN CE KOMPETENCE HVORDAN? HVAD HVORFOR KNUD ILLERIS DEL 1: OG HER ER SIKKERT KAPITEL

KOM PE TEN CE KOMPETENCE HVORDAN? HVAD HVORFOR KNUD ILLERIS DEL 1: OG HER ER SIKKERT KAPITEL KNUD ILLERIS KOM PE TEN CE KOMPETENCE HVAD HVORFOR HVORDAN? DEL 1: OG HER ER SIKKERT KAPITEL 1 Knud Illeris er forfatter, medforfatter eller redaktør af bl.a. følgende bøger: Et deltagerstyret undervisningsforløb

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Torben Weinreich. Børnelitteratur. mellem kunst og pædagogik. Roskilde Universitetsforlag

Torben Weinreich. Børnelitteratur. mellem kunst og pædagogik. Roskilde Universitetsforlag Torben Weinreich Børnelitteratur mellem kunst og pædagogik Roskilde Universitetsforlag Torben Weinreich Børnelitteratur mellem kunst og pædagogik 2. udgave 2004 Roskilde Universitetsforlag, 2004 Omslag:Torben

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2) Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2) Klaus Hansen 4. november 23 Indhold 1 Elementære empiriske mål 1 2 Lidt sandsynlighedsregning 3 3 Fordelinger 3 3.1 Grundlæggende

Læs mere

Erving Goffman. Om afvigerens sociale identitet DEL 1: OG HER ER SIKKERT KAPITEL

Erving Goffman. Om afvigerens sociale identitet DEL 1: OG HER ER SIKKERT KAPITEL Erving Goffman Om afvigerens sociale identitet DEL 1: OG HER ER SIKKERT KAPITEL 1 2 HER STÅR FORFATTER I VERSALER OG 60 PCT. SORT Erving Goffman Stigma Om afvigerens sociale identitet På dansk ved Brian

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere

PER VEJRUP-HANSEN JOHN KONDRUP BRANCHEANALYSE ERHVERVS- OG BRANCHEBESKRIVELSE I ØKONOMISK PERSPEKTIV HANDELSHØJSKOLENS FORLAG

PER VEJRUP-HANSEN JOHN KONDRUP BRANCHEANALYSE ERHVERVS- OG BRANCHEBESKRIVELSE I ØKONOMISK PERSPEKTIV HANDELSHØJSKOLENS FORLAG PER VEJRUP-HANSEN JOHN KONDRUP BRANCHEANALYSE ERHVERVS- OG BRANCHEBESKRIVELSE I ØKONOMISK PERSPEKTIV HANDELSHØJSKOLENS FORLAG Brancheanalyse Erhvervs- og branchebeskrivelse i økonomisk perspektiv Per Vejrup-Hansen

Læs mere

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel

Læs mere

REGELSTATEN STUDIER I OFFENTLIG POLITIK. Væksten i danske love 1989-2011 MADS LETH FELSAGER JAKOBSEN PETER BJERRE MORTENSEN

REGELSTATEN STUDIER I OFFENTLIG POLITIK. Væksten i danske love 1989-2011 MADS LETH FELSAGER JAKOBSEN PETER BJERRE MORTENSEN STUDIER I OFFENTLIG POLITIK REGELSTATEN Væksten i danske love og bekendtgørel ser 1989-2011 MADS LETH FELSAGER JAKOBSEN PETER BJERRE MORTENSEN JURIST- OG ØKONOMFORBUNDETS FORLAG Studier i offentlig politik

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

At bruge historie. i en sen-/postmoderne tid

At bruge historie. i en sen-/postmoderne tid At bruge historie i en sen-/postmoderne tid At bruge historie i en sen-/postmoderne tid Bernard Eric Jensen (red.) Roskilde Universitetsforlag Bernard Eric Jensen (red.) At bruge historie i en sen-/postmoderne

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning

Læs mere

KULTURANALYSE I ORGANISATIONER

KULTURANALYSE I ORGANISATIONER Cathrine Hasse KULTURANALYSE I ORGANISATIONER Begreber, metoder og forbløffende læreprocesser Cathrine Hasse KULTURANALYSE I ORGANISATIONER Begreber, metoder og forbløffende læreprocesser Cathrine Hasse

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Udvælgelse af cases i kvalitative undersøgelser

Udvælgelse af cases i kvalitative undersøgelser Helle Neergaard Temaet for dette hæfte er udvælgelse af cases og informanter i forbindelse med kvalitative undersøgelser. Caseudvælgelsen er tæt forbundet med undersøgelsens formål, og der skal derfor

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2) Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 2) Klaus Hansen 23 september 24 Indhold Elementære empiriske mål 2 Lidt sandsynlighedsregning 3 3 Fordelinger 3 3 Grundlæggende

Læs mere