Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel"

Transkript

1 enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i ethvert (udviklings-)punkt og at graferne for de approksimerende førstegradspolynomier netop er henholdsvis tangenter og tangentplaner til de tilhørende grafer for funktionerne. I denne enote vil vi vise, hvordan funktionerne kan approksimeres endnu bedre med polynomier af højere grad. Sådanne approksimationer har enormt mange anvendelser det er meget nemmere at regne med polynomier end med andre funktioner, så hvis approksimationen til en funktion er tilstrækkelig god, så kan man bruge og regne videre med det approksimerende polynomium i stedet for funktionen selv og så iøvrigt håbe på, at den fejl man derved begår er tilstrækkelig lille. Men hvad betyder tilstrækkelig god og tilstrækkelig lille? Og hvordan afhænger det af graden på det approksimerende polynomium? Det finder du svarene på i denne enote Højere-ordens afledede Vi vil først se på funktioner f (x) af én variabel x i et åbent interval i de reelle tal. Vi vil også antage, at funktionen kan differentieres vilkårligt mange gange, altså at alle de afledede funktioner eksisterer for ethvert x i intervallet: f (x 0 ), f (x 0 ), f (x 0 ), f (4) (x 0 ), f (5) (x 0 ), osv. hvor f (4) (x 0 ) betyder den 4. afledede af f (x) i x 0. Disse højere afledede skal vi bruge til at konstruere (koefficienterne i) de approksimerende polynomier. Definition 17.1 Hvis en funktion f (x) kan differentieres vilkårligt mange gange i ethvert punkt x i et givet åbent interval I så siger vi, at funktionen er glat i intervallet I.

2 enote HØJERE-ORDENS AFLEDEDE 2 Eksempel 17.2 Højere-ordens afledede af nogle elementære funktioner Her er nogle højere-ordens afledede af nogle kendte glatte funktioner: f (x) f (x) f (x) f (x) f (4) (x) f (5) (x) e x e x e x e x e x e x x 2 2x x 3 3x 2 6x x 4 4x 3 12x 2 24x 24 0 x 5 5x 4 20x 3 60x 2 120x 120 (x x 0 ) 5 5 (x x 0 ) 4 20 (x x 0 ) 3 60 (x x 0 ) (x x 0 ) 120 cos(x) sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) cosh(x) sinh(x) cosh(x) sinh(x) cosh(x) sinh(x) sinh(x) cosh(x) sinh(x) cosh(x) sinh(x) cosh(x) (17-1) Læg mærke til, at 1. Den n te afledede f (n) (x) af funktionen f (x) = (x x 0 ) n er f (n) (x) = n (n 1) (n 2) 2 1 = n!, (17-2) hvor n! (n fakultet) er den korte skrivemåde for produktet af heltallene fra og med 1 til og med n, jævnfør tabel 17.2, hvor n! optræder med 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = Ved gentagen differentiation af cos(x) fås det samme sæt af funktioner periodisk med perioden 4: Hvis f (x) = cos(x), så er f (p) (x) = f (p+4) (x) for alle p 1. (17-3) Det samme gælder for f (x) = sin(x). 3. Ved gentagen differentiation af den hyperbolske cosinusfunktion cosh(x) fås igen det samme sæt af funktioner periodisk med perioden 2: Hvis f (x) = cosh(x) fås f (p) (x) = f (p+2) (x) for alle p 1. (17-4) Det samme gælder for den hyperbolske sinusfunktion f (x) = sinh(x).

3 enote APPROKSIMATION MED POLYNOMIER 3 Eksempel 17.3 De afledede af en knap så elementær funktion En funktion f (x) kan eksempelvis være givet ved et integral (som i dette tilfælde ikke kan udtrykkes ved de sædvanlige elementære funktioner): f (x) = x 0 e t2 dt. (17-5) Men vi kan sagtens differentiere og finde de højere afledede af funktionen for ethvert x: f (x) = e x2, f (x) = 2 x e x2, f (x) = 2 e x2 + 4 x 2 e x2 osv. (17-6) Eksempel 17.4 De afledede af en ukendt funktion Vi antager at en funktion f (x) er givet som løsning til en differentialligning med begyndelsesbetingelser i x 0 : f (x) + 3 f (x) + 7 f (x) = q(x), hvor f (x 0 ) = 1, og f (x 0 ) = 3 (17-7) hvor q(x) er en given glat funktion af x. Vi kan igen rimelig let finde de højere afledede af funktionen i x 0 ved at benytte begyndelsesbetingelserne direkte og ved at differentiere differentialligningen. Følgende fås fra begyndelsesbetingelserne og fra differentialligningen selv: f (x 0 ) = 3, f (x 0 ) = q(x 0 ) 3 f (x 0 ) 7 f (x 0 ) = q(x 0 ) + 2. (17-8) Den tredje (og de højere) afledede af f (x) fås derefter ved at differentiere begge sider af differentialligningen. F.eks. får vi ved at differentiere én gang: f (x) + 3 f (x) + 7 f (x) = q (x), (17-9) hvoraf vi får: f (x 0 ) = q (x 0 ) 3 f (x 0 ) 7 f (x 0 ) = q (x 0 ) 3 (q(x 0 ) + 2) 7 ( 3) = q (x 0 ) 3q(x 0 ) (17-10) 17.2 Approksimation med polynomier Ideen med det følgende går nu ud på at finde det polynomium, f.eks. det andengradspolynomium, som bedst approksimerer en given glat funktion f (x) i og omkring et givet x 0 i funktionens definitionsmængde Dm( f ).

4 enote APPROKSIMATION MED POLYNOMIER 4 Vi prøver derfor at skrive f (x) på følgende måde: f (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + R 2,x0 (x), (17-11) hvor a 0, a 1, og a 2 er passende konstanter der skal vælges således at restfunktionen R 2,x0 (x) er så lille som muligt i og omkring x 0. Restfunktionen kan vi udtrykke ved f (x) og det polynomium, som vi afprøver: R 2,x0 (x) = f (x) a 0 a 1 (x x 0 ) a 2 (x x 0 ) 2, (17-12) og det er denne funktion, der skal være så tæt på at være 0 som muligt når x er tæt på x 0 sådan at forskellen mellem funktionen f (x) og andengradspolynomiet bliver så lille som muligt i det mindste tæt på x 0. Det første naturlige krav er derfor at: hvorved a 0 nu er bestemt. R 2,x0 (x 0 ) = 0 svarende til at f (x 0 ) = a 0, (17-13) Det næste naturlige krav, er at grafen for restfunktionen har vandret tangent i x 0 således at tangenten til restfunktionen derefter er identisk med x aksen: hvorved a 1 er bestemt. Det næste krav til restfunktionen er derefter: R 2,x 0 (x 0 ) = 0 sådan at f (x 0 ) = a 1, (17-14) R 2,x 0 (x 0 ) = 0 svarende til at f (x 0 ) = 2 a 2, (17-15) hvorved også a 2 = 1 2 f (x 0 ) dermed er bestemt og fastlagt. Vi har dermed fundet f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + R 2,x0 (x) (17-16) hvor restfunktionen R 2,x0 (x) tilfredsstiller følgende krav som gør den meget lille omkring x 0 : R 2,x0 (x 0 ) = R 2,x 0 (x 0 ) = R 2,x 0 (x 0 ) = 0. (17-17) Hvis vi på tilsvarende måde havde ønsket at finde et approksimerende n te grads polynomium for den samme funktion f (x) havde vi fundet: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + R n,x0 (x), (17-18)

5 enote APPROKSIMATION MED POLYNOMIER 5 hvor restfunktionen R n,x0 (x) er en glat funktion der tilfredsstiller alle kravene: R n,x0 (x 0 ) = R n,x 0 (x 0 ) = = R (n) n,x 0 (x 0 ) = 0. (17-19) Det er herefter rimeligt at forvente, dels at disse krav til restfunktionen kan opfyldes og dels at de tilsammen betyder, at restfunktionen selv må ligne og være lige så lille som en potens af (x x 0 ) tæt ved x 0. Det er præcis indholdet af følgende hjælpesætning: Hjælpesætning 17.5 Restfunktioner Restfunktionen R n,x0 (x) kan udtrykkes ud fra f (x) på to ret forskellige måder, og vi skal benytte dem begge i det følgende: R n,x0 (x) = f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! hvor ξ(x) ligger imellem x og x 0 i intervallet I. (x x 0 ) n+1, (17-20) Den anden fremstilling er følgende som indeholder en epsilonfunktion: R n,x0 (x) = (x x 0 ) n ε f (x x 0 ), (17-21) hvor ε f (x x 0 ) er en epsilonfunktion af (x x 0 ). Bevis Vi vil nøjes med at indse den første påstand (17-20) i det allersimpleste tilfælde, nemlig for n = 0, dvs. følgende: I intervallet mellem (et fastholdt) x og x 0 findes altid en værdi ξ således at følgende gælder: R 0,x0 (x) = f (x) f (x 0 ) = f (ξ) (1)! (x x 0 ). (17-22) Men dette er blot en iklædning af middelværdisætningen: Hvis en glat funktion har værdierne henholdsvis f (a) og f (b) i endepunkterne af et interval [a, b], så har grafen for f (x) et sted en tangent som er parallel med det linjestykke der forbinder de to punkter (a, f (a)) og (b, f (b)), se figur Den anden fremstilling (17-21) følger af den første (17-20) ved at observere, at f (n+1) (ξ) (x (n+1)! x 0 ) n+1 er en epsilonfunktion af (x x 0 ), da f (n+1) (ξ) er begrænset og da (x x (n+1)! 0 ) n+1 selv er en epsilonfunktion.

6 enote APPROKSIMATION MED POLYNOMIER 6 Figur 17.1: To punkter på den blå graf-kurve for en funktion forbindes med et linjestykke (rød). Middelværdisætningen siger så, at der findes mindst ét sted (i det viste tilfælde præcis to steder, markeret med grønt) på kurven mellem de givne punkter hvor hældningskoefficienten f (x) for tangenten (sort) til kurven er præcis den samme som hældningskoefficienten for det rette linjestykke. Definition 17.6 Approksimerende polynomium Lad f (x) betegne en glat funktion i et interval I. Polynomiet P n,x0 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n (17-23) kaldes det approksimerende polynomium af n te grad for funktionen f (x) med udviklingspunkt x 0. Opsamlende har vi derfor:

7 enote APPROKSIMATION MED POLYNOMIER 7 Sætning 17.7 Taylor s formler Enhver glat funktion f (x) kan for ethvert n opdeles i et approksimerende polynomium af grad n og en restfunktion således: hvor restfunktionen kan udtrykkes på følgende måder: f (x) = P n,x0 (x) + R n,x0 (x), (17-24) R n,x0 (x) = f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! og R n,x0 (x) = (x x 0 ) n ε f (x x 0 ). (x x 0 ) n+1 for et ξ(x) mellem x og x 0 (17-25) Det er især Taylor s grænseformel (hvor restfunktionen udtrykkes med en epsilonfunktion) vi vil gøre brug af i det følgende. Vi nævner den version eksplicit: Sætning 17.8 Taylor s grænseformel Lad f (x) betegne en glat funktion i et åbent interval I som indeholder et givet x 0. Så gælder der for alle x i intervallet og for ethvert helt tal n 0 følgende f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε f (x x 0 ), hvor ε f (x x 0 ) betegner en epsilonfunktion af (x x 0 ), dvs. ε f (x x 0 ) 0 for x x 0.

8 enote APPROKSIMATION MED POLYNOMIER 8 Eksempel 17.9 Et polynomiums approksimerende polynomier Man kunne forledes til at tro, at ethvert polynomium er sit eget approksimerende polynomium fordi ethvert polynomium må da være den bedste approksimation til sig selv. Her er et eksempel der viser, at det ikke er så simpelt. Vi ser på tredjegradspolynomiet f (x) = 1 + x + x 2 + x 3. (17-26) Polynomiet f (x) har følgende ret forskellige approksimerende polynomier - i afhængighed af valg af udviklingspunkt x 0 og udviklingsgrad n: P 7,x0 =0(x) = 1 + x + x 2 + x 3 P 3,x0 =0(x) = 1 + x + x 2 + x 3 P 2,x0 =0(x) = 1 + x + x 2 P 1,x0 =0(x) = 1 + x P 0,x0 =0(x) = 1 P 7,x0 =1(x) = 1 + x + x 2 + x 3 P 3,x0 =1(x) = 1 + x + x 2 + x 3 P 2,x0 =1(x) = 2 2 x + 4 x 2 P 1,x0 =1(x) = x P 0,x0 =1(x) = 4 P 7,x0 =7(x) = 1 + x + x 2 + x 3 P 3,x0 =7(x) = 1 + x + x 2 + x 3 P 2,x0 =7(x) = x + 22 x 2 P 1,x0 =7(x) = x P 0,x0 =7(x) = 400. (17-27) Opgave Rest-funktioner for polynomier For funktionen f (x) = 1 + x + x 2 + x 3 betragtes følgende to opdelinger i approksimerende polynomier og tilhørende restfunktioner: f (x) = P 2,x0 =1(x) + R 2,x0 =1(x) f (x) = P 1,x0 =7(x) + R 1,x0 =7(x), og (17-28) hvor de to approksimerende polynomier P 2,x0 =1(x) og P 1,x0 =7(x) allerede er angivet i eksempel Bestem de to restfunktioner R 2,x0 =1(x) og R 1,x0 =7(x) udtrykt på begge de to måder som er vist i 17-25: For hver af de to restfunktioner angives de respektive udtryk for ξ(x) og for ε(x x 0 ).

9 enote KONTINUERTE UDVIDELSER 9 Eksempel Taylor s grænseformel med udviklingspunkt x 0 = 0 Her er nogle ofte benyttede funktioner med deres respektive approksimerende polynomier (og tilhørende restfunktioner udtrykt med epsilonfunktioner) med det fælles udviklingspunkt x 0 = 0 og vilkårlig høj grad: e x = 1 + x + x2 2! + + xn n! + xn ε(x) e x2 = 1 + x 2 + x4 2! + + x2n + x 2n ε(x) n! cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! + + ( 1)n x 2n (2n)! + x2n ε(x) sin(x) = x x3 3! + x5 5! + + x ( 1)n 2n+1 (2n + 1)! + x2n+1 ε(x) ln(1 + x) = x x ( 1)n 1 xn n! + xn ε(x) ln(1 x) = x x2 2 xn n! xn ε(x) x = 1 x + x2 x ( 1) n 1 x n 1 + x n ε(x) 1 1 x = 1 + x + x2 + x x n 1 + x n ε(x) (17-29) Bemærk, at der i Taylor s grænseformel altid afsluttes med en epsilon-funktion og med en potens af x der er præcis den samme som den sidste potens der benyttes i det foranstående approksimerende polynomium Kontinuerte udvidelser Funktionen f (x) = sin(x)/x er ikke defineret i x = 0. Vi vil undersøge, om vi kan udvide funktionen til at have en værdi i 0, således at den udvidede funktion er kontinuert i 0. Dvs. vi vil finde en værdi a, således at a-udvidelsen { sin(x) f = x for x = 0 (17-30) a for x = 0 er kontinuert i x = 0, dvs. således at sin(x) a for x 0. (17-31) x En direkte anvendelse af Taylor s grænseformel optræder ved bestemmelse af grænseværdier for sådanne brøker f (x)/g(x) hvor begge funktionerne, altså tælleren f (x) og

10 enote KONTINUERTE UDVIDELSER 10 nævneren g(x), går imod 0 for x gående imod 0. Hvad sker der med brøken når x går imod 0? Vi illustrerer med en række eksempler. Bemærk, at selv om tæller-funktionen og nævner-funktionen begge er kontinuerte i 0, så behøver brøken ikke selv at være det. Eksempel Grænseværdier for funktionsbrøker sin(x) x = x + x1 ε(x) x = 1 + ε(x) 1 for x 0. (17-32) sin(x) x 2 = x 1 3! x3 + x 3 ε(x) x 2 = 1 x x + x ε(x), (17-33) 3! som ikke har nogen grænseværdi for x 0. Derfor findes der ikke nogen kontinuert udvidelse i dette tilfælde. sin(x 2 ) x 2 1 for x 0 fordi sin(u) u 1 for u 0. (17-34) sin(x) x x 2 = x 1 3! x3 + x 3 ε(x) x x 2 = x + x ε(x) 0 for x 0. (17-35) 3! sin(x) x x 3 = x 1 3! x3 + x 3 ε(x) x x 3 = 1 3! + ε(x) 1 6 for x 0. (17-36) Ved bestemmelse af sådanne grænseværdier udvikles de approksimerende polynomier i tæller og nævner til så høje grader at grænseværdien fremkommer ved division i tæller og nævner med en potens af x. Her er et lidt mere kompliceret eksempel:

11 enote KONTINUERTE UDVIDELSER 11 Figur 17.2: Funktionen f (x) = sin(x)/x (blå) sammen med tællerfunktionen sin(x) (rød) og nævnerfunktionen x (også rød). Funktionen f (x) er kontinuert i x = 0 netop når den tildeles værdien 1 der. Eksempel Grænseværdi for funktionsbrøk 2 cos(x) 2 + x 2 x sin(x) x 2 = 2 (1 1 2! x ! x4 + x 4 ε 1 (x)) 2 + x 2 x (x 1 3! x ! x5 + x 5 ε 2 (x)) x 2 = 2 x x4 + 2 x 4 ε 1 (x) 2 + x 2 x 2 1 3! x ! x6 + x 6 ε 2 (x) x 2 = = 1 12 x4 + 2 x 4 ε 1 (x) 1 3! x ! x6 + x 6 ε 2 (x) ε 1(x) ! x2 + x 2 ε 2 (x) (17-37) 1 2 for x 0, idet tælleren går imod 1 12 for x 0 og nævneren går imod 1 6 for x 0.

12 enote VURDERING AF RESTFUNKTIONERNE Vurdering af restfunktionerne Hvor stor er den fejl man begår ved at benytte det approksimerende polynomium (som er let at regne med) i stedet for funktionen selv (som kan være kompliceret at beregne) i et givet (typisk lille) interval omkring udviklingspunktet? Det kan restfunktionen selvfølgelig give et svar på. Vi giver her et par eksempler der viser, hvordan restfunktionsudtrykket kan benyttes til sådanne fejl-vurderinger for givne funktioner. Figur 17.3: Funktionen f (x) = ln(x) fra eksempel (blå), det approksimerende første-gradspolynomium (sort) med udviklingspunkt x 0 = 1 og den tilhørende restfunktion (rød) illustreret som forskellen mellem f (x) og det approksimerende polynomium i intervallet [ 3 4, 5 4]. Til højre er zoomet ind på figuren omkring punktet (1, 0). Eksempel Approksimation af elementær funktion Logaritmefunktionen ln(x) er defineret for positive værdier af x. Vi approksimerer med det approksimerende førstegrads-polynomium med udviklingspunkt i x 0 = 1 og vil vurdere restleddet i et passende lille interval omkring x 0 = 1, dvs. udgangspunktet er følgende: [ 3 f (x) = ln(x), x 0 = 1, n = 1, x 4, 5 ]. (17-38) 4 Ifølge Taylor s formel med restfunktion har vi - idet vi udvikler i udviklingspunktet x 0 = 1 hvor f (1) = 0 og f (1) = 1 og bruger f (x) = 1/x 2 for alle x i definitionsmængden: f (x) = ln(x) = ln(1) + f (1) (x 1) + f (ξ) (x 1) 2 = x 1 1 1! 2! 2 ξ 2 (x 1)2 (17-39) for en værdi af ξ imellem x og 1. Vi har altså hermed fundet: P 1,x0 =1(x) = x 1, og R 1,x0 =1(x) = 1 2 ξ 2 (x 1)2. (17-40)

13 enote VURDERING AF RESTFUNKTIONERNE 13 Den numeriske værdi af restfunktionen i det givne interval kan nu vurderes for alle x i det givne interval - også selvom vi ikke ved ret meget om hvor ξ ligger i intervallet udover at ξ ligger imellem x og 1: Vi har R 1,x0 =1(x) = 1 2 ξ 2 (x 1 1)2 2 ξ 2 ( ) 1 2, (17-41) 4 idet minus-tegnet kan fjernes fordi vi kun ser på den numeriske værdi og idet (x 1) 2 jo klart er størst (med værdien (1/4) 2 ) for x = 3/4 og for x = 5/4 i intervallet. Derudover er ξ mindst og dermed (1/ξ) 2 størst i intervallet for ξ = 3/4. (Bemærk at vi ikke bruger her, at ξ ligger imellem x og 1 - vi bruger kun, at ξ ligger i intervallet!) Det vil sige, at 1 R 1,x0 =1(x) 32 ξ ( ) 3 2 = , (17-42) således at vi dermed har vist, at ln(x) (x 1) 1 18 for alle x [ 3 4, 5 ] 4. (17-43)

14 enote VURDERING AF RESTFUNKTIONERNE 14 Man kan med nogen ret spekulere over, hvorfor restfunktions-vurderingen af en så simpel funktion som f (x) = ln(x) i eksempel skal være så bøvlet, når det er tydeligt for enhver (!), at den røde restfunktion i det tilfælde antager sin største numeriske (absolut-)værdi i et af endepunkterne i det aktuelle interval, se figur 17.3 en påstand som vi endda kan vise med en helt almindelig funktionsundersøgelse. Ved at differentiere restfunktionen får vi jo: R 1,x 0 =1 (x) = d dx (ln(x) (x 1)) = 1 x 1, (17-44) som netop er mindre end 0 for x > 1 (sådan at R 1,x0 =1(x) til højre for x = 1 er negativ og aftagende fra værdien 0 i x = 1) og større end 0 for x < 1 (sådan at R 1,x0 =1(x) til venstre for x = 1 er negativ og voksende op mod værdien 0 i x = 1). Men problemet er, at vi i princippet ikke ved hvad værdien af ln(x) faktisk er hverken i x = 3/4 eller i x = 5/4 medmindre vi bruger Maple eller et andet værktøj til hjælp. Restfunktions-vurderingen benytter kun de definerende egenskaber ved f (x) = ln(x), dvs. f (x) = 1/x og f (1) = 0, og vurderingen giver værdierne (også i endepunkterne af intervallet) med en (numerisk) fejl på højst 1/18 i dette tilfælde. Hvis vi faktisk får serveret den oplysning, at ln(3/4) = og ln(5/4) = så har vi selvfølgelig dermed også en direkte vurdering af den største værdi af R 1,x0 =1(x) i intervallet [ 3 4, 5 4] : R 1,x0 =1(x) max{ , } = < 1/18 = (17-45) Med den almindelige funktionsanalyse får vi altså en noget bedre vurdering af restfunktionen men kun fordi vi i forvejen kan vurdere værdien af funktionen i endepunkterne. Opgave Approksimation af en ikke-elementær funktion Givet funktionen fra eksempel 17.3: f (x) = x 0 e t2 dt (17-46) Der ønskes en vurdering af størrelsen af forskellen mellem f (x) og funktionens approksimerende førstegradspolynomium P 1,x0 =0(x) med udviklingspunkt i x 0 = 0. Opgaven går altså ud på at bestemme den største absolut-værdi som restfunktionen R 1,x0 =0(x) antager i intervallet [ 1, 1].

15 enote VURDERING AF RESTFUNKTIONERNE 15 Figur 17.4: Funktionen f (x) fra eksempel (blå), de approksimerende første- og tredjegrads-polynomier (sorte) med udviklingspunkt x 0 = 0 og de tilhørende restfunktioner (røde) i intervallet [ 1, 1]. Vink: Benyt de tidligere fundne højere afledede af f (x) evalueret i x 0 = 0, jvf. eksempel 17.3: f (0) = 0, f (0) = 1, f (x) = 2 x e x2. Se figur Eksempel Approksimation af ukendt (men elementær) funktion Givet funktionen fra eksempel 17.4, dvs. funktionen tilfredsstiller følgende differentialligning med begyndelsesbetingelser: f (x) + 3 f (x) + 7 f (x) = x 2, hvor f (0) = 1, og f (0) = 3, (17-47) hvor vi har antaget, at højresiden i ligningen er q(x) = x 2 og at udviklingspunktet er x 0 = 0. Derved får vi nu: f (0) = 3, f (0) = 2, f (0) = 15. (17-48) Vi har f (x) = f (0) + f (0) x + f (0) 2 x 2 + f (0) 6 =1 3 x + x x3 + x 3 ε(x), x 3 + x 3 ε(x) (17-49) således at det approksimerende tredjegrads-polynomium for f (x) med udviklingspunkt x 0 = 0 er P 3,x0 =0(x) = 1 3 x + x x3. (17-50) Bemærk, at P 3,x0 =0(x) tilfredsstiller begyndelsesbetingelserne i (17-47) men polynomiet P 3,x0 =0(x) er ikke en løsning til selve differentialligningen!

16 enote FUNKTIONSUNDERSØGELSER 16 Figur 17.5: Funktionen f (x) fra eksempel (blå) og de approksimerende første-, anden-, og tredjegrads-polynomier (sorte) med udviklingspunkt x 0 = 0. De tilhørende respektive restfunktioner (røde) er illustreret som forskellene mellem f (x) og de approksimerende polynomier Funktionsundersøgelser En meget vigtig egenskab ved kontinuerte funktioner er følgende, som betyder at der er styr på hvor store og små værdier en kontinuert funktion kan antage på et interval, når blot intervallet er tilstrækkelig pæn: Sætning Hovedsætning for kontinuerte funktioner af én variabel Lad f (x) betegne en funktion som er kontinuert i hele sin definitionsmængde Dm( f ) R. Lad I = [ a, b ] være et begrænset, afsluttet, og sammenhængende interval i Dm( f ). Så er værdimængden for funktionen f (x) i intervallet I også et begrænset, afsluttet, og sammenhængende interval [ A, B ] R. Vi kan skrive således: Vm( f I ) = f (I) = { f (x) x I} = [ A, B ], (17-51) hvor der tillades den mulighed at A = B og det sker jo præcis når f (x) er konstant i hele intervallet I.

17 enote FUNKTIONSUNDERSØGELSER 17 Definition Globalt minimum og globalt maksimum Når en funktion f (x) har værdimængden Vm( f I ) = f (I) = [ A, B ] på et interval I = [a, b] siger vi, at 1. A er den globale minimumværdi for f (x) i I, og hvis f (x 0 ) = A for x 0 I så er x 0 et globalt minimumpunkt for f (x) i I. 2. B er den globale maksimumværdi for f (x) i I, og hvis f (x 0 ) = B for x 0 I så er x 0 et globalt maksimumpunkt for f (x) i I. En velkendt og vigtig opgave går ud på at finde de globale maksimum- og minimumværdier for givne funktioner f (x) i givne intervaller og at bestemme de x-værdier for hvilke disse maksimum- og minimum-værdier antages altså minimum- og maksimumpunkterne. For at løse den opgave er følgende en uvurderlig hjælp se figur 17.6: Hjælpesætning Maksima og minima i stationære punkter Lad x 0 være en global maksimum- eller minimum-værdi for f (x) i I. Antag, at x 0 ikke er et endepunkt for intervallet I og at f (x) er differentiabel i x 0. Så er x 0 et stationært punkt for f (x) i betydningen: f (x 0 ) = 0. Bevis Vi antyder argumentet. Da f (x) er antaget differentiabel, har vi: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 ) ε f (x x 0 ) = f (x 0 ) + (x x 0 ) ( f (x 0 ) + ε f (x x 0 )). (17-52) Hvis vi nu antager, at f (x 0 ) er positiv, så er parentesen ( f (x 0 ) + ε f (x x 0 )) også positiv for x tilstrækkelig tæt på x 0 (idet ε f (x x 0 ) 0 for x x 0 ), men så er (x x 0 ) ( f (x 0 ) + ε f (x x 0 )) også positiv for x tilstrækkeligt tæt på x 0 og dermed er f (x) > f (x 0 ) for sådanne x > x 0, og f (x) < f (x 0 ) for sådanne x < x 0. Derfor kan f (x 0 ) ikke være hverken maksimum-værdi eller minimumværdi for f (x). Tilsvarende konklusion fås med antagelsen f (x 0 ) < 0. Hvis x 0 er en global maksimum- eller minimum-værdi for f (x) i I må den antagelse derfor medføre, at f (x 0 ) = 0. Hermed har vi følgende undersøgelsesmetode til rådighed:

18 enote FUNKTIONSUNDERSØGELSER 18 Metode Undersøgelsesmetode Lad f (x) være en kontinuert funktion og I = [a, b] et interval i definitionsmængden Dm( f ). Maksimum- og minimum-værdierne for funktionen f (x), x I, altså A og B i værdimængden [A, B] for f (x) i I findes ved at finde og sammenligne funktionsværdierne i følgende punkter: 1. Interval-endepunkterne (randpunkterne a og b for intervallet I). 2. Undtagelsespunkter, dvs. de punkter i det åbne interval ]a, b[ hvor funktionen ikke er differentiabel. 3. De stationære punkter, dvs. samtlige de punkter x 0 i det åbne interval ]a, b[ hvor f (x 0 ) = 0. Ved denne undersøgelsesmetode findes naturligvis ikke blot de globale maksimum- og minimum-værdier men også de x-værdier i I for hvilke det globale maksimum og det globale minimum antages, altså maksimum- og minimum-punkterne i det aktuelle interval. Eksempel En kontinuert funktion undersøges En kontinuert funktion f (x) er defineret for alle x på følgende måde: 0.75 for x (x + 1) 2 for 1.5 x 0 f (x) = 1.5 (1 x 3 ) for 0 x 1 x 1 for 1 x 2 1 for x > 2 (17-53) Se figur 17.6, hvor vi kun betragter funktionen i intervallet I = [ 1.5, 2.0]. Der er to undtagelspunkter, hvor funktionen ikke er differentiabel: x 0 = 0 og x 0 = 1. Der er ét stationært punkt i ] 1.5, 2.0[ hvor f (x 0 ) = 0 nemlig x 0 = 1. Og endelig er der de to randpunkter, intervalendepunkterne x 0 = 1.5 og x 0 = 2 som skal undersøges. Vi har derfor følgende kandidater til globale maksimum- og minimumværdier for f (x) i I: x 0 = f (x 0 ) = (17-54) Vi aflæser konkluderende heraf, at maksimumværdien for f (x) er B = 1.5 som antages i

19 enote FUNKTIONSUNDERSØGELSER 19 maksimumpunktet x 0 = 0. Minimumværdien er A = 0 som antages i minimumpunktet x 0 = 1. Der er ikke andre maksimum- og minimum-punkter for f (x) i I. Figur 17.6: Den kontinuerte funktion f (x) fra eksempel (blå). På grafen er markeret (med rødt) de 5 punkter som skal undersøges specielt med henblik på at bestemme værdimængden for f (x) i intervallet [ 1.5, 2], jvf. metode Definition Lokale minima og lokale maksima Lad f (x) betegne en funktion på et interval I = [a, b] som indeholder et givet x 0 ]a, b[. 1. Hvis f (x) f (x 0 ) for alle x i en (gerne lille) omegn om x 0, så kaldes f (x 0 ) en lokal minimumværdi for f (x) i I, og x 0 er et lokalt minimumpunkt for f (x) i I. Hvis der faktisk gælder f (x) > f (x 0 ) for alle x i omegnen fraregnet x 0 selv, så kaldes f (x 0 ) en egentlig lokal minimumværdi. 2. Hvis f (x) f (x 0 ) for alle x i en (gerne lille) omegn om x 0, så kaldes f (x 0 ) en lokal maksimumværdi for f (x) i I, og x 0 er et lokalt maksimumpunkt for f (x) i I. Hvis der faktisk gælder f (x) < f (x 0 ) for alle x i omegnen (fraregnet x 0 selv), så kaldes f (x 0 ) en egentlig lokal maksimumværdi. Hvis den funktion vi vil undersøge er glat i sine stationære punkter, så kan vi kvalificere metoden endnu bedre, idet det approksimerende polynomium af grad 2 med udviklingspunkt i det stationære punkt kan hjælpe med at afgøre, om værdien af f (x) i det stationære punkt er en kandidat til at være en maksimumværdi eller minimumværdi.

20 enote FUNKTIONSUNDERSØGELSER 20 Hjælpesætning Lokal analyse i et stationært punkt Lad f (x) være en glat funktion og antag, at x 0 er et stationært punkt for f (x) i et interval I =]a, b[. Så gælder følgende: 1. Hvis f (x 0 ) > 0 så er f (x 0 ) en egentlig lokal minimumværdi for f (x). 2. Hvis f (x 0 ) < 0 så er f (x 0 ) en egentlig lokal maksimumværdi for f (x). 3. Hvis f (x 0 ) = 0 så er dette ikke tilstrækkelig information til at sikre, at f (x 0 ) er lokal minimumværdi eller lokal maksimumværdi. Opgave Bevis hjælpesætningen ved at bruge Taylors grænseformel med det approksimerende andengrads-polynomium fro f (x) og udviklingspunkt x 0. Husk, at x 0 er et stationært punkt, således at f (x 0 ) = 0. Eksempel Lokale maksima og minima Den kontinuerte funktionen f (x) 0.75 for x (x + 1) 2 for 1.5 x 0 f (x) = 1.5 (1 x 3 ) for 0 x 1 x 1 for 1 x 2 1 for x 2 (17-55) er vist i figur I intervallet I = [ 1.5, 2.0] har funktionen de egentlige lokale minimumværdier 0.5 og 0 i de respektive egentlige lokale minimumpunkter x 0 = 1 og x 0 = 1 og funktionen har en egentlig lokal maksimumværdi 1.5 i det egentlige lokale maksimumpunkt x 0 = 0. Hvis vi udvider intervallet til J = [ 7, 7] og bemærker at funktionsværdierne per definition er konstante udenfor intervallet I fås de nye lokale maksimum-værdier 0.75 og 1 for f (x) i J ingen af dem er egentlige lokale maksimumværdier. Alle x 0 ] 7, 1.5] og alle x 0 [2, 7[ er lokale maksimumpunkter for f (x) i J men ingen af dem er egentlige lokale maksimumpunkter. Alle x 0 i det åbne interval x 0 ] 7, 1.5[ og alle x 0 i det åbne interval x 0 ]2, 7[ er iøvrigt også lokale minimumpunkter for f (x) i J men ingen af dem er egentlige lokale minimumpunkter.

21 enote FUNKTIONSUNDERSØGELSER 21 Figur 17.7: Egentlige lokale maksima og egentlige lokale minima for funktionen fra eksempel er her antydet på grafen for funktionen. For en ordens skyld bemærkes: De lokale maksimum- og minimum-punkter for funktionen er de markerede røde grafpunkters x-koordinater og de lokale maksimum- og minimum-værdier for funktionen er de markerede røde graf-punkters y-koordinater. Eksempel En ikke-elementær funktion Funktionen f (x) f (x) = har stationære punkter i de værdier af x 0 som tilfredsstiller: x 0 cos(t 2 ) dt (17-56) f (x 0 ) = cos(x 2 0) = 0, dvs. x 2 0 = π 2 + p π hvor p er et helt tal. (17-57) Da vi også har, at f (x) = 2 x sin(x 2 ), (17-58) sådan at der i de angivne stationære punkter gælder f (x 0 ) = 2 x 0 ( 1) p. (17-59) Heraf følger via lemma at hvert andet stationært punkt x 0 langs x-aksen er et egentligt lokalt maksimumpunkt for f (x) og de øvrige stationære punkter er egentlige lokale minimumpunkter. Se figur I figur 17.8 er vist graferne (parabler) for et par af de approksimerende andengradspolynomier for f (x) med udviklingspunkter i udvalgte stationære punkter. Eksempel Når approksimation til grad 2 ikke er nok Som angivet i hjælpesætning kan man ikke ud fra f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 slutte, at funktionen har lokalt maksimum eller minimum i x 0. Det viser de tre simple funktioner i figur

22 enote FUNKTIONSUNDERSØGELSER 22 Figur 17.8: Grafen for funktionen i eksempel og to approksimerende parabler med udviklingspunkter i to stationære punkter, som er henholdsvis et egentligt lokalt minimumpunkt og et egentligt lokalt maksimumpunkt for f (x) med al ønskelig tydelighed: f 1 (x) = x 4, f 2 (x) = x 4 og f 3 (x) = x 3. Alle tre funktioner har stationært punkt i x 0 = 0 og alle har f (x 0 ) = 0, men f 1 (x) har et egentligt lokalt minimumpunkt i 0, f 2 (x) har et egentligt lokalt maksimumpunkt i 0, og f 3 (x) har hverken et lokalt minimimumpunkt eller et lokalt maksimumpunkt i 0. Figur 17.9: Tre elementære funktioner med approksimerende andengrads-polynomium P 2,x0 =0(x) = 0 for alle x. Funktionerne er henholdsvis: f 1 (x) = x 4 (rød), f 1 (x) = x 4 (sort), og f 3 (x) = x 3 (blå).

23 enote OPSUMMERING Opsummering I denne enote har vi studeret hvordan man kan approksimere glatte funktioner med polynomier. Enhver glat funktion f (x) på et interval I kan opdeles i et approximerende n tegrads-polynomium P n,x0 (x) med udviklingspunkt x 0 og en tilhørende restfunktion R n,x0 (x) således: f (x) = P n,x0 (x) + R n,x0 (x), (17-60) hvor polynomiet og restfunktionen i Taylor s grænseformel skrives således: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + (x x 0 ) n ε f (x x 0 ), hvor ε f (x x 0 ) betegner en epsilonfunktion af (x x 0 ), dvs. ε f (x x 0 ) 0 for x x 0. Taylor s grænseformel kan benyttes til at finde kontinuerte udvidelser af brøkfunktioner ved at finde (om muligt) deres grænseværdier for x x 0 hvor x 0 er de værdier hvor nævner-funktionen er 0 således at brøkfunktionen i udgangspunktet ikke er defineret i x 0 : sin(x) x = x + x1 ε(x) x = 1 + ε(x) 1 for x 0. (17-61) Vurdering af restfunktionen giver en øvre grænse for den største numeriske forskel mellem en given funktion og det approksimerende polynomium af en passende grad og med et passende udviklingspunkt i et givet undersøgelsesinterval. En sådan vurdering kan også foretages for funktioner, som måske kun kendes via en differentialligning eller som et ikke-elementært integral: ln(x) (x 1) 1 18 for alle x [ 3 4, 5 ] 4. (17-62) Taylor s grænseformel med approksimerende anden-grads-polynomium benyttes til effektiv funktionsundersøgelse, herunder bestemmelse af værdimængde, globale og lokale maksima og minima for givne funktioner.

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Elementære funktioner

Elementære funktioner enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Taylorpolynomier og Taylors sætning

Taylorpolynomier og Taylors sætning og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard Numerisk differentiation Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 25. Billeder: Forside: istock.com/iunewind Side 5: istock.com/cienpies Desuden egne illustrationer Erik

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere