matx.dk Enkle modeller

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matx.dk Enkle modeller"

Transkript

1 matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011

2 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner Bestemmelse af funktionsværdien Grafen for en lineær funktion Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter Lineær regression Bestemmelse af x ud fra regneforskrift Proportional Omvendt proportional Inverse funktioner 19 5 Eksponentielle funktioner Bestemmelse af funktionsværdien Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter Logaritmefunktionen log(x) Løsning af ligninger med logaritmer Grundmængden til logaritmiske funktioner Logaritmefunktionen ln(x) Løsning af ligninger med logaritmer ln(x) Fordoblings- og halveringskonstant Grafen for en eksponentialfunktion Eksponentiel regression Bestemmelse af x udfra regneforskrift Potens funktioner Bestemmelse af funktionsværdien Bestemmelse af forskrift ud fra to punkter

3 6.3 Grafen for en potensfunktion Potens regression Bestemmelse af x udfra regneforskrift Mere om funktioner 52 3

4 1 Indledning Matematiske modeller er en beskrivelse af virkeligheden ud fra helt bestemte forudsætninger. F.eks. en model for hvornår et tog afgår fra én station og ankommer til én anden station. Der skal afstanden mellem de to stationer og togets gennemsnitshastighed og tidspunktet hvor toget afgår være kendt. Sådan model kaldes en Togplan. Ofte sker det at toget ikke kommer på det tidspunkt, der står i togplanen. Det er fordi der er en eller flere af forudsætningerne, som ikke er opfyldt og da passer modellen ikke på virkeligheden. Inden for naturvidenskab og matematik bruges begrebet en variabel. En variabel er noget der kan varieres, dvs. ændres på. F.eks. kunne togets gennemsnitshastighed være en variabel. Togets gennemsnitshastighed kan ændres ved at toget kører hurtigere eller langsommere. En anden variabel kunne være togets afgangstidspunkt. En tredje variabel kunne være togets ankomsttidspunkt, denne variabel siges at være afhængig, fordi den anhænger af togets gennemsnitshastighed og afgangstidspunkt. Vil man undersøge sammenhængen mellem gennemsnitshastighed afgang- og ankomsttidspunkt må man kun variere på en af de uafhængige variable, ellers kan man ikke vide hvilken rolle den givne variabel spiller i sammenhængen. Når man har fundet sammenhængen mellem variablerne kan man opstille en regneforskrift eller en graf som beskriver sammenhængen. 2 Funktionsbegrebet Der findes de to regnearter: addition +, og multiplikation. Disse to regnearter bruger vi til at konstruere funktioner. De simpleste funktioner indeholder kun to variable: én uafhængig og en afhængig variabel. Den uafhængige variabel kaldes som regel for x og den afhængige variabel kaldes som regel for y. Når funktioner konstrueres kan der varieres på den uafhængige variabel og den varierer på den afhængige variabel. I en funktion er der altså tale om to variatio- 4

5 ner. Dette giver sammen med de to regnearter mulighed for at konstruerer i alt fire typer af funktioner. Definitionen på en funktion er. Funktioner Lineær x + Eksponential- x + funktion y + funktion y Potens- x Logaritme- x funktion y funktion y + Definition 2.1 En variabel y kaldes en funktion af en variabel x, hvis der til hver værdi af x svarer præcis én værdi af y. Denne værdi kaldes funktionsværdien og man skriver y = f(x). Bemærk at denne definition kun gælder hvis der er én afhængig (y) og én uafhængig (x) variabel. Så i eksemplet med togplanen skal afgangstidspunktet eller gennemsnitshastigheden ligge fast. Når en betydning knyttes til variablerne bliver en funktion til en model. Der er nogle udregninger der ikke kan foretages i matematik, de er ikke defineret dvs. med de grundlæggende regler i matematik kan de ikke udregne dem. De vigtigste to er følgende: Man må ikke dividere med 0. Man må ikke tage kvadratroden af et negativt tal. Disse udregninger kan ikke laves når der er tale om funktioner, derfor siger man at funktionen kun er defineret for nogle værdier af x. De værdier af x som funktionen er defineret for kaldes for funktionens definitionsmængde og den skrives Dm(f). Til alle de x værdier som ligger i definitionsmængden svare - ifølge definitionen af en funktion - én værdi af y, disse værdier af y kaldes for funktionens værdimængde og den skrives Vm(f). 5

6 Se på funktionenf(x) = x. Denne funktion er defineret for allex 0. Bemærk at der ikke er nogen graf for værdier af x < 0. Funktionens definitionsmængde er derfor Dm(f) = {x R x 0}, dette læses Dm }{{} Definitionsmængden (f) }{{} forf }{{} = { x} {{ R} er alle reelle tal }{{} hvorom der gælder at x }{{} 0 } de er større end 0 Værdimængden for funktionen er Vm(f) = {y R y 0}. (y) 2 f(x) = x (x) Se nu på en eksempel hvor, der ikke må divideres med 0. f(x) = x2 3x0 x 5 Da der ikke må dividere med 0, kan x ikke være 5, fordi så vil nævneren x 5 være 0. Men for alle andre værdier af x er funktionen defineret, derfor bliver definitionsmængden Dm(f) = {x R x 5}, dette læses Dm }{{} Definitionsmængden (f) }{{} forf }{{} = { x} {{ R} er alle reelle tal }{{} hvorom der gælder at x }{{} 5 } de er forskellige fra 5 Værdimængden for f bliver så alle de værdier for y, undtagen den værdi der svarer til x-værdien 5. Vm(f) = {y R y 7}. På grafen for f(x) kan man se at det er værdien 7. 6

7 10 (y) f(x) = x2 3x0 x (x) 7

8 3 Lineære funktioner Den første type af funktioner konstruerer vi med addition. Herunder ses en skematisk opbygning af funktionen. Hver gang vi addere 1 til x addere funktionen 4 til y. x y Dette kan også udtrykkes ved det som kaldes funktionens regneforskrift. y = 4x Eller det kan udtrykkes ved det som kaldes funktionens graf. (y) 3 f(x) = 4x (x) 3 4 Den lineære funktion er en funktion der beskriver sammenhænge som f.eks. hvis 3 kartofler koster 12 kr. så koster 4 kartofler 16 kr. osv. Hvis der lægges én til 8

9 antallet af kartofler lægges der 4 kr. til prisen. Hvis der trækkes én fra antallet trækkes der 4 kr. fra prisen. Antal Pris Hvisy ikke antager værdi 0 nårxantager værdien 0, skal der være et konstantled. Herunder ses en skematisk opbygning af funktionen. Hver gang der adderes 1 til x adderer funktionen 4 til y. Og for x = 0 er y = 5, hvilket gør at der skal være et konstantled med værdien 5 i regneforskriften. x y Dette kan også udtrykkes ved det som kaldes funktionens regneforskrift. y = 4x+5 Definition 3.1 En funktion med regneforskrift f(x) = ax+b hvor a er forskellig fra 0. Kaldes for en lineær funktion. 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien Kendes regneforskriften for en funktion og x, kan værdien af f(x) bestemmes. Eksempel 3.2 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 4+3x Bestem f(3) f(3) = = 4+9 = 13 9

10 Eksempel 3.3 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 2x 5 Bestem f(3) f(3) = = 6 5 = 1 Eksempel 3.4 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 5x Bestem f(3) f(3) = 5 3 = 5 6 = Opgave 3.5 Udregn værdien af f(x) 1. Bestem f(3) for f(x) = 9+3x 5. Hvis f(x) = 5 x hvad er f( 4) 2. Hvis f(x) = 3x + 9 hvad er f(2) 6. Hvis f(x) = x hvad er f(3) 3. Hvis f(x) = 4x 8 hvad er f(3) 7. Hvis f(x) = 9 hvad er f(7) 4. Hvis f(x) = 4 + x hvad er f( 3) 8. Hvis f(x) = x 4 hvad er f(5) Svar på opgave , 2. 3, 3. 4, 4. -7, 5. 9, 6. 3, 7. 9,

11 3.2 Grafen for en lineær funktion (y) (x 0,y 0 ) x 0 b 1 a y 0 = ax 0 +b (x) Grafen for funktionen f(x) = ax+b ses på figuren til højre. b er skæringen med y-aksen og a er hældningskoefficienten. Funktionen er voksende hvis grafen for funktionen går op når man går til højre, så er a positiv. Funktionen er aftagende hvis grafen for funktionen går ned når man går til højre, så er a negativ. (y) f(x) = 1 2 x (x) På figuren ses grafen for funktionen f(x) = 1 2 x + 1. Denne graf skærer y-aksen i 1 og har hældningen

12 3.3 Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter Ud fra to punkter, kan regneforskriften for en lineærfunktion findes. Til hjælp herfor findes følgende sætning. Sætning 3.6 Hvis funktionen er lineær dvs. med regneforskrift f(x) = ax+b og der gælder at punkterne (x 1,y 1 ) og (x 2,y 2 ) ligger på grafen for f(x), så er a = y 2 y 1 x 2 x 1 b = y 1 a x 1 Bevis. (y) (x 1,y 1 ) a 1 y 1 y 2 (x) (x 2,y 2 ) x 1 x 2 12

13 De to trekanter er ensvinklede og derfor vil a 1 = y 1 y 2 x 1 x 2 hvilket viser den første del af sætningen. Nu er a kendt og derfor kan b findes ved at indsætte a i ligningen y 1 = ax 1 +b og isolerer b y 1 = ax 1 +b b = y 1 a x 1 Q.E.D. Eksempel 3.7 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (2,3) og (3,6), Bestem regneforskriften for f(x) a = = 3 1 = 3 b = = 3 6 = 3 Regneforskriften bliver f(x) = 3x 3 Eksempel 3.8 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (5,3) og (2,9), Bestem regneforskriften for f(x) a = = 6 3 Regneforskriften bliver f(x) = x + 13 = b = = 3+10 = 13 Eksempel 3.9 Funktionen f(x) er lineær og f(3) = 5 og f(6) = 4, bestem regneforskriften for f(x). a = = ( 3 = b = 5 1 ) 3 = = 5+1 = Regneforskriften for f(x) bliver f(x) = 1 3 x+6 13

14 Opgave 3.10 Grafen for den lineære funktion f går gennem punkterne, bestem forskriften for f. 1. (3,6) og (2,4) 5. (4,4) og (6,2) 2. (5,1) og (15,2) 6. (,4) og (8,5) 3. (2,4) og (4,3) 7. (5,11) og (70,52) 4. (8,7) og (12,28) 8. (2, 4) og ( 5,3) Svar på opgave f(x) = 2x, 2. f(x) = 0,1x + 0,5, 3. f(x) = 0,5x+5, 4. f(x) = 5,25x 35, 5. f(x) = x+8, 6. f(x) = 0,1x+4,2, 7. f(x) = 0,6308x+7,846, 8. f(x) = x. 3.4 Lineær regression Brug vejledningen til jeres CAS-værktøj, til at løse følgende opgaver. Opgave 3.11 Bestem forskriften for den lineære funktion f. 1. x x f(x) f(x) x f(x) x f(x) Svar på opgave f(x) = 2,1x 2,2, 2. f(x) = 0,53x + 1,4, 3. f(x) = x+14, 4. f(x) = 0,47x+1,3. 14

15 Opgave 3.12 Bestem forskriften for funktionen f hvis graf ses (y) (y) (x) 1 2 (x) 3. (y) 4. (y) (x) 1 2 (x) Svar på opgave f(x) = 1 2 x, 2. f(x) = 2x 1 2, 3. f(x) = x+2, 4. f(x) = 4 5 x Bestemmelse af x ud fra regneforskrift Kendes regneforskriften og en værdi for funktionen, kan x-værdien bestemmes. Eksempel 3.13 Lad f(x) = 5 + 2x og f(x) = 3, bestem x. Først opstilles ligningen 3 = 5 + 2x. Denne løses 3 = 5+2x 3 5 = 2x = x x = Eksempel 3.14 Lad f(x) = 3x og f(x) = 5, bestem x. Først opstilles ligningen 5 = 3 2x. Denne løses 5 = 3x 5 3 = x = x x = 4

16 Eksempel 3.15 Lad f(x) = x+3 og f(x) = 3, bestem x. Først opstilles ligningen 3 = x + 3. Denne løses 3 = x = x 3 3 = x x = 0 Eksempel 3.16 Lad f(x) = 3 + x og f(x) = 3, bestem x. Først opstilles ligningen 3 = 3 + x. Denne løses 3 = 3+x 3+3 = x x = 6 Eksempel 3.17 Ladf(x) = 3 ogf(x) = 8, bestemx. Først opstilles ligningen 3 = 8 Denne ligning har ingen løsning. Opgave 3.18 Beregn x-værdien. 1. f(x) = 8+2x og f(x) = f(x) = 1 4x og f(x) =. 2. f(x) = 1+x og f(x) = f(x) = 8+5x og f(x) = f(x) = 8x og f(x) = f(x) = 35 4x og f(x) = f(x) = 2+2x og f(x) =. 8. f(x) = 3x og f(x) = 0. Svar på opgave , 2. 4, 3. -2, 4. 5, 5. ½, 6. -3, 7. 8, Proportional De to variablexogy siges at være ligefrem proportional, hvisy = k(konstant) x eller y x = k dvs. at forholdet mellem x og y er konstant. k kaldes proportionalitetsfaktoren. Eksempel 3.19 p er ligefrem proportional med y med proportionalitetsfaktoren 4. Det betyder at p = 4 y 16

17 (p) (y) Opgave 3.20 Oversæt disse sætninger til matematiske formler 1. v er ligefrem proportional med k med proportionalitetsfaktoren q. 2. y er ligefrem proportional med summen af r og q. 3. r er ligefrem proportional med differensen af n og m med proportionalitetsfaktoren f er ligefrem proportional med forholdet mellem p og q. 5. Energien e er ligefrem proportional med lysets hastighed c i anden, med proportionalitetfaktoren m for massen. 6. Udnyttelsen af energien E i sollyset er ligefrem proportional med kvadratet på overflade arealet O af solcellerne

18 3.7 Omvendt proportional De to variablexogy siges at være omvendt proportionale, hvisy = k(konstant) 1 x eller y x = k dvs. at produktet af x og y er konstant. Eksempel 3.21 y er omvendt proportional med x med proportionalitetsfaktoren 4. Det betyder at (y) y = 4 1 x (x)

19 4 Inverse funktioner Det er nu passende at omtale inverse funktioner. En invers funktion er en funktion hvor x og y er byttet om. Den inverse funktion til funktionen f(x): y = 3x 4 er således funktionen f (x): x = 3y 4 hvor y isoleres 3y = x 4 y = 1 3 x+ 4 3 Når man ser på det grafisk, ser man at graferne for de to funktioner er spejlinger af hinanden i linien y = x. (y) 3 2 f (x) = 1 3 x (x) f(x) = 3x Definition 4.1 Den inverse funktion til f kaldes f, og den inverse funktion f er defineret som funktionen der opfylder at f f (x) = x. 19

20 Det betyder at for f(x) = 3x 4 og f (x) = 1 3 x f f = x. Dette se af følgende udregning. skal der gælde at f f (x) = 3 ( 1 3 x+ 4 ) 4 = (x+4) 4 = x 3 I den inverse funktion er x og y byttet om, det kan bruges til at sige noget om hvilken type af funktion en inverse funktion er. Her ses tabellen og hvilke typer af funktioner der findes. Denne gang er den udvidet med hvilken type de inverse funktioner er. Det kan ses ud fra om x og y er hhv. + og. For den lineære funktion som er en (+,+)-funktion og den inverse er en (+,+)-funktion og derfor også lineær. Men eksponentialfunktionen som er en (+, )-funktion, der vil den inverse funktion være en (,+)-funktion. Og det er en logaritmefunktion. Lineær funktion x y Potens- y x funktion Potensfunktion Funktion Invers funktion x + y + Lineær y + x + funktion Eksponential- x + y + Logaritmefunktion y x funktion x y Eksponential- y + x + funktion Logaritmefunktion Eksempel 4.2 For funktionen f(x) = 2x 3, hvor f(x) = y, kan den inverse funktion udregnes ved at erstatte y med x og x med y. Da kommer ligningen til at se således ud. x = 2y 3 20

21 og i denne ligning isoleres y. x = 2y 3 x+3 = 2y x+3 = y 2 Den inverse funktion er så f (x) = x Opgave 4.3 Bestem den inversefunktion til f. 1. f(x) = 2x 5. f(x) = 2x 4 2. f(x) = 1 x f(x) = x 3. f(x) = x+1 7. f(x) = 3x+5 4. f(x) = 3x 3 8. f(x) = ax+b Svar på opgave f (x) = 1 2 x+ 1 2, 2. f (x) = 4x 8, 3. f (x) = x 1, 4. f (x) = 1 3 x + 1, 5. f (x) = 1 2 x + 2, 6. f (x) = 1 x 1, 7. 2 f (x) = 1 3 x 5 3, 8. f (x) = 1 a x b a. Et særligt tilfælde er funktionenf(x) = x 2. Denne funktion vil have to forskellige funktioner som dens inverse alt efter hvilket definitionsmængde, der er gældende. Den inverse funktion findes ved at ombytte x og y derfor vil den inverse funktion være x = y 2 y = ± x Denne funktion kan som det ses af grafen ikke være én funktion man må være sammensat af de to funktioner f 1 (x) = x og f 2 (x) = x 21

22 (y) f(x) = x f 1 (x) = x (x) f 2 (x) = x 3 4 En tredje tilfælde er funktionen f(x) = x 3. Den inverse funktion vil så være x = y 3 y = x 1 3 Disse funktioner kan ses på følgende graf. Bemærk at det ikke er muligt at tegne grafen for den inverse funktion for x mindre end 0. 22

23 (y) f(x) = x f (x) = x (x) 3 4 Inverse funktioner er meget spændende men ikke mere nu. 5 Eksponentielle funktioner Den eksponentielle funktion er en funktion der beskriver sammenhænge som f.eks. der er 12 biller og antallet af biller bliver 1,2 gange (20%) større hver dag. Dag Antal biller 8, ,2 1,2 1,2 14,4 1,2 17,28 Definition 5.1 En funktion med regneforskrift f(x) = b a x hvor a > 0 og forskellig fra 1. Kaldes for en eksponentialfunktion. 23

24 5.1 Bestemmelse af funktionsværdien Kendes regneforskriften for en eksponentialfunktion og x kan værdien af f(x) bestemmes. Eksempel 5.2 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 3 2 x Bestem f(3), dvs. x = 3. f(3) = = 3 8 = 24 Eksempel 5.3 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 1.5 0,7 x Bestem f(2) f(2) = 1,5 0,7 2 = 0,735 Opgave 5.4 Bestem værdien af f. 1. f(x) = 3x 2. Bestem f(2) 5. f(x) = 11 3 x. Bestem f(0,5). 2. f(x) = 1,5 0,7 x. Bestem f(4). 6. f(x) = 7 0,3 x. Bestem f(3). 3. f(x) = 4 0,1 x. Bestem f(3). 7. f(x) = 1,3 0,1 x. Bestem f(9). 4. f(x) = 2 4 x. Bestem f(11). 8. f(x) = 0,21 0,03 x. Bestemf(1). Svar på opgave , 2. 0,3602, 3. 0,004, , 5. 19,05, 6. 0,189, 7. 1,3 10 9, 8. 0, Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter Hvis det vides at der er tale om en eksponentialfunktion og to punkter kendes kan regneforskriften bestemmes. Til hjælp herfor findes følgende sætning. 24

25 Sætning 5.5 Hvis funktionen er eksponentiel dvs. med regneforskrift f(x) = b a x og der gælder at f(x 1 ) = y 1 og f(x 2 ) = y 2 så er ( ) 1 y1 x 1 x 2 a = b = y 1 a x 1 hvor x 1 skal være større end x 2. Bevis. y 2 b a x 1=y 1 b a x 2=y 2 b ax 1 b a x 2 = y 1 y 2 ax 1 a x 2 = y 1 y 2 a x 1 x 2 = y 1 y 2 (a x 1 x 2 ) a = 1 x 1 x 2 = ( ) 1 y x 1 1 x 2 y 2 Nu forkortes med b Nu bruges potensregneregelen xr x = x r s. s Nu opløftes begge sider i 1 x 1 x 2, bemærk at dette kræver at a > 0. Dette kan ifølge ( ) 1 y x 1 1 x 2 potensregneregelen (x r ) s = x y 2 r s reduceres til Nu kender vi a så dette kan vi udnytte til at finde b, fordi vi ved at b a x 1 = y 1 Og dette medfører at Vi har nu vist det ønskede. b = y 1 a x 1 Q.E.D. Eksempel 5.6 Bestem forskriften for den eksponentialfunktion hvis graf går 25

26 gennem punkterne (3,2) og (5,8). Først bestemmes a. a = Nu kan jeg så bestemme b. ( y1 y 2 ) 1 x 1 x 2 = ( 8 2 ) 1 b = y 1 a x 1 = = 0,25 Forskriften for funktionen bliver så f(x) = 0,25 2 x 5 3 = = 2 Eksempel 5.7 Bestem forskriften for den eksponentialfunktion hvis graf går gennem punkterne (3,2) og (7,18). Først bestemmes a. a = ( y1 y 2 Nu kan jeg så bestemme b. ) 1 x 1 x 2 = ( 18 2 ) = = 1,552 b = y 1 a = 18 x = 0, Forskriften for funktionen bliver så f(x) = 0,8305 1,552 x Opgave 5.8 Bestem forskriften for eksponentialfunktionen f hvis graf gå gennem følgende punkter 1. (3,24) og (1,8). 5. (5,1) og (15,2). 2. (3,54) og (1,6). 6. (2,4) og (4,3). 3. (2,4) og (7,5). 7. (8,7) og (12,28). 4. (3,6) og (2,4). 8. (4,4) og (6,2). Svar på opgave f(x) = 4,618 1,732 x, 2. f(x) = 2 3 x, 3. f(x) = 3,658 1,046 x, 4. f(x) = 1,778 1,5 x, 5. f(x) = 0,707 1,072 x, 6. f(x) = 5,333 0,866 x, 7. f(x) = 0,438 1,414 x, 8. f(x) = 16 0,707 x. 26

27 5.3 Logaritmefunktionen log(x) Definition 5.9 Logaritmefunktionen log(x) er defineret som den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet 10. Eksponentialfunktionen med grundtallet 10 har forskriften f(x) = 10 x, fra kapitlet om inverse funktionen ved vi at y = f(x) x = f (y). I dette tilfælde hvor f(x) = 10 x og f (y) = log(y) vil der gælde at Grunden til at y = 10 x x = log(y) f (y) = log(y) er, at log(y) er den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet 10. Ved at bruge denne ligning findes nogle vigtige værdier for logaritmefunktionen. F.eks. hvis x = 1 y = = log(y) er y = 10 så er log(10) = 1 og hvis x = 0 så er y = 1 så log(1) = 0 Se nu på ligningerne y = = log(y) y = 10 x x = log(y) ved at sætte ligningen x = log(y) ind i ligningen y = 10 x fås følgende ligning y = 10 log(y) Sætning 5.10 Lad x > 0 så vil x = 10 log(x) 27

28 Denne sætning anvendes til at bevise følgende sætning. Sætning 5.11 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil Bevis. log(y x ) = x log(y) log(y x ) = x log(y) Det der ønskes bevist log(y x ) = x log(y) 10 log(yx) = 10 x log(y) y x = 10 log(y) x Ifølge sætning y x = y x Hvilket er sandt og derfor er også den første ligning sand. Q.E.D. Nu kan følgende sætning vises. Sætning 5.12 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil log(x y) = log(x)+log(y) Bevis. log(x y) = log(10 log(x) 10 log(y) ) Sætning 5.10 = log(10 log(x)+log(y) ) Potensregneregelen a p a q = a p+q = (log(x) + log(y)) log(10) Sætning 5.11 = log(x)+log(y) Da log(10) = 1 Nu er det bevist at log(x y) = log(x)+log(y) som ønsket. 28 Q.E.D.

29 Nu kan følgende sætning vises. Sætning 5.13 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ( ) x log = log(x) log(y) y Bevis. ( log(x) ) = log(x) log x y y ( ) log y x y ( log(y)+log ( log x y x y ) ) Nu er det bevist at = log(x) Ganges med 1 = y y = log(x) Faktorerne ombyttes = log(x) Sætning 5.12 anvendes = log(x) log(y) Her lægges log(y) til på begge sider log(x) = log(x) log ( ) x y og det vides at log(x) = log(x) er sandt, derfor vil ( ) x log = log(x) log(y) y også være sandt. = log(x) log(y) Q.E.D. Eksempel 5.14 Udtrykket log(2)+log(5) kan reduceres ved at bruge de sætninger vi har vist. log(2) + log(5) = log(2 5) Ved at bruge sætning 5.12 = log(10) Ved at gange 5 og 2 = 1 p.g.a. den 1. regneregel 29

30 Eksempel 5.15 Udtrykket log(2) log(5) kan reduceres ved at bruge de sætninger vi har vist. log(2) log(5) = log( 2 ) Ved at bruge sætning Eksempel 5.16 Udtrykket 3 log(2) + log(5) kan reduceres ved at bruge de sætninger vi har vist. 3log(2)+log(5) = log(2 3 )+log(5) Ved at bruge sætning 5.11 = log(8)+log(5) = log(8 5) Ved at bruge sætning 5.12 = log(40) Opgave 5.17 Reducer følgende udtryk 1. log(4)+log(9) 5. 4log(2) log(4) 2. log(4) log(2) 6. 2log(2)+2log(5) 3. log(2) log(4) 7. 4log(2)+2log(5)log(10) 4. 2log(2) log(4) 8. 3log(2)log(5)+4log(3) Svar på opgave log(36), 2. log(2), 3. log ( 1 2), 4. 0, 5. log(4), 6. 2, 7. log(4), 8. log ( ). 5.4 Løsning af ligninger med logaritmer Den mest enkle type af ligninger med logaritmer er ligninger af typen log(x) = a hvor a er et tal. Denne type løses ved at bruge sætning 5.10, så løsningen bliver 10 log(x) = 10 a x = 10 a 30

31 Eksempel 5.18 Ligningen log(x) = 0,53 løses ved at bruge sætning For at løse denne ligning skal man tage begge sider i ligningen i 10 ende. 10 log(x) = 10 0,53 x = 10 0,53 x = 3,3884 Eksempel 5.19 log(x + 1) = 1 brug sætning log(x+1) = 10 1 udregn x+1 = 10 løses som en normal ligning x = 9 Eksempel 5.20 Løsning af ligningen log(x + 1) + log(x 1) = 1. log(x+1)+log(x) = 1 Ifølge sætning 5.12 log((x+1) (x)) = 1 Udregning log(x 2 ) = 1 Sætning log(x2 ) = 10 1 Udregning x 2 = 10 Udregning x 2 = 11 Udregning x = ± 11 Løsningen 11 kan ikke være en løsning da x > 1 ellers vil log(x 1) ikke være defineret. Løsningen til ligningen er derfor 11. Opgave 5.21 Løs følgende ligninger. 1. log(9) = x 5. log(x) = 0, log( ) = x 6. log(x)+log(x+2) = 3 log(2) 3. log(x) = 1 7. log ( 1+ x) 1 +log(x+4) = 0 4. log(x) = log(x+1)+log(x+2) = 3 31

32 Svar på opgave ,95424, 2. 9,76, 3. 10, , 5. 1,7628, 6. 2, 7. -2, 8. 3, Grundmængden til logaritmiske funktioner Definition 5.22 Grundmængden er den talmængde som den variable skal findes indenfor. Dette betyder at løsningsmængden er en delmængde af grundmængden. Grundmængden betegner man normalt med G og løsningsmængden med L. Når grundmængder skal bestemmes er der tre regler der skal tages i betragtning. 1. Man må ikke dividere med Man må ikke tage kvadratroden af et negativt tal. 3. Man må ikke tage logaritmen af et negativt tal. Eksempel 5.23 Her er en liste af nogle ligninger og deres grundmængde. Ligning 5 Grundmængde x = 8 R\{0} x 4 = 4 {x R 4 < x} log(x 4) = 4 {x R 4 < x} log(4 x 2 ) = 3 {x R < x < 2} Opgave 5.24 Løs ligningerne. 1. log(x) = log(x) = 4 2. log(x+5) log(3) = log(x)+2log(5) = 0 3. log(x+7)+log(4) = 2 7. log(1+2x) log(2) = 1 4. log(2)+log(x+2) = 1 8. log(x)log(2) = 1 Svar på opgave , 2. 25, 3. 18, 4. 3, , , 7. 9,5,

33 5.5 Logaritmefunktionen ln(x) Definition 5.25 Logaritmefunktionen ln(x) er defineret som den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet e. Tallet e er et tal lige som π og det har den tilnærmede værdi 2, Eksponentialfunktionen med grundtallet e har forskriften f(x) = e x og fra kapitlet om inverse funktioner vides at y = f(x) x = f (y) i dette tilfælde hvor f(x) = e x og f (y) = ln(y) vil der gælde at y = e x x = ln(y) Sætning 5.26 Lad x > 0 så vil x = e ln(x) Sætning 5.27 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ln(y x ) = x ln(y) Sætning 5.28 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ln(x y) = ln(x)+ln(y) Sætning 5.29 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ( ) x ln = ln(x) ln(y) y 33

34 Sætning 5.30 De to funktioner log(x) er proportional med ln(x), med proportionalitetsfaktor ln(10), og derfor vil sætningerne 5.27, 5.28 og 5.29 være sande for ln(x). Bevis. Oversat til formel betyder sætningen der skal vises at ln(10) log(x) = ln(x) Betragt følgende udregning. ln(10) log(x) = ln(x) e ln(10) log(x) = e ln(x) Ifølge sætning 5.26 og Ifølge potensregneregel (x s ) t = x s t. ( ) e ln(10) log(x) = x Ifølge sætning log(x) = x Hvilket er sandt i følge sætning 5.10 Og da 10 log(x) = x ln(10) log(x) = ln(x) og 10 log(x) = x er sandt må også ln(10) log(x) = ln(x) være sandt. Derfor vil f.eks. log(x y) = log(x)+log(y) ln(10) log(x y) = ln(10) log(x)+ln(10) log(y) ln(x y) = ln(x)+ln(y) Q.E.D. Her ses en graf af de to funktioner. 34

35 (y) 2 1 ln(x) log(x) (x) 3 Opgave 5.31 Reducer udtrykkene. 1. ln(2)+ln(5) 5. 3ln(4) ln(4) 2. ln(5)+ln(2) 6. 2ln(2)+2ln(5) 3. ln(2) ln(6) 7. 2ln(3)+3ln(2) 3ln(4) 4. 2ln(2) ln(4) 8. 3ln(2)ln(5)+3ln(2) Svar på opgave ln(10), 2. ln(10), 3. ln ( 1 3), 4. 0, 5. 4ln(2), 6. ln(100), 7. ln ( ) ( 9 8, 8. ln 64 25). 35

36 5.6 Løsning af ligninger med logaritmer ln(x) Når ligninger son indeholder ln(x) skal løses bruges sætning Her kommer et par eksempler. Eksempel 5.32 Løs ligningen ln(x) = 4. ln(x) = 4 e ln(x) = e 4 Først omskrives ligningen ved at opløfte e i ln(x) potens og opløfte e i 4 potens. x = e 4 Derefter bruges sætning Og opgaven er løst. Eksempel 5.33 Løs ligningen ln(x + 1) = 4. ln(x+1) = 4 e ln(x+1) = e 4 Først omskrives ligningen ved at opløfte e i ln(x+ 1) potens og opløfte e i 4 potens. x+1 = e 4 Derefter bruges sætning x = e 4 Så trækkes 1 fra på begge sider. Og opgaven er løst. Eksempel 5.34 Løs ligningen ln(x + 1) + ln(4) = 4. 36

37 ln(x+1)+ln(4) = 4 ln((x+1) 4) = 4 Først anvendes sætning 5.28 e ln((x+1) 4) = e 4 Så omskrives ligningen ved at opløfte e i ln((x + 1) 4) potens og opløfte e i 4 potens. (x+1) 4 = e 4 Derefter anvendes sætning x+4 = e 4 4x = e 4 4 Så ganges 4 ind i parentesen. Så trækkes 4 fra på begge sider. x = e4 4 4 Tilsidst dividerer man med 4 på begge sider. Og opgaven er løst. Eksempel 5.35 Løs ligningen ln(x + 1) + ln(2) = ln(3). 37

38 ln(x+1)+ln(2) = ln(3) ln((x+1) 2) = ln(3) Først anvendes sætning e ln((x+1) 2) = e ln(3) Så omskrives ligningen ved at opløfte e i ln((x + 1) 2) potens og opløfte e i ln(3) potens. (x+1) 2 = 3 Derefter anvendes sætning x+2 = 3 2x = 3 x = 1 2 Så ganges 2 ind i parentesen. Så trækkes 2 fra på begge sider. Tilsidst divideres med 2 på begge sider. Og opgaven er løst. Opgave 5.36 Løs ligningerne. 1. ln(x) = ln(x) = 4 2. ln(x+5) ln(3) = ln(x)+2ln(5) = 0 3. ln(x+7)+ln(4) = 2 7. ln(1+2x) ln(2) = 1 4. ln(2)+ln(x+2) = 1 8. ln(x)ln(2) = 1 Svar på opgave x = e, 2. x = 3e 5, 3. x = e2 8, 4. x = e , 5. x = e 2, 6. x = 1 5, 7. x = e 1 2, 8. x = 4e. 38

39 5.7 Fordoblings- og halveringskonstant En eksponentielt voksende udvikling (a > 0), f.eks. saldoen på en konto hvis der ikke hæves noget og hvis der tilskrives renter, vokser med samme procent for hver enhed f.eks. år. Fordoblingskonstanten er det antal år pengene skal stå på kontoen for, at saldoen fordobles eller sagt på en anden måde, hvor lang tid går der før saldoen er steget med 100%. Eksempel 5.37 Hvis du fik 6% i rente pr. år hvor mange år vil der så gå før saldoen er blevet fordoblet? Det er denne ligning vi skal løse 1,06 n = 1. 1,06 n = 1 1,06 n = 2 n log(1,06) = log(2) n = log(2) log(1,06) hvilket er 11,9 år. Dette eksempel kan generaliseres til følgende sætning. Fordoblingskonstanten har symbolet T 2. Sætning 5.38 Den eksponentielt voksende udvikling f(x) = b a x hvor a > 1 har fordoblingskonstanten T 2 = log(2) log(a) Bevis. Fordoblingskonstanten er det antal enheder (år) som x-værdien skal vokse med for at y-værdien fordobles. 39

40 (y) 2 f(x) f(x) T 2 x x+t 2 (x) Dette kan omskrives til ligningen f(x+t 2 ) = 2 f(x) i denne ligning skal T 2 isoleres. Først anvendes funktions udtrykket for f(x) = b a x så isoleres T 2. b a x+t 2 = 2 b a x a x a T 2 = 2 a x a T 2 = 2 log(a T 2 ) = log(2) T 2 = log(2) log(a) Q.E.D. Da log(x) og ln(x) er proportionale vil den tilsvarende sætning for ln også være sand. Sætning 5.39 Den eksponentielt voksende udvikling f(x) = b a x hvor a > 1 har fordoblingskonstanten T 2 = ln(2) ln(a) 40

41 Sætning 5.40 Den eksponentielt aftagende udvikling f(x) = b a x hvor 0 < a < 1 har halveringskonstanten T1 2 = log(1 2 ) log(a) Sætning 5.41 Den eksponentielt aftagende udvikling f(x) = b a x hvor 0 < a < 1 har halveringskonstanten T1 2 = ln(1 2 ) ln(a) Eksempel 5.42 Fordoblingskonstanten for funktionen f(x) = 3 5 x er T 2 = log(2) log(5) T 2 = 0, Eksempel 5.43 Halveringskonstanten for funktionen f(x) = 3 0,5 x er T1 2 = log(1 2 ) log(0,5) T1 2 = 1 Opgave 5.44 Find fordoblings eller halverings konstanten for funktionen f. 1. f(x) = 34 1,0025 x 5. f(x) = 2 1,00001 x 2. f(x) = 4 1,3 x 6. f(x) = 34 0,93 x 3. f(x) = 2 11 x 7. f(x) = 34 0,03 x 4. f(x) = x 8. f(x) = 0,2 x 0,0721 Svar på opgave T 2 = 277,6, 2. T 2 = 2,64, 3. T 2 = 0,29, 4. T 2 = 0,2, 5. T 2 = 69315, 6. T1 2 = 9,55, 7. T1 2 = 0,198, 8. T1 2 = 0, Grafen for en eksponentialfunktion Der er fire typer af grafer for en eksponentialfunktion f(x) = b a x. 41

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Potenser, rødder og logartime

Potenser, rødder og logartime Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C CASO(Carina Suzanne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 15-16 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF 2-årigt Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 13/14 Institution Campus Vejle VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Lars Therkelsen

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF

Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: 1. hel hf B, 1. år af 2 Termin: Juni 2014 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B MANY (Mads Schulz

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj - juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF oh VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik

Læs mere