Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3"

Transkript

1 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis og dimension Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation Calculus Uge

2 Koordinatvektorer [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.2 Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Calculus Uge

3 Koordinatvektorer [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.2 Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Calculus Uge

4 Koordinatvektorer [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.2 Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Vektoren, hvis koordinater alle er 0 kaldes nulvektoren. 0 = (0,...,0) Calculus Uge

5 Planen [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Figur Talplanen R 2 Calculus Uge

6 Planen [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Figur x 2 (u u 2 1,u 2 ) 0 u 1 x 1 Talplanen R 2 Calculus Uge

7 Rummet [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.1 Three-dimensional co... Figur x 3 x 1 x 2 Talrummet R 3 Calculus Uge

8 Rummet [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.1 Three-dimensional co... Figur x 3 x 1 x 2 Talrummet R 3 Calculus Uge

9 Rummet [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.1 Three-dimensional co... Figur x 3 u 3 (u 1,u 2,u 3 ) u 2 u 1 x 2 x 1 Talrummet R 3 (u 1,u 2, 0) Calculus Uge

10 Addition Definition 1.3 Sum af vektorer u + v = u 1. + [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer v 1. = u 1 + v 1. u n v n u n + v n Calculus Uge

11 Addition Definition 1.3 Sum af vektorer u + v = u 1. + [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer v 1. = u 1 + v 1. u n v n u n + v n Eksempel = Calculus Uge

12 Skalering [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.3 Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor au = a u 1. = ax 1. u n ax n Calculus Uge

13 Skalering [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.3 Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor au = a u 1. = ax 1. u n ax n Eksempel = Calculus Uge

14 Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning 1.6 Calculus Uge

15 Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning Kommutativ lov u + v = v + u Calculus Uge

16 Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Calculus Uge

17 Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 3. Distributive love a(u + v) = au + av (a + b)u = au + bu Calculus Uge

18 Associativ addition [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.2 Vectors Figur 1.7 u Calculus Uge

19 Associativ addition [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.2 Vectors Figur 1.7 u u + v Calculus Uge

20 Associativ addition [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.2 Vectors Figur 1.7 u + v + w u u + v Calculus Uge

21 Linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.8 Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) a 1,...,a k giver linearkombinationen a 1 u a k u k Calculus Uge

22 Linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.8 Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) a 1,...,a k giver linearkombinationen a 1 u a k u k Eksempel = Calculus Uge

23 Linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.8 Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) a 1,...,a k giver linearkombinationen a 1 u a k u k Eksempel = Calculus Uge

24 Underrum [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.14 En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. For u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Calculus Uge

25 Underrum [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.14 En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. For u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Delmængden bestående af nulvektoren alene er et underrum, som kaldes nulunderrummet og betegnes 0 = {0}. Calculus Uge

26 Underrum [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.14 En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. For u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Delmængden bestående af nulvektoren alene er et underrum, som kaldes nulunderrummet og betegnes 0 = {0}. Eksempel Diagonalen i talplanen er et underrum U = {(x,y) x = y} R 2 Calculus Uge

27 Span [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.16 Givet et sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a 1 u a k u k Calculus Uge

28 Span [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.16 Givet et sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a 1 u a k u k Et Span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Calculus Uge

29 Span [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.16 Givet et sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a 1 u a k u k Et Span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Eksempel Diagonalen i talplanen er et Span {(x,y) x = y} = Span((1, 1)) R 2 Calculus Uge

30 Test linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Afkryds: ja nej Calculus Uge

31 Test linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. ja nej Calculus Uge

32 Test linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: ja nej x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. Calculus Uge

33 Lineær uafhængighed [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.2 Et sæt af vektorer u 1,...,u k kaldes lineært uafhængigt, hvis der for enhver linearkombination der fremstiller 0 a 1 u a k u k = 0 gælder, at koefficienterne alle er 0 a 1 = = a k = 0 Calculus Uge

34 Lineær uafhængighed [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.2 Et sæt af vektorer u 1,...,u k kaldes lineært uafhængigt, hvis der for enhver linearkombination der fremstiller 0 a 1 u a k u k = 0 gælder, at koefficienterne alle er 0 a 1 = = a k = 0 I modsat fald kaldes sættet for lineært afhængigt; altså hvis der findes skalarer a 1,...,a k, som ikke alle er 0, men linearkombinationen ovenfor er 0. Calculus Uge

35 Lineær afhængighed [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.4 u 1 u 2 LINEÆRT UAFHÆNGIGE Calculus Uge

36 Lineær afhængighed [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.4 u 1 u 2 u 1 u 2 LINEÆRT UAFHÆNGIGE LINEÆRT AFHÆNGIGE Calculus Uge

37 Entydig fremstilling [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.5 Et sæt af vektorer u 1,...,u k er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis enhver vektor v Span(u 1,...,u k ) har en entydig fremstilling v = a 1 u a k u k Calculus Uge

38 Entydig fremstilling [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.5 Et sæt af vektorer u 1,...,u k er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis enhver vektor v Span(u 1,...,u k ) har en entydig fremstilling v = a 1 u a k u k Bevis hvis og kun hvis Heraf følger påstanden. a 1 u a k u k = b 1 u b k u k (a 1 b 1 )u (a k b k )u k = 0 Calculus Uge

39 Vigtigt princip [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.7 For et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k Span(v 1,...,v m ) gælder uligheden k m Antal lineært uafhængige er mindre end antal frembringere. Calculus Uge

40 Vigtigt princip [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.7 For et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k Span(v 1,...,v m ) gælder uligheden k m Antal lineært uafhængige er mindre end antal frembringere. Bevis Skriv u 1 = a 1 v a m v m med a 1 0 og få Span(u 1,v 2,...,v m ) = Span(v 1,v 2,...,v m ) Samme metode kan nu erstatte v 2 med u 2 osv. Da der skal være plads til alle u er, følger uligheden. Calculus Uge

41 Enhedsvektorer [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.10 Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. Calculus Uge

42 Enhedsvektorer [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.10 Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er e i = 1. 0 Calculus Uge

43 Enhedsvektorer [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.10 Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er e i = 1. 0 e i = ( ) 0,..., 1,..., 0 Calculus Uge

44 Standardbasen Eksempel 2.11 Span(e 1,...,e n ) = R n [LA] 2 Basis og dimension Calculus Uge

45 Standardbasen [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.11 Span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har en entydig fremstilling x = n i=1 x i e i Calculus Uge

46 Standardbasen [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.11 Span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har en entydig fremstilling x = n i=1 x i e i Eksempel (1, 2, 3) = 1(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) 3(0, 0, 1) Calculus Uge

47 Basis [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.9 Et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k, der udspænder et underrum U kaldes en basis for U. Calculus Uge

48 Basis [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.9 Et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k, der udspænder et underrum U kaldes en basis for U. Eksempel 2.11 Standard basen e 1,...,e n er en basis for vektorrummet R n. Calculus Uge

49 Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.12 Ethvert underrum U i R n har en basis bestående af endelig mange vektorer. Calculus Uge

50 Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.12 Ethvert underrum U i R n har en basis bestående af endelig mange vektorer. Definition 2.13 Lad U være et underrum i R n. Det mindste antal vektorer i en basis for U kaldes dimensionen af U og betegnes dimu. Calculus Uge

51 Basis og Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.14 Lad U være et underrum. 1. Enhver basis har netop dim U vektorer. 2. Et lineært uafhængigt sæt er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. 3. Et sæt af frembringere er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. Calculus Uge

52 Basis og Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.14 Lad U være et underrum. 1. Enhver basis har netop dim U vektorer. 2. Et lineært uafhængigt sæt er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. 3. Et sæt af frembringere er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. Eksempel Standard basen e 1,...,e n for vektorrummet R n viser, at dimr n = n Calculus Uge

53 Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Calculus Uge

54 Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Det skrives (A = A) A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a a 1n =. a ij. a m1... a mn Calculus Uge

55 Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Calculus Uge

56 Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Matricen 0 = (0) med alle indgange lig 0 kaldes nulmatricen. Calculus Uge

57 Matrix række/søjle [LA] 3 Matricer Definition fortsat En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n Calculus Uge

58 Matrix række/søjle [LA] 3 Matricer Definition fortsat En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) Calculus Uge

59 Matrix række/søjle [LA] 3 Matricer Definition fortsat En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) og j-te søjle a j = a 1j. a mj Calculus Uge

60 Rækker og søjler [LA] 3 Matricer Definition fortsat m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) Calculus Uge

61 Rækker og søjler [LA] 3 Matricer Definition fortsat m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) n = 1 søjlevektor/søjlematrix a 1. a m Calculus Uge

62 3x4 matrix [LA] 3 Matricer Eksempel matrix Calculus Uge

63 3x4 matrix [LA] 3 Matricer Eksempel matrix rækkematrix ( ) Calculus Uge

64 3x4 matrix [LA] 3 Matricer Eksempel matrix rækkematrix ( ) søjlematrix Calculus Uge

65 Addition skalering [LA] 3 Matricer Definition 3.5 Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. Calculus Uge

66 Addition skalering [LA] 3 Matricer Definition 3.5 Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Calculus Uge

67 Addition skalering [LA] 3 Matricer Definition 3.5 Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Eksempel 3.6 ( ) ( ) = ( ) = 2 ( ) Calculus Uge

68 Additions love [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 For matricer A,B,C af samme størrelse og skalarer λ,µ gælder: 1. kommutativ lov A + B = B + A Calculus Uge

69 Additions love [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 For matricer A,B,C af samme størrelse og skalarer λ,µ gælder: 1. kommutativ lov 2. associativ lov A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C Calculus Uge

70 Additions love [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 For matricer A,B,C af samme størrelse og skalarer λ,µ gælder: 1. kommutativ lov 2. associativ lov 3. distributive love A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa Calculus Uge

71 Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition Multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Calculus Uge

72 Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition Multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p Calculus Uge

73 Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition Multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p c ik = a i1 b 1k + + a in b nk = n j=1 a ij b jk Calculus Uge

74 Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. Calculus Uge

75 Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk Calculus Uge

76 Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk = a i1 b 1k + + a ij b jk + + a in b nk Calculus Uge

77 Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 ( ) ( ) Calculus Uge

78 Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 = ( ) ( ) ( ) [ ] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) ] [( 1) ( 5) + 8 0] Calculus Uge

79 Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 = ( ) ( ) ( ) [ ] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) ] [( 1) ( 5) + 8 0] Calculus Uge

80 Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 = ( ) ( ) ( ) [ ] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) ] [( 1) ( 5) + 8 0] = ( ) Calculus Uge

81 Regneark [LA] 3 Matricer Eksempel 3.14 Rækkesum a a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a a 1n. a m1 + + a mn Calculus Uge

82 Regneark [LA] 3 Matricer Eksempel 3.14 Rækkesum a a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a a 1n. a m1 + + a mn Søjlesum = ( ) a a 1n 1,..., 1. a ij. a m1... a mn ) (a a m1,..., a 1n + + a mn Calculus Uge

83 Test matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? 1 x x x (a) = 3 4 x x 22 ( ) ( ) ( ) ). (b) = Afkryds det rigtige: (a) (b) Calculus Uge

84 Test matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? 1 x x x (a) = 3 4 x x 22 ( ) ( ) ( ) ). (b) = Afkryds det rigtige: (a) (b) Løsning ( ) ( ) 1 x x 4 = ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [ x] [ ] Calculus Uge

85 Test matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? 1 x x x (a) = 3 4 x x 22 ( ) ( ) ( ) ). (b) = Løsning ( ) ( ) 1 x x 4 = Afkryds det rigtige: ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [ x] [ ] (a) (b) Calculus Uge

86 Vigtigste regneregel [LA] 3 Matricer Sætning Associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Calculus Uge

87 Vigtigste regneregel [LA] 3 Matricer Sætning Associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bevis Fælles il-te indgang d il = j,k a ij b jk c kl Calculus Uge

88 Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel 3.16 Beregn produktet af følgende m 1, 1 n og n 1 matricer 1. 1 ( ) Calculus Uge

89 Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel 3.16 Beregn produktet af følgende m 1, 1 n og n 1 matricer 1. 1 ( ) 1 1 Udregn først produktet af de sidste to ( ) = n Calculus Uge

90 Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel fortsat Så resultatet er 1. 1 ( 1 1 ) 1. 1 = 1. 1 n = n. n Calculus Uge

91 Multiplikation og linearkombination [LA] 3 Matricer Sætning 3.17 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Calculus Uge

92 Multiplikation og linearkombination [LA] 3 Matricer Sætning 3.17 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Bevis Udregn y i = j a ij x j Calculus Uge

93 Linearkombination Eksempel 3.18 En linearkombination af to søjler 1 2 ( x 1 x 2 ) = x x [LA] 3 Matricer Calculus Uge

94 Linearkombination Eksempel 3.18 En linearkombination af to søjler 1 2 ( x 1 x 2 ) = x x [LA] 3 Matricer En linearkombination af tre søjler ( ) = 3 ( 2 5 ) + 0 ( 1 3 ) + 1 ( 2 4 ) Calculus Uge

95 Distributive love [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.19 For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder: 1. distributive love A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Calculus Uge

96 Distributive love [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.19 For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder: 1. distributive love A(B + C) = AB + AC 2. skalar love (A + B)C = AC + BC (λa)b = A(λB) = λ(ab) Calculus Uge

97 Sæt udenfor parentes [LA] 3 Matricer Eksempel 3.20 Studer udregningen 1 2 ( ) ( ) 1 2 Calculus Uge

98 Sæt udenfor parentes [LA] 3 Matricer Eksempel 3.20 Studer udregningen 1 2 ( ) = 1 2 ( ) [( ) ( )] 1 2 Calculus Uge

99 Sæt udenfor parentes Eksempel 3.20 Studer udregningen 1 2 ( ) = = 1 2 ( ) [( ) ( )] ( ) = [LA] 3 Matricer Calculus Uge

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineær Algebra. Differentialligninger

Lineær Algebra. Differentialligninger Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................

Læs mere

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor enote 6 1 enote 6 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

Mat1GA Minilex. Indhold. Henrik Dahl, Hold januar Definitioner 2. 2 Sætninger m.v Regneregler Kriterier 43.

Mat1GA Minilex. Indhold. Henrik Dahl, Hold januar Definitioner 2. 2 Sætninger m.v Regneregler Kriterier 43. Mat1GA Minilex Henrik Dahl, Hold 10 3. januar 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 17 3 Regneregler 36 4 Kriterier 43 5 Kogebog 44 Resumé ADVARSEL - dette er livsfarligt at bruge ukritisk. Der

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere