Riemann-integraler. enote Indledning

Transkript

1 enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae områder og af overflader, samt rumfag, massemidtpukter, og iertimometer af rumlige områder etc. Det hadler i første omgag om at kue itegrere og om at kue fide stamfuktioer til give kotiuerte fuktioer, især til fuktioer af é variabel. Vi vil derfor et par gage referere til enote 14. Vi skal i dee enote se hvorda uedelige summer af uedeligt små addeder i græse fører til de såkaldte Riema-itegraler, som ige ka udtrykkes og bereges ved brug af passede stamfuktioer. Metodere og de fudametale resultater for Riema-itegralere er ikke afgørede forskellige i de dimesioer vi betragter, me vi vil alligevel diskutere og aalysere betegelser, resultater, og eksempler helt eksplicit for fuktioer af é, to, og tre variable med heblik på at kue bruge Riema-itegralere mest effektivt i de avedelser, som dyrkes i de enoter der hadler om itegratio i flere variable. 1.1 Idledig Idee med dee og de efterfølgede enoter er at motivere, opstille, og avede det uikke værktøj, der ka besvare spørgsmål som helt aturligt opstår i magfoldige sammehæge: Hvor lag er de kurve? Hvor stort er det område i plae? Hvad vejer det fladestykke? Hvad er rumfaget af det område i rummet? Hvad er eergi-optaget på det solfagertag i løbet af i dag? Hvor meget deformeres det legeme, år det flyder lags det vektorfelt? Det værktøj de metode der ka besvare disse spørgsmål, hedder itegratio. Det vil sige, vi skal kue itegrere give fuktioer f x og fide stamfuktioer til dem. Som bekedt er e stamfuktio til f x e fuktio Fx hvis differetialkvotiet er f x. Me dem er der jo mage af; hvis vi differetierer Fx + c, hvor c er e kostat, så får vi ige f x. Det vil sige, hvis Fx er e stamfuktio, så er Fx + c også e

2 enote 1 1. RUMFANG-PROBLEMET stamfuktio! Derudover er det på ige måde på forhåd klart, at sådae stamfuktioer skulle have oget som helst at gøre med lægder, arealer, rumfag, eller vægt. Og hvilke fuktio f x skal vi iøvrigt bruge, år vi for eksempel vil fide rumfaget af e kugle? Og hvis vi ellers ka fide e stamfuktio til f x, hvilke kostat skal der så lægges til for at vi ka få det rigtige rumfag? For at få e ide om det, må vi først se på, hvorda vi i det hele taget ka prøve på at defiere hvad vi skal forstå ved begrebet rumfag. Figur 1.1: Kuglefyldiger med kubiske klodser. De atydede kugle, som øskes fyldt med klodsere, har radius 1. Til vestre er der plads i kugle til 8 klodser hver med sidelægde.5; i midte er der brugt 34 klodser, hver med sidelægde.; til højre er beyttet 38 klodser, hver med sidelægde Rumfag-problemet Rumfaget af et givet område i rummet, f.eks. e massiv kugle med radius 1, ka bygges op af stadard-elemeter med simplest mulig kasseformet geometri, for eksempel kubiske klodser. Me resultatet af e såda opbygig af kugle ka jo ku blive e grov tilærmelse til kugle, se figur 1.1. Og summe af de kubiske klodsers rumfag er derfor ku e grov tilærmelse til kugles rumfag. Hvis vi imidlertid fylder de samme kugle med kubiske klodser, der hver for sig har 1 gage midre rumfag altså 1 gage midre sidelægde er det klart, at de øskede kugle derved ka tilærmes meget bedre ved brug af mere ed 1 gage

3 enote APPROKSIMERENDE SUMMER OG EKSAKTE INTEGRALER 3 flere kubiske klodser; og det er stadig i pricippet e simpel sag at lægge alle klodseres rumfag samme. Det giver dermed også e meget bedre værdi for rumfaget af kugle. Eksemplet i Figur 1.1 viser pricippet: Approksimatioe af e kugle med radius 1 med 8 kubiske klodser med sidelægde 1/ har rumfaget 8 1/ 3 1; i midte har vi 34 kubiske klodser alle med sidelægde 1/5 der giver et tilærmet rumfag på 34 1/5 3.43, mes approksimatioe med 38 klodser med sidelægde.1 i højre figur klart giver e edu bedre tilærmelse: 38 1/ Til sammeligig vidste allerede Archimedes, at det eksakte volume af ehedskugle er 4π/ Når først dette er klart, så er øsket selvfølgelig at gå til græse ved at lade atallet af stadard-klodser gå imod uedelig samtidig med at de beyttede klodser gøres tilsvarede midre i hvert forsøg. Og således pakke og udfylde kugle bedre og bedre, med flere og flere, midre og midre kuber, og derved opå Archimedes resultat i græse. Me hvorda lægger vi uedelig mage uedelig små rumfag samme? Og går det virkelig godt? Itegratiosbegrebet og de tilhørede stamfuktiosbestemmelser giver præcise avisiger og overraskede positive svar på begge disse spørgsmål. Vi viser i dee enote hvilke formelle overvejelser og metoder, der ligger bag de succes og tager deræst straks i de efterfølgede enoter fat på at bruge itegratiostekikkere til at bestemme lægder af kurver, arealer af fladestykker, rumfag af rumlige områder, etc. I enote om itegratio i tre variable vises for eksempel, hvorda kugles rumfag ka bereges eksakt ved hjælp af udfyldiger med kasseformede blokke med forskellig størrelse og form i stil med udfyldigere af kugle ovefor, se figurere 1.1, 1. og eksempel Approksimerede summer og eksakte itegraler På de reelle u-akse betragter vi e fast valgt kotiuert reel fuktio f u på itervallet [, 1], f.eks. f u 1 + u + u. For et givet helt tal > gør vi u følgede. Først deles itervallet [, 1] i lige store delitervaller, som derved hver får lægde δ u 1. Delitervalleres vestre edepukter har u koordiatere: u 1, u 1, u 3, u 4 3,, u 1, u 1.

4 enote APPROKSIMERENDE SUMMER OG EKSAKTE INTEGRALER 4 Figur 1.: Delvis opbygig af e kugleskal. Det vil sige, at det i te itervals vestre edepukt har u koordiate u i i 1 1 i 1 δ u, hvor i 1,, 3,..., 1,. Opgave 1.1 Bemærk, at hvis vi forøger atallet af delitervaller med 1, og u øsker e delig af [, 1] i + 1 lige store delitervaller, så vil alle de tidligere placerede vestre edepukter i itervallet [, 1] skulle flyttes lidt påær u 1 for at give plads til det ekstra deliterval. Hvor meget? For et fast atal delitervaller,, fider vi fuktiosværdie af f i hvert af delitervalleres vestre edepukter, altså de værdier f, f 1, f, f 3 1,..., f. Summe af disse værdier vil sædvaligvis afhæge meget af atallet af fuktiosværdier, me hvis vi først gager hver ekelt fuktiosværdi med deliterval-lægde δ u får vi følgede såkaldte vægtede sum af fuktiosværdiere, som iøvrigt derved etop er e approksimatio til det med forteg regede areal af området imellem u akse og grafe for f u over itervallet jvf. figur 1.4: I f,, [, 1] f i f i 1δ u δ u f u i δ u. 1-1

5 enote APPROKSIMERENDE SUMMER OG EKSAKTE INTEGRALER 5 Figur 1.3: Gottfried Wilhelm vo Leibiz til vestre og Georg Friedrich Berhard Riema. Opgave 1. Vis, at de vægtede sum af fuktiosværdiere af f i ligig 1-1 er opadtil begræset af f s største værdi og edadtil begræset af f s midste værdi i itervallet [, 1]. De vægtede sum er ikke blot begræset for alle. Det viser sig emlig, at de også har e græseværdi for gåede imod uedelig i hvert fald hvis f u er kotiuert; det er de græseværdi vi kalder Riema-itegralet af f u over itervallet [, 1] efter B. Riema, se figur 1.3. Selve græseværdie beteges efter G. Leibiz, se figur 1.3 med følgede otatio 1 lim I f,, [, 1] f u du. 1-

6 enote APPROKSIMERENDE SUMMER OG EKSAKTE INTEGRALER 6 Figur 1.4: Figure viser areal-repræsetatioe af itegralsumme I f,, [ 1, 1] for fuktioe f u 1 + u + u se opgave 1.14 med delitervaller i itervallet [a, b] [ 1, 1]. De addeder i summe er repræseteret ved rektagulære søjler med de fælles bredde b a/ 1/1 og højder givet ved værdiere af fuktioe f u 1 + u + u i delitervalleres vestre edepukter. Eksempel 1.3 Kostat fuktio Lad f u α for alle u [, 1], hvor α er e kostat. Så er I f,, [, 1] f u i δ u α 1 α 1 α 1-3 α, således at 1 lim I f,, [, 1] α du α. 1-4

7 enote APPROKSIMERENDE SUMMER OG EKSAKTE INTEGRALER 7 Eksempel 1.4 Førstegradspolyomium Lad f u α + β u for u [, 1], hvor α og β er kostater. Det vil sige at grafe for f u er et ret lijestykke over itervallet u [, 1] på u-akse. Så er I f,, [, 1] f u i δ u α + β u i 1 α α + β i β α + β i β α + β 1 i β 1 1 i 1 1 1, 1-5 hvor vi så har brug for følgede idetitet: 1 i , 1-6 såda at Det følger heraf, at og dermed I f,, [, 1] α + β + 1 β 1 1 lim I f,, [, 1] α + β , 1-8 α + β u du α + 1 β. 1-9 Bemærk, at de fude værdi er præcis arealet af området imellem grafe for f u α + β u og u-akse over itervallet [, 1] for så vidt grafe der ligger helt over u-akse. Hvis vi beytter de samme strategi som ovefor, me u med e delig af det mere geerelle iterval [a, b] på u -akse i lige store delitervaller, har vi følgede sætig:

8 enote APPROKSIMERENDE SUMMER OG EKSAKTE INTEGRALER 8 Sætig 1.5 Itegralsum og Riema-itegral Lad f u betege e kotiuert fuktio på itervallet [a, b]. For ethvert iddeles itervallet i lige store delitervaller, hver med lægde δ u b a/. Disse delitervallers vestre edepukter har så koordiatere u i a + i 1δ u for i 1,, 3,..., 1,. Lad I f,, [a, b] betege følgede sum: I f,, [a, b] f a + i 1 b a b a f a + i 1δ u δ u f u i δ u. 1-1 Så har I f,, [a, b] e græseværdi for gåede imod. Græseværdie kaldes Riema-itegralet af f u over [ a, b ] og beteges med b a f u du: I f,, [a, b] f u i δ u b a f u du for Opgave 1.6 Lad f u α + β u for give kostater α og β og lad [a, b] betege et iterval på u-akse. Bestem for ethvert værdie af I f,, [a, b], 1-1 fid deræst græseværdie lim I f,, [a, b], 1-13 og sammelig med arealet af området mellem de retlijede grafe for f u og u-akse. Summer af type I f,, [a, b] vil vi i det følgede kalde itegralsummer. Det er eksistese af græseværdier af disse itegralsummer, der er det helt afgørede for vort forehavede. Bemærk for eksempel, at græseværdie b a f u du jo u er det bedste bud på, hvad vi skal forstå ved arealet af det plae område imellem u akse og grafe for f u over itervallet [a, b] for så vidt at f u er positiv i hele itervallet. I opgave 1.14 og i eksemplere 1.15 og 1.16 behadles adre eksempler på, hvorda sådae græseværdier og arealer ka bereges direkte ud fra e aalyse af, hvorda summere f u i δ u opfører sig år.

9 enote STAMFUNKTIONSBESTEMMELSE 9 Bemærk, at Riema-itegralet etop kostrueres og opstår som e uedelig sum af uedeligt små addeder f u i δ u for, altså præcis som vi havde brug for det i forbidelse med vore overvejelser om rumfaget af kugle ovefor og i figur Stamfuktiosbestemmelse Riema-itegraler ka bestemmes ved hjælp af stamfuktioer det er præcis idholdet af de fudametalsætig, som vi vil formulere og bruge i æste afsit. Vi vil atage i det følgede, at vi allerede for passede elemetære fuktioer f x er i stad til at fide stamfuktioere Fx til f x. Som bekedt går det ud på at fide alle de fuktioer Fx der opfylder, at F x f x. De fuktioer beteger vi som følger ved hjælp af itegralteget, og vi siger, at itegrade f x itegreres og giver itegralet eller stamfuktioe Fx: Fx f x dx Hvis Fx er e stamfuktio til f x og c e reel kostat, så er Fx + c også e stamfuktio til f x. Og alle stamfuktioere til f x fås ved at fide é stamfuktio og dertil lægge vilkårlige arbitrære kostater c. Her er ogle eksempler på stamfuktioer til ogle velkedte fuktioer f x vi agiver ku é stamfuktio til hver af de give fuktioer: f x a, Fx f r 4πr, Fr f t 1/1 + t, Ft f u 1 + u + u, Fu f x six, Fx f x e x, Fx f x e x, Fx f x dx ax f r dr 4 3 πr3 f t dt arctat f u du u + 1 u u3 π f x dx FreselS x f x dx 1 π erfx f x dx e x. π 1-15 Da vi i de enoter der hadler om itegratio i flere variable har udstrakt brug for at kue fide stamfuktioer også for lidt mere idviklede itegrad-fuktioer æver

10 enote STAMFUNKTIONSBESTEMMELSE 1 vi følgede to sætiger, der ka være e hjælp til omformig af give stamfuktiosproblemer til bestemmelse af simplere stamfuktioer. Sætig 1.7 Partiel itegratio Lad f x betege e kotiuert fuktio med e stamfuktio Fx og lad gx være e differetiabel fuktio med kotiuert afledet g x. Så ka alle stamfuktioer til produktet f x gx bestemmes ved: f x gx dx Fx gx Fx g x dx Bevis Vi skal blot vise, at de to sider af ligige 1-16 har samme differetialkvotieter for alle x! To fuktioer er stamfuktioer for de samme itegradfuktio, hvis deres differes er e kostat. De afledede er es fordi: d dx f x gx dx f x gx d Fx gx dx Fx g x dx F x gx + Fx g x Fx g x f x gx Eksempel 1.8 Partiel itegratio Vi vil bestemme e stamfuktio til hx x six. Først skriver vi hx f x gx med f x six og gx x. Så har vi i hehold til regle om partiel itegratio: x six dx x cosx 1 cosx dx x cosx + six Opgave 1.9 Bestem samtlige stamfuktioer til fuktioe f x cosx six.

11 enote STAMFUNKTIONSBESTEMMELSE 11 Sætig 1.1 Itegratio ved substitutio Lad f x være e kotiuert fuktio og lad gu betege e mooto, differetiabel fuktio med kotiuert afledet g u. Så ka vi bestemme e stamfuktio til f x ved hjælp af de sammesatte fuktio f gu således: f x dx f gu g u du, 1-19 ug 1 x hvor g 1 x beteger de omvedte fuktio til gu. Bevis Vi skal ige vise, at de to sider i 1-19 har samme differetialkvotiet for alle x: d f x dx f x og dx d f gu g u du dx ug 1 x d f gu g u du du ug 1 x f gu g u ug 1 x f gu 1 g u d g 1 x dx f x, 1- hvor vi udervejs har beyttet regle om differetiatio af sammesatte fuktioer kæderegle og regle om differetiatio af omvedte fuktioer, se enote 14. Eksempel 1.11 Substitutio Vi vil bestemme e stamfuktio til fuktioe f x x 1 + x, x ], [ 1-1 altså: f x dx x dx x

12 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN 1 Hvis vi substituerer med fuktioe gu u for u ], [ får vi fjeret kvadratrodsteget og har dermed igrediesere til brug i substitutiosregle: Vi idsætter og får: f gu u 1 + u g u u. x f x dx 1 + x dx u 1 + u u du u u du u du u arctau u x ug 1 x u x u x x arcta x, x ], [ Opgave 1.1 Bestem samtlige stamfuktioer til fuktioe f x x e x. 1.5 Fudametal-sætige Følgede fudametale sætig etablerer de atydede relatio mellem stamfuktiosbestemmelse og Riema-itegralere, og det er de vi beytter os kraftigt af i de enoter, der hadler om itegratio i flere variable. Sætig 1.13 Itegralregiges fudametalsætig Lad f u betege e kotiuert fuktio på itervallet [a, b]. Atag, at Fu er e vilkårlig stamfuktio for f u. Så gælder følgede: b lim I f,, [a, b] a f u du [ Fu ] ub ua Fb Fa. 1-5

13 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN 13 Vi vil ikke her bevise fudametalsætige blot bemærke, at ma godt ka forvete, at stamfuktioe til f u ka give itegralsummes græseværdi som i sætig 1.13: Hvis vi for et givet lader og hvis vi sætter x u +1 og x x + δ u, så er Fx I f,, [a, x ] 1-6 Fx I f, + 1, [a, x] I f,, [a, x ] + f u +1 δ u Fx + f x x x, 1-7 Hvis vi et øjeblik tillader os at se bort fra -afhægighedere og de ødvedige ivolverede græseværdier for, så følger det af 1-7, at Fx er differetiabel i x med differetialkvotiete f x, se defiitioe på differetiabilitet af e fuktio af é variabel i enote 14, afsit I de forstad må vi forvete, at Fx faktisk er e stamfuktio til f x. Dee grove overvejelse er aturligvis ku e pejlig i retig af et egetligt bevis for fudametalsætige. Riema-itegralere ka herefter bereges på to måder, dels som græseværdi af itegralsummer og dels som e differes mellem evaluerigere af e stamfuktio i iterval-edepuktere. Det er sædvaligvis de sidste metode, det er smartest at beytte sig af, hvis altså de relevate stamfuktioer ka fides eller bestemmes. Figur 1.5: Heri Léo Lebesgue, Richard P. Feyma, og Kiyosi Ito.

14 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN 14 Riema-itegratio er seere blevet udviklet betydeligt til gav for og brug i adskillige avedelser. Lebesgue s itegral- og målteori fra 191 gør det for eksempel muligt at udvide begrebere lægde, areal, og volume til også at give kosistet meig for f.eks. fraktale geometriske objekter. Ito-calculus, Satalo s itegralgeometri, og Feyma s sti-itegraler er bladt de yeste udvikliger med spædede avedelser i så vidt forskellige disciplier som fiasiel matematik og kvatefeltteori. Vi illustrerer her fudametalsætige og de to beregigsmetoder i form af e opgave og et par eksempler: Opgave 1.14 Lad f u 1 + u + u, u [ 1, 1]. Så er I f,, [ 1, 1] i i 4 i + 8 i i Beyt tabelle over del-summere edefor til at berege summe i 1-8 som fuktio af og deræst til at eftervise 1 lim I f,, [ 1, 1] 1 + u + u du F1 F 8 1 3, 1-9 idet e stamfuktio til f u i dette tilfælde jo er Fu u + 1 u u3 således at F1 8 3 og F. Der gælder følgede om størrelse af de del-summer, der påær faktorer, som ka sættes udefor teget optræder i det sidste udtryk for I f,, [ 1, 1] i ligig 1-8 : , ,, 1-3 i 3 i i i 3 i 1 3 i + 1, 1 i i + 1,, 1-31

15 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN 15 i 3 i i 1 3 i i i Vi har beyttet ovefor, at i og i Bevis de to ligiger i 1-33 evt. ved matematisk iduktio, se Wikipedia. Hvis vi øsker at bestemme Riema-itegraler for fuktioer, der ikke er så simple som polyomier, så er det ofte simplest at beytte stamfuktiosberegige i stedet for at vurdere græseværdiere for itegral-summere. Eksempel 1.15 Sius som itegralsum Vi betragter e velkedt fuktio f u cosu med stamfuktioe: således at f u du cosu du siu, 1-34 u cosu du siu 1-35 for ethvert u R. E baglæs læsig af fudametalsætige giver derfor siu udtrykt ved værdier af cosu for u [, u ]: u siu lim i 1 u cos 1-36 Eksempel 1.16 FreselC og FreselS Vi vil vurdere følgede sum for : S 1 k k 1 cos k

16 enote DOBBELTSUMMER OG DOBBELTINTEGRALER 16 Summe har form som e itegralsum S I f,, [, 1] f u i δ u 1-38 emlig for fuktioe f u cosu med δ u 1/ over itervallet [, 1]. Ifølge fudametalsætige har vi derfor: S 1 cosu du for De stamfuktio Fu til f u cosu som har værdie F i u, ka udtrykkes ved e fuktio der hedder FreselCu: π Fu cosu du FreselC u, 1-4 π såda at: k 1 k1 k 1 cos π FreselC.95 for π Tilsvarede er de fuktio som beæves FreselS stamfuktio til siu med værdie i u, således at k 1 k 1 π si FreselS.31 for. 1-4 π k1 1.6 Dobbeltsummer og dobbeltitegraler For fuktioer af to variable har vi svarede til sætig 1.5 følgede:

17 enote DOBBELTSUMMER OG DOBBELTINTEGRALER 17 Sætig 1.17 Lad f u, v betege e kotiuert reel fuktio på et rektagel [a, b] [c, d] i u, v- plae. Itervallet [a, b] deles i lige store delitervaller og itervallet [c, d] deles i m lige store delitervaller. Så har hvert u-deliterval lægde δ u b a/ og hvert v-deliterval har lægde δ v d c/m. Tilsvarede bliver delepukteres koordiater i u, v-parameterområdet som jo er rektaglet [a, b] [c, d] i R : u 1, v 1 a, c, u 1, v j a, c + j 1δ v, u i, v 1 a + i 1δ u, c, u i, v j a + i 1δ u, c + j 1δ v,... u, v m a + 1δ u, c + m 1δ v Derved bliver det rektagulære parameterområde tilsvarede uderopdelt i ialt m helt es uder-rektagler, der hver har arealet δ u δ v. De defierede delepukter er de ederste vestre hjørepukter i disse uderrektagler. Lad u II f,, m, [a, b] [c, d] betege følgede dobbeltsum, hvor hver added er et vægtet areal; vægtee er de respektive værdier af f u, v i hvert af de ovefor defierede ederste vestre hjørepukter i de rektagler der opdeler parameterområdet, og hvert ekelt del-areal er det kostate areal af hver del-rektagel δ u δ v : II f,, m, [a, b] [c, d] f jm j1 jm j1 jm j1 a + i 1 b a, c + j 1d c b a d c m m f a + i 1δ u, c + j 1δ v δ u δ v f u i, v j δu δ v Så har II f,, m, [a, b] [c, d] e græseværdi for, m, og de beteges med: d b lim lim II f,, m, [a, b] [c, d] m c a f u, v du dv. 1-45

18 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN FOR DOBBELTE INTEGRALSUMMER 18 Summer af type II f,, m, [a, b] [c, d] vil vi kalde dobbelt itegralsummer og græseværdie d b c a f u, v du dv kaldes tilsvarede ige Riema-itegralet af f u, v over [a, b] [c, d]. Bemærk, at vi u ka tillade os at skrive følgede år Riema-itegralet af f u, v over [a, b] [c, d] eksisterer: f d b u i, v j δu j1 δ v c a f u, v du dv, 1-46 således at vi groft sagt har at -teget bliver til et -teg i græse, og tilsvarede δ u og δ v bliver til heholdsvis du og dv. Riema-itegralet af f u, v over [a, b] [c, d] d c b a f u, v du dv 1-47 i sætig 1.17 er ku et symbol, e betegelse, for græseværdie af dobbeltitegralsumme for f u, v. Sætiges essetielle påstad er at de græseværdi eksisterer år f u, v er kotiuert i det rektagulære område. Me de reduktio af dobbeltsumme, der foregår i ligig 1-44 og selve otatioe for Riema-itegralet mere ed atyder, at Riema-itegralet faktisk ka bereges ved hjælp af stamfuktioer for passede fuktioer af é variabel. Det er selvfølgelig idholdet af fudametalsætige for dobbelte itegralsummer. 1.7 Fudametal-sætige for dobbelte itegralsummer De Riema ske dobbeltitegraler bereges via stamfuktiosbestemmelse således:

19 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN FOR DOBBELTE INTEGRALSUMMER 19 Sætig 1.18 Lad f u, v betege e kotiuert fuktio på [a, b] [c, d]. Atag, at Fu, v er e vilkårlig stamfuktio for f u, v betragtet som e fuktio af de ee variabel u for et vilkårligt givet v [c, d]. Lad deræst Ga, v være e vilkårlig stamfuktio til Fa, v og lad Gb, v være e vilkårlig stamfuktio til Fb, v. Så gælder følgede: lim lim II f,, m, [a, b] [c, d] m d c d c d c b a f u, v du dv [ Fu, v ] ub ua dv Fb, v Fa, v dv [ Gb, v ] vd vc [ Ga, v ] vd vc Gb, d Gb, c Ga, d Ga, c Vi illustrerer beregige af Riema ske dobbeltitegraler med ekelte eksempler mest for at vise, at i kokrete tilfælde ka beregigere være simplere ed 1-48 lader ae: Eksempel 1.19 Et Riema sk dobbeltitegral Lad f u, v u v for u [, 1] og v [ 1, 1]. Så er 1 1 v udu dv 1 1 [ v u ] u1 u dv v dv 1 6 [ v3 ] v1 v Bemærk, at beregige af dobbeltitegralet foretages idefra det iderste itegral er et itegral over u-itervallet, her [, 1], og bereges først, dvs. med fastholdt v. E stamfuktio til v u med kostat v er v u / såda at: 1 v cdotu du 1 [ v u ] u1 u 1 v. 1-5

20 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN FOR DOBBELTE INTEGRALSUMMER Figur 1.6: Volume-repræsetatio af itegralsumme II f, 1, 1, [, 1] [, 1] for fuktioe f u, v u v. I beregige kue vi alterativt have beyttet, at F v u v u / og dermed G a v v 3 a /6, G b v v 3 b /6 og idsat direkte i det sidste udtryk i Eksempel 1. Et dobbeltitegral med symmetri Lad f u, v u v for u [ 1, 1] og v [ 1, 1]. Så er 1 1 v u du dv 1 1 [ v u ] u1 u 1 dv 1, mes v udu dv [ v u ] u1 u dv v dv 1 1 [ v ] v1 v

21 enote TREDOBBELTE SUMMER OG TREDOBBELTE INTEGRALER 1 Eksempel 1.1 Dobbelt itegralsum Volume-repræsetatio af itegralsumme II f, 1, 1, [, 1] [, 1] for fuktioe f u, v u v er vist i figur 1.6. De 1 addeder i summe er til højre repræseteret ved søjler med samme kvadratiske tværsit og med højder, som er givet ved de respektive værdier af fuktioe f u, v u v i u, v-kvadratets delepukter. Der opås derved e approksimatio til rumfaget af det område i rummet, der er afgræset af x, y plae og graf-flade for fuktioe f x, y xy over kvadratet x, y [, 1] [, 1], som vist til vestre. Det eksakte rumfag er Tredobbelte summer og tredobbelte itegraler Sætig 1. Lad f u, v, w betege e kotiuert reel fuktio på et kasseformet parameterområde [a, b] [c, d] [h, l] i u, v, w-rummet. Itervallet [a, b] deles i lige store delitervaller, itervallet [c, d] deles i m lige store delitervaller, og itervallet [h, l] deles i q lige store delitervaller. Så har hvert u-deliterval lægde δ u b a/, hvert v-deliterval har lægde δ v d c/m og hvert w-deliterval har lægde δ w h l/q. Tilsvarede bliver delepukteres koordiater i u, v, w- parameterområdet [a, b] [c, d] [h, l] i R 3 : u 1, v 1, w 1 a, c, h,... u, v m, w q a + 1δ u, c + m 1δ v, h + q 1δ w. Lad u III f,, m, q, [a, b] [c, d] [h, l] betege følgede : 1-53 III f,, m, q, [a, b] [c, d] [h, l] jm f u i, v j, w k δu j1 kq k1 δ v δ w Så gælder lim l h lim lim III f,, m, q, [a, b] [c, d] [h, l] m q d b f u, v, w du dv dw. c a 1-55

22 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN FOR TREDOBBELTE INTEGRALSUMMER Summer af type III f,, m, q, [a, b] [c, d] [h, l] vil vi aturligvis kalde tredobbelte itegralsummer og græseværdie l d b h c a f u, v, w du dv dw kaldes Riemaitegralet af f u, v, w over [a, b] [c, d] [h, l]. 1.9 Fudametal-sætige for tredobbelte itegralsummer De Riema ske tredobbelte itegraler bereges således: Sætig 1.3 Lad f u, v, w betege e kotiuert fuktio på [a, b] [c, d] [h, l]. Atag, at Fu, v, w er e vilkårlig stamfuktio for f u, v, w betragtet som e fuktio af de ee variabel u for vilkårligt give v [c, d] og w [h, l]. Lad Ga, v, w være e vilkårlig stamfuktio til Fa, v, w betragtet som e fuktio af de ee variabel v for vilkårligt givet w [h, l]. Lad Gb, v, w være e vilkårlig stamfuktio til Fb, v, w ige betragtet som e fuktio af de ee variabel v for vilkårligt givet w [h, l]. Lad edelig Ha, c, w være e vilkårlig stamfuktio til Ga, c, w, og tilsvarede Hb, c, w, Ha, d, w, og Hb, d, w stamfuktioer for Gb, c, w, Ga, d, w, og Gb, d, w. Så gælder : lim l h lim lim III f,, m, q, [a, b] [c, d] [h, l] m q d b f u, v, w du dv dw c a Hb, d, l Hb, d, h Hb, c, l Hb, c, h Ha, d, l Ha, d, h Ha, c, l Ha, c, h Vi illustrerer med et par simple beregiger:

23 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN FOR TREDOBBELTE INTEGRALSUMMER 3 Eksempel 1.4 Tredobbelt itegratio Lad f u, v, w u v siw for u [, 1], v [, ] og w [, π/]. Så er π/ 1 u v siw du dv dw 1 1 π/ π/ π/ π/ v siw [ u / ] u1 u dv dw v siw dv dw siw [ v / ] v v dw siw dw [ cosw] wπ/ w 1. Eksempel 1.5 Et tre-dobbeltitegral med symmetri Lad f u, v, w u v w for u [ 1, 1] og v [ 1, 1], og w [ 1, 1]. Så er w v u du dv dw, mes w v u du dv dw 1 8, 1-58

24 enote FUNDAMENTAL-SÆTNINGEN FOR TREDOBBELTE INTEGRALSUMMER 4 Eksempel 1.6 Ehedskugles rumfag Som geemgået i enote om itegratio over rumlige områder bereges volumeet af de massive ehedskugle ved følgede tredobbelte Riema-itegral som vil blive motiveret i de enote. Dermed verificeres Archimedes resultat: 1 π π VolEhedskugle w siu du dv dw π 1 π w [ cosu ] u uπ dv dw π 1 π w dv dw 4π 1 1 π w [ v ] vπ v π w dw 4π [w 3 /3 ] w1 w dw π 3.

25 enote OPSUMMERING Opsummerig I dee enote har vi beskæftiget os med basis for de metoder og resultater, der er helt uomgåelige hjælpemidler for at kue fide lægder, arealer, rumfag, massemidtpukter, iertimometer etc. af heholdsvis kurver, og områder i pla og rum. For ehver give kotiuert fuktio f u af é variabel u på et iterval [a, b] opstiller vi de itegralsummer I f,, [a, b], der i græse for defierer Riema-itegralet af fuktioe over itervallet. Disse Riema-itegraler ka derefter selv bereges via fudametalsætige ved hjælp af e stamfuktio Fu for f u således: I f,, [a, b] b a f u i δ u b a f u i δ u f u du for f u du [Fu] ub ua Fb Fa, 1-6 hvor u i a + i 1 δ u og δ u b a Helt tilsvarede græseværdier for tilsvarede summer for kotiuerte fuktioer af to og tre variable er opstillet og eksemplificeret.