Til hvem end der måtte læse dette dokument med retning for øje:

Transkript

1 Kapitel 1 Modellering af rotor Til hvem end der måtte læse dette dokument med retning for øje: Afsnittene Roterende system, Elektrisk system og DC-motor er lærebogsstof fra Modeling and Analysis of Dynamic systems. Noget af indholdet kan med fordel klippes ind i de efterfølgende afsnit. Kontroller om formler og formeludledninger er korekte Kontroller at der er sammenhæng mellem navnene på de variable på figur tekst og ligning. Gå efter hvad der står i Modeling and Analysis of Dynamic systems Kontroller brugen af X d dt og X, bogen bruger begge dele i forskellige sammenhæng. Har ikke helt fundet den røde tråd i det men har forsøgt at følge bogens skrivemåde. Nogle gange er de variable både beskrevet i en tabel og i brødtekst. Jeg ved ikke hvad der fungerer best. En tabel fylder måske lidt mindre plads men er knap så beskrivende. Udkommenter det ene eller andet. Overvej om der bør stå f.eks θ eller θ(t). Metal-lokummet på taget er i hedder i følgende rotoren, men det der snorre rundt i en motor hedder også en rotor. Så derfor bør lokummet på tage nok kaldes for pedestalen. Dette bør rettes. Så er der selvfølge diverse stave og komma fejl God fornøjelse 1

2 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR Det ønskes at bestemme en overføringsfunktion, der beskriver forholdet mellem den, på DC-motoren påtrykte spænding på DC-motoren og den vinkelhastighed rotoren drejer. Rotoren opdeles i to mekaniske systemer, azimut figur 1.1 og elevation figur 1.2. De to mekansiske systemer er i princippet ens. Begge består af en DC-motor der driver et gear som roterer parabolen i azimut eller elevation. Da det ikke er muligt, at tilgå DC-motorene og gearne i rotoren, betragtes disse som et samlet roterende mekanisk system. En DC-motor er et elektro-mekanisk system og indeholder såedes både et elektrisk og et mekanisk delsystem. Disse delsystemer analyseres enkeltvis, hvorefter de fremkomne ligninger kan samles til en samlet beskrivelse af systemet og dermed den ånskede overfåringsfunktion. Fårst analyseres det mekaniske delsystem og derefter det elektriske. Figur 1.1: Model af azimutsystem Figur 1.2: Model af elevatinssystem 1.1 Roterende mekanisk system Følgende er skrevet på baggrund af Modeling and Analysis of Dynbamic Systems. 2

3 1.1. ROTERENDE MEKANISK SYSTEM Formålet med følgende er at give forståelse af hvorledes et roterende mekanisk system modelleres Variable For roterende mekaniske systemer anvendes følgende symboler for variable alle funktioner af tid. θ, vinkel i radian [rad] ω, vinkelhastighed i radian pr. sekunt [rad/s] α, vinkelacceleration i radian pr. sekund pr. sekund [rad/s 2 ] τ, moment (torque) i newthon-meter [N m] Refferanceretningen for vinkel, vinkelhastighed og vinkelacceleration skal være i samme retning så forholdet ω = θ α = ω = θ er gældende. På figur 1.3 illusteres sammenhænget mellem disse variable, hvor τ repræsenterer et ekstern moment tilført det roterende legme. Figur 1.3: Illustration af retninger på roterende variable Effekten tilført det roterende system på figur 1.3 er p = τω 3

4 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR Effekten er den afledte af energien w, og energien tilført systemet til tiden t er t w(t) = w(t 0 ) + p(λ)dλ t Lovmæssigheder Elementerne anvendt til at representere de fysiske elementer i et roterende system er inertimoment, friction, stivhed (fjedder), vægtstang og gear. De elementer der er relevante for parabolrotoren beskrives i følgende afsnit. Inertimoment τ, moment (torque) [N m] J, inertimoment i kilogram-kvadratmeter [kg m 2 ] m, masse i kilogram [kg] Jω, vinkelmoment [kg m 2 rad/s] Når Newton s anden lov anvendes på en delmasse dm på fig 1.3 og resultatet integreres over hele legmet fås d (Jω) = τ (1.1) dt hvor Jω er vinkelmomentet og τ representerer momentet tilføert omkring den faste rotationsakse. Symbolet J representerer inertimomentet [kg m 2 ] og findes ved at integrere over hele massen, r 2 dm. For en cylinder som på figur 1.4 gælder Figur 1.4: Roterende skive J = 1 2 mr2 4

5 1.1. ROTERENDE MEKANISK SYSTEM Da vi kun betragter ikke relative systemer og konstant inertimoment omskrives så (1.1) reduceres til Jω = τ hvor ω er vinkelaccelerationen. Et roterende legme med en masse kan lagre energi både potential og kinetisk. Kinetisk energi: w k = 1 2 Jω2 Potentiel energi: w p = mgh hvor: m, masse i kilogram [kg] g, tyngdekonst [m/s 2 ] h, højden af massemidtpunktet over refferancepunktet i meter [m] Friktion τ = B ω hvor ω = ω 2 ω 1 Figur 1.5: Roterende system med smurt friction 5

6 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR q K q t t 1 2 q t Stivhed (fjedder) Vridet i en akse τ = K θ hvor θ = θ 2 θ 1 og K er fjedderkonstant [N m] Potentielenergi: w p = 1 2 K( θ)2 1.2 Elektriske system Følgende er skrevet på baggrund af Modeling and Analysis of Dynbamic Systems. Formålet med følgende er at give forståelse af hvorledes et elektrisk system modelleres Variable e, elektromotorisk kraft (spænding) i volt [V] i, strøem i ampere [A] Relaterede variable q, ladning i coulombs [C] φ, flux i weber [Wb] Λ flux linkage XXX(danks?) i weber-turns XXX(dansk?) Strøm er den tidsafledte af ladning 6

7 1.2. ELEKTRISKE SYSTEM i = dq dt og t q(t) = q(t 0 ) + i(λ)dλ t 0 Effekten tilført et kredsløbselement er givet ved p = ei som har enheden watt Lovmæssigheder Modstand Ohm s lov: e = Ri eller i = 1 R e Effekten afsat i en linier modstand kan skrives som p = Ri 2 = 1 R e2 7

8 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR Kondensator For en linier kondensator gælder føelgende sammengæng mellem ladning og spændign q = Ce (1.2) hvor C er kapacitansen i farad [F]. Hvis (1.2) differentieres og q erstattes med i bliver elemetloven for en fast linier kondensator i = C de dt (1.3) For at udtrykke spændingen over terminalerne på kondensatoren vha. strømmen løses (1.3) for de/dt og derefter integreres, fås e(t) = e(t 0 ) + 1 C t t 0 i(λ)dλ hvor e(t 0 ) er spændingen til begyndelsestidspunktet t 0 og integralet er ladningen leveret til kondensatoren mellem tiderne t 0 og t. Den lagrede energi en fast linier kondensator er w = 1 2 Ce2 Spole For en linier spole gælder e = d dt (Li) hvor L er inductancen med enheden henry (H). For en fast linier spole er L konstant og følgende udtryk gælder 8

9 1.3. DC-MOTOR e = L di dt (1.4) Et udtryk for strømmen findes ved at integrere di/dt i (1.4) hvilket giver i(t) = i(t 0 ) + 1 L hvor i(t 0 ) er startstœmmen i spolen. Lagret energi: t t 0 e(λ)dλ w = 1 2 Li2 1.3 DC-motor Følgende er skrevet på baggrund af Modeling and Analysis of Dynbamic Systems. Formålet med følgende er at give forståelse af hvorledes en DC-motor modelleres. I en DC-motor kan jern cylinderen mellem polerne på magneten rotere frit og kaldes for rotoren. De roterende spoler er integreret i rotorens overflade og kaldes armaturvindinger. Figur 1.6: DC-motor med felt og armatur viklinger De vigtige parametre til modellering af motoren er vist på figur (1.7). armaturen representeres af kredsløb med modstand, inductance L A og inducerende spændings- 9

10 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR kilde e m. Ligeså har feltkresløbet en modstand R F og inductance L F men ingen inducernde spændignskilde. Figur 1.7: Diagram over DC-motor til analyse Motoren har et inertimoment J, roterende væskedæmpnings koefficinet B, en drivende moment τ e forudsaget af kraften fra armaturvindingerne, og en last moment τ L. Det elektriske input til motoren kan betragtes som strømmene i A og i F eller de påtrykte spændinger e A og e F. Outputtet er vinkelhastigheden på rotoren ω. Når motore og generatorre modelleres udtrykkes flux tætheden B som B = 1 A φ(i F) hvor φ(i F ) er total flux A er effektiv areal mellem luftspalte Hvis l representerer længden af armaturspolerne i det magnetiske felt og a er radius på armaturet, er den elektromekansike moment på rotoren τ e = ( φ A )lai A (1.5) Da l, a og A kun afhænger af geometrien i motoren kan disse defineres som 10

11 1.4. EKSEMPEL τ e = [γφ(i F )]i A og (1.10) kan omskrives til termer af flux og armatur strøm til e m = [γφ(i F )]ω Ligeledes er spændingen induceret i armaturet γ = la A (1.6) 1.4 Eksempel DC-motor med konstant felt spænding E F, tilført armaturspænding e i (t), og en last moment τ L (t). - E F + R F i F L F R A + i A L A + w t L (t) e i (t) e m - - t e J B Figur 1.8: DC-motor med konstant feltstrøm Det basale motordiagram på figur 1.7 er repræsenteret på figur 1.8 med specifik felt og armatur input spænding tilføjet. Da felt spændingen E F er konstant er felt strømmen også konstant, i F = E F /R F. Den elektromekaniske drivende moment τ e og den inducerede spænding e m kan skrives som 11

12 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR τ e = αi A (1.7) e m = αω hvor α er konstant og defineret ved α = γφ(i F ) og γ er givet ved 1.6. Det vælges at i A og ω er tilstandsvariable og en spændings ligning for armatur kredsløbet og og en moment ligning for rotoren. Tilstandsligningerne løses til de afledte og ligning 1.7 anvendes e i (t) = i A + L A di A dt e m di A dt = 1 L A [ i A e m + e i (t)] dia dt = 1 L A [ i A αω + e i (t)] τ e = Bω + τ L (t) + Jω ω = 1 J [τ e Bω τ L (t)] ω = 1 J [αi A Bω τ L (t)] Laplace: 12 L A si A (s) = I A (s) αω(s) + E i (s)

13 1.5. MODELLERING AF ELEKTRISK DELSYSTEM JsΩ(s) = αi A (s) BΩ(s) τ L (s) I A (s) udrydes og ligningen løses for Ω(s) Ω(s) = H 1 (s)e i (s) + H 2 (s)τ L (s) hvor H 1 (s) = α/jl A P(S) H 2 (s) = (1/J)s (B+α 2 ) P(s) P(s) = s 2 + ( RA L A + B J ) ( ) s + RA b+α 2 JL A Den generelle input-output differential ligning er ( ω RA + + B ) ω + L A J ( RA B + α 2 JL A ) ω = α JL A e i (t) 1 J τ L JL A τ L (t) 1.5 Modellering af elektrisk delsystem Det elektriske delsystem kan modelleres med kredsløbsdiagrammet vist på figur (1.9) R A i A + e i (t) - L A e m + - Figur 1.9: Elektrisk delsystem af DC-motor hvor i A er armaturstrømmen, er armaturmodstanden, L A er armaturinduktansen og e m er den indukserede spændingskilde og e i (t) er den påtrykte spænding på motoren. Den inducerede spændign e m kan skrives som 13

14 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR Element En spændingskilde: e i (t) En modstand: En spole: L A En hastighedsstyret spãšndingskilde: e m Beskrivelse Spændingen der påtrykkes motoren. ReprÊsenterer resistansen af vindingerne i motoren. ReprÊsenterer induktansen af vindingerne i motoren. ReprÊsenterer den spænding der induceres i motoren. Tabel 1.1: Parametre i elektrisk delsystem af DC-motor e m = αω hvor α er en konstant og defineret ved α = γφ(i F ) Anvendes Kirchoff s spændingslov på masken i figur (1.9) fås følgende di e i (t) = i A (t) + L A + αω (1.8) dt Vinkelhastigheden ω er givet ved den tidsafledte af vinkelen θ ω = dθ dt Ligning (1.8) omskrives og strømmen udtrykkes som i A (t) = 1 [e i (t) L A di dt αθ ] (1.9) Hvis l representerer længden af armaturspolerne i det magnetiske felt og a er radius på armaturet, er den elektromekansike moment på rotoren τ e = ( φ A )lai A (1.10) 14

15 1.6. MODELLERING AF MEKANISK DELSYSTEM Da l, a og A kun afhænger af geometrien i motoren kan disse defineres som τ e = [γφ(i F )]i A Den drivende moment τ e kan skrives som τ e = αi A hvor α er en konstant og defineret ved α = γφ(i F ) 1.6 Modellering af mekanisk delsystem Det mekaniske delsystem er et roterende system og kan således modelleres som vist på figur (1.10). Figur 1.10: Free-Body Diagram for mekanisk delsystem. [[her bør indsættes fig 4.13 s 102]] hvor θ er vinkelforsydningen, ω er vinkelhastigheden, B er en dæmpningskoefficient, K er en fjedderkonstant og J er inertimomentet. Momenterne der udføre arbejde på disken er fjedder momentet Kθ, væskemodstands momentet Bω og den tilførte moment τ a (t). Ineritmomentet Jω er indikeret at den stiblede pil. Ifølge D Alembert s lov gælder 15

16 KAPITEL 1. MODELLERING AF ROTOR Jω + Bω + Kω = τ a (t) Systemets parametre er vist på figuren og beskrevet i tabel 1.2 Parameter τ e B J Beskrivelse Det drivende moment. Er proportionalt med stråmmen ind i motoren. ( τ e = k t i(t)) DÊmpningskoefficient. Er proportionalt med vinkelhastigheden. Inertimoment. Er proportionalt med accelerationen af motoren. Tabel 1.2: Hej Følgende forhold går sig gãšldende mellem vinklen, vinkelhastigheden og accelerationen: ω = θ α = ω = θ Ifølge D Alembert s lov kan følgende udtryk opstilles ud fra figur (1.10) Jω + Bω + Kθ = τ a (t) (1.11) For at få input-output ligningen med vinkelforsydningen θ som output omskrives (1.11) med alle termer på venstre side udtrykt ved θ og dets afledte. Da bliver det ønskede resultat Jθ + Bθ + Kθ = τ a (t) (1.12) 1.7 Modellering af elektromekanisk system Det moment τ a (t) det roterende delsystem får tilført er det drivende moment τ e det elektriske delsystem levere. Derfor erstattes τ a (t) med τ e = αi A i (1.12) 16

17 1.7. MODELLERING AF ELEKTROMEKANISK SYSTEM Jθ + Bθ + Kθ = αi A (1.13) Strømmen i A der løber i motoren er udtrykt i ligning (1.9) som indsættes i (1.13) Jθ + Bθ + Kθ = α 1 [e i (t) L A di dt αθ ] (1.14) Denne differentila ligning Laplacetransformeres for at finde overføringsfunktionen JΘ(s) s 2 + BΘ(s) s + KΘ(s) = α 1 [E i (s) L A I(s) s αθ(s) s] JΘ(s) s 2 + BΘ(s) s + KΘ(s) = α E i (s) αl A s I(s) α2 s Θ(s) JΘ(s) s 2 + BΘ(s) s + KΘ(s) + α2 s Θ(s) = α αl A s I(s)E i (s) [ ] Θ(s) J s 2 + B s + K + α2 s Θ(s) E i (s) = = α αl A I(s) s E i (s) α αl A I(s) s J s 2 + B s + K + α2 s Θ(s) E i (s) = Θ(s) E i (s) = J s 2 + α αl A αla I(s) s ( ) B + α2 s + K I(s) s + α s 2 + ( α 2 +B J ) s + K J 17