De forunderlige hvirvler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "De forunderlige hvirvler"

Transkript

1 17 De forunderlige hvirvler Vi kender alle hvirvler fra hverdagen f.eks. når vi hælder fløde i kaffen. En dyb forståelse af hvirvler og turbulens vil få stor praktisk betydning i mange sammenhænge. Men det er en stor matematisk udfordring. Af Jens Juul Rasmussen n Hvirvler er et fascinerende fænomen, som optræder i en lang række fysiske systemer på alle skalaer fra astronomiske dimensioner i galakser over planetare dimensioner, for hvirvler i planeternes atmosfærer og oceaner, og helt ned til atomare dimensioner, for hvirvler i superflydende væsker eller magnetiske fluxlinier i superledere. På trods af det store størrelsesspænd og stor forskellighed i fysiske medier, hvori de optræder, har hvirvlerne en række fælles karakteristika, og i alle tilfælde er de relaterede til en roterende bevægelse. I denne artikel vil vi begrænse os til de mere traditionelle former for hvirvelstrukturer, der optræder i væsker og gasser, som vi under ét betegner fluider. Hvirvler i dagligdagen De fleste af os har en umiddelbar fornemmelse af hvad en hvirvel er, for i dagligdagen møder man mange velkendte eksempler. Man kan blot iagttage hvirvlerne, der dannes, når man hælder fløde i kaffen og rører rundt, eller når man lukker vandet ud af badekarret. Hvirvler forekommer også mange steder i naturen, f.eks. ser vi i vejrudsigten hver dag på satellitbillederne, hvordan skyformationerne hvirvler rundt om et høj- eller et lavtryk. Naturen byder også undertiden på meget kraftige og ødelæggende hvirvler, som tornadoer eller de mindre voldsomme skypumper. Studiet af hvirvler og deres dynamik er af stor interesse for mange praktiske formål. Industrielle strømninger i pumper og turbiner er oftest domineret af kraftig rotation. I aerodynamiske strømninger omkring faste legemer er studiet af hvirveldannelse og dynamik af afgørende betydning for vindbelastningen på bygninger, broer, vindmøller og for udviklingen af flyvemaskiner. Hvirvler og turbulens Det er vanskeligt at give en præcis definition af en hvirvel. Som nævnt er et karakteristisk træk, at hvirvler optræder som en fluidmængde, der roterer rundt om et fælles centrum eller en fælles akse. Som regel er den hvirvlende bevægelse kraftigst i et begrænset område, og væskens rotationshastighed falder hurtigt med afstanden fra dette område. Turbulente strømninger er også domineret af hvirvelstrukturer, der danner et uhyre kompliceret mønster af store og små hvirvler, som tumler rundt mellem hinanden på tilsyneladende helt tilfældig vis. Man kan blot iagttage røgen, som kommer op af en skorsten eller i mindre målestok røgen, der stiger op fra en cigaret. En dybere forståelse af hvirvlers dynamik og vekselvirkning vil derfor have stor betydning for vores forståelse af udviklingen af turbulens, som er et af de klassiske problemer i fysik, der endnu ikke er løst. Det til trods for, at den matematiske model for strømninger i væsker og gasser de såkaldte Navier-Stokes lig- Foto: NASA Jupiters store røde plet, den rødlige struktur øverst i billedet, er et eksempel på en meget langlivet hvirvelstruktur. Den blev observeret allerede i begyndelsen af det 17. århundrede, efter at man havde opfundet teleskopet, og er stadig tilstede her næsten 400 år senere. Strukturen er en kraftig storm i Jupiters atmosfære på den sydlige halvkugle med vindhastigheder op til 400 km/time. Den røde plet har en udstrækning på ca km i nord-syd retningen og km i øst-vest retningen. Jupiters diameter er ca km. Den røde plet er ikke fuldstændig statisk, den undergår stadig en dynamisk udvikling og vekselvirker med den omgivende turbulente strømning. Billedet her blev taget med NASA's Voyager 1 satellit i februar 1979.

2 18 A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b ninger, som beskriver impulsbevarelsen ved hjælp af Newtons lov anvendt på et fluidelement har været kendt i mere end 175 år. En tilbundsgående forståelse af turbulens vil bl.a. bidrage til at forbedre vejrudsigterne og forudsigelserne af spredning af forurening. For to-dimensionale strømninger er situationen delvist afklaret. Det er her vist, at løsningerne til Navier-Stokes ligningerne altid er regulære dvs. at løsningerne forbliver glatte, og der udvikles ikke singulariteter i strømningsfeltet. Dette matematisk vigtige resultat er derimod ikke vist for generelle tre-dimensionale strømninger. I to-dimensionale strømninger finder man således, at hvirvelstrukturer er specielt robuste og meget langlivede. Hermed menes, at de kan eksistere i tidsrum, som er mange gange deres interne rotationstid. Det er således klart, at disse strukturer vil have afgørende indflydelse på strømningens udvikling. Hvirvler i to-dimensionale strømninger I systemer, hvori strømningerne med god tilnærmelse er todimensionale, foregår bevægelserne i et plan, f.eks. (x,y)-planet og bevægelsen (dvs. hastighedsfeltet) er uafhængig af z- koordinaten vinkelret på dette plan. En hvirvel i to-dimensionale systemer er relativt nem at visualisere, man skal blot iagttage strømningens hastighedsvektor i planet, og hvirvlen vil i den simpleste form tage sig ud som en væskemængde, der roterer omkring et fælles centrum. Normalt vil den roterende del af væsken være lokaliseret til et endeligt område. Man taler her om en hvivelstyrke, som et udtryk for, hvor kraftigt væsken hvirvler rundt inden for hvirvlen. Matematisk er hvirvelstyrken udtrykt som rotationen af hastighedsfeltet. I to-dimensionale strømninger er hvirvelstyrken på et væskeelement bevaret, hvis der ikke er viskositet til stede. Viskositeten opstår som følge af gnidningskræfterne, der tager energi Hvirvelsystemer Forskellige hvirvelsystemer i todimensionale strømninger. Tynde pile angiver den hvirvlende bevægelse inde i hvirvlerne. Tykke pile angiver bevægelsen af hele strukturen. ud af strømningen, og en endelig viskositet bevirker således, at alle forstyrrelser af systemet vil dø ud på langt sigt. Viskositeten virker dog hovedsageligt på småskala-størrelser. Derfor kan storskala-hvirvler være langlivede. Endvidere vil de være robuste over for forskellige forstyrrelser, og der foregår ikke nogen væsentlig radiær opblanding i en hvirvel. Placerer man f.eks. passive partikler inden i en hvirvel, vil disse rotere rundt om hvirvlens centrum med en fast radius. Hvirvlens rand optræder således som en effektiv transportbarriere, som fluidelementer såvel som passive partikler ikke vil krydse. Tilstedeværelsen af hvirvler i en strømning vil derfor have afgørende indflydelse på spredningen og opblandingen af tilsatte stoffer, der er tilsat strømningen. I tre-dimensionale strømninger vil forholdene være væsentligt anderledes: man har her en ekstra frihedsgrad, idet en hvirvel kan blive strakt eller trykket sammen i længderetningen, hvorved hvirvelstyrken inde i hvirvlen vil ændre sig. Imidlertid er volumenet af et sådant hvirvelrør bevaret, altså må et hvirvelrør, der strækkes ud blive tyndere og tyndere, mens hvirvelstyrken vokser. 2D i en 3D-verden Man kan spørge, om det overhovedet er rimeligt at tale om to-dimensionale strømninger i en generelt tre-dimensional verden. Der findes imidlertid en lang række systemer, som har en høj grad af anisotropi, hvilket betyder, at udviklingen i én retning er væsentlig forskellig fra udviklingen i de to andre retninger. Det er disse systemer, vi betragter her. De vigtigste eksempler på årsagerne til en sådan anisotropi er: 1)Systemets geometri: Den rumlige udstrækning af systemet er meget større i et plan end vinkelret på dette. Eksempler: Galakser, jordens atmosfære og oceaner. 2)Stratificering (lagdeling): Systemet har en varierende massefylde i den vertikale retning i et tyngdefelt således, at den vertikale bevægelse er undertrykt. Eksempel: Jordens oceaner. 3)Rotation: Systemet roterer som et stift legeme med konstant omdrejningsfrekvens. Når væskebevægelserne i det roterende system er så langsomme, at Coriolis-kraften er den dominerende kraft, vil bevægelsen hovedsageligt foregå i planet vinkelret på omdrejningsaksen. Eksempel: Atmosfæren og oceanerne på roterende planeter. Det er således karakteristisk, at storskala geofysiske strømninger med god tilnærmelse kan betragtes som to-dimensionale. 4)Magnetfelt: Lavfrekvente fluktuationer i et magnetiseret plasma opfører sig også to-dimensionalt i planet vinkelret på magnetfeltet. Lorentz-kraften i dette system spiller en rolle analogt med Coriolis-kraften i det roterende system. Hvirvel-eksperimenter Der er i de senere år foretaget mange eksperimentelle undersøgelser af hvirveldynamik i todimensionale strømninger i laboratorieopstillinger, og man har nu opnået et detaljeret billede af hvirvlernes dynamik. Man har f.eks. undersøgt: strømninger i sæbefilm, hvor geometrien sikrer den to-dimensionale opførsel, man har lavet eksperimenter i stratificerede væsker, bl.a. i saltvand med en saltkoncentration, der vokser med dybden, og man har udført eksperimenter i roterende væsker, hvor man roterer et kar med vand med en konstant rotationsfrekvens og foretager målingerne i det roterende system. I disse eksperimenter har man benyttet sig af en avanceret diagnostik, der kan måle tidsudviklingen af hastighedsfeltet i planet ved at følge små partikler, som passivt følger med strømningen. Man har også studeret hvirveldynamik i magnetiserede plasmaer, især i elektronplasmaer, som modellerer en næsten viskositetsfri to-dimensional strømning. De eksperimentelle resultater er støttet af direkte numeriske løsninger af Navier- Stokes ligningerne for to-dimensionale systemer. De numeriske løsninger giver adgang til alle detaljer af strømningsfeltet, og ved at sammenholde dem med eksperimentelle observationer har man opnået en detaljeret forståelse af strømningsdynamikken.

3 19 Figur 3. Dannelse og udvikling af en dipol-struktur. a) Dipolen dannes ved, at en turbulent vandstråle (tilsat farvestof) sprøjtes ind i en lagdelt væske. Der er 20 sek. mellem de to første billeder og 40 sek. mellem de to sidste. Billederne viser det horisontale plan. I den vertikale retning er bevægelserne stærkt undertrykte på grund af forskellen i massefylde. b) Numerisk løsning af de todimensionale bevægelsesligninger (Navier- Stokes-ligningerne) med en begyndelsesbetingelse, som skal modellere den turbulente stråle, der er skudt ind i væsken. Her er hvirvelstyrken vist. Den røde farve angiver positiv hvirvelstyrke, dvs. væsken roterer mod uret, mens den blå farve angiver negativ hvirvelstyrke, dvs. væsken roterer med uret. Man observerer en udvikling, der stemmer fint overens med de eksperimentelle observationer i a), dvs. en meget klar selvorganisering, som resulterer i dannelsen af en dipol-struktur Forskellige hvirveltyper Den grundlæggende hvirvelstruktur i to-dimensionale strømninger er den såkaldte monopol-hvirvel, som f.eks. Jupiters Store Røde Plet. Den er essentielt karakteriseret ved, at væsken hvirvler omkring et fælles center med én omløbsretning. Hvirvelstyrken kan imidlertid godt have varierende fortegn det vil så typisk være i koncentriske ringe omkring centret. Disse typer af monopoler kan være ustabile, således at hvis de udsættes for en lille forstyrrelse, vil denne forstærkes, hvilket resulterer i, at hvirvelen ændrer struktur. Monopoler kan også have elliptisk form, men disse er ofte ustabile, og vil have en tendens til at blive symmetriske ved at udsende filamenter. Der findes også mere komplicerede hvirvelsystemer, som er bygget op af flere monopoler. De vigtigste af disse strukturer er dipoler og tripoler (se boks). Dipoler består af to monopoler med modsat fortegn af hvirvelstyrken. Denne struktur bevæger sig gennem den omgivende væske, idet strømningsfeltet fra den ene skubber den anden fremad. Hvis de to hvirvler er ens, bortset fra at deres hvirvelstyrke er modsat rettet, vil dipolen bevæge sig på en ret linie. Hvis den ene pol har en større hvirvelstyrke end den anden, vil dipolen bevæge sig på en cirkulær bane med den stærkeste hvirvel nærmest centret. Tripoler består af en central hvirvel med hvirvelstyrke af ét fortegn og to satellitter med modsatrettet hvirvelstyrke placeret symmetrisk omkring centrum af den centrale hvirvel. En balanceret tripol roterer omkring sit eget centrum. Højere ordens multipoler kan også konstrueres som løsning til bevægelsesligningerne; men de vil ofte være vanskelige at observere, da de er meget skrøbelige. Man har dog observeret quatropoler (strukturer der består af én central hvirvel med tre satellitter af modsat hvirvelstyrke) både i numeriske løsninger af ligningerne og i eksperimenter; men de er oftest ustabile, og falder fra hinanden ved den mindste forstyrrelse. Hvordan dannes hvirvler I to-dimensionale strømninger kan hvirvelstrukturer let dannes ved en organiseret ydre påvirkning. Har man f.eks. et rote- rende kar med vand, kan man ved at røre rundt lokalt få dannet en monopol hvirvel, som bliver stående i lang tid og spinder rundt. Hvirvler kan også opstå spontant ved selvorganisering ud fra et tilfældigt strømningsmønster; f.eks. vil man i to-dimensionale turbulente strømninger observere, at større hvirvelstrukturer opstår spontant, og efterhånden dominerer udviklingen. I figur 3 vises et eksempel på dannelsen af en dipolstruktur ud fra selvorganisering af en turbulent vandstråle, som er skudt ind i en lagdelt væske. De eksperimentelle resultater er sammenholdt med resultater fra numeriske løsninger. Man observerer, at dipolstrukturen efter dannelsen bevæger sig med konstant hastighed gennem væsken. Hvirvler i grænselagsstrømninger En væske- (eller luft-) strømning i kontakt med en fast overflade vil give anledning til, at der dannes et grænselag, hvori væskens hastighed vokser fra nul helt inde ved overfladen til den jævne strømningshastighed ude i væsken. I dette grænselag dannes der hvirvelstyrke, og under visse omstændigheder kan der opstå hvirvler, som river sig løs fra grænselaget. En grænselagsstrømning kan også opstå mellem to væskemængder, der har forskellige hastigheder. En sådan situation er ustabil, afhængigt af hastighedsvariationens form, og der vil dannes hvirvelstrukturer på tilsvarende måde som dannelsen af hvirvelstrukturerne i grænselaget ved en fast overflade. Denne situation er ofte forekommende i geofysiske strømninger, og er en af de vigtigste mekanismer til at danne hvirvelstrukturer i disse strømninger. For at undersøge stabiliteten af grænselagsstrømninger og dannelsen af hvirvler har vi på Risø opbygget et eksperiment med et roterende tyndt lag vand i et parabolsk kar, som vist i figur 7. Heri kan vi modellere dynamikken i atmosfæren på roterende planeter. Karrets bund er opdelt i to koncentriske sektioner, således at vi kan rotere den inderste del poldelen separat i forhold til resten af karret. Vi kan hermed skabe en grænselagsstrømning,

4 20 A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b Hvirvlers vekselvirkning Når to hvirvelstrukturer kommer tæt på hinanden eller på faste overflader, vil der ske en vekselvirkning. I denne boks er vist nogle eksempler på sådanne vekselvirkningsmønstre på baggrund af undersøgelser foretaget på Risø. I figuren vises ved hjælp af numeriske løsninger af Navier-Stokes ligningerne i to dimensioner, hvad der sker, når hvirvler med hvirvelstyrke af samme fortegn mødes. Til venstre vises udviklingen af hvirvelstyrken (rød angiver positive værdier). Når to hvirvler er langt fra hinanden, vil de ikke vekselvirke særlig kraftigt, de vil blot rotere rundt om hinanden. Når to hvirvler imidlertid er tilstrækkeligt tæt på hinanden, vil de vekselvirke meget kraftigt. Som tiden går, snører de to hvirvler sig mere og mere ind i hinanden i en spiral-form, mens spiral-arme "skydes" ud for at holde det angulare moment bevaret (T=0.30 og 1.20). Figuren illustrerer den karakteristiske egenskab ved to-dimensionale strømninger; nemlig at hvirvelstyrken er bevaret på et væskeelement. De to hvirvler overlapper ikke hinanden; men vikles ind i hinanden, og filamenterne bliver tyndere og tyndere. Dette er illustreret i figuren til højre, som viser udviklingen af partikler, der før "sammensmeltningen" var placeret i hver sin hvirvel. De grønne i den højre hvirvel og de røde i den venstre. Mønstret viser, at der ikke er nogen transport af partikler "radiært" i hvirvelstrukturerne, men at partiklerne holder sig inde i den hvirveldel, hvor de er "født". A De tre figurer her viser, hvad sker der, når to dipoler møder hinanden. Det fremgår, at der er tre grundtyper af vekselvirkninger. Farverne rød og blå angiver hhv. positive og negative værdier af hvirvelstyrken. B C A) Her er de to dipoler identiske og bevæger sig frontalt mod hinanden. De mødes, skifter partner, og går så hver til sit. B) For to forskellige dipoler, hvor den ene består af stærkere hvirvler end den anden, vil der også i første omgang ske et partnerbytte, de to nye par vil så danse en gang rundt om hinanden, hvorefter de mødes igen og bliver forenet med deres oprindelige partnere. C) Hvis kollisionen ikke er direkte frontal kan vi få en udvikling, som ses her: de to negative parter vil "smelte" sammen og forme den centrale hvirvel i en tripol-struktur.

5 21 Om forfatteren Jens Juul Rasmussen Afdelingen for Optik og Fluid Dynamik, OFD-129 Forskningscenter Risø 4000 Roskilde Tlf.: Figur 7. Det parabolske kar. Her undersøges dynamikken af hvirvler i et tyndt lag vand med en hurtig rotationshastighed. Dynamikken i karret er analog til dynamikken i atmosfæren omkring roterende planeter. Karrets bund har en parabolsk form, og ved en bestemt rotationshastighed vil vandlagets tykkelse omtrent være konstant (i et roterende system vil vandoverfladen indstille sig i en parabolsk form). Korioliskraften ændrer sig, når man bevæger sig op langs karrets sider. Kraften er stærkest i centrum, som således svarer til polen på en roterende planet. Figur 8. Dannelse af hvirvelstrukturer i en cirkulær grænselagsstrømning i en roterende væske i det parabolske kar. Grænselagsstrømningen dannes ved, at den inderste del af karrets bund roteres ved en anden hastighed end resten af karret. Hvirvelkæden er visualiseret ved hjælp af farve tilsat vandet. De eksperimentelle observationer er vist øverst, mens resultaterne fra en numerisk løsning af modelligninger ses nederst. De numeriske resultater passer fint med de eksperimentelle: der dannes fem hvirvler (de stærkt røde områder). Antallet af hvirvler afhænger af hastighedsvariationen over grænselaget. Resultaterne præsenteret i denne artikel er blevet til i et samarbejde inden for Plasma og Fluid Dynamik Programmet på Forskningscenter Risø. Anders H. Nielsen har udarbejdet de numeriske figurer, mens Bjarne Stenum står for de eksperimentelle figurer. som kan varieres over et stort parameterområde. Man kan forestille sig den inderste roterende del som en stor drevet hvirvel. Den er en forsimplet model af den såkaldte polhvirvel, der er en udstrakt hvirvel, som opstår over jordens nordpol især i vinterhalvåret (og tilsvarende over sydpolen). Denne polhvirvel har vist sig at være stærkt medvirkende til dannelsen af ozonhullet over polerne. Polhvirvlen virker som en effektiv transportbarriere, således at den ozon, der nedbrydes over polerne i vinterhalvåret, ikke kan blive erstattet af ny ozon, der er dannet på lavere breddegrader, hvor det nødvendige sollys er til stede. I vores opstilling har vi foretaget en detaljeret undersøgelse af hvirvelstrukturerne, der dannes i randen af polhvirvlen (se figur 8). Der er endnu meget, vi ikke forstår! Jeg håber, at jeg har givet læserne et lille indblik i hvirvlernes forunderlige verden. Som det vil fremgå, har man nu en rimelig detaljeret forståelse af dynamikken af hvirvelstrukturer i simple to-dimensionale strømninger, som kan realiseres i laboratorieeksperimenter og studeres ved nøjagtige numeriske løsninger af ligninger. Der mangler dog stadig en del, før vi forstår fuldt udviklede turbulente strømninger, og især hvordan disse strømninger kan transportere og opblande passive såvel som aktive partikler og andre materialer. Resultater fra disse håndterlige systemer kan hjælpe med at forstå dynamikken i mere komplicerede systemer (f.eks. tre-dimensionale strømninger), og specielt kan de lede os til at stille de relevante spørgsmål. Om Jupiters hvirvel: Billeder: photojournal.jpl.nasa.gov En virkelig god generel beskrivelse af hvirveldynamik: index.html

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? For at svare på spørgsmålet om, hvad vind er, så skal vi vide noget om luft. I alle stoffer er molekylerne i stadig bevægelse. I faste stoffer ligger de tæt og bevæger

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Natur og Teknik QUIZ.

Natur og Teknik QUIZ. Natur og Teknik QUIZ. Hvorfor er saltvand tungere end almindeligt vand? Saltvand er tungere end vand, da saltvand har større massefylde end vand. I vand er der jo kun vand. I saltvand er der både salt

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Korsedderkoppens hjulspind

Korsedderkoppens hjulspind Korsedderkoppens hjulspind Korsedderkoppen (Araneus diadematus) er uden tvivl én af vores lettest genkendelige arter. Dens størrelse og det hvide korsformede mønster på bagkroppen gør en artsbestemmelse

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Et bachelorprojekt om roterende vand

Et bachelorprojekt om roterende vand Et heldigt tilfælde Niels Bohr Institute University of Copenhagen 9 November 2007 Oversigt 1 1 1 2 Tilfældighed Efteråret 2004 Kryptering med kaotiske kredsløb Sandriller Mogens Høgh Jensen, NBI Clive

Læs mere

NATURFAG Fysik/kemi Folkeskolens afsluttende prøver Terminsprøve 2009/10

NATURFAG Fysik/kemi Folkeskolens afsluttende prøver Terminsprøve 2009/10 NATURFAG Fysik/kemi Folkeskolens afsluttende prøver Terminsprøve 2009/10 Elevens navn: CPR-nr.: Skole: Klasse: Tilsynsførendes navn: 1 Tilstandsformer Tilstandsformer Opgave 1.1 Alle stoffer har 3 tilstandsformer.

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Bilag 1. Indholdsfortegnelse. Vurdering af hydrauliske forhold for. Lokalplan 307. Gentofte Kommune. 1 Introduktion

Bilag 1. Indholdsfortegnelse. Vurdering af hydrauliske forhold for. Lokalplan 307. Gentofte Kommune. 1 Introduktion Bilag 1 Gentofte Kommune Vurdering af hydrauliske forhold for Lokalplan 307 COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 www.cowi.dk Indholdsfortegnelse 1 Introduktion

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...

Læs mere

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm Oven over skyerne..! Du skal lære mennesker, steder og ting ude i rummet og på jorden hvor du bor Du skal lære om stjernetegnene Du skal lave din egen planet-rap Du skal skrive et brev fra Månen Du skal

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel

Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Formål Når solens stråler rammer en vandret flade på en klar dag, består indstrålingen af diffus stråling fra himlen og skyer såvel som solens direkte stråler.

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Pensum i forbindelse med DTUsat-II opsendelses event og tracking.

Pensum i forbindelse med DTUsat-II opsendelses event og tracking. Pensum i forbindelse med DTUsat-II opsendelses event og tracking. Satellitbaner En satellit i bane omkring et andet himmellegeme er i frit fald. Ved hjælp af Keplers love kan baneradius og omløbstid bestemmes.

Læs mere

1. Indledning. Figur 1. Alternative placeringer af Havvindmølleparken HR 2.

1. Indledning. Figur 1. Alternative placeringer af Havvindmølleparken HR 2. 1. Indledning. Nærværende rapport er udarbejdet for Energi E2, som bidrag til en vurdering af placering af Vindmølleparken ved HR2. Som baggrund for rapporten er der foretaget en gennemgang og vurdering

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og

Læs mere

Grænser. Global opvarmning. lavet af: Kimmy Sander

Grænser. Global opvarmning. lavet af: Kimmy Sander Grænser Global opvarmning lavet af: Kimmy Sander Indholdsfortegnelse Problemformulering: side 2 Begrundelse for valg af emne: side 2 Arbejdsspørgsmål: side 2 Hvad vi ved med sikkerhed: side 4 Teorier om

Læs mere

Læringsmål i fysik - 9. Klasse

Læringsmål i fysik - 9. Klasse Læringsmål i fysik - 9. Klasse Salte, syrer og baser Jeg ved salt er et stof der er opbygget af ioner. Jeg ved at Ioner i salt sidder i et fast mønster, et iongitter Jeg kan vise og forklare at salt, der

Læs mere

Indledning. Ole Michael Spaten

Indledning. Ole Michael Spaten Indledning Under menneskets identitetsdannelse synes der at være perioder, hvor individet er særlig udfordret og fokuseret på definition og skabelse af forståelse af, hvem man er. Ungdomstiden byder på

Læs mere

k Annette Nyvad Kolding Gymnasium

k Annette Nyvad Kolding Gymnasium 1 NMR spektroskopi k Annette Nyvad Kolding Gymnasium 1 kerner har et eget-spin og opfører sig som små stangmagneter Radiobølger Bo Bo Retningen af 1 kerners magnetisk moment uden påvirkning fra ydre magnetfelt

Læs mere

Når tårerne løber ned ad kinden

Når tårerne løber ned ad kinden Når tårerne løber ned ad kinden Tårer er vigtige for et godt syn og for at øjnene kan være sunde og raske. Men når tåre-systemet med alderen kommer ud af balance - kan der så gøres noget? Ikke for alle

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A =

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! hvor er den passerede ladning i tiden, og enheden 1A = E3 Elektricitet 1. Grundlæggende Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! I E1 og E2 har vi set på ladning (som måles i Coulomb C), strømstyrke I (som måles i Ampere A), energien pr. ladning, også

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

VISUEL MIND MAPPING. Visuel Mind Mapping

VISUEL MIND MAPPING. Visuel Mind Mapping Visuel Mind Mapping 5 Visuel Mind Mapping - introduktion Kunne du tænke dig: At have overblik - også i pressede situationer - det gælder som taler, som referent, som mødeleder, i eksamenssituationer eller...?

Læs mere

Forslag til undervisningsforløb i astronomi

Forslag til undervisningsforløb i astronomi Forslag til undervisningsforløb i astronomi 1. Din plads i Danmark og på Jorden (første dobbeltlektion) a. Verdenshjørner b. Breddegrad, længdegrad, Nordpolen, Sydpolen, ækvator 2. Tiden (anden dobbeltlektion)

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

GEOFYSISKE UNDERSØGELSER

GEOFYSISKE UNDERSØGELSER GEOFYSISKE UNDERSØGELSER OPMÅLINGER MED GEORADAR OG EM61 Ledninger Fundamenter Tanksøgning Sten og brokker Havne Geologi og råstoffer Vejopbygning Teknologi 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 Geofysiske undersøgelser

Læs mere

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Kikkertoptik Kikkertteknologi Optiske specifikationer Kikkertegenskaber At købe en kikkert Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Generel beskrivelse: En kikkert er et optisk præcisionsinstrument,

Læs mere

1. Varme og termisk energi

1. Varme og termisk energi 1 H1 1. Varme og termisk energi Den termiske energi - eller indre energi - af et stof afhænger af hvordan stoffets enkelte molekyler holdes sammen (løst eller fast eller slet ikke), og af hvordan de bevæger

Læs mere

Microsoft. fra Word 2003

Microsoft. fra Word 2003 I denne vejledning Microsoft Word 2010 ser meget anderledes ud end Word 2003, og vi har derfor oprettet denne vejledning, så du hurtigere kan komme i gang med at bruge programmet. Læs videre for at få

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Generel info vedrørende stormskader

Generel info vedrørende stormskader Generel info vedrørende stormskader Hvad er definitionen på en storm ifølge DMI Stormende kuling Vindhastigheder på mellem 75-88 km/t og 20,8-24,4 m/s. Store grene brækkes af, og tagsten falder ned. Høje

Læs mere

Notat vedr. etablering af jordvarme på Ferren i Blokhus

Notat vedr. etablering af jordvarme på Ferren i Blokhus Notat vedr. etablering af jordvarme på Ferren i Blokhus Typer af jordvarme: Der findes helt overordnet to forskellige typer af anlæg til indvinding af jordvarme horisontale og vertikale anlæg. Betegnelserne

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

How to do it on screen - 5

How to do it on screen - 5 TEGNINGER OG CLIPART Illustrationer kan bruges til at skabe grafisk brud i en tekst, men det er sjældent nødvendigt ved præsentationer, da tekstmængden på det enkelte dias børe være lille. Desuden kan

Læs mere

Dansk Sportsdykker Forbund

Dansk Sportsdykker Forbund Dansk Sportsdykker Forbund Teknisk Udvalg Sid Dykketabellen Copyright Dansk Sportsdykker Forbund Indholdsfortegnelse: 1 FORORD... 2 2 INDLEDNING... 3 3 DEFINITION AF GRUNDBEGREBER... 4 4 FORUDSÆTNINGER...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Uddannelsescenter

Læs mere

Optiske eksperimenter med lysboks

Optiske eksperimenter med lysboks Optiske eksperimenter med lysboks Optik er den del af fysikken, der handler om lys- eller synsfænomener Lysboksen er forsynet med en speciel pære, som sender lyset ud gennem lysboksens front. Ved hjælp

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling Skyde opgaver Ideer til forskellige skydeøvelser, som træner forskellige aspekter Stress/spænding Tennis-skydning, 2 og 2 skyder match, hver sin skive. Skyde på kryds, to og to, på samme skive Koncentration

Læs mere

May the force be with you

May the force be with you May the force be with you Esben Thormann, Department of Chemistry, Surface Chemistry, Royal Institute of Technology, Stockholm. Adam C. Simonsen og Ole G. Mouritsen, MEMPHYS-Center for Biomembran fysik,

Læs mere

Råd om vedligeholdelse Følg disse nemme råd om vedligeholdelse for at få den optimale glæde af sengen.

Råd om vedligeholdelse Følg disse nemme råd om vedligeholdelse for at få den optimale glæde af sengen. Råd om vedligeholdelse Følg disse nemme råd om vedligeholdelse for at få den optimale glæde af sengen. Velkommen til en ny verden med din Hästens-seng Nyd din drømmeseng resten af dit liv begynder her.

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Arbejde med 3D track motion

Arbejde med 3D track motion Arbejde med 3D track motion Gary Rebholz I sidste måneds Tech Tip artikel gennemgik jeg det grundlæggende i track motion. Selv om vi ikke gennemgår alle værktøjer i Track Motion dialog box vil du alligevel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009 juni 2010 Institution Københavns tekniske Gymnasium/Sukkertoppen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Træn maven flad med måtten som redskab

Træn maven flad med måtten som redskab Træn maven flad med måtten som redskab Af Birgitte Nymann www.birgittenymann.dk Double leg extension Det giver øvelsen: Styrker og former balder, baglår og rygmuskler, træner stabiliteten omkring skulderpartiet

Læs mere

Edderkopper prik-til-prik

Edderkopper prik-til-prik Edderkopper prik-til-prik MATEMATIK NATUR/TEKNIK LÆRERVEJLEDNING Forskellige slags edderkopper spinder forskellige slags spind. I dette forløb tegner eleverne fra prik til prik i tallenes rækkefølge. De

Læs mere

Hvad er C-akse egentlig? 2. Værktøjsholdere 3. Koblingssystemer 4. Værktøjsopmåling 5. C-akse programmering 6. Bolthulcirkel 6.

Hvad er C-akse egentlig? 2. Værktøjsholdere 3. Koblingssystemer 4. Værktøjsopmåling 5. C-akse programmering 6. Bolthulcirkel 6. INDHOLDSFORTEGNELSE Hvad er C-akse egentlig? 2 Værktøjsholdere 3 Koblingssystemer 4 Værktøjsopmåling 5 C-akse programmering 6 Bolthulcirkel 6 Not-fræsning 6 Spiral fræsning 7 Boring med udspåning aksialt

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

Manual Smart Trykluft passepartout maskine. Version 1 dk

Manual Smart Trykluft passepartout maskine. Version 1 dk Manual Smart Trykluft passepartout maskine Version 1 dk Oversat af Lista Bella April 2011 Indholds fortegnelse. Klargøring 3 Montering på gulvstativ (Tilkøb) 4 Oversigt Smart mat-cutter 7 Montering væghængt

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Wordart Side 1 af 16

Wordart Side 1 af 16 Side 1 af 16 Side 2 af 16 WordArt er et system, hvor man kan lave mange spændende tekster. Billederne på side 1 er lavet med dette system. I det følgende vil du få mulighed for at lære dette system nærmere

Læs mere

Alt om galvanisk tæring

Alt om galvanisk tæring Alt om galvanisk tæring For de fleste har galvanisk tæring været et begreb forbundet med noget totalt uforståeligt. Vi forklarer hvorfor og hvordan galvanisk korrosion sker, hvordan du kan måle det, og

Læs mere

Forsøg og opgaver til astronomi - 5.-6. kl.

Forsøg og opgaver til astronomi - 5.-6. kl. Forsøg og opgaver til astronomi - 5.-6. kl. Kære lærere og elever. Her er nogle idéer til øvelser og opgaver I kan lave i forbindelse med undervisning i astronomi. De fleste øvelser er lettet at udføre,

Læs mere

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont Rumlig afbildning For at illustrere en bygning eller et Rum, i et sprog der er til at forstå, for ikke byggefolk, kan det være en fordel at lave en gengivelse af virkeligheden. Perspektiv At illustrerer

Læs mere

Sofie Mandrup Andreassen Portfolio

Sofie Mandrup Andreassen Portfolio Sofie Mandrup Andreassen Portfolio Navn Sofie Mandrup Andreassen Adresse Hasserisgade 1, 2.th 9000 Aalborg, Denmark E-mail sman07@student.aau.dk Mobil +45 27 33 07 24 Fødselsdag 1. sep. 1986, 24 år PEDESTRIAN

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

zxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuio For kajakroere påasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcv 15-08-2013

zxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuio For kajakroere påasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcv 15-08-2013 qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfgh jklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæø Basis pilates program zxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuio

Læs mere

Universet bliver mørkere og mørkere

Universet bliver mørkere og mørkere Universet bliver mørkere og mørkere Af Signe Riemer-Sørensen, School of Physics and Mathematics, University of Queensland og Tamara Davis, School of Physics and Mathematics, University of Queensland samt

Læs mere

Analyse vedrørende prisudvikling og salgbarhed. af naboejendomme til store vindmøller

Analyse vedrørende prisudvikling og salgbarhed. af naboejendomme til store vindmøller Analyse vedrørende prisudvikling og salgbarhed af naboejendomme til store Februar 2015 Indholdsfortegnelse Baggrund 2 Formål 2 Metode 3 Resultater 4 Konklusion 11 1 Baggrund Bliver man stavnsbundet til

Læs mere

vsm.skf.com SKF Group 2006 PUB80/P7 6394 DA 06

vsm.skf.com SKF Group 2006 PUB80/P7 6394 DA 06 Se Pole Position-programmet for at få yderligere oplysninger om produkterne i SKF-sortimentet. Kontakt din lokale SKF-forhandler for at få fl ere oplysninger om, hvordan du bliver tilmeldt. vsm.skf.com

Læs mere

Risikovurdering uden brug af Miljøstyrelsens screeningsværktøj

Risikovurdering uden brug af Miljøstyrelsens screeningsværktøj Risikovurdering uden brug af Miljøstyrelsens screeningsværktøj Vintermøde den 11. marts 2015, Fagsession 4 Sandra Roost, Orbicon A/S Risiko for overfladevand. Efter ændring af jordforureningsloven pr.

Læs mere