M A T E M A T I K B 2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "M A T E M A T I K B 2"

Transkript

1 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H (2) f a x b ()

2 Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra cbna

3 Forord Disse matematiknoter dækker kernestoffet (og en smule mere) for det andet år i et studieretningsforløb på B-niveau på stx. Noterne er skrevet med det formål at have en grundbog, som kun indeholder den grundliggende matematiske teori. I forbindelse med samarbejde i studieretningen eller med andre fag er det derfor nødvendigt at supplere med eksempler og andet materiale, der dækker konkrete anvendelser. Til gengæld dækker noterne den rent matematiske fremstilling af kernestoffet på stx, hvilket ifølge min opfattelse gør dem velegnede til en første behandling af stoffet samt i forbindelse med eksamenslæsningen. Til slut en stor tak til de mange matematikkolleger, der er kommet med rettelser og gode ændringsforslag. De fejl og mangler, der stadig måtte findes, er naturligvis udelukkende mit ansvar. Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium 3

4

5 Indhold Differentialregning 7. Den afledte funktion Diverse afledte funktioner Sum og differens Produkt, sammensat funktion og kvotient Tangentligninger Monotoniforhold og ekstrema Optimering Væksthastighed Deskriptiv statistik Ugrupperet statistik Middelværdi og spredning Kvartilsæt Afbildninger Grupperet statistik Middelværdi og spredning Afbildninger Integralregning Stamfunktioner Det ubestemte integral Regneregler Bestemmelse af stamfunktioner Bestemte integraler Arealer under grafer Arealer mellem grafer Sandsynlighedsregning Udfald, hændelser og stokastiske variable Diskrete sandsynlighedsfordelinger Kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Binomialfordelingen Binomialkoefficienten Binomialfordelingen Middelværdi og spredning Normalfordelingen 79 7 Hypotesetest Statistiske test Fordelingen af Q-værdier Goodness of fit Test for uafhængighed Valg af test Konklusioner på hypotesetests.. 89 A Mængdelære 9 A. Mængder A.2 Mængdebygger A.3 Intervaller A.4 Mængdeoperationer A.5 Relationer mellem mængder B Flere afledte funktioner 97 C Grænseværdier og differentiabilitet 0 C. Grænseværdier C.2 Kontinuitet C.3 Differentiabilitet Bibliografi 07 Indeks 08 5

6

7 Differentialregning Differentialregning er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med at finde ud af, hvor hurtigt en funktion f (x) vokser for en bestemt værdi af x. Én måde at se på dette på er ved at undersøge, hvor stejl grafen er i punktet (x; f (x)). Det typiske mål for»stejlhed«er hældningskoefficienten; men da det kun er rette linjer, der har hældningskoefficienter, skal man altså på en eller anden måde have omsat grafens forløb i punktet (x; f (x)) til en ret linje, man kan finde hældningen af. Hvis funktionens graf er pæn og glat, kan man i hvert punkt tegne en ret linje, der flugter med grafen i dette punkt. En sådan linje kaldes en tangent. En illustration af dette kan ses på figur.. Eksempel. Her ses på funktionen f (x) = 3x Grafen for denne funktion går gennem punktet P(5;82). I dette punkt har grafen en tangent, se figur.2. Tangentens hældning i dette punkt kaldes f (5). Hvis man på forhånd ved, at f (5) = 30, så kan man finde frem til en ligning for tangenten. Tangenten er en ret linje, så den har ligningen y = ax + b. Når man ved at f (5) = 30, ved man også at ligningen er y = 30x + b. Tangentens røringspunkt er punktet P(5;82), derfor er (2) () Figur.: I hvert punkt på grafen kan der tegnes en tangent. Her er nogle af tangenterne illustreret med linjestykker. (2) 82 = b b = = 68. Tangenten til grafen i punktet P(5;82) har altså ligningen y = 30x P f (5) = 30 I eksemplet ovenfor ser man, at man kan finde en ligning for en given tangent, hvis man i forvejen kender tangentens hældning. Det store spørgsmål er nu, hvordan man finder frem til denne hældning. Man kan selvfølgelig forestille sig, at man efter bedste evne tegner tangenten og derefter aflæser hældningen; men det kan næppe kaldes en præcis metode.. Den afledte funktion 0 5 () Figur.2: Punktet P er tangentens røringspunkt, så P ligger både på grafen og tangenten. Punktet Q ligger kun på grafen, men dog tæt på tangenten. Hvis der i ethvert punkt kan tegnes en tangent til grafen kan man ud fra funktionen f danne en ny funktion, hvis funktionsværdi er tangenthældningen i punkterne på grafen. Denne funktion kalder man den afledte 7

8 8 Differentialregning Det kan defineres helt præcist, hvad det betyder, at f er differentiabel. Her skal det blot bemærkes, at funktioner er differentiable, hvis deres grafer er kontinuerte (dvs. uden huller eller spring) og»glatte«. f (x + x) f (x) (2) x P x + x Afvigelse Q () Figur.3: Grafen for f går gennem punkterne P og Q. Q ligger ikke på tangenten, men det er tæt på, hvis x er lille. funktion, f (x). Værdien af f (x) for en bestemt værdi af x kaldes også differentialkvotienten til f (x). Det viser sig, at man kan bestemme forskriften for f (x) alene ved at kende forskriften for f (x), det er altså ikke nødvendigt at tegne. Når man bestemmer f (x) ud fra f (x) siger man, at man differentierer funktionen. Det er ikke alle funktioner, der kan differentieres, men dem, man støder på i gymnasiet, kan som regel. En funktion, der kan differentieres kaldes en differentiabel funktion. For at bestemme tangenthældningerne i hvert eneste punkt på grafen, er det nødvendigt at se på grafens tangenter. Tangenterne til grafen for en funktion er rette linjer. For at bestemme hældningskoefficienten til en ret linje skal man bruge to punkter på linjen. Her løber man ind i det problem, at man kun kender ét punkt, nemlig det punkt P, hvor tangenten rører grafen. Da man ikke kender tangentens ligning, kan man ikke regne sig frem til et andet punkt. Det bedste, man kan gøre, er derfor at finde et andet punkt Q på grafen, som ligger tæt på tangentens røringspunkt P, se figur.3. Hvis man beregner tangentens hældning vha. punkterne P og Q, får man ikke den rigtige hældning, men man får et tal, der kan bruges som tilnærmelse. Jo mindre man gør x, dvs. jo tættere Q ligger på P, des bedre bliver tilnærmelsen, idet afvigelsen, som er markeret på figur.3 bliver mindre, jo mindre x er. En god tilnærmelse til tangentens hældning f (x), får man derfor ved at sige f (x) f x, hvor f = f (x + x) f (x), og x er lille. I virkeligheden vil man gerne gerne have en præcis værdi for tangenthældningen og ikke blot en tilnærmelse. Dette kan man opnå ved at gøre x så lille som overhovedet muligt, hvilket vil sige x = 0. Man kan dog ikke blot sætte x = 0, idet man så får f x = f (x + x) f (x) x = f (x + 0) f (x) = 0 0 0, 2 Dette er en noget løs beskrivelse. Det, man i virkeligheden gør, er at se på det, man kalder grænseværdien af f x for x gående mod 0; det er nemlig en veldefineret matematisk størrelse. Denne formalisme springes dog over i denne omgang. og det giver ingen mening. Man gør derfor følgende: Man forkorter og omskriver brøken f x for at finde frem til et udtryk, hvor man godt kan sætte x = 0, uden at det giver noget meningsløst. Man prøver altså at finde ud af, om der findes et tal, som f x skulle give, hvis man godt måtte sætte x = 0. Man siger her, at man undersøger værdien af f x, når x går mod 0. Dette tal defineres til at være tangentens hældning, f (x). 2 Eksempel.2 Grafen for f (x) = 3x går gennem punktet P(x; f (x)). Tangenten til grafen for f i dette punkt har hældningen f (x). For at beregne denne værdi finder man først en tilnærmelse til tangenthældningen ved hjælp af punkterne P og Q, se figur.4. Punktet Q har koordinaterne Q(x + x, f (x + x)), så f bliver: f = f (x + x) f (x)

9 . Den afledte funktion 9 = (3 (x + x) 2 + 7) (3x 2 + 7) = 3x x x + 3 ( x) x 2 7 = 6 x x + 3 ( x) 2 Derefter dividerer man dette med x for at finde en tilnærmelse til f (x): f x = 6 x x + 3 ( x)2 x = 6x + 3 x. Dvs. tangenthældningen i punkt P(x, f (x)) er ca. 6x + 3 x. Jo mindre x er, jo tættere kommer dette udtryk på den egentlige tangenthældning. Og jo mindre x er, jo tættere kommer 6x + 3 x på 6x. Man kan derfor konkludere, at for funktionen f (x) = 3x er f (x) = 6x. f (x + x) f (x) (2) P Q Denne metode kan sammenfattes i følgende definition: Definition.3 For en funktion f defineres den afledte funktion f (x), som den funktion, der opfylder f x f (x) når x 0, x x + x () Figur.4: Punktet P er tangentens røringspunkt, så P ligger både på grafen og tangenten. Punktet Q ligger kun på grafen, men dog tæt på tangenten. hvor f = f (x + x) f (x). Metoden, man bruger til at finde afledte funktioner, kan skrives op på følgende måde.. Beregn f, og reducer så meget som muligt. 2. Beregn f x, og reducer så meget som muligt. 3. Bestem, hvad f x går mod, når x 0. Dette er f (x). Denne metode kaldes ofte for tre-trins-reglen. Begreber og notation Af definition.3 kan man læse, hvordan man finder frem til den afledte funktion f (x), som er den funktion, der angiver tangenthældningen i ethvert punkt på grafen for f (x). For at finde frem til den afledte funktion ser man på differenskvotienten 3 f x. Man undersøger, hvad der sker med denne størrelse, når x 3 nærmer sig 0. Fordi man lader x nærme sig 0 i differenskvotienten, kaldes resultatet også for en differentialkvotient i stedet for en afledt funktion. De to navne dækker ikke helt det samme. Den afledte funktion er rent faktisk en funktion, mens ordet differentialkvotient bruges om funktionsværdien af f (x) i et bestemt punkt. Man vil dog nogle steder kunne se de to ord afledt funktion og differentialkvotient brugt som synonymer. f x kaldes»differenskvotienten«, da f og x er differenser, og fordi resultatet af en division kaldes en kvotient.

10 0 Differentialregning 4 Bemærk, at df er fuldstændigt det samme som f (x). Det betyder, at symbolet df dx dx ikke skal forstås som en brøk; man kan altså ikke skille df og dx ad. Idet differentialkvotienten bestemmes ud fra differenskvotienten f x benævnes den også somme tider df dx.4 Følgende udsagn er altså fuldstændigt ækvivalente:. Den afledte funktion af f (x) = 3x er f (x) = 6x. 2. Den afledte funktion af f (x) = 3x er df dx = 6x. 3. Differentialkvotienten af f (x) = 3x er df dx = 6x..2 Diverse afledte funktioner Nedenfor følger en udledning af, hvordan den afledte funktion ser ud for nogle simple funktioner. Sætning.4 Når f (x) = k, hvor k er en konstant, så er den afledte funktion f (x) = 0. Dette resultat følger af, at grafen for f (x) = k er en linje parallel med førsteaksen, dvs. en linje med hældning 0. Idet f (x) angiver tangenthældningen i et hvert punkt, og grafen for f har hældning 0, bliver f (x) = 0. Her følger dog alligevel et formelt bevis, hvor definition.3 anvendes: Bevis Hvis f (x) = k, bliver f = f (x + x) f (x) = k k = 0. Derfor er f x = 0 x = 0. Idet f x = 0, uanset hvilken værdi x har, vil der også gælde, at dvs. f 0, når x 0. x f (x) = 0. Sætning.5 Hvis f (x) = x, så er f (x) =. Grafen for f (x) = x er en ret linje med hældning. Heraf følger sætningen. Et formelt bevis med anvendelse af definition.3 overlades som en øvelse til læseren. Sætning.6 Når f (x) = x 2 er den afledte funktion f (x) = 2x.

11 .2 Diverse afledte funktioner Bevis Først beregnes Dernæst beregnes brøken f x f = f (x + x) f (x) = (x + x) 2 x 2 = x 2 + 2x x + ( x) 2 x 2 = 2x x + ( x) 2. f x = 2x x + ( x)2 x Hvis x 0 vil dette udtryk gå mod 2x. Derfor er f (x) = 2x. = 2x + x. Sætning.7 Når f (x) = x er den afledte funktion f (x) = x 2. Bevis For f (x) = x er Dvs. f = f (x + x) f (x) = x + x x x = x (x + x) x + x x (x + x) x = x (x + x). f x = x x (x+ x) = x Når x 0, vil dette udtryk nærme sig x (x + x). x (x+0) =, og derfor er x 2 f (x) = x 2. Sætning.8 Hvis f (x) = x, er den afledte funktion f (x) = 2 x. Bevis For f (x) = x er f = f (x + x) f (x) = x + x x. Dette udtryk kan man ikke umiddelbart skrive om, så der er ikke andet at gøre end at regne direkte på f x. Her viser det sig, at man kan gøre brug af en smart omskrivning: 5 5 Man forlænger med x + x + x. Det viser sig nemlig, at man så kan udnytte regnereglen (a b)(a + b) = a 2 b 2.

12 2 Differentialregning Tabel.: Diverse funktioner og deres afledte funktioner. 2 (2) f (x) f (x) k 0 x x 2 2x x 3 3x 2 x n nx n x x 2 x 2 x e x e kx a x ln(x) f (x) = x e x k e kx ln(a) a x x y = 4 x + P(4; 2) Dette udtryk vil nærme sig f x + x x x = x ( )( ) x + x x x + x + x = x ( x + x + x ) ( ) 2 ( ) 2 x + x x = x ( x + x + x ) x + x x = x ( x + x + x ) x = x ( x + x + x ) =. x + x + x = x+0+ x 2, når x 0, dvs. x f (x) = 2 x. I tabel. kan man se nogle yderligere eksempler på, hvordan den afledte funktion ser ud for nogle bestemte funktioner. Eksempel.9 Ifølge sætning.8 er den afledte funktion af f (x) = x givet ved f (x) = 2 x. Idet f (x) giver hældningen på tangenterne til grafen, kan man f.eks. beregne, at tangenten i punktet P(4;2) har hældningen f (4) = 2 4 = 2 2 = 4. Dette kan ses på figur.5. Tangenten er altså en ret linje med ligningen y = 4 x + b. Hvis man er interesseret i at finde hele ligningen, kan dette gøres ved at indsætte røringspunktet P(4,2) i tangentens ligning: 2 = b b =. I punktet P(4;2) har grafen for f (x) = x altså en tangent med ligningen y = 4 x +, 4 () hvilket også fremgår af figur.5. Figur.5: Grafen for f (x) = x har i punktet P(4;2) en tangent, som har ligningen y = 4 x +..3 Sum og differens Det viser sig, at for at finde den afledte funktion f af en given funktion f, er det ikke nødvendigt at anvende metoden fra foregående afsnit hver gang. Det er tilstrækkeligt at kende den afledte funktion for en række simple funktioner, som f.eks. dem fra afsnittet ovenfor. Der gælder nemlig nogle regneregler, som kan bruges, hvis man skal finde den afledte funktion af en funktion f, som er»bygget op af«simplere funktioner.

13 .3 Sum og differens 3 Sætning.0 Hvis f (x) = c p(x), hvor c er en konstant, så er f (x) = c p (x). Bevis Når f (x) = c p(x) er f = c p(x + x) c p(x) = c (p(x + x) p(x) ) = c p. Dvs. f x = c p x = c p x. Lader man x 0, vil p x p (x), og dvs. c p x c p (x). Altså er f (x) = c p (x). Hvad dette resultat kan bruges til ses i dette eksempel. Eksempel. Ifølge sætning.6 er den afledte funktion af p(x) = x 2 givet ved p (x) = 2x. Men hvad er den afledte funktion af f (x) = 7x 2? Her kan man benytte sætning.0. Hvis f (x) = 7x 2, så er f (x) = c p(x), hvor c = 7 og p(x) = x 2. Da man allerede kender den afledte funktion af p(x) = x 2, får man ifølge sætning.0, at f (x) = c p (x) = 7 2x = 4x. Man kan altså finde den afledte funktion af f (x) = 7x 2, blot fordi man kender den afledte funktion af x 2. Eksempel.2 Skal man finde differentialkvotienten af f (x) = 4x 3, kan f (x) skrives som f (x) = 4 p(x), hvor p(x) = x 3. Et tabelopslag giver, at p (x) = 3x 2. Ifølge sætning.0 er f (x) = 4 p (x) = 4 3x 2 = 2x 2. Sætning.3 Hvis en funktion er givet ved f (x) = p(x) + q(x), er f (x) = p (x) + q (x). Bevis Man anvender definition.3 og beregner først f = f (x + x) f (x) = ( p(x + x) + q(x + x) ) ( p(x) + q(x) ) = p(x + x) p(x) + q(x + x) q(x) = p + q. Herefter får man f x = p + q x = p x + q x. Lader man nu x 0, vil p x p (x) og q x q (x), hvilket betyder, at f (x) = p (x) + q (x).

14 4 Differentialregning Sætning.4 Hvis f (x) = p(x) q(x), så er f (x) = p (x) q (x). Denne sætning minder meget om sætning.3, og beviset kan gennemføres på tilsvarende måde. Eksempel.5 Sætningerne.0,.3 og.4 kan anvendes i kombination til at differentiere lidt mere komplicerede funktionsudtryk. Funktionen f (x) = 4x 2 + 5ln(x) 3x er f.eks. sat sammen af de mere simple udtryk x 2, ln(x) og x, som alle kan findes i tabel.. Bruger man sætning.3 og.4 får man, at f (x) = ( 4x 2) + (5ln(x)) (3x). Herefter kan man bruge sætning.0, så f (x) = 4 (x 2) + 5 (ln(x)) 3 (x). De afledede funktioner for x 2, ln(x) og x, slår man nu op i tabellen. Man får så f (x) = 4 2x + 5 x 3, hvilket kan reduceres til f (x) = 8x + 5 x 3..4 Produkt, sammensat funktion og kvotient Ser man på de sætninger, der ind til nu er bevist, kunne man få den tanke, at man altid blot kan differentiere enkeltdele af et funktionsudtryk hver for sig. Dette er dog på ingen måde tilfældet, hvilket næste sætning viser. Sætning.6 (Produktreglen) Hvis en funktion er givet ved f (x) = p(x) q(x), er f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x). Bevis Når f (x) = p(x) q(x), er f = f (x + x) f (x) = p(x + x) q(x + x) p(x) q(x). For at omskrive dette udtryk, så det indeholder både p og q bruger man et trick: Man trækker leddet p(x) q(x + x) fra og lægger det herefter til igen. Herved ændrer man nemlig ikke noget: f = p(x + x) q(x + x) p(x) q(x)

15 .4 Produkt, sammensat funktion og kvotient 5 = p(x + x) q(x + x) p(x) q(x + x) + p(x) q(x + x) p(x) q(x). }{{} summen af disse to led er 0 Herefter kan man sætte uden for parentes, så Så bliver f = ( p(x + x) p(x) ) q(x + x) + p(x) (q(x + x) q(x) ) f x = p q(x + x) + p(x) q. = p q(x + x) + p(x) q x Lader man nu x 0, vil Samlet set får man derfor p x p (x) q(x + x) q(x) = p q q(x + x) + p(x) x x. p(x) p(x) q x q (x). f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x). Eksempel.7 Skal man finde differentialkvotienten af f (x) = x ln(x), skriver man f (x) som f (x) = p(x) q(x), hvor p(x) = x, q(x) = ln(x). Tabelopslag giver, at Sætning.6 giver så p (x) = 2 x, q (x) = x. Dette kan så reduceres yderligere til f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x) = 2 x ln(x) + x x. f (x) = ln(x) 2 x + f (x) = ln(x) + 2 x 2. x Den næste sætning handler om sammensatte funktioner. Det er funktioner, der kan beskrives som en»funktion af en funktion«. Herved forstås funktioner som f (x) = (ln(x)) 2, g (x) = x 3 + 4, h(x) = e 6x+x2, k(x) = ln(x 2 + e x ). Når man skal differentiere en sådan funktion, skal man opdele i en ydre funktion og en indre funktion. 6 Fremgangsmåden ved differentiation er angivet i følgende sætning. 6 Funktionen f er f.eks. sammensat af en indre funktion, som er q(x) = ln(x), og en ydre funktion, som er p(q) = q 2, fordi ln(x) er opløftet i 2. potens.

16 6 Differentialregning Sætning.8 (Kædereglen) Hvis en sammensat funktion f er givet ved f (x) = p(q(x)), så er den afledte funktion f (x) = p (q(x)) q (x). Bevis Hvis f (x) = p(q(x)), så bliver f x = f (x + x) f (x) x p(q(x + x)) p(q(x)) =. (.) x q er defineret ved q = q(x + x) q(x), hvilket giver q(x + x) = q(x) + q. Brøken i udtrykket (.) kan derfor omskrives til f x = p(q(x) + q) p(q(x)) x. Hvis man ikke skriver eksplicit, at q er afhængig af x kan dette også skrives som f p(q + q) p(q) =. x x Så længe q ikke er 0, kan man forlænge brøken med q, hvorved man får f x = p(q + q) p(q) q q x. (.2) De to faktorer på højre side af (.2) undersøges nu hver for sig. Brøken p(q+ q) p(q) q kan skrives som p q, hvor det er underforstået, at p er en funktion af q. Idet q = q(x + x) q(x), vil der gælde, at q 0, når x 0, hvilket betyder at For brøken q x gælder, at p q p (q), når x 0. q x q (x), når x 0. Samlet set får man altså fra ligningen (.2), at f x p (q) q (x), når x 0. Husker man nu, at q faktisk er en funktion af x, har man f (x) = p (q(x)) q (x).

17 .4 Produkt, sammensat funktion og kvotient 7 Eksempel.9 En funktion f er givet ved forskriften f (x) = x f kan altså skrives som f (x) = p(q(x)), hvor p(q) = q og q(x) = x Disse to funktioner kan differentieres vha. tabelopslag: p (q) = 2 q og q (x) = 2x. Sætning.8 giver, at f (x) = p (q(x)) q (x) = 2 q 2x ( ) = 2 x x Ved ( ) erstattes q med x 2 + 3, da q(x) = x Udtrykket kan reduceres yderligere, og man får f (x) = 2 x x = x x Eksempel.20 En funktion f er givet ved forskriften f (x) = e x2. For at differentiere f skrives f (x) = p(q(x)), hvor p(q) = e q, q(x) = x 2. Tabelopslag giver p (q) = e q, q (x) = 2x. Sætning.8 giver f (x) = p (q(x)) q (x) = e q 2x = e x2 2x. Sætningerne.6 og.8 kan også bruges til at bevise en sætning om differentiation af kvotienter af funktioner. Der gælder nemlig følgende sætning. Sætning.2 (Kvotientreglen) Hvis en funktion er givet ved f (x) = p(x) q(x), er f (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) (q(x)) 2. Bevis f (x) = p(x) q(x) kan omskrives til f (x) = p(x) q(x).

18 8 Differentialregning Dette er et produkt af to funktioner, dvs. ifølge sætning.6 er f (x) = p (x) ( ) ( ) q(x) + p(x) = p (x) q(x) q(x) + p(x). (.3) q(x) 7 Funktionsudtrykket q(x) kan siges at være sammensat af s(q) = q og q(x). Herefter bruger man, at s (q) = q 2. ( For at komme videre med dette bliver man nødt til at undersøge. q(x)) Her er der tale om den afledte af en sammensat funktion. Ved brug af sætning.8 får man så 7 ( q(x) ) = q(x) 2 q (x). Indsætter man nu dette resultat i (.3), får man ( f (x) = p (x) q(x) + p(x) ) q(x) 2 q (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) q(x) 2 = p (x) q(x) q(x) 2 p(x) q (x) q(x) 2 = p (x) q(x) p(x) q (x) q(x) 2. Eksempel.22 Lad f (x) = x2 e. Differentialkvotienten f (x) findes ved at skrive f (x) = p(x) x hvor p(x) = x 2, q(x) = e x. q(x), Tabelopslag giver p (x) = 2x, q (x) = e x. Sætning.2 giver, at f (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) (q(x)) 2 = 2x ex x 2 e x (e x ) 2. Dette kan så reduceres yderligere til f (x) = 2x x2 e x. Der findes funktioner, hvor det ikke er nok at bruge en enkelt af regnereglerne i sætningerne.6,.8 og.2. Nogle gange er det nødvendigt at kombinere dem. Her følger derfor et»vildt«eksempel: Eksempel.23 En funktion er givet ved forskriften f (x) =, x >. x2 ln(x)

19 .4 Produkt, sammensat funktion og kvotient 9 Hvordan differentieres denne funktion? Først skrives f (x) = p(q(x)), hvor p(q) = q, q(x) = x 2 ln(x). Her er det nemt nok at differentiere p(q), men hvad med q(x)? Denne deles yderligere op: q(x) = s(t(x)), hvor s(t) = t, t(x) = x 2 ln(x). Nu består problemet i at differentiere t. Dette kan gøres ved at skrive t som t(x) = n(x) m(x), n(x) = x 2, m(x) = ln(x). Her er n (x) = 2x, m (x) = x. Ifølge sætning.6 vil man så få t (x) = n (x) m(x) + n(x) m (x) = 2x ln(x) + x 2 x. Dette kan reduceres til t (x) = 2x ln(x) + x. Nu har man alt det, man skal bruge, og man kan begynde at arbejde sig tilbage gennem de mange delfunktioner: q (x) = s (t(x)) t (x) = 2 t (2x ln(x)+ x) = 2 (2x ln(x)+ x). x 2 ln(x) Dette kan reduceres til Til sidst kan man derfor finde q 2x ln(x) + x (x) = 2. x 2 ln(x) f (x) = p (q(x)) q (x) = 2x ln(x) + x q2 2 x 2 ln(x) 2x ln(x) + x = ( ) 2 x2 ln(x) 2. x 2 ln(x) Dette kan så til sidst reduceres til f 2ln(x) + (x) = 2x 2 ln(x) ln(x). Ved hjælp af sætningerne.0.2 og tabelopslag kan man differentiere en hvilken som helst funktion. Afsnittet her afsluttes derfor med en opsummering af disse sætninger:

20 20 Differentialregning Sætning.24 Følgende regneregler kan anvendes til bestemmelse af en afledt funktion: f (x) = c p(x) f (x) = c p (x). f (x) = p(x) + q(x) f (x) = p (x) + q (x). f (x) = p(x) q(x) f (x) = p (x) q (x). f (x) = p(x) q(x) f (x) = p (x) q(x) + p(x) q (x). f (x) = p(q(x)) f (x) = p (q(x)) q (x). f (x) = p(x) q(x) f (x) = p (x) q(x) p(x) q (x) q(x) 2..5 Tangentligninger Den afledte funktion giver tangenthældningen i et vilkårligt punkt på grafen. Har man en tangenthældning og et punkt, kan man bestemme en ligning for tangenten. Her følger et par eksempler. ( ; 3) (2) () Figur.6: Grafen for f (x) = x 2 + 4x + 6 har en tangent med ligningen y = 2x +5 i punktet P( ;3). Eksempel.25 Funktionen f (x) = x 2 +4x +6 har en tangent i punktet P( ; f ( )). Hvad er tangentens ligning? Tangenten er en ret linje, så den har ligningen y = ax + b. Dvs. man skal altså bestemme de to tal a og b for at kunne skrive ligningen op. a er tangentens hældning, og den er givet ved f (x), derfor bestemmer man først f (x): f (x) = 2x = 2x + 4. Førstekoordinaten til punktet er x 0 =, derfor er tangentens hældning f ( ) = 2 ( ) + 4 = 2, og tangentens ligning er altså y = 2x + b. For at kunne bestemme hele ligningen skal man kende det punkt, i hvilket tangenten rører grafen. Førstekoordinaten er x 0 =, andenkoordinaten er y 0 = f ( ) = ( ) ( ) + 6 = = 3. Tangentens røringspunkt er derfor (,3). Dette punkt indsættes i tangentens ligning, dvs. 3 = 2 ( ) + b b = 5. Altså er tangentens ligning y = 2x + 5. Grafen og tangenten kan ses på figur.6.

21 .5 Tangentligninger 2 Eksempel.26 Funktionen g (x) = 3x + ln(x) har en tangent i punktet P(; f ()). For at bestemme tangentens ligning, bestemmer man først Tangentens hældning er så g (x) = 3 + x. a = f () = 3 + = 4, og ligningen er y = 4x + b. For at bestemme b udregner man andenkoordinaten til røringspunktet y 0 = f () = 3 + ln() = 3, og dette tal sættes sammen med x 0 = ind i tangentens ligning: Altså er tangentens ligning 3 = 4 + b b =. y = 4x. Som det ses af de to forrige eksempler, bruger man samme fremgangsmåde, hver gang man skal bestemme en tangentligning i et punkt. Der kunne derfor måske være en fordel i at samle hele proceduren i én formel. Dette er gjort i følgende sætning. Sætning.27 Lad der været givet en funktion f (x). Tangenten til grafen for f i punktet P(x 0 ; f (x 0 )) har da ligningen y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). Bevis Tangenten er en ret linje, så den har ligningen y = ax + b. Da f (x) giver tangenthældningen, og tangenten rører grafen i P(x 0 ; f (x 0 )), må tangentens hældning være a = f (x 0 ). Tangentens ligning kan altså skrives som y = f (x 0 ) x + b. (.4) For at bestemme skæringen med andenaksen, b, indsættes det kendte punkt 8 P(x 0 ; f (x 0 )) i tangentens ligning, som så løses for b: f (x 0 ) = f (x 0 ) x 0 + b b = f (x 0 ) x 0 + f (x 0 ). 8 Husk, at både grafen for f og tangenten går gennem P(x 0 ; f (x 0 )), dvs. dette punkt skal passe ind i tangentens ligning. Dette udtryk for b sættes ind i tangentligningen (.4), og man får y = f (x 0 ) x f (x 0 ) x 0 + f (x 0 ), som ved at sætte uden for parentes kan skrives som y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ).

22 22 Differentialregning Her følger et par eksempler på anvendelsen af formlen. Eksempel.28 Funktionen f (x) = 3x har en tangent i punktet P(5; f (5)). For at bestemme tangenten benyttes formlen y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) med x 0 = 5, dvs. y = f (5) (x 5) + f (5). Før formlen kan bruges, skal man kende f (x): f (x) = 3 2x + 0 = 6x. Herefter beregner man f (5) = 6 5 = 30 f (5) = = 85. Ved indsættelse i formlen fås ligningen y = 30 (x 5) + 85, som reduceres til y = 30x 65. Eksempel.29 Funktionen g (x) = (7x + ) e x har en tangent i punktet P(0; g (0)). Tangenten har ligningen y = g (0) (x 0) + g (0) = g (0) x + g (0). 9 Funktionen differentieres vha. produktreglen, sætning.6. Nu finder man 9 g (x) = 7 e x + (7x + ) e x = (7x + 8) e x. Dvs. g (0) = ( ) e 0 = 8 = 8 g (0) = (7 0 + ) e 0 = =. Indsætter man dette i udtrykket ovenfor, når man frem til ligningen y = 8x +. Bestemmelse af røringspunkter Hvis man kender forskriften for en funktion og et punkt på grafen, kan man bestemme en ligning for tangenten til grafen i dette punkt. Men det er også muligt at regne den anden vej: Hvis man kender tangenten, kan man finde røringspunktet. I dette afsnit bliver der vist nogle eksempler

23 .5 Tangentligninger 23 Eksempel.30 En funktion er givet ved forskriften f (x) = x 2 + 3x +. Grafen for funktionen har en tangent med ligningen y = x + 2, hvor på grafen er røringspunktet for denne tangent? Den afledte funktion er f (x) = 2x + 3, og den giver tangenthældningen i ethvert punkt på grafen. Den tangent, man kender ligningen for, har hældningen, dvs. f (x) = i røringspunktet. Det giver ligningen 2x + 3 = x =. Tangentens røringspunkt ligger altså ud for på førsteaksen. Nu mangler man blot andenkoordinaten, som er (2) (;3) () Figur.7: Tangenten y = x + 2 rører grafen for f (x) = x 2 + 3x + i punktet (;3). f () = = 3. Røringspunktet har altså koordinaterne (;3), se figur.7. Eksempel.3 Funktionen f er givet ved f (x) = x 4 x + 3, x > 0. Grafen for f har en tangent med hældning 2. Hvor er denne grafs røringspunkt, og hvad er tangentens ligning? Da det er f (x), der er tangenthældningen, skal man her finde ud af, hvornår f (x) = 2. Først finder man derfor f (x), f (x) = + 4 x 2, x > 0. Herefter løser man ligningen f (x) = 2, + 4 x 2 = 2 4 x 2 = x = 2 x = 2. Der er to løsninger til ligningen, men da f (x) kun er defineret for x > 0, kasseres den negative løsning. Den søgte førstekoordinat til røringspunktet er så x = 2. Andenkoordinaten til røringspunktet er (2) f (2) = = 3, og røringspunktet har altså koordinaterne (2;3), se figur.8. Tangentens ligning er ifølge sætning.27 givet ved y = f (2) (x 2) + f (2), 2 (2; 3) () men da man allerede kender tangentens hældning f (2) = 2 og har beregnet f (2) = 3, bliver denne ligning til y = 2 (x 2) + 3, Figur.8: Grafen for f (x) = x x 4 +3 har en tangent med hældning 2 i punktet (2;3). som kan reduceres til y = 2x.

24 24 Differentialregning Eksempel.32 Grafen for funktionen f (x) = x 3 3x 2 2x + 5 har to tangenter med hældningen 3. Hvad er røringspunkterne for disse tangenter? Tangenternes hældning er 3, dvs. f (x) = 3. For at løse denne ligning skal man først bestemme f (x), f (x) = 3x 2 3 2x 2 = 3x 2 6x 2. Ligningen f (x) = 3 er derfor andengradsligningen 3x 2 6x 2 = 3 3x 2 6x 24 = 0. Løser man denne ligning, finder man løsningerne x = 2 x = 4. De to røringspunkter er altså ( 2; f ( 2)) og (4; f (4)). De to andenkoordinater kan nu bestemmes, f ( 2) = ( 2) 3 3 ( 2) 2 2 ( 2) + 5 = 27 f (4) = = 63. De to røringspunkter er altså ( 2;27) og (4; 63). I disse to punkter har grafen for f tangenter med hældning 3. Hvis man er interesseret i at finde ligningerne for disse to tangenter kan det gøres på samme måde som i eksempel.3. Eksempel.33 I eksempel.32 så man, at grafen for f (x) = x 3 3x 2 2x + 5 havde to tangenter med hældning 3. Findes der en hældning a, så grafen har præcis én tangent med denne hældning? Dette spørgsmål er lidt mere komplekst, men idet man finder røringspunkter for tangenterne ved at løse ligningen f (x) = a for en bestemt hældning a, kan spørgsmålet oversættes til det følgende: Findes der et tal a, så ligningen f (x) = a (.5) har præcis én løsning? Fra eksempel.32 har man, at så ligningen (.5) bliver f (x) = 3x 2 6x 2. 3x 2 6x 2 = a 3x 2 6x 2 a = 0. 0 husk, at diskriminanten er d = B 2 4AC, hvor A, B og C er ligningens koefficienter. (De skrives her som A, B og C, fordi koefficienten til andengradsleddet ikke må hedde a, da det er tangentens hældning.) Dette er en andengradsligning. Hvis denne ligning skal have præcis én løsning skal dens diskriminant være lig 0. Diskriminanten for denne ligning bliver 0 d = ( 6) ( 2 a) = 36 2 ( 2 a) = a. Hvis dette skal give 0, skal a = 0 2a = 288 a = 24. Der findes altså præcis én tangent til grafen med hældning a = 24. Faktisk kan man ved at se nærmere på diskriminanten konstatere, at hvis a > 24 findes der to tangenter med hældningen a; mens der ingen tangenter findes med hældningen a, hvis a < 24.

25 .6 Monotoniforhold og ekstrema 25 (2) Eksempel.34 I dette eksempel ses på grafen for funktionen f (x) = x 2 + 3x + 6. Hvor mange af grafens tangenter går også gennem punktet P(2;7)? At svare på dette spørgsmål er ikke helt simpelt, idet punktet P ikke ligger på grafen. På figur.9 kan man se et billede af situationen; her kan man også se, at der er to tangenter til grafen for f, der går gennem P. Ifølge sætning.27 er tangentens ligning y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). 0 P(2; 7) () Problemet består nu i at finde frem til røringspunkterne for de tangenter, der går gennem P(2;7). Røringspunktet er defineret ud fra dets førstekoordinat x 0 ; men den kender man ikke. Til gengæld ved man, at tangenterne går gennem P(2;7), så disse koordinater skal passe ind i tangentens ligning, dvs. man har Figur.9: Grafen for f (x) = x 2 + 3x + 6 har to tangenter, der går gennem P(2;7). 7 = f (x 0 ) (2 x 0 ) + f (x 0 ). (.6) For at kunne komme videre med denne ligning er det nødvendigt at kende f (x), som findes ved at differentiere f, f (x) = 2x + 3. Dette kan sammen med funktionens forskrift indsættes i ligningen (.6), så man får ligningen som kan reduceres til 7 = (2x 0 + 3) (2 x 0 ) + (x x 0 + 6), 7 = 2x 0 + x x x 0 + 6, der igen kan reduceres, så man ender med andengradsligningen Denne ligning har løsningen x 2 0 4x 0 5 = 0. x = x = 5. Idet der er to røringspunkter, er der altså to tangenter. Røringspunkternes andenkoordinater og tangenternes ligninger kan herefter bestemmes ved at gå frem som i eksempel Monotoniforhold og ekstrema Hvis en funktion opfører sig på den måde, at funktionsværdien bliver større, når den uafhængige variabel bliver større, kalder man den for en voksende funktion. Forholder det sig til gengæld sådan, at funktionsværdien bliver mindre, når den uafhængige variabel bliver større, kaldes funktionen aftagende. Formelt har man følgende definition,

26 26 Differentialregning Definition.35 Lad en funktion f være defineret på et interval.. Hvis der for ethvert sæt af to vilkårlige tal x, x 2 i intervallet gælder x x 2 f (x ) f (x 2 ), kaldes funktionen voksende i intervallet. 2. Hvis der for ethvert sæt af to vilkårlige tal x, x 2 i intervallet gælder x x 2 f (x ) f (x 2 ), kaldes funktionen aftagende i intervallet. Bemærk her, at definitionen handler om, hvordan funktionen opfører sig på et interval. Hvis man blot kigger på et enkelt punkt giver det ikke mening at tale om, om funktionen er voksende eller aftagende. Egenskaberne voksende og aftagende knytter sig altså til intervaller, ikke til punkter. Eksempel.36 Grafen for funktionen f (x) = 2x + er en ret linje med positiv hældning. Denne funktion er derfor voksende. En ret linje med negativ hældning er omvendt grafen for en aftagende funktion (det kunne f.eks. være f (x) = 4x + 3). (2) En funktion, der er enten voksende overalt eller aftagende overalt, kaldes en monoton funktion. Men det er ikke alle funktioner der er monotone. Der findes mange funktioner, som er voksende nogle steder og aftagende andre steder. Når man beskriver, hvor funktionen vokser, og hvor den aftager, siger man, at man beskriver funktionens monotoniforhold. En funktions monotoniforhold finder man ved at opdele førsteaksen i de intervaller, hvor funktionen er voksende, og de intervaller, hvor funktionen er aftagende. f x = 2 () Figur.0: Grafen for f (x) = x 2 4x +. Eksempel.37 På figur.0 kan man se grafen for funktionen f (x) = x 2 4x +. Der er også indtegnet et lodret linjestykke ud for x = 2. Man kan se, at på venstre side af linjestykket er funktionen aftagende, mens den er voksende på højre side. Funktionens monotoniforhold er så, at f (x) er aftagende, når x 2, og voksende, når x 2. I eksempel.37 blev monotoniforholdene bestemt ved aflæsning. Man kan altid tegne grafen for en given funktion og bestemme monotoniforholdene ved aflæsning, men det giver en begrænsning i præcision. Derfor kunne det være smart, hvis man i stedet kunne regne ud, hvor grafen skifter fra at være aftagende til at være voksende eller omvendt, hvis blot man kender funktionens forskrift.

27 .6 Monotoniforhold og ekstrema 27 Fra eksempel.36 har man, at hvis grafen for en funktion er en ret linje, er dens monotoniforhold bestemt af hældningskoefficienten. Er hældningen positiv, er funktionen voksende, er den negativ, er funktionen aftagende. Tangenterne til grafen for en funktion er netop rette linjer, og deres hældningskoefficienter er bestemt ved f (x), derfor giver følgende sætning intuitivt mening, Sætning.38 Hvis funktionen f er differentiabel, gælder der. Hvis f er voksende i intervallet [a;b], er f (x) 0 for alle x ]a;b[. 2. Hvis f er aftagende i intervallet [a;b], er f (x) 0 for alle x ]a;b[. 3. Hvis f er konstant i intervallet [a;b], er f (x) = 0 for alle x ]a;b[. Sætning.38 kan bruge til at sige noget om f (x), hvis man allerede ved, om funktionen er voksende eller aftagende. Normalt vil man i stedet forsøge at bestemme monotoniforholdene ud fra et kendskab til f (x). Her gælder følgende: Her er det værd at bemærke, at når f (x) er voksende, så er tangenthældningen ikke nødvendigvis positiv i hele intervallet. Den kan udmærket være 0 på et stykke. Det følger af definition.35, hvor det netop heller ikke kræves, at f (x ) er større end f (x 2 ), når x x 2, men blot større eller lig med. Både voksende og aftagende funktioner kan således være konstante på et interval. Faktisk kan man udlede af definition.35, at en konstant funktion både er voksende og aftagende. Det virker selvmodsigende, men er ikke desto mindre tilfældet. Sætning.39 (Monotonisætningen) For en differentiabel funktion f (x) gælder at. Hvis f (x) > 0 for alle x i et interval ]a;b[, er f voksende i [a;b]. 2. Hvis f (x) < 0 for alle x i et interval ]a;b[, er f aftagende i [a;b]. 3. Hvis f (x) = 0 for alle x i et interval ]a;b[, er f konstant i [a;b]. Hvis man skal bestemme monotoniforholdene for en funktion f skal man altså undersøge f for at finde ud af, hvornår f (x) går fra at være positiv til at være negativ, eller omvendt. Går f (x) fra at være positiv til at være negativ, må værdien af f (x) passere 0. Altså skal man finde ud af, hvornår f (x) = 0. Dette illustreres i følgende eksempel. Eksempel.40 Her ses på samme funktion som i eksempel.37, f (x) = x 2 4x +. For at finde ud af, hvornår grafen går fra at være voksende til at være aftagende, skal man finde ud af, hvor f (x) = 0. Først bestemmer man derfor f (x), f (x) = 2x 4.

28 28 Differentialregning (2) Ligningen f (x) = 0 bliver derfor f (x) < 0 2 f (x) = 0 f (x) > 0 () Figur.: Grafen for f (x) = x 2 4x + er aftagende før x = 2 og voksende efter x = 2. Ud for x = 2 er der en vandret tangent. 2x 4 = 0 x = 2. Ud for x = 2 har grafen derfor en tangent med hældning 0, dvs. en vandret tangent. Dette kan også ses på figur.. På grafen kan man se, at funktionen er aftagende før x = 2 og voksende efter. Har man ikke grafen, kan man finde frem til fortegnet for f (x) ved beregning. Skal man finde ud af, om f (x) er positiv eller negativ, når x < 2, vælger man et tal mindre end 2, som man sætter ind i forskriften for f. Et tal mindre end 2 kunne f.eks. være 0. Her får man f (0) = = 4. 2 Fra tidligere ved man, at f (x) kun giver 0 for x = 2. Derfor vil værdien af f (x) have samme fortegn for alle tal x < 2, og det er altså kun nødvendigt at undersøge fortegnet for f (x) for ét tal mindre end 2; her var det x = 0. 3 Tallene 0 og 3, som man satte ind i forskriften for f (x) indgår altså ikke i monotoniforholdene. Det var blot to tilfældige tal mindre hhv. større end 2, som blev indsat for at finde fortegnet for f (x), når x er større/mindre end 2. Da 4 < 0 konkluderer man at f (x) er negativ for alle x < 2, dvs. her er f aftagende. 2 På samme måde kan man vælge et tal større end 2, f.eks. 3 og beregne f (3) = = 2 > 0, dvs. f (x) er positiv for x > 2, og f (x) er altså voksende for disse værdier af x. Monotoniforholdene for f er altså alt i alt, at f (x) er aftagende for x 2 og voksende for x 2. 3 Fortegnslinje Monotoniforholdene for funktionen i eksempel.40 kan også beskrives vha. en fortegnslinje. En sådan linje kan f.eks. se således ud: x : 2 f (x) : f (x) : 0 min. + 4 Fortegnslinjen er altså ikke det samme som monotoniforholdene, men monotoniforholdene kan aflæses på fortegnslinjen. (2) lokalt maksimum lokalt minimum globalt minimum () Af figuren kan man se, at før x = 2 er f (x) < 0, og efter x = 2 er f (x) > 0. Dette er illustreret med hhv. og + på figuren. I den nederste linje ser man, at dette viser, hvor f (x) er aftagende, og hvor den er voksende (illustreret med hhv. og ). Vha. fortegnslinjen kan man skrive monotoniforholdene op. 4 Men man kan også aflæse noget mere. Ud for x = 2 har funktionen f nemlig et minimum, dvs. et sted hvor funktionsværdien er lavest mulig. Man kan se på figuren, at der er tale om et minimum, idet funktionen først aftager og derefter vokser. I dette tilfælde er der faktisk tale om et globalt minimum, fordi det er det laveste punkt på hele grafen. Hvis et minimum ikke er globalt, taler man om et lokalt minimum. På samme måde taler man i øvrigt også om globale og lokale maksima. En illustration kan ses på figur.2. En samlet betegnelse for disse punkter på grafen er ekstrema. Et ekstremum er altså et sted på grafen, hvor der er maksimum eller minimum (lokalt eller globalt). Figur.2: Funktioner kan have både globale og lokale ekstrema.

29 .6 Monotoniforhold og ekstrema 29 Eksempel.4 I dette eksempel bestemmes monotoniforhold og ekstrema for funktionen f (x) = x 3 6x 2 + 9x +. Den afledte funktion er f (x) = 3x 2 2x + 9, dvs. ligningen f (x) = 0 bliver andengradsligningen 3x 2 2x + 9 = 0, som har løsningerne x = og x = 3. Disse to løsninger deler tallinjen ind i tre intervaller: Tallene mindre end, tallene mellem og 3 og tallene større end 3. Nu vælger man et tal fra hvert af disse intervaller for at finde fortegnene for f (x) i intervallerne: x < : f (0) = = 9 > 0 < x < 3 : f (2) = = 3 < 0 x > 3 : f (5) = = 24 > 0 Herudfra kan man så tegne en fortegnslinje x : f (x) : f (x) : + 0 maks. 3 0 min. + Ud fra fortegnslinjen kan man aflæse monotoniforholdene: f (x) er voksende for x og for x 3 og aftagende for x 3. Idet man ved, at monotoniintervallerne skiller ved x = og x = 3, kan man også aflæse monotoniforholdene fra grafen (se figur.3) i stedet for at tegne fortegnslinjen. Ud fra fortegnslinjen kan man også se, at der er to lokale ekstrema. Det ene ekstremum er et lokalt maksimum ud for x =, det andet er et lokalt minimum ud for x = 3. Andenkoordinaterne til de to ekstrema findes: f () = = 5f (3) = =. Funktionen f har altså et lokalt maksimum i (;5) og et lokalt minimum i (3;). Eksempel.42 I dette eksempel bestemmes evt. ekstrema for funktionen (2) () Figur.3: Grafen for f (x) = x 3 6x 2 +9x+ har et lokalt maksimum og et lokalt minimum. (2) f (x) = 6 x 2x, x > 0. Grafen for denne funktion kan ses på figur.4. Her ser man, at det ser ud som om funktionen har et globalt maksimum i nærheden af x = 2. For at bestemme, om funktionen har et globalt maksimum, finder man først f (x) = 6 2 x 2 = 3 2. x () Figur.4: Grafen for f (x) = 6 x 2x ser ud til at have et globalt maksimum.

30 30 Differentialregning Ligningen f (x) = 0 bliver derfor 3 x 2 = 0 2 x = 3 x = ( 3 2 ) 2 = Det er også vigtigt at huske, at funktionen kun er defineret for x > 0, så man må ikke sætte x lig 0 eller et negativt tal. Der er altså et muligt ekstremum ud for x = 9 4. For at kunne lave en fortegnslinje, ser vi på f (x) for x < 9 4 x > < x < 9 4 : f () = 3 2 = > 0 og for x > 9 4 : f (9) = = < 0 Fortegnslinjen ser derfor således ud x : f (x) : f (x) : maks. Det skraverede areal viser, at funktionen ikke er defineret for x 0. Vha. fortegnslinjen kan man se, at grafen vokser frem til x = 9 4, hvorefter den aftager. Funktionen har altså et globalt maksimum ud for x = 9 4. Andenkoordinaten til dette punkt er ( ) 9 9 f = = = 9 2. Funktionen har altså et globalt maksimum i ( 9 4, 9 2). Vendetangenter Hvis man ser på eksemplerne ovenfor, ser det ud til, at hver gang en graf har en vandret tangent, skifter den fra at vokse til at aftage, eller omvendt. Det er imidlertid ikke altid tilfældet, hvilket næste eksempel viser. Eksempel.43 Her undersøges funktionen f (x) = x 3 2x x 62 for at finde frem til monotoniforholdene. Først findes f (x) f (x) = 3x 2 2 2x + 48 = 3x 2 24x + 48, og derefter løses f (x) = 0, som er andengradsligningen 3x 2 24x + 48 = 0. Det viser sig, at denne andengradsligning kun har én løsning, nemlig x = 4.

31 .6 Monotoniforhold og ekstrema 3 Herefter bestemmes fortegnet for f (x) for x < 4 hhv. x > 4, x < 4 : f (0) = = 48 > 0 x > 4 : f (5) = = 3 > 0. Fortegnslinjen ser altså således ud: x : 4 (2) f (x) : f (x) : + 0? + f (4) = 0, så der er en vandret tangent ud for x = 4, men der er hverken tale om maksimum eller minimum, idet funktionen vokser både før og efter x = 4. Situationen kan ses på.5. I dette tilfælde taler man om en vandret vendetangent. Fortegnslinjen ser altså således ud () x : f (x) : f (x) : vend. + Figur.5: I punktet (4; f (4)) har grafen for f (x) = x 3 2x x 62 en vendetangent. og funktionen f er voksende for alle x. Betegnelsen vendetangent kan godt virke lidt underlig. Ser man på grafen på figur.5, er det tydeligt, at grafen netop fortsætter og altså ikke vender. Men hvis det ikke er grafen, der vender, hvad er det så? Ser man nærmere på grafen vil man se, at grafen ikke krummer på samme måde før og efter det punkt, hvor der er vandret vendetangent. På den konkrete graf er krumningen sådan, at grafen ligner før vendetangenten, og efter vendetangenten. Opsummering af metode Dette afsnit afsluttes med en generel opskrift på, hvordan man bestemmer monotoniforhold og ekstrema for en given funktion f (x):. Bestem f (x). 2. Løs ligningen f (x) = 0. Løsningen er de steder, hvor der er mulige ekstrema Løsningerne til ligningen f (x) = 0 deler førsteaksen i en række intervaller. Bestem fortegnet for f (x) i hvert af disse ved at indsætte et tal fra hvert interval i forskriften for f (x). Man kan også vælge at tegne grafen for at undersøge, hvordan funktionen opfører sig i monotoniintervallerne. I så fald bliver denne udregning og fortegnslinjen overflødig. 4. Tegn en fortegnslinje. 5. Konkludér vha. fortegnslinjen. Hvis man skal bestemme et maksimum eller et minimum skal man huske at beregne andenkoordinaten til punktet. 6 Husk, at der også kan være vendetangenter.

32 32 Differentialregning.7 Optimering x y x I sidste afsnit blev det gennemgået, hvordan man kan finde ekstrema for en funktion. Dette kan bruges til optimering af en størrelse. Optimering går ud på at finde ud af, hvornår en given størrelse er så stor eller lille som muligt. Hvis man har den størrelse, man skal optimere, givet som en funktion af én variabel, så består optimering blot i at bestemme maksimum eller minimum; men virkeligheden er ikke altid så simpel. Skal man f.eks. bestemme hvornår et givent areal er størst, kan det sagtens forekomme, at arealet afhænger af både en længde og en bredde. Der bliver så nødt til at være nogle andre betingelser, der afgør hvordan længden og bredden afhænger af hinanden. Hvordan optimering rent konkret kan foregå illustreres måske bedst med nogle eksempler. Figur.6: En hønsegård bygges langs med en mur. Eksempel.44 I en have skal der bygges en hønsegård langs med en mur (se figur.6). Der skal således indhegnes 3 sider af et rektangel. Hvis der er 20 m hegn til rådighed, hvordan skal indhegningen så bygges, så den dækker det største areal? Længden og bredden af det rektangel, der udgør hønsegården, kan man kalde x og y, se figuren. Den samlede længde af hegnet må så svare til længden af de tre sider, dvs. 2x + y. Da hegnet er 20 m langt, må der gælde, at 2x + y = 20, og isolerer man y i denne ligning, får man y = 20 2x. Arealet af rektanglet er A = x y, og det er denne størrelse der skal være størst mulig. Denne størrelse afhænger af to variable, x og y, så man kan ikke umiddelbart bestemme dens største værdi. Men da man lige har fundet ud af, at y = 20 2x kan arealet også skrives som A = x y = x (20 2x) = 20x 2x 2, 7 Bemærk i øvrigt, at 0 < x < 0. At x > 0 følger af, at x er en længde, betingelsen x < 0 følger af at der kun er 20 m hegn. De to sider af længde x kan derfor tilsammen ikke være 20 eller mere. Det betyder også, at evt. løsninger for x som ikke ligger i intervallet mellem 0 og 0 skal kasseres. 50 A og så afhænger arealet kun af x. 7 Hvornår er dette areal så størst? For at finde de mulige ekstrema for funktionen går man frem fuldstændig som i foregående afsnit, dvs. man løser ligningen A = 0. Idet A = 20x 2x 2, bliver Dvs. ligningen A = 0 er ligningen A = x = 20 4x, 20 4x = 0 x = 5. Der er altså muligvis et maksimum for arealet, hvor x = 5. For at være sikker på, at der nu også er tale om et maksimum kan man tegne grafen for A, den ses på figur x Figur.7: Arealet er størst, hvor x = 5.

33 .7 Optimering 33 På grafen ser man, at det drejer sig om et maksimum. Altså er arealet størst, når x = 5. Dette giver så at y = 0, og at arealet er A = 50, hvilket man også kan se på figuren. Eksempel.45 En cylinderformet beholder, der skal rumme liter, skal laves, så materialeforbruget er mindst muligt. Vi kan her gå ud fra, at materialetykkelsen er ens overalt, således at materialeforbruget er mindst, når overfladearealet er mindst. En cylinder kan defineres ud fra to parametre: Dens radius r (i toppen og bunden) og dens højde h, se figur.8. Idet beholderens rumfang er målt i liter, og l = dm 3, vil r og h blive målt i dm. Rumfanget af en cylinder er givet ved r h V = πr 2 h, og da rumfanget skal være på liter, har man Overfladearealet af en cylinder er πr 2 h = h = πr 2. (.7) Figur.8: En cylinder er defineret ud fra dens højde og radius. A = 2πr 2 + 2πr h. Indsætter man udtrykket for h fra (.7), får man A = 2πr 2 + 2πr πr 2 = 2πr r. Arealet er nu givet som en funktion af r. Der, hvor arealet er mindst muligt, er A = 0. Idet A = 4πr 2 r 2, har man derfor ligningen som har løsningen 4πr 2 r 2 = 0, r = 3 0,54 dm. 2π At det drejer sig om et minimum kan ses på figur.9. Når man kender radius, r = 0,54 dm, kan man beregne højden, idet man fra (.7) har, at h = =,08 dm. π 0,542 En cylinderformet beholder, der skal rumme liter, har derfor det mindste overfladeareal, når radius er r = 0,54 dm og højden er h =,08 dm. Eksempel.46 I en have skal der anlægges et blomsterbed på 0 m 2. Blomsterbedet skal have form som et rektangel sat sammen med en halvcirkel, se figur.20. Da der skal lægges sten rundt langs kanten af bedet, er man interesseret i at gøre omkredsen så lille som muligt. Hvilken størrelse skal de to længder x og r på figuren så have? 5,54 2 A 0, 0,54 Figur.9: Overfladearealet er mindst når radius er 0,54 dm. 2r x x r x Figur.20: Et blomsterbed på 0 m 2 sammensættes af et rektangel og en halvcirkel.

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2014-2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution VUC Vest, Esbjerg afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2015-2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen.

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution Vestegnen HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Kirsten

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Stx Matematik A MT 3.a Matematik Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2014 Institution VUC Vest, Esbjerg afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juli/August 2014 Institution VUC Vest, Esbjerg afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik

Læs mere