6.1 Reelle Indre Produkter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "6.1 Reelle Indre Produkter"

Transkript

1 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II x, y = y, x, III αx + βy, z = α x, z + β y, z. Associeret til det indre produkt er en længde (eller norm) v = v, v for v V. Aksiom I fortæller, at v =0 v = 0. Læg mærke til, at av = a v for alle a R og v V. Eksempel 6.1., 1: skalarproduktet i R n x, y = x T y er et indre produkt på R n. Eksempel 6.1., : indre produkt induceret med hjælp af en basis Hvis det reelle vektorrum V har ordnet basis V = {v 1,..., v n }, så er, V, givet ved x, y V = ([x] V ) T [y] V, et indre produkt. Aksiomerne I, II, og III følger nemt af de tilsvarende egenskaber for skalarprodukt, fordi koordinatiseringsafbildningen θ V er en lineær isomorfi. Det viser sig, at alle indre produkter på endelig dimensionale reelle vektorrum er af denne form. Eksempel 6.1., 3: et indre produkt på C[a, b] Et indre produkt på C[a, b] er givet ved f, g = b a f(x)g(x)dx. Lineariteten af integralet viser II, III umiddelbart. For I, vi bemærker, at f, f = b a (f(x)) dx er integralet af en kontinuert reel og ikke-negativ funktion, så f, f 0. Hvis f(x 0 ) 0, så er (f(x)) 1 (f(x 0)) > 0 for x i et (måske lille) interval I, lad os sige af længde l(i), omkring x 0 så så hvis f 0, f, f > 0. b a (f(x)) dx 1 (f(x 0)) l(i) > 0; 9

2 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Definition Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. u, v V er ortogonale (i kort form u v) hvis u, v =0. Sætning (Pythagoras) Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,, og lad u, v V være ortogonale. Der gælder u + v = u + v. u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u, u v, v = u + v. Definition Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. Hvis u, v V, v 0, så er skalarprojektionen af u på v α = ( ) 1 mens vektorprojektionen er p = α v v u, v v, = u,v v,v v. Lemma Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,, lad u, v V med v 0, og lad p være vektorprojektionen af af u på v. 1. u p, p er ortogonale.. u = p hvis, og kun hvis, u er et skalarmultiplum af v. 1. u p, p = u, p p, p = u,v v,v α =0.. Hvis u = βv, så er p = βv,v v,v v = βv = u. Hvis u = p så er u = p = α v v. 93

3 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Sætning (Cauchy Schwarz) Lad V være et reelt vektorrum med indre produkt,. Lad u, v V. Der gælder u, v u v, og ligheden gælder hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. Hvis v = 0, så har vi lighed, u, v =0= u v. Hvis v 0 lad p være vektorprojektionen af u på v. Da p, u p er ortogonale ifølge Lemma 6.1.6, 1, gælder u = p + u p, så så Vi har derfor u, v u v. u, v v = α = p = u u p, u, v = u v u p v u v. Ligheden holder i ( ) hvis, og kun hvis, u = p. Det følger nu af Lemma 6.1.6,, at ligheden i Cauchy-Schwarz-uligheden gælder hvis, og kun hvis, v = 0 eller u er et skalarmultiplum af v, dvs. hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. ( ) Sætning (Trekantsuligheden) Lad V være et R-vektorrum med indre produkt,. 1. Lad u, v V. Der gælder, at u + v u + v. ( ). Ligheden gælder i ( ) u = av eller v = au med a 0. 94

4 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 1. u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v u + u v + v (Cauchy Schwarz) =( u + v ), så u + v u + v.. Det er klart, at udsagnet gælder, når v = 0. Så vi antager v 0. Det fremgår af udregningen ovenfor, at u + v = u + v u + v =( u + v ) u, v = u v u, v = u v : Cauchy Schwarz ligheden gælder, så u, v er lineært afhængige. Da v 0, må dette betyde, at u = av, a R. Vi har derfor u, v = av, v = a v, v = a v og u v = av v = a v. Så u, v = u v a = a, dvs. a 0. : Hvis u = av med a 0, så er u, v = a v og u v = a v. Da a = a er u, v = u v, så u + v = u + v. Korollar Lad V være et R-vektorrum med indre produkt,. lad v 1,..., v k V. Der gælder v v k v v k, med lighed hvis, og kun hvis, der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i =1 med v j = a j v i for j =1,..., k. 95

5 SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER Hvis der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i = 1 med v j = a j v i for j =1,..., k, så er v v k = (a a k )v i så ligheden gælder i dette tilfælde. =(a a k ) v i ( fordi a a k er reelt og ikke-negativt) = a 1 v i a k v i ( fordi a 1,..., a k er reelle og ikke-negative) = v v k, Resten af argumentet er induktivt over antallet k af elementer. Resultatet gælder umiddelbart når k =1. Antag så, at det gælder for k elementer; vi må vise, at det gælder for k +1elementer. Lad så v 1,..., v k+1 V. Vi har v v k+1 v v k + v k+1 (pga. trekantsuligheden) v v k + v k+1 (pga. induktionshypotesen) ( ) som ønsket. Antag nu, at Så er begge uligheder i ( ) ligheder, så v v k+1 = v v k + v k+1. enten er v v k = 0 eller findes der reel α 0 så v k+1 = α(v v k ) (pga. trekantsligheden), og der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i = 1 med v j = a j v i for j =1,..., k (pga. induktionshypotesen). Hvis v v k = 0, så er (a a k )v i = 0. Da a a k > 0, fordi a j 0 for j =1,..., k og a i =1, må v i =0. Men så er v j = a j v i = 0 for j =1,..., k, og v j = b j v k+1 med b j =0for j =1,..., k og b k+1 =1. Hvis v k+1 = α(v v k ), så er v k+1 = α(a a k )v i. Lad a k+1 = α(a a k ); så er v j = a j v i for j =1,..., k +1med a j 0 for j =1,..., k +1og a i =1. Induktionsskridtet er taget, og resultatet derved bevist. 96

6 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER 6. Komplekse Indre Produkter Definition 6..1 Lad V være et C vektorrum. Et (komplekst) indre produkt er en afbildning, : V V C, som tilfredsstiller: I v, v er reel og ikke negativ for alle v V ; og er 0 hvis, og kun hvis, v = 0. II v, w = w, v for alle v, w V III αv + βw, z = α v, z + β w, z for alle α, β C, v, w, z V. Det følger af II og III at: IV u,αv + βw =ᾱ u, v + β u, w for alle α, β C, u, v, w V. Associeret til det indre produkt er en længde (eller norm) Aksiom I fortæller, at v =0 v = 0. v = v, v for v V. Læg mærke til, at av = a v for alle a C og v V. Eksempel 6.., 1: skalarproduktet i C n (se [L], s. 345) Det komplekse skalarprodukt i C n u, v af vektorer u =[u 1,..., u n ] T, v =[v 1,..., v n ] T fra C n defineres ved u, v = v H u = v 1 u 1 + v u + + v n u n ; her v = gælder. v 1. v n, og v H =( v) T = [ v 1,..., v n ]. Direkte udregninger viser at aksiomerne II og III For aksiom I beregner vi v, v = v 1 v v n v n. Hvis v j = a j + ib j, med a j,b j reelle, så er v j v j = a j + b j og v, v = n (a j + b j), j=1 som er en sum af kvadrater af de reelle tal a j,b j,j=1,..., n, derved reel og ikke-negativ, og 0 hvis og kun hvis a j =0,b j =0for j =1,..., n, dvs. hvis og kun hvis v = 0. Normen eller længden af en kompleks vektor v C n er da givet ved v = v, v = v 1 v v n v n. 97

7 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER Eksempel 6.., : indre produkt induceret med hjælp af en basis Lad V være et C vektorrum med ordnet basis V =[v 1,..., v n ]. Et indre produkt, V er givet ved skalarproduktet af koordinatiseringer mht. V: u, v V = [u] V, [v] V for u, v V. Aksiomerne I, II, III følger nemt fra de tilsvarende egenskaber ved skalarproduktet, fordi koordinatiseringsafbildningen θ V er en lineær isomorfi. Det viser sig, at alle indre produkter på endelig dimensionale komplekse vektorrum er af denne form. Eksempel 6.., 3: rummet C([a, b], C) af komplekse funktioner [a, b] C Lad f :[a, b] C være en funktion. Der defineres funktioner Re(f), Im(f) : [a, b] R ved Re(f)(x) = Re(f(x)), Im(f)(x) = Im(f(x)) for alle x [a, b]; f er kontinuert hvis og kun hvis Re(f), Im(f) er kontinuerte. Vi definerer b a f(x)dx = b a Re(f)(x)dx + i Vi definerer et indre produkt i C([a, b], C) ved f, g = b a b a Im(f)(x)dx for f C([a, b], C). f(x)g(x)dx. Lineariteten af integralet viser aksiomerne II og III umiddelbart. For aksiom I, vi bemærker, at f, f = b a (Re(f)(x)) + (Im(f)(x)) dx er integralet af en kontinuert reel og ikke negativ funktion, og er derfor (med et lignende argument til det i Eksempel 6.1., 3) 0 hvis, og kun hvis, (Re(f)(x)) + (Im(f)(x)) =0for alle x [a, b], altså hvis, og kun hvis, Re(f) =0og Im(f) =0, altså hvis, og kun hvis, f =0. Definition 6..3 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. u, v V er ortogonale hvis u, v =0. Proposition 6..4 ( Pythagoras) Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,, og lad u, v V være ortogonale. Der gælder u + v = u + v. 98

8 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v = u + v, fordi u, v =0og v, u = u, v = 0 =0. Definition 6..5 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. Hvis u, v V, v 0, så er skalarprojektionen af u på v tallet α = u, v v ; mens vektorprojektionen er ( ) 1 p = α v v u, v = v, v v. Lemma 6..6 Lad V være et komplekst vektorrum med indre produkt,, lad u, v V med v 0, og lad p være vektorprojektionen af u på v. 1. u p, p er ortogonale.. u = p hvis, og kun hvis, u er et skalarmultiplum af v. 1. Vi har og så p, p = u, p = αᾱ v, v = αᾱ v ᾱ u, v =ᾱα, v u p, p = u, p p, p =ᾱα αᾱ =0.. Hvis u = βv, så er p = βv,v v,v v = βv = u. Hvis u = p så er u = p = α v v. 99

9 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER Sætning 6..7 (Cauchy Schwarz Uligheden) Lad V være et C vektorrum med indre produkt,. Lad u, v V. Der gælder u, v u v. Ligheden gælder hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. Hvis v = 0 så har vi lighed, u, v =0= u v. Hvis v 0 lad p være vektorprojektionen af u på v. Da p, u p er ortogonale ifølge Lemma 6..6, 1, gælder p + u p = u, så så u, v v = α = αᾱ = p = u u p, u, v = u v u p v u v. Vi har derfor u, v u v. Ligheden holder i ( ) hvis, og kun hvis, u = p. Det følger nu af Lemma 6..6,, at ligheden i Cauchy Schwarz uligheden gælder hvis, og kun hvis, v = 0 eller u er et skalarmultiplum af v, dvs. hvis, og kun hvis, u, v er lineært afhængige. ( ) Korollar 6..8 (Trekantsuligheden) Lad V være et C vektorrum med indre produkt,. Lad v, w V. Der gælder 1. v + w v + w. Ligheden gælder hvis, og kun hvis, v = aw eller w = av med a R, a

10 SEKTION 6. KOMPLEKSE INDRE PRODUKTER 1. En udregning viser Så v + w v + w, som ønsket. v + w = v + v, w + w, v + w ; = v + Re( v, w )+ w (fordi w, v = v, w ) v + v, w + w v + v w + w (Cauchy Schwarz) =( v + w ).. Det er klart, at udsagnet gælder, når w = 0. Så vi antager w 0. Det fremgår af beregningerne ovenfor, at v + w = v + w ( v + w ) =( v + w ) v w = v, w = Re( v, w ) v w = v, w = Re( v, w ). Vi har altså Cauchy Schwarz ligheden, så v, w er lineært afhængige. Da v 0, må dette betyde, at v = aw, a C. Vi har derfor v, w = aw, w = a w, w = a w, v w = aw w = a w. Så v, w = v w a = a a R, a 0. Korollar 6..9 Lad V være et C-vektorrum med indre produkt,. lad v 1,..., v k V. Der gælder v v k v v k, med lighed hvis, og kun hvis, der findes i, 1 i k og reelle tal a 1,..., a k 0 og a i =1 med v j = a j v i for j =1,..., k. et er ordret det samme som beviset for den reelle version

11 SEKTION 6.3 NORMER 6.3 Normer Trekantsuligheden er et meget naturligt krav til en afstandsfunktion: afstanden fra x til z må da være mindre end afstanden fra x til y plus afstanden fra y til z... En afstandsfunktion behøver ikke at være tilknyttet et indre produkt, ej heller til en lineær struktur. Jeg holder mig dog til den lineære situation: Definition ([L], s. 50) Et R- eller C-vektorrum V er et normeret vektorrum, hvis der er en funktion : V R således, at I v 0 med lighed v = 0. II αv = α v for alle α R (eller C). III v + w v + w for alle v, w V. Det følger nemt af definitionen, at defineret ud fra et indre produkt på et R- eller C-vektorrum tilfredsstiller I og II, og vi har vist III i (R-tilfælde) og 6..8 (C-tilfælde). Der er andre vigtige eksempler, som ikke nødvendigvis er udledt af et indre produkt. Eksempler 6.3. Lad x = x 1. x n K n (hvor K er R eller C). p, p 1, defineret ved x p =( n i=1 x i p ) 1 p, defineret ved x = max 1 i n x i, er alle normer på K n. Når n =1er disse ens; x p = x for alle x K, for alle p, 1 p. Når n>1 er de ret forskellige. Det er nemt at se, at aksiomerne I og II gælder for disse normer. Aksiom III, trekantsuligheden, er sværere at påvise, specielt for generel p. 1, og er ret ofte benyttet. De andre bruges sjældent i praktisk sammenhæng. er normen udledt af skalarproduktet på K n, mens de andre kan ikke udledes af et indre produkt når n>1. 10

12 SEKTION 6.3 NORMER En norm udledt af et indre produkt har specielle egenskaber: Proposition (parallellogram identitet) Lad V være et reelt eller komplekst indre produkt rum. Skriv, for det indre produkt, for den udledte norm. Der gælder, for u, v V, at u + v + u v = u + v. u + v + u v = u + v, u + v + u v, u v = u, u + u, v + v, u + v, v + u, u v, u u, v + v, v = ( u + v ). Eksempel Vi viser, at normerne p på K n, K = R eller C, n>1, kan ikke udledes af et indre produkt for 1 p,p ; vi gør det ved at vise, at parallellogram-identiteten ikke gælder for dem. Lad 1 0 e 1 = 0, e = 1.. være de to første standard-basis vektorer i K n. Vi beregner og Så, for 1 p<, mens e 1 p = e p =1for alle p, 1 p e 1 + e p = e 1 e p = { 1 p 1 p<. 1 p = e 1 + e p + e 1 e p ( e 1 p + e p)= p 4 = 4( p 1 1), e 1 + e + e 1 e ( e 1 + e )= 4=. Parallellogram-identiteten gælder således ikke for 1 p,p ; så p kan ikke udledes af et indre produkt for disse p. 103

13 SEKTION 6.3 NORMER Eksempel 6.3.5: et forkert argument i [L] I bunden af s. 51 ser [L] på på R. Lad [ [ ] 1 4 x 1 =, x ] = R, så x 1 + x = [L] beregner og [ ] 3. 4 x 1 =, x =4, så x 1 + x = 0, x 1 + x =4, så x 1 + x = 16. [L] påstår, med henvisning til Pythagoras, at x 1 + x, x 1 + x ville være ens hvis kom fra et indre produkt, fordi x T 1 x =0. Argumentet er forkert! Der er faktisk mange indre produkter, V på R med x 1 + x V x 1 V + x V. For eksempel, lad {[ [ 1 0 V =,, ] 1]} en ordnet basis i R. Vi har så og [x 1 ] V = x 1 = v 1, x = 4v v, [ 1 0], [x ] V = [ ] 4, [x x ] V = [ ] 3, 10 x 1 + x V = 109, x 1 V + x V = = 117. Dette er ikke så overraskende, fordi x 1, x ikke er ortogonale mht., V, idet x 1, x V = ([x 1 ] V ) T [x 1 ] V = 4. [L] s observation at x T 1 x =0er egentlig irrelevant! 104

14 SEKTION 6.3 NORMER Det er faktisk sådan, at indre produktet kan gendannes fra normen, den inducerer: Proposition (polariserings identitet) Lad V være et reelt eller komplekst indre produkt rum; skriv, for det indre produkt, for den udledte norm. Lad u, v V. R-tilfælde: C-tilfælde: u, v = 1 4 ( u + v u v ), u, v = 1 4 ( u + v u v + i( u + iv u iv )). Man regner højresiderne ud: R-tilfælde: u + v u v = u, u + u, v + v, u + v, v ( u, u u, v v, u + v, v ) = ( u, v + v, u ) =4 u, v C-tilfælde: u + v u v + i( u + iv u iv ) = u, u + u, v + v, u + v, v u, u + u, v + v, u v, v + i( u, u + u,iv + iv, u + iv,iv u, u + u,iv + iv, u iv,iv ) = u, v + v, u +i( u,iv + iv, u ) = u, v + v, u +i( i u, v + i v, u ) = u, v + v, u + u, v v, u =4 u, v. 105

15 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER 6.4 Ortogonale og ortonormale mængder Notation Lad K = R eller C. Et K-vektorrum med et indre produkt angivet kaldes et indre-produkt rum. Definition 6.4. Lad V være et indre-produkt rum. Lad v 1,..., v n V \{0}. Hvis v i, v j =0for i j, er {v 1,..., v n } en ortogonal mængde. Sætning ([L], 5.5.1) Lad V være et indre-produkt rum. Hvis {v 1,..., v n } V er en ortogonal mængde, så er v 1,..., v n lineært uafhængige. Skriv, for V s indre produkt. Antag, at c 1 v c n v n = 0, med c 1,..., c n K. Vi har da, for i =1,..., n 0= 0, v i = c 1 v c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c n v n, v i = c i v i, v i, idet v j, v i =0for j i, = c i v i Da v i 0, v i 0; så c i =0. Dette gælder for i =1,..., n, så der er ingen ikke-trivielle lineære relationer blandt v 1,..., v n ; dvs. de er uafhængige. Definition En ortonormal mængde er en ortogonal mængde af enhedsvektorer (dvs. vektorer af længde 1). Så {u 1,..., u n } er ortonormal u i, u j = δ ij, hvor { 1 i = j δ ij = 0 i j (det såkaldte Kronecker-delta ). En ortonormal mængde kan altid nemt findes ud fra en ortogonal mængde: hvis {v 1,..., v n } er ortogonal, så er { 1 v v 1 1 1,..., v v n n} ortonormal. 106

16 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel ([L], s. 56, Example 3) Betragt C([, π]) med indre produkt givet ved Da er en ortogonal mængde, idet f, g = 1 π f(x)g(x)dx. {1, cos x, sin x, cos x, sin x, cos 3x, sin 3x,... } 1, cos nx = 1 π 1, sin nx = 1 π cos nx dx = 1 π sin nx dx = 1 π [ 1 n sin nx] π =0, [ 1 n cos nx] π =0, og, for m n, cos mx, cos nx = 1 π sin mx, sin nx = 1 π sin mx, cos nx = 1 π = 1 π = 1 π = 1 π cos mx cos nx dx 1 (cos(m + n)x + cos(m n)x) dx =0, sin mx sin nx dx 1 (cos(m n)x cos(m + n)x) dx =0, sin mx cos nx dx 1 (sin(m + n)x + sin(m n)x) dx =0. (Vi har brugt sumformlerne for sin, cos i en anden udformning: cos a cos b = 1 (cos(a + b) + cos(a b)), sin a sin b = 1 (cos(a b) cos(a + b)), sin a cos b = 1 (sin(a + b) + sin(a b)).) { 1, cos x, sin x, cos x, sin x,... } er ortonormal, idet 1 1, = π dx =1, og cos nx, cos nx = 1 π sin mx, sin mx = 1 π cos nx dx = 1 π sin mx dx = 1 π 1 (1 + cos nx) dx =1, 1 (1 cos mx) dx =1. 107

17 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel For b R defineres Læg mærke til, at e ib = cos b + i sin b C. e ib = e ib. Der følger umiddelbart af sumformlerne for cos og sin, at Vi bruger disse egenskaber til at vise, at e i(b+d) = e ib e id for b, d R. {1,e ix,e ix,e ix,e ix,... } er en ortonormal mængde i C([, π], C) mht. indre produktet f, g = 1 π π f(x)g(x)dx, idet, for n Z, e inx,e inx = 1 π e inx e inx dx = 1 π 1dx =1, og, for m, n Z, m n, e imx,e inx = 1 π = 1 π = 1 π =0. e imx e inx dx e i(m n)x dx cos(m n)x dx + i 1 π sin(m n)x dx Definition Lad U = {u 1,..., u n } være en ortonormal mængde i et indre-produkt rum, og lad S = Span{u 1,..., u n }. Så er U en basis for S, en ortonormalbasis. Det er ofte meget nemmere at arbejde med ortonormale mængder og ortonormale baser end med uafhængige mængder og baser. I de efterfølgende 6.4.8, og , lad V være et indre-produkt rum, med indre produkt,, og lad {u 1,..., u n } være en ortonormal mængde i V. Sætning ([L], 5.5.) Hvis v = c 1 u c n u n, så er c i = v, u i. v, u i = n j=1 c ju j, u i = n j=1 c j u j, u i = c i. 108

18 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Sætning ([L], 5.5.3) Hvis u = n i=1 a iu i og v = n j=1 b ju j, så er { n i=1 u, v = a ib i R-tilfælde n i=1 a i b i C-tilfælde n n R-tilfælde: u, v = a i u i, b j u j i=1 i=1 j=1 j=1 n n = a i b j u i, u j = = n a i b i u i, u i i=1 n a i b i. n n C-tilfælde: u, v = a i u i, b j u j i=1 i=1 i=1 j=1 j=1 n n = a i bj u i, u j = = n a i bi u i, u i i=1 n a i bi. i=1 Korollar (Parsevals formel, [L], 5.5.4) Hvis v = c 1 u c n u n, så er v = { c c n R-tilfælde c c n C-tilfælde Dette følger umiddelbart af Sætning 6.4.9, idet v = v, v ; i det komplekse tilfælde anvendes også, at z z = z for z C. 109

19 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Eksempel (Ex. 5, s. 58 i [L]) Vi beregner sin4 x dx. Dobbeltvinkelformlen for cos giver cos x = cos x sin x =1 sin x, så sin x = 1 1 (1 cos x) = 1 1 cos x. { 1, cos x} er en ortonormal mængde i C[, π] mht. f, g = 1 π π f(x)g(x) dx. Så Parsevals formel giver, at Men sin x = 1 π sin x =( 1 ) +( 1 ) = = 3 4. sin4 x dx, så sin 4 x dx = 3 4 π. Definition Lad V være et indre produkt rum med indre produkt,, og lad S være et underrum af V. Det ortogonale komplement til S i V er S = {v V v, s =0}. Lemma S er et underrum af V. Lad u, v S, α, β K. For alle s S gælder αu + βv, s = α u, s + β v, s =0, så αu + βv S. Hvis V er af endelig dimension, vil vi se, at der er lignende relationer mellem S, S,V og projektioner, som der er mellem T, T, R n og projektioner, når T er et underrum af R n. Men vi vil argumentere anderledes, med hjælp af ortonormale mængder og baser. 110

20 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Sætning ([L], 5.5.7) Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,. Lad {s 1,..., s k } være en ortonormalbasis for S, og lad v V, p S. Der gælder, at k p v S p = v, s i s i. i=1 Da p S, vi kan skrive p = c 1 s c k s k med c 1,..., c k K. ffaktisk har vi, ifølge Sætning 6.4.8, at c i = p, s i for i =1,..., k. Så p = k i=1 p, s i s i. Der gælder p v S s, p v =0for alle s S a 1 s a k s k, p v =0for alle a 1,..., a k K a 1 s 1, p v + + a k s k, p v =0for alle a 1,..., a k K s i, p v =0for i =1,..., k s i, p = s i, v for i =1,..., k p, s i = v, s i for i =1,..., k k p = v, s i s i. i=1 Notation Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,, lad {s 1,..., s k } være en ortonormalbasis for S, og lad v V. p = k i=1 v, s i s i kaldes projektionen (eller ortogonalprojektionen) af v på S. Sætning ([L], 5.5.8) Lad S være et underrum af det indre-produkt rum V med indre produkt,, lad v V, og lad p S være projektionen af v på S. Så er p det nærmeste punkt i S til v, dvs. s v > p v for s S \{p}. Lad s S \{p}. Da p v S, er p v s p, så s v = s p + p v, ifølge eller 6..4 (Pythagoras). Da s p > 0, fordi s p, så er s v > p v, og s v > p v. 111

21 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Korollar Lad S være et underrum af R m, S {0}. Hvis {u 1,..., u k } er en ortonormalbasis for S og b R m, så er (ortogonal)projektionen p af b på S givet ved p = UU T b, hvor U =[u 1,..., u k ] i søjleform. Vi bruger skalarproduktet, x, y = x T y. p S er den ortogonale projektion af b på S b p S. Ifølge Sætning har vi p = b, u 1 u b, u k u k b, u 1 u T 1 b = U = U = UU T b.. b, u k. u T k b For alle b R n, P b er projektionen af b på S. I notationen fra tidligere, P er SMR for den ortogonale projektion P S af R n på S, betragtet som afbildning R m R m. Vi har tidligere set, i Korollar 5..10, at hvis {a 1,..., a k } er en basis for et underrum S i R n, så er P = A(A T A) 1 A T, hvor A =[a 1,..., a k ] i søjleform. Derfor i situationen fra Korollar er P = U(U T U) 1 U T. Vi får simplificeringen P = UU T fordi: Lemma Lad U Mat m,n (R) være således, at dens søjler udgør en ortonormal mængde. Så er U T U = n. Lad 1 i, j n. Vi finder den (i, j) te indgang i U T U: (U T U) ij = {i te række i U T } {j te søjle i U} =(u i ) T u j = u i, u j = { 1 i = j 0 i j. Så U T U = I n. 11

22 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER Definition En matrix Q Mat n,n (R) er ortogonal hvis søjlerne i Q udgør en ortonormal basis for R n. Eksempler Matricen for en rotation i R gennem θ, [ ] cos θ sin θ er ortogonal. sin θ cos θ. Lad σ være en permutation af {1,..., n}, dvs. en invertibel afbildning fra {1,..., n} til sig selv. Definer Q σ =[e σ(1),..., e σ(n) ], en n n-matrix i søjleform. Q σ er en permutationsmatrix. Dens søjler er σ permutationen af søjlerne i n, og dens rækker er σ 1 permutationen af rækkerne i n. Q σ er ortogonal. Sætning ([L], s.59) Lad Q Mat n,n (R). Følgende er ækvivalente udsagn: (a) Q er ortogonal, (b) Q T Q =, (c) Q T = Q 1, (d) (Qx) T (Qy) =x T y for alle x, y R n, (e) Qx = x for alle x R n. (a) (b): Dette er et specielt tilfælde af Lemma (b) (d): (Qx) T (Qy) =x T Q T Qy = x T y for alle x, y R n. (d) (a): Skriv Q =[q 1,..., q n ] i søjleform. Der gælder q T i q j =(Qe i ) T Qe j = e T i e j = δ ij ; så {q 1,..., q n } er en ortonormal mængde, så en ortonormal basis for R n. (b) (c): Lemma (c) (b): Følger fra definitionen af invers. 113

23 SEKTION 6.4 ORTOGONALE OG ORTONORMALE MÆNGDER, fortsat (d) (e): Qx =(Qx) T Qx = x T x = x for alle x R n. (e) (d): Lad x, y R n. Den reelle polariseringsidentitet giver og x T y = 1 4 ( x + y x y ) (Qx) T (Qy) = 1 4 ( Qx + Qy Qx Qy ) = 1 4 ( Q(x + y) Q(x y) ). (e) foretæller, at højresiderne ovenfor er ens, så venstresiderne er ens: (Qx) T (Qy) =x T y. Endnu to vigtige egenskaber ved ortogonale matricer er: Korollar 6.4. Lad Q Mat n,n (R) være ortogonal. Så er Q T ortogonal. Ifølge Sætning 6.4.1, (a) (c), er Q T = Q 1, så (Q T ) T Q T = QQ T =. Så Q T er ortogonal ifølge Sætning 6.4.1, (b) (a). Korollar Lad A, B Mat n,n (R) være ortogonale. Så er AB ortogonal. Da A, B er ortogonale er A T A = I, B T B = I, ifølge Sætning 6.4.1, (a) (b). Så (AB) T (AB) = (B T A T )(AB) =B T (A T A)B = B T B = B T B =, og AB er ortogonal ifølge Sætning 6.4.1, (b) (a). 114

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus

Matematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Lineær Algebra Dispositioner

Lineær Algebra Dispositioner Lineær Algebra Dispositioner Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 12. august 2008 Indhold 1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer 4 1.1 Disposition............................

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Den lineære normale model

Den lineære normale model Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 = Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb

Matematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb 1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel IV. Fourier Analyse Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel IV. Fourier analyse 0. Indledning 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere