Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 21. april 2014

Transkript

1

2 Opgave 6 Ved hjælp af GeoGebra CAS ses at udtrykkes reduceres til noget som er forskelligt fra b 3 ab 2. Dette kan også ses ved f.eks. at indsætte a = 0 og b = 1. Se bilag 2! Opgave 7 Data er indlæst i Open Office Calc hvorefter data er optalt ved hjælp af en pivottabel. Resultatet fremgår af tabellen nedenfor. Vi opstiller følgende hypoteser: H 0 : Synet på egen økonomi er uafhængigt af personens arbejdssituation. A : Synet på egen økonomi afhænger af arbedssituationen. side 1 af 7

3 c) En beregning af χ 2 -teststørrelsen giver værdien som er så langt over den kritiske værdi at p-værdien er afrundet til 0. Da p-værdien er under signifikansniveauet på 5 % kan vi afvise hypotesen H 0 og konkluderer derfor at der er en sammenhæng mellem synet på egen økonomi og ens arbedssituation. Opgave 8 Et søjlediagram over fordelingen af arbejdsløses alder er givet nedenfor. Gennemsnitsalderen er 35.5, nedre kvartil er 23 år, medianen er 33 år og øvre kvartil er 47 år. I perioden fra 2008 til 2011 er der sket en væsentlig ændring i aldersfordelingen af kommunens arbejdsløse. Gennemsnitsalderen for de arbejdsløse er således faldet fra 43.0 år til 35.6 år. I 2011 er hver fjerde arbejdsløse under 23 mens hver fjerde arbejdsløs tidligere var under 36 år. Halvdelen er i 2011 under 33 år mens halvdelen i 2008 var under 44 år. I 2011 er hver fjerne arbejdsløs over 47 år mens hver fjerde i 2008 var over 54 år. Opgave 9 Nedenfor ses et xy-plot af afsætning og pris. side 2 af 7

4 Den eksponentielle regressionsmodel p (x) = b a x har parametre b = og a = exp ( ) = Dækningsbidraget er givet ved d (x) = x x 100x. Den afledte er d (x) = x x x 100. Ligningen d (x) = 0 løses numerisk, hvilket giver x = Ved passende indsættelse af punkter i d (x) ses at d er voksende i intervallet [0; ] og at d er aftagende i [971.85; ]. Det maksimale dækningsbidrag opnås derfor når afsætninger er 972 stk. c) For at opnå denne omsætning skal prisen sættes til p (972) = = kroner. Opgave 10 Opgavens oplysninger kan oversættes til følgende lineære optimeringsproblem: x : Antal Flexstair. y : Antal Upstair. Bibetingerlser: 15x + 20y 300 side 3 af 7

5 2x + 4y 40 x 0 y 0 Kriteriefunktion: f (x, y) = 10000x y Polygonområdet har hjørnerne (0, 0), (15, 0), (12, 4) og (0, 10). Dækningsbidraget i hjørnerne udregnes: f (0, 0) = 0 f (15, 0) = f (12, 4) = f (0, 10) = Det størst mulige dækningsbidrag er derfor kroner. Hvis dækningsbidraget for Flexstair sættes til a skal kan det bedre betale sig at omstille produktionen til udelukkende at producere Flexstar dersom f (15, 0) f (12, 4) 15a 12a a a Hvis dækningsbidraget for Flexstar bliver større end kroner kan det bedst betale sig for virksomheden kun at producere Flexstair. Opgave 11 Funktionerne f og g er givet ved f (x) = 0.1x 3 4x x, g (x) = 10 ln (x), x > 0. Monotoniforholdene for f bestemmes ved først at differentiere og finde stationære punkter. f (x) = 0.3x 2 8x + 15 f (x) = 0 0.3x 2 8x + 15 = 0 x = 8 ± ( )1 / = { Ved at indsætte passende valgte punkter i f (x) ses at monotoniforholdene er givet ved: f er voksende i ] ; 2.03]. f er aftagende i [2.03; 24.6]. f er voksende i [24.6; [. side 4 af 7

6 For at beregne arealet af det område graferne afgrænser findes grafernes skæring ved hjælp af GeoGebras skæringsværktøj til at være (3.072,11.266). Det ønskede areal kan derfor beregnes som 1 f (x) dx (f (x) g (x)) dx = = Her er integralerne beregnet ved hjælp af kommandoerne Integral og IntegralMellem i GeoGebra. Opgave 12 Den partikulære løsning til differentialligningen p (x) = p (x)+x gennem punktet (4, 21) bestemmes ved hjælp af CAS, hvilket giver p (x) = 18 exp (4 x) + x 1. Afsætningen svarende til en kg pris på 90 udregnes ved at løse ligningen p (x) = 90 hvilket giver en afsætning på 2.41 tons. Opgave 13A Dækningsbidraget for en virksomhed er givet ved DB (x, y) = 50x x 50y y. ( Da koefficienterne til x 2 og y 2 are lige store er niveaukurverne cirkler med centrum i side 5 af ( 50), ( 50) ) = (50, 20).

7 Da koefficienten til andengradsleddene er negativ har kriteriefunktionen frit maksimum i niveaukurvernes centrum (50, 20). Da dette punkt opfylder bibetingelserne er maksimum DB (50, 20) = = så det maksimale dækningsbidrag er kroner. Opgave 13B Med 36 udbetalinger månedlige ydelser á 2755 kr. og en månedlig rente på 0.33 % er der opbygget en gæld på så 1. august skylder Caroline kroner. A n = y (1 + r)n 1 r = = Herefter stopper udbetalingerne og renten ændres til 0.15 % de næste 16 mneder hvorved gælden er vokset til = så gælden den 1. december er kroner. Opgave 13C Idet fejlsandsynligheden er 10 % kan sandsynligheden for over 13 fejl i en stikprøve på 120 stk. beregnes til Ved hjælp af en pivottabel er antallet af fejl i en given stikprøve på 120 stk til at være 13 stk. Den estimerede fejlprocent er derfor ˆp = 13 /120 = 10.8%. Et 95 % konfidensinterval bestemmes. side 6 af 7

8 Konfidensintervalet er således [0.053;0.164]. side 7 af 7

9

10