Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion"

Transkript

1 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling omformer man problemstillingen til en anden ækvivalent problemstilling. Inversion er derfor et interessant redskab i nogle typer geometriopgaver. Disse noter er en indføring i inversion, de centrale egenskaber ved inversion samt hvordan man kan benytte inversion. Noterne forudsætter et grundigt kendskab til klassisk geometri. (Se fx Geometrinoter) 1 Generelle egenskaber ved inversion 1.1 Inversion Lad C være en cirkel med centrum O og radius r. Inversion i denne cirkel er en afbildning af planen fraregnet punktet O på sig selv. Et punkt A, A O, afbildes i det punkt A som ligger på halvlinjen fra O gennem A, og som opfylder at OA OA = r 2. Det er oplagt at inversionsafbildningen er sin egen inverse, og den er desuden kontinuert hvilket vi ikke vil komme nærmere ind på her. Bemærk at afbildningen fikserer cirklen C og afbilder dens indre på dens ydre og omvendt. Deraf navnet. Det interessante ved inversion er at den afbilder linjer og cirkler i linjer og cirkler, samt at den bevarer vinkler mellem kurver, hvilket vi skal se nærmere på når det drejer sig om linjer og cirkler. Man kan på helt tilsvarende vis definere inversion i en kugle i rummet. I det følgende ser vi på inversion i en cirkel med centrum O og radius r, og vi betegner billedet at et punkt A med A, billedet af en cirkel α med α, osv. 1.2 Sætning: Vinkler og afstande To punkter A og B, begge forskellige fra O, afbildes i punkterne A og B således at OA B = OBA og A B = r 2 OA OB AB. da det viser sætnin- Bevis Vi viser at OAB er envinklet med OB A r med forholdet 2 gen. Først bemærker vi at AOB = A OB. Desuden er OA OB OA = hvilket giver det ønskede. r2 AO = r 2 OA OB OB og tilsvarende OB = r 2 OA OB OA,

2 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Sætning: Linjer og cirkler Inversion afbilder som sagt linjer og cirkler i linjer og cirkler. Mere præcist gælder En linje gennem O afbildes på sig selv. En linje som ikke går gennem O, afbildes på en cirkel gennem O hvis tangent i O er parallel med linjen. En cirkel gennem O afbildes på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i O. En cirkel som ikke går gennem O, afbildes på en cirkel som ikke går gennem O. Bevis En linje gennem O afbildes oplagt på sig selv. Lad α være en linje som ikke går gennem O, og betragt projektionen P af O på α. Påstanden er nu at α er cirklen med diameter OP. Lad Q være et punkt på α. Da gælder at OQ P = OP Q = 90, dvs. at Q ligger på cirklen med diameter OP. Der gælder dermed at α afbildes på en cirkel gennem O hvis tangent i O er parallel med α. Tilsvarende afbildes en cirkel gennem O på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i O. Lad β være en cirkel som ikke går gennem O, og som indeholder punkterne P, Q og R. Vi vil nu vise at β afbildes på cirklen gennem P, Q og R. I det følgende regner vi med orienterede vinkler. Lad S være et punkt på β som ligger mellem lad os sige R og P. Vi ønsker at vise at S P Q + Q R S = 180 da dette giver at S ligger på cirklen gennem P, Q og R. Der gælder at Q R S = OR S OR Q = OSR OQR, og tilsvarende fås Samlet giver dette S P Q = OQP OSP. S P Q + Q R S = OSR OSP + OQP OQR = P SR + RQP = 180. Det er vigtigt at bemærke at hvis α er en cirkel som ikke går gennem O, da er billedet af centrum som oftest ikke centrum i α. Nu vil vi vise at vinkler mellem linjer og cirkler bevares ved inversion, men først beviser vi at tangens mellem linjer og cirkler bevares ved inversion.

3 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Sætning: Tangens mellem linjer og cirkler bevares ved inversion En linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i punktet P, P O, afbildes ved inversion på en linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i P. Bevis Da antallet af skæringspunkter forskellig fra O bevares ved inversion, følger det let. 1.5 Øvelse Lad α være en cirkel som ikke går gennem O. Vis at centrum af α, centrum af α og O ligger på linje. 1.6 Øvelse Lad ABC være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. Vis at den ydre røringscirkel til siden c afbildes på sig selv ved inversion i en cirkel med centrum C og radius s. 1.7 Sætning: Vinkler mellem linjer og cirkler bevares ved inversion Vinklen mellem to linjer, en linje og en cirkel samt to cirkler bevares ved inversion. Bevis Hvis to linjer skærer i punktet O bevares vinklen oplagt ved inversion. Lad α og β være to linjer som skærer hinanden i P, P O. Da vil α og β have netop to skæringspunkter P og O. Vinklen mellem α og β i P vil være identisk med vinklen mellem dem i O. Da en linje gennem O afbildes på sig selv, og en linje der ikke går gennem O, afbildes på en cirkel gennem O hvis tangent i O er parallel med linjen, vil vinklen mellem α og β i O være identisk med vinklen mellem α og β i P. Lad α være en linje og β en cirkel som skærer hinanden i P, P O. Lad γ være tangenten til β i P. Da er vinklen mellem α og β i P lig med vinklen mellem α og γ i P som ifølge det vi lige har vist er identisk med vinklen mellem α og γ i P som ifølge 1.4 er lig med vinklen mellem α og β i P. På tilsvarende vis ses at vinklen mellem to cirkler bevares ved inversion. 1.8 Øvelse I en trekant ABC kaldes røringspunkterne mellem den indskrevne cirkel og siden AB og siden AC for henholdsvis M og N. Vis at ved inversion i den indskrevne cirkel afbildes A i midtpunktet af linjestykket MN. 2 Eksempler på inversion Nu skal vi se på hvorfor inversion i nogle sammenhænge er rigtig smart. Fx er Ptolemæus ulighed helt lige til hvis man inverterer problemstillingen.

4 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Ptolemæus ulighed Ptolemæus ulighed siger at for en firkant ABCD gælder at AB CD + AD BC AC BD med lighedstegn netop hvis firkant ABCD er indskrivelig. Bevis Vi inverterer i en cirkel med centrum i A og radius r. Da får vi at AB CD + AD BC = r2 r 2 AB AC AD C D + AD AB AC B C = r2 r 2 og r 4 AB AC AD ( B C + C D ) r2 AC BD = AC AB AD B D = r 2 r 4 AB AC AD B D. Ptolemæus ulighed er i den inverterede situation derfor blot trekantsuligheden B C + C D B D hvor der gælder lighedstegn netop hvis B, C og D ligger på en linje i nævnte rækkefølge. I det ikke inverterede tilfælde er dette netop ækvivalent med at B, C og D ligger på en cirkel gennem A, således at C ikke ligger ved siden af A, dvs. at firkant ABCD er omskrivelig. I beviset for Ptolemæus ulighed benyttede vi kun formlen for hvordan afstande ændres ved inversion, samt at en cirkel gennem inversionscirklens centrum afbildes på en linje der ikke går gennem centrum og omvendt. Nu skal vi se på nogle flere eksempler. 2.2 Eksempel To cirkler tangerer hinanden i punktet A således at den ene cirkel indeholder den anden. En linje skærer de to cirkler i punkterne M, N, P og Q således at punkterne ligger i nævnte rækkefælge på linjen. Vi ønsker at vise at MAN = P AQ. Da vi skal vise noget om vinkler som begge har toppunkt i A, inverterer vi i en cirkel med A som centrum. Dermed afbildes de to cirkler på to parallelle linjer, og linjen afbildes til en cirkel gennem A. Alle linjer gennem A afbildes på sig selv, så at vise at MAN = P AQ,

5 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august er ækvivalent med at vise at M AN = P AQ. Da linjerne M Q og N P er parallelle, er det oplagt. Ved inversion får man et helt andet geometrisk problem som i nogle tilfælde er lettere end udgangspunktet. Nu skal vi se på opgave 4 fra den Nordiske Matematik-Konkurrence 2007 som var langt den sværeste af de fire opgaver dette år. 2.3 Eksempel: NMC 2007 Opgaven lyder: En linje gennem A skærer en cirkel i to punkter, B og C, på en sådan måde at B ligger mellem A og C. Fra punktet A tegnes de to tangenter til cirklen. Tangenterne rører cirklen i punkterne S og T. Lad P være skæringspunktet mellem linjerne ST og AC. Vis at AP P C = 2 AB BC. I den officielle løsning benytter man viden om radikalaksen for to cirkler samt sætningen om et punkts potens op til flere gange i forbindelse med flere forskellige cirkler. I stedet skal vi her benytte inversion og betragte det nye og nemmere problem som fremkommer. De to mest centrale punkter er P og A, så vi prøver først at invertere i en cirkel med centrum i P og dernæst i en cirkel med centrum i A for at se hvordan det omformer problemstillingen. Inversion i en cirkel med centrum i P. Ved inversion i en cirkel med centrum P og radius r afbildes linjerne gennem P på sig selv, cirklen afbildes på en cirkel, og de to tangenter afbildes i to cirkler som tangerer billedet af cirklen. Nu skal vi først udregne hvad det er vi skal vise: AP P C = r2 / A P r 2 / P C = P C A P og AB BC = r2 A B /( P A P B ) r 2 B C /( P B P C ) = A B P C B C P A.

6 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Vi skal altså i det inverterede tilfælde blot vise den simplere sammenhæng at Dette kan vises vha. ensvinklede trekanter: Ifølge eksempel 2.2 er B C = 2 A B. C T A = P T B = A C S og A S C = B S P = A C T. Dermed er trekant A S C og trekant A C T ensvinklede, og altså A C 2 = A S A T. På tilsvarende vis får man at trekant A B S og trekant A T B er ensvinklede, og altså A B 2 = A S A T. Samlet er B C = 2 A B, og dermed har vi vist Inversion i en cirkel med centrum i A. Nu prøver vi i stedet at se hvad der sker, når vi inverterer i en cirkel med centrum i A og radius r. Linjerne gennem A afbildes på sig selv, linjen ST afbildes i en cirkel gennem A, og cirklen afbildes i en cirkel som tangerer linjerne AS og AT som vist på figuren. Ligheden som vi skal vise, reduceres i dette tilfælde til B C = 2 P C. Dette kan vises udelukkende ved kendskab til periferivinkler, korde-tangentvinkler samt ensvinklede trekanter. Vi viser først at trekant S B P er ensvinklet med trekant B T P : S B P = C S A = 180 AC S S AC = S C P S AC = S T B S T P = P T B. Tilsvarende får vi at B S P = P B T, og dermed er trekant S B P er ensvinklet med trekant B T P. Dette giver at P B 2 = P T P S. Til slut viser vi at trekant S C P er ensvinklet med trekant C T P : S C P = 180 AC S = S AC + AS C = S T P + S T C = C T P.

7 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Tilsvarende får vi at C S P = T C P, og dermed at trekant S C P er ensvinklet med trekant C T P. Dette giver at P C 2 = P T P S. Samlet er B C = 2 P C, og dermed har vi vist. Både i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i A, og i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i P, reduceres den lighed vi skal vise, til en væsentlig simplere lighed præcis som i beviset for Ptolemæus sætning. De to tilfælde giver to lidt forskellige problemstillinger, men begge kan vises ved hjælp af viden om vinkler i cirkler og ensvinklede trekanter, og de to nye problemstillinger er derfor væsentligt simplere end den oprindelige. Nu skal vi se på en IMO opgave fra 1996 hvor inversion også er et utroligt effektivt redskab. 2.4 Eksempel: IMO 1996 Opgaven lyder: Lad P være et indre punkt i trekant ABC således at AP B ACB = AP C ABC. Led D og E være centrene for henholdsvis de indskrevne cirkler i trekant AP B og trekant AP C. Vis at linjerne AP, BD og CE skærer hinanden i et punkt. Først bemærker vi at linjen BD er vinkelhalveringslinjen fra B i trekant ABP, og det er k- endt at vinkelhalveringslinjen deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de to hosliggende sider. Linjen BD deler altså linjestykket AP i forholdet AB / BP. På tilsvarende vis ses at linjen CE deler linjestykket AP i forholdet AC / P C. At vise at de tre linjer BD, CE og AP går gennem samme punkt, er altså ækvivalent med at vise at AB BP = AC P C. Nu skal vi overveje hvilket centrum vores inversionscirkel skal have. I dette tilfælde er der en del vinkler hvis ene vinkelben går gennem A, og i sådan et tilfælde er det ofte en god ide at invertere i en cirkel med centrum i A. Valget af radius er derimod ikke væsentligt. Nu inverterer vi en cirkel med centrum i A og radius r. Ligheden svarer nu til den væsentlige simplere lighed P B = P C. Vi har endnu ikke benyttet oplysningerne om vinklerne, så nu ser vi på hvad disse giver os af information i den inverterede situation. AP B ACB = AB P AB C = C B P.

8 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Tilsvarende er AP C ABC = AC P AC B = B C P. Ifølge antagelsen om vinklerne har vi nu at C B P = B C P, dvs. at P B = P C som ønsket. Ved først at udnytte at vinkelhalveringslinjer deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de hosliggende cirkler, og efterfølgende invertere omformes problemstillingen til en problemstilling der nærmest giver sig selv. Kunsten er selvfølgelig at gennemskue at inversion i en cirkel med centrum i A forsimpler problemstillingen.

9 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Opgaver 3.1 Opgave Lad ABC være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. Punkterne P og Q ligger på linjen AB således at CP = CQ = s. Vis at den omskrevne cirkel til trekant CP Q tangerer den ydre røringscirkel til siden c i trekant ABC. 3.2 Opgave Fire cirkler tangerer hinanden således at C 1 og C 3 tangerer C 2 og C 4. Røringspunkterne mellem C 1 og C 2, C 2 og C 3, C 3 og C 4 samt C 4 og C 1 betegnes henholdsvis A, B, C og D. Vis at disse fire punkter enten ligger på en ret linje eller på en cirkel. 3.3 Opgave Lad B 1 og C 1 være midtpunkterne af henholdsvis AB og AC i trekant ABC. Skæringspunktet mellem de omskrevne cirkler til trekant AB 1 C og trekant ABC 1 betegnes P, og skæringspunktet forskelligt fra A mellem linjen AP og den omskrevne cirkel til trekant AB 1 C 1 betegnes P 1. Vis at 2 AP = 3 AP 1. (Baltic Way 2006) 3.4 Opgave Fire cirkler α 1, α 2, α 3 og α 4 går alle gennem et punkt P således at α 1 og α 3 tangerer hinanden udvendigt i P, og α 2 og α 4 ligeledes tangerer hinanden udvendigt i P. Antag yderligere at α 1 og α 2, α 2 og α 3, α 3 og α 4 samt α 4 og α 1 skærer hinanden i henholdsvis A, B, C og D alle forskellige fra P. Vis at AB BC P B 2 = AD DC P D Opgave Lad α være en halvcirkel med diameter AB, C et punkt på linjestykket AB forskelligt fra A og B, og α 0 en halvcirkel med AC som diameter således at α og α 0 ligger på samme side af AB. Nu definerer vi en følge af cirkler på følgende måde. Cirklen α 1 er cirklen med diameter BC, og cirklen α n er cirklen som tangerer α, α 0 og α n 1 som vist på figuren. Kald røringspunktet mellem α i og α i+1, i = 1, 2,..., for P i. Vis at alle røringspunkterne P 1, P 2, P 2,... ligger på en cirkel.

10 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Opgave Lad ABCD være en konveks firkant således at de to diagonaler står vinkelret på hinanden. Kald skæringspunktet mellem diagonalerne for O, og kald fodpunkterne for højderne fra O i trekant OAB, OBC, OCD og ODA for henholdsvis P, Q, R og S. Vis at punkterne P, Q, R og S ligger på en cirkel. 3.7 Opgave Lad α være en halvcirkel med diameter P Q, β en cirkel som tangerer linjestykket P Q og halvcirklen α, og γ en linje som tangerer β og står vinkelret på P Q i punktet B, således at B ligger mellem C og Q. Kald det andet skæringspunkt mellem α og γ for A Vis at AC er vinkelhalveringslinje i trekant P AB.

11 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Løsninger til øvelser og opgaver Øvelse 1.5 Betragt diameteren hvis forlængelse går gennem O. Denne diameter vil af symmetrigrunde afbildes i diameteren til α, og da linjer gennem O afbildes på sig selv følger det at centrum for α, centrum for α og punktet O ligger på linje. Øvelse 1.6 Kald røringspunkterne for den ydre røringscirkel og linjerne AC og BC for henholdsvis M og N. Det er velkendt at CM = CN = s. Punkterne M og N fikses derfor ved inversionen, dvs. at den ydre røringscirkel afbildes i en cirkel gennem M og N som tangerer linjerne AC og BC. Da AC og BC afbildes på sig selv, må også cirklen afbildes på sig selv. Øvelse 1.8 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. Firkant AMIN er indskrivelig da AMI = ANI = 90. Cirklen AMN afbildes derfor i en linje gennem M og N da disse to punkter ligger på inversionscirklen. Billedet af A ligger dermed på linjestykket NM, og af symmetrigrunde må det være midtpunktet. Opgave 3.1 Ved inversion i en cirkel med centrum C og radius s afbildes den ydre røringscirkel på sig selv ifølge øvelse 1.6. Vi skal altså vise at billedet af den omskrevne cirkel til trekant CP Q tangerer den ydre røringscirkel. Da P og Q afbildes på sig selv, vil den omskrevne cirkel til trekant CP Q afbildes i linjen P Q som tangerer røringscirklen. Opgave 3.2 Ved inversion i en cirkel med centrum i A afbildes C 1 og C 2 i to parallelle linjer, og C 3 og C 4 afbildes i to cirkler der tangerer hinanden samt henholdsvis billedet af C 2 og C 1. Ved at regne på vinklerne ses let at B, C og D ligger på linje. Hvis denne linje går gennem A, vil A, B, C og D ligge på linje, og hvis linjen ikke går gennem A, vil A, B, C og D ligge på en cirkel. Opgave 3.3 Inverter i en cirkel med centrum i A og radius r. Linjerne AB, AP og AC afbildes på sig selv, cirklen gennem A, B, C 1, P afbildes på en linje gennem B, C 1 og P, cirklen gennem A, B 1, C, P afbildes i en linje gennem B 1, C og P, og cirklen gennem AB 1 P 1 C 1 afbildes i en linje gennem B 1, C 1 og P 1. Da B 1 og C 1 er midtpunkt på henholdsvis AB og AC, er B og C midtpunkt på henholdsvis linjestykkerne AB 1 og AC 1. Dermed er AB 1 C 1 en trekant med B 1 C og B C 1 som medianer. Da linjen gennem A, P og P 1 går gennem skæringspunktet mellem B 1 C og

12 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august B C 1, er AP 1 også median i trekant AB 1 C 1. Da medianerne skærer hinanden i forholdet 1 : 2, får vi r2 r2 2 AP = 2 AP = 3 AP 1 = 3 AP 1. Opgave 3.4 Da P er det centrale punkt, inverterer vi i en cirkel med centrum i P og radius r. Dermed er α 1 og α 3 to parallelle linjer, og α 2 og α 4 er to parallelle linjer. Firkant A B C D er derfor et paralellelogram. Nu regner vi på begge sider af lighedstegnet: og AB BC AD DC = r 2 A B r 2 B C P A P B P B P C r 2 A D r 2 D C P A P D P D P C P B 2 P D 2 = r 4 P B 2 = r 4 P D 2 Ligheden som vi skal vise, reduceres dermed til A B B C A D D C = 1, hvilket er sandt da A B C D er et parallelogram. = A B B C P D 2 A D D C P B 2, P D 2 P B 2. Opgave 3.5 Inverter i en cirkel med centrum i A, da α og α 0 derved afbildes i to parallelle linjer som alle billederne af cirklerne i følgen tangerer. Røringspunkternes billeder P 1, P 2, P 3,... ligger derfor på en ret linje, dvs. at P 1, P 2, P 3,... ligger på en cirkel gennem A. Opgave 3.6 Bemærk først at firkant AP OS, BQOP, CROQ og DSOR er indskrivelige, og kald deres omskrevne cirkler for henholdsvis α A, α B, α C og α D. Da AO og CO er diameter i henholdsvis α A og α C, tangerer de begge linjen BD i O. Tilsvarende tangerer α B og α C linjen AC i O. Inverter i en cirkel med centrum i O. Da afbildes α A og α C i to linjer som er parallelle med DB, og α B og α D i to linjer parallelle med AC. Skæringspunkterne mellem de fire cirkler er netop P, Q, R og S, dvs. at P Q R S er et rektangel og dermed indskrivelig. Punkterne P, Q, R og S ligger derfor også på en cirkel. Opgave 3.7 Inverter i en cirkel med centrum i C. Da afbildes linjen P Q på sig selv, cirklen β i en linje parallel med P Q, halvcirklencirklen α i en halvcirkelcirkel som tangerer β og har P Q

13 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august som diameter, og linjen γ i en cirkel som tangerer β og har CB som diameter. Da linjen gennem P, C, Q og B er parallel med linjen β, må de to cirkler α og γ have samme radius. Derfor er P AC = A P C = A B C = BAC, dvs. at AC er vinkelhalveringslinje i trekant P AC.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Geometri - Teori og opgaveløsning

Geometri - Teori og opgaveløsning Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE I den midtengelske by Liverpool ligger bydelen Sefton med Sefton Park - et parkanlæg, der bl.a. er kendt for det ottekantede palmehus, hvor man kan

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau

i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau Dette E-læringsmodul er udarbejdet af: Jacob Kjær Hansen Tommerup Skole

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas... 2 1.2. Åben en geometriapplikation... 2 1.2. Klik-Flyt-Klik... 2 Eksempel: Tegn en cirkel...

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK B Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAB 574604_GL083-MAB_12s.indd 1 14/01/09 14:40:30 Matematik B Prøvens varighed

Læs mere