t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36"

Transkript

1 Slide 1/36

2 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering Slide 2/36

3 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering Slide 3/36

4 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36

5 sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Slide 4/36

6 sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Slide 4/36

7 sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Slide 4/36

8 sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Slide 4/36

9 sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Sætning Slide 4/36

10 sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Sætning Lemma Slide 4/36

11 sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Sætning Lemma Korollar Slide 4/36

12 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering Slide 5/36

13 sfaktorisering Definition 1 (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så d q = n siger vi, at d går op i n, eller at d er divisor i n, og vi skriver d n. Slide 6/36

14 sfaktorisering Definition 1 (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så d q = n siger vi, at d går op i n, eller at d er divisor i n, og vi skriver d n. Eksempel 1 Lad os betragte tallet 14. Tallet 7 er divisor i 14, og vi kan skrive 7 14, da Er der andre divisorer i tallet 14? Hvilke? 7 2 = 14 Slide 6/36

15 sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Slide 7/36

16 sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Eksempel 2 Lad os betragte tallene 4, 12 og 24. Vi ser først at 4 12 og Da siger 1) fra sætning 1, at så må det gælde at Slide 7/36

17 sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Bevis 1) Vi ved at a b og b c. Det betyder, at der findes et hele tal q 1 og q 2 så a q 1 = b Det må betyde at b q 2 = c c = b q 2 = a q 1 q 2 = a (q 1 q 2 ) Da produktet af to hele tal selv er et helt tal, viser dette at a c. Slide 8/36

18 sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Bevis 1) Vi ved at a b og b c. Det betyder, at der findes et hele tal q 1 og q 2 så a q 1 = b Det må betyde at b q 2 = c c = b q 2 = a q 1 q 2 = a (q 1 q 2 ) Da produktet af to hele tal selv er et helt tal, viser dette at a c. 2) Det overlader vi til jer i en opgave... Slide 8/36

19 Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Slide 9/36

20 Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Definition 3 () Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Slide 9/36

21 Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Definition 3 () Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Eksempel De første ti primtal er altså tallene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Slide 9/36

22 Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Definition 3 () Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Eksempel De første ti primtal er altså tallene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Definition 4 (Sammensatte tal) Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et sammensat tal, hvis det har en ægte divisor. Slide 9/36

23 Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Slide 10/36

24 Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 Slide 10/36

25 Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 sfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? Slide 10/36

26 Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 sfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? SVAR: 90 = = Slide 10/36

27 Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 sfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? SVAR: 90 = = Generelt er primtalsfaktoriseringen af et naturligt tal n > 1 givet ved: n = p α 1 1 pα 2... pαm 2 m hvor p i erne er primfaktorer og α i erne er positive heltal. Slide 10/36

28 Lemma 1 (Eksistens af primfator) Ethvert positivt heltal n større end 1 har en primfaktor. sfaktorisering Slide 11/36

29 Lemma 1 (Eksistens af primfator) Ethvert positivt heltal n større end 1 har en primfaktor. sfaktorisering Bevis Lad n være et positivt heltal større end 1, og lad p betegne den mindste divisor i n. Vi vil nu vise med modstrid, at p er et primtal. Antag p ikke er et primtal (antag altså at p er et sammensat tal). Det betyder, at p har en divisor d, hvorom det gælder at 1 < d < p ifølge definitionen af et sammensat tal. Hvis d p og p n vil d n ifølge sætning 1. Dermed er p ikke den mindste divisor i n, og vi har derfor en modstrid. p må altså være et primtal, og p er dermed en primfaktor i n. Slide 11/36

30 Sætning 2 (Aritmetikkens fundamentalsætning) Ethvert positivt heltal n større end 1 kan primtalsfaktoriseres. sfaktoriseringen er entydig (på nær primfaktorernes rækkefølge). sfaktorisering Slide 12/36

31 sfaktorisering Bevis Del 1: Eksistens Lad n være et positivt helt tal. Vi ved da fra lemma 1, at n har en primfaktor. Lad os kalde denne primfaktor p 1. Vi har altså n = p 1 q 1 Hvor q 1 er et helt tal. Hvis q 1 = 1 har vi fundet primtalsfaktoriseringen af n, og faktisk er n = p 1 selv et primtal. Hvis q 1 > 1 må q 1 ifølge lemma 1 have en primfaktor, p 2, og vi har q 1 = p 2 q 2 og derfor kan vi nu skrive, at n = p 1 q 1 = p 1 p 2 q 2 Denne proces kan vi fortsætte, og da q 1, q 2, q 3,... er en aftagende følge af positive heltal, vil vi før eller siden møde et tal q r = 1. Dermed har vi n = p 1 p 2 p r 1 = p 1 p 2 p r hvor alle p i erne er primtal. Dermed har n altså en primtalsfaktorisering. Slide 13/36

32 sfaktorisering Bevis Del 2: Entydighed Antag at der findes positive heltal med to (eller flere) primtalsfaktoriseringer. Lad n være det mindste af disse heltal. Vi har således p 1 p 2 p r = n = q 1 q 2 q s hvor p i erne og q j erne er primtal. Ingen af p i erne kan være lig et af q j erne, fordi da ville vi ved forkortning med dette tal få et tal mindre end n, der også havde to (eller flere) primtalsfaktoriseringer, og dette er i strid med antagelsen, om at n er det mindste tal af denne slags. Det må altså specielt gælde, at enten er p 1 < q 1 eller også er p 1 > q 1. Lad os antage, uden tab af generalitet, at p 1 < q 1, og lad os så betragte tallet m = (q 1 p 1 ) q 2 q 3 q s Tallet m er oplagt mindre end tallet n. Dermed må m have en entydig primtalsfaktorisering. Vi ser at p 1 ikke går op i m, og derfor kan p 1 ikke være indeholdt i primtalfaktoriseringen af m. Slide 14/36

33 sfaktorisering Bevis Del 2: Entydighed (fortsat) Men ved omskrivning får vi: m = (q 1 p 1 ) q 2 q 3 q s = q 1 q 2 q s p 1 q 2 q 3 q s = n p 1 q 2 q 3 q s = p 1 p 2 p r p 1 q 2 q 3 q s = p 1 (p 2 p 3 p r q 2 q 3 q s ) Den sidste linje viser, at der findes en primtalfaktorisering af m, hvor p 1 indgår som primfaktor. Der må altså findes flere primtalsfaktoriseringer af m, hvilket er i strid med antagelsen om, at n er det mindste positive heltal med to (eller flere) primtalsfaktoriseringer. Dermed må alle positive heltal større end 1 have en entydig primtalsfaktorisering. Slide 15/36

34 Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Slide 16/36

35 Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Slide 16/36

36 Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Slide 16/36

37 Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, Slide 16/36

38 Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, Bemærkning lene større end 1 er netop de positive heltal hvor alle primfaktorer indgår i en lige potens i primtalsfaktoriseringen. Vis dette! Slide 16/36

39 Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, Bemærkning lene større end 1 er netop de positive heltal hvor alle primfaktorer indgår i en lige potens i primtalsfaktoriseringen. Vis dette! Et kvadrattal n er givet ved: n = a 2 = a a Hvor a er et vilkårligt heltal med følgende primtalsfaktorisering a = p α 1 1 pα 2 2 pαm m n = (p α 1 1 pα 2 2 pαm m ) (p α 1 1 pα 2 2 pαm m ) = p 2α 1 p 2α 2 p 2αm 1 2 m Slide 16/36

40 Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. sfaktorisering Slide 17/36

41 sfaktorisering Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. Bevis: overlades til jer i en opgave... Slide 17/36

42 sfaktorisering Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. Bevis: overlades til jer i en opgave... Sætning 4 Der findes uendeligt mange primtal Slide 17/36

43 sfaktorisering Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. Bevis: overlades til jer i en opgave... Sætning 4 Der findes uendeligt mange primtal Bevis: Antag at der findes endeligt mange primtal og lad disse være givet ved: Vi betragter tallet n = p 1 p 2 p m + 1. p 1, p 2,..., p m Da n er et heltal større end 1 har n en primfaktor p. Denne primfaktor p må være en af de endeligt mange primtal p 1, p 2,..., p m. dvs. at p går op i både n og p 1 p 2 p m og således også i n p 1 p 2 p m = 1. Da alle primtal er større end 1 er dette en modstrid. Altså findes der uendeligt mange primtal. Slide 17/36

44 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering Slide 18/36

45 I talteori er det ofte meget lettere at sige noget om et produkt end om en sum. Mange opgaver løses derfor ved at benytte faktorisering. sfaktorisering At faktorisere et udtryk betyder, at man omskriver udtrykket til at bestå af ét led, som udelukkende består af faktorer - dvs. tal, der er ganget sammen. (Bemærk: hver faktor kan godt bestå af flere led). Slide 19/36

46 I talteori er det ofte meget lettere at sige noget om et produkt end om en sum. Mange opgaver løses derfor ved at benytte faktorisering. sfaktorisering At faktorisere et udtryk betyder, at man omskriver udtrykket til at bestå af ét led, som udelukkende består af faktorer - dvs. tal, der er ganget sammen. (Bemærk: hver faktor kan godt bestå af flere led). Mantra Hvis du går i stå i en opgave, så prøv at faktoriser! Slide 19/36

47 sfaktorisering Eksempel Lad forsøge at finde alle positive heltalsløsninger i ligningen x y + y = 11 vi kan ikke umiddelbart løse ligningen, fordi der er mere end en variabel. Men venstresiden kan faktoriseres! y (x + 1) = 11 Så nu står der et tal gange et andet tal skal give 11. Men 11 er et primtal, så de eneste produkter der kan give 11 er 1 11 og Der er altså to muligheder for at løse ligningen. Enten har vi y = 11 Eller også har vi x + 1 = 1 x = 0 x + 1 = 11 x = 10 y = 1 Der er altså to mulige heltalsløsninger af ligningen. Slide 20/36

48 sfaktorisering Kvadratsætninger 1. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 Slide 21/36

49 sfaktorisering Kvadratsætninger 1. kvadratsætning: 2. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 a 2 + b 2 2ab = (a b) 2 Slide 21/36

50 sfaktorisering Kvadratsætninger 1. kvadratsætning: 2. kvadratsætning: 3. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 a 2 + b 2 2ab = (a b) 2 a 2 b 2 = (a b)(a + b) Slide 21/36

51 sfaktorisering Eksempel Lad os betragte ligningen x x = 0 Ligningen er et eksempel på en andengradsligning, men den ved vi ikke, hvordan vi skal løse! Men lad os bruge 1. kvadratsætning, på den måde kan vi omskrive til: x x = (x + 3) 2 = 0 så vi skal have et tal, som gang med sig selv giver 0. Det eneste tal, der opfylder dette er 0. Det må altså gælde at indmaden i parentesen skal være 0: Eneste løsning til ligningen er altså x = 3. x + 3 = 0 x = 3 Slide 22/36

52 sfaktorisering Eksempel Lad n og m være positive heltal, og lad os prøve at finde alle de positive heltallige løsninger til ligningen 4m 2 n 2 = 7 Ved at bruge 3. kvadratsætning kan vi omskrive venstresiden (2m n) (2m + n) = 7 og 7 er et primtal, så vi ved at de eneste produkter, der giver 7 er 1 7 og 7 1. Da 2m n < 2m + n er eneste mulighed 2m + n = 7 2m n = 1 Hvis man løser ligningssystemet finder man, at n = 3 og m = 2. Slide 23/36

53 sfaktorisering Eksempel Lad os prøve at finde alle de heltallige løsninger til ligningen Vi ser først, at man kan omskrive til Men så kan vi jo bruge 3. kvadratsætning a = b 2 17 = b 2 a 2 17 = b 2 a 2 = (b + a) (b a) Vi ser nu, at 17 er et primtal. Det må altså gælde at som har løsningen a = 8 og b = 9 eller b + a = 17 og b a = 1 b + a = 1 og b a = 17 som har løsningen a = 8 og b = 9. Der er to løsninger mere. For vi skal huske, at to negative tal ganget sammen fås et positivt tal. Derfor gælder de to løsninger også med omvendt fortegn. Den samlede løsning er altså (a, b) = (±8, ±9). Slide 24/36

54 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering Slide 25/36

55 sfaktorisering Det kan være meget bekvemt at kunne tælle antallet af divisorer i et tal uden nødvendigvis at finde dem alle sammen. Hvis et tal fx har 7 primfaktorer har det jo frygtelig mange divisorer, og det ville tage meget lang tid at finde dem alle sammen og derefter tælle dem. Eksempel Lad os betragte tallet 60 og bestemme antallet af positive divisorer. Først finder vi primtalsfaktoriseringen af = = Hvis vi gerne vil finde divisorerne i 60, skal vi kombinere primtalsfaktorene i produkter. Først finder vi de divisorer, der består af et enkelt primtal 1, 2, 3, 5 Dernæst finder vi de divisorer, der består af to primtalsfaktorer 2 2, 2 3, 2 5, 3 5 Nu finder vi de divisorer, der består af tre primtalsfaktorer 2 2 3, 2 2 5, Og til sidst de divisorer, der består af fire primtalsfaktorer Slide 26/36

56 sfaktorisering Men hvad var det egentlig, der skete i eksemplet? Alle divisorerne kunne skrives på formen 2 a 3 b 5 c Hvor a = 0, 1, 2, b = 0, 1 og c = 0, 1. Når der skal konstrueres et en divisor har skal vi altså beslutte hvilke værdier, vi vil sætte a, b og c til. Vi har tre muligheder fo a, to muligheder for b og ligeledes to muligheder for c. Hvor mange forskellige måde kan vi kombinere dem på? det må være = 12 Hvilket er præcis det antal positive divisorer vi fandt! Er det så nødvendigt at finde alle divisorer og tælle hver gang? Slide 27/36

57 sfaktorisering Sætning 5 () Lad n være et positivt heltal større end en med primtalsfaktoriseringen n = p α 1 1 pα 2 2 pα 3 3 pαm m hvor p i erne er forskellige primtal. Så har n forskellige positive divisorer. (1 + α 1 ) (1 + α 2 ) (1 + α 3 ) (1 + α m ) Slide 28/36

58 sfaktorisering Sætning 5 () Lad n være et positivt heltal større end en med primtalsfaktoriseringen n = p α 1 1 pα 2 2 pα 3 3 pαm m hvor p i erne er forskellige primtal. Så har n forskellige positive divisorer. (1 + α 1 ) (1 + α 2 ) (1 + α 3 ) (1 + α m ) Bevis Lad n være et positivt heltal med primtalsfaktoriseringen n = p α 1 1 pα 2 2 pα 3 3 pαm m Som følge af entydigheden af primtalsfaktoriseringen af et heltal, må enhver divisor i n være på formen n = p β 1 1 pβ 2 2 pβ 3 3 pβm m Hvor 0 β i α i. Ifølge multiplikationsprincippet (eller tælletræer) har n dermed i alt forskellige positive divisorer. (1 + α 1 ) (1 + α 2 ) (1 + α 3 ) (1 + α m ) Slide 28/36

59 sfaktorisering Eksempel Betragt tallet 300, som har primtalsfaktoriseringen Ifølge sætning 5 er der divisorer i = (1 + 2) (1 + 2) (1 + 1) = = 18 Slide 29/36

60 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering Slide 30/36

61 sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Slide 31/36

62 sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde a) gcd(12, 18) = b) gcd(15, 25) = c) gcd(38, 14) = d) gcd(48, 224) = e) gcd(56, 24) = f) gcd(18564, 2604) = Slide 31/36

63 sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde a) gcd(12, 18) = 6 b) gcd(15, 25) = 5 c) gcd(38, 14) = 2 d) gcd(48, 224) =16 e) gcd(56, 24) = 8 f) gcd(18564, 2604) = gcd( , ) = 84 Slide 31/36

64 sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde a) gcd(12, 18) = 6 b) gcd(15, 25) = 5 c) gcd(38, 14) = 2 d) gcd(48, 224) =16 e) gcd(56, 24) = 8 f) gcd(18564, 2604) = gcd( , ) = 84 For store tal tager det tid at bestemme primtalsfaktoriseringen!. Slide 31/36

65 Eukilds algoritme Sætning 6 (Egenskab for største fælles divisor) Lad n, m og q være hele tal. Da er gcd(n, m) = gcd(m, n qm) sfaktorisering Slide 32/36

66 Eukilds algoritme Sætning 6 (Egenskab for største fælles divisor) Lad n, m og q være hele tal. Da er gcd(n, m) = gcd(m, n qm) sfaktorisering Bevis Lad d 1 være en vilkårlig fælles divisor i n og m. Det betyder at d 1 m og d 1 n. Lad q være et helt tal. Da må det også gælde, at d 1 qm. Ifølge sætning 1 del 2 gælder det da, at d 1 n qm Det betyder at alle fælles divisorer i n og m også er fælles divisorer i m og n qm. Lad nu d 2 være en vilkårlig fælles divisor i m og n qm. Vi har altså at d 2 m og d 2 n qm. Da må det også gælde, at d 2 qm. Ifølge sætning 1 del 2 gælder det da, at d 2 (n qm) + qm d 2 n Det betyder at alle fælles divisorer i m og n qm også er fælles divisorer i m og n. Heraf slutter vi at m og n har nøjagtig de samme fælles divisorer som m og n qm. Dermed har de også samme største fælles divisor. Slide 32/36

67 Eukilds algoritme Division med rest: Lad n, m Z +. Da findes q, r Z +, så n = q m + r, 0 r < m sfaktorisering Slide 33/36

68 Eukilds algoritme Division med rest: Lad n, m Z +. Da findes q, r Z +, så n = q m + r, 0 r < m sfaktorisering Eksempel: Lad os udføre division med rest på 38 og 3. Vi får dvs. vi får kvotient q = 12 og rest r = = , 0 2 < 3 Slide 33/36

69 sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, 0 r k < r k 1 Slide 34/36

70 sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, Ifølge sætning 6 gælder at: gcd(n, m) = gcd(m, n q 1 m) = gcd(m, r 1 ) gcd(m, r 1 ) = gcd(r 1, m q 2 r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) gcd(r 1, r 2 ) = gcd(r 2, r 1 q 2 r 2 ) = gcd(r 2, r 3 ) 0 r k < r k 1 Slide 34/36

71 sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, Ifølge sætning 6 gælder at: gcd(n, m) = gcd(m, n q 1 m) = gcd(m, r 1 ) gcd(m, r 1 ) = gcd(r 1, m q 2 r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) gcd(r 1, r 2 ) = gcd(r 2, r 1 q 2 r 2 ) = gcd(r 2, r 3 ) 0 r k < r k 1 Altså gælder det at: gcd(n, m) = gcd(m, r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) = = gcd(r k, 0) = r k Slide 34/36

72 sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, 0 r k < r k 1 Eksempel: Sæt n = og m = Vi anvender på n og m = , < = , < = , 0 84 < = 3 84 Slide 35/36

73 sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, 0 r k < r k 1 Eksempel: Sæt n = og m = Vi anvender på n og m = , < = , < = , 0 84 < = 3 84 Den største fælles divisor i n og m er altså 84. Slide 35/36

74 sfaktorisering Eukilds algoritme Eksempel Vis at brøken er uforkortelig for alle n N n n 4 + n + 1 Slide 36/36

75 sfaktorisering Eukilds algoritme Eksempel Vis at brøken er uforkortelig for alle n N Det skal altså vises at n n 4 + n + 1 gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1) = 1 gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1) = gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1 n(n 3 + 1)) = gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1 n 4 n) = gcd(n 3 + 1, 1) = 1 Slide 36/36

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

A. Appendix: Løse ender.

A. Appendix: Løse ender. Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Projekt 0.6 RSA kryptering

Projekt 0.6 RSA kryptering Projekt 0.6 RSA kryptering 1. Introduktion. Nøgler til kryptering Alle former for kryptografi prøver at løse følgende problem: En afsender, A ønsker at sende en mdelelse til en modtager, M, såles at den

Læs mere

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige

Læs mere