G r u p p e G

Transkript

1 M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b e r I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g A a l b o r g U n i v e r s i t e t

2

3 Department of Mathematical Sciences Fredrik Bajers Vej 7G, 9220 Aalborg Ø Phone Fax Titel: Matematisk optimering Tema: Ekstrema, teori og praksis Synopsis: Projektperiode: P3, efterårssemesteret 2012 Projektgruppe: G3-117 Deltagere: Camilla Lund Ypkendanz Christian Gyldenholm Emil Aaqiust Frederiksen Nete Bjerregaard Ngoc Minh Luan Nguyen Troels Sønderby Christensen Hovedvejleder: Nikolaj Hess-Nielsen Oplagstal: 9 Denne rapport omhandler bestemmelse af ekstrema for lineære funktioner, som er underlagt bibetingelser, og non-lineære funktioner med og uden bibetingelser. I forbindelse med dette præsenteres relevante metoder og den nødvendige teori, som ligger til grund herfor; herunder teorien bag Hessematricen, Taylors formel og konvekse funktioner. De metoder, der præsenteres, er simplex-metoden, Newtonog Newton-Raphson metoden, Lagranges multiplikatormetode og Kuhn-Tucker betingelserne. Simplex-metoden og Lagranges multiplikatormetode anvendes på to fiktive optimeringsproblemer for at illustrere anvendelsen af disse; hhv. et lineært og et non-lineært optimeringsproblem. Sidetal: 108 Afsluttet den: 14/12/12 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne. 1

4

5 FORORD Rapporten er udarbejdet af projektgruppen G3-117 bestående af matematik-økonomi studerende på tredje semester i perioden fra til på Institut for Matematiske Fag. Det overordnede emne for semesteret er Ekstrema, teori og praksis. Delmålene med rapporten er at få en forståelse indenfor matematisk optimering, samt udvikle og styrke gruppens evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling. Rapporten henvender sig til personer med et fagligt niveau svarende til et bestået andet semester på en matematisk videregående uddannelse. Hvert kapitel er opbygget på følgende vis: Indledning til kapitlet. Teori med konkrete eksempler der er med til at belyse problemstillingen. Afrunding af kapitlet og en overgang til næste kapitel. Bemærk at bilag benyttes til at angive relevant teori, som ligger til grund for visse sætninger i selve rapporten. Rapporten er udarbejdet med tekstbehandlingssystemet L A TEX. Kilder bliver refereret vha. L A TEX s interne kildehenvisningssystem BibTEX. I rapporten anvendes kildehenvisninger med [ ], hvor angiver tallet, som kilden har i litteraturlisten. Gruppen vil gerne takke vejleder Nikolaj Hess-Nielsen for sin assistance. 3

6 Indhold INDHOLD Indhold 4 1 Indledning 7 2 Eksistens af ekstrema Bolzano-Weierstrass Den naturlige topologi for et metrisk rum Indre mængde, ydre mængde og randen Kompakte og følgekompakte mængder Kontinuerte funktioner defineret på et metrisk rum Lineær optimering Lineære programmeringsproblemer Optimal løsning Den geometriske metode Simplex-metoden Slack-variable Dualitet Økonomisk fortolkning af slack-variablene Non-lineær optimering Differentiabilitet på R n Taylors formel i R Ekstrema for funktioner i to eller flere dimensioner Optimering i to dimensioner Optimering i højere dimensioner Hessematricen Sylvesters kriterium Specielle funktioner Konveksitet

7 Indhold Konvekse funktioner af én reel variabel Konvekse differentiable funktioner af én reel variabel Konvekse mængder i R n Konvekse funktioner af n reelle variable Kvadratiske former Nulpunkts- og ekstremaapproksimation Newton-Raphson Newton-metoden i én variabel Newton-metoden i flere variable Problemer ved metoden Ekstrema for funktioner underlagt bibetingelser Lagranges multiplikatormetode To variable med én bibetingelse Tre variable med to bibetingelser n variable med k bibetingelser Økonomisk fortolkning af Lagranges multiplikatorer Kuhn-Tucker Anvendelse Kostoptimering Porteføljeoptimering ved Markowitz-modellen Optimering vha. Lagranges multiplikatormetode Sammenfatning 95 A De reelle tal 97 B Lineær Algebra 99 B.1 Symmetriske matricer B.2 Basisskift C Hjælpesætninger 103 Litteratur 107 5

8

9 Kapitel 1. Indledning kapitel 1 INDLEDNING Historisk set har der været forskellige tilgange til optimeringen af reelle funktioner. Lagrange og Fermat baserede deres tilgang på calculus-baserede formler, hvor Newton og Gauss anvendte en mere iterativ tilgang. En af de første gange udtrykket optimering blev anvendt, var i forbindelse med udarbejdelsen af teorien bag lineær programmering, der blev indført i 1939 af Leonid Kantorovich (3). Matematisk optimering er en vigtig del af mange virksomheders hverdag og bliver brugt i forskellige sammenhænge og til forskellige problemstillinger. Disse problemstillinger er oftest udformet således, at den pågældende virksomhed ønsker at maksimere eller minimere en funktion, der approksimerer en udvikling, under visse bibetingelser. Disse problemstillinger omhandler ofte optimering af økonomiske problemstillinger. Indenfor økonomisk optimering indgår som regel mange variable, der skal tages hensyn til, hvilket kan gøre problemstillingerne komplekse. Det er umuligt at opstille en model, der beskriver større økonomiske udviklinger helt præcist; der er dog ofte lavet nogle antagelser, som gør det muligt at opstille den økonomiske udvikling som en funktion. Det er interessant at se på, hvorledes denne approksimative udvikling opfører sig i en lille omegn af et optimum, da sådanne optima kan være af forskellig art. 7

10

11 Kapitel 2. Eksistens af ekstrema kapitel 2 EKSISTENS AF EKSTREMA Dette kapitel bygger på (22) kapitel 2 og (7). Kapitlet har til formål at opstille ekstremværdisætningen, som giver en eksistens af maksimum og minimum ved bestemte antagelser. Disse værdier ønskes fundet i optimeringsøjemed; eksistensen af disse er derfor helt centralt. Afsnit 2.1 introducerer begreberne følge, delfølge og konvergens af følger. Disse er alle nødvendige for at kunne opstille Bolzano-Weierstrass sætning, som bruges gentagne gange i dette kapitel. Afsnit 2.2 introducerer topologi i metriske rum. Åbne og lukkede mængder defineres for at kunne definere den indre mængde, den ydre mængde og randen. Den indre mængde og randen er centrale begreber i matematisk optimering. Afsnit 2.3 introducerer begreberne kompakthed og følgekompakthed i metriske rum, da disse er nødvendige for at kunne opstille ekstremværdisætningen. Heine-Borel sætningen gives, da dette resultat er centralt i rapportens videre forløb. Afsnit 2.4 introducerer kontinuitetsbegrebet for funktioner i metriske rum, da de funktioner, som denne rapport omhandler, alle er kontinuerte. Afslutningsvist præsenteres ekstremværdisætningen i metriske rum. 9

12 Kapitel 2. Eksistens af ekstrema 2.1 Bolzano-Weierstrass Dette afsnit har til formål at opstille Bolzano-Weierstrass sætning i det euklidiske rum. Normen i det euklidiske rum er givet ved n x = x j 2. Først introduceres begreberne følge, delfølge og begrænsethed i hhv. definition 2.1.1, definition og definition Definition En følge er en funktion, hvis definitionsmængde er N. En følge f, hvis værdier er x k := f(k), betegnes som x 1, x 2, eller {x k } k N eller {x k }. Definition En delfølge af en følge {x k } er en følge på formen {x kl }, hvor alle k l N og k 1 < k 2 < for alle k N. Definition {x k } siges at være begrænset, hvis og kun hvis der eksisterer et M > 0 således, at {x k } M. j=1 Konvergens af følger er defineret i definition Definition En reel følge {x k } konvergerer mod et reelt tal a R n, hvis og kun hvis der til ethvert ε > 0 eksisterer et N N således, at k N medfører, at x k a < ε. Dette skrives også som x k a for k. Før Bolzano-Weierstrass sætning præsenteres, gives lemma 2.1.5, der omhandler følger i R. Lemma Hvis {x k } er voksende og opadtil begrænset, eller hvis {x k } er aftagende og nedadtil begrænset, så konvergerer {x k } mod en endelig grænseværdi. Bevis. Antag at {x k } er en voksende og opadtil begrænset følge. Aksiom 10 givet i bilag A giver, at a := sup x k for k N eksisterer og er endeligt. Da a er den mindste øvre grænse, kan der vælges et N N således, at der for et givet ε > 0 gælder, at a ε < x N a. Da x k x N for k N, og da x k a for alle k N, må det nødvendigvis gælde, at a ε < x k a, for alle k N. 10

13 2.1. Bolzano-Weierstrass Dette er ensbetydende med, at x k a for k. Antag at {x k } er en aftagende og nedadtil begrænset følge. Jf. sætning A.0.2, givet i bilag A, gælder det, at b := inf{x k : k N} eksisterer og er endeligt. Da b er den største nedre grænse, kan der vælges et N N således, at der for et givet ε > 0 gælder, at b + ε > x N b. Da x k x N for k N og da x k b for alle k N må det nødvendigvis gælde, at b + ε > x k b, for alle k N. Dette er ensbetydende med, at x k b for k. Denne sætning gælder også for reelle følger i R n, jf. sætning 9.2 side 303 i (22). Bolzano-Weierstrass sætningen er givet i sætning Sætning Bolzano-Weierstrass sætningen Enhver begrænset følge i R n har en konvergent delfølge. Bevis. Lad {x k } være en en begrænset følge, som er fuldstændig indeholdt i den begrænsede mængde H R n. Da H er begrænset, må der nødvendigvis eksistere to skalarer a og b, hvor a < b, så den lukkede mængde, A 0, er den mængde, hvor a i x i b i for alle i = 1,, n, som indeholder hele H. A 0 opdeles nu i 2 n delmængder ved at dele A 0 ved ai+bi 2 for alle i = 1,, n på alle akserne x 1,, x n. Da x k A 0, må der være mindst én af disse delmængder af A 0, der indeholder uendelig mange indeks; denne mængde udvælges og kaldes A 1, hvorefter A 1 opdeles i 2 k delmængder. Da A 1 indeholder uendelig mange indeks, må der være mindst én af disse delmængder af A 1, hvori der er uendelig mange indeks; denne mængde udvælges og kaldes A 2. Argumentet fortsættes, og en delfølge konstrueres, så der for k = 1, 2, vælges det x k A k således, at k er det mindste indeks med denne egenskab, som ikke er valgt tidligere. x k kaldes x kl. Se på koordinatakserne x j for j = 1,, n. Intervalindsnævringen på x j gør, at det venstre endepunkt a l for l = 1, 2, angiver en voksende opadtil begrænset følge {a l }. Da en voksende opadtil begrænset følge er konvergent (jf. lemma 2.1.5), og da mængderne er lukkede, må det gælde, at fællesmængden ikke er tom. b l for l = 1, 2, angiver en aftagende nedadtil begrænset følge, {b l }; da længden af intervallerne på hver akse går mod nul, så konvergerer {b l } mod det samme tal som {a l }; dette kaldes t j. Altså bliver fællesmængden A j = t. j=1 11

14 Kapitel 2. Eksistens af ekstrema Det må altså gælde, at der til ethvert ε > 0 eksisterer et N N således, at x kl t < ε, l N. 2.2 Den naturlige topologi for et metrisk rum Dette afsnit har til formål at introducere topologi for et metrisk rum. Et metrisk rum består af en mængde X og en funktion d, der beskriver metrikken mellem to elementer i X. En præcis definition af dette, samt nogle egenskaber, der gør sig gældende i metriske rum, er givet i definition Definition Et metrisk rum er en mængde X, samt en funktion d : X X R, der opfylder følgende betingelser for alle x, y, z X: Positiv definit d(x, y) 0, hvor d(x, y) = 0, hvis og kun hvis x = y, (2.1) Symmetri d(x, y) = d(y, x), (2.2) Trekantsuligheden d(x, y) d(x, z) + d(z, y). (2.3) d(x, y) kaldes metrikken og benævnes d. I et metrisk rum er en åben kugle en generalisering af åbne intervaller; en såden med centrum i et punkt a og med radius r er givet i definition Definition Lad X være et metrisk rum. For alle r > 0 er den åbne kugle, med centrum i a og med radius r, mængden af punkter B r (a) := {x X d(x, a) < r}. For at generalisere dette yderligere bemærkes det, at ethvert element i et åbent interval, I, ligger i det indre af I; der er altså andre elementer omkring dette, som også ligger i I. Dette er ikke tilfældet med et lukket interval, E, men det gælder for dets komplementær mængde, E c. En generel definition herfor er givet i definition Definition Lad n N. i) En delmængde V af X siges at være åben i X, hvis og kun hvis der for alle a V eksisterer et r > 0 således, at B r (a) V. 12

15 2.2. Den naturlige topologi for et metrisk rum ii) En delmængde E af X siges at være lukket i X, hvis og kun hvis E c := X\E er åben. At en åben kugle er en åben mængde er givet i sætning Sætning Enhver åben kugle B R (x 0 ) er en åben mængde i X (se figur 2.1). Figur 2.1: B R (x 0 ) Bevis. Mængden V er angivet som V = B R (x 0 ) = {x X d(x, x 0 ) < R}. Tag et a V således, at d(a, x 0 ) < R. r vælges til r = R d(a, x 0). (2.4) 2 Det bemærkes, at (2.4) er større end nul. Det skal, jf. definition 2.2.3, vises, at B r (a) V = B R (x 0 ), da a er et vilkårligt punkt i V. Dette vises ved, at der for alle x B r (a) gælder, at x B R (x 0 ); dette er ækvivalent med at vise, at d(x, a) < r medfører, at d(x, x 0 ) < R. Afstanden mellem x og x 0 udtrykkes som afstanden mellem x og a og afstanden mellem a og x 0. d(x, x 0 ) d(x, a) + d(a, x 0 ) < r + d(a, x 0 ) = R + d(a, x 0) 2 < R. Så B R (x 0 ) består udelukkende af indre punkter; med andre ord er B R (x 0 ) en åben mængde. At foreningsmængden af arbitrært mange åbne mængder giver en åben mængde, gives i lemma

16 Kapitel 2. Eksistens af ekstrema Lemma Betragt en arbitrær ikke-tom indeksmængde F. Lad {V α } α F være en arbitrær samling af åbne mængder; så er A := α V α åben. Bevis. Lad x A. Der må da eksisterer et α x F således, at x V αx. Da V αx er åben, eksisterer et r x > 0 således, at B rx (x) V αx α V α = A. x er derfor et indre punkt i A. Det gælder derudover, at fællesmængden af endelig mange åbne mængder er en åben mængde, hvilket er formuleret i lemma Lemma Lad {V j } n j=1 være en endelig samling af åbne mængder; så er B := n j=1 V j åben. Bevis. Antag B. Lad x B. Dvs. x V j for alle j. Der eksisterer derfor et r j > 0 således, at B rj (x) V j. Sæt r := min{r 1, r 2,, r n }. Det må da nødvendigvis gælde, at B r (x) B rj (x) V j for alle j, så B r (x) B. For at kunne opstille sætning defineres fortætningspunkter og grænsepunkter i hhv. definition og definition Definition Givet er en mængde B X og et b X. b siges at være et fortætningspunkt for B, hvis der eksisterer en følge {x k } k 1 B således, at der for alle ε > 0 findes et x kε b, hvorom der gælder, at x kε B ε (b). Definition Givet er en mængde B X og et b X. b siges at være et grænsepunkt for B, hvis der eksisterer en følge {x k } k 1 B således, at x k B 1 k (b) og lim k x k = b. Mængden bestående af alle grænsepunkter kaldes mængdens afslutning og noteres B. Sætning giver, at en lukket mængde er lig med afslutningen af denne, hvilket anvendes i beviset for sætning Sætning Lad B X; så er B B. Ydermere er B = B, hvis og kun hvis B er lukket. Bevis. Hvis x B, defineres en konstant følge x k = x B for alle k N, som konvergerer mod a, da d(x k, x) = 0 < 1 k for alle k 1. Antag at B = B. Det er tilstrækkeligt at vise, at B c er åben. Et punkt x vælges, hvor x B c, hvilket er ensbetydende med, at x / B = B. x kan derfor ikke være et grænsepunkt for B. Der 14

17 2.2. Den naturlige topologi for et metrisk rum må da eksisterer et ε > 0 således, at B ε (x) B = ; med andre ord gælder det, at B ε (x) B c, hvilket er ækvivalent med, at alle punkter i B c er indre punkter, og derved at B c er en åben mængde. Antag at B er lukket, og dermed at B c er åben. Det vises, at der om alle grænsepunkter i B gælder, at x B. Antag modsætningsvist at der eksisterer et x B, hvor x / B, hvilket medfører, at x B c. Da B c er åben, eksisterer et ε > 0 således, at B ε (x) B c, hvilket er ensbetydende med, at B ε (x) B =. Men så kan x ikke være et grænsepunkt for B, hvilket giver en modstrid med, at x B Indre mængde, ydre mængde og randen Maksima og minima kan finde sted i det indre af en mængde eller på randen af denne. Disse begreber defineres i dette underafsnit. Hvis udgangspunktet er en delmængde af et metrisk rum (X, d), ønskes det ofte, i optimeringsøjemed, at se isoleret på det indre af denne. Begrebet, det indre, samt en alternativ definition på afslutningen af en mængde, er givet i definition Definition Lad E være en delmængde af et metrisk rum X. i) Det indre af E er mængden E 0 := {V V E og V er åben i X}. ii) Afslutningen af E er mængden E := {B B E og B er lukket i X}. Det bemærkes, at det indre af en mængde altid er en åben mængde, mens afslutningen af en mængde altid er en lukket mængde, jf. lemma og lemma Som følge af definiton kan randen defineres. Dette er gjort i definition Definition Lad E X. Randen af E er mængden E := {x X for alle r > 0, B r (x) E og B r (x) E c }. Sammenhængen mellem randen, det indre og afslutningen af en mængde er givet i sætning Sætning Lad E X; så er E = E\E 0. For bevis se (22) side

18 Kapitel 2. Eksistens af ekstrema 2.3 Kompakte og følgekompakte mængder Dette afsnit har til formål at udlede to hovedresultater; at en mængde er følgekompakt, hvis og kun hvis en mængde er kompakt, samt Heine-Borel sætningen. Nedenstående fem definitioner er nødvendige for at kunne opstille disse. Definition Lad A være en delmængde af et metrisk rum X og F være en arbitrær ikke-tom indeksmængde. Samlingen af mængder {O α } α F, hvor hvert O α X, er åben. Denne samling af mængder kaldes en åben overdækning af A, hvis A α F O α. Definition Antag at {O α } α F er en åben overdækning af A. Hvis F er en delmængde af F, så siges {O α } α F at være en deloverdækning, hvis A α F O α stadig gælder. En deloverdækning kaldes endelig, hvis F indeholder endelig mange elementer. Definition Lad A være en delmængde af et metrisk rum X. A kan dækkes med et endeligt ε-net, hvis der eksisterer et naturligt tal N ε <, hvor punkterne {x 1, x 2,..., x Nε } A således, at A N ε j=1 B ε(x j ). Definition Lad A være en delmængde af et metrisk rum X. A siges at være kompakt, hvis der for alle åbne overdækninger af A findes en endelig deloverdækning af A. Definition Lad A være en delmængde af et metrisk rum X. A siges at være følgekompakt, hvis der for alle følger {x k } A findes en konvergent delfølge {x kl }, hvor lim l x kl A. At en mængde er kompakt, hvis og kun hvis denne er følgekompakt, deles op i to sætninger; sætning og sætning For at kunne bevise sætning 2.3.8, gives to lemmaer. Lemma Antag at følgen {x k } A har en billedmængde bestående af endeligt mange punkter. Følgen har da en konvergent delfølge {x kl }, hvor lim l x kl A. Bevis. Antag at følgens billedmængde består af punkterne a 1, a 2,, a N, hvor alle punkterne er forskellige. Mindst ét af disse punkter optræder uendeligt mange gange i følgen. Lad a 1 være dette punkt. Definer en konstant delfølge {x kl }, hvor x kl = a 1 for alle l 1. Dette giver en konvergent delfølge, hvor lim l x kl = a 1 A. Lemma Antag at følgen {x k } A har et fortætningspunkt a A; så har {x k } en konvergent delfølge, hvor lim l x kl = a. Bevis. Da a er et fortætningspunkt for {x k }, så eksisterer en følge {x kl } {x k } således, at der for alle ε > 0 findes et x klε a, hvorom der gælder, at x klε B ε (a) for alle l 1. Det gælder da, at lim l x kl = a. 16

19 2.3. Kompakte og følgekompakte mængder Sætning giver, at hvis en mængde er kompakt, så er denne mængde også følgekompakt. Sætning Lad A være en delmængde af et metrisk rum (X, d). Hvis A er kompakt, så er A følgekompakt. Bevis. Antag modsætningsvist at A ikke er følgekompakt. Dvs. der eksisterer en følge {x k } A, som ikke antager nogle konvergente delfølger med grænsen indeholdt i A. Lemma giver, at følgens billedmængde da må indeholde uendelig mange punkter. Derudover giver lemma 2.3.7, at A ikke indeholder nogle fortætningspunkter for denne følge. Derfor må der for alle x A nødvendigvis eksistere et ε x > 0 således, at B εx (x) højest indeholder ét punkt fra følgens billedmængde. {B εx (x)} x A angiver en åben overdækning af A, og da A er antaget værende kompakt, eksisterer der for alle åbne overdækninger (derfor også for denne specifikke åbne overdækning) en endelig deloverdækning: A N B εxj (x j ), N <. j=1 Da {x k } A N j=1 B ε xj (x j ), og der maksimalt antages N forskellige punkter i foreningsmængden N j=1 B ε xj (x j ), konkluderes det, at der findes endeligt mange punkter i følgens billedmængde. Lemma giver da en konvergent delfølge, hvor grænsen ligger i A, hvilket giver en modstrid med, at A ikke er følgekompakt. Sætning giver, at en følgekompakt mængde er kompakt. Sætning Lad A være en delmængde af et metrisk rum X. Hvis A er følgekompakt, så er A kompakt. For bevis se (7) side 5. For at kunne bevise lemma , gives lemma Lemma Lad A X være en ikke-tom følgekompakt mængde; så gælder der for alle ε > 0, at A kan dækkes af et endeligt ε-net. For bevis se (7) side 4-5. For at kunne bevise Heine-Borel sætningen gives lemma Lemma Lad A X være en (følge)kompakt mængde; så eksisterer en kugle, der indeholder A. 17

20 Kapitel 2. Eksistens af ekstrema Bevis. Lemma giver, at A kan dækkes af et endeligt ε-net. Sæt ε := 1. Der eksisterer da N punkter i A, {x 1, x 2,, x N }, således, at A N j=1 B 1(x j ). Sæt R := max{1 + d(x j, x k ) 1 j, k N}. Det gælder da, at B 1 (x j ) B R (x 1 ) for alle j; altså er A B R (x 1 ). Sætning Heine-Borel sætningen Betragt R d med den euklidiske afstandsformel. I dette metriske rum er en mængde A (følge)kompakt, hvis og kun hvis A er lukket og begrænset. Bevis. Antag at A er lukket og begrænset. Betragt en arbitrær følge {x k } A. Det vises, at der eksisterer en delfølge {x kl }, hvor lim l x kl A. Bolzano-Weierstrass sætning giver en konvergent delfølge {x kl }, som konvergerer mod et punkt a R, da A er begrænset. Det gælder altså, at a A. Sætning giver, at A = A, da A er lukket; så a A. A er derfor følgekompakt. Antag at A er kompakt. Da A har ε-net egenskaben, er A begrænset jf. lemma At A er lukket, er jf. sætning ensbetydende med, at A = A. Antag modsat at der eksisterer et a A således, at a / A. Da a A eksisterer en følge {x k } A således, at lim k x k = a. Da A er kompakt, er A følgekompakt jf. sætning At A er følgekompakt garanterer eksistensen af en delfølge {x kl } således, at lim l x kl = α A. Da en konvergent følge konvergerer mod samme grænsepunkt, som alle dens konvergente delfølger, må det nødvendigvis gælde, at α = a. At A α = a / A er en modstrid. Det bemærkes, at en kompakt mængde er lukket og begrænset i alle metriske rum og ikke kun i euklidiske, hvilket ikke gælder omvendt. 2.4 Kontinuerte funktioner defineret på et metrisk rum I dette afsnit vil billeder og urbilleder af kontinuerte funktioner under metriske rum blive præsenteret. Yderligere gennemgås kontinuitet og følgekontinuitet. Afsnittet har til formål at bevise ekstremværdisætningen. Først defineres billedet og urbilledet, hvilket er givet i definition Definition Lad (X, d) og (Y, ρ) være to metriske rum. Hvis A X er billedet af A gennem f givet ved mængden f(a) := {y Y der findes x y A således at f(x y ) = y} Y. 18

21 2.4. Kontinuerte funktioner defineret på et metrisk rum Hvis B Y er urbilledet af B gennem f givet ved mængden f 1 (B) := {x X således at f(x) B} X. En funktion, der er kontinuert i et punkt i et metrisk rum, er defineret i definition Definition En funktion f : X Y siges at være kontinuert i et punkt a X, hvis der for alle ε > 0 eksisterer et δ > 0 således, at B δ (a) f 1 (B ε (f(a))), (2.5) hvilket medfører, at f(b δ (a)) B ε (f(a)). Funktionen siges at være kontinuert på X, hvis den er kontinuert i alle punkter a X. Følgekontinuitet af en funktion i et metrisk rum er givet i definition Definition En funktion f : X Y siges at være følgekontinuert i et punkt a X, hvis der for alle følger {x k } A, hvor lim k x k = a, gælder om {f(x k )} Y, at lim k f(x k ) = f(a). Funktionen siges at være følgekontinuert på X, hvis den er følgekontinuert i alle punkter a X. I sætning vises sammenhængen mellem kontinuitet og følgekontinuitet af en funktion; en egenskab der er vigtig, da det ofte er nemmere at vise, at en funktion er følgekontinuert, end at den er kontinuert. Sætning Betragt en funktion f : X Y. f er kontinuert i a X, hvis og kun hvis f er følgekontinuert i a X. Bevis. Antag f er kontinuert i a X. Betragt en arbitrær følge {x k } X således, at lim k x k = a. (2.5) giver, at for alle ε > 0 eksisterer et δ > 0 således, at d(x k, a) < δ medfører, at d(f(x k ), f(a)) < ε. Da lim k x k = a gælder d(x k, a) < δ, når k N δ 1, hvor N δ N. Altså må {f(x k )} Y konvergere mod f(a). Det vises, at f er kontinuert i a X, når f er følgekontinuert i a X. Antag modsætningsvist at f ikke er følgekontinuert i a X. Så eksisterer et ε 0 således, at der for alle δ > 0 gælder, at B δ (a) f 1 (B ε0 (f(a))). Da denne implikation gælder for alle δ > 0, sættes δ = 1 k for alle k 1. Der findes altså et punkt x k B 1 k (a) således, at f(x k) / B ε0 (f a ). Med andre ord eksisterer et x k således, at d X (x k, a) < 1 n, hvor d Y (f(x k ), a) ε 0. At {x k } A konvergerer mod a, mens {f(x k )} ikke konvergerer mod f(a), angiver en modstrid med antagelsen om, at f er følgekontinuert i a X. 19

22 Kapitel 2. Eksistens af ekstrema En kontinuert funktion afbildeder en kompakt mængde over i en kompakt mængde, hvilket er givet i sætning Sætning Lad (X, d) være et metrisk rum. Betragt en (følge)kontinuert funktion f : A Y, hvor A X er en (følge)kompakt mængde; så er f(a) (følge)kompakt. Bevis. Det vises, at f(a) er følgekompakt. Betragt en arbitrær følge {y k } f(a). For at vise at f(a) er følgekompakt, findes en delfølge {y kl }, hvor lim l y kl f(a). Da f(a) er billedet af A gennem f, gælder det for et givet y k f(a), at der eksisterer et x k A således, at f(x k ) = y k. Da A er følgekompakt findes en følge {x kl } A således, at lim l x kl = a A. Da f er følgekontinuert i a, må det nødvendigvis gælde, at lim l f(x kl ) = f(a) f(a), hvor f(x kl ) = y kl. Ekstremværdisætningen er givet i sætning Sætning Ekstremværdisætningen Lad (X, d) være et metrisk rum og lad H X være en kompakt mængde. Lad f : H R være kontinuert på H; så eksisterer x m og x M i H således, at f(x M ) = sup x H f(x) og f(x m ) = inf x H f(x). Bevis. Beviset gives for sup x H f(x), da et tilsvarende argument gælder for inf x H f(x). Det vises først, at der eksisterer en følge {x k } H således, at lim k f(x k ) = sup x H f(x) = sup f(h). Da f(h) er kompakt (jf. sætning 2.4.5), så er f(h) lukket og begrænset (jf. sætning ). Aksiom 10 i bilag A giver da, at sup f(h) = sup x H f(x) eksisterer og er endelig. En egenskab ved supremum er, at der for alle k 1 gælder, at sup(f(h)) 1 k ikke er en øvre grænse for f(h). Der må derfor nødvendigvis eksistere et x k H således, at sup(f(h)) 1 k < f(x k) sup f(h). Med andre ord er lim k f(x k ) = sup f(h). Da H er kompakt, eksisterer en delfølge {x kl } H, hvor lim l x kl = a H. Da f er følgekontinuert, gælder det, at lim l f(x kl ) = f(a). Da {f(x kl )} er en delfølge af den konvergente følge {f(x k )}, gælder det, at f(a) = sup f(h). x M vælges til a. Kontinuerte funktioner defineret på en lukket og begrænset mængde og med reelle værdier er de funktioner, der fokuseres på i resten af rapporten. For funktioner af denne type vides det altså, at et maksimum og et minimum eksisterer. I næste kapitel ses på en metode, hvorpå et sådant maksimum eller minimum findes. 20

23 Kapitel 3. Lineær optimering kapitel 3 LINEÆR OPTIMERING Kapitlet tager udgangspunkt i (16) kapitel 9. I dette kapitel ses på optimering af lineære funktioner underlagt bestemte bibetingelser, som også beskrives ved lineære funktioner; sådan optimering benævnes lineær programmering. Kapitlet gennemgår to metoder til bestemmelse af maksima og minima for et lineært programmeringsproblem: den geometriske metode og simplex-metoden. Disse bruges til at finde den optimale løsning i forskellige problemstillinger. Afsnit 3.1 introducerer den generelle form, hvorpå lineære programmeringsproblemer opskrives. Afsnit 3.2 introducerer nogle centrale resultater omhandlende eksistensen af en optimal løsning for det lineære programmeringsproblem. Afsnit 3.3 introducerer den geometriske metode til løsning af lineære programmeringsproblemer. Dette gøres for at gøre den algebraiske tilgang, som præsenteres i afsnit 3.4, mere letforståelig. Afsnit 3.4 introducerer simplex-metoden, hvori en algoritme gives, som finder maksima eller minima, hvis et sådant eksisterer. Herunder introduceres slack-variable, dualitet og den økonomiske fortolkning af slack-variablene. 21

24 Kapitel 3. Lineær optimering 3.1 Lineære programmeringsproblemer Dette afsnit tager derudover udgangspunkt i (12) og (17). Et lineært programmeringsproblem går ud på at bestemme et x opfyldende ulighederne f i (x) b i eller f i (x) b i, der enten maksimerer eller minimerer f 0 (x). x er et punkt i R n bestående af x 1, x 2,..., x n, der betegner optimeringsvariablene. Funktionen f 0 (x) : R n R betegner objektfunktionen, og funktionerne f i (x) : R n R med uligheder f i (x) b i og/eller f i (x) b i kaldes bibetingelser. Hvis der ingen bibetingelser er, er problemet defineret uden begrænsninger. Et lineært programmeringsproblem skrives på kanonisk form, hvilket præsenteres i definition b 1. c 1. Definition Givet b = i Rm, c = i Rn og en m n matrix A = [a ij ], så er det kanoniske lineære programmeringsproblem følgende. x 1 Bestem et x =. i Rn, som maksimerer objektfunktionen x n b m c n f 0 (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n under bibetingelserne f 1 (x 1,, x n ) = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 f 2 (x 1,, x n ) = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2. f m (x 1,, x n ) = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m og x j 0 for j = 1,, n. Dette kan tilpasses i vektor-matrix notation Maksimer c T x (3.1) under bibetingelserne Ax b (3.2) og x 0, (3.3) hvor en ulighed mellem to vektorer gælder for hver af deres koordinater. 22

25 3.1. Lineære programmeringsproblemer Mængden af x, for hvilke objektfunktionen og bibetingelserne er defineret, m F = dom f i, i=0 kaldes den brugbare mængde, F. Ethvert punkt x F, kaldes en brugbar løsning. Problemet, (3.1), siges at være brugbart, hvis der eksisterer mindst én optimal løsning, ellers er det ikkebrugbart. Den optimale værdi f 0 (x k ) for (3.1) er defineret ved f 0 (x k ) = sup{f 0 (x) f i (x) b i, i = 1,, m}. Hvis problemet er defineret uden begrænsninger, hverken opadtil eller nedadtil, så er problemet ikke-brugbart. Det betyder, at f 0 (x k ), når k. (3.4) Et minimeringsproblem med objektfunktionen f 0 (x) kan løses ved at maksimere f 0 (x) (jf. sætning A.0.2). For at vende ulighedstegnet kan begge sider ganges med -1; altså kan a i1 x a in x n b i derfor erstattes med a i1 x 1 a in x n b i. En lighed a i1 x a in x n = b i, kan erstattes med to uligheder a i1 x a in x n b i og a i1 x a in x n b i. Med et vilkårligt kanonisk lineært programmeringsproblem kan bibetingelserne være modsigende, og da vil F være den tomme mængde. Eksempel illustrerer denne problemstilling. 23

26 Kapitel 3. Lineær optimering Eksempel Problemet Maksimer 5x under bibetingelserne x 3 x 4 og x 0, er ikke-brugbart, da der ikke findes et x sådan, at x 3 og x Optimal løsning Den optimale løsning til et brugbart lineært programmeringsproblem vides at eksistere i den brugbare mængde, F, når denne er lukket og begrænset (jf. sætning 2.4.6). Den brugbare mængde består af en rand og indre punkter. Randen for et lineært programmeringsproblem er udspecificeret i definition Definition Randen tilhørende et lineært programmeringsproblem på kanonisk form i R n med m bibetingelser, hvor den brugbare mængde, F, er begrænset, er defineret som P = {x f j (x) = b j og x F}, j {1, 2,, m}. (3.5) Et maksima og minima for et lineært programmeringsproblem befinder sig i randen af F, hvilket er givet i sætning Sætning Lad Maksimer c T x (3.6) under bibetingelserne Ax b (3.7) og x 0 (3.8) være et lineært programmeringsproblem med den brugbare mængde, F. Antag at c T maksima eller minima er da altid at finde i randen, P, af F. 0. Et 24

27 3.2. Optimal løsning Bevis. Antag modsætningsvist at et maksimum eller minimum, x R n, er at finde i det indre af den brugbare mængde. Dvs. at B ε (x) F. Da c T 0, må mindst én af c T s komponenter være forskellig fra nul. x j -koordinaten tilhørende komponenten c j, som er forskellig fra nul, vælges, mens alle andre n 1 koordinater holdes fast. Derved ses det, at ved en ændring af x j opnås en øget (hhv. sænket) værdi af objektfunktionen. x kan derfor ikke være et maksimum (hhv. minimum), hvilket giver en modstrid med antagelsen. Som følge af sætning er det tilstrækkeligt at undersøge punkter på randen af F for at finde maksima eller minima. I denne rand eksisterer de såkaldte hjørnepunkter, som defineres i definition Definition x er et hjørnepunkt i mængden, P, hvis x + y, x y P medfører, at y = 0. (3.9) Punkterne, hvor maksima eller minima kan forekomme, kan udspecificeres yderligere, hvilket gøres i sætning Sætning Antag at inf{c T x x P } er endeligt. Det gælder da, at der for alle x P eksisterer et hjørnepunkt x således, at c T x c T x. Bevis. Hvis x er et hjørnepunkt, så vælg x = x. Det vil sige, at c T x = c T x. Hvis x ikke er et hjørnepunkt, så gælder det, jf. definition 3.2.3, at der eksisterer et y 0 således, at x + y, x y P. Se på bibetingelsen f j, hvor f j er den bibetingelse, som er den begrænsende faktor for minimum. Da f j (x + y) = b j og f j (x y) = b j, (3.10) er f j (y) = 0. Vælg et y således, at c T y 0. I tilfældet, hvor c T y = c T ( y) = 0, og hvor y er valgt således, at der eksisterer et i så at y i < 0, er det ikke muligt at opnå en minimering af objektfunktionen ved at addere eller subtrahere en vektor y; altså er den optimale løsning hele linjen og dermed også de(t) tilhørende 25

28 Kapitel 3. Lineær optimering hjørnepunkt(er). Antag at c T y < 0. Betragt x+λy, hvor λ > 0. Det må da gælde, at c T (x+λy) = c T x+λc T y < c T x. Som følge af valget af y opstilles to tilfælde. Tilfælde 1: Der eksisterer et i således, at y i < 0. Når λ vokser, aftager den i te komponent af x+λy, indtil x+λy ikke længere er en del af P. Vælg derfor λ = min {i yi<0}{ xi y i } := x k y k. Dette er det største λ således, at x+λy 0. Da f j (y) = 0, er f j (x+λy) = f j (x)+λf j (y) = f j (x) = b j. Det vil sige, at x + λy P, og desuden har x + λy en nul-komponent mere, (x + λy) k, end x. Denne iterative proces fortsættes, indtil et hjørnepunkt opnås. Tilfælde 2: y i 0 for alle i. Grundet antagelsen at c T y < 0, gælder det, at x + λy er brugbar for alle λ > 0, da f j (x + λy) = f j (x) + λf j (y) = f j (x) = b j, og x + λy x 0. Men c T (x + λy) = c T x + λc T y når λ, hvilket betyder, at inf{c T x x P } ikke er endeligt. Derfor modstrid. Bemærk at det analogt gælder for lineære maksimeringsproblemer, at den optimale løsning er at finde i et hjørnepunkt, hvilket gælder som følge af sætning A.0.2. Korollar beskriver sammenhængen mellem optimale løsninger og hjørnepunkter. Korollar Hvis inf{c T x x P } er endeligt, så eksisterer en optimal løsning, x k, som er et hjørnepunkt. Bevis. Antag modsætningsvist at der eksisterer en optimal løsning x k, som ikke er et hjørnepunkt. Ifølge sætning eksisterer et hjørnepunkt x således, at c T x c T x k. Det må derfor gælde, at x k er et hjørnepunkt og en optimal løsning. Dette resultat viser, at det er tilstrækkeligt at undersøge den brugbare mængdes hjørnepunkter for at bestemme de optimale løsninger. 3.3 Den geometriske metode I dette afsnit præsenteres den geometriske del af lineær programmering ved mindre problemer. Dette er vigtigt for at visualisere den algebraiske tilgang, som er nødvendig for større problemer. 26

29 3.3. Den geometriske metode Sætning beskriver, hvor en optimal løsning eksisterer. Derfor evalueres objektfunktionen ved hver af hjørnepunkterne på F, og det hjørnepunkt, der giver den største værdi, vælges. Dette virker i simple tilfælde, og derfor er den geometriske tilgang begrænset til to eller tre dimensioner. Anvendelsen af den geometriske metode illustreres i eksempel Eksempel Maksimer 2x 1 + x 2 under bibetingelserne x 1 + 2x 2 8 3x 1 + 2x 2 24 og x 1, x 2 0. Løsning Figur 3.1 viser den brugbare mængde, det skraverede område, hvilket er opnået ved at plotte ulighederne som ligheder. Ligningerne for de to funktioner, skitseret på figur 3.1, er derfor fremkommet ved at omskrive x 1 + 2x 2 8 og 3x 1 + 2x 2 24 til henholdsvis x 2 = 4 + 1/2x 1 og x 2 = 12 2/3x 1. Der er fire hjørnepunkter i den brugbare mængde. Tabellen herunder viser værdien af objektfunktionen ved hvert hjørnepunkt. (x 1, x 2 ) 2x 1 + x 2 (0, 0) 0 (0, 4) 4 (8, 0) 16 (4, 6) 14 Det ses, at maksimum er 16 i punktet (8, 1). Figur 3.1: Graf over maksimeringsproblemet. 27

30 Kapitel 3. Lineær optimering 3.4 Simplex-metoden Den geometriske metode har sine tydelige begrænsninger i mere end tre dimensioner, og til at løse problemer med flere variable benyttes simplex-metoden. Der tages udgangspunkt i det kanoniske lineære programmeringsproblem givet i definition 3.1.1, hvor objektfunktionen skal maksimeres. Følgende trin angiver fremgangsmåden for simplex-metoden: 1. Vælg et hjørnepunkt, x, i den brugbare mængde F. 2. Undersøg alle kanter i F, der mødes i x. Hvis ikke objektfunktionen, f 0 (x), kan optimeres ved at bevæge sig langs en af disse kanter, så er x den optimale løsning. 3. Hvis objektfunktionen, f 0 (x), kan optimeres ved at bevæge sig langs en eller flere af disse kanter, så følges den kant, hvor den bedste optimering opnås, hvorefter fokus flyttes til det hjørnepunkt i F, som ligger for enden af denne kant. 4. Gentag fra trin 2. En løsning i et hjørnepunkt kaldes i denne forbindelse for en basisløsning. Simplex-metoden finder med garanti den optimale løsning, hvilket er præcist formuleret i sætning Sætning Da værdien af objektfunktionen, f 0 (x), optimeres ved hvert trin, vil et kritisk punkt ikke optræde flere gange, og den optimale basisløsning vil kunne bestemmes (hvis dette er muligt) efter et endeligt antal trin. For bevis se (9). Det bemærkes, at hvis den brugbare mængde ikke er begrænset, vil der i trin 3 undersøges en kant uden et hjørnepunkt, hvorfor f 0 (x) går mod uendelig og derved ikke har nogen løsning (jf. (3.4)) Slack-variable De såkaldte slack-variable bruges i simplex-metoden til at løse lineære maksimeringsproblemer på kanonisk form. Definition definerer slack-variable. Definition En slack-variabel, s, er en ikke-negativ variabel, der på den mindre side af en ulighed sættes til at konvertere denne til en ligning. Slack-variablene indgår ikke i den endelige løsning. 28

31 3.4. Simplex-metoden Anvendelsen af slack-variable anskueliggøres i eksempel Eksempel Uligheden, a 11 x a 1k x a 1n x n b, konverteres til ligningen, a 11 x a 1k x a 1n x n + s = b, s 0. Slack-variable har følgende egenskaber: 1. Hvis en slack-variabel er lig nul i den tilhørende bibetingelse, er bibetingelsen allerede en ligning; denne angiver derfor de mulige valg af kritiske punkter. 2. Hvis en slack-variabel er positiv i den tilhørende bibetingelse, er bibetingelsens ulighed konverteret til en ligning. 3. Hvis en slack-variabel er negativ i den tilhørende bibetingelse, er basisløsningen, når denne optræder, ikke-brugbar. Algoritmen for simplex-metoden introduceres her: Bemærk at nogle termer tydeliggøres i eksempel

32 Kapitel 3. Lineær optimering Algorithm 1 Simplex Require: Maksimering af det kanoniske lineære programmeringsproblem, hvor elementerne i b er ikke-negative. Ensure: Optimal løsning til objektfunktionen 1: Ændre bibetingelserne fra uligheder til ligheder ved at tilføje slack-variablene. Lad M være en variabel svarende til objektfunktionen: c T x M = 0 2: Opstil den første simplex-tabel ud fra ligningerne dannet i trin 1. Slack-variablene og M danner den første basis og dermed den første brugbare løsning. 3: Kontroller den nederste række af tabellen. Hvis alle indgangene til venstre for den lodrette linje er ikke-negativ, så er løsningen optimal. Hvis nogle er negative, så vælges den variabel x k, hvor indgangen i den nederste række er mest negativ. 4: Bring variablen, x k, i basis. Dette gøres ved at pivotere på den positive indgang, a ik, for hvilken det gælder, at det ikke-negative forhold b i /a ik er mindst. (Bemærk at den nye brugbare basisløsning giver en forøget værdi af M.) 5: Gentag processen fra trin 3 indtil alle indgangene i den nederste række er ikke-negative. 6: return Den optimale løsning til objektfunktionen aflæses fra værdien af M, og de pågældende variable aflæses ud fra pivotelementerne i den sidste simplex-tabel. Eksempel viser simplex-metoden anvendt. Eksempel Minimer x 1 + 2x 2 under bibetingelserne x 1 + x 2 14 x 1 x 2 2 og x 1, x 2 0. Løsning 30

33 3.4. Simplex-metoden Omskriv til et lineært programmeringsproblem på kanonisk form. Maksimer x 1 2x 2 under bibetingelserne x 1 x 2 14 x 1 x 2 2 og x 1, x 2 0. Trin 1: Tilføj slack-variable og lad M være en variabel svarende til værdien af objektfunktionen. Dette skaber det lineære ligningssystem x 1 x 2 + x 3 = 14 Trin 2: Den initiale simplex-tabel opstilles x 1 x 2 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + M = 0. Den første basisløsning er x 1 x 2 x 3 x 4 M x 1 = x 2 = 0, x 3 = 14, x 4 = 2 og M = 0. Det bemærkes, at den tredje egenskab for slack-variable her gør sig gældende, og derfor er denne basisløsning ikke brugbar. Før selve simplex-metoden kan påbegyndes, skal alle værdierne til højre for den lodrette linje, undtagen den nederste række, være ikke-negative. Det kan løses ved at pivotere på en negativ indgang. For at erstatte en negativ b i -indgang med et positivt tal, skal en anden negativ indgang i samme række findes. I dette eksempel har de to første søjler begge negative indgange. Der pivoteres om enten søjle et række et eller søjle to række et, da 14 1 er den eneste ikke-negative værdi. Der pivoteres om elementet i søjle to række et. Derved fås følgende simplex-tabel som resultat af rækkeoperationerne x 1 x 2 x 3 x 4 M

34 Kapitel 3. Lineær optimering Det ses, at alle indgangene til højre for den lodrette linje, undtagen den nederste række, positive; simplex-metoden kan derfor genoptages. Det bemærkes, at den første egenskab for slack-variable her gør sig gældende. Slack-variablen x 3 er lig nul, og der findes en mulig brugbar løsning med M = 28, x 1 = 0 og x 2 = 14. Dette er dog ikke den endelige løsning, da der optræder negative værdier i den nederste række til venstre for den lodrette streg; derfor forsætter processen. Trin 3 og 4: ( 1) er den mindste negative værdi i den nederste række, og forholdet 16 2 er mindre end 14 1 ; derfor pivoteres om elementet i række to, søjle et. Den næste tabel ser ud som følger x 1 x 2 x 3 x 4 M 0 1 1/2 1/ /2 1/ /2 1/ Trin 5: Springes over, da der ikke længere optræder negative værdier i den nederste række. Trin 6: Den maksimale brugbare værdi af objektfunktionen er x 1 2x 2 = 20, hvor x 1 = 8 og x 2 = 6. I det oprindelige minimeringsproblem er den minimale brugbare værdi af dennes objektfunktion derfor x 1 + 2x 2 = 20, hvor x 1 = 8 og x 2 = Dualitet For ethvert lineært maksimeringsproblem på kanonisk form findes et tilsvarende minimeringsproblem, som kaldes det duale problem. Lad vektorerne c i R n og b i R m, samt en m n matrix A være givet. Da er det kanoniske primære maksimeringsproblem at finde x i R n sådan, at f 0 (x) = c T x maksimeres under bibetingelserne Ax b og x 0. Det duale minimeringsproblem er at bestemme et y i R m, som minimerer g 0 (y) = b T y under bibetingelserne A T y c og y 0. Nedenstående angiver et lineært programmeringsproblem på kanonisk form, P, og dets duale problem, P. 32

35 3.4. Simplex-metoden Primære problem P : Maksimer f 0 (x) = c T x under bibetingelserne Ax b Duale problem P : Minimer g 0 (y) = b T y under bibetingelserne A T y c x 0. y 0. Det bemærks, at ved dannelse af det duale problem bliver c i -koefficienten til x i i objektfunktionen af det primære problem til højresiden af bibetingelsen, b i, i det duale. Ligeledes bliver højresiden i bibetingelsen i det primære problem, b j, til y j s koefficient i det duale problems objektfunktion. Bemærk også at retningen af bibetingelsen er vendt fra Ax b til A T y c. I begge tilfælde er variablene x og y ikke-negative. Eksempel giver et konkret eksempel på sammenhængen mellem det primære og duale problem. Eksempel Find det duale af det primære problem Maksimer 4x 1 + 5x 2 under bibetingelserne x 1 + 2x x 1 + 3x 2 30 x 1 + x 2 13 og x 1, x 2 0. Løsning Minimer 26y y y 3 under bibetingelserne y 1 + 2y 2 + y 3 4 2y 1 + 3y 2 + y 3 5 og y 1, y 2, y 3 0. På kanonisk form bliver det duale af et oprindeligt primært problem til Maksimer under bibetingelserne b T y A T y c og y 0. 33

36 Kapitel 3. Lineær optimering Det duale af dette problem er Minimer c T w under bibetingelserne ( A T ) T w b og w 0, hvilket i kanonisk form bliver til Maksimer c T w under bibetingelserne Aw b og w 0. Hvis w erstattes med x, er dette problem netop det primære problem. Således er det duale af det duale problem det oprindelige primære problem. Sætning er et grundlæggende resultat i lineær programmering. Sætning Dualitetssætningen Lad P være et primært lineært programmeringsproblem med den brugbare mængde F, og lad P være det duale problem med den brugbare mængde F. 1. Hvis F og F begge er ikke-tomme, så har P og P begge brugbare løsninger; dvs. hhv. x og y, hvor f 0 (x) = g 0 (y). 2. Hvis et af problemerne P eller P har en optimal løsning hhv. x eller y, så har den anden også, og f 0 (x) = g 0 (y). Antag P (eller P ) har en optimal løsning. 3. Hvis enten P eller P løses ved simplex-metoden, så fremkommer løsningen af dets duale i den nederste række i den endelige tabel i kolonnerne forbundet med slack-variable. For bevis se (1). Eksempel viser, hvorledes sætning kan anvendes. 34

37 3.4. Simplex-metoden Eksempel Løs det duale problem ud fra det primære problem P. Det primære problem P er Maksimer f 0 (x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 under bibetingelserne x 1 + 2x x 1 + 4x 3 16 x 2 + x 3 12 og x 1, x 2, x 3 0. Løsning Det duale fås til Minimer g 0 (y 1, y 2, y 3 ) = 28y y y 3 under bibetingelserne y 1 + 2y 2 2 2y 1 + y 3 5 4y 2 + y 3 3 og y 1, y 2, y 3 0. Den sidste simplex-tabel af det primære problem bestemmes til x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 M Slack-variablene er x 4, x 5 og x 6. De giver den optimale løsning til det duale problem P, og derfor er y 1 = 0, y 2 = 1 og y 3 = 5. Den optimale værdi af objektfunktionen i det duale problem er g(0, 1, 5) = 28(0) + 16(1) + 12(5) = 76, hvilket er i overensstemmelse med den optimale værdi af objektfunktionen i det primære problem. 35

38 Kapitel 3. Lineær optimering Økonomisk fortolkning af slack-variablene Økonomisk set angiver slack-variablene i det primære problems optimale simplex-tabel (og angiver derfor også løsningen til det duale problem) den såkaldte skyggepris. Skyggeprisen er den stigning (hhv. det fald) i den maksimale profit, der opnås ved at lave en lille ændring i en bestemt bibetingelses højreside. Dette illustreres i eksempel Eksempel En frugthandler sælger forskellige typer blandinger af frugt; heriblandt en blanding bestående af to æbler og en appelsin (betegnes x 1 ) og en anden blanding bestående af et æble og en banan (betegnes x 2 ). x 1 kan sælges for 5 kr., mens x 2 kan sælges for 4 kr. Frugthandleren har ti æbler, otte appelsiner og otte bananer til rådighed. Ved en formodning om at frugthandleren kan sælge de poser, vedkommende blander, hvor mange poser skal frugthandleren så lave af hhv. x 1 og x 2 for at maksimere sin profit? Løsning Problemet kan matematisk beskrives som Maksimerf(x) = 5x 1 + 4x 2 under bibetingelserne 2x 1 + x 2 10 x 1 8 x 2 8 og x 1, x 2 0 Den initiale simplex-tabel opstilles Jf. algoritme 1 er den sidste simplex-tabel x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 M x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 M 1 0 0, 5 0 0, , 5 1 0, , 5 0 1,