Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte. χ 2 -fordelingen

Transkript

1 Program Statitik og Sandynlighedregning 2 Normalfordelingen venner og bekendte Helle Sørenen Uge 9, ondag Reultaterne fra denne uge kal bruge om arbejdhete i projekt 1. I formiddag: χ 2 -fordelingen, t-fordelingen, F -fordelingen (vennerne) Γ-fordelingen og tæthed for χ 2 -fordelingen Måke lidt om den centrale græneværdiætning I eftermiddag Lidt mere om R med Suanne SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 1 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 2 / 20 χ 2 -fordelingen χ 2 -fordelingen For k = 1 kan vi finde tætheden om tætheden via fordelingfunktionen: Definition Hvi U 1,...,U k er iid. N(0,1)-fordelte å kalde fordelingen af X = U U2 k for χ2 -fordelingen med k frihedgrader. Vi kriver ommetider: X χ 2 k eller X χ 2 (k) χ 2 (k)-fordelingen har middelværdi for alle k: Hvorfor? Hvad er middelværdien? p(x) = x 1/2 e x/2 2π, x > 0 Sætning Tætheden for χ 2 -fordelingen med k frihedgrader er hvor p(x) = x k/2 1 e x/2 c k 2 k/2, x > 0 π, k = 1 c k = (k/2 1)!, k = 2,4,6... (k/2 1)(k/2 2) 1/2 π, k = 3,5,7... Det vier vi lidt enere... SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 3 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 4 / 20

2 Tæthed for χ 2 -fordelingen Tæthed for χ 2 -fordelingen med hhv. 1, 3, 5, 8 frihedgrader t-fordelingen Definition Hvi U og Z er uafhængige, U N(0,1) og Z χ 2 (f ), å kalde fordelingen af T = U Z/f for t-fordelingen med f frihedgrader. Vi kriver T t f eller T t(f ). Tætheden kan finde vha. ætning 6.3.4: p(t) = kont ( 1 + t2 f 1 ) (f +1)/2, t R Normeringkontanten er grim og involverer Γ-funktionen tår på Sætning (X,Y ) kontinuert med tæthed p og X koncentreret på mængde M. Givet funktion f : R R med f > 0 på M. Så er Z = Y /f (X ) kontinuert og har tæthed q(z) = p(x,f (x)z)f (x)dx, z R SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 5 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 6 / 20 Tæthed for t-fordelingen Tæthed for t-ford. med hhv. 1, 3, 8 frihedgrader, amt tæthed for N(0,1). t-fordelingen Bemærk: Tætheden er ymmetrik om nul: p( t) = p(t) Tungere haler end normalfordelingen T har middelværdi hvi og kun hvi f > 1. Hvad er å ET? T har varian hvi og kun hvi f > 2. t(f )-fordelingen ligner N(0, 1) når f er tor T -tettørreler optræder ved åkaldt imple hypoteer, fx. tet for en pecifik middelværdi for en enkelt tikprøve eller ammenligning af to grupper. SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 7 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 8 / 20

3 F -fordelingen Definition Hvi Z 1 og Z 2 er uafhængige, og Z 1 χ 2 (f 1 ), Z 2 χ 2 (f 2 ) å kalde fordelingen af X = Z 1/f 1 Z 2 /f 2 for F -fordelingen med (f 1,f 2 ) frihedgrader. Tætheden finde vha. ætning 6.3.4: Huk T = p(x) = kont U. Hvad er fordelingen af T 2? Z/f x f 1/2 1 (f 2 + f 1 x) (f 1+f 2 )/2, x > 0 Bruge ved tet for en varianer (SaSt2) og iær ved tet af åkaldt ammenatte hyoteer, fx. ved ammenligning af tre eller flere grupper. Tæthed for F -fordelingen Tæthed for F -fordelingen med hhv. (6,10), (6,4), (6,2), (2,2) frihedgrader SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 9 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 10 / 20 Fordeling af ( X,SSD) og T Ekempel 1: hormonkoncentration ho køer Sætning X 1,...,X n iid. N(µ,σ 2 )-fordelte. Definer X = 1 n (X x n ), SSD = T = å er X og SSD uafhængige X N(µ,σ 2 /n) n( X µ) SSD/(n 1) = SSD σ 2 χ 2 (n 1), dv. SSD/σ 2 χ 2 (n 1) T t(n 1) hvorfor? n i=1 (X i X ) 2 n( X µ) Specielt: E(SSD) = σ 2 (n 1) å E( 2 ) = E ( SSD/(n 1) ) = σ 2. Cow Initial (µg/ml) Final (µg/ml) Diff. (µg/ml) Antag: D 1,...,D 9 iid. N(µ,σ 2 ). Etimater: ˆµ = d = 13.78, ˆσ = = Hvi vi vil underøge om µ er nul, virker det rimeligt at vurdere om d ligger tæt på 0 eller langt fra nul. Forkellen kal normere: 9( d 0) t = = 2.71 Hvi µ faktik er 0, hvor andynligt er det å at obervere en værdi af T der er mindt lige å langt fra nul om de 2.71? Beregn i t(8)-fordelingen! SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 11 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 12 / 20

4 Ekempel 2: Antallet af punkter i en en punktky Skål Det ande antal punkter er 161. Peron Average gue Antag: Y 1,...,Y 7 iid. N(µ,σ 2 ). Etimater: ȳ = , ˆσ = = Hvi vi vil underøge om µ er 161, virker det rimeligt at vurdere om ȳ ligger tæt på eller langt fra 161. Forkellen kal normere: 7(ȳ 161) t = = Hvi µ faktik er 161, hvor andynligt er det å at obervere en værdi af T der er mindt lige å langt fra 0 om de 1.24? Beregn i t(6)-fordelingen! Øl Goet = Student SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 13 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 14 / 20 Γ-fordelingen Parametre α > 0 og β > 0 givet. Betragt funktionen p(x) = xα 1 e x/β β α kont, x > 0 Specialtilfældet α = 1: hvilken fordeling er der tale om? Er f overhovedet integrabel? Hvordan kal kontanten definere for at p er en tæthed? Fordelingen på (0, ) der har tætheden p kalde Γ-fordelingen med formparameter α og kalaparameter β. Skalaparameter β: hvi X er Γ-fordelt med formpar. α og kalapar. 1, å er βx Γ-fordelt med formpar. α og kalapar. β. Opgave 8.1 i næte uge. χ 2 (1)-fordelingen er et pecialtilfælde: α = 1/2, β = 2. Tæthed for F -fordelingen Tæthed for F -fordelingen med (α, β) lig (0.5,6), (1,3), (3,1), (12,0.25) SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 15 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 16 / 20

5 Γ-funktionen Foldning af Γ-fordelinger Altå: Afhænger kun af α (ikke af β)! Så er tætheden Γ evalueret i heltal og halvtal : Regn på Γ(α + 1). Hvad er Γ(1)? kont = y α 1 e y dy =: Γ(α) 0 p(x) = xα 1 e x/β β α Γ(α), x > 0 Hvad er altå Γ(n) for n heltallig (og poitiv)? Hvad er Γ(1/2)? Hvad er Γ(k/2) for k ulige? Sætning X 1,...,X n uafhængige og Γ-fordelte med formparametre α 1,...,α n og amme kalaparameter β. Så er Z = X X n Γ-fordelt med formparameter α α n og kalaparameter β. Bevie ved induktion efter n. For n = 2: Brug korrollar 6.3.2: Indæt Γ-tæthederne og regn... q(z) = p 1 (x)p 2 (z x)dx Genkend afhængigheden af z fra den ønkede Γ-tæthed. Normeringkontanten paer automatik. SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 17 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 18 / 20 Tæthed for χ 2 -fordelingen Reume Sætning Tætheden for χ 2 -fordelingen med k frihedgrader er hvor Bevi: p(x) = x k/2 1 e x/2 c k 2 k/2, x > 0 π, k = 1 c k = (k/2 1)!, k = 2,4,6... (k/2 1)(k/2 2) 1/2 π, k = 3,5,7... χ 2 (k)-fordelingen er foldningen af k χ 2 (1)-fordelinger. Dv. foldningen af k Γ-fordelinger med formparameter 1/2 og kala 2. χ 2 (k) er altå Γ-fordelingen med formparameter k/2 og kala 2. Indæt i Γ-tætheden. Reume fra andynlighedregning: Tætheder og fordelingfunktioner og dere ammenhæng Middelværdier og varianer Tranformationer Normalfordelingen og den venner Både endimenionalt og flerdimenionalt SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 19 / 20 SaSt2 (Uge 9, ondag) Normalfordelingen venner 20 / 20