Computermodellering II Simple optiske bølgeledere, kvantebrønd 1D nulpunktssøgning

Transkript

1 Computrmodllrng II Smpl optsk bølgldr kvntbrønd D nulpunktssøgnng n lgnng md kun èn vrbl kn normlt omskrvs så dn r på formn f()=. Lgnngr f dn form kn løss numrsk vh. bskton sknt-mtodn Brnts mtod Nwton-Rphson mtodn og mng ndr mtodr. I tlfæld som n optsk bølgldr llr n lktronsk kvntbrønd opnås tpsk t lgnngssstm dr kun hr kk-trvll løsnngr for dskrt nrgr llr hvs nrgn r fstlgt for dskrt bvæglssprmtr (udbrdlsskonstntr). Dt vl prkss sg t lgnngssstmts dtrmnnt kun r for dskrt nrgr llr dskrt udbrdlsskonstntr. Bskton: n kontnurt funkton hr mndst ét nulpunkt mllm og hvs f( )f( )<. Hvs v vd t dr r t nulpunkt kn v rbjd os nd på nulpunktt èt skrdt f gngn vd t udrgn 3 =( + )/ og f( 3 ). Hvs f( 3 )f( )< sætts = 3 og llrs sætts = 3. Hrftr gntgs procdurn ndtl forsklln mllm og r så lll som ønskt. Mtodns stor fordl r t dn r mgt robust mn dn konvrgrr kun lnært dvs. dn n uskkrhd + r n lnær funkton f dn gml uskkrhd dt + =.5. Hvs uskkrhdn tl t strt md r og dn ønskd mksml uskkrhd r krævs n=log ( /) trtonr. Sknt-mtodn: Dr r ndr mtodr dr r mgt hurtgr nd bskton og som konvrgrr suprlnrt dvs. ε + = k ε m hvor m> hvs mn strtr tæt på n løsnng. Tl gngæld r d kk robust og kn fjl for t uhldgt vlg f strtprmtr. I sknt-mtodn gætts på t dt r n god ppromton t fnd næst stmt for nulpunktt vd t ntg t funktonn r n rt ln mllm punktrn og. Dtt gvr flg. stmt for nulpunktt: = f f. f f Udgngspunktt for næst stmt kn d så vælgs som t ( ) dr bstår f og dt sdst fundn f d oprndlg punktr. n ulmp r t v kn rskr t dr kk længr gældr f( )f( )<. t mr robust (og ldt lngsommr) ltrntv r t vælg og sålds t v bnttr og dt f d gml punktr dr gør t dr stdg gældr f( )f( )<.

2 Brnts mtod: Dt r også mulgt t lv t bdr stmt f funktonn nd n lnær funkton som sknt-mtodn. Hvs funktonsværdn knds tr punktr og 3 kn v ppromr funktonn md t ndngrdspolnom. V kn f.ks forstll os t < < 3 og opftt som bdst stmt. Næst ppromton tl nulpunktt kn d skrvs [] = + P/Q hvor R = f( )/f( 3 ) S = f( )/f( ) T = f( )/f( 3 ) P = S T R T 3 ( R) og Q = T R (S ). Nwton-Rphson-mtodn: Hvs v kndr d fldd f funktonn r Nwton-Rphson mtodn mgt hurtg md kvdrtsk konvrgns (m=) svrnd tl t ntl korrkt cfr fordobls for hvr trton. Mtodn r bsrt på t hvs v kndr t strtgæt dr r tæt på dn rgtg værd kn funktonn Tlor-udvkls dvs. f + δ f + f δ + f δ + Hrf følgr t f + δ når δ f()/f (). Dtt gvr nldnng tl t nt strtgæt osv. Næst stmt kn dog vss tlfæld rskr t lgg mgt lngt fr dt rgtg så n robust mtod skl hlst kombnr Nwton-Rphson mtodn md f.ks bskton og vurdr hvornår dt r bdst t fortsætt md dn n llr dn ndn mtod. Nwton-Rphson-mtodn vrkr også for komplks tl. Hvs v bnttr mtodn på polnomt f z = z 3 og plottr d komplks værdr for z dr konvrgrr mod z= md sort og d ndr md hvd frv fås n frktl. n dl f årsgn r t dr r to komplks røddr som mtodn kn rskr t fnd stdt for z=.

3 Andt: Dt kn nævns t dr mtlb r ndbggt n funkton roots tl t fnd røddr N tgrdspolnomr. Hjmmlvd funktonr mtlb: Dt r mulgt t tlføj funktonr tl d funktonr dr llrd fnds mtlb. Hvs dnn f.ks skl hdd trd_grds_polnom og rturnr = for t gvt oprtts n mtlb-fl md nvnt trd_grds_polnom.m md ndholdt: functon [] = trd_grds_polnom() =5*.^3+7*.^+*+9 Dt r nu mulgt f.ks t udrgn polnomt for = vd blot t skrv trd_grds_polnom(). Dt r også mulgt t plott polnomt for n rækk - værdr vd f.ks t skrv =-:.:; plot(trd_grds_polnom()'k'). Dt vl slvfølglgt kk vær så hldgt t bntt t funktonsnvn som mtlb llrd brugr slv d dn oprndlg funkton så blvr st ud f krft. Dt skl bmærks t og ovnfor kn btrgts som lokl vrbl dr kk vl påvrk t vntult ndt progrms mulghd for t bntt smm smbolr. Hvs funktonn slv gør brug f n ndn funkton kn dnn plcrs smm fl. Ovnstånd progrm kn f.ks omskrvs tl functon [] = trdj_grds_polnom() =5*potns(3)+7*potns()+*+9 % %undrfunkton functon = potns(n) =.^n; Dt r kk mulgt t ntroducr n funkton llr undrfunkton t mtlb-scrpt. Whl-løkkr: V r ntrssrt t gntg n procdur (trr) ndtl n btngls r opfldt. Ndnstånd progrm vl f.ks først fortsætt når dr tsts 7<ntr> mn btnglsn kn også vær om t fjlstmt r lll nok. R=; whl R~=7 R=nput('Tst 7<ntr> for t fortsætt.'); nd 3

4 4 Øvls: Skv-bølgldr: V skl fnd d bundn bølgtpr skv-bølgldrn for s-polrsrt ls. Strukturn og fltfordlngn ntgs nvrnt lngs z-ksn. n bølgtp r bundt tl bølgldrn hvs dt tlhørnd flt ftgr ksponntlt lngs -ksn væk fr bølgldrns krn (brdnngsndks n ). For s-polrsrt ls hr dt lktrsk flt kun n komposnt lngs z-ksn. ) ( ˆ ) ( for D for C B for A z hvor n k n k. Grænsbtnglsrn for tngntlkomposntrn førr tl D C B C B A D C B C B A ) (. Dtt kn rducrs tl to lgnngr. C B C B Ikk-trvll løsnngr fnds når lgnngssstmts dtrmnnt r dvs. når. V skl bstmm bølgldrns bølgtpr dvs. d kombntonr f og k hvor bundn bølgtpr ksstrr. ) Lv n funkton dr rturnrr lgnngssstmts dtrmnnt som funkton f modnd /k k n og n. Dt kn vær prktsk t skrv funktonn så dn båd kn håndtr n nklt værd for /k og n vktor md mng værdr for /k. I sdstnævnt tlfæld rturnrs n vktor ndholdnd d tlhørnd funktonsværdr. Dtt gørs vd funktonn t bntt f.ks.*./.^ stdt for * / ^. b) Plot dtrmnntn som funkton f mod-nd for mod-nd ntrvllt fr n tl n for nogl forskllg værdr f bølgldrns brdd. Bnt f.ks. n =.45 n =.43 n n z n

5 bølglængd 7nm =nm nm 3nm. Grfsk bør mn få t blld f hvlk mod-nd dr gvr nldnng tl nulpunktr og mn vl s t ntllt f nulpunktr voksr md. For d opgvn tl fås hhv. og 3 nulpunktr. c) Skrv n funkton dr udnttr fortgnsskft tl t fnd ntrvllr hvor dr r t nulpunkt. d) Skrv t pr funktonr tl t fnd dtrmnntns nulpunktr når dr knds t ntrvl hvor dr r t nulpunkt. Strt md bskton og Sknt-mtodn (Nwton-Rphson r også n mulghd mn så r dt nødvndgt t dffrntr dtrmnntn mht. modnd). Rutnrn kn gør brug f dtrmnntfunktonn lvt b). Tjk t rsulttt stmmr md grfrn b). ) Gnrr n fgur dr vsr d dskrt løsnngr for mod-nd som funkton f bølgldrns brdd. Grfn må grn lgn nogt stl md flg.: Tl højhstghds optsk kommunkton r dt ønskværdgt t n bølgldr kun undrstøttr èn bølgtp. Hvor brd kn bølgldrn gørs hvs dn kun må undrstøtt èn bølgtp? f) Udovr t knd mod-nd vl v også grn hv t blld f d tlhørnd bølgtpr. Lv t plot f dt lktrsk flt som funkton f for d dskrt bølgtpr. Hr kn mn f.ks sætt A= og for dt fundn mod-nd bntt grænsbtnglsrn tl t bstmm B C og D. Bnt f.ks brddn =45nm hvor dr r fr bølgtpr. Lgsom for snor-bølgr vl dr vær n løsnng udn knudpunktr (bortst fr ndrn) og løsnngr md flr knudpunktr. I dt hr tlfæld og 3 knudpunktr. g) Lv n tlsvrnd nls for to kobld skv-bølgldr. n n d n n n z 5

6 Hvs d r stor vl ovnstånd stort st svr tl t v hr to skv-bølgldr som ovnfor. Dog ford d ksponntlt ftgnd fltr fr bølgtprn hvr f d to bølgldr kk r hlt nglgbl vd nbobølgldrn ændrs stutonn ldt. I prkss vl nrg koblt nd dn n bølgldr blvr koblt ovr dn ndn ftr t stkk td og t tlsvrnd tdsrum snr vl nrgn vær koblt tlbg gn. Hovdprncppt r t dt smld sstm bstånd f to bølgldr hr nogl suprbølgtpr dr lgnr nogt stl md flg.: Mod-nd for d to bølgtpr r næstn ns. Drfor r stutonn hr vnsklgr nd ovnfor. ctrs n lnrkombnton dr svrr tl summn f d to bølgtpr vl nrgn vær dn n bølgldr tl t strt md dvs. vd =. Lnrkombntonn svrnd tl dffrnsn svrr tl t nrgn r vd dn ndn bølgldr tl t strt md. I bgg tlfæld skr dog dt t ford d to bølgtpr kk bvægr sg lg hurtgt så blvr sum tl dffrns og omvndt ftr n vs fstnd L. Bstm L som funkton f d for =nm. I prncppt krævs dr kk rt mgt ndt nd t funktonn dr rturnrd dtrmnntn for n skv-bølgldr rsttts md n funkton dr rturnrr dtrmnntn for d to kobld bølgldr. n nm måd t udrgn dtrmnntn r t opstll lgnngssstmts 88 mtr A. Drftr kn mtlb udrgn dtrmnntn vh. kommndon dt(a). [] Numrcl Rcps n C++ Th Art of Scntfc Computng Scond dton W.H. Prss S.A. Tukolsk W.T. Vttrlng og B.P. Flnnr Cmbrdg Unvrst Prss. TS 5. Fb. 9 p(- ) p(- ) 6