Almindelige kontinuerte fordelinger

Transkript

1 Almindelige kontinuerte fordelinger Den uniforme fordeling Symbol: X Uniform a,b Beskrivelse: Et tilfældigt tal mellem a og b. Støtte: V X a, b. Tæthedsfunktion: f x 1/ b a for x a,b Fordelingsfunktion: F x x a / b a for a x b

2 Middelværdi og varians: E X a 2 b b a 2 Var X 12 Eksempler: 1. Kontinuert roulette: X Uniform 0,2. F.eks. vinklen på viseren på et ur som er gået i stå ved en naturkatastrofe. 2. Et job afbrydes helt tilfældigt af en strømafbrydelse. Så angiver X Uniform 0, 1 den del af jobbet som var færdiggjort. R funktioner:

3 dunif x, a, b qunif prob,a, b punif x,a,b runif n, a,b

4 Eksponentialfordelingen Symbol: X E Beskrivelse: Ventetiden mellem to successive sjældne hændelser. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x e x for x 0 Fordelingsfunktion: F x 1 e x for x 0 Middelværdi og varians: E X 1 Var X 1 2

5 Density x

6 Eksempel: Tid mellem kraftige jordskælv Ventetiden (i dage) mellem kraftige jordskælv (over 7.5 på Richterskalaen) kan modelleres med en eksponentialfordeling med rate Såer E X Var X X Udregn sandsynligheden for at der kommer et kraftigt jordskælv inden for 10 dage. Svar: P X 10 1 exp går mere end 100 dage til næste kraftige jordskælv. Svar P X exp

7 R funktioner: dexp x, qexp prob, pexp x, rexp n,

8 Standard normalfordelingen Symbol: Z N 0, 1 Beskrivelse: Den normalfordeling, som har middelværdi 0 og varians 1. Støtte: V Z R Tæthedsfunktion: z 1 2 e z2 /2 for z R Bemærk symmetri: z z er en pæn klokkeformet tæthedsfunktion:

9 x dnorm(x)

10 Middelværdi og varians: E Z 0 Var Z 1 Fordelingsfunktion: Findes i tabel D.3, side 482, z z 1 2 e t2 /2 dt for z R 1. Bemærk symmetri: z 1 z. 2. Bemærk at er i familie med error function erf erfz 2 z e t 2 dt. 0 (udled selv sammenhængen med, brugat 0 ½).

11 Normalfordelingen Generelt Symbol: X N, 2, parametre R og 2 0. Kaldes også den Gaussiske fordeling, efter C.F. Gauss. Beskrivelse: En sum af uendeligt mange uendeligt små uafhængige stød (den centrale grænseværdisætning). Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x 1 x 1 1 e 2 2 x 2 for x R 2 2

12 Fordelingsfunktion: F x x for x R Middelværdi og varians: E X Var X 2 Eksempler: En tilfældig organismes højde i en population. R funktioner: dnorm x,, pnorm x,, qnorm prob,, rnorm n,, Eksempler på tæthedsfunktioner:

13 Density x

14 Density Density Density Density Se også følgende histogrammer med indlagte tætheder. 25 simulerede N(0,1) 100 simulerede N(0,1) x x simulerede N(0,1) simulerede N(0,1) x x4

15 Standardisering: Hvis X N, 2 gælder Z X N 0,1. Hvis Z N 0, 1 gælder X Z N, 2 For standard normalfordelingen Z N 0,1 : P a Z b b a. For en generel normalfordeling X N, 2 : P a X b b a. Giver samme resultat for alle kombinationer af og.

16 Eksempel 3.5 Studerendes højde Lad os antage, at en tilfældigt udtrukket studerendes højde har fordeling X N 175, Udregn sandsynligheden for, at en tilfældigt udtrukket studerende er højere end 180 cm. Svar: P X P X (tabel)

17 Find det tal x, såp X x Svar: så er P X x 0.9, og 0. 9 P X x x Fra tabel fås x så x

18 Lineære transformationer: Hvis X N, 2 gælder ax b N a b, a 2 2. Specielt gælder X N, 2. Summer af normalfordelte variable: Hvis X 1 og X 2 er uafhængige og X 1 N 1, 2 1 og X 2 N 2, 2 2, så gælder X 1 X 2 N 1 2, Denne egenskab gør det meget let at regne med normalfordelingen.

19 Den centrale grænseværdisætning Antag at X 1, X 2,, X n uafhængige, identisk fordelte stokastiske variable alle med middelværdi og varians 2. Afsnitssum: S n X 1 X 2 X n Standardiseret sum: E S n n Var S n n 2 Z n S n n n n i 1 X i n For n stor: sum af mange små uafhængige variable. Den centrale grænseværdisætning (CLT): for alle z R F Zn z z for n.

20 PraktiskbrugafCLT 1. For Z n gælder E Z n 0 Var Z n 1 Z n N 0, 1. ( betyder approksimativt fordelt som). 2. For S n gælder tilsvarende E S n n Var S n n 2 S n n n Z n N n,n 2. Huskeregel: Brug den normalfordeling, som har den samme middelværdi og varians, som det du ønsker at approximere. Følgende grafer illustrerer konvergensen i to tilfælde.

21 Density Density Density Density Uniform(0,1) x Gennemsnit af 4 Uniform(0,1) x Gennemsnit af 2 Uniform(0,1) x Gennemsnit af 8 Uniform(0,1) x

22 Density Density Density Density Eksponential(1) x Gennemsnit af 4 E(1) x Gennemsnit af 2 E(1) x Gennemsnit af 16 E(1) x

23 Approximation til binomialfordeling: X b n,p Betingelse: n stor. I praksis skal np 1 p være mindst 5. Approximation: Hvis x er et heltal mellem 0 og n, P X x x np 0.5 np 1 p Leddet 0. 5 er en kontinuitetskorrektion. Baseret på CLT. Approximation til Poissonfordeling: X Poisson Betingelse: stor. I praksis skal være mindst 10. Approximation: Hvis x er et heltal større end 0 P X x x 0.5 Leddet 0. 5 er en kontinuitetskorrektion. Baseret på CLT.

24 Modelcheck med QQ-plot Passer modellen godt til data x 1,,x n? Sammenlign F med empirisk fordelingsfunktion: F n x antal x i mindre end eller lig x n Lad x 1 x n betegne de ordnede data. Bemærk at x i er en slags empirisk i/n-kvantil, F n x i n i i n 1, For N, 2 i er den teoretiske -kvantil n 1 x i z i, (ret linie med hældning ), hvor z i i n 1

25 QQ-plot: Tegn punkterne z i, x i op for i 1,,n. Afvigelserne fra den rette linie bliver mindre, jo større n er. De største afvigelser ses i halerne. Man bør se efter S-formede afvigelser eller krumning. Har man flere datasæt, bør man se efter systematiske afvigelser plottene.

26 Sample Quantiles Sample Quantiles Sample Quantiles Sample Quantiles Normal Q-Q Plot Theoretical Quantiles Normal Q-Q Plot Theoretical Quantiles Normal Q-Q Plot Theoretical Quantiles Normal Q-Q Plot Theoretical Quantiles

27 2 -fordelingen Symbol: X 2 Beskrivelse:LadX U 1 2 U 2, hvor U 1,,U er uafhængige N 0, 1 variable. Så er X 2 Ga /2, 1/2, dvs. et specialtilfælde af gammafordelingen. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x 1 2 /2 Γ /2 x /2 1 e x/2 for x 0, hvor Γ er gammafunktionen. Fordelingsfunktion: Tabel D.6 side 485. Middelværdi og varians:

28 E X Var X 2 Eksempler: Bruges f.eks. til 2 -test. R funktioner: dchisq x, pchisq x, qchisq prob, rchisq n,

29 Students t-fordeling Symbol: X t Beskrivelse:LadU 1 N 0, 1 og U 2 2 være uafhængige, og lad X Så er X t. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: Γ ½ 1 f x Γ ½ U 1 U 2 / 1 x2 Fordelingsfunktion: Tabel D.5 side 484. Middelværdi og varians: 1 /2 for x R

30 E X 0for 1 Var X 2 for 2 Eksempler: Bruges f.eks. til t-test. R funktioner: dt x, pt x, qt prob, rt n,

31 Fishers F-fordeling Symbol: X F 1, 2 Beskrivelse:LadU 1 og U 2 være uafhængige 2 -variable 2 1 og 2 2, respektivt, og lad Så gælder X F 1, 2. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x 1/ 2 1/2 B ½ 1,½ 2 X U 1/ 1 U 2 / 2 x 1/ x /2 for x 0 Fordelingsfunktion: Tabel (f.eks. Erlang S) eller R. Middelværdi og varians:

32 E X for Var X for 2 4 Eksempler: Bruges til F-test. R funktioner: df x, 1, 2 pf x, 1, 2 qf prob, 1, 2 rf n, 1, 2

33 Andre kontinuerte fordelinger Trekantfordelingen Symbol: Beskrivelse: Tæthedsfunktionen er en ligesidet retvinklet trekant. Støtte: V X 1, 1 Tæthedsfunktion: f x 1 x for x 1 Fordelingsfunktion: F x 1 2 x 2 for 1 x x 2 for 0 x 1 Middelværdi og varians:

34 E X 0 Var X 1/6 Eksempler: Bruges til at modellere måleusikkerhed. Indføres position og skala fås tætheden f x 1 1 x for x

35 Betafordelingen Symbol: X Beta, Beskrivelse:LadU 1 og U 2 være uafhængige gamma variable Ga,1 og Ga,1, respektivt, og lad X U 1 U 1 U 2 Så gælder der X Beta,. Støtte: V X 0, 1 Tæthedsfunktion: f x 1 B, x 1 1 x 1 for 0 x 1 hvor B, er betafunktionen. Fordelingsfunktion: Tabel eller R. Middelværdi og varians:

36 E X Var X 2 1 Eksempler: Bruges til at modellere proportioner, f.eks. andelen af udvundet kobber i minedrift. R funktioner: dbeta x,, pbeta x,, qbeta prob,, rbeta n,,

37 Gammafordelingen Symbol: X Ga, Beskrivelse: Gammafordelingen X Ga, generaliserer både 2 -fordelingerne og eksponentialfordelingen. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x Γ x 1 e x for x 0 Fordelingsfunktion: Tabel eller R. Middelværdi og varians: E X Var X 2 Eksempler: Bruges til at modellere positive variable, som f.eks.

38 størrelsen af en forsikringsudbetaling. R funktioner: dgamma x,,1/ pgamma x,,1/ qgamma prob,,1/ rgamma n,,1/

39 Cauchyfordelingen Symbol: X C, Beskrivelse:LadX U 1 /U 2, hvor U 1 og U 2 er uafhængige N 0, 1 variable. Så gælder X C 0, 1. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: Fordelingsfunktion: f x 1 1 x 2 for x R F x tan 1 Middelværdi og varians: x for x R

40 E X findes ikke Var X findes ikke Eksempler: Alternativ til normalfordelingen når variationen er meget stor. R funktioner: dcauchy x,, pcauchy x,, qcauchy prob,, rcauchy n,,

41 Laplacefordelingen Symbol: X Lap, Beskrivelse: Forskellen mellem to uafhængige exponentialfordelte variable. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x 1 2 e x / for x R Fordelingsfunktion: F x Middelværdi og varians: 1 2 e x / for x e x / for x

42 E X Var X 2 2 Eksempler: Alternativ til normalfordelingen, når der bruges median i stedet for gennemsnit.

43 Weibullfordelingen Symbol: X W, Beskrivelse: Grænsefordeling for minimum af uafhængige og identisk fordelte variable. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x x 1 e x for x 0 Fordelingsfunktion: F x 1 e x for x 0 Middelværdi og varians: E X 1/ Γ 1 1/ Var X 2/ Γ 1 2/ Γ 2 1 1/

44 Eksempler: Modellering af ekstremer (en kædes svageste led).

45 Paretofordelingen Symbol: X Par, Beskrivelse: Fordeling med tyk hale. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x 1 x/ 1 for x R. Fordelingsfunktion: F x 1 1 x/ for x R. Middelværdi og varians: E X 1 for 1 Var X for 2

46 Eksempler: Bruges til at modellere ekstremer.

47 Lognormalfordelingen Symbol: X LogN, 2. Beskrivelse: LadX exp V, hvor V N, 2.Sågælderder X LogN, 2. Støtte: V X R Tæthedsfunktion: f x 1 x 2 2 Fordelingsfunktion: F x Middelværdi og varians: log x 2 exp for x log x for x 0.

48 E X exp ½ 2 Var X exp 2 2 e 2 1 Eksempler: Bruges til at modellere positive variable. R funktioner: dlnorm x,, plnorm x,, qlnorm prob,, rlnorm n,,

49 Den todimensional normalfordeling Beskrivelse: Modellering af korrelerede normalfordelte variable. Støtte: V X,Y R 2 Tæthedsfunktion: For x, y R 2 er f x,y lig med 1 2 X Y 1 2 exp x X X 2 2 x X X y Y Y y Y Y 2 Fordelingsfunktion: Marginale fordelinger: X N X, X 2 Y N Y, Y 2

50 Betinget fordeling: Y X x N Y x, 2 Y x hvor Y x Y Y X x X 2 Y x 2 Y 1 2 Middelværdi, varians, kovarians og korrelation: E X X og E X Y Var Y X 2 og Var Y Y 2 Cov X, Y X Y X, Y Eksempler: Modellering af korrelerede målinger, som f.eks. højde og vægt for samme person.