RAPPORT Læseforståelse i fag og udvikling af læsevejlederens rolle som medpraktiker Et aktionslæringsprojekt i Gladsaxe kommune efteråret 2011

Transkript

1 RAPPORT Læseforståelse i fag og udvikling af læsevejlederens rolle som medpraktiker Et aktionslæringsprojekt i Gladsaxe kommune efteråret 2011 Susanne Arne-Hansen PROFESSIONSHØJSKOLEN UCC 1

2 Indholdsfortegnelse 1 Indledning Baggrund for og formål med projektet Projektets problemformulering Organisering af projektet Resurser Metode Rammer for planlægning og gennemførelse af undervisning Det læseteoretiske udgangspunkt Generering og analyse af data Rapportens struktur Læseforståelse i fag Matematik Historie og samfundsfag Sammenfatning Didaktiske fokuspunkter og erfaringer Læsevejlederens rolle som medpraktiker Rammerne for aktionslæringsforløbet Konklusion Forankring og perspektiver Litteraturliste Bilag

3 1 Indledning Denne rapport afslutter et aktionslæringsprojekt i Gladsaxe Kommune i efteråret 2011 med fokus på læseforståelse i fag og udvikling af læsevejlederens rolle som medpraktiker. Aktionslæringsprojektet er forløbet over 8 uger og har fundet sted på fire skoler: Bagsværd Skole, Buddinge Skole, Stengårdskole og Vadgårdskole. 1.1 Baggrund for og formål med projektet Gennem tre år (2008/2009, 2009/2010, 2010/2011) var lærere, der underviste i fagene dansk, matematik og naturfag i 4. og 7. klasse på kurset Læsning i fagene (23 timer)sammen med nogle af skolernes læsevejledere. Som en del af kurset havde deltagerne til opgave at planlægge, afprøve og evaluere tiltag, der kunne styrke elevernes faglige læse- og skrivekompetencer i fagene, og at fremlægge disse til inspiration og evaluering på holdet på den sidste undervisningsgang. For at give skolerne mulighed for at arbejde videre med implementering af læsning i alle fag, og da Professionshøjskolen UCC for Gladsaxe Kommune netop havde uddannet 10 nye læsevejledere, blev det besluttet at sætte et aktionslæringsprojekt i gang i skoleåret 2011/12 med to formål: At følge kursusforløbene om læsning i fagene op med konkret implementering i et fag med henblik på, at eleverne udviklede en bedre læseforståelse i det pågældende fag. At udvikle læsevejlederens rolle som medpraktiker og vejleder i denne forbindelse. I en virkningsevaluering af læsevejlederindsatsen peger Danmarks Evalueringsinstitut netop på, at den læsevejlederrolle, der har størst mulighed for at skabe udvikling i lærerens praksis, er rollen som medpraktiker. Dvs. at læsevejlederen går med ind i at omsætte råd og konklusioner [f.eks. konklusioner fra læsekonferencer] i praksis. (Eva 2008: 43). Læsevejlederrollen som medpraktiker valgtes derfor i dette projekt, både for at de nyuddannede læsevejledere kunne få mulighed for at afprøve og udvikle rollen som medpraktiker, men også for at undersøge om et samarbejde mellem læsevejleder og faglærer kunne støtte udvikling af læseforståelse i fagene. 1.2 Projektets problemformulering På baggrund af ovenstående er projektets problemformulering derfor: Hvordan kan faglærer og læsevejleder udvikle læseforståelse i fag? Hvilken betydning har det, at læsevejlederen samarbejder med en faglærer om udvikling af læseforståelse i fag? 3

4 1.3 Organisering af projektet Projektet blev designet som et aktionslæringsprojekt med Susanne Arne-Hansen, lektor, Professionshøjskolen UCC, som ekstern projektkoordinator og Lotte Kjærgaard, læsekonsulent i Gladsaxe Kommune, som intern projektkoordinator. Aktionslæringsprojektet tog afsæt i Plauborg, Andersen og Bayers definition af aktionslæring: Aktionslæring har til formål at udvikle undervisningen ved løbende at eksperimentere med, observere og reflektere over konkrete undervisningssituationer (Plaugborg m.fl. 2008: 13). Deltagerne i projektet var seks makkerpar bestående af læsevejleder og faglærer. Disse fordelte sig på følgende måde: to læsevejledere fra hver af skolerne Buddinge Skole og Bagsværd Skole en læsevejleder fra hver af skolerne Stengård Skole og Vadgård Skole fire matematiklærere på 4., 5., 6. og 8. klassetrin en samfundsfags/historielærer på 9. klassetrin en historielærer på 4. klassetrin Ekstern projektkoordinator igangsatte og deltog som sparringspartner for projektet på to planlægningsmøder á to timer, fælles for alle deltagere. Et undervisningsforløb med fokus på udvikling af læseforståelse i et af fagene matematik eller historie/samfundsfag blev planlagt i et samarbejde mellem projektkoordinator, læsevejledere og faglærere ud fra en særlig australsk model, som var præsenteret på kurset Læsning i fagene. Over en 8 ugers periode underviste faglæreren, mens læsevejlederen observerede den fælles planlagte undervisning. Observationerne blev nedskrevet og fortolket og dannede udgangspunkt for løbende reflekterende samtaler mellem læsevejleder og faglærer. Desuden foregik der to gange i forløbet evaluering og justering af indsatsens virkning i reflekterende samtaler med ekstern projektkoordinator. Som afslutning på projektet blev alle deltagere samt skolelederne på de pågældende skoler inviteret til et fælles møde, hvor projektdeltagerne fremlagde den genererede viden om konkrete tiltag i forhold til udvikling af læseforståelse i fag og om betydningen af læsevejlederen i en medpraktikerrolle. 1.4 Resurser Gladsaxe kommune bidrog med 107 timer til ekstern projektkoordinator heraf de 40 til rapportskrivning. Pr. læsevejleder og faglærer blev der givet følgende antal timer: Pr. læsevejleder i alt timer: 4 timer til 2 fælles planlægningsmøder 10 timer til lokale planlægningsmøder mellem læsevejleder og faglærer på skolen timer til observation i undervisningen (afhængigt af antal lektioner i faget pr. uge) 20 timer til bearbejdelse af observationsdata 4 timer til reflekterende samtaler m. projektkoordinator og faglærer 3 timer til fælles afsluttende møde 4

5 Pr. faglærer i alt 21 timer: 4 timer til 2 fælles planlægningsmøder 10 timer til lokale planlægningsmøder mellem læsevejleder og faglærer på skolen 4 timer til reflekterende samtaler med ekstern projektkoordinator og læsevejleder 3 timer til fælles afsluttende møde 5

6 2 Metode Projektet var bygget op som et aktionslæringsprojekt, men med den forskel, at ekstern projektkoordinator på forhånd havde fastlagt de teorier, som projektet skulle hvile på, og som tidligere var præsenteret på kurset Læsning i fagene og læsevejlederuddannelsen. Den detaljerede planlægning stod faglærer og læsevejleder på den enkelte skole for støttet af sparring fra projektkoordinator. Rammen, som planlægningen skulle foregå i, var fastlagt og kendt for de implicerede lærere og læsevejledere på nær en enkelt faglærer, som ikke havde deltaget på kurset Læsning i fagene. 2.1 Rammer for planlægning og gennemførelse af undervisning Den fagdidaktiske ramme om projektet var genrepædagogikkens tænkning, fordi den i særlig grad tager udgangspunkt i de måder, sproget bruges på i de roller, som lærer og elever tager i arbejdet med et fag. Grundlaget for den australske genrepædagogik er udviklet af Michael Halliday. I Danmark har Ruth Mulvad i sin bog Sprog i skole (2009) beskrevet, hvordan denne tilgang kan være et godt afsæt for at udvikle læseforståelse i fag, fordi det ofte er fagteksternes særlige sprog og struktur, der skaber læseforståelsesvanskeligheder for eleverne. Det er Ruth Mulvads version, der har ligget til grund for dette projekt. Den australske genrepædagogik opererer i Mulvads udgave med tre variable: kommunikationsfeltet, kommunikationsrelationen, og kommunikationsmåden (Mulvad 2009: 78, ), som bestemmer de sproglige valg, vi tager i en kommunikationssituation. Kommunikationsfeltet er den sociale handling som finder sted, det emne, som der kommunikeres om, eller det, som er fokus for aktiviteten (Mulvad 2009: 248). Kommunikationsrelationen er deltagernes roller og forholdet mellem deltagerne i den konkrete situation (Mulvad 2009: ). Kommunikationsmåden er den kommunikationskanal, der er valgt, og hvilken afstand, distance, der er mellem teksten og dens kontekst. (Mulvad 2009: 249). Med andre ord de typer af aktiviteter, der vælges, som afsæt for elevernes læring. Er der fx tale om, at sproget bruges face to face, eller skal en skreven tekst alene formidle stoffet? I aktionslæringsprojektet dannede begreberne udgangspunkt for et planlægningsskema, men er omskrevet en del, fordi Mulvads begrebsapparat oplevedes for langt fra lærernes nuværende fagsprog. Kommunikationsfeltet er derfor blevet til Hvad skal eleverne lære? Kommunikationsrelationen og - måden er omskrevet til Hvordan skal eleverne lære det? og uddybes af en række underspørgsmål, der sikrer, at der i planlægningen både fokuseres på relation og måde. Desuden er kolonnen Hvordan skal der evalueres? medtaget for at sikre, at der ikke kun fokuseres på undervisning, men at også elevernes læring er i front. Planlægningsskemaet kan ses herunder: 6

7 Planlægningsskema til undervisning i læsning/skrivning i fagene Klasse: Fag: Formål: Emne/tema: Hvad skal eleverne lære? Læringsmål i faget Hvordan skal eleverne lære det? Introduktion (appetizer, aktivering af forhåndsviden) Lærer som model og støtte Støttet praksis Selvstændig brug Hvilke aktiviteter skal indgå? Hvordan skal fagets tekster sprog og struktur indgå? Hvordan skal eleverne udvikle deres hverdagsforståelse til en faglig forståelse? Hvordan skal der evalueres? Som en yderligere konkretisering af genrepædagogikken blev det anbefalet, at undervisningsforløbet skulle planlægges sådan, at eleverne havde mulighed for at tage udgangspunkt i deres hverdagssprog og ved hjælp af lærerens stilladsering kunne udvikle fagsprog, faglige begreber og faglig viden. Dette var inspireret af to didaktiske tilgange: The Teaching-Learning-Cycle, som den beskrives hos Mette Kirk Mailand (2007:43), og Sneglen, som den beskrives af Beverly Derewianka (2004:85). Begge vægter lærerens eksplicitte undervisning i stoffet (teaching) og elevens opmærksomhed på tilegnelse af stoffet (learning). Princippet i begge modeller er, at elevernes tilegnelse af ny viden ses som en cyklisk proces, hvor viden udvikles gennem gentagelse og gradvis udbygning af tidligere indlært stof. I skemaet ovenfor ses principperne i denne tilgang udformet som en række dots: Introduktion (appetizer, aktivering af forhåndsviden) Lærer som model og støtte Støttet praksis Selvstændig brug (inspiration fra Andreassen, 2008) Desuden er der i skemaet udover nogle praktiske oplysninger om fag, klasse og emne plads til at beskrive formålet med undervisningen. Dette er medtaget, fordi andre lignende projekter har vist, at mange lærere ikke formidler formålet med undervisningens aktiviteter. Hvis eleverne ikke ved, hvad de er i gang med at lære, og hvorfor de skal lære dette, er der stor sandsynlighed for, at det får konsekvenser for deres engagement og dermed deres læring. Alle makkerpar afleverede deres udfyldte planlægningsskema til projektkoordinator, som herefter kommenterede dem. De løbende justeringer af undervisningen er markeret med forskellige farver i skemaet. Se eksempel på planlægningsskema i bilag Det læseteoretiske udgangspunkt Den læseteoretiske ramme tog afsæt i den norske læseforsker Ivar Bråtens definition heraf: Læseforståelse handler om at uddrage og skabe mening ved at undersøge og interagere med en skreven tekst (Bråten 2008: 13). Læseforståelse består af en række sprogforståelseskomponenter, som må inter- 7

8 agere med hinanden og med en række ordgenkendelseskomponenter, for at der kan opnås kompetent læsning. Hollis Scarboroughs model viser, hvordan de forskellige komponenter kan tænkes at spille sammen. I Scarboroughs terminologi benyttes vendingen Text Comprehension for læseforståelse. Samtidig med at modellen giver et godt overblik over de komponenter i sprogforståelsen (Language Comprehension i Scarboroughs model), som læreren kan vælge at arbejde med i et givet forløb om læseforståelse, viser den, at læseforståelse fremmes gennem udvikling af strategier. I projektet har der derfor været lagt op til, at man i planlægningen både fokuserede på undervisning i læseforståelse, og at eleverne udviklede metabevidsthed og strategier, således at de efterhånden kunne blive bevidste om, hvad de kunne gøre, hvis forståelsen brød sammen. Scarborough, Hollis S. (2001): Connecting Early Language and Literacy to Later Reading (Dis)Abilities: Evidence, Theory, and Practice in Neumann and Dickinson, Handbook of Early Literacy Research. The Guilford Press. New York and London: 98 I rapporten benyttes følgende danske oversættelse for Scarboroughs engelske udtryk: Background Knowledge baggrundsviden Vocabulary ord- og begrebsforståelse Language Structures viden om sprogstrukturer Verbal Reasoning sproglig ræsonneren, at danne inferens Literacy Knowledge viden om skriftsprog, dvs. genre og teksttypekendskab Text Comprehension læseforståelse 2.3 Generering og analyse af data For at kunne besvare problemformuleringens to spørgsmål blev der genereret fem forskelige former for kvalitative data: observationsdata i form af observationslog skrevet af læsevejlederne observationsdata i form af observationslog skrevet af ekstern projektkoordinator 8

9 spørgsmål til de to reflekterende samtaler mellem læsevejleder, faglærer og projektkoordinator udfærdiget af ekstern projektkoordinator en lydfil af den sidste reflekterende samtale forskellige artefakter i form af opgaver, skemaer, elevbesvarelser m.m. I projektet er der således bestræbt triangulering af de empiriske data (Maaløe 1999: 58,154). De data, der er genereret til denne rapport er således kvalitative. Kvalitative data koncentrerer sig om kvaliteten og kompleksiteten i et givet fænomen. Dataene er indsamlet med henblik på at opnå et kvalitativt indblik i 'best practise' i forhold til undervisning i læseforståelse i fag. Projektet har haft det dobbelte formål både at få et kvalitativt indblik i praksis og samtidigt søgt at udvikle og raffinere praksis gennem systematiske observationer og reflekterende didaktiske samtaler. Observation og reflekterende samtaler Læsevejledere og projektkoordinator foretog observationer af den fælles planlagte undervisning med udgangspunkt i læringsmålene for undervisningen den pågældende dag. Observationerne har haft afsæt i Bjørndahls definition af observation: Inden for pædagogik er observation opmærksom iagttagelse det vil sige, at man på en koncentreret måde forsøger at observere noget, der har pædagogisk betydning. (Bjørndahl 2003: 34). Observation som metode er en af de kvalitative metoder, der er velegnet til at generere data om komplekse fænomener og sammenhænge. Når man benytter observation er der således mulighed for både at rumme kompleksiteten og at skabe et nødvendigt fokus. Derfor blev denne metode valgt. En anden grund til at vælge metoden var, at læsevejlederne gennem uddannelsen til læsevejleder har lært observation som metode. De har således praktiseret den før, og ekstern projektkoordinator, som er underviser på uddannelsen, havde en forventning om, at de implicerede læsevejledere beherskede metoden, hvilket har betydning for kvaliteten af de data, der er blevet genereret i projektet. Både læsevejledere og ekstern projektkoordinator systematiserede deres observationer ved anvendelse af en struktureret log, en beskrivelses-, fortolknings- og refleksionslog, som var skarpt opdelt i en konstaterende/beskrivende del og en fortolknings- og refleksionsdel (Bjørndal 2003: 74-75). I undervisningssituationen blev loggen skrevet i hånden eller på computer. Straks efter renskrev henholdsvis projektkoordinator og læsevejleder egen log og gjorde sig tanker om undervisningen, der efterfølgende dannede udgangspunkt for den reflekterende samtale. Projektkoordinators observationer samledes desuden i en række spørgsmål, som den reflekterende samtale med læsevejleder og faglærer tog udgangspunkt i. Spørgsmålene til den reflekterende samtale lød sådan: Hvordan fungerede oplæg og aktiviteter? Hvordan fungerede undervisningen og elevernes læring? Hvordan passede stoffet med tiden? Var der for lidt eller for meget i spil? Hvad vil være næste trin? 9

10 Hvordan var det at observere og at blive observeret? Har observationen bidraget til nye tiltag? Hvilke? Ved den reflekterende samtale med projektkoordinator blev der i fællesskab konkluderet på de mønstre, der begyndte at tegne sig. Til den sidste reflekterende samtale, som blev optaget som lydfil, indgik desuden spørgsmålene: Hvordan har det været at deltage i projektet? Hvad har I lært af projektet? Herunder hvilken betydning det har haft, at læsevejlederen indgik i en medpraktiker rolle. De reflekterende samtaler gav mulighed for at analysere og reflektere over god undervisning i læseforståelse ud fra såvel de konkrete praksissituationer som ved at inddrage læsefaglig og didaktisk teori. Vurdering beror altid på kriterier. Projektkoordinator søgte som ekstern observatør derfor at eksplicitere og drøfte kriterier for god undervisning i læseforståelse i denne sammenhæng. Ved afslutningen af projektet samlede læsevejlederne deres observationer i nogle samlede overvejelser over de mønstre, de så tegne sig i undervisningen, og som de vurderede havde særlig betydning for udvikling af læseforståelse i fag. Efter forløbet indsendte læsevejlederne deres samlede refleksioner over hele forløbet. Disse indgår også i rapporten som dokumentation. For at illustrere, hvordan loggen og de samlede overvejelser kunne se ud, udleverede projektkoordinator et eksempel på en log, som hun selv havde udarbejdet i forbindelse med en observation og en læsevejleders samlede refleksioner. Artefakter I analysen indgår forskellige artefakter i form af oplæg til undervisning, opgaver og elevbesvarelser. Der er foretaget analyser af repræsentative elevtekster for at dokumentere elevernes tegn på læring. Forbehold Der kan tages det forbehold i forhold til projektets resultater, at såvel ekstern projektkoordinator som læsevejledere og faglærere har haft et ønske om, at projektet skulle lykkes så godt som muligt. For alle deltagere gjaldt det, at de selv havde ønsket at deltage i projektet. Det kan have farvet vurderingen af resultaterne. Mængden af data, som trianguleres, og systematiseringen af såvel datagenerering som analyse af data vil forhåbentlig modvirke dette. Det ændrer dog ikke ved, at dette projekt har vist, hvad der kan lade sig gøre i praksis. 2.4 Rapportens struktur Rapporten falder i seks dele med overskrifterne: Udvikling af læseforståelse i fag, Didaktiske fokuspunkter og erfaringer, Læsevejlederens rolle som medpraktiker, Rammerne omkring aktionslæringsforløbet, Konklusion og Forankring og perspektiver. 10

11 I kapitel 3, Udvikling af læseforståelse i fag, gives en række repræsentative eksempler på undervisning i læseforståelse i matematik og historie/samfundsfag fra alle de deltagende klasser. Disse analyseres, diskuteres og vurderes i forhold til teori om læseforståelse og i forhold til elevernes tegn på læring. Herefter følger kapitlet Didaktiske fokuspunkter og erfaringer, som drejer sig om, hvilke tilgange og metoder der i særlig grad har virket i undervisningen. Læsevejlederens rolle som medpraktiker vurderes i kapitel 5 ud fra faglærere og læsevejlederes udsagn og teori om at iværksætte forandringsprocesser. Rammerne omkring aktionslæringsforløbet diskuteres i kapitel 6, og der konkluderes på det samlede projekt i kapitel 7. I kapitlet Forankring og perspektiver fremhæves eksempler på, hvordan den viden, der er skabt gennem projektet, kan forankres på skolerne. 11

12 3 Læseforståelse i fag I dette kapitel behandles det ene led i problemformuleringen til aktionslæringsprojektet, nemlig: Hvordan kan faglærer og læsevejleder udvikle læseforståelse i fag? (Jf. s. 3) De forskellige fag i skolen rummer forskellige tekster med forskellige udfordringer. Det at uddrage, skabe mening og interagere med en skreven tekst vil derfor stille meget forskellige krav til læseren afhængig af hvilken tekst, det drejer sig om. Det er derfor nødvendigt, at eleverne opnår viden om og erfaring med de forskellige fagteksters sprog og struktur, for at de på sigt kan udvikle funktionelle læseforståelsesstrategier og en god læseforståelse. Den norske forsker Lars Berge fremhæver netop "at det å forstå, lære og utøve et fag ikke kan ses uafhengig av det å skape mening med språket og andre meningsskapende eller semiotiske ressurser i faget Å kunne utøve et fag er å kunne snakke, lese og skrive relevant innenfor faget." (Berge 2010: 2). I dette kapitel sættes der fokus på, hvilke delkomponenter i læseforståelsen og hvilke strategier der er blevet arbejdet med i aktionslæringsprojekterne med henblik på at optimere elevernes læseforståelse i faget. Udgangspunktet er som nævnt den australske genrepædagogik, der i særlig grad vægter den sproglige tilgang til fagene. Tre fag: matematik, historie og samfundsfag har været genstand for aktionslæringsprojektet. Analyse, diskussion og vurdering af læseforståelse vil derfor kun tage afsæt i disse tre fag. Da den ene faglærer både underviser i historie og samfundsfag i samme klasse, og da udgangspunktet for denne undervisning drejede sig om det samme, behandles historie og samfundsfag under et. I kapitlet gives der mange konkrete eksempler på, hvordan der kan arbejdes med læseforståelse og strategiudvikling i netop disse fag. Det betyder dog ikke, at der i undervisningseksemplerne ikke også kan hentes inspiration til undervisningen i læseforståelse i andre fag. Eksemplerne her er således et udtryk for, hvordan læsevejleder og faglærer gennem fælles planlægning, observation og refleksion i et tæt samarbejde har udviklet læseforståelse i fagene med afsæt i elementer fra den australske genrepædagogik. 3.1 Matematik Hvad er det særlige ved at læse en matematikopgave/matematikbogen, og hvorfor kan det være svært? Det matematiske sprog adskiller sig fra hverdagssproget ved både at indeholde et særligt fagsprog og en række symboler. Derudover optræder der i matematikfaget også en hel del ord og begreber, som man kender fra hverdagssproget, men som i matematikfaget får en særlig betydning. De såkaldte førfaglige ord. Eksempler på sådanne ord er: bestemme, angive, gælde. Matematikbogen som genre har en særlig struktur med mange modaliteter, som skal forstås i sammenhæng, på trods af at de netop ikke er sammenhængende. I matematikbogen har genren problemregningsopgaver en meget komprimeret form, der kræver, at alle ord og symboler forstås umiddelbart, for at opgaven kan løses. 12

13 En problemregningsopgave er typisk bygget op med en præsentation i form af en beskrivende, berettende eller forklarende tekst, nogle informationer og et spørgsmål. Kendskab til den matematiske terminologi og til strukturen i opgaver og matematikbog generelt er en forudsætning for god læseforståelse og harmonerer med tre af de delkomponenter i sprogforståelsen, som Scarborough visualiserer i sin model: ord- og begrebsforståelse, viden om sprogstrukturer og viden om skriftsprog jf. s. 8. Ligesom den australske genrepædagogik peger også de engelske forskere Jane Oakhill og Kate Cain i deres forskning på, at viden om tekststrukturer og genrer kan være en støtte i læseforståelsen, fordi viden herom giver baggrundsinformation og mentale skemaer, som kan facilitere læserens konstruktion af mening (2007: 50). De fremhæver desuden, at en mulig årsag til læseforståelsesvanskeligheder er utilstrækkelig viden om genrer og tekststrukturer. For at kunne udnytte viden om ord- og begrebsforståelse, viden om sprogstrukturer og skriftsprog til læseforståelse kræver det endvidere, at læseren kan danne inferens eller foretage sproglig ræsonneren i Scarboroughs terminologi. At inferere vil ifølge Oakhill sige at kunne drage følgeslutninger mellem informationer i teksten eller at koble en viden uden for teksten med informationer i teksten (Oakhill 2007: 56). Endelig fordrer læseforståelse i matematik, at læseren har baggrundsviden. Baggrundsviden i denne sammenhæng vil både sige matematisk viden om fx de fire regnearter, men også viden om den kontekst, som er emnet for matematikopgaven, er nødvendig. En kontekst, der for nogle elever i folkeskolen kan ligge langt fra deres hverdagsforståelse, fx i opgaver om golf, pizzabageri eller skibsbyggeri. For at illustrere, hvordan der kan undervises i matematik med særligt fokus på læseforståelse i faget, vil fire eksempler på undervisning blive analyseret, diskuteret og vurderet i forhold til teori på området. Det første eksempel har fokus på sammenhængen mellem sprogforståelsens delkomponenter og udvikling af forståelsesstrategier: 8. klasse: Undervisning i sprogforståelsens delkomponenter I en 8. klasse havde matematiklærer og læsevejleder fokus på samspillet mellem sprogforståelsens delkomponenter, samtidig med at de var bevidste om, at eleverne brugte deres viden herom til at udvikle forståelsesstrategier. I første omgang var fokus på matematikkens særlige sprog, dvs. de matematiske vendinger, præpositioner og logiske forbindere samt fagfaglige ord, der optrådte i forbindelse med emnet procent, fordi "Vi oplevede, at mange af eleverne havde ringe eller ingen dybere forståelse for de anvendte udtryk fx 'udgør', 'faldende', 'stigende', 'fremgang'. Sproget blev endvidere omdrejningspunkt for det matematiske, nemlig ved udtrykket:.. i forhold til.. hvad er i forhold til hvad? Hvilket tal skal står hvor i regnestykket?" Ord- og begrebsforståelse og aktivering af baggrundsviden Faglærer og læsevejleder udviklede et skema som nedenstående og bad eleverne udfylde det to og to. Herved blev eleverne sat i en situation, hvor de skulle aktivere deres baggrundsviden. Eleverne skulle både med ord og med matematiske symboler vise, at de forstod de matematiske vendinger. Hensigten med dette var, at eleverne koblede de matematiske symboler med verbalsproget og derigennem kom til at forstå de matematiske symbolers betydning bedre, således at de kunne udnytte 13

14 viden herom til inferensdannelse. Efterfølgende gennemgik klassen alle ord og vendinger, ved at læreren var ordstyrer, mens en elev var referent og skrev på activboardet. Læreren ekspliciterede således den fælles forståelse af det matematiske sprog. Matematikkens sprog større end mindre end tre gange så stort er en tredjedel af i forhold til svarer til stiger med falder med udgør Lav et matematikstykke, hvor disse ord indgår 10 er større end 5 10 > 5 5 er mindre end 10 5 < 10 Et kvadrat, hvor siderne er 3 cm, er ni gange så stort som et kvadrat, hvor siderne er 1 cm. 3 x 3 = 9 5 er en tredjedel af 15 5/15 = 1/3 En er i forhold til to halvt så stor. Man kan tale om målestoksforhold. 1:2 Er næsten lig med. (Pi svarer til 3,14) Bliver større. Plus. Diagram tegnes og forklares på denne måde: Antallet af elever stiger med 4 elever fra 2010 til I 2010 er der 18 elever og i 2011 er der 22 elever. Så er antallet af elever steget med 4 elever. Bliver mindre I 2012 er antallet af elever faldet med 7. En del af Stykket udgør 5 % af hele kagen. En trekants areal udgør halvdelen af en firkants areal. er lig med Det samme som. Sammenlagt. 2 x 4 = 8 Der skal stå det samme på hver side af lighedstegnet i en ligning, fx x =7 fordobles med haveres med viser en fremgang Noget med at gange. Man skal gange med 2. Double, dobbelt gevinst i Lotto. Dobbelt latte. 2 bliver fordoblet med 2: =20. Hvis man fordobler, bliver det 40. At dividere med 2. En går ind i en forretning, og der står 50%, så er prisen halveret. At gange med en halv er det samme som at dividere med 2. Når noget stiger. Et diagram viser en fremgang. Der var fremgang på indbyggerantallet. Statistikken viser en fremgang på aktierne. et tab på - har mistet Mærsk har et tab på 17mill. kr. Hvis man spiller poker kan man få et tab. gives en rabat på Der gives en rabat på alle de hvide T-shirt. Der gives 10% rabat. Et eksempel på, at det for eleverne ikke var helt nemt at forstå betydningen af disse ord, kan ses af samtalen omkring det førfaglige udtryk udgør herunder: udgør.. Elev 1: "Stykket udgør 5 % af kagen." Lærer tegner elevens eksempel. Lærer: "Når noget er en del af noget udgør det en del af noget." Elev 2: " udgør 15." 14

15 Lærer: "Nej, det er mere en del af noget. Hvis vi laver et kvadrat udgør trekantens areal ½-delen af det samlede areal." Af eksemplet fremgår det, at elev 2 sætter lighedstegn mellem er lig med og udgør, hvilket er problematisk, hvorfor læreren inddrager en sammenligning af en trekants- og et kvadrats areal for at illustrere forskellen på de to begreber. Viden om skriftsprog, sprogstrukturer og sproglig ræsonneren For at eleverne kunne lære at inferere mellem sprog, grafiske modeller og matematiske kundskaber blev eleverne efterfølgende præsenteret for en opgave, hvor de skulle sammenligne to tal. De skulle gøre det ved hjælp af sprog (skrive med egne ord), med matematiske symboler og tal samt illustrationer/grafiske afbildninger. Jf. illustration: Øvelsen fungerede fint og trænede såvel elevernes evne til at formulere sig matematisk med sprog og symboler, som den trænede dem i at navigere i matematikopgavens kompleksitet, der netop kræver, at eleverne kan inferere mellem disse tre områder. På trods af dette viste det sig ved gennemgang af elevernes besvarelser, at kun de fem første vendinger fra skemaet oven for (s. 14)blev brugt i samtlige elevbesvarelser. De øvrige vendinger blev sporadisk brugt af enkelte elever. Dette kan tyde 15

16 på, at selv om eleverne kan forklare ordene i skemaet, har de endnu ikke opnået dybdekendskab til alle disse vendinger i en grad, så de også kan anvende dem. Der kunne således være basis for at arbejde yderligere med opgaver, der kræver, at eleverne anvender specifikke ord. Men under alle omstændigheder gav opgaven læreren mulighed for at vurdere elevernes færdigheder i at ræsonnere i matematik. For at sikre, at eleverne forstod, hvad de selv havde skrevet, skulle de fremlægge deres løsninger for hinanden, for som læreren sagde: "Når man taler om det, bliver man bedre til at forstå det." Herved fik eleverne mulighed for at erfare sig til andre måder at sammenligne tallene på. Multimodalitet og sproglig ræsonneren Et andet forhold, som faglærer og læsevejleder fandt det vigtigt at arbejde med i forhold til elevernes læseforståelse, var matematikbogens kompleksitet. Derfor blev der sat fokus på begrebet multimodalitet. Der blev undervist i læseretning, anvendelse af illustrationer, kobling fra opgave til diagram/illustration kort sagt at danne inferens mellem et opslags forskellige modaliteter. Fx stod der i en opgave ordet transport, mens der på den tilhørende illustration stod ordet fragt. At danne inferens mellem disse to ord kræver dybdekendskab til ordene, hvorfor der også blev arbejdet med ordkendskabskort. Eleverne lærte gennem disse øvelser at gøre alt det i matematikbogen, som den foregående øvelse med sammenligning af to tal havde været en forsmag på. Skrivning som middel til forståelse Afslutningsvis skrev eleverne en procenthistorie. Formålet med denne øvelse var, at eleverne anvendte de sproglige vendinger, de havde arbejdet med, og at de herved blev klar over, om de havde forstået begrebet procent. For at kunne dette, måtte eleverne nødvendigvis koble viden om sprog og matematik, hvorved deres evne til at inferere blev udfordret. For at eleverne kunne udvikle metabevidsthed, fik de desuden et responsark med spørgsmål til analyse af deres egen tekst. Eksempler på spørgsmål fra responsarket er: Er der brugt mindst 4 af de sproglige udtryk? Er der brugt mindst en af procentmetoderne? Kan man følge den røde tråd i historien? Selv om genren 'historie' ikke er kendetegnende for matematikkens teksttyper, gav besvarelserne alligevel såvel elev som faglærer et hint om, hvor eleverne var i deres forståelse af procent, og hvad næste trin i forhold til elevernes læring kunne være. Undervisning i læseforståelsesstrategier Da ovenstående arbejde var ved at være færdigt, blev faglærer og læsevejleder gennem observation og reflekterende samtaler klar over, at eleverne havde brug for endnu mere eksplicit læring i brug af strategier i forhold til at læse og løse en problemregningsopgave. "Vi udarbejdede og afprøvede et læsekort reviderede det og afprøvede igen. Vi tog udgangspunkt i rollematematik og procesnotatet, og vi studerede, hvilke strategier NN selv anvendte, når hun skulle løse en opgave i problemregning. I et af de første udkast havde vi ikke tegne-delen med, men vi fandt ud af, at denne visuelle del er meget central for mange elever (og lærere!). I arbejdet med læsekortet blev det tydeligt for os, at det faktisk er for sent i skoleforløbet, at eleverne trænes i denne faglige strategiske læsning. Mange af dem, har allerede fået indlært unoderne de 16

17 læser/skimmer hurtigt opgaverne og trykker dernæst lidt febrilsk på lommeregneren, indtil de får et tal, der ser nogenlunde sandsynligt ud." Det sidste forhold fremhæver også lektor Michael Wahl Andersen i sin artikel "At læse i matematik" (2008) som et særligt kendetegn for elever, som anvender en tænkning, der ikke bygger på en forståelse af teksten, fordi de har vanskeligheder med læseforståelsen. Wahl Andersen konkluderer, at en sådan elev vil få vanskeligheder med at løse tekstopgaver, på trods af at eleven mestrer de regnetekniske færdigheder, der indgår i opgaven. Derfor er der al mulig grund til, at der i matematikundervisningen inddrages eksplicit strategiundervisning, således at eleverne kan udvikle metabevidsthed i en grad, så de opnår konditionel viden om, hvornår og hvordan forskellige strategier kan anvendes. Det udarbejdede læsekort ses herunder. Hensigten er, at det lamineres, så eleverne altid kan have det liggende som et slags bogmærke og bruge det efter behov. 1. Skim opgaven igennem hvad ved du om emnet? Hvor mange delopgaver består opgaven af? 2. Læs roligt første delopgave igennem. Hvilke oplysninger skal du bruge for at kunne løse opgaven? Søg i den indledende tekst, billeder/grafer og diagrammer. 3. Er der ord du ikke forstår? 4. Prøv at skabe sammenhæng i teksten ved at fortælle inden i dig selv, hvad det går ud på. 5. Prøv at tegne de oplysninger, du får. 6. Hvad skal du så gøre først? Hvis jeg stadig ikke forstår, skal jeg: Start med punkt 2 igen læs langsomt og hold pause ved hvert punktum og gør dig klart, om du har forstået det indtil nu. Ellers må du gå tilbage og starte forfra. Du er din egen sammenhængsmester Er der nogle informationer du ikke har fået set? prøv at gå grafer/billeder/hele siden igennem igen. Er du nødt til at have forklaring på nogle ord? Eller lav en ny tegning. 17

18 Da matematiklæreren præsenterede læsekortet for eleverne, foregik det delvist efter principperne fra The Teaching-Learning Cycle: Introduktion af brugen, forklaring på, hvorfor eleverne skal lære at anvende kortet, lærer og elev løser i fællesskab opgave for klassen, makkerpar løser opgaver. Ved punkt 4 på læsekortet sagde læreren: "Det er tit her, jeg hjælper, så gør jeg alt det for jer, som er i pkt Nu skal I øve jer i at gøre det selv." Her udtrykker faglæreren netop det fænomen, at når matematiklærere læser en opgave op for eleverne, er de ofte meget opmærksomme på intonation og prosodi, men når eleverne selv læser opgaverne, foregår det tit ret monotomt. Selve oplæsningskvaliteten kan således være en kilde til forståelsen. På baggrund af dette kunne man derfor udlede, at undervisning i flydende læsning også bør være et omdrejningspunkt for undervisningen i matematik. Fra proceskoordinators observation gives her et eksempel på, hvordan læreren sammen med en elev demonstrerede brugen af læsekortets fire punkter: "En elev læser opgaven op og siger om pkt. 1: -Vi ved, at emnet handler om en dreng, der vil købe en cykel. Der er én delopgave. Eleven læser delopgaven. Lærer: -Hvad skal du bruge? Elev: -Jeg skal finde ud af, hvad søsteren skal have, og hvad cykelhandleren skal have. Lærer: -Er der ord, I ikke forstår? Måske udbetaling? Det er det beløb, man starter med at betale. Eleven genfortæller opgaven. Lærer tegner: Cykel 4995,- Søster: 4995,- + 10% Cykelhandler: 1500, ,-x12 Lærer: -Selve udregningen? Elev: x ,- = 5494,50kr 100 Elev: x 12 = = 5700,-" Herefter løste eleverne i makkerpar et antal opgaver med brug af kortet, mens læreren gik rundt og støttede. Efter et stykke tid spurgte læreren: "Hjalp det nogen at tegne?" En elev svarede: "Man kan tænke lidt længere, når man tegner det." 18

19 Læreren spørger her ind til elevens metabevidsthed, og eleven viser, at han har forstået brugen af læsekortet. I klassen er der dog delte meninger om læsekortets anvendelsesmulighed: Nogle finder det besværligt, fordi de godt kan regne i hvert fald disse opgaver uden brug af kortet, andre finder det lettere at spørge læreren, og atter andre vil ikke tegne, fordi de tror, at det forventes, at de tegner cykler, hvilket de ikke kan. Disse elever har ikke forstået, hvad lærerens begreb procestegning vil sige, og at det at tegne i denne forbindelse er en måde at visualisere og organisere sin viden på. Observationen viser dog også, at en hel del elever har glæde af læsekortet, idet de oplever, at de selv kan nå frem til en løsning. Umiddelbart kan det diskuteres om læsekortet er en god idé, når flere giver udtryk for det modsatte, og jo derfor så ikke umiddelbart oplever det som en støtte, men man kan også anskue i hvert fald nogle af elevernes indvendinger som et udtryk for, at det jo altid er besværligt at lære nyt, og at det tager tid at få nye tiltag implementeret. Der er dog ingen tvivl om, at det at lære denne strategi på sigt kan give eleverne procedural viden en viden, som efterhånden kan udvikles til konditional viden og dermed give dem strategier, som kan tages i anvendelse, når der er brug for det. Lærer og læsevejleder har dog nok også en pointe i, at det ville være væsentlig nemmere, hvis eleverne fx lærte en sådan strategianvendelse i 4. klasse i forbindelse med, at matematikbogen typisk introducerer problemregningsopgaver, således at der fra begyndelsen sættes fokus på, hvad det vil sige at kunne ræsonnere i matematik. I det næste afsnit gives et eksempel på, hvordan elevernes baggrundsviden gennem eksperimenter og fælles ræsonneren aktiveres, således at eleverne får forudsætninger for at arbejde med ligninger. 6.klasse: Narrativ og eksperimenterende tilgang til matematikundervisning I 6. klasse skulle eleverne lære om ligninger. Ligninger var nyt stof, så derfor valgte læreren en narrativ og eksperimenterende tilgang, således at eleverne kunne få erfaringer med stoffet, før de selv skulle prøve kræfter med opgaverne. Læreren tog sit udgangspunkt i matematikbogen Matematrix 6, Ligninger og supplerede denne med en vægt for at illustrere begrebet ligevægt. Det var hensigten, at eleverne herved skulle transformere deres forståelse af ligevægt til en forståelse af lighedstegnet, som jo spiller en væsentlig rolle i forståelse af en ligning. Emnet introduceredes ikke. En elev blev blot bedt om at læse opgave 1a op. Opgaven lød: 1 a) Drengen og pigen på vippen er ikke ens. Hvorfor er vippen mon så i ligevægt? b) Hvis de smider deres tasker, er vippen stadig i ligevægt. Hvad må der gælde om de to taskers vægt? Herefter følger if. observationen nedenstående samtale mellem lærer og elever: 19

20 "Eleven konkluderer: "De er lige fede." Lærer: "De er ikke ens." Elev 2: "De sidder ikke lige langt ude på vippen." Lærer: "I har allerede inddraget viden fra n/t vægtstangsprincippet." Elev 2 gentager sit svar om, at de ikke sidder lige langt ude på vippen. Flere elever byder ind med andre svar i samme kategori. L tegner vippe på tavlen. Elev 3: "De vejer lige meget. Der står jo, at de ikke er ens. Det kan jo være med alt muligt." Lærer: "De må veje det samme, når vippen er i ligevægt." Den første elev har sådan set svaret på spørgsmålet med sin hverdagssproglige formulering: "De er lige fede", men læreren ignorerer dette og fremhæver: "De er ikke ens." Måske et forsøg på at få flere elever til at ræsonnere. Det får eleverne til at lede efter en anden type forklaringer, der inddrager viden fra natur og teknik, indtil elev 3 formulerer sætningen "De vejer lige meget". Han har ræsonneret sig frem til, at når de ikke er ens, kan det jo være med alle mulige andre forhold end vægten. Læreren konkluderer herefter: "De må veje det samme, når vippen er i ligevægt." Herefter læser en ny elev opgave 1b op. Det får elev 4 til at reagere og en anden elev til at formulere sig matematisk om opgaven: Elev 4: "Prøv lige at sige, hvad gælde betyder er det, hvad man kunne sige?" Elev: "Hvis de vejer lige meget, så må taskerne også veje lige meget, når vippen er i ligevægt." Sidstnævnte elev har også her svaret på opgaven, men det ignoreres. Læreren skriver i stedet for 'Hvad må der gælde?' på tavlen, hvilket får flere elever til at blive opmærksomme på betydningen af ordet 'gælde': Elev: "Hvad betyder det?" Elev: "Det lyder gammeldags." Elev "Hvis man skal omformulere det Hvor meget nej vent lige lidt, jeg skal lige tænke " Elev: "Hvis man Hvor meget vægt er der i taskerne?" Elev: "Hvor meget forskel er der på de to taskers vægt?" Efter at eleverne selv har forsøgt at finde frem til ordets betydning, prøver læreren at støtte ved at sige: Lærer: "Er der flere ting, man kunne sige i stedet for? hvad betyder 'er lig med'." Elev: "Der er lige meget." Eleven forklarer, hvordan det skal forstås. Lærer: "Du har ræsonneret rigtigt, men har I svaret på, hvad der må gælde?" Efter en generel snak om forhold, der kunne være anderledes, fx noget om snyd, og da elevernes ræsonnementer er ved at tage en anden drejning, konkluderer læreren og fører ved hjælp af vægten bevis for sin konklusion: Lærer: "Pigen og drengen må have været lige tunge, og taskerne er lige tunge." Lærer finder vægt frem. Lægger to stykker karton på vægten, så der er ligevægt. Lægger en blyantspidser på den ene. "Hvordan kan vi finde ud af, hvad den vejer?" Elev lægger centicubes på. Elev: "Vi er jo nødt til at vide, hvad en af dem vejer." Lærer: "Det ved vi 1 g. Her har vi pigen (lægger centicubes på). Her har vi drengen (lægger centicubes på). De vejer det samme. Så skal vi have taskerne på (lægger centicubes på). 20

21 Stadig ligevægt. Det passer, det I sagde. Hvis vi kaster ¼ mælk til dem. Hvad må der ske med ligevægten?" Elev: "Hvis der kun var en, ville der være uligevægt." Lærer: "Hvis de skifter plads? Hvad hvis pigen hopper af, hvis pigen får en mælk?" Efter disse øvelser begyndte flere elever at forstå, at læreren havde et formål med opgaven, og at den fælles samtale ikke var en generel invitation til at snakke om hvad som helst, som nogle elever opfattede det som. Det kunne derfor tyde på, at flere elever ville have haft mulighed for at forstå, hvad baggrunden for samtalen var, hvis formålet med undervisningen var blevet ekspliciteret fra timens start. Så ville de måske ikke have brugt så meget tid på at tale om snyd, fordi de ville have forstået, at samtalen drejede sig om at give dem forudsætninger for at løse ligningsopgaver. Herefter sagde læreren: Lærer: "Nu skal vi lave det her om til matematik. Hvis der er noget, der er det samme, hvordan kan man så skrive det?" Elev: "Plus, pi." Elev: "Er lig med" Elev: "Så er der større end og mindre end." Lærer: "P = D, D = P. Der gælder det samme. Mælk + D = P + mælk passer det? Hvad gjaldt der?" Elev 4: "Det tror jeg godt man kan. Man må godt bytte om på addenderne." Læreren konkluderede derefter på opgaven. Ovenstående forløb kan ses som et udtryk for det, som især Pauline Gibbons har formuleret i sætningen Don t start with the text. Med dette mener hun, at eleverne skal have erfaringer med stoffet, før de kan læse sig til det. I forløbet prøver læreren netop ved hjælp af forsøg med vægten og gennem fælles samtale, hvor eleverne tager udgangspunkt i deres hverdagsforståelse og hverdagssprog, at få eleverne til at ræsonnere sig frem til, hvad ligevægt er. At alle dog ikke på trods af samtalen og eksperimenterne har forstået, hvad hensigten er med samtalen, vidner svarene "Plus, pi" og "Så er der større end og mindre end" om, da læreren spørger, hvordan man matematisk skriver, at noget er det samme. Den fælles samtale varede mere end en halv time, hvilket fik mange elever til at falde fra undervejs. Måske kunne en organisering af eleverne i mindre grupper med selvstændige opgaver, have bibragt flere elever denne viden hurtigere. Gibbons fremhæver i sin didaktik netop vigtigheden af, at eleverne får mulighed for at formulere sig i et situationsafhængigt her og nu sprog, at de herefter lærer fagsproget, og i et situationsuafhængigt refererende sprog udtrykker sig såvel mundtligt som skriftligt. Det fremmer tænkningen og dermed forståelsen selv at anvende sproget (Gibbons 2002: 40-50). En organisering i mindre grupper, der hver især eksperimenterede og efterfølgende refererede for klassen ville tilgodese disse forhold. Herefter kunne læreren vise, hvordan elevernes erfaringer kunne omformuleres til en matematisk terminologi. På denne måde ville læreren være med til at udvikle elevernes hverdagssprog og hverdagserfaringer hen imod et fagsprog og en faglig viden om ligninger. Det næste undervisningseksempel er et eksempel på, hvordan bevidst undervisning med inddragelse af det mundtlige sprog som omdrejningspunkt kan være med til at stilladsere elevernes læring. 21

22 5. klasse: Det mundtlige sprog som forudsætning for læseforståelse På en skole i kommunen kører lærerne i perioder niveaudelte hold i matematik på tværs af tre 5. klasser. Et af disse hold bestod af de 9 elever fra de tre 5. klasser, der havde sværest ved matematik. Holdet blev kaldt et forklaringshold. I aktionslæringsperioden havde holdet fokus på multiplikation. For lærer og læsevejleder på dette hold var et af formålene, at eleverne blev sat i situationer, hvor de gennem brug af sproget udviklede metakognition. I undervisningen var der derfor særligt fokus på det mundtlige sprog som kilde til tænkning og sproglig ræsonneren. Helt i tråd med med Vygotskys forskning, der fremhæver: Sproget tjener ikke som udtryk for den færdigsyede tanke. En tanke, der omsættes i sprog, omstruktureres og forandres. Tanken udtrykkes ikke i ordet. Den forløber i ordet. (Dysthe, 1997: 91) Såvel den norske læseforsker Ivar Bråten som den australske forsker Pauline Gibbons fremhæver elevernes mundtlige sprogkompetence som betydningsfuld for læseforståelsen (Bråten, 2008: 55, Gibbons, 2002: 14). På holdet var en af elevernes opgave fx to og to i en 'walk and talk' at forklare boblerne i nedenstående opgave til multiplikationsstykket 3 x 4: Flere af eleverne var hurtigt færdige, men havde ikke forstået kompleksiteten i opgaven, idet de forklarede sammenhængen i et hverdagssprog, fx "det er en lineal" eller som additionsopgaver, men en af eleverne forstod, at boblerne var udtryk for forskellige repræsentationer af produktet 3 x 4 og forklarede: "Her står 4 tre gange og her 3 fire gange. Her er 3 på den side og 4 på den anden side. Så kan man regne arealet ud. Her er flaskerne sat op med 4 i hver række, så behøver man ikke at tælle hver enkelt. Her er en tallinje, hvor man hele tiden springer 4 op tre gange." På holdet blev der løbende arbejdet med mange forskellige praktiske øvelser med multiplikation, fx forskellige former for matematikspil, tabeløvelser og tabelkrig som kortspil, hvor også den sproglige dimension var opprioriteret. Til sidst i forløbet skulle eleverne lære at multiplicere et tocifret tal med et encifret tal. At det faldt eleverne rigtig svært, viser denne lille dialog mellem lærer og elev: Lærer: "Hvordan regner vi denne her type opgaver, 82 x 4?" Elev: "4+2, nej 4+8, nej 4x2." Derfor besluttede læsevejleder og lærer ved den reflekterende samtale at prøve, om det kunne støtte elevernes metakognitive udvikling, at læreren foruden at lade eleverne sætte ord på deres ræsonneren skrev, hvad der blev gjort, således at fremgangsmåden både blev skrevet og ekspliciteret 22