# 21. orbit. Oktober Energy and CO 2. Efficient Scheduling Måling af produktivitet Boganmeldelse - Blackett s War

Transkript

1 orbit # 21 Oktober 2013 Energy and CO 2 Efficient Scheduling Måling af produktivitet Boganmeldelse - Blackett s War

2 leder ORbit medlemsblad for Dansk Selskab for Operationsanalyse og Svenska Operationsanalysföreningen Leder Efteråret er over os og undervisningen er godt i gang rundt om på universiteterne. Forskningen kører på højtryk og med det forestående Horizon 2020, er der store penge på spil. Overalt på universiteterne dannes alliancer og udføres lobbyarbejde i håbet om at få en del af kagen. Redaktion: Ansv. Sanne Wøhlk (sw) Tor Fog Justesen (tfj) Jesper Larsen, DORS (jla) Tomas Gustafsson, SOAF (tg) DORS DTU Management, bygn. 424 Danmarkt Tekniske Universitet DK-2800 Kgs. Lyngby Telefon: Fax: orbit@dorsnet.dk Næste deadline: 15. Marts 2014 Tryk: Trykcentret Aps Finanskrisen har endnu ikke sluppet sit tag, men vores nyudsprungne kandidater melder om et godt og aktivt jobmarked, så mon ikke der er håb forude for det danske erhvervsliv. Alt imens verden raser af sted udenfor, er ORbit 21 nu klar. Lad os få en forsmag på, hvad vi har i vente: De fleste af os har ofte hørt, at der var operationsanalyse involveret i anden verdenskrig. Men de færreste af os kender nok detaljerne omkring dette. I denne udgave af ORbit bringer vi en anmeldelse af en ny bog, der beskriver hvordan operationsanalyse blev udviklet og brugt i krigens tjeneste. I det internationale operationsanalysemiljø er der stadig større fokus på den offentlige sektor. ORbit følger med på denne bølge og kigger den offentlige sektor efter i sømmene i to artikler. Her ser vi hvordan der opgøres og sammenlignes på tværs af enheder. Endvidere sættes der spørgsmålstegn ved den anvendte praksis. Dette er blot et lille udvalg af de spændende ting, du kan læse om i ORbit 21. God læselyst, Oplag: 330 ISSN Forside: Sanne Wøhlk Ansvarshavende redaktør Aktuelt om DORS Medlemsskab Kontingentsatser for 2013 Personlige medlemmer (incl. ph.d.-studerende): Studerende: Firmamedlemmer: Institutmedlemmer: 270 kr./år 60 kr./år 3200 kr./år 1800 kr./år Sekretariat DORS DTU Management Bygning 424 Danmarks Tekniske Universitet, 2800 Kgs. Lyngby dors@dorsnet.dk Internet: 2 ORbit 21

3 indhold Bästa SOAF-medlemmar! Sommaren har gått och nu är hösten här, och med den kommer nya friska tag med SOAF! Det har varit ett händelserikt år, och SOAF har bland annat arrangerat fem seminarier inom områden som sträcker sig från rangering av godsvagnar, via robust optimering och schemaläggning av klassrum till simuleringslösningar för bipolär sjukdom. På årsmötet den 6:e mars, som hölls i SICS Swedish ICTs lokaler i Kista och leddes av ordförande Olov Lindfeldt, bjöds deltagarna på tre intressanta föredrag av Stefan Bengtsson (Stockholms Läns Landsting), Olov Lindfeldt (Vectura Consulting) och Emil Gustavsson (Chalmers). Vid årsmötet delades också 2012 års exjobbspris ut till Evanthia Kazagli, som deltog via videolänk från Schweiz. Evanthia har, som student vid avdelningen för trafik och logistik vid KTH, utvecklat en metod för att uppskatta aktuella bilrestider från automatisk nummerplåtsidentifiering i innerstadsmiljö. Metoden ger körtider både för fordon som kört direkt mellan mätpunkter, och sådana som stannat, t.ex. för ärenden. Vidare avtackades Martin Joborn och Johanna Törnquist Krasemann, som båda varit aktiva inom SOAF under många år. Vi tror och hoppas på ett fortsatt långt samarbete och önskar dem lycka till framöver! In i SOAFs styrelse valdes Anders Peterson (Linköpings Universitet), Malin Forsgren (SICS) och Riitta Räty (FOI). SOAFs intressegrupp för underhållsfrågor har också träffats, denna gång på Scania i Södertälje, där vår värd Klas Olofsson berättade om hur man arbetar aktivt med underhåll av lastbilar och bussar, och hur man funderar kring tjänster runt detta. Pontus Slottner från Siemens höll också han ett föredrag om hur man arbetar runt underhåll av gasturbiner. Mötet resulterade i att en ansökan om finansiering för en förstudie kring framtidens tjänster inom underhåll skickades in och beviljades under våren. Förstudien finansieras av VINNOVA och leds av dr. Åsa Rudström vid SICS. Indhold Redaktøren har ordet 2 SOAF 3 Energy and CO2 Efficient Scheduling of Smart Home Appliances 4 Bemandingsplanlægning i Københavns Lufthavn 9 Tre gode på hylden 12 SOAF Exjobbspris i Operationsanalys DORS pris Anvendelse af operationsanalyse og lineær programmering til måling af produktivitet 16 Tristan VIII 22 Book Review: Blackett s War 25 Rättvisande upphandling - en förutsättning för en väl fungerande offentlig sektor 28 SOAF Medlemsavgifter 2013: Jag och Anders Peterson representerade också SOAF vid EUROs årliga konferens, som i år samarrangerades med INFORMS vid Europas största universitet, La Sapienza i Rom. Konferensen var mycket lyckad och ett flertal av SOAFs medlemmar närvarade och höll presentationer. Tydligt från konferensen är att Analytics (svensk term saknas för närvarande, Analytik är det närmaste man kommer ) är ett nytt växande område som har kommit för att stanna. Under tidig höst har styrelsen träffats i Västerås för att diskutera SOAFs arbete under de kommande åren. Vi diskuterade bland annat möjligheterna att införa ett nytt pris för bästa OA-tillämpning, samt nya intressegrupper och hur det ska gå till att starta dessa. Grupper som kan vara intressanta finns bland annat inom analytics, energi, och kollektivtrafik. Det är mycket möjligt att även andra intressegrupper kan vara aktuella. Värt att notera är att du som medlem också kan starta och driva en intressegrupp med stöd från SOAF. Om du känner dig intresserad av detta eller någon existerande intressegrupp så tveka inte att kontakta mig eller någon annan i styrelsen! I övrigt ser jag fram emot en höst med många spännande aktiviteter inom operationsanalys! Individuella medlemmar (inkl. ORbit): 150 kr Juniormedlem (exkl. ORbit): 75 kr Akademiska institutioner (3 ORbit): 1500 kr Företag med 1-5 intressenter (2 ORbit): 1500 kr Företag med 6-10 intressenter (4 ORbit): 3000 kr Företag med fler än 10 intressenter (6 ORbit): 4500 kr Betala in på postgiro: (Svenska Operationsanalysföreningen) Markus Bohlin sekreterare@soaf.se Ordförande SOAF Internet: ORbit 21 3

4 artikel By Kin Cheong Sou Energy and CO 2 Efficient Scheduling of Smart Home Appliances Introduction A major goal of smart grid technology (e.g., smart meters) is to provide consumers with demand response signals such as electricity tariff and CO 2 footprint so that the consumers can consciously control their electricity consumption patterns. These demand response signals provide incentives for the consumers to help reduce peak energy demand by load balancing, as this is particularly relevant in a situation with high level of renewable energy penetration. However, the volume of information can be overwhelming for the consumers. Further, in some situa- tions minimization of electricity bill and CO 2 emission can be conflicting goals, and a trade-off analysis is required. To enable the consumers to participate in smart grid effort this article describes a decision-aiding framework for optimal household appliances scheduling and trade-off analysis through Pareto front exploration. The research described by this article is funded by VINNOVA (Swedish Governmental Agency for Innovation Systems), and it is within the context of the Stockholm Royal Seaport Project (SRS) where a part of Stockholm (Norradjurgårdsstaden) is being converted into an urban smart grid testbed with 12,000 new homes equipped with energy saving and environmentally friendly innovations such as smart appliances, photovoltaic cells, batteries, and the supporting automatic decision systems. See Figure 1 for an artistic illustration of the Stockholm Royal Seaport upon completion in In general, electricity tariff is positively correlated with CO 2 footprint. This is, however, not always the case in certain countries including Sweden. During daytime Sweden utilizes its relatively clean energy sources such as hydro power plants and nuclear power plants. However, during nighttime Sweden imports relatively inexpensive but CO 2 intense energy from countries such as Germany and Poland whose primary energy sources are combustive fuel power plants (IEA 2011). See Figure 2 for an illustration of a case where the electricity tariff and CO 2 footprint do not positively correlate. The situation in Figure 2 presents a trade-off for the consumers who desire to simultaneously minimize their electricity bills and CO 2 emission. This tradeoff can be studied through the Pareto front (i.e., the set of all Pareto optimal solutions). See Figure 3 for an illustration of Pareto front. Figure 2. Electricity tariff and CO 2 footprint in Sweden on January 5th, Tariff data is taken from Nordpool Spot ( CO 2 footprint data is obtained from (Kristinsdóttir 2012). The demand response signals are piecewise constant, with possible jumps at the beginning of each hour. Appliances Scheduling Problem Setup In the scheduling framework in this article, the operation process of an app- 4 ORbit 21

5 artikel Figure 1. An artistic illustration of the Stockholm Royal Seaport upon completion in About 12,000 new homes and 35,000 new work spaces will be available. The Stockholm Royal Seaport Project has ambitious environment goals, and it is one of 18 urban development projects that form part of the Clinton Climate Initiative s global Climate Positive Development Program. liance is divided into a set of sequential energy phases. An energy phase is a sub-task of the appliance operation, and it is uninterruptible. That is, once an energy phase starts, it must continue until it is finished. The time dependent power assignment to all energy phases is referred to as a power profile (for an appliance) (Rugo 2010). See Figure 4 for an illustration of the energy phases of a washing machine. In this article, the models of the energy phases are simplified: each energy phase requires a pre-specified amount of time to process and the power it can be assigned is constant and prespecified. Therefore, the only decision variables regarding the scheduling are the start times of the energy phases. However, the assignment of the start times cannot be arbitrary since certain constraints must be observed. The energy phases are sequential since an appliance sub-task cannot begin until the previous sub-task is completed (e.g., the washing machine agitator cannot start until the basin is filled with water). In addition, there can be delays between the energy phases for an app- Figure 3. Each point on the blue line and to its northeast corresponds to the electricity bill and CO 2 emission for a specific schedule of the appliances. Points on the blue line are Pareto optimal. A point is Pareto optimal if there is no other point whose electricity bill and CO 2 emission are no worse, and better in at least one regard. The Pareto optimal points in the upper-left corners correspond to the cheap schedules, whereas the Pareto optimal points in the lower-right corners correspond to the clean schedules. Points to the southwest of a Pareto optimal point are not achievable, and points to the northeast of a Pareto optimal are not worth considering. ORbit 21 5

6 artikel Figure 4. The eight energy phases constituting the operation process of an example washing machine (movement, pre-heating, heating, etc.) (Rugo 2010). liance (e.g., the washing machine agitator can delay starting after the basin is filled, but the delay cannot be longer than ten minutes). Furthermore, there can also be a temporal relationship between appliances (e.g., the dryer cannot start before the washing machine finishes). On top of the temporal precedence constraints, the household users can specify preferences that each appliance should be run within a corresponding time interval (e.g., the laundry must be completed by 17:00). With the decision variables and constraints defined, the objective of the scheduling problem is to minimize both the electricity bill and the CO 2 emission resulted from the operation of the appliances. However, as mentioned before, the minimization of the two objectives might be conflicting. Therefore, our goal is to obtain the set of all Pareto optimal solutions, which form the Pareto front. Characterization of Pareto Front Many procedures are available to find the Pareto front. This article focuses on a method called ε-constraint method (Haimes et al. 1971). In this method, any Pareto optimal solution can be written as the optimal solution of a member of the following family of problems (parameterized by a scalar ε k ): (PO) : minimize subject to total CO 2 cost of all energy phases total electricity cost of all energy phases ε k other constraints (e.g., temporal precedence constraints), where ε k is the electricity cost budget that parameterizes the family of Pareto optimal solution problems. By solving (PO) with different values of ε k the Pareto front (see Figure 3) can be obtained. Solving for Pareto Optimal Solutions It is relatively simple to formulate optimization problem (PO) into a mathematical programming problem because the temporal precedence constraints are linear constraints with respect to the start time decision variables. The derivation of the CO 2 and the electricity costs as functions of the start time decision variables requires some elaboration. To obtain these costs, the demand response signals such as CO 2 footprint and electricity tariff need to be integrated. When the demand response signals are piecewise constant as shown in Figure 2, the simplified assumption on the power requirement of the energy phases implies that the integration can be carried out in a relatively straightforward manner. The outcome is that the CO 2 (or electricity) cost functions with respect to the start time decision variables are piecewise linear, though they are not necessarily convex. Mathematical programming models to describe non-convex piecewise linear functions are well known. For instance, the graph of a piecewise linear function is composed of line segments. Points in each segment can be described as the convex combinations of the two end points (i.e., the points where the slope changes). This condition can be imposed by the use of binary decision variables (e.g., Tsitsiklis et al. 1997) or special ordered set type 2 (SOS2) constraints (Beale et al. 1970). Therefore, the mathematical programming model for problem (PO) can be written as either a mixed integer linear program or a linear program with SOS2 constraints. Both of these models can be handled by solvers such as CPLEX. The scheduling problem model described in this article admits certain extensions. For instance, it is possible to remove the assumption that the demand response signals are piecewise constant as shown in Figure 2. In this case, neither the mixed integer programming model nor the SOS2 model is sufficient to represent the problem. Nevertheless, dynamic programming can be applied to solve the scheduling problem in this general case (Sou et al. 2013). An alternative formulation is also possible, where the scheduling time horizon is discretized into time slots and a detailed power assignment can be made for each time slot. This formulation is more flexible 6 ORbit 21

7 artikel than the scheduling model described in this article. However, the computation requirement to solve the alternative model is more demanding (Sou et al. 2011). Case Study and Implementation The case study considers an apartment with three typical appliances (i.e., washing machine, dryer and dishwasher). The demand response signals are shown in Figure 2, corresponding to the electricity tariff and CO 2 footprint in Sweden on January 5th, 2010 (a very cold day in Sweden). The washing machine is scheduled to finish working before the dryer can start. Furthermore, the user time-preference specifies that the washing machine and dryer must operate between 0:00 and 23:00, and the dishwasher must operate between 19:00 and 24:00. Figure 3 shows the Pareto front with ten Pareto optimal solutions. In this case study, while the electricity costs of the schedules do not differ too much, the different schedules can lead to very different CO 2 costs. The schedules corresponding to points A and B (in Figure 3) are shown in Figure 5 and Figure 6, respectively. Point A corresponds to a cheap schedule where the main objective is to minimize electricity cost. On the contrary, point B corresponds to a clean schedule where the main objective is to minimize the CO 2 cost. The scheduling results agree with intuition. Because of the user time preference constraint (usage between 19:00 and 24:00) the dishwasher is scheduled towards the end of the day. However, the schedules for the washing machine and dryer can vary more drastically. For the cheap schedule in Figure 5 the two loads are scheduled during the earlier hours of the day because of the electricity is least expensive, even though it can be CO 2 costly. On the other hand, for the clean schedule in Figure 6 the loads are scheduled in the valleys of the CO 2 footprint curve. The implementation of the scheduling algorithm described in this article is the outcome of an undergraduate summer student project at KTH Royal Institute of Technology in It was showcased at Tsinghua University in China during the Sweden-China Innovation Week in Furthermore, within the Stockholm Royal Seaport Project our appliances scheduling algorithm will be evaluated in the Active House testbed in Norradjurgårdsstaden in Stockholm, towards the end of The Active House was visited by the prime ministers of Nordic countries in May 2013 (Figure 7). Figure 5. Appliances operation schedule corresponding to point A in the Pareto front in Figure 3. This schedule aims to minimize electricity cost. Figure 6. Appliances operation schedule corresponding to point B in the Pareto front in Figure 3. This schedule aims to minimize CO 2 cost. ORbit 21 7

8 artikel Figure 7. The Active House was visited by the prime ministers of Nordic countries (Fredrik Reinfeldt, Helle Thorning-Schmidt, Jyrki Katainen) on May 13, Conclusion The new sensing, communication and computing capabilities of smart grid could not be fully utilized without the associated improvements in information processing and decision-making. Operation research lies in the heart of these smart grid technology-enabling developments, as demonstrated by the appliances scheduling story described in this article. Nevertheless, the story described in this article is merely a sample of the broad application potentials of operation research to smart grid. Smart grid innovations such as data security, network resilience, renewable energy sources management can be benefited greatly from the participation of the operation research community. References SRS, Stockholm Royal Seaport Project, IEA 2011, International energy agency (2011). Monthly electricity statistics - November [Online]. A. Kristinsdóttir, CO 2 Avtryck, 2012, Royal Institute of Technology, Industrial Ecology, School of Industrial Engineering and Management. A. Rugo, Power profiles for smart appliances, Private communication, ELEC- TROLUX ITALIA S.P.A., Y. Haimes, L. Lasdon, and D. Wismer, On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system optimization, Systems, Man and Cybernetics, IEEE Transactions on, vol. SMC-1, no. 3, pp , July J. Tsitsiklis and D. Bertsimas, Introduction to Linear Optimization. Athena Scientific, E. Beale and J. Tomlin, Special facilities in a general mathematical programming system for non-convex problems using ordered sets of variables, in Proceedings of the Fifth International Conference on Operational Research (Tavistock Publications, London, 1970), 1970, pp K.C. Sou, M. Kördel, J. Wu, H. Sandberg, and K.H. Johansson, Energy and CO2 efficient scheduling of smart home appliances, in European Control Conference, K.C. Sou, J. Weimer, H. Sandberg, and K.H. Johansson, Scheduling smart home appliances using mixed integer linear programming, in Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC), th IEEE Conference on, Dec. 2011, pp Kin Cheong Sou, received a Ph.D. degree in Electrical Engineering and Computer Science at Massachusetts Institute of Technology in Since 2013 Dr. Sou has been an assistant professor with the Department of Mathematical Sciences at Chalmers University of Technology and the University of Gothenburg, Gothenburg, Sweden. His research interests include power system cybersecurity analysis, environment aware building and community, convex/nonc o n v e x optimization and model reduction for dynamical systems. 8 ORbit 21

9 artikel Af Sissel Bayer Nielsen Bemandingsplanlægning i Københavns Lufthavn DORS prisen 2012 går til Sissel Bayer Nielsen fra DTU management. Bedømmelses kommiteen skriver at»specialet især udmærker sig ved at præsentere yderst gode praktiske resultater med besparelser på op til 10% af lønomkostningerne i forhold til den nuværende løsningsmetode.«redaktionen sender et stort tillykke til Sissel og hendes vejledere Jesper Larsen og Mette Gamst. Hver dag står lufthavne overfor en lang række planlægningsopgaver ved eksempelvis håndtering af fly, passagerer, baggage mv. Mandskabsplanlægning er en større problemstilling, og mit speciale evaluerede mandskabsplanlægningen i Central Security Checkpoint (CSC) afdelingen i Københavns Lufthavn, primært ved hjælp af matematisk modellering og sekundært ved brug af forandrigsledelsesteori. CSC afdelingen i Københavns Lufthavn håndterer screening af håndbagage for omtrent passagerer dagligt. Området består bl.a. af 16 spor og et køområde, hvor medarbejderne arbejder i hold af 4 personer, som hver dækker et enkelt spor. Estimater af bemandingsbehov for 7x24 timer, niveauer for løn og tillæg, regler for valg af vagttyper og den overordnede problemstilling var givet af Københavns Lufthavns afdeling for Planlægning og Analyse. Problemstillingen var at evaluere og analysere dækningen af bemandingsbehovet i CSC afdelingen i et 24-timers perspektiv. I alt præsenterede specialet fem (mixed) heltalsmodeller, og de tilsvarende løsninger virkede som grundlag for analyser af Figur 1: Eksempel på bemandingsbehov. forskellige forbedringsmuligheder for planlægningen af overog underbemanding, frokostpauser, design af vagttyper og udvalget af vagttyper. Opgaven blev delt i to tilgange: en tilgang med fokus på pauseplanlægning og bemandingsniveau, og en tilgang der fokuserede på design og valg af vagttyper. Pauseplanlægning og bemandingsniveau Pauseplanlægning og bemandingsniveau blev analyseret ved brug af tre forskellige modeller; 1) en over/ underbemandingsmodel (kaldet bemandingsmodellen), som inkluderede overvejelser omkring prisen på de enkelte bemandingsniveauer, 2) en pausemodel, der inkluderede en diskussion af valget af pausevinduer, 3) og til sidst en kombineret pause- og bemandingsmodel. Tidsfaste pausevinduer til måltider omkring kl. 12 og kl. 18 blev holdt op imod planlagte pauser i midten af hver vagttype. De to muligheder gav ikke de store optimeringsmæssige forskelle, men et arbejdsmiljøperspektiv blev diskuteret ud fra spørgsmålet om en medarbejder ville fortrække pause omkring normale tidspunkter for måltider eller om det var mere hensigtsmæssigt med pause i midten af vagterne. Dette spørgsmål var særligt interessant, da vagter eksempelvist kunne starte kl. 4 om morgenen, men først kunne lægge en længere pause ind omkring kl. 12, altså 8 timer efter vagtens begyndelse. Selvom pausemodellen viste forbedrede resultater i forhold til en given løsning fra Københavns Lufthavn (kaldet CPH løsningen), gav både bemandingsmodellen og den kombinerede ORbit 21 9

10 artikel Kilde: model langt mere lovende resultater. En sammenligning af disse og senere resultater gives i figur 2. Bemandingsmodellen gav særligt gode resultater og kunne løses på få sekunder. Denne kunne derfor betragtes som en god kandidat til implementering i lufthavnen. I forhold til CPH løsningen kunne bemandingsmodellen finde en løsning, der benyttede lidt mere underbemanding til fordel for at skære en del i overbemandingstimerne. Design og valg af vagttyper Formålet med at konstruere modeller til design af vagttyper var dels at kunne konstruere og vælge mellem alle mulige vagttyper, og dels at sammensætte det optimale vagttypesæt. To modeller blev udviklet: En grundlæggende vagttypedesignmodel baseret på bemandingsmodellen og en alt-i-én model, der var baseret på den kombinerede pause- og bemandingsmodel. Begge modeller blev løst ved søjlegenerering, der er en metode, som iterativt finder og tilføjer en god vagttype til et eksisterende sæt af vagttyper. Herved var det ikke nødvendigt at generere alle vagttyper og det var samtidig muligt at udbygge et vagttypesæt med én god vagttype ad gangen (med forbehold for at denne vagttype eksempelvis gjorde andre vagttyper i sættet overflødige). Som det ses i det højre billede i figur 2, gav disse modeller løsninger, der lagde sig op ad bemandingsbehovet med næsten 100 % nøjagtighed. Disse løsninger kunne dog ikke betragtes som egnede til implementering i den virkelige verden, da det ville medføre mere end 200 forskellige vagttyper, hvoraf langt de fleste var af 6 timers varighed (vagttyper var begrænset til at vare minimum 6 timer). CPH løsningen benyttede til sammenligning 14 forskellige vagttyper på mellem 7 og 12 timers varighed. På figur 2 ses et eksempel på løsninger fra de beskrevne modeller. CPH løsningen ses på begge billeder og de massive områder illustrerer bemandingsbehovet for en given ugedag. Det venstre billede viser, hvordan pause-, bemandings- og den kombinerede model ville kunne forbedre planlægnin- Figur 2: Sammenligning af resultater fra hhv. bemandings- og pausemodeller samt vagttypedesignmodeller. 10 ORbit 21

11 artikel Figur 3: Udnyttelsen af vagttyper. gen, men som det ses på højre billede i figur 2, indikerede søjlegenereringstilgangen, at der kunne være en fordel i at vælge frit mellem alle kombinationer af vagttyper. Hvis man summerede hvor mange gange de enkelte løsninger ville anvende de givne vagttyper, viste der sig en tydelig tendens (se figur 3); Nogle vagttyper blev anvendt af alle pause-, og bemandingsmodeller, mens andre stort set ikke blev anvendt. Denne analyse og behovet for et begrænset antal vagttyper i løsningen, gav anledning til at se nærmere på det specifikke vagttypesæt. Forskellige alternative vagttypesæt blev fundet og analyseret ved tre forskellige fremgangsmåder; 1) ved at finde gode vagttyper baseret på søjlegenereringens ubegrænsede udvalg af vagttyper, 2) ved at finde gode vagttyper baseret på det gennemsnitlige daglige behov og 3) ved at begrænse antallet af vagttyper genereret ved søjlegenerering. Analysen gav et generelt billede af, at jo flere vagttyper der blev inkluderet i vagttypesættene, des bedre kunne man planlægge. Ingen af de alternative vagttypesæt gav signifikant bedre resultater, hvilket indikerede at Københavns Lufthavns valg af vagttyper var relativt godt, når man ikke tillod større vagttypesæt. De mest lovende alternative vagttypesæt var dels genereret ved udskiftning af de ubenyttede vagttyper i figur 3, og dels genereret ved benyttelse af det gennemsnitlige behov. Forandringsledelsesteori Forandringsledelsesteori blev især anvendt ved diskussioner omkring implementering af de foreslåede forbedringer. Da pauser ikke var en specificeret del af planlægningen på forhånd, blev implementering af planlagte pauser diskuteret. Introduktionen af planlagte pauser blev betragtet som en risiko for arbejdsmiljøet og i mulig konflikt med den eksisterende pausekultur. Ændrede pausevinduer ville eksempelvis kræve, at medarbejdere måtte tage frokostpause udenfor medarbejderkantinens åbningstid. Det blev foreslået at en sådan implementering skulle foregå samtidigt med en eventuel implementering af nye vagttyper. Teorien understøttede, at forandringer kan vise sig mere effektive når man sætter ind flere steder samtidigt, da mindre forandringer kan have svært ved at rodfæste sig i en eksisterende og eventuelt modstridende kultur. Til implementering af større vagttypesæt blev en PDSA cyklus (Plan-Do-Study- Act cycle) foreslået. PDSA er en iterativ fremgangsmåde, der sikrer læring fra tidligere iterationer og giver mulighed for en gradvis udvidelse af det anvendte vagttypesæt. Der blev desuden lagt vægt på behovet for løbende feed back fra medarbejderne, for at opnå en succesfuld implementering af de foreslåede forandringer. Specialet præsenterede dermed forskellige muligheder for forbedret mandskabsplanlægning i CSC afdelingen. Nogle forslag forudså større besparelser og andre lagde vægt på arbejdsmiljø og kulturelle forhold omkring planlægningen. Bemandingsmodellen viste umiddelbare forbedringer, mens pausemodellen kunne fungere som daglig beslutningsstøtte. Med størrelsen af det anvendte vagttypesæt taget i betragtning, kunne vagttypemodellerne kun finde mindre forbedringer. Alle foreslåede forandringer i mandskabsplanlægningen ville kræve et tæt samarbejde mellem de involverede aktører. Sissel Bayer Nielsen har en bachelor i Matematik og Teknologi og en master i Management Engineering med speciale i Operationsanalyse. Siden studiet har hun været ansat i Deloitte Consulting, hvor hun i dag arbejder som konsulent inden for it-projektledelse. ORbit 21 11

12 Tre gode på hylden Tre gode operationsanalyse-bøger anbefales denne gang af Kim Allan Andersen, professor ved CORAL, Institut for økonomi, Aarhus Universitet. Integrated Methods for optimization af John N. Hooker, Second edition, Springer-Verlag, Bogen er tænkt som en indvielse i, hvorledes principperne er bag kommercielle solvere af lineære og blandede lineære programmeringsproblemer og af constraint programmering. Bogen lægger ud med at beskrive en del forskellige eksempler indenfor forskellige genrer som produktionsplanlægning og sekventering. De enkelte eksempler præsenteres, der laves en matematisk model, og det vises hvorledes inferens og søgning udføres. Disse eksempler skal ses som en motivation for den resterende del af bogen, hvor de nævnte emner netop tages op. Der bruges en del krudt på at gennenmgå mange forskellige typer af dualitet (jeg vil tro, at bogen dækker det meste af det, vi ved om dualitet). Endvidere gennemgås mange forskellige søgemetoder, ligesom forskellige typer af inferensog relaksationsmetoder bliver beskrevet i detaljer. Jeg er ikke sikker på, at bogen er velegnet til undervisningsbrug, men den er helt sikkert et godt opslagsværk indenfor de her nævnte emner. 12 ORbit 21

13 Multicriteria optimization af Matthias Ehrgott, Second edition, Springer, Denne bog er efter min opfattelse den hidtil bedste bog på markedet, som omhandler flerkriterie optimering. Bogen giver en god gennemgang af forskellige begreber og egenskaber ved flerkriterie problemer. I bogen beskrives en del forskellige løsningsmetoder, der kan anvendes ved løsning af flerkriterie problemer. Dette gælder primært for lineære flerkriterie problemer, samt for kombinatoriske problemer. Med hensyn til det sidste gennemgås der en række løsningsmetoder til forskellige klassiske kombinatoriske problemer med flere kriterier såsom korteste vej problemet, assignmentproblemet, rygsækproblemet, minimalt udspændende træ samt travelling salesman problemet. Bogen kan godt bruges som lærebog i et kursus i flerkriterie analyse, men den skal i så fald nok supperes med yderligere materiale. Bogen er meget velegnet som opslagsbog. Introduction to Stochastic Programming af John R. Birge og François Louveaux, Second edition, Springer, Denne bog giver en god introduktion til stokastisk programmering. Bogen giver en fornuftig oversigt over egenskaber ved stokastiske programmeringsproblemer. Bogen omhandler både lineære problemer, herunder problemer med heltallige variabler, samt ikke-lineære problemer. Endvidere behandler den forskellige løsningsmetoder samt approksimationsmetoder, som ofte kan vise sig at være nødvendige, da stokastiske programmeringsproblemer i praksis ofte kan være endog temmelig komplicerede at løse. Efter min opfattelse er bogen velegnet som lærebog, idet den er relativt let tilgængelig, og der er en del opgaver i bogen. Endvidere tjener den et godt formål som opslagsværk. ORbit 21 13

14 nyhed Svenska Operationsanalysföreningen (SOAF) OA-föreningens Exjobbspris i Operationsanalys 2013 Nomineringar till OA-föreningens Exjobbspris i Operationsanalys 2013 SOAF s årliga exjobbspris i Operationsanalys instiftades 2010 för att uppmuntra studenter inom området och hjälpa till att sprida högkvalitativa uppsatser. För att kunna deltaga ställs två krav: 1. En lyckad tillämpning på ett praktiskt problem (hos ett företag, myndighet e.d.). Lyckad innebär att studien har gjort nytta, d.v.s. att företaget (eller motsv.) har fått ett beslutsunderlag av värde. 2. Att man har använt en vetenskapligt sund metod, utan krav på att den ska vara metodmässigt revolutionerande. Priset kommer i formen av ett diplom och en premie på 3000 kr per exjobb. Pristagarna förväntas vidare presentera sitt exjobb på ett SOAF-seminarium. För att delta i tävlingen ska exjobbet vara godkänt under perioden från 1 november 2012 till 31 oktober Exjobbet skall sändas i elektronisk form samt som en papperskopia. Det ska åtföljas av ett brev från handledaren eller examinatorn där det motiveras varför just detta exjobb ska få priset. Deadline för insändande av exjobb för 2013 års pris är 30 november. Kontakt: P O Lindberg polin@kth.se 14 ORbit 21

15 nyhed Dansk operationsanalyseselskab (DORS) DORS pris 2013 DORS - Dansk Selskab for Operationsanalyse - beder hermed om indstillinger til Danmarks bedste speciale i operationsanalyse Et speciale kan kun indstilles af vejlederen og skal overholde at: - Specialet er skrevet ved et dansk universitet og involverer operationsanalyse. - Specialet er på dansk eller engelsk. - Specialet er forsvaret i Ved uddeling af DORS-prisen lægges vægten på analyse og løsning af praktiske problemer. Et speciale indstilles til DORS prisen ved at vejlederen senest 31. januar 2014 sender en til president@dorsnet.dk (Tor Justesen,formand for DORS) med følgende indhold: - Specialet. Vedhæftes som PDF. - Begrundelse for, at specialet bør vinde prisen. Max. 1 side. Skrives af vejlederen. Vedhæftes som PDF. - Karakteren for specialet. - -adresser og telefonnumre på alle specialets forfattere og på vejlederen. Dette sker efterfølgende: DORS nedsætter et udvalg på tre personer. Udvalget skriver inden slutningen af februar 2014 til vejledere og forfattere på de indstillede specialer med bekræftelser. Udvalget kårer et vinderspeciale og informerer alle deltagere inden udgangen af marts DORS-prisen uddeles ved generalforsamlingen for DORS til april Prisen er på 5000 kroner til deling mellem specialets forfattere. Det er en forudsætning for udbetalingen, at der laves en kort artikel til magasinet»orbit«om specialet. Skriv til bestyrelsen@dorsnet.dk hvis I har spørgsmål. ORbit 21 15

16 tutorial Af Ole B. Olesen Anvendelse af operationsanalyse og lineær programmering til måling af produktivitet 1 Introduktion Denne artikel giver en kort introduktion til en nyere metode til måling af produktivitet, som kaldes Data Envelopment Analysis (DEA), samt et par eksempler på hvordan metoden kan anvendes og bliver anvendt på den danske sygehussektor. DEA er oprindeligt udviklet i et operationsanalytisk miljø i Texas, USA, og mange af de pæne fortolkninger af resultater, som er mulige ved brug af DEA, baserer sig på dualitet i lineær programmering. De to centrale oprindelige referencer er (Charnes, Cooper and Rhodes 1978) og (Banker, Charnes and Cooper 1984), men der er i de efterfølgende år publiceret en ret omfattende litteratur inden for området. Det økonomisk teoretiske fundament daterer sig tilbage til et radialt produktivitetsmål foreslået af (Farrell 1957). Ideen bag DEA er ret simpel. Lad os antage at 4 virksomheder A, B, C og D producerer et enkelt homogent output ved hjælp af et enkelt input. Lad os betegne input som x og output som y. Den produktive performance er illustreret i Figur 1. Vi betegner mængden af mulige input output kombinationer med T = {(x,y) x kan producere y}. En meget anvendt DEA model er den såkaldte BCC-model, se (Banker et al. 1984). BCCmodellen anvender et udvidet konvekst hylster af de observerede input output kombinationer som en estimator af T. I relation til Figur 1 er estimatoren defineret som mængden hvor conv{... } er det konvekse hylster 1. har en simpel geometrisk fortolkning. Først konstrueres det konvekse hylster (polyhedronen A,C,D,B,A i dette simple eksempel) af de fire observerede virksomheders input og output. Til denne mængde mængde-adderer vi orthanten, og endelig snitter vi mængden med den positive orthant. Med udgangspunkt i tegningen er det tydeligt, hvordan denne model indhyller data. Denne BCC model kan som andre DEA modeller gives et aksiomatisk fundament. Vi antager, at vi ikke a priori ved ret meget om, hvordan produktionsfunktionen ser Figur 1: En Data Envelopment Analysis med variabel skalaafkast. ud. For at kunne analysere performance påstår vi, at produktionsfunktionen opfylder en række aksiomer. Disse aksiomer bør være almindeligt acceptable, de bør ikke pålægge unødvendige restriktioner på teknologien, men de bør på den anden side være stærke nok til at tillade, at analysen anviser interessante resultater. Lad igen mængden af mulige input output kombinationer være T. BCC-modellen baserer sig på følgende aksiomer: Axiom 1 Konveksitet: Hvis gælder at Axiom 2 Strong Disposability: a) Hvis (x,y) T, og x x, så gælder, at (x,y) T. b) Hvis (x,y) T, og y y, så gælder, at (x,y ) T. Axiom 3 Minimal Extrapolation: T er fællesmængden af alle mængder, som opfylder axiom i), ii) under den betingelse, at så 16 ORbit 21

17 tutorial alle observerede input output kombinationer tilhører T. Både virksomhed A, C og D er produktive i Figur 1, da disse tre virksomheder er placeret på randen af den stykvist lineære kurve, der indhyller data. Virksomhed B er uproduktiv, og et mål for graden af uproduktivitet fremkommer ved at beregne længden af linjestykket B3-B4 divideret med længden af linjestykket B-B4. Denne ratio giver os et mål for, hvor stor en andel af virksomhed B s omkostninger, som virksomheden burde anvende for at være lige så produktiv som en kombination af to af de bedste virksomheder, nemlig A og C. I figuren er ratioen ca. lig 0.5, og B burde derfor kunne nøjes med at anvende 50% af sine aktuelle omkostninger. Den oprindelige DEA model fra (Charnes et al. 1978) er en konstant skala afkast model. Det aksiomatiske fundament for denne model fremkommer ved at tilføje følgende axiom som selvstændigt aksiom, samt ved at tilføje aksiomet i listen af aksiomer givet i Aksiom 3. Axiom 4 Ray unboundedness: Hvis (x,y) T, så. 2 Beregning af produktivitet ved hjælp af en DEA model. Lad os kort betragte den generelle situation, hvor vi sammenligner n virksomheder, og hvor den j te virksomhed anvender en m-dimensional input vektor til at producere en s-dimensional output vektor, j=1,, n. Lad os opstille et lineært programmeringsproblem, som måler den mulige proportionale sammentrækning af input af den o te virksomhed, hvor o {1,..., n}. Vi anvender her BCC modellen, som hviler på Aksiom 1,2 og 3. LP-problemet har følgende udseende med en tilhørende dual formulering hvor Model (1) kan alternativt skrives som: min, s.t. ( X o, Y o ) Formuleringen i (3)-(4) kan nu gives følgende fortolkning: den optimale værdi i (3)-(4) anviser den mulige proportionale sammentrækning af de m inputs X o fra den o te virksomhed, under bibetingelser, der sikrer, at X o stadig kan producere Y o, dvs ( X o,y o ) T. For at kunne vurdere dette, skal vi have en estimator af produktionsmulighedsområdet T, og her anvender vi angivet i (4), som er det udvidede konvekse hylster. Det duale program i (2) har ganske mange pæne fortolkninger. Lidt forsimplet er i (4) et konvekst hylster af alle de observerede input output kombinationer mængde-adderet til. Denne polyhedrale mængde kan enten skrives på sum-form eller på intersektion-form. På sumform er mængden udtrykt som alle konvekse kombinationer af ekstrempunkter adderet til alle ikke negative linearkombinationer af ekstremstråler. På intersektion form er mængden udtrykt som en fællesmængde af et endeligt antal halvrum. En optimal baseløsning ( ) til (2) anviser et af de halvrum, som anvendes i intersektion-formuleringen af. Med andre ord er et støttehyperplan til. H er en såkaldt facet af og den produktive frontier, som anvendes som benchmark i DEA analysen, består af sådanne facetter. Forholdet mellem to af komponenterne i f.eks. kan fortolkes som lokale partielle substitutionsrater mellem de pågældende inputs. Modellen (1) eller (2) er en variabel skalaafkast model, hvilket i økonomiske termer betyder, at for fast input mix og fast output mix vil vi se varierende forhold mellem gennemsnitsproduktiviteten og marginalproduktiviteten langs den produktive rand. Hvis vi inkluderer Axiom 4 vil modellen udvise konstant skalaafkast, som i økonomiske termer betyder, at for fast input mix og fast output mix vil vi se et fast forhold mellem gennemsnitsproduktiviteten og marginalproduktiviteten. Denne type af DEA model fremkommer ved at fjerne bibetingelse (1.3) i (1) eller ved at fjerne dual variablen i model (2). I en sådan DEA model er estimatoren givet ved ORbit 21 17

18 tutorial hvilket er en polyhedral kegle i. 3 Beregning af sygehus produktivitet i Danmark Siden 2005 har Sundhedsministeriet udgivet de såkaldte løbende offentliggørelser af produktivitet i sygehussektoren. Den seneste rapport (Løbende offentliggørelse af produktiviteten i Sygehussektoren. VIII delrapport. Udvikling fra 2010 til 2011, København. Danske Regioner, Finansministeriet, Ministeriet for Sundhed og Forebyggelse. 2012) omhandler udviklingen i produktiviteten fra 2010 til Den metode, der anvendes i alle delrapporterne, benævnes omkostningsbrøkmetoden. Værdien af aktiviteten benævnes ofte produktionsværdi og beregnes i princippet ved at summere tre udtryk: sammenvægtede antal af udskrevne patienter i hver af de såkaldte Diagnose Relaterede Grupper (DRGer) fra sygehusene med den tilhørende DRG takst. sammenvægtede antal af udskrivninger og/eller ambulante besøg i hver af de såkaldte gråzone DRGer fra sygehusene med den tilhørende gråzone DRG takst. sammenvægtede antal af ambulante besøg i hver af de såkaldte Dansk Ambulant Grupperings System (DAGS) grupper fra sygehusene med den tilhørende DAGS takst. Det skal nævnes, at udover denne generelle opgørelse anvendes der en række korrektioner af produktionsværdien. Udgifterne til produktion af udskrevne patienter og de ambulante besøg tilrettes, så man undgår udgiftsposter, der ikke er direkte relateret til aktiviteten. Omkostningsbrøken dannes herefter som ratioen mellem produktionsværdien og omkostningerne. En højere brøk anviser en højere produktivitet, idet der produceres en større produktionsværdi per omkostningskrone. Hvis vi giver omkostningsbrøkmetoden en økonomisk fortolkning, kan vi opfatte tælleren i brøken som værende aggregeret output fra sygehusene. Brøkernes størrelse udtrykker derfor det observerede aggregerede output per omkostningskrone. Sygehuset med den højeste brøk er det mest produktive sygehus og anvendes som best practise i en benchmarking af alle andre sygehuse. Bemærk at to sygehuse med samme brøk kan have meget forskellig størrelse. I princippet kan det mindste sygehus således have den største brøk, og alle store sygehuse bliver målt som mindre produktive med henvisning til en best practise, som i dette tilfælde fremkommer som en kraftig opskalering af både omkostninger og produktion fra dette lille sygehus. I økonomiske termer anvender brøkmetoden altså en antagelse om konstant skalaafkast. En anden interessant økonomisk fortolkning fremkommer, hvis man reskalerer brøkerne, ved at dividere alle brøker med værdien af den maksimale brøk. I publikationen (Olesen 2004) er illustreret, at de reskalerede brøker kan fortolkes som produktivitetsindex fra en DEA analyse med konstant skalaafkast. Med andre ord måler den reskalerede brøk den mulige omkostningsreduktion for sygehusene relativt til den såkaldte best practise frontier. Denne frontier fremkommer som alle op og nedskaleringer af det (de) mest produktive sygehus(e). Det er muligt at slække på antagelsen om konstant skalaafkast i denne type af analyse ved at fortolke produktivitetsanalysen baseret på de relative ratioer mellem produktionsværdi og omkostninger som en DEA analyse. Først fjernes antagelsen om, at det er muligt at op- eller nedskalere observerede kombinationer af omkostninger og produktionsværdi, dvs Aksiom 4 fjernes. I stedet antages, at konvekse kombinationer af observerede sygehuse også anviser brugbare produktionsplaner. Denne situation er illustreret i Figur 1, hvor den stykvist lineære indhylling af A, C og D betegnes en variabel skalaafkast reference teknologi. 4 Fra produktivitetsanalyse til indikatoranalyse og Best Practise takster. I de senere år har der fra ministeriets side været fokus på, hvordan man kan udvide analyserne af sygehusenes performance fra at være relativt simple omkostningsbrøkanalyser til at inddrage performance analyse baseret på en række indikatorer relateret til kvalitet og omkostningseffektivitet for specifikke grupper af behandlinger. Indikatorerne giver mulighed for at benchmarke sygehuse, afdelinger eller andre organisatoriske enheder mod best practise, samt at monitorere udviklingen af best practise over tid. Dette ændrede fokus er en konsekvens af flere forskellige forhold. Det er således velkendt i litteraturen, at generelle produktivitetsanalyser ikke nødvendigvis er særlig policy-orienterede. En rangordning af sygehusene på baggrund af f.eks. omkostningsbrøker giver en vis information om, hvilke sygehuse et uproduktivt sygehus bør sammenligne sig med. Fra en policy vinkel anviser sådanne informationer imidlertid ikke særligt konkrete forslag 18 ORbit 21

19 tutorial Kilde: politiken.dk. til forbedret performance. Supplerende produktivitetsanalyser på sygehusniveau, hvor man zoomer ind på f.eks. specifikke kvalitetsindikatorer, eller afdelings-, speciale eller DRG specifikke performance mål, syntes således at udgøre et godt supplement. En arbejdsgruppe, nedsat af regeringen og Danske regioner kom i 2009 med forslag til, hvordan man sikrer, at DRGsystemet understøtter en effektiv styring på sygehusområdet. Et af forslagene fra rapporten (Effektiv Styring på Sygehusområdet 2009) lyder som følger: Arbejdsgruppen anbefaler, at (d)er sker offentliggørelse af best practice-takster med henblik på at sikre synliggørelse af forskelle i behandlingsudgifter inden for enkelte behandlinger/ DRGgrupper og udbredelse af best practice. Denne og andre anbefalinger er blevet udmøntet i en række rapporter, hvor der bl.a. fokuseres på, hvad det koster at udføre en behandling i en givet DRG på de mest omkostningseffektive sygehuse. Man beregnede med andre ord, hvad taksterne ville have været, hvis kun behandlingsforløb fra disse sygehuse indgår i beregningerne. På denne måde får man beregnet sygehus-specifikke takster, og for en givet DRG vil den laveste takst anvise en såkaldt best-practise takst. DRG1 DRG2 Samlet Omkostningsbrøk Sygehus 1 660/600 = /50 = 3 810/ Sygehus 2 810/ /300 = 2 690/ Sygehus 3 250/ / Total 1000/ /1000 Tabel 1. En simpel illustration af Simpson s (eller Fox s) paradox, (Simpson 1951),(Fox 1999). Det øgede fokus på indikatorer, der knytter an til partiel (eller disaggregeret) omkostningseffektivitet, rummer imidlertid en risiko for at overse, at der ikke behøver være konsistens mellem rangordningen af sygehusene baseret på de samlede omkostningsbrøker og på de partielle brøker, der fremkommer, når man zoomer in på specifikke DRGer. Det er velkendt i litteraturen (se (Simpson 1951),(Fox 1999)), at man kan støde på data, hvor et givet sygehus klarer sig bedre end et andet sygehus på alle partielle produktiviteter, mens sygehuset klarer sig dårligere i en samlet analyse baseret på omkostningsbrøker. Dette fænomen betegnes ofte som Simpson s (eller Fox s) paradox. Tabel 1 illusterer en simplificeret version af dette fænomen. For at forsimple problemstillingen antager vi, at der kun er to typer af behandlede patienter i henholdsvis DRG 1 og 2, og at der kun er tre sygehuse. Tabel 1 angiver for hver DRG og for hvert sygehus en brøk, hvor tælleren indeholder produktionsværdien, mens nævneren indeholder omkostningerne. I den sidste søjle i tabellen er den samlede omkostningsbrøk angivet for de tre sygehuse. Denne samlede brøk fremkommer som en ratio hvor tæller og nævner er summen af de to tællere og de to nævnere fra de to DRGer for hvert af de tre sygehuse. Sygehus 1 klarer sig bedre end Sygehus 2 og 3, hvis der fokuseres på de partielle disaggregerede ratioer af produktionsværdi per omkostningskrone. Ikke desto mindre er sygehus 2 mest produktivt målt ved omkostningsbrøkmetoden. Forklaringen på dette fænomen kan findes ved DRG1 DRG2 Sygehus 1 600/ / Sygehus 2 100/400 = /400 = 0.75 Sygehus 3 300/ / Tabel 2. De tre sygehuses andel af de samlede omkostninger forbrugt i produktionen af de to DRGer. ORbit 21 19

20 tutorial Sygehus 1 Sygehus 2 Sygehus 3 DRG 1 600t 1 / t 1 100t 1 / t 1 300t 1 /250 = 1.2t 1 DRG 2 500t 2 /150 = 0.33t 2 300t 1 /400 = 0.5t 2 650t 1 /250 = 2.6t 2 Tabel 3. Sygehus-specifikke takster. at betragte Tabel 2. Denne tabel angiver, hvor stor en del af sygehusenes samlede omkostninger, der anvendes i produktionen af hver af de to DRGer. Sammenholder man de to tabeller kan man se, at sygehus 2 primært arbejder inden for DRG 2 med 75 % af omkostninger placeret i denne produktion. DRG 2 er karakteriseret ved for sygehus 1 og 2 at have en højere produktion af værdi per omkostningskrone end produktionen inden for DRG 1. DRG 1 er omvendt tydeligvis sygehus 1 s primære arbejdsområde omkostninger og aktivitet. I dette eksempel kan disse takster beregnes direkte fra Tabel 1. Betragt f.eks. aktiviteten i DRG 1 på sygehus 1. Her produceres en produktionsværdi på 660 med samlede omkostninger på 600. Med en takst på 1 er antallet af behandlinger lig 660/1. Den sygehusspecifikke takst er omkostninger divideret med antal behandlinger, eller 600 1/660. Tabel 3 viser tydeligt, at Sygehus 1 klarer en produktion med væsentlig lavere omkostning per behandlet patient i begge de to DRGer. Sygehus 1 er her et best practise sygehus i den forstand, at begge takster fra dette sygehus er best practise takster. Lad os opsummerer analysens resultater: Det virker paradoksalt, at på trods af at sygehus 1 er mindre produktivt end sygehus 2 så er begge best practise takster netop at finde på dette sygehus. Forekomsten af Fox s paradox hænger sammen med sygehusenes fordeling af deres samlede omkostninger på de to DRGer. Hvis fordelingen er meget forskellig, som eksemplificeret i Tabel 2, så er paradokset en mulighed. Faktisk viser en nærmere analyse, at den samlede omkostningsbrøk for hvert af de tre sygehuse kan opskrives som en vægtet sum af de partielle ratioer i Tabel 1, hvor vægtene er andelen af de samlede omkostninger anvendt i produktionen af hver af de to DRGer, som illustreret i Tabel 2. Vi kan med andre ord udtrykke de tre sygehuses omkostningsbrøker som: Kilde: holykaw.alltop.com. med ca. 92 % af de samlede omkostninger anvendt i dette område. For igen at forsimple argumentationen antager vi nu, at DRGtaksterne på behandlede patienter i de to DRGer beregnes som de gennemsnitlige omkostninger ud fra de tal, der indgår i Tabel 1. Taksterne beregnes i virkeligheden på baggrund af omkostnings-data, som er to og tre år gamle. Desuden korrigeres og trimmes der for en lang række forhold. Lad de to takster for DRG 1 og 2 være betegnet med 1 og 2. Tabel 3 præsenterer de sygehus-specifikke takster, altså de takster der ville fremkomme, hvis gennemsnitsomkostningerne blev beregnet udelukkende på baggrund af et specifikt sygehus Sygehus 1: 810/ *(660/600) *(150/50) Sygehus 2: 690/400 = 0.25*(90/100) *(600/300) Sygehus 3: 500/ *(250/300) *(250/650) Fra disse tre udtryk kan man tydeligt se, at den høje omkostningsbrøk fra sygehus 2 stammer fra en relativt kraftig aktivitet i produktionen af behandlede patienter i DRG 2 sammenlignet med sygehus 1, som kun anvender ca. 8 procent af de samlede omkostninger i denne DRG. Den beskrevne potentielle inkonsistens mellem aggregerede og disaggregegerede produktivitetsmål sætter spørgsmålstegn ved de to typer af mål: Hvilken af de to forskellige opgørelser 20 ORbit 21