LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank"

Transkript

1 LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en søgning på internettet. Linkmatricer Når man foretager en søgning på internettet med Google vises de sider som indeholder søgeordene i en given rækkefølge, og det er ret ofte, at de første links der vises, faktisk er de mest brugbare. Vi skal se lidt nærmere på hvilken strategi der kan anvendes for at få en god rangordning af siderne. Vi vil i det væsentlige følge artiklen []. Eksempel Vi betragter et (meget) lille web med 4 sider, kaldet,,,4. Disse sider refererer (linker) til hinanden på følgende måde: Side refererer til side, og 4 Side refererer til side og 4 Side refererer til side Side 4 refererer til side og 4 Figuren viser en orienteret graf, med {,,,4} som de fire knuder (punkter) og med pile mellem knuderne. Retningen af en pil afgør hvilken side der refererer til hvilken, fx betyder pilen fra til, at side har et link til side. Man kan tænke på, at side er vigtig, fordi der er en side der henviser til den. Vi vil nu definere en score for hver side, der viser hvor vigtig den er. Vi opridser to muligheder. Første mulighed går ud på følgende: Vi kunne sætte scoren x k for side k til antallet af sider der henviser til side k. Dermed er x =, x =, x = og x 4 =. Altså er side den højst rangerende. Denne metode tager imidlertid ikke hensyn til at et link fra en vigtig side bør øge sidens vigtighed mere end et link fra en ikke så vigtig side. Så denne mulighed er nok alligevel for simpel.

2 En anden og bedre mulighed er at sætte scoren x k for side k til summen af alle scorerne for de sider, der henviser til side k (i stedet for antallet af sider der henviser til side k). Det giver fx, at x = x + x 4. De øvrige ligninger udtrykker x, x og x 4 ved kombinationer af x, x, x og x 4. Et problem ved denne tilgang er, at en webside med mange udgående links får større inflydelse på de andre siders score end en side med få links. Dette omgås ved en normalisering, hvor den samlede score som en side kan give til andre sættes til : hvis side j indeholder et link til side k og N j links i alt, så øger vi scoren for side k med x j /N j (i stedet for x j ). Vi vil benytte denne metode for at bestemme rangordenen af siderne i webbet. Overvejelserne oven for giver N =, N = = N 4 og N = og dermed følgende ligninger for tallene x, x, x og x 4 : x = x + /x 4 x = /x x = /x + /x + /x 4 x 4 = /x + /x. Dette ligningssystem kan skrives på formen Ax = x, hvor / x / A = / / / og x = x x. / / x 4 Vi omskriver systemet til Ax x = og opskriver den tilsvarende totalmatrix: / / / / /. / / Vi løser ligningssystemet ved at lave rækkeoperationer på totalmatricen! Resultatet bliver (se begrundelse nedenfor) x x x = t / /. x 4 Heraf ses, at rangordningen bør være: side er den vigtigste, så side, derefter side 4 og endelig side. Resultatet kan opnås ved følgende rækkeoperationer: først multipliceres rækkerne med hhv,6,6 og 6; / / / / / / / r r 6r r 6r r 6r 4 r

3 Derefter foretages følgende kæde af rækkeoperationer r + r r r + r r r + r 4 r 4 r + r r r + r 4 r 4 r + r 4 r 4 r r /r r r + r r r + r r /r r /r r /r r / /, hvoraf resultatet aflæses. Vi vil nu beskrive metoden mere generelt. Lad W være et web med n sider, som nummereres,,..., n. For k {,...,n} sætter vi L k = {de sidenumre, der indeholder et link til side k}. Lad N j være det totale antal links som udgår fra side j. Vi bemærker, at N j > for alle j L k, fordi der i hvert fald udgår et link til side k. Scoren x k for side k udregnes da vha formlerne x j x k =, j L k N j k =,...,n. Disse ligninger kan skrives på matrixfom som Ax = x, hvor A er en n n matrix med elementerne { /N j hvis der er et link fra side j til side i, a i j = ellers.

4 I Eksempel var det muligt at løse ligningssystemet Ax = x. Det er ikke altid tilfældet og det skyldes tilstedeværelsen af hængende sider i et web: En hængende side i et web er en side uden links til andre sider. Hvis side j er en hængende side vil der ikke udgå nogen links fra siden og N j =. Dermed vil matricen A have udelukkende er i søjle j. Betragter vi et web W uden hængende sider er alle tallene N,..., N n positive, og der gælder, at summen af elementerne i hver af A s søjler er : faktisk indeholder den j te søjle i A præcis N j elementer hver med værdi /N j og de resterende elementer er. Med andre ord er matricen A en overgangsmatrix, hvis webbet ikke har nogen hængende sider. Egenværdier og -vektorer Lad os vende tilbage til ligningen Ax = x oven for. Denne ligning udtrykker, at den rangordning x vi søger faktisk er en egenvektor for matricen A hørende til egenværdien λ =. Vi var succesfulde: det var faktisk muligt at finde en sådan egenvektor! Det er ikke nogen tilfældighed: Matricen fra Eksempel er en såkaldt overgangsmatrix. Der gælder faktisk, at en vilkårlig overgangsmatrix A har λ = som egenværdi, se Afsnit 4. Det tilsvarende egenrum E er defineret ved E = E (A) = {x Ax = x}. I Eksempel foretog vi en rangordning af websiderne via en ordning af elementerne i en (normaliseret) egenvektor efter størrelse. Der er i det generelle tilfælde en del problemer, som kan opstå, fx: Matricen har muligvis ikke λ = som egenværdi (det kan være tilfældet hvis der er hængende sider). Måske er det ikke muligt naturligt at ordne egenvektorerne hørende til egenværdien λ = ; dette sker i hvert fald hvis dimensionen af egenrummet E er større end. Måske er der både positive og negative koordinater i en egenvektor hørende til egenværdien. Eksempel Vi ser på webbet hvor links er givet som følger: Side linker til side Side linker til side Side linker til side 4 Side 4 linker til side Side 5 linker til side og side

5 (Faktisk er der to dele af webbet som ikke linker til hinanden.) Den tilsvarende matrix er i dette tilfælde givet ved A = / / Denne matrix er også en overgangsmatrix så λ = er en egenværdi. Udregninger viser, at egenrummet E udspændes af de to lineært uafhængige vektorer / / x =, x = Se vi udelukkende på x kunne vi tro, at side eller side er de vigtigste, mens side og side 4 kunne vær de vigtigste hvis vi alene ser på x. Vi kunne også se på linearkombinationen /x + /x = og nu ser hver af siderne,, og 4 lige vigtige ud. Eksempel Vi modificerer webbet fra Eksempel idet side nu ikke længere linker til side. I det tilfælde bliver linkmatricen / / A = / / / / / Planen er at bestemme en egenvektor hørende til egenværdien λ =. Men allerede nu er situationen anderledes: matricen A har ikke som en egenværdi. Man kan vise, at matricen har følgende fire egenværdier (afrundede værdier): λ =.564, λ = i, λ =.87.64i, λ 4 =. Vi ser også, at egenværdierne λ og λ ikke er reelle tal, men komplekse. Udregninger giver, at.897 x = er en egenvektor hørende til egenværdien λ. Hvis man bruger en egenvektor hørende til den numerisk største egenværdi (her λ ) for at rangordne websiderne er side den vigtigste. Dette er ikke hensigtsmæssigt, idet siderne og 4 optræder symmetrisk i webbet. /4 /4 /4 /4 / /,. 5

6 Entydig rangordning i web uden hængende sider Vi så i Eksempel, at et web med to adskilte delweb leder til et egenrum E af dimension større end, og dermed, at der ikke var nogen strategi for rangordningen. Dette problem kan omgås på en snedig måde, som beskrives neden for. Lad W være et web med n sider, hvoraf ingen er hængende og lad A være den tilsvarende n n linkmatrix. Vi lader S betegne den n n matrix, hvor alle elementer er lig med /n. Denne matrix er en overgangsmatrix, så λ = er en egenværdi. Man kan vise, at det tilsvarende egenrum E er -dimensionalt; faktisk gælder E = span.. () Ideen er nu at arbejde med en kombination af A og S: Vi definerer M = ( m)a + ms, hvor m. (Man kan tænke på M som et vægtet gennemsnit af A og S.) Matricen M er igen en overgangsmatrix (da A og S begge er det) og det viser sig, at egenrummet for M hørende til λ = er -dimensionalt, for m (, ], og at man finde en egenvektor med udelukkende positive koordinater. Se Afsnit 4. Rangordningen af siderne kan dermed findes via numerisk ordning af en (normaliseret) egenvektor. Hvis m = er M lig med A, mens M lig med S for m =. Matricen S svarer i øvrigt til et ganske særligt web: et web hvor hver side refererer præcis gang til alle andre sider. I et sådant web er alle sider lige vigtige, og det reflekteres i udseendet af egenvektoren i (). Eksempel 4 Vi betragter linkmatricen A fra Eksempel og lader m =.5 (det har Google faktisk gjort). Det vægtede gennemsnit M af A og S er givet ved (afrundede tal) M = I dette tilfælde kan man vise, at egenrummet hørende til egenværdien λ = lig med.68 span Igen er side den vigtigste. Ser vi på matricen fra Eksempel (med de to adskilte delweb) er det vægtede gennemsnit (for m =.5) givet ved M =

7 I dette tilfælde kan man vise, at egenrummet hørende til egenværdien λ = lig med.. span Nu har vi mulighed for at sammenligne de to adskilte delweb i samme ramme, og side og 4 er de vigtigste. 4 Positive matricer og bestemmelse af egenvektorer ved iteration Eksempel viser, at det er en relativt krævende opgave at bestemme selv egenvektorer med 4 koordinater ved at løse ligningssystemer. I dette afsnit vil vi give en forsmag på hvordan egenvektorer kan bestemmes uden at løse ligningssystemer. Der er hel teori om bestemmelse af den numerisk største egenværdi og tilhørende egenvektorer ved iteration, men her vil vi kun nævne resultater for overgangsatricer. Definition 5 En matrix er en overgangsmatrix, hvis alle elementer i matricen er ikke-negative, og hvis summen af alle elementerne i hver søjle er lig med. Følgende sætning viser, at positive overgangsmatricer altid har positive egenvektorer. Sætning 6 Lad M være en overgangsmatrix hvor alle elementer er strengt positive. Da er λ = en egenværdi for M, og der findes en entydigt bestemt tilhørende egenvektor q = (q,...,q n ), som opfylder n j= q j = og q j > for alle j. Endvidere gælder lim k Mk x = q, hvor x = (x,..., x n ) er en vilkårlig vektor, som opfylder n j= x j =. Lad nu A være en linkmatrix for et web uden hængende sider, og lad som i Afsnit M = ( m)a + ms, hvor < m <. Vi har tidligere bemærket, at M er en positiv overgangsmatrix. Sætningen ovenfor giver så, at egenvektoren q kan bestemmes ved grænseværdien lim k M k x, eller rekursivt ved x k+ = Mx k. Udregningen Mx k involverer typisk omkring n multiplikationer og additioner (fordi alle elementer i M er positive), hvilket er en del allerede for n = 5, men uoverskueligt mange for n = alverdenswebsider. Der er dog en væsentlig beregningsmæssig forenkling, som går ud på følgende: hvis der gælder x k = (x k,,..., x k,n ), hvor n j= x k, j =, så har vi x k+ = Mx k = ( m)ax k + msx k = ( m)ax k + ms. 7

8 Her har vi brugt, at summen af koordinaterne i x k er lig med, sådan, at Sx k = (/n,...,/n) = s. Beregningen af Mx k svarer til beregningen af Ax k, og denne er langt enklere, idet linkmatricen A næsten udelukkende består af nuller. Litteratur [] Kurt Bryan and Tanya Leise, The $5,,, eigenvector, The Linear Algebra Behind Google, SIAM Rev., 48(), html Henrik Holm Henrik Laurberg Pedersen 8

9 Hvad nu? Søgemaskiner og egenværdier Mød MATH på KU Henrik L. Pedersen Institut for Matematiske Fag Lidt om mig Forskningsområder inkluderer kompleks funktionsteori og komplekse metoder inden for specielle funktioner Det er der meget at sige om... (bare ikke nu ) Baggrunden Udvikling af et kursus i lineær algebra for førsteårsstuderende i datalogi. Samarbejde mellem Henrik Holm (homologisk algebra) og mig, med input fra dataloger. Motiverende eksempler! 4. november 4 Dias /4 Dias /4 Oversigt Indledning Nabo- og linkmatricer Rangordning af siderne i en søgning Lidt om egenværdier 4 Nabomatricen og antal veje i grafen Google rangordner siderne i min søgning. De første sider er helt klart de mest brugbare. Skyldes det nu blot, at jeg aldrig rigtigt når til de sidste, eller er der mon en forbindelse mellem rangordning og egenværdier? Google bruger matricer, lineære ligningssytemer, egenværdier og meget mere! Og i vanlig googlestil er det meget store matricer! Målet er at beskrive en strategi for hvordan rangordning kan foregå ved at benytte en blanding af lineær algebra og grafteori. Dias /4 Dias 4/4

10 KØBENHAVNS UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG KØBENHAVNS UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Eksempel: Et meget lille web med 4 sider og 8 links Sådan er afhængighederne i webbet: Side refererer til side, og 4 Side refererer til side og 4 Side refererer til side Side 4 refererer til side og Sådan repræsenteres afhængighederne i en graf: o e / 9O /% 4 Sådan en graf repræsenteres ved en af to matricer: nabomatrix = linkmatrix = Dias 5/4 KØBENHAVNS UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Dias 7/4 KØBENHAVNS UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Eksempel: Et meget lille web med 4 sider og 8 links o e / 9O /% 4 N= Regel: + Det element aij i N der står i i te række, j te søjle er hvis der er et link fra side i til side j, ellers er det nul. Eksempler: I række, søjle i N står der : der er et link fra side til side. I række, søjle i N står der : der er ikke noget link fra side til side. Opgave: Hvilke af følgende to udsagn passer på søjle i N? De tre -taller viser hvilke links der går til side. Dias 6/4 De tre -taller viser hvilke links der udgår fra side. Dias 8/4

11 Google s page rank Giv hver side i webbet en score, der fortæller hvor vigtig den er! Giv side k scoren x k. Hvordan skal x k udregnes? 4 Mulighed x k = antallet af sider der linker til side k. Dermed er x =, x =, x = og x 4 =. Altså er side den højst rangerende. Denne metode tager imidlertid ikke hensyn til at et link fra en vigtig side bør øge sidens vigtighed mere end et link fra en ikke så vigtig side. Duer ikke Dias 9/4 4 Tæl antal udgående links: N = ( links udgår fra Side ), N =, N = og N 4 =. Ligninger for scorerne x, x, x og x 4 : x = N x + N 4 x 4 = x + x 4 x = x x = x + x + x 4 x 4 = x + x. Men er det ikke? Jo, det er! Dias /4 4 Mulighed x k = summen af scorer for de sider der linker til side k. Dermed gælder fx x = x + x 4. Øvrige ligninger udtrykker x, x og x 4 ved x, x, x og x 4. Et problem ved denne tilgang er, at en webside med mange udgående links får større indflydelse på de andre siders score end en side med få links. Duer næsten Mulighed Den samlede score som en side kan give til andre sættes til (normalisering): hvis side j indeholder et link til side k og N j links i alt, så øger vi scoren for side k med x j /N j (i stedet for x j ). Duer ET LINEÆRT LIGNINGSSYSTEM Dias /4 Dias /4

12 Ligningssystemet er / x x / linkmatrix x = x / / / x = x x / / x 4 x 4 Hvordan vi løser systemet Ligningssystemet omskrives Løsningerne er x + x + /x 4 = /x x = /x + /x x + /x 4 = /x + /x x 4 =. x x = x x = t / /. x 4 Side er den vigtigste, så, derefter 4 og endelig. Dias /4 Dias 5/4 Hvordan løser vi systemet? Med brug af totalmatrix og rækkeoperationer / / / / / / / / / Ved brug af Maple LinearSolve(A-IdentityMatrix(4), <,,, >) Hvilken metode bruger vi mon i kurset? Generelt om web og linkmatricer Lad W være et web med n sider, som nummereres,,..., n. For k {,..., n} sætter vi L k = {de sidenumre, der indeholder et link til side k}. Lad N j være det totale antal links som udgår fra side j. (N j > for alle j L k, fordi der i hvert fald udgår et link til side k.) Scoren x k for side k udregnes da vha formlerne x j, k =,..., n. N j x k = j L k Disse ligninger kan skrives på matrixfom som Ax = x, hvor A er en n n matrix med elementerne { /N j hvis der er et link fra side j til side i, a ij = ellers. Matricen A kaldes linkmatricen for webbet. Ligningen Ax = x er eksempel på et egenværdiproblem! Dias 4/4 Dias 6/4

13 To matricer der repræsenterer en graf Graf Adskilte delweb Et adskilt web: Nabomatrix Linkmatrix 4 N = / / A = / / / / / Linkmatrix 4 A = / / Rangordning: Ax = x kan godt løses, men giver ikke en god måde at rangordne siderne! 5 Dias 7/4 Dias 9/4 Web med hængende sider Eller nulsøjler i linkmatricen Vores gamle web: Alle sider har udgående links Vi fjerner et link fra til : Side er en hængende side Egenværdier og -vektorer Definition: Egenværdier og -vektorer Et (komplekst) tal λ er en egenværdi for A hvis der findes x sådan, at Ax = λx (og x kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ). 4 / / A = / / / / / Ax = x kan godt løses! 4 / / A = / / / / / Ax = x giver x =! Princip for rangordning Rangordning af siderne i et web svarer til ordning af koordinaterne (efter størrelse) i en egenvektor x for linkmatricen A for webbet hørende til egenværdien. Smart ikke Men hov! Er λ = altid en egenværdi? Hvad nu hvis der er både positive og negative tal i en af disse egenvektorer? Dias 8/4 Dias /4

14 Nogle fundamentale spørgsmål Givet en n n matrix A. Har A i det hele taget nogen egenværdier? ja Er en egenværdi for A? Er der kun positive koordinater i egenvektorerne? nej, nok ikke Perron-Frobenius Sætningen er et specielt tilfælde af Perron-Frobenius sætninger om positive matricer: Enhver positiv matrix har en positiv egenværdi med en tilhørende positiv egenvektor! Overgangsmatrix En n n matrix A er en overgangsmatrix, hvis alle elementer i matricen er ikke-negative, og hvis summen af alle elementerne i hver søjle er lig med. p p p n p p p n... p n p n p nn Linkmatricen for et web uden hængende sider er et nydeligt eksempel på en overgangsmatrix Dias /4 Dias /4 Sætning Enhver overgangsmatrix har λ = som egenværdi. Hvis overgangsmatricen M har lutter positive elementer så findes en entydigt bestemt egenvektor q = q. q n, hørende til egenværdien, som opfylder n j= q j = og q j > for alle j. Endvidere gælder lim k Mk x. x n = q. q n, Bestemmelse af egenvektorer Eksemplet med vores meget lille web viser, at selvom det er muligt så er det en relativt krævende opgave at bestemme selv egenvektorer med 4 koordinater ved at løse ligningssystemer. Men egenvektorer kan bestemmes uden at løse ligningssystemer! Bestemmelse af egenvektorer Lad A være linkmatricen for et web uden hængende sider. Hvis alle elementer i A er positive så bruger vi lim k A k x = q, dvs vi bestemmer q ved iterativ udregning. (Sådan da.) Hvis der er nuller i A virker det også, nogen gange. Selv selv i Maple. Hvad nu hvis der er nuller i A? for vilkårlige x,, x n > med n j= x j =. Dias /4 Dias 4/4

15 Linkmatricer uden hængende sider Gentlemen webbet Webbet G w indeholder n sider, og hver side linker til alle andre sider! (altså netop én gang). Linkmatricen L for dette web er L = {l ij }, l ii =, l ij = /(n ) for i j Det er fristende at bruge denne matrix, men smartere at bruge en lidt anderledes matrix S = {s ij }, s ij = /n Under alle omstændigheder: alle sider må altså være lige vigtige, og det reflekteres i udseendet af egenvektoren (for både L og S) s = /n. /n. Eksempel: Adskilte delweb 4 / / Konklusion: Side og Side 4 er vigtigst 5 Dias 5/4 Dias 7/4 Linkmatricer uden hængende sider Gentlemen webbet redder situationen M = ( m)a + ms, hvor m. (Man kan tænke på M som et vægtet gennemsnit af A og S.) M er igen en overgangsmatrix (da A og S begge er det) og den har udelukkende positive elementer! Brug Sætningen om positiv overgangsmatrix og brug ordningen af den normaliserede egenvektors koordinater som rangordning af webbet. Gentlemen webbet får kun ringe tak m vælges ret tæt på. Der er hørt rygter om, at m =.5 er blevet brugt. Beregningsmæssig forenkling Egenvektoren q for M kan bestemmes ved beregning af x k+ = Mx k, for k =,..., K hvor K er stor, men forhåbentligt ikke alt for stor! Udregningen Mx k involverer typisk omkring n multiplikationer og additioner (fordi alle elementer i M er positive), hvilket er en del allerede for n = 4, men uoverskueligt mange for n = alverdenswebsider. Der er dog en væsentlig beregningsmæssig forenkling, som går ud på følgende: hvis x k = (x k,..., x kn ), hvor n j= x kj =, så gælder x k+ = Mx k = ( m)ax k + msx k = ( m)ax k + ms. Beregningen Ax k er langt enklere end Mx k, idet linkmatricen A næsten udelukkende består af nuller. Dias 6/4 Dias 8/4

16 Reference til denne del Klik dig videre hvorhen? Webproblem: kan man klikke sig fra en side til en anden i et web? På hvor mange måder? Grafproblem: kan man komme fra et hjørne til et andet i en graf? På hvor mange måder? Kurt Bryan and Tanya Leise, The $5,,, eigenvector, The Linear Algebra Behind Google, SIAM Rev., 48(), Eksempel N = = Der er måde at klikke sig fra Side til Side 4, med klik, fordi Første række indeholder de udgående links fra Side til de øvrige sider Fjerde søjle indeholder de indgående linke til Side 4 fra de øvrige sider Dias 9/4 Dias /4 Lad N være nabomatricen for en graf. Da er summen af række i = summen af søjle j = n a ij = antallet af udgående kanter fra v i, j= n a ij = antallet af indgående kanter til v j. i= Eksempel: grafen fra vores web 4 N = Eksempel: grafen fra vores web N = N 4 = Der er altså 5 veje af længde 4 fra side til side 4. Hvordan ser de ud? Er det muligt at komme fra hjørne til hjørne ved at følge en vej af længde? Hvor mange veje af længde starter og slutter i samme hjørne? Dias /4 Dias /4

17 Sætning: nabomatrixpotenser Lad N være nabomatricen for en (orienteret) graf med hjørner v,..., v n. Da gælder: Den ij te indgang i N k er lig med antallet af veje i grafen af længde k fra v i til v j. Den ij te indgang i I + N + + N k er lig med antallet af veje i grafen af længde højst k fra v i til v j. Hvorfor er det nu sådan? Matricen N har elementerne {b ij }, hvor Fasthold i og j. b ij = n a ik a kj. k= Hvis både a ik = og a kj = er a ik a kj = og der er jo en vej fra hjørne i via hjørne k til hjørne j, dvs en vej af længde. Hvis a ik = eller a kj = er a ik a kj = og der er ikke nogen vej fra hjørne i via hjørne k til hjørne j. Dias /4 Her er en graf med 4 hjørner og 44 kanter Hvor mange veje af længde 4 er der fra til 8? Svaret er elementet i række, og søjle 8 i matricen N 4, dvs 5 Mellem hvilke hjørner går der flest veje af længde 4? Og hvad er flest? Svaret er de pladser der indeholder den maksimale værdi i N 4, og det er plads [8, ] og værdien er 7 Dias 4/4

18

19

20

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Filosofien og matematikken bag Google

Filosofien og matematikken bag Google 40 Baggrundsartikel Filosofien og matematikken bag Google Med fokus på PageRank Jakob Lindblad Blaavand, Oxford University Indledning En internetsøgemaskine er god, hvis den først og fremmest kan søge

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009 Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Matricer Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Tirsdag 3. september 11.00 12.00: Afsnit 8.1, 8.2, 8.3 og 8.5 Torsdag 5. september 12.30 16.15 12.30 14.15: Opgaveregning lokale 261/409 14.30: Vi mødes

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Fagets IT Introduktion til MATLAB

Fagets IT Introduktion til MATLAB Fagets IT Introduktion til MATLAB Mads G. Christensen mgc@kom.auc.dk Afdeling for Kommunikationsteknologi, Aalborg Universitet. MATLAB 2002 p.1/28 Kursusoversigt 1. Introduktion, matrix-indeksering, -operationer

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 Internet hitlister En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 1 Formål Formålet med denne projekt-opgave er at finde en geometrisk repræsentation (i 2D eller

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere