MAT1-projektrapport. Rovdyr & Byttedyr. Af G efterårssemestret Eksistens, entydighed og stabilitet af løsninger til ODE er

Transkript

1 MAT1-projektrapport Af G efterårssemestret 2006 Rovdyr & Byttedyr - Eksistens, entydighed og stabilitet af løsninger til ODE er

2 This page intentionally left blank

3 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefon Fax Titel: Rovdyr & Byttedyr Eksistens, entydighed og stabilitet af løsninger til ODE er Projektperiode: MAT1, efterårssemestret 2006 Projektgruppe: G3-119 Deltagere: Synopsis: Einar Søndergaard Rasmussen Kristian Bolund Larsen Ronni Yde Post Der gives en introduktion til differentialligninger med særligt henblik på systemer af sammenhørende første grads differentialligninger, som kan analyseres vha. redskaber fra lineær algebra. Herefter behandles spørgsmålet om eksistens og entydighed af løsninger til differentialligninger, som belyses vha. konvergens af følger, metriske rum, fikspunktssætningen og den såkaldte Lipschitz-betingelse. I sidste del ses der på stabilitet af differentialligningssystemer generelt og Lotka-Volterramodellen i særdeleshed og modellens stabilitet påvises. Søren Hansen Vejledere: Lasse Borup og Svend Berntsen Oplagstal: 7 Sidetal: 64 Bilagsantal og art: Ingen Afsluttet: 21. december 2006.

4 This page intentionally left blank

5 INDHOLDSFORTEGNELSE Forord 7 1 Introduktion til plane differentialligningssystemer Indledning Differentialligninger Linearitet Kontinuitet Systemer af lineære differentialligninger Kanoniske former af differentialligninger De kanoniske former Similaritetstransformationer Klassifikation ud fra determinant og spor Lotka-Volterra Eksistens og entydighed af løsninger Indledning Konvergente følger i metriske rum Banachs Fikspunktsætning Eksistens og entydighed af løsninger Eksempler Stabilitetsanalyse Indledning Introduktion til stabilitetsanalyse Simpel, analytisk stabilitetsanalyse Ljapunov-stabilitet Linearisering af et ikke-lineært differentialligningssystem Nulkliner Linearisering af modellerne Kilder 63

6 This page intentionally left blank

7 FORORD Denne projektrapport er udarbejdet i efteråssemestret 2006 af 4 studerende på MAT1. Overordnet handler den om eksistens og entydighed af løsninger samt stabilitetsanalyse af. Som model anvendes Lotka-Volterra-modellen, der også er kendt som Rovdyr-byttedyr-modellen, da den bl.a. kan beskrive udviklingen i en population af rovdyr og byttedyr. RAPPORTSTRUKTUR I kapitel 1 er der en generel gennemgang af selve begrebet differentialligninger, hvor der både ses på enkelte differentialligninger samt opstilling af systemer af differentialligninger. Herefter er der i kapitel 2 fokus på eksistens og entydighed af løsninger, hvor vi igennem forskellige redskaber fra analysen bliver i stand til at opstille en række betingelser for den ønskede eksistens og entydighed. Endeligt er emnet i kapitel 3 stabilitetsanalyse, hvor det undersøges, hvad afvigelse mellem måling og virkelighed kan medføre for en matematisk model, der er givet ved en differentialligning. BRUG AF KILDER Vi benytter os af 2 primære kilder i form af [Differential Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos Hirsch et al., 2004] samt [A Course in Modern Analysis and its Applications Cohen, 2003], og desuden herudover en række af forskellige kilder. Vi har bestræbt os på i høj grad præcist at angive brugen af disse forskellige kilder med mange og eksakte henvisninger til de konkrete afsnit i kilderne.

8 This page intentionally left blank

9 KAPITEL 1 INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER 1.1 INDLEDNING Vi vil i dette kapitel introducere en række grundlæggende definitioner og sætninger mv., som har til formål at danne det matematiske fundament for projektrapporten og for vores arbejde med Rovdyrbyttedyr-modellen. Vi starter med at se på forskellige aspekter ved differentialligninger, og på hvordan vi kan behandle et system af differentialligninger vha. redskaber fra lineær algebra. Vi ser særligt på systemer af 2 differentialligninger, hvor det vha. egenværdier viser sig at være muligt at give en række af kvalitative udsagn om løsningers opførsel. Der vises tre forskellige tilfælde, og at det kun er nødvendigt at betragte disse tre, idet ethvert system af 2 differentialligninger kan transformeres til en af de tre typer. Endeligt omtales det, hvordan løsninger kan klassificeres ud fra determinant og spor. 1.2 DIFFERENTIALLIGNINGER Der er flere typer af differentialligninger, der hver især har forskellige karakteristiske egenskaber, som det er muligt at udtale sig kvalitativt om. For at lave en holdbar behandling af dette område er det nødvendigt at definere og beskrive disse forskellige begreber, og vi starter med at introducere det helt grundlæggende begreb sædvanlig differentialligning. Definition 1.1 Sædvanlig differentialligning (ODE) En sædvanlig differentialligning er en ligning, der kan skrives på formen f (t, x, x,..., x (n) ) = 0, hvor x er en funktion af t, x(t). Graden n af den højst forekommende afledede x (n) i f (t, x, x,..., x (n) ) angiver differentialligningens orden, og vi taler om en n te ordens differentialligning. En løsning til en differentialligning er en funktion x(t), der ved indsættelse opfylder ligningen, og det skal gælde, at x(t) er en n gange differentiabel funktion på et åbent interval I R. Mængden af samtlige løsninger kaldes den fuldstændige løsning. Vi forkorter efterfølgende en sædvanlig differentialligning som ODE efter den traditionelle engelske betegnelse Ordinary Differential Equation. Grunden til, at vi vælger at se på sædvanlige differentialligninger og ikke differentialligninger i al almindelighed, er, at det netop er de sædvanlige, som vi har værktøjer til at behandle indtil videre. En differentialligning er en mere generel ligning, som indeholder en eller flere afledte funktioner. Dette kan godt give anledning til differentialligninger, som vi ikke kan løse med samme metoder som sædvanlige differentialligninger, hvilket eksempel 1.2 har til hensigt at vise. Eksempel 1.2 Ikke-sædvanlig differentialligning [Wikipedia, 2006d] Vi kan eksempelvis opstille differentialligningen x = 0, x = x(t, s). t x(t, s) er en funktion af to forskellige variable t og s, og der er derfor tale om partielle afledte, og vi taler om en partiel differentialligning, der forkortes PDE efter det engelske Partial Differential Equation. I

10 1.2. Differentialligninger Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT dette tilfælde skal den partielle afledte i forhold til t være lig 0, så løsningen bliver x(t, s) = u(s), hvor u(s) er en arbitrær funktion af s, idet enhver funktion kun af s giver nul, når den partielle afledte i forhold til t bestemmes. Vi får altså, at der for en PDE åbenbart kan være tale om arbitrære funktioner modsat for en ODE, hvor der er tale om arbitrære konstanter. Hvis vi ser på den næsten tilsvarende ODE dx = 0, så er løsningen til den x(t) = k, k R, dt da enhver konstant funktion af én variabel differentieret giver 0. Forskellen på en PDE og en ODE består altså bl.a. af arbitrære funktioner modsat arbitrære konstanter, men også for eksistens og entydighed af løsninger er der væsentlige forskelle, og vi skal derfor ikke beskæftige os yderligere med PDEer. I mange tilfælde vil der til en differentialligning være tilknyttet en såkaldt begyndelsesværdi, som løsningen skal opfylde, og vi anvender så betegnelsen begyndelsesværdiproblem. Definition 1.3 Begyndelsesværdiproblem (BVP) Et begyndelsesværdiproblem (herefter forkortet BVP) består af en ODE samt en begyndelsesbetingelse: f (t, x, x,..., x (n) ) = 0, x(t 0 ) = x 0, x (t 0 ) = x 0,..., x (n 1) (t 0 ) = x 0 (n 1). Vi skelner imellem to typer af ODE er. Afhængigt af om en given ODE er direkte afhængig af tiden t eller ej, så kaldes den for henholdsvis autonom eller ikke-autonom. Definition 1.4 Autonom og ikke-autonom ODE Hvis der om en ODE gælder, at den ikke er direkte afhængig af t, dvs. den kan skrives som f (x, x,..., x (n) ) = 0, så siges ODE en at være autonom, ellers siges siges den at være ikkeautonom. [Hirsch et al., 2004, s. 5] LIGEVÆGTSLØSNINGER Der er en særlig type af løsninger til differentialligninger, som er interessante, nemlig de såkaldte ligevægtsløsninger. Definition 1.5 Ligevægtsløsning / Ligevægtspunkt Givet at en løsning x(t) til et BVP er konstant, dvs. x(t) k, k R, så siges løsningen at være en ligevægstsløsning eller et ligevægtspunkt. [Hirsch et al., 2004, s. 2] For en ODE af første orden er ligevægtsløsninger forholdsvis trivielle at bestemme, idet de kan findes ved at undersøge, hvor der er nulpunkter for den pågældende ODE. Grunden til, at vi er interesserede i ligevægtsløsninger er, at det er interessant at se på løsninger tæt derpå for at afgøre, om de går imod ligevægtsløsningen eller frastødes af den. Disse aspekter vil vi behandle nærmere i kapitel 3 om stabilitet. Side 10 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

11 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Linearitet 1.3 LINEARITET Definition 1.6 præciserer, hvilke egenskaber en afbildning skal opfylde for at være lineær. Definition 1.6 Lineær afbildning Afbildningen f : V W, hvor V og W er vektorrum over R n, n N kaldes lineær, hvis den opfylder, at f (ax 1 + bx 2 ) = a f (x 1 ) + b f (x 2 )for alle x 1, x 2 V og a,b R. (1.1) Bemærk at i (1.1) skal ax 1 + bx 2 V, hvilket opfyldes af, at V er et vektorrum. [Jensen, 2000, k. 5] Denne definition er en sammenfatning af de to linearitetsprincipper: 1. Skalarmultiplikation: f (ax) = a f (x). 2. Distributivitet: f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ). Når vi har at gøre med lineære afbildninger i en ligning, så viser det sig, at der gælder en række generelle ting omkring løsningerne hertil, men der er først brug for endnu en definition. Definition 1.7 Homogene og inhomogene lineære ligninger Givet en lineær afbildning f : V W som i definition 1.6, da kaldes ligningen f (x) = q, q R for en lineær ligning. Hvis q = 0, så siges ligningen af være homogen, hvis q = 0 siges ligningen at være inhomogen. [Jensen, 2000, k. 5] Vi kan nu efter disse to definitioner udtale os om strukturen af løsninger til lineære ligninger. Sætning 1.8 Løsninger til lineære ligninger Givet en lineær afbildning f : V W som i definition 1.6, så gælder: (I) Givet at x 1, x 2,..., x k er løsninger til den homogene lineære ligning f (x) = 0, så er x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n også løsning til f (x) = 0 for vilkårlige c 1,c 2,...,c n R. (II) (III) Ved at tage én løsning til en inhomogen lineær ligning f (x) = q 0 og addere den med den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene lineære ligning f (x) = 0, så bestemmes den fuldstændige løsning til den inhomogene lineære ligning. Hvis x = x i er en løsning til f (x) = q i for ethvert i = 1,2,...,k, så er x = x 1 +x 2 + +x n en løsning til ligningen f (x) = q 1 + q q n. Dette princip kaldes for superpositionsprincippet. [Jensen, 2000, k. 5] Bevis: KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 11

12 1.3. Linearitet Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT (I) Givet en lineær afbildning f (x) samt at f (x i ) = 0 for i = 1,2,...,n, så får vi ved gentagen anvendelse af (1.1), at f (x) = f (c 1 x 1 + c 2 x c n x n ) = c 1 f (x 1 ) + f (c 2 x 2 + c 3 x c n x n ) = 0 + c 2 f (x 2 ) + f (c 3 x 3 + c 4 x c n x n ). = f (c n x n ) = c n f (x n ) = 0, så f (x) = f (c 1 x 1 + c 2 x c n x n ) er altså også en løsning. (II) Det antages, at vi har en løsning x 1, så f (x 1 ) = q = 0. Vi viser først, at hvis x 0 løser den homogene lineære ligning f (x 0 ) = 0, så er x 0 + x 1 løsning til den inhomogene lineære ligning f (x) = q 0. Vi viser dermed, at vi får en løsning ved at addere en vilkårlig løsning til den inhomogene lineære ligning til den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene lineære ligning. Vi anvender (1.1) og får, at f (x 0 + x 1 ) = f (x 0 ) + f (x 1 ) = 0 + f (x 1 ) = q, og det fremgår heraf, at x 0 + x 1 er en løsning til f (x) = q 0. Vi skal nu ydermere vise, at enhver løsning til den inhomogene lineære ligning kan skrives på formen som angivet i sætningen. Givet en vilkårlig løsning x 2, så f (x 2 ) = q = 0, så vil vi vise, at x 2 kan skrives på formen x 2 = x 0 + x 1 x 0 = x 2 x 1. Vi anvender igen (1.1) og får, at f (x 0 ) = f (x 2 + ( 1) x 1 ) = f (x 2 ) f (x 1 ) = q q = 0. Idet f (x 0 ) = 0 altså er løsning til den homogene lineære ligning, så har vi vist det ønskede. (III) Superpositionsprincippet følger også ved anvendelse af (1.1), idet at er f (x i ) = q i for i = 1,2,...,n, så har vi, at f (x 1 + x x n ) = f (x 1 ) + f (x 2 + x x n ) = q 1 + f (x 2 + x x n ) = q 1 + f (x 2 ) + f (x 3 + x x n ). = q 1 + q f (x n ) = q 1 + q q n, og vi får således det ønskede LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER Hvis en differentialligning opfylder betingelserne fra definition 1.6, så siges den at være lineær, og vi kender dermed til strukturen af dens løsninger. Side 12 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

13 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Kontinuitet 1.4 KONTINUITET Kontinuitet er en vigtig egenskab for en funktion, der bl.a. giver anledning til en sætning om eksistens af ekstremum, som vi får brug for flere gange senere hen, vi beviser dog ikke sætningen i denne projektrapport. Definition 1.9 Kontinuitet En funktion f : [ a ; b ] R siges at være kontinuert i punktet x 0 [ a ; b ], hvis der for ethvert ε > 0 eksisterer et δ > 0, således at når x [ a ; b ] og x x 0 < δ, så har vi, at f (x) f (x 0 ) < ε. Hvis en funktion f : [ a ; b ] R er kontinuert i ethvert punkt x 0 [ a ; b ], så siges f at være kontinuert på [ a ; b ]. [Cohen, 2003, s. 52] Sætning 1.10 Eksistens af ekstremum Hvis I er et lukket og begrænset interval, og f : I R er kontinuert på I, så er f begrænset på I. Derudover, hvis så eksisterer punkterne x m, x M I således at M = sup f (x) og m = inf f (x), x I x I f (x M ) = M og f (x m ) = m. [Wade, 2004, sæt. 3.26] 1.5 SYSTEMER AF LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER Et system af indbyrdes relaterede differentialligninger er en måde til at beskrive vekselvirkninger, der måtte være i en given model, på. Man sætter således en enkelt differentialligning ind i en større sammenhæng og muliggør beskrivelsen af mere komplekse situationer. Flere lineære førsteordens differentialligninger på formen x = f (t, x) sættes ind i et system på formen X = F (t, X ), hvor X, X,F R n. x 1 f 1 (t, x 1, x 2,..., x n ) X x 2 =. = f 2 (t, x 1, x 2,..., x n ).. (1.2) x n f n (t, x 1, x 2,..., x n ) Hvis hver af differentialligningerne i systemet er autonome (se definition 1.4), siges systemet som helhed at være autonomt. Ellers, hvis mindst en af ligningerne også afhænger direkte af t, er systemet ikke-autonomt. At finde en løsning til systemet går således ud på at bestemme vektorfunktionen X (t), der under indsættelse opfylder (1.2). For at finde ikke ligevægtpunktssløningerne til et plant lineært system X = AX benyttes sætning Sætning 1.11 Ikke-ligevægtspunktsløsninger Antag at V 0 er en egenvektor for matricen A med tilhørende egenværdi λ. Så har systemet X = AX funktionen X (t) = e λt V 0 som en løsning. KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 13

14 1.6. Kanoniske former af differentialligninger Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Bevis: Ved at indsætte udtrykket e λt V 0 på X (t) s plads, og gange med egenværdien λ får vi X (t) = λe λt V 0 = e λt (λv 0 ) = e λt (AV 0 ) = A(e λt V 0 ) = AX (t), så X (t) = AX. Altså er X (t) = e λt V 0 en løsning til X (t) = AX. I vores model behandler vi et lineært autonomt system X = F (X ), hvor X, X : R R 2. Fordi systemet ikke er større, kan vi for bekvemmelighedens skyld sætte x 1 = x, x 2 = y, f 1 = f og f 2 = g, og vi får dermed [ X x = y ] [ ( ) f x, y = g ( x, y ) ]. Løsningen hertil er vektorfunktionen [ x X = y ]. Et sådant system i R 2 kaldes plant, fordi dets løsning, banekurven X (t), beskriver en plan bevægelse eller i særlige tilfælde kun et punkt (se afsnit om ligevægtspunkter). Da f og g er lineære funtioner, kan systemet skrives som følgende to koblede differentialligninger: x = ax + by, y = cx + d y. N te-ordens diffenrentialligninger er på formen x (n) = f (t, x, x,..., x (n 1) ). Disse kan løses ved at omskrive dem til et system af linære første-ordens diffenrentialligninger. Dette gøres simpelt ved at indføre en ligning for hver grad af den oprindelige ligning, som er en grad mindre. x (n) = f (t, x, x,..., x (n 1) ) bliver altså til systemet: x (n 1) = y y (n 1) = f (t, x, x,..., x (n 2) ) Fordi dette altid er muligt, er der ingen grund til at beskæftige sig med løsning af højere-ordens differentialligninger. 1.6 KANONISKE FORMER AF DIFFERENTIALLIGNINGER Vi beskæftiger os med lineære differentialligningssystemer, der kan skrives på formen: x = ax + by y = cx + d y Side 14 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

15 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT De kanoniske former Vi indfører en koefficientmatrix, A, [ X x ] [ ] ax + by = = = cx + d y y [ a b c d Der er tre af disse matrixformer, der især er interessante: [ ] [ ] λ 0 α β,, 0 µ β α Disse kaldes de kanoniske former. ][ ] x = AX. y [ ] λ 1. 0 λ 1.7 DE KANONISKE FORMER Det er muligt at udregne en løsning til et plant system ved at omdanne den tilhørende matrix til en matrix i kanonisk form vha. en passende similaritetstransformation. Derfor kan løsningen til problemet på kanonisk form omdannes til en løsning til det oprindelige system. Vi vil senere vise, at det altid kan lade sig gøre at omdanne et todimensionelt, lineært differentialligningssystem til en af disse kanoniske former REELLE FORSKELLIGE EGENVÆRDIER Det første tilfælde er når A har to forskellige egenværdier λ 1 < λ 2, hvor λ i 0. De to λ-værdier kan være både negative og positive. I alle tre tilfælde ses der på systemet X = AX med matricen [ ] λ1 0 A =. 0 λ 2 NEGATIV OG POSITIV λ-værdi Her er λ 1 < 0 < λ 2 og systemet omskrives til de to førsteordensligninger x = λ 1 x, y = λ 2 y. Egenværdierne kan findes ved at løse ligningen det(a λi ) = 0. Så har man det karakteristiske polynomium (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = 0, hvilket betyder at λ 1 og λ 2 er egenværdier. Egenvektoren for egenværdien λ 1 findes ved at løse ligningen [ ] [ ] ([ ] [ ])[ ] [ ] x 0 λ1 0 λ1 0 x 0 (A I λ 1 ) = =. y 0 0 λ 2 0 λ 1 y 0 Hvilket giver de to ligninger 0x + 0y = 0, 0x + (λ 2 λ 1 )y = 0. Da 0 er koefficient til x og (λ 2 λ 1 )y = 0, kan man vælge hvilken som helst vektor af formen (x,0), x Z som egenvektor. (1,0) er derfor en egenvektor for λ 1. Hvis man laver de samme udregninger for λ 2 finder man egenvektoren (0, 1). Den generelle løsning for systemet er derfor [ ] [ ] X (t) = αe λ 1t 1 + βe λ 2t 0. (1.3) 0 1 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 15

16 1.7. De kanoniske former Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Ved at kigge på αe λ 1t (1,0) fra (1.3) og holde for øje at λ 1 < 0, kan det ses at, der i tilfælde hvor β = 0, ligger en løsning langs x-aksen der går mod punktet (0, 0), jo større t bliver. Dette gælder da lim t αeλ 1t = 0. Denne akse kaldes for den stabile linie. Noget tilsvarende sker for βe λ 2t (0,1) i tilfælde, hvor α = 0. Da λ 2 > 0 og lim x e x =, går løsningen væk fra punktet (0,0) og op ad y-aksen mens t stiger, eller ned af y-aksen afhængig af om β er negativ eller positiv. Denne akse kaldes den ustabile akse. Alle andre løsninger hvor α,β 0 starter med at følge den stabile akse og gravist begynder at gå retning af den ustabile akse og går mod, mens t vokser. Dette sker netop fordi αe λ 1t 0 og βe λ 2t, mens t vokser. Omvendt gælder det, at jo mindre t bliver jo mere går løsningen mod den stabile akse. Denne type for eqvivalens punkt kaldes for en saddel. TO NEGATIVE λ VÆRDIER Igen har vi at gøre med systemet X = AX, men nu gælder det at λ 1 < λ 2 < 0. Den generelle løsning findes på samme måde og man kommer frem til (1.3). Da λ 1 og λ 2 begge er negative, har vi, at alle løsninger går mod (0,0), mens t går mod uendelig. For at finde ud af hvordan løsningerne går mod origo udregnes stigningen d y/dx af en løsning med β 0. Ud fra den generelle løsning kan man danne ligningerne og stigningen er derfor x(t) = αe λ 1t, y(t) = βe λ 2t, d y dx = d y/dt dx/dt = λ 2βe λ2t λ 1 αe λ 1t = λ 2β λ 1 α e(λ 2 λ 1 )t. Idet λ 2 λ 1 > 0, går disse stigninger mod ± hvis β 0, og deres stigning tangerer y-aksen, mens de nærmer sig origo. I tilfælde hvor enten β = 0 eller α = 0 er der en tilsvarende stabil løsning på enten y- eller x-aksen. Da det gælder at λ 1 < λ 2, kaldes λ 1 for den stærke egenværdi og λ 2 for den svage egenværd, og løsningerne går derfor hurtigere mod origo hen af x-aksen end de gør hen af y-aksen. Denne form for løsning kaldes et dræn. TO POSITIVE λ VÆRDIER Når det gælder at 0 < λ 2 < λ 1 har vi den samme generelle løsning som i de foregående eksempler, altså (1.3). Løsningen vil se ud på samme måde som i det foregående eksempel, men i stedet for at alle løsninger vil gå mod origo vil de bevæge sig væk fra origo. Denne form for løsning kaldes en kilde. For de tre eksempler gælder der generelt, at en løsning er på formen [ X (t) = αe λ 1t u1 u 2 ] [ + βe λ 2t v1 v 2 hvor λ 1 og λ 2 er egenværdier med egenvektorne [u 1,u 2 ] og [v 1, v 2 ]. Her gælder det at de stabile og ustabile akser vil ligge langs disse vektorer. ] REELLE OG ENS EGENVÆRDIER Der blev før behandlet systemet X = AX, hvor der om egenværdierne λ 1 og λ 2 gjaldt, at λ 1 λ 2. Vi vil nu behandle to tilfælde af et lignende system, hvor der om A 1, A 2 R 2 gælder Side 16 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

17 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT De kanoniske former [ λ 0 A 1 = 0 λ [ λ 1 A 2 = 0 λ ], ]. λ R er i begge tilfælde en dobbeltrod i det karateriske polynomium det(a i I λ) = 0,i {1,2}, hvorved begge egenværdier er lig med λ. 1. Vi ønsker at finde de ikke trivielle løsninger for egenvektoren V, hvorom det gælder, at (A 1 I λ)v = 0. Det ses, at [ 0 0 (A 1 I λ)v = ] V = 0. Derfor kan V vælges vilkårligt, V R 2 \{ [ 0 0 ] }. Når vi har fundet egenværdierne, som her er ens, og den tilsvarende egenvektor, ved vi, at løsninger til systemet kan skrives på formen x(t) = e λt V, hvor V R 2 \ { [ 0 0 ] }. De fundne løsninger til det netop behandlede problem, kunne også anses som sammensætning af løsningerne til to 1-dimensionelle problemer, idet X = AX x = λx, y = λy. [ αe λt X = βe λt ] = e λt [ α β ], hvor α,β R. Løsninger er således vilkårlige linier i (x, y)-planet gennem origo svarende til en forlængelse af vektoren V. Løsningen til tiden t afhænger af funktionen e λt. For λ > 0 og t går løsningen væk fra origo og omvendt ind mod origo, når λ < 0 og t. 2. Som før er λ en dobbeltrod i det karakteriske polynomium, men her gælder om den tilsvarende egenvektor, at V = [ 1 0 ], idet Vi har derfor igen, at en løsning er på formen [ 0 1 (A 2 I λ)v = [ x(t) = αe λt 1 V 0, hvor V 0 = 0 ] V = 0. ],α R. KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 17

18 1.7. De kanoniske former Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Den fuldstændige løsning er ikke på ovenstående form, som blot er én løsning til det lineære, autonome system af differentialligninger. Ved at anskue systemet som vist nedenfor, ser man, at det er muligt at omskrive til et ikke-autonomt differentialligningssystem. X = AX x = λx + y, y = λy. De to ligninger kan løses separat. y(t) = βe λt,β R, er den velkendte fuldstændige løsning til den ene ligning. y i den første differentialligning kan således erstattes med løsningen til den anden. Vi får, at x = λx + βe λt,β R. Denne differentialligning beskriver ligeledes vores problem, men som sagt er denne ikke-autonom, idet den både afhænger af x og t. Vi kan derfor ikke benytte helt samme metode som tidligere til at bestemme den fuldstændige løsning. Vi omskriver den ikke-autonome differentialligning som følger x = λx + βe λt,β R dx = p(t)x + q(t) dt q(t) = dx dt + p(t)x. Vi har en eksplicit formel, som giver den fuldstændige løsning til et problem af den type, nemlig x = e P(t) ( ) e P(t) q(t)dt + c, c R, hvor P(t) = p(t)dt. Den fuldstændige løsning, hvor c = α R, er således x = e λt ( x = e λt ( x = e λt ( βt + α ) x = βte λt + αe λt. Vi har således den fuldstændige løsning til systemet ) e λt βe λt dt + α ) βe 0 dt + α [ X λx + y = λy ], givet ved [ αe λt + βte λt X = βe λt ] = αe λt [ 1 0 ] + βe λt [ t 1 ]. For λ > 0 og t er går løsningen væk fra origo, men for at afgøre bevægelsen for λ < 0 og t, kræves en yderligere behandling af leddet βte λt. Ved brug af l Hôpitals regel ses, at lim t βteλt = lim t βt β = lim e λt t λe λt = 0. Så løsningen går ind mod origo. I det enkle tilfælde er løsningen i (x, y)-planet en vilkårlig linie gennem origo, men her er der ikke tale om linier. Side 18 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

19 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT De kanoniske former Faseportrættets udseende for λ < 0 og t kan vurderes ved at undersøge forholdet mellem y(t) og x(t). Vi benytter igen l Hôpitals regel og ser, at x (t) lim t y (t) = lim x(t) t y(t) = lim αe λt + βte λt t βe λt = lim ( α t β + t) =. x Da lim (t) t y (t) =, må løsningenskurven tæt på origo tangere x-aksen, som er en forlængelse af egenvektoren V = [ ] 1 0. For λ > 0 og t gælder der tilsvarende for løsningskurven, blot at bevægelsen er rettet væk fra origo KOMPLEKSE EGENVÆRDIER [ ] α β A =. β α Først findes egenværdierne. Vi udregner [ ] α λ β det((a λi )X ) = det = (α λ)(α λ) + β 2. β α λ Heraf fås det karakteristiske polynomium λ 2 2λα + α 2 + β 2 = 0. Isoleres λ fås to egenværdier, λ = α ± iβ. Egenvektorerne kan nu findes: (A λi )X = 0 Ved indsættelse fås, at (1, i) og (i, 1) er de tilhørende egenvektorer. Fra [Hirsch et al., 2004], side 30, har vi, at hvis V er en egenvektor med den tilhørende egenværdi λ, da er X (t) = e λt V en løsning til differentailligningen: X (t) = λe λt V = e λt (λv ) = e λt (AV ) = A(e λt V ) = AX (t) Den fundne egenvektor indsættes: X (t) ] [ 1 = e (α+iβ)t i [ ] [ ] cos(βt) sin(βt) = e αt + ie αt sin(βt) cos(βt) = X R (t) + i X I (t) X R (t) + i X I (t) = X (t) = AX (t) = A(X R (t) + i X I (t)) = AX R (t) + i AX I (t) KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 19

20 1.8. Similaritetstransformationer Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Da der ikke indgår nogen komplekse elementer i hverken X R (t), X I (t), AX R(t) eller AX I (t), kan man sætte lighedstegn mellem de reelle hhv. de imaginære led, altså X R (t)(t) = AX R(t) og i X I (t)(t) = i AX I (t). I sidste udtryk forkortes i væk, og det ses da, at X R (t) og X I (t) hver især er reelle løsninger. Den generelle løsning er derfor: X (t) = c 1 e αt [ cos(βt) sin(βt) ] [ ] + c 2 e αt sin(βt) cos(βt) Faktoren e αt fortæller, at i stedet for at beskrive en cirkelform, beskriver udtrykket en spiral, der bevæger sig væk fra origo for α > 0 og ind mod origo for α < SIMILARITETSTRANSFORMATIONER I forrige afsnit blev det vist, hvorledes løsninger findes til systemer X = AX, hvor A er på kanonisk form. Vi vil nu vise, det er muligt for alle 2 2-matricer at foretage et koordinatskifte, hvorefter matricen vil være på en af de tre former og det derved bliver muligt at bruge løsningsmetoderne fra forige afsnit. Vi benytter os af similaritetstransformationer fra R 2 R 2. Givet en matrix A og en invertibel matrix T, er Y (t) løsning til systemet Lad X (t) = T Y (t). Vi har, at Y = (T 1 AT )Y (T Y (t)) = T Y (t) = T (T 1 AT )Y (t) = AT Y (t) X (t) = AX (t) Vi har vist, at det er muligt at finde en matrix T, som transformerer løsninger fra et system til et andet. Ligeledes har vi, at T 1 bruges til at komme tilbage. Spørgsmålet er så, hvordan T findes. Vi deler igen op i tre tilfælde REELLE OG FORSKELLIGE EGENVÆRDIER Antag at matricen A har to forskellige reelle egenværdier λ 1 og λ 2 og egenvektorne V 1 og V 2. Lad E = [ E 1 E 2 ] være en matrix bestående af to lineært uafhængige vektorer E 1 = (1,0) og E 2 = (0,1), der danner en basis i R 2. Lad desuden T = [ V 1 V 2 ]. Da T er en kvadratisk matrix med lineært uafhængige søjlevektorer, så gælder det, at T E j = V j og T 1 T E j = T 1 V j T 1 V j = E j for j = 1,2. Vi har da, at (T 1 AT )E j = T 1 AV j = T 1 (λ j V j ) = λ j T 1 V j = λ j E j. Dvs. matricen T 1 AT er i den kanoniske form [ ] T 1 λ1 0 AT = 0 λ 2 Side 20 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

21 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Similaritetstransformationer hvilket kan løses ved hjælp af metoden fra forrige afsnit. Lad os som eksempel se på [ ] 1 0 A = 1 2 [ ] [ ] 1 0 der har egenværdier λ = 1 med egenvektoren og λ = 2 med vektoren. Ud fra egenvektorene 1 1 gælder det, at [ ] 1 0 T = 1 1 og Herefter udregnes T 1 = [ ] [ ] T AT =, 0 2 hvilket er i kanonisk form. Den generelle løsning til systemet Y = (T 1 AT )Y er [ ] [ ] Y (t) = αe t 1 + βe 2t 0, 0 1 hvilket giver den generelle løsning til X = AX som T Y (t) = [ ]( [ ] [ ]) [ ] [ ] 1 0 αe t 1 + βe 2t 0 = αe t 1 + βe 2t Vi har at den linære tranformation T konverterer faseportrettet for systemet til faseportrettet af X = AX. [ ] Y 1 0 = Y REELLE OG ENS EGENVÆRDIER Hvis vi kan finde to lineært uafhængige egenvektorer for A, kan vi gå frem som lige vist i sidste afsnit, og A på kanonisk form bliver [ λ 0 A = 0 λ Hvis vi derimod ikke er i stand til at finde to lineært uafhængige egenvektorer, da er alle egenvektorer et multiplum af egenvektoren V til faseportrættet af X = AX. Eksempel 1.12 Lad W være en vektor, der er lineær uafhængig af V, så vi har, at AW = µv +νw for µ,ν R, dog med µ 0 for ellers ville have en anden lineær uafhængig egenvektor W med egenværdi µ. Vi vil nu vise, at µ = λ. Vi vil opnå modstrid og antager derfor, at µ λ 0. Så følger det, at ]. ( ( A W + µ ν λ ) ) ( ( V = ν W + µ ν λ ) ) V, KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 21

22 1.8. Similaritetstransformationer Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT hvilket betyder, at ν er en anden egenværdi forskellig fra λ. Dette er en modstrid, og vi må have, at ν = λ. Lad U = W µ, så AU = V + λ µ W = V + λu. Vi definerer T E 1 = V og T E 2 = U, så vi får T 1 AT = [ ] λ 1. 0 λ Det var, hvad vi ønskede nemlig at bringe X = AX på en kanonisk form TRANSFORMATIONER MED KOMPLEKSE EGENVÆRDIER Fra [Hirsch et al., 2004, s. 54]: Vi antager nu, at egenværdierne for A i differentialligningssystemet X = AX er komplekse på formen α ± iβ, hvor β 0. Så finder vi en kompleks egenvektor på formen V 1 + iv 2, så V 1 og V 2 altså er reelle. V 1 og V 2 er lineært uafhængige vektorer i R 2. Var de ikke det, ville der eksistere et c R, så V 1 = cv 2, som giver os, at A(V 1 + iv 2) = (α + iβ)(v 1 + iv 2) = (α + iβ)(c + i)v 2, men vi har også, at A(V 1 + iv 2 ) = (c +i)av 2. Dermed kan vi konkludere, at AV 2 = (α+iβ)v 2, men dette er en modstrid, da venstresiden er en reel vektor, mens højresiden er kompleks. Da V 1 + iv 2 er egenvektoren tilhørende α + iβ, har vi A(V 1 + iv 2 ) = (α + iβ)(v 1 + iv 2 ). Sætter vi lighedstegn mellem hhv. de reelle og imaginære dele, da fås: AV 1 = αv 1 βv 2 AV 2 = βv 1 + αv 2 Hvis T er matricen med V 1 og V 2 som søjlevektorer, altså T E j = V j for j = 1,2. Dermed har vi (T 1 AT )E 1 = T 1 (αv 1 βv 2 ) = αe 1 βe 2 og tilsvarende (T 1 AT )E 2 = βe 1 + αe 2 Altså er matricen T 1 AT på den kanoniske form [ ] T 1 α β AT =. β α Side 22 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

23 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Klassifikation ud fra determinant og spor 1.9 KLASSIFIKATION UD FRA DETERMINANT OG SPOR Det viser sig at være ganske enkelt at afgøre, hvordan et givent differentialligningsystem "opfører sig"uden at gennemgå den langsommmelige process med at finde egenværdier og egenvektorer. Ofte er det nemlig blot systemets løsningers kvalitative egenskaber, der er interessante. Vi får brug for følgende definition: Definition 1.13 En matrices spor En matrices spor er summen af komponenterne i matricens diagonal. For differentialligningssystemet med koefficientmatricen [ ] a b A = c d ved vi, at egenværdirne er rødderne i den karakteristiske ligning, som kan skrives λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = 0 Konstanten, (ad bc), er matricens determinant, mens koefficienten for λ er (a + d), altså matricens spor. Egenværdierne opfylder altså den omskrevne ligning: Løses denne andengradsligning fås I det følgende angives tr A = T og det A = D. λ 2 (tr A)λ + det A = 0 λ = tra ± (tra) 2 4det A 2 Vi viste i afsnit 1.6, at man netop ud fra egenværdierne kunne afgøre, om løsningerne ville være spiraldræn, spiralkilder, centre, etc. Det er væsentligt om egenværdierne er komplekse (altså med en imaginær del), reelle og forskellige, eller reelle og gentagne. Dette kan afgøres ud fra T 2 4D, altså andengradsligningens diskriminant. Det er velkendt, at andengradsligningens løsninger, altså koefficientmatricens egenværdier er komplekse (altså med en ikke-nul imaginærdel), hvis T 2 4D < 0, reelle og gentagne, hvis T 2 4D = 0, og reelle og forskellige, hvis T 2 4D > 0. Ser vi først på tilfældet T 2 4D < 0, så er realdelen af egenværdierne T /2, og vi har altså spiraldræn for T < 0, spiralkilde for T > 0, og KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 23

24 1.10. Lotka-Volterra Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT center for T = 0. Da den karakteristiske ligning er en andengradsligning gælder det også, at hvis de to løsninger er λ 1 og λ 2, så λ 1 + λ 2 = T og λ 1 λ 2 = D. Ser vi på tilfældet T 2 4D > 0, hvor der altså er to forskellige, reelle egenværdier, ved vi, at hvis D < 0, så udgør løsningen en saddel, da D < 0 hvis og kun hvis de to egenværdier har forskelligt fortegn. Hvis T < 0 og D > 0, så er begge egenværdierne negative, og løsningerne er altså (reelle) dræn, mens hvis T > 0 og D > 0, så er begge egenværdierne positive og løsningerne er da (reelle) kilder. Er D = 0 og T 0, så har vi altså en dobbeltrod som egenværdi, hvormed løsningen blot er linjen y = x LOTKA-VOLTERRA Nu hvor vi har behandlet en række grundlæggende begreber inden for differentialligningssystemer, vil vi omsider præsentere vores model INTRODUKTION Udgangspunktet for vores arbejde er rovdyr/byttedyr-modellen som opstillet uafhængigt af Alfred J. Lotka og Vito Volterra i hhv og 1926 [Wikipedia, 2006c]. Modellen er en abstraktion over et økosystem, hvor der findes to dyrearter, navnlig rovdyr og byttedyr. Modellen er et godt eksempel på, hvordan man benytter en simplificeret matematisk model til at beskrive en række komplekse sammenhænge i den virkelige verden. Skulle modellen have været nøjagtig, måtte man også inddrage faktorer som konkurrerende rovdyr, jagtsæson, årstid, sygdom og en lang række andre ting. Alt dette er er skåret fra, og modellen beskæftiger sig altså udelukkende med de to arters påvirking på sig selv og hinanden DEN MATEMATISKE MODEL [HIRSCH ET AL., 2004, S. 240] Vi lader størrelsen på rovdyrbestanden benævnes ved y = y(t) og størrelsen på byttedyrbestanden x = x(t). Modellen bygger på en række antagelser: Byttedyrene antages at have ubegrænset adgang til føde, så i fraværet af rovdyr, vil byttedyrbestanden øges proportionalt med størrelsen på den nuværende bestand. Så for y = 0, har vi altså x = αx x(t) = e αt, α > 0 Er der rovdyr til stede, da aftager byttedyrsbestanden proportionalt med antallet af konfrontationer mellem rovdyr og byttedyr. Dette forhold simplificeres til βx y, β > 0, så den samlede differentialligning bliver x = αx βx y = x(α βy), α, β > 0 Rovdyrenes eneste kilde til føde antages at være byttedyrene, så i fraværet af byttedyr, vil rovdyrbestanden aftage proportionalt med størrelsen på den nuværende bestand, så for x = 0, har vi y = γy y(t) = e γt, γ > 0 Side 24 KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER

25 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Lotka-Volterra Er der byttedyr til stede, da tiltager rovdyrsbestanden proportionalt med antaller af konfrontationer mellem rovdyr og byttedyr. Dette forhold simplificeres til δx y, δ > 0, så den samlede differentialligning bliver y = γy + δx y = y( γ + δx), γ, δ > 0 Det fuldstændige differentialligningssystem bliver altså X (t) = [ x ] [ ][ ] (t) α βy x(t) y =, α, β, γ, δ > 0 (t) γ + δx y(t) Bemærk i øvrigt, at da vi beskæftiger os med dyrebestande, ( så) interesserer vi os kun for x- og y-værdier γ > 0, og at systemets ligevægtspunkter findes i (0,0), og δ, α β. KAPITEL 1. INTRODUKTION TIL PLANE DIFFERENTIALLIGNINGSSYSTEMER Side 25

26 This page intentionally left blank

27 KAPITEL 2 EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER 2.1 INDLEDNING I dette kapitel skal vi beskæftige os med det fundamentale spørgsmål om, hvorvidt der til en given differentialligning eksisterer en entydig løsning. Vi gør dette ved først at behandle konvergens af følger i metriske rum, og herefter at vise den såkaldte fikspunktssætning. Ved at vise, at løsningerne til et BVP og dennes omskrevne integralligning er ækvivalente, så har vi grundlaget og værktøjerne for at vise Picard-Lindelöf-sætningen, som er hovedresultatet i dette kapitel. Efterfølgende ser vi på en række eksempler på differentialligninger, som vil blive undersøgt med henblik på at belyse hvilke af deres egenskaber, der gør sig gældende for at afgøre, om der findes en entydig løsning eller ej. 2.2 KONVERGENTE FØLGER I METRISKE RUM METRISKE RUM Vi indfører nu abstraktionen metrisk rum med henblik på at kunne arbejde med følger og konvergens i en mere generel forstand. Vi forudsætter en vis fortrolighed med reelle følger og konvergens af disse i R og går direkte til at beskæftige os med disse begreber i metriske rum vi starter ud med to fundamentale definitioner. Definition 2.1 Metrisk rum Et metrisk rum, betegnet (X,d), er et ordnet par bestående af en mængde X samt en metrik d, der er en afbildning d : X X R +. Metrikken d skal for alle x, y, z X opfylde, at 1. d ( x, y ) = 0 hvis og kun hvis x = y. 2. d ( x, y ) = d ( y, x ). 3. d ( x, y ) d (x, z) + d ( z, y ). [Cohen, 2003, kap. 2.2, s. 85, def ] Elementerne i X kalder vi for punkter, og metrikken bruges som et udtryk for afstanden mellem de forskellige punkter, og det er årsagen til, at d afbilledes over i R +, idet vi betragter en afstand som noget, der aldrig er negativ. I ord skal en metrik overholde: 1, at en afstand mellem to punkter kun er nul, hvis de to punkter er et og samme punkt; 2, at afstanden imellem to punkter er ens uanset i hvilken retning, den måles; 3, at trekantsuligheden gælder. Et typisk eksempel på et metrisk rum er (R n,d E ), hvor d E er den almindelige euklidiske afstand, idet der foregår mange operationer her, uden at abstraktionen metrisk rum nødvendigvis overvejes et tal x s numeriske værdi x kan eksempelvis betragtes som den euklidiske afstand i (R,d E ) mellem 0 og x, dvs. x = d E (0, x). Definition 2.2 Metrisk underrum Givet et metrisk rum (X,d), da kaldes et metrisk rum (S,d), hvor S X for et metrisk underrum til (X,d). [Cohen, 2003, s. 107] I eksempel 2.5 vil vi se på et andet metrisk rum med en tilhørende metrik, som vi får brug for senere hen. Først vil vi dog indføre et begreb, som kan bruges til at angive, om der for en given funktion

28 2.2. Konvergente følger i metriske rum Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT gælder, at den har et givet antal afledede, som er kontinuerte på et specificeret interval, og hertil indfører vi definition 2.3. Definition 2.3 C n Lad C n, n N { } betegne den mængde af reelle funktioner, der er n gange differentiable, (I ) og hvis afledede er kontinuerte på intervallet I. Hvis en reel funktion f opfylder ovenstående, så siges den at være C n, n N { }. Hvis (I ) intervallet I er identisk med R, så vil vi ikke eksplicit angive dette men blot skrive, at den pågældende funktion er C n. Hvis I er et specifikt interval, så vil vi angive dette som eksempelvis C 1 ]a;b[. [Wade, 2004, s. 89] Bemærk, at n godt kan være uendelig, definitionen giver os eksempelvis, at f : R R, f (x) = sin(x) er C, idet sin(x) er uendeligt mange gange differentiabel og alle afledte er kontinuerte. Vi er dog primært interesserede i tilfældene C 1 [ a ;b ] samt C 0 [ a ;b ], og bemærk her, at C 0 betyder, at en funktion [ a ;b ] er kontinuert på [ a ; b ], men det betyder ikke nødvendigvist, at funktionen ikke er flere gange differentiabel med en kontinuert afledt, idet C m C n for m > n. Vi skal i første omgang her kun gøre brug af C 0 for at kunne udtrykke mængden af funktioner, der [ a ;b ] er kontinuerte på et givent interval. Vi vælger dog for overskuelighedens skyld at bringe eksempel 2.4 nu på trods af, at vi først drager nytte af dets indhold senere i lemma Eksempel 2.4 Om funktionen X (t), der er differentiabel og kontinuert på [ a ; b ], har vi, at X (t) er C 1 [a,b] X (t) eksisterer og er C 0 [a,b]. Idet X (t) er C 1 [a,b], så har den pr. definition en afledede X (t), der er kontinuert på [ a ; b ] og dermed C 0 [ a ;b ]. Idet X (t) er kontinuert på [ a ; b ], så må den have en stamfunktion X (t), der på [ a ; b ] er kontinuert og differentiabel, hvorfor X (t) er C 1 [ a ;b ]. Eksempel 2.5 Metrisk rum med kontinuerte funktioner og den uniforme metrik. Vi skal her betragte det metriske rum (X,d u ), hvor X = C 0, dvs., mængden af funktioner, der er [ a ;b ] kontinuerte på det lukkede interval [ a ; b ], og d u, der er givet ved d u (x, y) = max x(t) y(t), (2.1) a t b hvor x(t), y(t) er C 0 med t som variabel. Denne metrik benævnes ofte den uniforme metrik (se [ a ;b ] sætning 2.10 for mere herom), og vi noterer os, at den altid vil give et endeligt resultat, da vi fra sætning 1.10 har, at en kontinuert funktion på et lukket interval vil antage både en maksimum- og en minimumværdi. Vi viser ikke, at den opfylder betingelser for en metrik (definition 2.1), en redegørelse herfor kan findes i [Cohen, 2003, s ]. Side 28 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER

29 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Konvergente følger i metriske rum Metrikken kan anvendes som et udtryk for, hvor ens to funktioner i det metriske rum er. Hvis to funktioner x(t) = y(t) for alle t [ a ; b ], dvs., at der på [ a ; b ] er tale om en og samme funktion, så vil d u ( x (t), y (t) ) = 0, idet at x(t) y(t) = 0 for alle t [ a ; b ]. Hvis to funktioner derimod ikke er ens på [ a ; b ], så vil metrikken give den største afvigelse, hvilket også kan formuleres som at finde den største værdi af differensfunktionen x(t) y(t) for t [ a ; b ]. Bemærk her, at differensfunktionen er også kontinuert, når x(t) og y(t) er kontinuerte. Vi skal senere benytte dette rum med den tilhørende metrik som et led i beviset for eksistens og entydighed af løsninger til en ODE KONVERGENS Hvis man ser på konvergens af reelle talfølger i R, så kan det også betragtes som at se på konvergens af følger i det metriske rum (R,d E ), og vi vil nu definere generelt, hvordan konvergens af følger i metriske rum betragtes samt vise et nyttigt korollar hertil, og at der er tale om et entydigt konvergenspunkt. Definition 2.6 Konvergens og grænser for følger i metriske rum En følge {x n } i et metrisk rum (X,d) siges at konvergere mod konvergenspunktet x X, hvis der for ethvert tal ε > 0 findes et tal N N, så det gælder, at d (x n, x) < ε, når n > N, og x kan så betragtes som grænseværdien for følgen, og vi skriver lim x n = x. n [Cohen, 2003, kap. 2.5, s. 98] Korollar 2.7 Givet en konvergent følge {x n } i et metrisk rum (X,d), x n X, da har vi, at afstanden mellem det n te element i følgen {x n } og denne følges konvergenspunkt, x, går mod nul, når n går mod uendelig. Dette kan vi så skrive som lim d (x n, x) = 0. (2.2) n Bevis: Vi opskriver først formelt, hvad (2.2) betyder: ε > 0 : N, således at n > N : d(x n, x) < ε. (2.3) Idet at vi fra definition 2.6 har, at grænseværdien (konvergenspunktet) for følgen {x n } er lim n x n = x, så må det for et passende N gælde, at 0 < d(x n, x) < ε n > N, hvorfor (2.3) og dermed også (2.2) begge er opfyldt. KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER Side 29

30 2.2. Konvergente følger i metriske rum Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Sætning 2.8 Entydig grænse for følger i metriske rum Grænsenværdien, x, for en konvergerende følge {x n } i metrisk rum er entydig. [Cohen, 2003, kap. 2.5, s. 99] Bevis: Vi vil vise, at der ikke kan være mere end et konvergenspunkt, og det viser vi ved opnå modstrid når antager, at der er to forskellige grænseværdier for den konvergente følge {x n } i det metriske rum (X,d). Disse grænser kalder vi x og y, og de er ifølge definition 2.6 givet ved x = lim n x n og y = lim n x n. Vi har nu, at 0 d ( x, y ) d (x n, x) + d ( x n, y ). (2.4) Vi ved fra korollar 2.7, at begge led i (2.4) går mod nul, når n går mod uendelig. Altså er 0 d ( x, y ) (2.5) ( lim d (xn, x) + d ( x n, y )) (2.6) n ( ( lim (d (x n, x)) + lim d xn, y )) n n 0. (2.7) (2.5), (2.6) og (2.7) viser os, at 0 d ( x, y ) 0 hvilket kun kan betyde, at d ( x, y ) = 0. Når der ingen afstand er mellem x og y, må de to punkter ifølge definition 2.1, punkt 1 være ens, hvilket strider mod vores antagelse om, at der var to forskellige konvergenspunkter. Derfor kan der kun være ét. Vi har nu et redskab til generelt at undersøge konvergens i metriske rum. Det er yderligere muligt for os at opstille en betingelse for, hvornår en følge i det metriske rum fra eksempel 2.5 konvergerer, hertil skal vi dog først bruge endnu en definition. Definition 2.9 Uniform konvergens En følge {f n } af reelle funktioner med definitionsmængde D siges at konvergere uniformt mod en funktion f med definitionsmængde D, hvis der givet et ε > 0 eksisterer et N N, så x D : f n (x) f (x) < ε, når n > N. Vi skriver, at f n f og betegner f som den uniforme grænse for følgen {f n }. [Cohen, 2003, s. 60] Sætning 2.10 En følge {x n } i det metriske rum (X,d), hvor X = C 0 [ a ;b ], og d er givet ved d u(x, y)(se eksempel 2.5 linje (2.1)), konvergerer hvis og kun hvis {x n } er uniformt konvergent på [ a ; b ]. [Cohen, 2003, s. 101] Bevis: ( ) Betragt en følge {x n } i det metriske rum C 0 [ a ;b ],d u. Hvis følgen er konvergent, og lim n x n = x, så Side 30 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER

31 Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Konvergente følger i metriske rum kan vi givet et ε > 0 finde et N N, så d (x n (t), x(t) < ε, når n > N. Dermed får vi, at for n > N er x n (t) x(t) < ε for alle t [ a ; b ]. Idet N er uafhængigt af valget af t i [ a ; b ], så følger det af definition 2.9, at følgen {x n } er uniform konvergent på [ a ; b ], hvilket viser den ene vej. For at vise den anden vej betragtes nu en følge {x n }, der er uniform konvergent på [ a ; b ] og x n x. Så har vi, at givet et ε > 0, så eksisterer der et N N, så det for n > N gælder, at x n (t) x(t) < ε for alle t [ a ; b ]. Idet x n x, så er lim n = x, og vi har dermed for n > N, at d u (x n (t), x(t)) < ε, og {x n } konvergerer derfor i det metriske rum. Begge veje er nu vist, og vi kan dermed konkludere, at konvergens af følgen i det omtalte metriske rum er ækvivalent med, at følgen konvergerer uniformt på [ a ; b ], og det er netop dette forhold, der gør, at metrikken kaldes for den uniforme metrik FULDSTÆNDIGHED Det sidste, vi skal bruge om konvergens og metriske rum, handler om Cauchy-følger. Ved at indføre definition 2.11, så får vi via sætning 2.12 anledning til at definere et fuldstændigt metrisk rum, hvilket vi får brug for at anvende senere. Definition 2.11 Cauchy-følge i metriske rum En følge {a n } i et metrisk rum (X,d) siges at være en Cauchy-følge, hvis der for ethvert ε > 0 eksisterer et N N, således at d (x n, x m ) < ε, når m,n > N. [Cohen, 2003, kap. 2.5, s. 101] Hvis kriteriet er overholdt, siges følgen at være Cauchy og kaldes altså også for en Cauchy-følge. I forhold til den tidligere definition 2.6 om konvergens i metriske rum, så er der nu for en Cauchy-følge tilføjet den betingelse, at der skal eksistere et tal N, så der imellem to elementer, hvis indeks begge er større N, er kortere afstand mellem x n og x m end ε > 0. Sætning 2.12 Hvis en følge i et metrisk rum er konvergent, så er det en Cauchy-følge. [Cohen, 2003, s. 102] Bevis: Antag {x n } er en konvergent følge i et vilkårligt metrisk rum (X,d) med lim n x n = x. Givet et ε > 0, så ved vi, at der eksisterer et N N, så vi for n,m > N får, at d(x n, x) < 1 2 ε samt d(x m, x) < 1 2ε. Vi kan så benytte os af, at metrikken d skal opfylde trekantsuligheden og skrive, at d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x m, x) = d(x n, x) + d(x m, x) < 1 2 ε ε = ε, når m,n > N, og det følger dermed, at {x n } er en Cauchy-følge. KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER Side 31

32 2.2. Konvergente følger i metriske rum Rovdyr & Byttedyr G3-119 MAT Definition 2.13 Fuldstændigt metrisk rum Hvis samtlige Cauchy-følger i et metrisk rum konvergerer mod et punkt i rummet, så kaldes det et fuldstændigt eller et komplet metrisk rum. [Cohen, 2003, kap. 2.5, s. 102] Vi vil nu vise, at det metriske rum fra eksempel 2.5 er fuldstændigt. Inden da skal vi dog pointere, at R n er konstrueret, så alle Cauchy-følger deri er konvergente, og det medfører derfor, at (R n,d E ) er et fuldstændigt metrisk rum, og så får vi nu også brug for en anden type af konvergens end blot den uniforme. Definition 2.14 Punktvis konvergens En følge {f n } af reelle funktioner med definitionsmængde D siges at konvergere punktvis mod en funktion f med definitionsmængde D, hvis der givet et ε > 0 og et x D eksisterer et N(x) N, så x D : f n (x) f (x) < ε, når n > N(x). Vi skriver, at lim n f n = f eller f n f og betegner f som den punktvise grænse for følgen {f n }. [Cohen, 2003, s. 60] Sætning 2.15 ( C 0 I,d u) er fuldstændigt Det metriske rum ( C 0 I,d u) af funktioner, der er kontinuerte på intervallet I R, med den uniforme metrik er et fuldstændigt metrisk rum. [Cohen, 2003, s ] Bevis: Hvis {x n } er en Cauchy-følge i C 0 I, gælder det, at der for ethvert ε > 0 findes et N(ε) N, således at max x n(t) x m (t) < ε, a t b når m,n > N(ε). Derfor må der også gælde, at for ethvert t I, så er x n (t) x m (t) < ε, når m,n > N(ε). Således er {x n (t)} en Cauchy-følge i R, og da R er fuldstændigt, så konvergerer denne følge. Vi betegner konvergenspunktet (for hvert t I ) x(t). Alle disse x(t) er udgør tilsammen en funktion på I, som vi betegner X (t). Vi ønsker nu at vise, at t I : ε > 0 : N(ε) : n > N(ε) : x n (t) x(t) < ε, (2.8) fordi det betyder, at {x n } er uniform konvergent på I. For at etablere dette, begynder vi med at anvende trekantsuligheden til at opstille x n (t) x(t) x n (t) x m (t) + x m (t) x(t). (2.9) Side 32 KAPITEL 2. EKSISTENS OG ENTYDIGHED AF LØSNINGER