Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
|
|
- Katrine Therkildsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk måde til at håndtere tilfældigheder Intuition kan være stærkt misvisende men kan blive voldsomt forbedret ved brug af sandsynlighedsregning Kursus form 2 timers forelæsning 2 timers øvelser 2-3 timer til læsning, studie, forståelse 2-3 timers arbejde med opgaver og eksempler Introduktionsskrivelse på hjemmeside Ugentlige forslag til ekstra/hjemme opgaver løsninger til de fleste opgaver på hjemmeside, kort løsning til opgaver med ulige numre i lærebogen Transparenter tilgængelige på hjemmeside (tilstræbes) Vigtigste nye emner i Udfald (ω), udfaldsrum (Ω), hændelse (A, B) Komplementærhændelse: A c, fælleshændelse: A B og foreningshændelse: A B. Aksiomer: 0 P(A) 1,P(Ω) = 1,P(A B) = P(A)+P(B) for A og B disjunkte. Betinget sandsynlighed P(A B) = P(A B) P(B) Multiplikationsformlen P(A B) = P(B)P(A B) Uafhængighed (Generaliseres til k hændelser) P(A B) = P(A B c ) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Bayes sætning P(B i A) = P(B i A) P(A) = P(A B i )P(B i ) n j=1 P(A B j)p(b j ) Grundlæggende begreber Vi vil lave en (matematisk) model for et eksperiment Et udfald(outcome) Samlingen af alle mulige udfald kaldes udfaldsrummet (eng. outcome(sample) space) En samling/mængde af udfald er en hændelse (an event) Teknikker ved sekvensforsøg - fødselsdagseksemplet forelæsning 1 4
2 Lige sandsynlige udfald p.3 Intuitivt tiltrækkende Hvis alle udfald i en endelig mængde Ω er lige sandsynlige, så er sandsynligheden for hændelsen A lig antallet af udfald (elementer) i A delt med antalet af udfald (elementer) i Ω P(A) = #(A) #(Ω) Standard eksempler er møntkast, korteksempler, terningkast, lotto Udfald Grundlæggende definitioner i sandsynlighedsregning Hændelse ω A, B Udfaldsrum Ω Mængden af mulige udfald Komplementær hændelse A c = Ω\A Foreningshændelse A B Udfaldet er i mindst een af A og B Fælleshændelse A B Udfaldet er i både A og B Den tomme eller umulige hændelse Vi får dog brug for mere generalitet end dette forelæsning 1 5 Se Tabel 1 i Pitman page forelæsning 1 6 (Naturlige) regler for sandsynligheder Vi tilknytter sandsynligheder (mål) til hændelser Sandsynligheden for en hændelse er ikke negativ og højst en 0 P(A) 1 Den totale sandsynlighed er een: P(Ω) = 1 Addition af sandsynligheder for ikke-overlappende hændelser. For A og B gensidigt udelukkende, dvs. A B = P(A B) = P(A)+P(B) (additivitet) Aksiomer og første afledede resultater Hvoraf udledes 0 P(A) 1, P(Ω) = 1 P(A B) = P(A)+P(B) P( ) = 0, for A B = P(A c ) = 1 P(A) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) (inklusion- eksklusionsformlen, udvides opg og ) forelæsning forelæsning 1 8
3 Antag, at 15% af svenske gråænder har dobbelt svømmehud og ekstra lange næb, at 30% har dobbelt svømmehud, og, at 32.5% har ekstra lange næb. Spørgsmål 1 Hvad er andelen af svenske gråænder, der hverken har dobbelt svømmehud eller ekstra lange næb? % % % % % 6 Ved ikke forelæsning 1 9 Betinget sandsynlighed Hvis vi ved, at vores udfald er i mængden B (B er indtruffet) Delvis men ikke fuld information om udfaldet P(A B) = P(A B) P(B) (multiplikations reglen) P(A B) = P(A B)P(B) forelæsning 1 10 Antag: P(regn idag) = 40%, P(regn imorgen) = 50% og P(regn idag og imorgen) = 30%. Spørgsmål 2 Givet det regner idag, hvad er sandsynligheden for, at det regner imorgen? Opgave P(regn imorgen regn idag) = P(regn idag og imorgen) P(regn idag) = = % 2 40% 3 50% 4 75% 5 90% 6 Ved ikke forelæsning forelæsning 1 12
4 Uafhængighed Model for begivenheder, der ikke påvirker hinanden. Kendskab til at en hændelse har indtruffet vil ikke påvirke sandsynligheden for om den anden er indtruffet Det virker rimeligt at formode at hændelserne min bil vil starte imorgen og aktiemarkedet vil stige mere end 1% ikke vekselvirker og således kan antages at være uafhængige Hændelserne: Toget bliver forsinket; det vil sne imorgen - er næppe uafhængige Uafhængige hændelser (den matematiske definition) P(A B) = P(A B c ) = P(A) P(A B) = P(A)P(B) Et meget vigtigt begreb og ofte en nødvendig forudsætning for mange beregninger forelæsning 1 13 Opgave To kraftværker sikrer strømforsyningen til et givet område. Kraftværkerne er i drift med sandsynlighed 0.4 henholdsvis 0.5. Hvis begge kraftværker er i drift, er der tilstrækkeligt med strøm. Hvis kun et af dem er i drift er stømforsyningen tilstrækkelig med sandsynlighed 0.6. Hvis ingen er i drift er strømforsyningen utilstrækkelig. Hvad er sandsynligheden for, at netop k værker er i drift? k = 0,1,2 Betegn hændelserne, at kraftværk i er i drift, med V i Betegn hændelsen, at der er tilstrækkelig strøm, med S Oplysningerne fra opgaveteksten kan nu skrives formelt P(V 1 ) = 0.4, P(V 2 ) = 0.5, P(S V 1 V 2 ) = 1 P(S (V 1 V c 2) (V c 1 V 2 )) = 0.6, P(S (V 1 V 2 ) c ) = P(S V c 1 V c 2) = forelæsning 1 14 Vi betegner hændelserne, at k værker er i drift, med F k Vi har F 2 = V 1 V 2, således at P(F 2 ) = P(V 1 V 2 ). Da V 1 og V 2 er uafhængigefårvip(f 2 ) = P(V 1 V 2 ) = P(V 1 )P(V 2 ) = = 0.2 ViharF 0 = (V 1 V 2 ) c = V1 V c 2.P(F c 0 ) = P(V1 V c 2) c = P(V1)P(V c 2) c idet V1 c og V2 c er uafhængige da V 1 og V 2 er uafhængige. Med standardreglen P(V1) c = 1 P(V 1 ) får vi P(F 0 ) = P(V c 1)P(V c 2) = (1 P(V 1 ))(1 P(V 2 )) = = 0.3 EndeligerF 1 = (V 1 V2) (V c 1 c V 2 ) = (V 1 V 2 )\(V 1 V 2 ).Vedbrugaf detførsteudtrykfårvip(f 1 ) = P((V 1 V2) (V c 1 V c 2 )).DaV 1 V2 c og V1 c V 2 ergensidigtudelukkendefåsp(f 1 ) = P(V 1 V2)+P(V c 1 c V 2 ). Endelig får vi ved brug af uafhængigheden P(F 1 ) = P(V 1 )P(V2)+P(V c 1)P(V c 2 ) = 0.5(= ). Beregn sansynligheden for, at der er tilstækkelig strøm.de givne oplysninger kan udtrykkes ved brug af hændelserne F k. P(S F 0 ) = 0, P(S F 1 ) = 0.6, P(S F 2 ) = 1 Vi kan altså svare, når vi ved, hvilken af hændelserne F k, der er indtruffet. Det virker vel umiddelbart fornuftigt, at svaret er en slags gennemsnit - et vægtet gennemsnit. Reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder formaliserer - beviser, at dette er rigtigt. De tre hændelser F 0,F 1,F 2 udgør en partitionering af Ω. Vi finder således P(S) = P(S F 0 )P(F 0 )+P(S F 1 )P(F 1 )+P(S F 2 )P(F 2 ) = = forelæsning 1 16
5 Partitionering/klassedeling side 20 Hvis vi opdeler en mængde B i et antal indbyrdes disjunkte mængder B i, kaldes samlingen B i en klassedeling af B På præcis tilsvarende vis kan vi opdele en hændelse B i et antal gensidigt udelukkende (mutually exclusive) hændelser B i. Vi kalder dette en partitionering af B Formelt er B i,i = 1,...,n en partitionering af B, hvis: B i B j = for i j og n B i = B Ethvert udfald (element) i B findes i een og kun een af hændelserne B i Endelig additivitet For en partitionering {B i },i = 1,...,n af B har vi fra reglen om additivitet, at P(B) = P(B 1 )+P(B 2 )+ +P(B n ) = P(B i ) Hvis {B i },i = 1,...,n er en partitionering af B må {A B i },i = 1,...,n være en partitionering af A B. Så: P(A B) = P(A B 1 )+ +P(A B n ) = P(A B i ) forelæsning forelæsning 1 18 P(A B) = P(A B 1 )+ +P(A B n ) = P(A B i ) benytter vi multiplikationsreglen for P(A B i ) får vi P(A B) = P(A B 1 )P(B 1 )+ +P(A B n )P(B n ) = P(A B i )P(B i ) For B = Ω får vi P(A) = P(A B 1 )P(B 1 )+ +P(A B n )P(B n ) = P(A B i )P(B i ) Reglen om gennemsnit af betingede sandsynligheder p. 41 Opgave Et digitalt kommunikationssystem består af en sender og en modtager. I et transmissionsinterval sender senderen enten et signal, der skal fortolkes som 0 eller et signal, der skal fortolkes som 1. Ved hvert intervals afslutning, foretager modtageren et bedste gæt af om det afsendte signal skal fortolkes som 0 eller 1. Betragt nu hændelserne: T 0 Senderen sender 0 T 1 Senderen sender 1 R 0 Modtageren modtager 0 R 1 Modtageren modtager 1 Antag at P(R 0 T 0 ) = 0.99, P(R 1 T 1 ) = 0.98, og P(T 1 ) = 0.5. Find sandsynligheden for en transmissionsfejl Find sandsynligheden for en transmissionsfejl givet R forelæsning forelæsning 1 20
6 Sandsynligheden for en fejl givet R 1 Vi indfører hændelsen E: Transmissionsfejl. E = (T 0 R 1 ) (T 1 R 0 ). Sandsynligheden for en transmissionsfejl.p(e) = P((T 0 R 1 ) (T 1 R 0 )) = P(T 0 R 1 )+P(T 1 R 0 ) = P(R 1 T 0 )P(T 0 )+P(R 0 T 1 )P(T 1 ) = = P(E R 1 ) = P(T 0 R 1 ).(Bayes sætning) Den generelle Bayes sætning For en partitionering B 1,...,B n af udfaldsrummet Ω, P(B i A) = P(B i A) P(A) Ombytning af betingning Begreberne apriori, aposteori sandsynligheder = P(A B i )P(B i ) n j=1 P(A B j)p(b j ) P(T 0 R 1 ) = P(T 0 R 1 ) P(R 1 ) = P(R 1 T 0 )P(T 0 ) P(R 1 T 0 )P(T 0 )+P(R 1 T 1 )P(T 1 ) = = forelæsning forelæsning 1 22 Vi betragter en produktion af integrerede kredsløb. Over lang tids produktion er andelen af defekte kredsløb 20 %. En grundig afprøvning af hver enkelt kredsløb er meget dyr, så man overvejer at bruge en billigere men ikke helt pålidelig testprocedure. Alle intakte kredsløb accepteres af testen men desværre accepteres også 10 % af de defekte. Spørgsmål 3 Givet et kredsløb har passeret testen, hvad er da sandsynligheden for, at det er intakt Ved ikke forelæsning 1 23 Et medicinsk problem En patient har et særligt symptom. Man ønsker at bestemme sandsynligheden for, at patienten lider af en given sygdom. Patienten tilhører en subpopulation for hvilken man ved, at 10% lider af sygdommen. Af dem, der lider af sygdommen, har 75% symptomet. 5% af patienterne, der ikke lider af sygdommen, har symptomet. Hvad er sandsynligheden for, at patienten har sygdommen? Ændrer denne sandsynlighed sig, hvis forekomsten af sygdommen i subpopulationen er 1% snarere end 10%? Forsøg først at gætte et svar? forelæsning 1 24
7 Definer hændelsen S: patienten har symptomet Definer hændelsen D: patienten lider af sygdommen Vi har to mulige partitioneringer (S,S c ), and (D,D c ). Den relevante sandsynlighed er: P(D S) Vi ved at P(D) = 0.1, P(S D) = 0.75, P(S D c ) = Vi har alle ingredienserne til brug af Bayes sætning P(D S) = P(S D)P(D) P(S D)P(D)+P(S D c )P(D c ) Populationsandele/forklaring Kategori P(D) = 0.1 P(D) = 0.01 Sygdom og symptom (P(D S)) Sygdom uden symptom (P(D S c )) Rask og symptom (P(D c S)) rask uden symptom (P(D c S c )) Hvor vi har brugt multiplikations (kæde) reglen: P(D S) = P(S D)P(D) gentagne gange Numerisk fås (1 0.1) = Med de ændrede værdier (1 0.01) = forelæsning forelæsning 1 26 Sekvens af hændelser 1.6 D c s D D c s D Multiplikationsreglen:P(A B) = P(A)P(B A) For tre hændelser A,B, er C, kan vi benytte multiplikationsreglen rekursivt P(A B C) = P(A B)P(C A B) = P(A)P(B A)P(C A B) c s c s Dette generaliserer til n hændelser p.56 P ( n A i ) = (P(A 1 A 2 A 3 A n )) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A 2 A n 1 ) forelæsning forelæsning 1 28
8 Fødselsdagseksemplet Hvad er sandsynligheden for at mindst to blandt 25 personer har samme fødselsdag? (Antag, at alle dage er lige sandsynlige og se bort fra skudår) Vi vil tænke sekventielt, eksempelvis ved at spørge dem en ad gangen. D n er nu hændelsen, at alle blandt de første n spurgte har forskellige fødselsdage. Det er åbenbart, at P(D 1 ) = 1 For P(D 2 ) får vi P(D 2 ) = P(D 1 D 2 ) = P(D 1 )P(D 2 D 1 ) Man finder P(D 2 D 1 ) = Og generelt P(D n+1 D n ) = 365 n 365 P(D 25 ) = = forelæsning forelæsning 1 29 Uafhængighed af n hændelser P(B A) = P(B A c ) = P(B) P(C A B) = P(C A c B) = P(C A B c ) = P(C A c B c ) = P(C) Det kan vises, at denne definition svarer til at forlange, at for alle delmængder af k hændelser gælder k P(A i1 A i2 A ik ) = P(A i1 )P(A i2 ) P(A ik ) = P(A ij ) Dvs. at for k vilkårlige hændelser gælder, at sandsynligheden for fælleshændelsen er lig produktet af sandsynlighederne for de enkelte hændelser Uafhængighed er typisk meget svær (umulig) at vise j=1 Sandsynlighedsregningens grundregler 0 P(A) 1 P(Ω) = 1 P( ) = 0 A B = P(A B) = P(A)+P(B) Komplementær regel p.21: P(A c ) = 1 P(A) Differens regel p.22, for A B: P(B A c ) = P(B) P(A) Inkusion, eksklusion for 2 hændelser p.22: P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) Betinget sandsynlighed for A givet B (partiel information) p.36: P(A B) = P(A B) P(B) Multiplikationsreglen p.37: P(A B) = P(B)P(A B) Gennemsnit af betingede sandsynligheder (loven om den totale sandsynlighed) p.41: (B i er en partitionering), P(A) = i P(B i)p(a B i ) Bayes sætning p.49: (B i er en partitionering): P(B i A) = P(A B i )P(B i ) j P(A B j)p(b j ) Uafhængighedp.42:P(A B) = P(A B c ) (P(A B) = P(A)P(B))
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk
Læs mereSandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk
Læs mereSandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 1. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Hvad er sandsynlighedsregning? Formel/matematisk
Læs mereSandsynlighedsregning
Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed
Læs mereSandsynlighedsregning og statistik
og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides
Læs mereSandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5
Læs mereLandmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1
Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.
Læs mereDagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler
Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereModul 3: Sandsynlighedsregning
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Sandsynlighedsregning 3.1 Sandsynligheder................................... 1 3.2 Tilfældig udtrækning fra en mængde........................
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereStatistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning
Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereNanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/
Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereDagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder
Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereProdukt og marked - betinget sandsynlighed
Produkt og marked - betinget sandsynlighed Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 12, 2019 1 / 11 Tænkeboks opgave i Ingeniøren Se webside https://ing.dk/artikel/taenkeboks-sandsynligheden-fejlved-positiv-test-221355
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereSandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.
Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mere{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereSANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.
SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en
Læs mereSandsynlighedsregning & Statistik
Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereStatistisk model. Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål
Statistisk model Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål på (X, E). Modellen er parametriseret hvis der findes en parametermængde Θ og
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereEn Introduktion til Sandsynlighedsregning
En Introduktion til Sandsynlighedsregning 9. Udgave Michael Sørensen 11. juli 2008 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det
Læs mereStatistik viden eller tilfældighed
MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereIteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber
Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer
Læs mereEksempel 1.1: kvalitetskontrol
Idag 1. Introduktion til statistik: Eksempel 1.1 og 1.2 fra WMMY samt andre eksempler. 2. Sandsynlighedsregning: udfaldsrum, hændelser, regning med sandsynligheder. 1/17 Eksempel 1.1: kvalitetskontrol
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mere