Statistik og Sandsynlighedsregning 1. IH kapitel 6

Transkript

1 Statistik og Sandsynlighedsregning 1 IH kapitel 6 Overheads til forelæsninger. Uge 41/2005 1

2 Test i Polynomialfordelingen Forsøg: n uafhængige gentagelse af forsøg med m udfald. Vi observerer x = x 1,..., x m ), der er angiver antal gange vi får udfald 1, 2,..., m. Forsøgene kan beskrives ved m dimensional sandsynlighedsvektor p = p 1,..., p m ). Udfaldsrum D m n) = {x 1,..., x m ) : x s {0,..., n}, s = 1,..., m, ms=1 x s = n}, X er polynomialfordelt P p X = x) = med parameterområde n x 1,..., x m ) p x 1 m, 1... px m m = {p 1,..., p m ) : p s [0, 1], s = 1,..., m, ms=1 p s = 1}. SaSt1/

3 Estimation og test af simpel hypotese Statistisk model D m n), P p ) p m ), hvor P p X = x) = Likelihoodfunktion n x 1,..., x m ) p x 1 m, 1... px m L : D m n) m [0, 1] Lx, p) = n 1... px m x 1,...,x m ) p x 1 m. MLE under M ˆp s = x s n entydigt) for s = 1,..., m. nˆp polyn, p). Eˆp s = p s, Varˆp s ) = p s1 p s ) n Covˆp r, ˆp s ) = p rp s n for s r. SaSt1/

4 Hypotese H : p = p 0) kendt). Kvotientteststørrelse Qx) = s m np0) s x. s=1 x s Testsandsynlighed ɛx) = {x D m n):qx ) Qx)} n x 1,...,x m ) ms=1 p 0) s ) x s. Approksimation når p 0) s og n er stor: > 0 for s = 1,..., m ɛx) 1 F χ 2 m 1 2 log Qx)). SaSt1/

5 Bemærkninger Approksimationen til ɛx) antages at gælde, h- vis np 0) s 5 for s = 1,..., m. Pearson-teststørrelsen er Kx) = m s=1 x s np 0) s ) 2 np 0), s idet EX s = np 0) s under hypotesen. Hypotesen forkastes, hvis Kx) er stor. Testsandsynligheden kan approksimeres ved ɛx) 1 F χ 2 m 1 Kx)). SaSt1/

6 Sammenligning af polynomialfordelinger Observation. x x 1m n x k1... x km n k x.1... x.m n. Værdi af stokastisk variabel X rs ) r=1,...,k,s=1...,m. X r) = X r1,..., X rm ), r = 1,..., k er uafhængige og P p r)x r) = x r) ) = x r) D m n r ) p r) = p r1,..., p rm ) m. n r x r1,..., x rm ) p x r1 rm. r1... px rm SaSt1/

7 Sammenligning af polynomialfordelinger Statistisk model E, Pp 1),...,p k) )) p 1),...,p k) ) k m ), med E = D m n 1 )... D m n k ) og k P p 1),...,p k) X = x) = ) Hypotese r=1 n r x r1,..., x rm H : p 1) =... = p k) = p m. ) m s=1 p x rs rs, SaSt1/

8 Sammenligning af polynomialfordelinger Under M: MLE: ˆp rs = x rs n r entydigt). ˆp 1),..., ˆp k) er uafhængige. n rˆp r) er polynomialfordelt n r, p r) ). Eˆp rs = p rs Varˆp rs ) = p rs1 p rs ) n r Covˆp rs, ˆp rs ) = p rsp rs n r, s s Covˆp rs, ˆp r s ) = 0 r r SaSt1/

9 Sammenligning af polynomialfordelinger Under H: MLE: ˆp s = x.s n. entydigt). n.ˆp er polynomialfordelt n., p). Eˆp s = p s Varˆp s ) = p s1 p s ) n. Covˆp s, ˆp s ) = p sp s n. s s Kvotientteststørrelse Qx) = k m nr x.s r=1 s=1 n. x rs ) xrs Approksimativ testsandsynlighed n stor) ɛx) 1 F χ 2 k 1)m 1) 2 log Qx)). SaSt1/

10 Sammenligning af polynomialfordelinger Under H er EX rs = n r p s, der estimeres ved n r x.s n.. Approksimationen er OK, hvis n rx.s n. 5 for r = 1,..., k, s = 1,..., m. Pearson test: Kx) = k m r=1 s=1 x rs n rx.s n. ) 2 n r x.s n. Forkaster H, hvis Kx) er stor med ɛx) 1 F χ 2 k 1)m 1) Kx)). SaSt1/

11 Følger af hypoteser Sammenligning af polynomialfordelinger Statistisk model E, Pp 1),...,p k) )) p 1),...,p k) ) k m ), med E = D m n 1 )... D m n k ) og k P p 1),...,p k) X = x) = ) Hypoteser r=1 n r x r1,..., x rm H 1 : p 1) =... = p k) = p m. H 2 : p = p 0. ) m s=1 p x rs rs, 11

12 Følger af hypoteser MLE: ˆθ rs = ˆp rs = x rs n r, n., ˆθ 1 ) rs = ˆp s = x.s ˆθ 2 ) rs = p 0 s Kvotientteststørrelser Q 1 x) = k r=1 ms=1 nr x.s x rs n. ) xrs Q 2 x) = m s=1 n. p 0 s x.s ) x.s Approksimative testsandsynligheder ɛ 1 x) ɛ 2 x) 1 F χ 2 k 1)m 1) 2 log Q 1 x)) 1 F χ 2 m 1 2 log Q 2 x)) 12

13 En ny variant af Creutzfeldt-Jakobs syge? Problemformulering og Systemafgrænsning Known cases of sporadic CJD in the UK, , dying aged less than 45 years. Will et al.) *) 51) 21) 0 1 * Up to and including January Numbers in Brackets indicate patients alive. Er det større antal tilfælde af sporadiske CJDtilfælde blandt yngre en tilfældighed eller repræsenterer det ny/ændret forekomst af CJD. 13

14 Formalisering og dataindsamling 32 tilfælde af Creutzfeldt-Jacobs sygdom opdelt efter diagnosealder og diagnoseår I alt *) *) Årlige CJD-intensiteter opdelt efter diagnosealder og diagnoseår *) *) *) Til og med januar Har sygdomsintensiteterne ændret sig i den pågældende periode? 14

15 Opstilling af statistisk model Vi opfatter antallet i hver aldersgruppe som givet og ser på fordelingen over aldersgrupper. Dette kan beskrives ved to uafhængige binomialfordelinger. Statistisk model hvor {0,..., 19} {0,..., 13}, P p1,p 2 ) ), P X = x) = 13 Følge af hypoteser ) x x p ) x p 1) 13 x 21 ) x22 1 ) ) 19 x 22. hvor H 2 H 1 M, M : p 1, p 2 ) [0, 1] 2 H 1 : p 1 [0, 1], p 2 = H 2 : p 1 = p 2 =

16 Estimation og test MLE under M Under H 1 ˆp 1 = x 21 n 1 = 9 13, ˆp 2 = x 22 n 2 = Likelihoodfunktion L : E [0, 1] { } [0, 1] Lx, p 1, ) = ) 13 x x p p 1) 13 x 21 ) ) x22 x ) ) 19 x 22. MLE: ˆp 1, ) = x 21 n 1, ) = 9 13, ) Kvotienttest for H 1 under M: 2 log Q 1 x) = 2 log 313 ) ) ) )15 ɛ 1 x) 1 F χ 2 1) 0.056) = Testet er ikke signifkant. =

17 Estimation og test Under H 2 Parameterområde p 1, p 2 ) Θ 2 = { }2. MLE: ˆp 1 = ˆp 2 = Kvotienttest for H 2 under H 1 : 2 log Q 2 x) = 2 log 313 ) ) ) )4 ɛ 2 x) 1 F χ 2 1) 12.28) = Testet er signifikant. =

18 Tolkning og vurdering af analysens resultater Da testet af H 1 mod M ikke er signifikant vil konkludere, at forekomsten af CJD i det betragtede tidsrum ikke har ændret sig væsentligt for de årge. Den årlige intensitet I for CJD blandt årige i UK i perioden kan på baggrund af modellen estimeres ved Î = 0.730, altså knapt et tilfælde pr. år. For de yngste patienter er der en signifkant forskel på CJD-hyppigheden i de to tidsperioder. I perioden kan den årlige CJDintensitet I ) 34 estimeres ved Î ) 34 = 0.20, mens den årlige CJD-intensitet I ) 34 i perioden kan estimeres ved Î ) 34 =

19 På baggrund af det foreliggende materiale kunne det derfor konkluderes, at der så ud til at være sket en ændring i forekomsten af CJD i perioden efter 1990, der var sammenfaldende med kogalskabsepidemien i UK. De ekstra tilfælde syntes at være koncentreret hos helt unge mennesker, en gruppe hvor man tidligere kun sjældent havde fundet spontane tilfælde af CJD. 19

20 Eksempler på polynomialfordelingsmodeller Genotyper for anden generations ærtefrø AB Ab ab ab AB AABB AABb AaBB AaBb Ab AABb AAbb AaBb Aabb ab AaBB AaBb aabb aabb ab AaBb Aabb aabb aabb Fænotyper hos anden generations ærtefrø Fænotype Antal Hyppighed Gul,glat Gul,rynket Grøn, glat Grøn, rynket Ialt

21 Forhold mellem fænotyper under Mendels hypotese: gule, glatte : gule, rynkede: grønne, glatte: grønne, rynkede = 9:3:3:1. Statistisk model med likelihoodfunktion D 4 556), P p ) p 4 ), L : D 4 556) 4 [0, 1] Lx, p) = ) 556 x x 1,...,x p px 4 4. H : p = Kvotientteststørrelse 9 16, 3 16, 3 16, 1 16 Qx) = Q315, 101, 108, 32) = = ) 315 ) ). ) 101 ) 32 21

22 2 log Qx) = 2 log Q315, 101, 108, 32) = ɛx) 1 F χ ) = Approksimation er OK, da 556p 0 s = 35, s = 1,..., Dette forsøg bekræftede altså Mendels hypotese. 22

23 Bivirkninger ved to antidepressive præparater Bivirk. Ingen Lette Svære Ialt Præp Ialt Statistisk model hvor D 3 50) 2, P p 1),p 2) ) x) = MLE under M Pp 1),p 2) )) 2 r=1 50 x r0, x r1, x r2 p 1),p 2) ) 2 3 ) ) x p r0 r0 px r1 r1 px r2 r2, ˆp 10 = 0.76 ˆp 11 = 0.16 ˆp 12 = 0.08 ˆp 20 = 0.42 ˆp 21 = 0.38 ˆp 22 = 0.20,, 23

24 Hypotese H : p 10 = p 20, p 11 = p 21, p 12 = p 22. MLE under H ˆp 0 = 0.59 ˆp 1 = 0.27 ˆp 2 = log Qx) = 12.24, ɛx) 1 F χ ) = Approksimationen er OK, da n rx.s r = 1, 2, s = 0, 1, 2. n. = x.s 2 7 for Da testsandsynligheden er langt under 5% vil vi antage, at der er forskel på de to præparater, når det gælder bivirkninger. Da præparat 1 på konsistent måde er bedre end præparat 2, må man foretrække det første præparat. Problematisering af model! 24