Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable"

Transkript

1 Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet Udfaldsrum Hændelser Sandsynlighedsmål Regneregler for sandsynligheder Bernoulliforsøg Uafhængighed Betingede sandsynligheder Bayes formel Stokastiske variable Eksempler på stokastiske variable Diskrete sandsynlighedsmodeller Middelværdi, varians og spredning Uafhængighed af stokastiske variable Nøglestørrelser for gennemsnit Kendte diskrete fordelinger Den uniforme fordeling Binomialfordelingen Poissonfordelingen Sandsynlighedsbegrebet Statistik er som en bikini: den viser noget interessant og skjuler noget væsentligt. Peter von Zahn Tilfældigt fænomen: Et forsøg hvor udfaldet ikke er reproducerbart. F.eks. antallet af biler parkeret på campus i dag kl F.eks. udfaldet af et forsøg, hvor målingen er behæftet med usikkerhed.

2 2.1 Sandsynlighedsbegrebet Udfaldsrum Udfald: resultatet af et forsøg. Udfaldsrum: Mængden af alle de mulige udfald af forsøget. Hændelse: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen Udfaldsrum S Udfald a Hændelse A, f.eks. 1 terningkast {1,2,3,4,5,6} 6 {6}, {lige udfald} Fødselsdag {1,2,...,365} 35 {1,...,31} Antal uåbnede nødder {0,1,2,...,n} 3 {1,...,10} Højde af person i cm R [175,185] Temperatur i dag i C [ , ] (20,25] [30,31.5) n = samlet antal pistacienødder Hændelser Lad udfaldet af forsøget være a S. Vi siger at hændelsen A er hændt (eller sker) hvis a A. S kaldes den sikre hændelse, fordi den altid sker. (den tomme mængde) kaldes også den umulige hændelse, fordi den aldrig sker. Komplementærhændelsen til en hændelse A er A c = S A Bemærk: Enten sker A, eller også sker A c. Eksempel 2.1 Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. S = {0,1,...,50} A = {0,1,...,10} A C = {11,...,50} = {} Lad H være mængden af alle hændelser i S. Lad A og B være givne hændelser. Foreningsmængden A B er også en hændelse.

3 2.1 Sandsynlighedsbegrebet 3 Fællesmængde: A B er også en hændelse. A og B kaldes disjunkte hændelser hvis A B = Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. S = {0,1,...,50} A = {1,2,3}, B = {3,7} A B = {1,2,3,7} A B = {3} Disjunkte hændelser: B = {3, 7} og C = {1, 2} Sandsynlighedsmål Et sandsynlighedsmål: er en funktion P : H [0, 1] som opfylder 1. P(S) = Additionsreglen: Hvis A og B er disjunkte hændelser gælder P (A B) = P (A) + P (B). P (A) kaldes for sandsynligheden for hændelsen A. Dette kaldes også for en syndsynlighedsmodel, dvs. en matematisk model for sandsynligheder. Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. F.eks. A = {højst 5 uåbnede}, P (A) = 0.80 B = {mellem 6 og 10 uåbnede}, P (B) = 0.15 P (højst 10 uåbnede) = P (A B) = P (A) + P (B) = 0.95.

4 2.2 Regneregler for sandsynligheder Regneregler for sandsynligheder Additionsregler: For A 1,...,A k indbyrdes disjunkte hændelser gælder: P (A 1 A k ) = P (A 1 ) + + P (A k ) For A og B vilkårlige hændelser gælder: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Kan generaliseres til flere hændelser Bernoulliforsøg Det simplest mulige tilfældige fænomen Antag at der er to disjunkte hændelser A og B så S = A B. A = succes, B = fiasko. F.eks. møntkast, rigtig/forkert, syg/rask, mand/kvinde, virker/virker ikke. Lad p [0,1] være sådan at Empirisk definition af sandsynlighed P(A) = p P(B) = 1 p Gentag et Bernoulliforsøg gang efter gang efter gang. Typisk resultat: B,A,B,B,A,A,B,A,B,B,B,... Lad N n (A) være hyppigheden af A for de første n forsøg. Så er N n (A) /n den empiriske sandsynlighed for A. For en korrekt sandsynlighedsmodel skal der gælde: P (A) = lim n N n (A). n Dvs. P (A) er grænseværdien for den empiriske sandsynlighed for A ved uendeligt mange forsøg. Dette er idealet for en sandsynligedsmodel, men hvor langt er vi fra praksis?

5 2.2 Regneregler for sandsynligheder 5 Tænk blot på, at mønten slides op, længe før vi når... Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. F.eks. A = {højst 5 uåbnede nødder i pose} Undersøg n = 100 poser Tæl N 100 = antal af poser med højst 5 uåbnede = 80 Så er P (A) = Jo højere n, jo bedre approksimation af P (A) Uafhængighed A og B kaldes uafhængige hændelser hvis P (A B) = P (A)P (B) Kan generaliseres til flere hændelser. Eksempel 2.2 Kast med terning, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1,2,3}, B = {2,4} P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 P (A B) = P ({2}) = 1/6 Da P (A B) = P (A)P (B) er A og B uafhængige. Eksempel 2.1 (fortsat) Antal uåbnede pistacienødder i pose med 50 stk. F.eks. To tilfældigt valgte poser: A = {højst 5 uåbnede i Pose 1}, P (A) = 0.80 B = {højst 5 uåbnede i Pose 2}, P (B) = 0.80 P (højst 5 uåbnede i både Pose 1 og 2) = = 0.64

6 2.2 Regneregler for sandsynligheder Betingede sandsynligheder Idé: at tage delvis information om en hændelse i betragtning. Eksempel 2.3: Højde A = {person højere end 170cm}, P (A) = 0.60 K = {kvinde} Udtryk ved hjælp af en betinget sandsynlighed: A K = {person højere end 170cm} givet {det er en kvinde}, antag f.eks. at P (A K) = 0.45 A M = {person højere end 170cm} givet {det er en mand}, antag f.eks. at P (A M) = 0.80 Betinget sandsynlighed af A givet B: P (A B) = P (A B), P (B) hvis P (B) > 0 (kan defineres vilkårligt hvis P(B) = 0). Bemærk, at P (A B) = P (A B)P (B). Eksempel 2.2 (fortsat) Kast med terning, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1,2,3}, P (A) = 1/2; B = {2,4}, P (B) = 1/3; A B = {2} (dvs. uændret i forhold til P(A)). C = {2,4,6}, P (C) = 1/2; A C = {2} (dvs. ændret i forhold til P(A)). P (A B) P (A B) = P (B) = 1/6 1/3 = 1/2 P (A C) P (A C) = P (C) = 1/6 1/2 = 1/3 Den betingede sandsynlighed afhænger af hvad der betinges med. P( B) er igen et sandsynlighedsmål.

7 2.2 Regneregler for sandsynligheder Bayes formel Opdel hele udfaldsrummet S i disjunkte hændelser B 1,B 2,...,B k. Specielt er S = B 1 B 2 B k Lad A være en hændelse. Loven om total sandsynlighed: P (A) = Bayes formel: k P (A B i ) P (B i ). i=1 P (B j A) = P (A B j) P (B j ) P (A) = P (A B j )P (B j ) k i=1 P (A B i)p (B i ). Eksempel 2.4: Test for defekt i computer chip. Test kan være positiv eller negativ (dvs. testen er ikke perfekt). Chip kan være defekt eller ikke defekt. Lad A = {test er positiv}, B 1 = {chip er defekt}, B 2 = {chip er ikke defekt}. Ud fra tidligere undersøgelse kendes prevalensen af defekten, dvs. 1% defekte. Testens kvalitet er bestemt ved: antal defekte P(B 1 ) = samlet antal = 0.01 P(B 2 ) = 1 P(B 1 ) = 0.99 Sensitivitet Specificitet P(A B 1 ) = 0.8 P(A c B 2 ) = 0.9, dvs. P(A B 2 ) = 1 P(A c B 2 ) = = 0.1.

8 2.3 Stokastiske variable 8 Nu bruges Bayes formel Dårlig test. P (A B 1 )P (B 1 ) P (B 1 A) = P (A B 1 )P (B 1 ) + P (A B 2 )P (B 2 ) = = P (B 2 A) = 1 P (B 1 A) = Kan bedst forbedres ved at forøge specificiteten. Tilsvarende fås P (B 2 A c ) = P (A c B 2 ) P (B 2 ) P (A c B 1 )P (B 1 ) + P (A c B 2 )P (B 2 ) = = P (B 1 A c ) = 1 P (B 2 A c ) = Kan kun forbedres lidt ved at forøge sensitiviteten. 2.3 Stokastiske variable Variable, hvis værdi er tilfældig. Engelsk: random variable. Ofte bruges betegnelser som X,Y og Z for stokastiske variable. De faktiske udfald af Y i n forsøg betegnes normalt y 1,...,y n Eksempler på stokastiske variable Eksempel 2.6 Nedfaldne æbler Dag: Antal: Lad X = Dagligt antal nedfaldne æbler Eksempel på diskret stokastisk variabel. Eksempel 2.7 Hunds søvn per døgn (timer) Lad X = Søvnmængde per dag Dag: Søvn:

9 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 9 Eksempel på kontinuert stokastisk variabel. Definition af stokastisk variabel: En reel funktion på udfaldsrummet S: X : S R. Altså en funktion som forbinder hvert udfald af et tilfældigt fænomen med en talværdi. Lad udfaldet af forsøget være a S. Så kaldes X(a) den realiserede værdi af X. De to vigtigste typer af stokastiske variable: X kaldes diskret, hvis den kun kan antage endeligt eller tælleligt mange værdier. X kaldes kontinuert, hvis den kan variere kontinuert. Bliver defineret nærmer i Modul 3. Fordelingen for en stokastisk variabel: En hændelse I i R defineres som en mængde som kan dannes ud fra intervaller ved endelige eller tællelige mængdeoperationer. Vi antager at X 1 (I) S er en hændelse med sandsynlighed P [ X 1 (I) ]. Forsimplet notation: Vi skriver normalt P(X I) i stedet for P [ X 1 (I) ]. Fordelingen for X er sandsynlighedsmålet på R defineret ved afbildningen fra mængden af hændelser i R ind i [0,1]. I P(X I) Bemærk at ethvert sandsynlighedsmål på R svarer til en stokastisk variabel (vælg f.eks. X til at være identitetsafbildningen på R). 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller Eksempel 2.5 Stråling af alfapartikler I et eksperiment i 1910 optalte Rutherford og Geiger antallet af alfapartikler, der blev udsendt fra en radioaktiv kilde i 2612 tidsintervaller (på hver 7 sekunder). Partikler: Frekvens:

10 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 10 Bemærk: Partikelantallet varierer tilfældigt mellem 0 og 12 i de forskellig tidsintervaller. Det kan ikke siges med sikkerhed, hvor mange partikler, der vil blive udsendt i de næste 7 sek. Hvor meget kan vi sige om den frekvens hvormed de forskellige antal forekommer? Figur 2.1: Stråling af alfapartikler, søjlediagram. Figur 2.2: Stråling af alfapartikler, tæthedsdiagram. Fordelingen for en diskret stokastisk variabel Y angives nemmest ved en liste af de mulige værdier for Y og de tilhørende sandsynligheder: Værdi for Y : y 0 y 1 y 2 Sandsynlighed: P (Y = y 0 ) P (Y = y 1 ) P (Y = y 2 )

11 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 11 Kaldes også fordelingens sandsynlighedsfunktion eller dens tæthedsfunktion. Formelt er det funktionen f :R [0,1] bestemt ved f(y) = P(Y = y). f er 0 uden for mængden af de mulige værdier for Y. Eksempel 2.6 (fortsat) Nedfaldne æbler Fordeling af Y = Daglig antal nedfaldne æbler, f.eks. Y : Sandsynlighed: Kan udregne sandsynligheder for alle hændelser for Y, f.eks. P (Y 2) = 1 ( ) = 0.62 P (Y = 0) = 0.13 P (Y < 5) = = 0.94 Bemærk: En sandsynlighedsmodel beskriver det som sker generelt. F.eks. sandsynlighedsmodellen for Y = Dagligt antal nedfaldne æbler henviser til et generelt træ. Tæller vi nedfaldsæbler for et bestemt træ, fås data som f.eks. y 1,...,y n Middelværdi, varians og spredning Nøglestørrelser for populationer. Middelværdi: Stikprøve: gennemsnit af observationer (empirisk middelværdi) ȳ = 1 n n n y i = y i 1 n. i=1 i=1 Population: vægtet gennemsnit af demulige værdier µ Y = E(Y ) = y yp (Y = y), (forudsat y y P (Y = y) < ).

12 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller 12 Varians: Stikprøve: (empirisk varians) Population: s 2 = 1 n 1 σ 2 Y = Var(Y ) = y (forudsat y y2 P (Y = y) < ). Spredning (standardafvigelse): n (y i ȳ) 2. i=1 (y µ y ) 2 P (Y = y), Stikprøve: s = 1 n (y i ȳ) 2. n 1 i=1 Population: (forudsat y y2 P (Y = y) < ). σ Y = (y µ y ) 2 P (Y = y), Eksempel 2.6 (fortsat) Nedfaldne æbler Fordeling af Y = Daglig antal nedfaldne æbler, simplificeret: y Y : Sandsynligheder: Middelværdi Varians µ y = = 2.15 σ Y = (0 2.15) (1 2.15) (7 2.15) = Spredning σ Y = = Simple regneregler for lineære transformationer Hvis X = ay + b gælder E(X) = ae(y ) + b Var(X) = a 2 Var(Y ) σ X = a σ Y

13 2.4 Diskrete sandsynlighedsmodeller Uafhængighed af stokastiske variable GENERELT: Y 1,Y 2,...,Y n stokastiske variable er uafhængige, hvis {Y 1 y 1 }, {Y 2 y 2 },..., {Y n y n } er uafhængige hændelser for alle mulige værdier af y 1,y 2,...,y n R. ÆKVIVALENT MED: for alle y 1,y 2,...,y n R, er P ({Y 1 y 1 } {Y 2 y 2 }... {Y n y n }) = P(Y 1 y 1 )P (Y 2 y 2 ) P (Y n y n ). DISKRET: Hvis Y 1,Y 2,...,Y n er diskrete stokastiske variable, er definitionen af uafhængighed ækvivalent med: {Y 1 = y 1 }, {Y 2 = y 2 },..., {Y n = y n } er uafhængige hændelser for alle mulige værdier af y 1,y 2,...,y n. ÆKVIVALENT MED: for alle værdier af y 1,y 2,...,y n er P ({Y 1 = y 1 } {Y 2 = y 2 }... {Y n = y n }) = P(Y 1 = y 1 )P (Y 2 = y 2 ) P (Y n = y n ). Summer af stokastiske variable X = Y 1 + Y Y n E(X) = E(Y 1 ) + E(Y 2 ) + + E(Y n ), uanset om Y -erne er uafhængige eller ej Var(X) = Var(Y 1 ) + Var(Y 2 ) + + Var(Y n ), hvis Y -erne er uafhængige Var(X) = n σ 2, hvis Y -erne har ens varians σ 2 og er uafhængige Eksempel 2.8 Køn af ufødt barn Bernoulli forsøg: X = { 0 dreng 1 pige Eksempel på brug af sum: n i=1 angiver antallet af piger i en stikprøve på n. X i

14 2.5 Kendte diskrete fordelinger Nøglestørrelser for gennemsnit GENERELT: Y 1,Y 2,...,Y n uafhængige stokastiske variable med ens Gennemsnit: Ȳ = 1 n n i=1 Y i Middelværdi: µ Varians: σ 2 Middelværdi af Ȳ : E ( Ȳ ) = µ Varians af Ȳ : Var(Ȳ ) = σ2 /n Spredning af Ȳ : σ Ȳ = σ/ n 2.5 Kendte diskrete fordelinger Den uniforme fordeling Fra nu af betyder fordelt som Y Uniform(a 1,a 2,...,a n ) Y kan antage de n værdier a 1,a 2,...,a n Samme sandsynlighed for alle udfald: { 1/n hvis y {a1,a P (Y = y) = 2,...,a n } 0 ellers. F.eks. defekt pære i lyskæde, udfald af terningkast eller roulette.

15 2.5 Kendte diskrete fordelinger 15 Figur 2.3: Uniform(1,...,6)-fordeling. Figur 2.4: Uniform(1,...,10)-fordeling. Eksempel 2.9 Defekt lyskæde En pære er sprunget i en lyskæde med 30 lys. Y betegner den sprungne pæres plads i kæden. Y Uniform{1,2,...,30}. Pærerne undersøges fra en ende af. Udregn Sandsynligheden for at det er en af de første 10 pærer. P (Y {1,2,...,10}) = = Binomialfordelingen Y b(n,p) Y = Antal successer ud af n Bernoulli forsøg er binomialfordelt hvis: 1. De n forsøg er uafhængige 2. Alle Bernoulli forsøg har sandsynlighed p for succes Eksempler: antal år med hvid jul siden 1980, antal beståede i klasse med 20,

16 2.5 Kendte diskrete fordelinger 16 antal uåbnede pistacienødder i pose med n stk. (under hvilke betingelser?) Tæthedsfunktion (sandsynlighedsfunktion): { ( n ) P (Y = y) = y p y (1 p) n y hvis y {0,1,...,n} 0 ellers. Husk at ( ) n = y n! y!(n y)! Figur 2.5: Simulation: b(25,0.95) fordelte data. Figur 2.6: Simulation: b(15,0.50) fordelte data.

17 2.5 Kendte diskrete fordelinger 17 Figur 2.7: Simulation: b(6,0.20) fordelte data. Eksempel 2.10 Antal farveblinde mænd i en test Ialt 120 mænd i testen. Sandsynlighed for rød-grøn farveblindhed for mænd er p = Y betegner antallet af rød-grøn farveblinde mænd i testen. Udregn Y b(120,0.08). Sandsynligheden for at ingen er farveblinde: ( ) 120 P(Y = 0) = (1 0.08) 120 = Sandsynligheden for at højst 2 er farveblinde: ( ) ( ) P(Y 2) = (1 0.08) (1 0.08) ( ) (1 0.08) = Sandsynligheden for at mindst 3 er farveblinde: P(Y 3) = 1 P(Y 2) = = Bemærkninger til binomialfordeling Y b(n, p):

18 2.5 Kendte diskrete fordelinger 18 Y kan antage værdierne 0,1,...,n. Middelværdi: E(Y ) = np Varians: Var(Y ) = np (1 p) Spredning: σ Y = np (1 p) Poissonfordelingen Y Poisson(λ) Bruges som model for antal sjældne hændelser af en bestemt type Antal hændelser af en bestemt slags er Poissonfordelt hvis: 1. Hændelsen er sjælden 2. Populationen af udsatte er stor 3. Hændelserne er indbyrdes uafhængige 4. To hændelser kan ikke ske nøjagtig samtidigt Eksempler: antal flyulykker per år antal parcelhusindbrud per år antal kunder i forretning per dag antal jordskælv per år antal vulkanudbrud per år antal mål i fodboldkamp Tæthedsfunktion (sandsynlighedsfunktion): P (Y = y) = { λ y y! e λ hvis y N 0 0 ellers. Parameteren λ angiver gennemsnitsantallet af hændelser i perioden

19 2.5 Kendte diskrete fordelinger 19 Figur 2.8: Sandsynlighedsfunktion for stokastisk variabel, Poissonfordelt.

20 2.5 Kendte diskrete fordelinger 20 Figur 2.9: Simulation: Poisson(2) fordelte data. Figur 2.10: Simulation: Poisson(5) fordelte data.

21 2.5 Kendte diskrete fordelinger 21 Figur 2.11: Simulation: Poisson(0.50) fordelte data. Eksempel 2.11 Antal trafikuheld på vejstrækning per år I gennemsnit 2 ulykker per år. Y betegner antallet af faktiske uheld per år. Udregn Sandsynligheden for netop 1 ulykke: Sandsynligheden for mindst 1 ulykke: Y Poisson(2). P (Y = 1) = 21 1 e 2 = P (Y 1) = 1 P (Y = 0) = e 2 =

22 2.5 Kendte diskrete fordelinger 22 Bemærkninger til PoissonfordelingenPoisson(λ): Y kan antage værdierne 0,1,2,.... Middelværdi: E(Y ) = λ Varians: Var(Y ) = λ Spredning: σ Y = λ Aproksimation til binomialfordeling: Lad Y b(n,p) Hvis n stor og p lille, så er Y Poisson(np). Altså approximeres med den Poissonfordeling som har samme middelværdi som b(n, p).

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning

Statistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med

Læs mere

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives

Læs mere

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen 1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Grundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres

Læs mere

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel: Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal succeser i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes. Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Modul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik

Modul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kapitel 8.1-8.3 Tilfældig stikprøve (Random Sampling) Likelihood Eksempler på likelihood funktioner Sufficiente statistikker Eksempler på sufficiente statistikker 1 Tilfældig stikprøve Kvantitative

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Modul 3: Sandsynlighedsregning

Modul 3: Sandsynlighedsregning Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Sandsynlighedsregning 3.1 Sandsynligheder................................... 1 3.2 Tilfældig udtrækning fra en mængde........................

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere