Kvantemekanik 2 Side 1 af 11 Schrödingerligningen. Bølgefunktionen

Transkript

1 Kvantemean Sde af Bølgefuntonen Inden for den lassse fys an en partels bevægelse besrves ved en, der ndeholder alle oplysnnger om partlens bevægelse stedfunton r( t) Pga den KM besrevne partel-bølge-dualtet må man nden for KM opgve dette med noget, der sger noget om determnstse bllede og erstatte r( t) sandsynlgheden for at fnde vantepartlen et gvet sted rummet og samtdg ndeholder alle oplysnnger om vantepartlens bevægelse Ovenstående opnås ved tl enhver vantepartel at nytte en omples bølgefunton ( rt, ) ψ Sandsynlgheden for tl tden t at fnde en vantepartel endetegnet ved ψ rumfanget V er således gvet ved P t r t dv, () V () = ψ (, ) V svarende tl at det er mest sandsynlgt at fnde vantepartlen der, hvor dens bølgefunton har størst modulus Det er således mulgt at afode fes partlens hastghed ved at lade dfferentaloperatoren d dt vre på dr dr stedfuntonen: v = Tlsvarende med fes den netse energ E = m n dt dt Denne gang e af matemats bevemmelghed, som tlfældet var med lassse EM bølger, men af ren og sær fyss nødvendghed Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

2 Kvantemean Sde af Bølgepaer Jf EM-urset er den smpleste form for bølge en plan, monoromats bølge på formen r ωt f ( r, t) = Ae () med veldefneret bølgevetor og vnelfrevens ω og dermed veldefneret ω udbredelseshastghed v = ˆ og bevægelsesmængde p= En vantepartel endetegnet ved en bølgefunton på formen () fndes med lge stor sandsynlghed overalt rummet: V () V r ωt (3) P t = Ae dv = A V V Loalserede vantepartler er således e endetegnet ved en bølgefunton form af en enelt plan, monoromats bølge, men må være endetegnet ved en overlejrng/superposton/vægtet sum af alle sådanne bølger form af Fourerntegralet 3 : ψ r ωt 3 rt = A e d (, ) 3 ( ), (4) 3 hvor d = d d dz er et volumenelement -rum, og hvor Foureroeffcenten A( ) x y som beendt angver den vægt, hvor med den plane bølge endetegnet ved ndgår overlejrngen 4 Jf de matematse resultater fra Fourer-teoren an enhver pæn funton srves som et Fourerntegral, og dermed an bølgefuntonen for enhver fr 5 vantepartel srves som en såaldt bølgepae som den udtry (4) 3 Bemær, at dette er helt analogt tl besrvelsen af polyromatse bølger EM4 4 ω an bestemmes ud fra vha dspersonsrelatonen 5 En partel er fr, hvs den e påvres af ræfter, svarende tl at dens potentelle energ er den samme overalt rummet, fes nul Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

3 Kvantemean Sde 3 af Hvs der un ndgår én plan, monoromats bølge overlejrngen, svarende tl A = A δ ', er der som sagt ngen loalserng, og som det også es fremgår ( ) ( ) af opg, blver loalserngen større, jo flere plane, monoromatse bølger, der ndgår bølgepaen Dette følger også drete af userhedsrelatonen fra udtry (7), som, det p følge de Brogle-relatonen udtry (4) er gvet ved h h p = π λ = π λ =, an srves ΔxΔ x (5) A = A δ ' Den ene yderlghed form af én plan, monoromats bølge med ( ) ( ) svarer således tl Δ 0 Δx svarende tl ngen loalserng A Den anden yderlghed A( ) = x (tlsvarende de andre to dmensoner), svarer tl Δ Δx 0 (og tlsvarende de andre to dmensoner), svarende tl fuldstændg loalserng x Bemær, jf dsussonen KM, hvordan målng af en vantepartels poston radalt omformer dens bølgefunton fra at være en egentlg bølgepae med en eller anden grad af loalserng tl at antage form som en deltafunton Målng af fes postonen sges således at få bølgefuntonen tl at ollapse Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

4 Kvantemean Sde 4 af Dsperson Hvs udbredelsesfarten af de plane bølger, der udgør bølgepaen udtry (4), afhænger af 6, vl de forsellge plane bølger e udbrede sg lge hurtgt, og bølgepaen vl dermed ændre form tat med sn udbredelse 7 For at bestemme den hastghed, som bølgepaen udbreder sg med, betragtes to, ω + d, ω + dω, der jo nterfererer nabo plane bølger ( ) og ( ) onstrutvt/forstærer hnanden et punt r, hvs deres faser er ens: r ωt= + d r ω+ dω t d r = dω t: ( ) ( ) r = ω t så bølgepaens toppunt vl altså udbrede sg med den såaldte gruppehastghed 9 v = ω (6) g, 8 Gruppehastgheden dentfceres således som bølgepaens udbredelseshastghed, og da bølgepaen repræsenterer en vantepartel, er v g dermed den KM pendant tl det lassse begreb partelhastghed Bemær, at v g afhænger af og dermed un er veldefneret den udstrænng, er det 0 6 Jf EM udtry (40) svarer dette tl en dspersonsrelaton ω ( ), hvor ω e er proportonal med, sådan at v ( ) 7 I så fald sges bølgepaens udbredelse at være dspersv 8 ω ω ω ω ω ω d ω t = ( d xˆ+ d yˆ + d zˆ) xˆ yˆ zˆ t d d d t dω t x y z + + = + + x y z = x y z x y z 9 De enelte plane, monoromatse bølgers udbredelseshastgheder aldes fasehastgheder 0 I prass ndgår begrebet gruppehastghed derfor besrvelsen af bølgepaer, hvs bølgetal er fhv snævert centreret om en central -værd Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

5 Kvantemean Sde 5 af En vantepartel er således repræsenteret ved en bølgefunton ( rt, ) ψ, men hvordan fndes netop den bølgefunton, der besrver en vantepartel et gvet system, fes en eletron et brntatom? Fr vantepartel Betragt en fr vantepartel, der bevæger sg D, og som er endetegnet ved dω massen m, hastgheden v =, bevægelsesmængden p = og energen d p E = E = n m = m Da p dω v = =, m d m fås flg dspersonsrelaton for en fr vantepartel med masse m: ω ( ) = (7) m Betragt den partelle dfferentallgnng ψ ψ =, (8) t m x for hvlen den plane bølge ψ ( xt, ) x ( ωt = Ae ) (9) er en løsnng, såfremt dspersonsrelatonen udtry (7) er opfyldt: ( ωψ ) ( xt, ) = ( ) ψ( xt, ): ω = m m Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

6 Kvantemean Sde 6 af Dfferentallgnngen udtry (8) har altså den egensab, at dens planbølgeløsnnger opfylder dspersonsrelatonen for en fr vantepartel Da udtry (8) er lneær og homogen, er dens fuldstændge løsnng gvet ved x ( ωt ψ ) ( xt, ) = A ( ) e d, ω ( ) =, (0) m hvlet er den D pendant tl bølgepaen udtry (4) Enhver bølgefunton for en fr vantepartel D vl med andre ord være løsnng tl udtry (8), der derfor aldes for en fr vantepartel D Hvor udtry (0) er det generelle D-udtry for ψ, udgør planbølgeløsnngerne udtry (9) den specelle gruppe af bølgefuntoner for fre vantepartler, for hvle p = og E = ω er veldefneret (an bestemmes esat) I 3D generalserer for fre vantepartler tl ψ = ψ t m () Og den fuldstændge løsnng tl udtry (8) udgør alle mulge bølgefuntoner for fre vantepartler D Opstllet første gang af østrgeren Erwn Schrödnger 96, der f en nobelprs 933 for st bdrag tl KM Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

7 Kvantemean Sde 7 af Kvantepartel et potental Betragt en e-fr vantepartel, der bevæger sg et onservatvt raftfelt 3 4 besrevet ved den potentelle energ ( potentalet ) V ( r, t) Bemær, at operatoren m vrende på en fr vantepartels bølgefunton form af en plan bølge gver denne fre vantepartels veldefnerede (netse) energ gange bølgefuntonen: r t r t r t Ae ω Ae ω E Ae m = m = ω ( n) () Som m således repræsenterer/afoder den netse energ, repræsenterer + V ( r, t) den totale/meanse energ, og generalserer m derfor tl ψ t m = + V, ψ (3) ( r t) Bemær, at der for V ( r, t) = V0 er tale om en fr vantepartel Alle mulge bølgefuntoner for vantepartler, der befnder sg et system V r, t, an således ( prncppet) fndes som løsnnger tl endetegnet ved ( ) udtry (3), som dermed en vs forstand er den KM pendant tl Newtons anden lov 3 Bemær den forbndelse, at alle ræfter fundamentalt set er onservatve r 4 V r, t = F r, t dr, F r, t = V r, t ( ) ( ) ( ) ( ) rref Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

8 Kvantemean Sde 8 af Dsrete stoastse 5 varable Sandsynlghedsregnng Betragt den stoastse varabel Χ med det dsrete udfaldsrum = {,,, n}, hvortl der er nyttet sandsynlghedsfordelngen ( ) U x x x P Χ= x =p Normerng Sandsynlghedsfordelngen er normeret, hvs den samlede sandsynlghed for alle udfald er : n p = (4) = Forventnngsværd Forventnngsværden af Χ hvormed de foreommer 6 : er summen af udfald vægtet med den sandsynlghed, n Χ = x p (5) = Sprednng Sprednngen af Χ gennemsnt lgger fra forventnngsværden: er et mål for, hvor langt den stoastse varabels udfald 7 ΔΧ ( Χ Χ ) (6) 5 Stochos er græs og betyder at gætte, så en stoasts varabel er en varabel, hvs udfald e an forudsges 6 Hvs sandsynlghedsfordelngen e er normeret, sal p erstattes med den relatve sandsynlghed: p Χ = = n = x n n = p p = = 7 Sprednngen, der er vadratroden af varansen, har således samme enhed som den pågældende stoastse varabel n x p Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

9 Kvantemean Sde 9 af Sprednngen omsrves af pratse årsager som følger: n ( ) ( ) n x p x x = = ΔΧ = Χ Χ = Χ = + Χ Χ n n n x p p xp = = = = + Χ Χ = Χ + Χ Χ Χ : (7) ΔΧ = Χ Χ p Esempel Χ : Antallet af øjne ved slag med to ternnger U = {,,} p = p4 =, {, 7 } 36 Denne sandsynlghedsfordelng er normeret, ford p = = Hvs man slår N gange med de to ternnger og herunder får det te udfald N gange, har man gennemsnt fået flg antal øjne: N + + N N N Da lm = p N, er forventnngsværden således gennemsnttet (mddelværden) ved N et stort antal realsatoner /udfald: N + + N lm p p x N p N = = + + = = Χ Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

10 Kvantemean Sde 0 af Kontnuerte stoastse varable Betragt den stoastse varabel Χ med det ontnuerte udfaldsrum U, hvortl der er nyttet sandsynlghedsfordelngen ( ; ) ρ ( ) x P X x x = x dx, (8) hvor ρ er sandsynlghedstætheden, det ρ ( x) dx er sandsynlgheden for at få et udfald ntervallet x; x+ dx 8 x Normerng Sandsynlghedsfordelngen er normeret, hvs U ( x) dx ρ = (9) Forventnngsværd Forventnngsværden af Χ er gvet ved U x ( ) Χ = ρ xdx (0) Sprednng Sprednngen af Χ er gvet ved ΔΧ = Χ Χ () 8 Bemær således, at da udfaldsrummet er uendelgt stort, er sandsynlgheden for at ramme én bestemt værd lg nul: P( X = x 0 ) = 0 Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009

11 Kvantemean Sde af Esempel H : Højden af ndbyggere Danmar U = + ρ ( h) H = 75cm ρ ( h) = π ΔH e ( h H ) ( Δ ) H Areal = h Thomas B Lynge, Insttut for Fys og Nanotenolog, AAU 0/0/009