Statistisk fastlæggelse af karakteristiske parametre Punktværdimetoden & Middelværdimetoden

Transkript

1 Punktværdimetoden & Middelværdimetoden Middelværdimetoden: STOR udstrækning af konstruktion og/eller brudfigur. STOR udstrækning af styrende jordlag (med samme styrkeegenskaber) Punktværdimetoden: LILLE udstrækning 1

2 Der er med anvendelsen af EC lagt op til en svigtsandsynlighed på 5% ved anvendelsen af karakteristiske parametre i projekteringen 2

3 Konklusion Da EC lægger op til en 5% svigtsandsynlighed ved projektering med karakteristiske parametre, skal den karakteristiske parameter fastlægges under hensynstagen til de udledte parametres variation indenfor den del af konstruktionsudstrækningen, der styrer bruddets udstrækning Middelværdimetoden forudsætter: En stor konstruktion set i forhold til parameterens variation i længderetningen. Men flere adskilte styrkehorisonter kan principielt behandles efter middelværdimetoden -indenfor den relevante udstrækning af brudzonen i jorden. Engineering Judgement skal altid anvendes For store jordvolumener, set i forhold til parameterens variation i længderetningen, i den pågældende grænsetilstand, er det relevant at anvende middelværdimetoden, til et estimat af den karakteristiske parameter. Metoden giver en ikke -overskridelses sandsynlighed på 5% for middelværdienaf parameteren Ved tilstrækkeligt mange måledata, og stor konstruktion set i forhold til parameterens variation i længderetningen, kan et forsigtigt skøn af middelværdien (stadigvæk) anvendessom karakteristisk styrkeparameter i projekteringen (når der ikke udføres statistisk beregning) 3

4 Typiske forhold parametervariation - visuelt Post- og senglaciale aflejringer: LILLE parametervariation i samme lag Overkonsoliderede aflejringer: STOR parametervariation i samme lag 4

5 Punktværdimetoden og Middelværdimetoden Hvad er stor og lille konstruktionsudstrækning set i forhold til parameterens variation i længderetningen (indlægsholderen giver sit eget bud herunder find selv dit eget!)? Følgende er en mulighed: > 3 m repræsenterer oftest stor konstruktionsudstrækning < 0,3 m repræsenterer med sikkerhed lille konstruktionsudstrækning (Men det afhænger af parametervariationen indenfor samme styrkehorisont (lag), set i forhold til konstruktionsudstrækning/brudmekanismeudstrækning) 5

6 Der er med anvendelsen af EC lagt op til en svigtsandsynlighed på 5% ved anvendelsen af karakteristiske parametre i projekteringen Filosofi for fastlæggelse af karakteristisk parametre: Punktværdimetodenafspejler en 5% sandsynlighed for at parameteren underestimeres betragtet som en punktværdi(enkeltværdi af parameteren, punktværdi) Middelværdimetodenafspejler en 5% sandsynlighed for at parameteren underestimeres betragtet som en middelværdi(middelværdi af parameteren, populationsmiddelværdi) Parameteren = Stokastisk variabel styrkeparameter 6

7 Punktværdimetoden (visuelt) Anvendes når grænsetilstand er styret af enkeltværdier, dermed er mindsteværdien kritisk for konstruktionselementet Behandles statistisk ved punktestimater (Punktværdimetoden) Lille konstruktionsudstrækning set i forhold parameterens variationsbredde i længderetningen 7

8 Punktværdimetoden (tekst) Konstruktioner i jord med lille udstrækning (af grænsetilstand, fx en brudzone) i forhold til parametervariationen, eksempler: Spidsen af en pæl (rammet jbt-pæl, spuns, stålprofil, GEWI-pæl) Stribefundamenter med lille bredde Punktfundamenter med lille fundamentsareal Punktfundamenter i høj grad udsat for excentrisk last (brudfigur ved kant af fundament) Spadeankers modholdsplade 8

9 Punktværdimetoden Statisk set er der to tilgange: Normalfordelingen (mulighed for negative nedre værdier) Logaritmisk normalfordeling (negative nedre værdier ikke muligt) Anvendelsen af begge tilgange (normalfordelingen og logaritmisk normalfordeling) er beskrevet i DS/EN-1990, Anneks D, kapitel 7.2. Det Europæiske Normsæt, DS/EN-1990, giver alene vejledning for anvendelse af punktmetoden i Anneks D, kapitel 7.2, hvilket formentligt skyldes at punktværdi bestemte karakteristiske parametre er typisk er styrende for bygningskonstruktioner (middelværdi metoden giver selvsagt karakteristiske parametre tæt på middelværdien, ved et større antal forsøgsdata). 9

10 Middelværdimetoden Behandles ikke som statistisk redskab i DS/EN-1990, Anneks D(hvorfor ikke?: Givetvis fordi grænsetilstande styret af middelværdier er forholdsvist sjældne for bygningskonstruktioner) Anvendelse af middelværdimetoden, er beskrevet i statistiske lærebøger. I det følgende gennemgås alene anvendelsen af estimater baseret på normalfordelingen, idet antal forsøgsdata i geoteknikken oftest (men ikke altid) er store (> 5 til 10) og typisk har et forholdsvist lille forhold mellem spredning (s) og middelværdi (m) (< 0,5), og nedre værdier derfor er positive Grundlæggende forskel (fra punktværdimetoden) er, at kvadratroden af n indgår, ved fastlæggelsen af konfidensniveauet, samt at anvendelsen af t- fordeling (ligner normalfordelingen) der gør, at 5% sandsynligheden for at parameteren understiges, hurtigere nærmer sig (den sikre side af) middelværdien. 10

11 Middelværdimetoden Anvendes for grænsetilstande hvor svigtsandsynligheden er styret af middelværdier Behandles statistisk ved middelværdiestimater (middelværdimetoden) Stor konstruktionsudstrækning set i forhold parameterens variationsbredde i længderetningen 11

12 Middelværdimetoden: Konstruktioner i jord og jordlagmed stor udstrækning i forhold til parametervariationen, eksempler: Jordtryk på konstruktioner med store jordlag og stor brudzone Overfladen i længderetningen af en pæl (rammet jbt-pæl, spuns, stålprofil, GEWIpæl) Stribefundamenter med stor bredde (eller armeret i længderetningen) Punktfundamenter med stort fundamentsareal Jordankers forankringslængde Frie skråninger 12

13 Hvad ligger der imellem Punktværdimetoden og Middelværdimetoden? Indlægsholder tænker umiddelbart følgende: Et muligtovergangsinterval fra 0,3 m til 3 m I overkonsolideret jord, der typisk har stor parametervariation, vil lille konstruktionsudstrækning kunne tolkes at ligge nærmere de 3 m I normalt konsolideret jord, der typisk har lille parametervariation, vil lille konstruktionsudstrækning kunne tolkes at ligge nærmere de 0,3 m Historisk eksempel på del-anvendelse: Knud Mortensen (1965) differentierer i notat om stribefundamenters bæreevne mellem fundamantsbreddemindre og større end B = 0,7, hvor lavere enkeltværdier (50% af kravet til c u ) ved kontrolundersøgelser accepteres ved B > 0,7 m (PEM, Ramboll) 13

14 Punktværdimetoden og Middelværdimetoden Definitioner (DS/EN 1990 Anneks D, 7.2): X: Stokastisk variabel; den enkelte egenskab n: Antal forsøgsresultater fra forsøg V X : Variationskoefficient af X(V= (standardafvigelse) / (middelværdi)) s X : Standardafvigelse af X (for et antal forsøg n) m X : Middelværdi af X (for et antal forsøg n) k n : Karakteristisk fraktilfaktor (for et antal forsøg n) X k(n) : Karakteristisk værdi (under hensyntagen til statistisk usikkerhed for et antal forsøg n) 14

15 Punktværdimetoden og Middelværdimetoden Fastlæggelse af spredningen, s X : = ( ) Fastlæggelse af variationskoefficient, V X : = 15

16 Punktværdimetoden DS/EN 1990 Anneks D, 7.2, normalfordelingen: Punktværdi, metodisk bestemmelse af karakteristisk parameter, X k(n) som 5% fraktilværdi for punktværdi: Karakteristisk parameter: X k(n) = m X (1 k n V X ) n k n (V X kendt) 2,31 2,01 1,89 1,83 1,80 1,77 1,74 1,72 1,68 1,67 1,64 k n (V X ukendt) - - 3,37 2,63 2,33 2,18 2,00 1,92 1,76 1,73 1,64 Noter: I praksis er det ofte bedre at anvende tilfældet V X kendt sammen med et forsigtigt øvre estimat af V X end at anvende reglerne for V X ukendt. Desuden bør V X, når værdien er kendt, antages ikke at være mindre end 0,1. V x bør (ved forholdsvis store variationer imellem boringer) beregnes enkeltvist for lag i boringer (én boring ad gangen), hvorefter størrelsen af V x kan vurderes, og dernæst, anvendes som V x kendt, på lag i enkelte boringer. Heraf fås et sæt af karakteristiske parametre, som kan danne valg for en design basis. 16

17 Middelværdimetoden Middelværdi metodisk bestemmelse af karakteristisk parameter, X k(n), som 95% konfidensaf middelværdi (5% sandsynlighed for at middelværdien understiges), forudsat at variationskoefficienten er ukendt: (Fra: Statistiske Tabeller (1979) og En Introduktion til Statistik (1995), af Knut Conradsen:) Karakteristisk parameter: X k(n) = ( 1)= 1 1 t(n-1) : t fordelingen med n-1 frihedsgrader, fastlagt for 95 % konfidensniveau(t-fordelingen minder om normalfordelingen) n t(n-1) 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,86 1,81 1,73 1,70 1,64 Belønning: Haves en større database, eller antal boringer, som sandsynliggør at V x er kendt (principielt analytisk) sættes t(n-1) lig med 1,6449 ~ 1,64 i ovenstående udtryk, mens s x, m x, V x beregnes ud fra de konkret forekommende (antal = n) data ( Enhedsnormalfordelingen, N(0,1) fordelingen erstatter t(n-1)-fordelingen for 95% konfidensniveau) 17

18 Eksempel: Generel minimumsværdi på c u = 65 kpa på måledata. Diskretiseringtil n = 7 og n = 27 i eksemplet 18

19 Eksempel, n = 7 og n = 26 (data aflæst fra forrige polt) Materiale (fra eksemplet) c u,k fra visuelt forsigtigt skøn [kpa] Antal udtagne målepunkter, n Middelværdi, m / Spredning, s [kpa] / [kpa] k n c u,k (5 % fraktil for punktværdi) [kpa] c u,k (95 % konfidens af middel) [kpa] (% af m) Overkonsolideret 65 kpa < c u < 130 kpa Overkonsolideret 65 kpa < c u < 130 kpa / 20 2, (85%) /17 1, (94 %) Normalt konsolideret 65 kpa < c u < 80 kpa / 6 2, (94%) Normalt konsolideret 65 kpa < c u < 80 kpa / 4 1, (99%) 19

20 Eksempel visualisering af relation mellem middelværdi (xxx), 5 % fraktil for punktværdi og 95% konfidens på middelværdi ( = 5% fraktil på middelværdi som estimator) oktober 2015

21 Med rød linie: Skøn af beliggenhed af 5% konfidenspå middelværdi: c ~ 0,2 c u c k ~ 0,2 c u,k 21 Ref.: N. Okkels & K. K. Sørensen (Paris 2013, 18th Int. Conf.) ( 28. oktober 2015 Gældende for: Store jordvolumener. Store konstruktioner i jord. Eksempel på anvendelse: Skråningers stabilitet

22 Noter Lav altid et visuelt tjek af om den ud fra statistik beregnede parameter ser realistisk ud (på den sikre side af middelværdien, eller i den lave ende af punktværdier afh. af anvendt metode) Lad være med at lægge boringers styrkeparametre oveni hinanden og lave designgrundlag herefter : ((Det ser muligvis meget lækkert ud (figur til højre), men det introducerer ofte en større variationskoefficient end der rent faktisk er til stede. Og dermed bliver den karakteristiske parameter nemt skønnet eller beregnet for ugunstigt lavt. Tages derimod hver boring enkeltvist bogstaveligt, fås én (mindre) variationskoefficient, da denne er bestemt per boring (forudsat at der er et stort antal målinger). Denne variationskoeffcientkan derefter eventuelt anvendes på ringeste boring, men da statistisk behandlet som tilfældet V x kendt, idet V x så kan siges at være fastlagt på grund af et større datamateriale, antal datapunkter, n, ved fastlæggelse af V x er stort 22

23 Konklusion Da EC lægger op til en 5% svigtsandsynlighed ved projektering med karakteristiske parametre, skal den karakteristiske parameter fastlægges under hensynstagen til de udledte parametres variation indenfor den del af konstruktionsudstrækningen, der styrer bruddets udstrækning Middelværdimetoden forudsætter: En stor konstruktion set i forhold til parameterens variation i længderetningen. Men flere adskilte styrkehorisonter kan principielt behandles efter middelværdimetoden -indenfor den relevante udstrækning af brudzonen i jorden. Engineering Judgement skal altid anvendes For store jordvolumener, set i forhold til parameterens variation i længderetningen, i den pågældende grænsetilstand, er det relevant at anvende middelværdimetoden, til et estimat af den karakteristiske parameter. Metoden giver en ikke -overskridelses sandsynlighed på 5% for middelværdienaf parameteren Ved tilstrækkeligt mange måledata, og stor konstruktion set i forhold til parameterens variation i længderetningen, kan et forsigtigt skøn af middelværdien (stadigvæk) anvendessom karakteristisk styrkeparameter i projekteringen (når der ikke udføres statistisk beregning) 23

24 Ønsket kommentar fra salen: Drop det dér statistik, det er for kompliceret og ikke praktisk anvendeligt! Svar på kommentar: OK - Ja, gør endelig det. Men husk så, også at tænke i forsigtige skøn af middelværdien af parameteren, i de tilfælde hvor middelværdien styrer svigtsandsynligheden. Det er netop relevant som fastlæggelse af karakteristiske styrkeparametre for store konstruktioner. De forekommer store, set i forhold til parameterens variation i længderetningen! (Nyt mantra eller gammel vin på nye flasker indlægget er ment som en genopfriskning af branchepraksis) 24