Om uendelighedsbegrebet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Om uendelighedsbegrebet"

Transkript

1 Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab til mængdelære, så betydningen af et symbol som for eksempel A B er kendt. For en fuldstændigheds skyld minder vi dog i Afsnit 1 læseren om nogle af mængdelærens grundbegreber. For yderligere oplysninger om mængdelære mm henvises til [1], [2], [3] og [4]. Referencerne [1] og [3] er lettilgængelige fremstillinger af mængdelære og kardinaltal. Referencen [2] er en klassisk lærebog, der går i dybden ved at diskutere mængdelærens aksiomer. [4] er ligeledes en lærebog. Den går også i dybden og indeholder nyere resultater end de andre. Mængdelæren skyldes Georg Cantor ( ), der udformede den fra 1870 og de følgende ca. 25 år. Den mødte megen modstand i sin tid, men fik også mange tilhængere. En af tilhængerne var tidens største matematiker David Hilbert ( ), der udtalte: Ingen skal fordrive os fra det paradis, som Cantor har skabt. Nu er teorien almindelig anerkendt. Vi går i det følgende også ud fra, at de naturlige tal N = {1, 2,...} og deres elementære egenskaber som f.eks. induktionsprincippet er kendt. Symbolet OTL betyder Overladt Til Læseren. 1 Om mængder 1.1 Om begrebet mængde I overordentlig mange sammenhænge, praktiske såvel som tankemæssige, føres man til at afgrænse samlinger af objekter. Mange af sprogets gloser udtrykker, at man sammenholder en række objekter og betragter samlingen af dem. Med ordet lærerkollegiet tænker man sig samlingen af alle personer, der er ansat som lærere ved en bestemt skole; med ordet flåden sammenfatter man søværnets skibe, osv. I matematikken kaldes en vel afgrænset samling af objekter for en mængde (på engelsk set ), og de pågældende objekter kaldes mængdens elementer. Hvert af disse objekter siges at tilhøre mængden eller at være indeholdt 1

2 i den. For at undgå en alt for monotont stammende terminologi (en mængde af mængder af...) vil vi dog undertiden erstatte ordet mængde med ord som samling, familie, system eller lignende. Med ordene vel afgrænset menes, at det nøje skal være fastlagt, hvilke elementer der tilhører mængden. Når vi beskriver en mængde, dvs angiver dens elementer, skal det altså af beskrivelsen helt klart fremgå, hvilke elementer der er indeholdt i mængden, og hvilke der ikke er det. Eksempler på mængder er en flok duer, samlingen af stater i USA, mængden af alle primtal. Det er vigtigt at erkende, at en mængde kan være et element i en anden mængde, for det fænomen vil optræde gang på gang under jeres matematikstudier. F.eks. er en linje en mængde af punkter; og mængden af alle linjer i planen er således en mængde, hvis elementer selv er mængder. Begrebet mængde er en så primitiv begrebsdannelse, at vi ikke vil søge at definere det ud fra andre begreber, men nøjes med den ovenfor givne beskrivelse, hvor vi benyttede udtryk som samling, objekt, afgrænset, for at fremkalde den rigtige forestilling hos læseren. Lad nu X betegne en mængde. At x betegner et element, der tilhører X, skriver vi som følger: x X. Dette læses altså som x tilhører X eller x er indeholdt i X. At x betegner et element, der ikke tilhører X, skriver vi som følger: x / X. Terminologien på engelsk er x is an element of X, x is contained in X eller x belongs to X. Bemærkning 1.1. Det er en version af det græske bogstav epsilon, der indgår i udtrykket x X. Den benyttes så ofte til at betegne indeholdt i, at de fleste matematikere kun benytter den i denne mængdeteoretiske sammenhæng. De benytter ɛ eller ε, når de i andre sammenhænge har brug for det femte bogstav i det græske alfabet. Er X og Y mængder, så betegner X = Y, at X og Y består af de samme elementer, altså at x X x Y. Bemærkning 1.2. Vi benytter en pil i betydningen medfører, og en dobbeltpil i betydningen medfører og medføres af. En mængde X angives undertiden på følgende måde: X = {...}, hvor man på prikkernes plads tænker sig samtlige mængdens elementer anbragt. Hvis mængden f.eks. består af tallene 1, 3, 5, 7 og 9, betegner vi den med symbolet {1, 3, 5, 7, 9}. Da en mængde er karakteriseret alene ved de elementer, den indeholder, betegner symbolerne {1, 3, 5, 7, 9} og {9, 5, 3, 7, 1} den samme mængde. Dvs {1, 3, 5, 7, 9} = {9, 5, 3, 7, 1}, idet et lighedstegn mellem betegnelserne for to mængder tilkendegiver, at de to mængder består af de samme elementer. Man anvender også en skrivemåde af følgende art: X = {x...}, (1.1) 2

3 hvor man på prikkernes plads tænker sig angivet en egenskab, som x har, hvis og kun hvis x betegner et element, der tilhører X. Det er klart, at der for enhver mængde X gælder, at X = {x x X}. Vi vil også møde udtryk som {x X S(x)}, hvor S(x) er en betingelse, som elementerne i X kan opfylde eller ikke opfylde. Som et eksempel på anvendelsen af betegnelsesmåden (1.1) anfører vi, at {x x helt tal, og x > 0} er mængden af alle naturlige tal. Definition 1.3. Lad X og X betegne mængder. Vi siger, at X er en delmængde af X og skriver X X eller X X, såfremt x X x X. Nogle forfattere benytter notationen i stedet for, og i stedet for. Undertiden er det bekvemt at skrive X X i stedet for X X. De to udtryk betyder det samme. Den engelske terminologi er X includes X eller X is a subset of X. Det er klart, at det ifølge Definition 1.3 gælder om enhver mængde X, at X X. Det er ligeledes klart, at X = Y [X Y og Y X], og at X Y, Y Z X Z. I mængdelæren har man taget højde for udtryk som X \ X (vi definerer mængdedifferens senere) ved at indføre den tomme mængde. Formelt benytter man et af mængdelærens principper, nemlig specifikationsaksiomet (Engelsk: Axiom of specification; tysk: Aussonderungsaxiom). Definition 1.4 (Specifikationsaksiomet). Til enhver mængde X og enhver betingelse S( ) er B = {x X S(x) er sand} en mængde. Mængdelæren går ud fra, at der findes en mængde (!). Betegnes en sådan med A 0, så er den tomme mængde defineret ved = {x A 0 x x}. Ifølge Specifikationsaksiomet er en mængde. Den tomme mængde indeholder åbenbart ikke nogen elementer. Lemma 1.5. Lad X være en mængde. Da er den tomme mængde en delmængde af X, dvs X. Bevis. Vi skal vise, at ethvert element i venstre side, altså i, tilhører X. Men det er jo trivielt opfyldt for ethvert element fra venstre side, da der ingen er. Bemærkning 1.6. Selv om ræsonnementet i beviset for Lemma 1.5 er logisk korrekt, kan det måske forekomme lidt utilfredstillende. Beviset giver et typisk eksempel på et fænomen, der hyppigt optræder, nemlig at en betingelse 3

4 er tomt opfyldt. Vi skal vise, at et eller andet udsagn, der kan være enten sandt eller falsk, om den tomme mængde er sandt. Det gør vi ved at vise, at det ikke kan være falsk. Hvordan kan det eksempelvis være falsk, at X? Det kan kun være falsk, hvis har et element, der ikke er indeholdt i X; og det har ikke. har faktisk slet ingen elementer. Da udsagnet X ikke er falsk, konkluderer vi, at det er korrekt. Det er klart, at der højst kan være én mængde uden elementer: Hvis 1 og 2 er to sådanne mængder, så giver argumentet i beviset for Lemma 1.5, at 1 2 og 2 1, dvs 1 = 2. Diskussionen ovenfor er til for at sikre os eksistensen af en tom mængde, ikke den logisk set ret trivielle éntydighed. Entydigheden gør imidlertid, at vi meningsfyldt kan bruge udtrykket den tomme mængde. Ifølge Lemma 1.5 er den tomme mængde en delmængde af enhver mængde. Definition 1.7. Lad X være en mængde, og lad x 0 være et element i X, dvs x 0 X. Vi indfører betegnelsen {x 0 } = {x X x = x 0 } for den delmængde af X, der som eneste element har x 0. Bemærkning 1.8. En mængde bestående af netop ét element kaldes for en singleton. Et eksempel på en singleton er delmængden {x 0 } fra Definition 1.7. er ikke en singleton, men { } er det. Bemærkning 1.9. Man skal omhyggeligt skelne mellem begreberne elementer og delmængder, fordi de ikke betyder det samme. De dertil svarende notationer og kan følgelig ikke bruges i flæng. Gør man det, så kommer man helt sikkert, endda selvforskyldt, i logiske vanskeligheder, og ens resultater vil sandsynligvis være mageløst sludder. Det er nok ret oplagt at opretholde distinktionen mellem det at være et element i en mængde X og det at være en delmængde af X, så længe man betragter delmængder, der indeholder mere end et enkelt element. Men logikken tilsiger os, at vi skal være konsekvente i vores diskussion af delmængder: Vi skal opretholde distinktionen for alle delmængder, også for delmængder, der består af præcis ét element: Et element x 0 i en mængde X er ikke en delmængde af X, det bliver faktisk slet ikke betragtet som en mængde i denne sammenhæng. Derfor skriver vi konsekvent x 0 X og {x 0 } X. Det kan tilføjes, at der selvfølgelig er en sammenhæng mellem de to forskellige begreber, nemlig at x 0 X er ækvivalent med {x 0 } X. Begreberne at tilhøre ( ) og at være en delmængde af ( ) er meget forskellige. Det kan man bl.a. se af, at de har forskellige egenskaber. Det gælder f.eks. altid, at X X. Men gælder det nogensinde, at x x? I hvert fald ikke for elementerne i nogen fornuftigt konstrueret mængde. Som et andet eksempel kan man observere, at inklusionen er transitiv, dvs A B 4

5 og B C medfører, at A C. Det tilsvarende gælder ikke for begrebet at tilhøre (tænk på superorganisationer, hvis medlemmer er organisationer). Lad os se på en samling C = {X 1, X 2, X 3 } bestående af tre mængder X 1, X 2 og X 3. Så X 1, X 2 og X 3 er altså elementerne i C. Eksempelvis kunne X k for k = 1, 2, 3 være den åbne cirkelskive i R 2 med centrum (0, 0) og radius k. Godt nok er X 1, X 2 og X 3 mængder, men de er ikke delmængder af C; de er elementer i C. Øvelse Beskriv systemet af delmængder af den tomme mængde. Øvelse Lad M betegne mængden af alle indskrivelige firkanter i planen, og lad N betegne mængden af alle firkanter i planen, hvor summen af er par modstående vinkler er Vis, at M = N. 1.2 Om foreningsmængder Definition Hvis C er en samling (dvs mængde) af mængder, så lader vi udtrykket X C X betegne en ny mængde, nemlig X C X = {x Der findes et X C, så x X}, der kaldes for foreningsmængden af samlingen C (engelsk: The union of the collection C of sets). Jeg gætter på, at foreningsmængsdetegnet stammer fra U et i Union. Hvis C = {X 1, X 2,..., X n }, altså hvis C består af de endelig mange mængder X 1, X 2,..., X n, så benytter man som regel notationen X 1 X 2 X n eller n j=1 X j i stedet for X C X. Hvis C = {X 1, X 2,..., X n,...}, altså hvis C består af de uendelig mange mængder X 1, X 2,..., X n,..., eller med andre ord at man har nummereret mængderne i C, så benytter man som regel notationen X 1 X 2 X n eller n=1 X n i stedet for X C X. Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {X i i I}, så skriver man i I X i 5

6 i stedet for X C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I = {1, 2,..., n} og I = N, henholdsvis. Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot består af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen A B i stedet for X C X, så A B = {x x er element i mindst én af mængderne A og B}. A B kaldes foreningsmængden af A og B. Sætning Lad A, B og C være mængder. Da gælder (a) A = A. (b) A B = B A (kommutativitet). (c) A (B C) = (A B) C (associativitet). (d) A A = A. (e) A B hvis og kun hvis A B = B. Bevis. OTL. Øvelse Lad a, b X være to forskellige elementer i en mængde X. Vis, at {a} {b} = {a, b}. 1.3 Om fællesmængde (= gennemsnit) Definition Hvis C er en ikke-tom samling (dvs mængde) af mængder, så lader vi udtrykket X C X betegne mængden X C X = {x x X for ethvert X C}, der kaldes for fællessmængden eller sommetider gennemsnittet (intersection på engelsk) af samlingen C. Hvis C = {X 1, X 2,..., X n }, altså hvis C består af de endelig mange mængder X 1, X 2,..., X n, så benytter man som regel notationen i stedet for X C X. X 1 X 2 X n eller n j=1 X j 6

7 Hvis C = {X 1, X 2,..., X n,...}, altså hvis C består af de uendelig mange mængder X 1, X 2,..., X n,..., eller med andre ord at man har nummereret mængderne i C, så benytter man som regel notationen X 1 X 2 X n eller n=1 X n i stedet for X C X. Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {X i i I}, så skriver man i I i stedet for X C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I = {1, 2,..., n} og I = N, henholdsvis. Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot består af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen X i A B i stedet for X C X, så A B = {x x er element i både A og B}. A B kaldes gennemsnittet af A og B. Sætning Lad A, B og C være mængder. Da gælder (a) A =. (b) A B = B A (kommutativitet). (c) A (B C) = (A B) C (associativitet). (d) A A = A. (e) A B hvis og kun hvis A B = A. Bevis. OTL. Definition To mængder X 1 og X 2 siges at være disjunkte, såfremt X 1 X 2 =. Øvelse I denne opgave vil vi betragte en speciel familie af delmængder af R 2, nemlig de lukkede mængder. Definition En delmængde F af R 2 siges at være lukket eller afsluttet, såfremt den har følgende egenskab: For enhver konvergent følge x 1, x 2,..., x n,... x 0, hvor x n F for ethvert n N, vil også grænsepunktet x 0 F. 7

8 At følgen x 1, x 2,..., x n,... konvergerer mod x 0 betyder følgende: Lad r > 0 være vilkårlig. Fra et vist trin N at regne (dvs for n N) vil alle x n erne ligge i cirkelskiven omkring x 0 med radius r. Dette skal gælde for ethvert fastholdt r > 0. Selvfølgelig afhænger N af r: Hvis cirkelskiven vælges mindre, skal vi normalt gå længere ud i følgen, før x n erne ligger i cirkelskiven. (a) Gør rede for, at kvadratet [0, 1] [0, 1] og enhedsintervallet [0, 1] {0} begge er lukkede mængder. (b) Vis, at den åbne enhedscirkel {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1} ikke er lukket. (c) Lad F 1 og F 2 være lukkede. Vis, at F 1 F 2 og F 1 F 2 er lukkede. (d) Lad {F i i I} være en mængde af lukkede mængder. Vis, at i I F i er lukket. (e) Lad F 1, F 2,... være en følge af lukkede mængder. Er foreningsmængden F 1 F 2 = n=1 F n altid lukket? (f) Gør rede for, at er lukket. (g) Gør rede for, at R 2 er lukket. Idet Definition 1.19 ovenfor på lukkede mængder kopieres til R, ved at vi erstatter R 2 med R, skal man vise, at punkterne (c) - (g) også holder for R (i punkt (g) skal der så selvfølgelig stå R i stedet for R 2 ). Øvelse Vis følgende to såkaldt distributive love, der knytter kompositionsreglerne og sammen: Øvelse Angiv mængderne (X Y ) Z = (X Z) (Y Z), (1.2) (X Y ) Z = (X Z) (Y Z). (1.3) {x R 0 x < 1 n } og {x R 0 < x < 1 n }. n=1 Øvelse En delmængde K af R 2 siges at være konveks, såfremt den har følgende egenskab: For ethvert par af punkter x K, y K gælder, at ethvert punkt på liniestykket [x, y], der forbinder x og y, tilhører K. Vis, at hvis A og B er to konvekse mængder, så er A B ligeledes en konveks mængde. Vis, at gennemsnittet af en vilkårlig mængde af konvekse mængder er konveks. n=1 8

9 1.4 Om komplementærmængde Når X og Y er mængder, kan vi betragte mængden af de x, der er elementer i X, men ikke i Y. Denne mængde kalder vi for mængdedifferensen mellem X og Y eller det relative komplement til Y i X, og vi betegner den med X \ Y. Så X \ Y = {x X x / Y }. (1.4) Den engelske betegnelse er The difference between X and Y eller The relative complement of Y in X. Bemærk, at det i denne definition ikke er nødvendigt at antage, at Y X. Ofte er det i en given sammenhæng naturligt udelukkende at betragte mængder, der er delmængder af en vis fast mængde (kaldet grundmængden eller universalmængden). Når vi f.eks. arbejder med mængder af reelle tal, er grundmængden R. For at skrive de fundamentale egenskaber ved komplementærdannelse op vil vi dette afsnit (og kun her) antage, at samtlige mængder, som omtales, er delmængder af en og samme grundmængde U, og at alle komplementer dannes relativt til U (U for universalmængde). I sådanne situationer er det lettere at underforstå grundmængden U end at skrive den op igen og igen; det har den yderligere fordel, at det simplificerer notationen og dermed gør formlerne mere overskuelige. Definition Når X er en delmængde af U, består U \X af de elementer i U, der ikke ligger i X. Denne mængde kalder vi X s komplementærmængde, og vi betegner den med symbolet X. Altså X = U \ X. De grundlæggende kendsgerninger om komplementærdannelse kan nu formuleres som følger: ( X) = X, (1.5) = U, U =, (1.6) X X = U, X X = (1.7) X Y hvis og kun hvis Y X. (1.8) De vigtigste resultater om komplementærdannelse er Sætning 1.24 (De Morgans love). Idet X og Y er delmængder af U, har vi, at (X Y ) = X Y og (X Y ) = X Y. (1.9) Andre nyttige formler er indeholdt i den næste proposition. 9

10 Proposition Lad X, Y og Z være delmængder af U. Da gælder: X \ Y = X Y (1.10) X Y hvis og kun hvis X \ Y = (1.11) X \ (X \ Y ) = X Y (1.12) X (Y \ Z) = (X Y ) \ (X Z) (1.13) X Y (X Z) (Y Z) (1.14) (X Z) (Y Z) X Y (1.15) Øvelse For to vilkårlige mængder X og Y definerer man deres symmetriske differens (også kaldet deres Booleske sum) X + Y som mængden X + Y = (X \ Y ) (Y \ X) Lad X, Y og Z betegne mængder. Vis, at (a) X + Y = Y + X (kommutativitet). (b) X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z (associativitet). (c) X + = X. (d) X + X =. Øvelse Lad {X i i I} være en samling af mængder, indiceret af en ikke-tom mængde I. Vis følgende generalisation af den første af De Morgans love: ( i I X i ) = i I X i. Øvelse Lad A 1, A 2,..., A n,... være delmængder af en grundmængde U. Definer lim sup A n = ( A i ), (1.16) lim inf A n = m=1 i=m ( A i ). (1.17) m=1 i=m (a) Gør rede for, at lim sup A n = {x U x A i for uendelig mange i}. (b) Gør rede for, at lim inf A n = {x U x A i for alle i fra et vist trin }. (c) Vis, at A n lim inf A n lim sup A n A n. (1.18) n=1 n=1 10

11 (d) Vis, at (lim sup A n ) = lim inf A n og (lim inf A n ) = lim sup A n. (1.19) (e) Vis, at hvis A 1 A 2... A n..., da er lim inf A n = lim sup A n = (f) Vis, at hvis A 1 A 2... A n..., da er lim inf A n = lim sup A n = A n. n=1 A n. n=1 Øvelse Lad A n for n = 1, 2,... betegne halvplanen (a) Vis, at (b) Vis, at lim sup A n = lim inf A n = 2 Afbildninger A n = {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 ( 1) n nx 1 }. A n = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 = 0 og x 2 < 0}. n=1 A n = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 = 0 og x 2 0}. n=1 I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet med mængdelæren som grundlag. Definition 2.1. Lad X og Y være to mængder. X Y betegner mængden af ordnede par (x, y), hvor x X og y Y. Rækkefølgen (x på 1. plads, y på 2. pladsen) er væsentlig. Faktisk er (y, x) slet ikke et element i X Y, medmindre da tilfældigvis X = Y. Definition 2.2. Lad X og Y være to mængder. En funktion eller en afbildning af X ind i Y er en ordnet trippel (X, Y, f), hvor f er en delmængde af X Y med følgende egenskab: For ethvert element x X findes der netop ét element y Y, så (x, y) f. Det éntydige element y Y, for hvilket (x, y) f, betegnes med f(x). Symbolet f : X Y benyttes ofte som en forkortelse for f er en afbildning af X ind i Y. X kaldes for funktionens domæne eller definitionsområde, og Y for dens codomæne. 11

12 På engelsk kaldes en funktion/afbildning for function / mapping eller bare map. Når man taler om en funktion, så er dens domæne X og dens codomæne Y indbygget i funktionen i kraft af Definition 2.2, der jo specificerer både X og Y. Ofte underforstås X og Y, så man i stedet for at tale om funktionen (X, Y, f) blot taler om funktionen f. En reel funktion f : X R kan selvfølgelig anskues som en funktion, der tager komplekse værdier, idet R C, men vi skelner altså mellem den reelle og den komplekse funktion, fordi de har forskellige codomæner. Oftest bruges ordet funktion om en afbildning af en mængde X ind de reelle eller komplekse tal, medens ordet afbildning bruges for et vilkårligt codomæne. Delmængden f af X Y er f = {(x, f(x)) X Y x X}, så en funktion f : X Y kan defineres ved, at vi til ethvert x X angiver værdien f(x) Y. Ofte møder man vendingen funktionen f defineret ved f(x) =..., x X, hvor... er et eller andet udtryk i x, der giver et element i Y. Med vendingen menes funktionen f = {(x, y) X Y y = f(x)} (principielt dog triplen (X, Y, f)). F.eks. mener man med funktionen f defineret ved f(x) = x 3, x R, funktionen {(x, y) R 2 y = x 3 }. Undertiden skriver man funktionen f som x f(x), x X. F.eks. betyder x x 3, x R, funktionen f defineret ved f(x) = x 3, x R. I visse sammenhænge bruges der andre ord for afbildninger. F.eks. når man, givet en mængde X, betragter en følge {x 1, x 2,...} i X. Følgen tilordner til ethvert n N elementet x n i X, så der er dermed faktisk tale om funktionen f : N X givet ved f(n) = x n, n N. En følge er altså en funktion med de naturlige tal som definitionsområde. For en afbildning mellem vektorrum benytter man ofte glosen operator i stedet for glosen funktion. En ofte mødt definition på funktion er, at en funktion f : X Y er en regel eller forskrift, der til ethvert element i X tilordner netop ét element i Y. I indeværende fremstilling er vi imidlertid utilfredse med ordene regel og forskrift, idet de er vage og ikke defineret mængdeteoretisk. Begrebet funktion som defineret i Definition 2.2 giver mening til disse vage termer. Men vi definerer altså funktionsbegrebet, før vi benytter disse ord for en funktion. Vi kan og vil imidlertid benytte dem fra nu af. Lad f 1 : X 1 Y 1 og f 2 : X 2 Y 2 være to funktioner. Vi bemærker, at f 1 = f 2, hvis og kun hvis X 1 = X 2, Y 1 = Y 2 og f 1 (x) = f 2 (x) for ethvert x X 1 = X 2. Definition 2.3. Lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, og lad X være en delmængde af X. Ved restriktionen af funktionen f til X forstås funktionen (X Y ) f = {(x, f(x )) f x X } med definitionsområde X og codomæne Y. Den betegnes f X. Restriktionen f X er principielt en anden funktion end f, idet de to 12

13 funktioners definitionsområder er forskellige, nemlig henholdsvis X og X. Definition 2.4. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, og g : Y Z være en afbildning af Y ind i Z. Sammensætningen g f er den afbildning af X ind i Z som er givet ved (g f)(x) = g(f(x)), x X. Med andre ord er sammensætningen triplen (X, Z, g f), hvor g f = {(x, z) X Z z = g(f(x))}. Det engelske ord for sammensætning er composition. En meget vigtig egenskab ved operationen sammensætning af funktioner er dens associativitet: Sætning 2.5. Lad X, Y, Z og W være mængder, lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, g : Y Z en afbildning af Y ind i Z, og h : Z W en afbildning af Z ind i W. Da er h (g f) = (h g) f. Definition 2.6. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. (a) For A X er f(a) = {f(a) a A}. Det er en delmængde af Y. (b) f s billedmængde ( image på engelsk) er en vis delmængde af Y, nemlig f(x) = {f(x) x X}. (c) Hvis f(x) = Y, siges f at være en surjektion eller at være surjektiv. Man siger også kort, at f er på. At en afbildning er surjektiv vil sige, at der til ethvert y Y findes mindst ét x X så f(x) = y. Eksempel 2.7. (a) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 3, x R, er en surjektion. (b) Funktionen f : R R givet ved f(x) = sin x, x R, er ikke surjektiv. Dens billedmængde er nemlig [ 1, 1], som er en ægte delmængde af R. (c) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, x R, har billedmængden [0, [. Den er heller ikke på. Man skal skelne mellem en funktion og dens billedmængde; det sted, der nok mest frister til sammenblanding, er i omgangen med kurver. En kurve er pr definition en kontinuert afbildning γ : I R n af et interval I ind i R n, men ofte tænker man på kurven som punktmængden γ(i). Definition 2.8. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Lad Y 0 være en delmængde af Y. Urbilledet af Y 0 ved f er en vis delmængde af X, nemlig f 1 (Y 0 ) = {x X f(x) Y 0 }. (2.1) På engelsk hedder det the pre-image of Y 0 under f. 13

14 Eksempel 2.9. Betragt funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, x R. Her er f 1 ([1, 4]) = [1, 2] [ 2, 1], f 1 ({1}) = {±1}, og f 1 (], 1[) =. Definition Ved potensmængden P(X) for mængden X forstår man mængden af alle delmængder af X. På engelsk: The power set of X. Hvis eksempelvis X = {a, b}, så er P(X) en mængde med 4 elementer, idet P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Det fremgår af definitionen på urbillede, at når f : X Y, så er f 1 en afbildning af P(Y ) ind i P(X). Vi pointerer, at f 1 (Y 0 ) er en delmængde af X, ikke et element i X, og at f 1 (Y 0 ) er defineret for enhver delmængde Y 0 af Y. Vi skal i Afsnit 3 møde en anden betydning af symbolet f 1, nemlig som den inverse funktion, uden disse egenskaber. Principielt burde man selvfølgelig benytte forskellig notation for forskellige begreber, men det gør man i dette tilfælde altså ikke. Det overlades dermed læseren til ud fra sammenhængen at afgøre, hvilken af de to betydninger f 1 har. Betragt for eksempel den reelle funktion h, der til ethvert punkt i Danmark tilordner dets højde over havoverfladen. Et topografisk kort over Danmark viser punkterne med samme højde som en niveaukurve (eventuelt med flere forskellige komponenter). Niveaukurven svarende til højden y over havoverfladen er mængden h 1 ({y}). Pointen er, at h 1 ({y}) er en mængde. Det er nok værd at overveje, hvilke sammenhænge der er mellem billedmængder og urbilleder. Den næste sætning angiver nogle af dem. Sætning Lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. (a) Hvis B Y, så vil f 1 ( B) = (f 1 (B)), hvor komplementærmængderne tages relativt til Y og X henholdsvis. (b) Hvis B Y, så vil f(f 1 (B)) B. (c) Hvis f er surjektiv og B Y, så vil f(f 1 (B)) = B. (d) Hvis A X, så er A f 1 (f(a)). (e) Hvis f er injektiv [defineres nedenfor] og A X, så er A = f 1 (f(a)). Bevis. OTL. Definition Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Afbildningen f siges at være en injektion, at være injektiv eller kort skrevet 1 1, såfremt der for ethvert y Y er højst ét x X, så f(x) = y. 14

15 I Lemma 2.13 angiver vi nogle betingelser, der kan være nyttige, når man skal afgøre, om en given afbildning er injektiv. Lemma Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Da er følgende fire udsagn ækvivalente: (a) f er en injektion. (b) For alle x 1, x 2 X gælder, at hvis f(x 1 ) = f(x 2 ), så er x 1 = x 2. (c) For alle x 1, x 2 X gælder, at hvis x 1 x 2, så er f(x 1 ) f(x 2 ). (d) For ethvert y Y består urbilledet f 1 ({y}) af højst ét element. Bevis. OTL. Eksempel (a) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 3, x R, er både surjektiv og 1 1. (b) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, x R, er hverken surjektiv eller 1 1. (c) Funktionen f : R R givet ved f(x) = arctan x, x R, er 1 1, men ikke på. (d) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x sin x, x R, er på, men ikke 1 1. Eksempel Lad I være et interval. Lad f : I R være strengt voksende, dvs Da er f injektiv. [ x, y I og x < y ] f(x) < f(y). Definition Lad X 0 være en delmængde af X. Ved inklusionsafbildningen af X 0 ind i X forstås afbildningen i : X 0 X givet ved i(x) = x for x X 0. En inklusionsafbildning er injektiv. Definition Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Afbildningen f siges at være bijektiv, såfremt den er både surjektiv og injektiv. En bijektiv afbildning kaldes for en bijektion. Definition To mængder X og Y siges at have samme kardinalitet, såfremt der findes en bijektion f : X Y af X på Y. 15

16 Øvelse Vis, at afbildningen f(x) = 2x 1, x ]0, 1[, 2x(1 x) er en bijektion af intervallet ]0, 1[ på R. Øvelse Forklar hvorfor multiplikation med 2 ikke definerer en bijektion af Z på Z, når multiplikationen dog definerer en bijektion af R på R. Øvelse Vis, at afbildningen (m, n) 2 m 1 (2n 1) er en bijektion af N N på N. Øvelse Bevis de følgende påstande om sammensætning af funktioner: (a) Sammensætningen af to injektioner er en injektion. (b) Sammensætningen af to surjektioner er en surjektion. (c) Sammensætningen af to bijektioner er en bijektion. Øvelse Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, og lad g : Y Z være en afbildning af Y ind i Z. Lad h = g f. Afgør, hvilke af de følgende 4 påstande, der er sande. Giv beviser for de sande påstande og modeksempler for de falske. (a) Hvis h er injektiv, så er f injektiv. (b) Hvis h er injektiv, så er g injektiv. (c) Hvis h er surjektiv, så er f surjektiv. (d) Hvis h er surjektiv, så er g surjektiv. Øvelse Lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Lad X 1 og X 2 være delmængder af X, og lad Y 1 og Y 2 være delmængder af Y. Afgør, hvilke af de følgende 4 påstande, der er sande. Giv beviser for de sande påstande og modeksempler for de falske. f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) (2.2) f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) (2.3) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (2.4) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (2.5) Øvelse Idet f : X Y skal man vise følgende: (a) Hvis g : Y X og g f er identiteten på X, dvs (g f)(x) = x for ethvert x X, så er f injektiv og g er surjektiv. 16

17 (b) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(a B) = f(a) f(b) for alle delmængder A og B af X, er, at f er 1 1. (c) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(x \ A) Y \ f(a) for alle delmængder A af X, er, at f er 1 1. (d) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at Y \ f(a) f(x \ A) for alle delmængder A af X er, at f er surjektiv. Øvelse I Øvelse 1.18 indførte vi begrebet lukkede mængder i R 2 og R. Lad F være en lukket delmængde af R, og lad f : R 2 R være en kontinuert funktion. Vis, at f 1 (F ) er en lukket delmængde af R 2. Øvelse Lad f : X Y. Idet {Y i } i I er en mængde af delmængder af Y, skal man vise, at f 1 : P(Y ) P(X) opfører sig eksemplarisk med hensyn til foreningsdannelse og fællesmængdedannelse, dvs vise, at f 1 ( i I f 1 ( i I Y i ) = i I f 1 (Y i ), og (2.6) Y i ) = i I f 1 (Y i ) (2.7) I Øvelse 2.24 har vi mødt disse formler i det specialtilfælde, hvor mængden {Y i } i I kun har to elementer (kaldet Y 1 og Y 2 i Øvelse 2.24). 3 Om inverse funktioner Lad f : X Y være injektiv. Givet y f(x) findes der pr. definition af billedmængden f(x) et element x X, så f(x) = y. Injektiviteten sikrer os, at der højst findes ét, så alt i alt findes der netop ét x X, så f(x) = y. Dette fører os frem til definitionen af den inverse funktion til f. Definition 3.1. Når f : X Y er injektiv, definerer vi en funktion f 1 : f(x) X ved, at f 1 (f(x)) = x for ethvert x X. Funktionen f 1 kaldes for den inverse funktion til f. En bijektion f : X Y er injektiv, og f 1 : Y X er en bijektion af Y på X. Definition 3.2. Hvis X er en mængde, lader vi i X : X X betegne den identiske funktion på X. Den er defineret ved, at i X (x) = x for ethvert x X. Lemma 3.3. Lad f : X Y være injektiv. Da gælder: (a) f er en bijektion af X på f(x), når vi opfatter f som en funktion fra X på f(x). 17

18 (b) f 1 er en bijektion af f(x) på X, og (f 1 ) 1 (x) = f(x) for ethvert x X. (c) f 1 f = i X. Her opfatter vi f som en funktion fra X på f(x). (d) f f 1 = i f(x). Bevis. OTL. Øvelse 3.4. Lad f : X Y. (a) Lad g : Y X opfylde, at g f = i X. Vis, at f er injektiv. Angiv f 1 udtrykt ved f og g. (b) Lad h : Y X opfylde, at f h = i Y. Vis, at f er surjektiv. Lad f : X Y. I princippet er det misbrug af notationen, at vi skriver f 1 for den inverse funktion. Vi har nemlig allerede indført en anden betydning af f 1, nemlig i forbindelse med begrebet urbillede. Læseren må derfor selv af sammenhængen tyde, hvilken mening symbolet f 1 har. Der er selvfølgelig væsentlige forskelle på de to betydninger, blandt andet kan vi danne urbilleder for enhver funktion f, medens vi kun kan tale om den inverse funktion, når f er injektiv. Derudover er urbillederne delmængder af X, medens værdierne af den inverse funktion er elementer i X. Der er dog en sammenhæng mellem de to betydninger for en injektiv funktion f : X Y, idet f 1 ({y}) = {f 1 (y)} for ethvert y f(x). Vi overlader det til læseren at tyde, hvornår symbolet f 1 i ovenstående formel benyttes i forbindelse med begrebet urbillede, og hvornår det refererer til den inverse funktion. Af hensyn til en senere anvendelse (beviset for Bernsteins ækvivalenssætning 6.1) noterer vi følgende resultat om sammenhængen mellem de to betydninger af f 1 : Lemma 3.5. Lad g : Y X være en injektiv afbildning af mængden Y ind i mængden X. Lad B g(y ). Da er urbilledet g 1 (B) lig med billedmængden {g 1 (b) b B}, hvor g 1 ses som en afbildning fra g(y ) ind i Y. Altså g 1 (B) = {g 1 (b) b B}, (3.1) hvor venstre side af (3.1) er urbilledet af B under g og højre side er billedet af B ved funktionen g 1. Bevis. OTL. 18

19 4 Om endelige mængder Først lidt notation: For ethvert n N lader vi [1, n] = {k N 1 k n}. Definition 4.1. En mængde X siges at være endelig, hvis den er tom eller hvis der findes en bijektion af X på [1, n] for et eller andet n N. En mængde siges at være uendelig, hvis den ikke er endelig. Proposition 4.2. Lad X være en endelig mængde, og lad m, n N. Hvis der findes bijektioner af X på [1, m] og på [1, n], så er m = n. Bevis. Vi kan antage, at X = [1, m]. Herefter benytter vi induktion efter m. Vi benytter Proposition 4.2 til at definere, hvad vi forstår ved størrelsen af en endelig mængde: Definition 4.3. Lad X være en endelig mængde. Antal elementer i X er 0, hvis X =, og ellers det éntydig bestemte n N, for hvilket der findes en bijektion af X på [1, n]. Antal elementer i X betegnes med X. Lemma 4.4. Hvis X er en endelig mængde og a / X, så er X {a} også endelig, og X {a} = X + 1. Bevis. Induktion efter X. Proposition 4.5. Lad A være en delmængde af en endelig mængde X. Da er A selv endelig, og A X. Hvis A X (dvs A X og A X), så er A < X. Bevis. Angående den første del af propositionen så kan og vil vi antage, at X har formen X = [1, n]. Den første del bevises herefter ved induktion, hvor induktionsantagelsen er Hvis A [1, n], så er A endelig og A n. Den anden del er så et korollar af Lemma 4.4. Eksempel 4.6. Mængden N er en uendelig mængde. Det samme gælder enhver mængde, der har N som en delmængde. Vi bemærker, at afbildningen n n + 1 er en bijektion af N på N \ {1}, så N og N \ {1} har samme kardinalitet. Hvis N er endelig, får vi af Lemma 4.4, at N = N\{1} +1 = N +1, hvilket giver modstriden 0 = 1. Dermed har vi set, at N er uendelig. Den sidste påstand i Eksempel 4.6 følger af Proposition 4.5, kombineret med, at N er uendelig, hvilket jo netop er vist. Øvelse 4.7. (a) Lad A 1 og A 2 være endelige mængder. Vis, at A 1 A 2 også er endelig. (b) Lad A 1, A 2,..., A n, hvor n N, være (endelig mange) endelige mængder. Vis, at A 1 A 2 A n også er endelig. 19

20 Øvelse 4.8. Lad A og B være to disjunkte, endelige mængder. Vis, at A B er en endelig mængde, og at A B = A + B. Øvelse 4.9. Lad x 0 X, hvor X er en uendelig mængde. Vis, at X \ {x 0 } er en uendelig mængde. Øvelse Lad f : X Y, hvor X og Y er to endelige mængder med det samme antal elementer. Vis, at f er injektiv, hvis og kun hvis f er surjektiv. 5 Om numerable mængder Definition 5.1. Lad X være en mængde. (a) X siges at være numerabel, såfremt X og N har samme kardinalitet, dvs at der findes en bijektion af X på N. (b) X siges at være tællelig eller højst numerabel, såfremt X er endelig eller numerabel. (c) X siges at være overtællelig, såfremt X ikke er tællelig. Numerabel oversættes til countably infinite eller countable på engelsk. Visse forfattere bruger ordet countable i betydningen tællelig, så det er en god idé at checke forfatterens definition af countable. At en mængde X er tællelig, betyder billedligt, at dens elementer kan stilles som en liste: Lad f : [1, n] X eller f : N X være en bijektion, alt efter om X er endelig eller uendelig. På elementet f(1) klasker vi et mærkat, hvorpå der står Nr. 1, på f(2) klasker vi et mærkat, hvorpå der står Nr. 2, osv. Ethvert element får et mærkat, da f er på; og det får ikke to forskellige, da f er 1 1. Hvis mængden er endelig, dvs vi har med bijektionen f : [1, n] X at gøre, bruger vi blot n mærkater. Hvis den er uendelig, så får vi brug for alle numrene 1, 2,.... Vi har hermed fået sat numre på elementerne, så vi kan stille dem op efter nummerorden på en liste. Som et eksempel på en numerabel mængde fremhæver vi Eksempel 5.2. Mængden N er numerabel. Eksempel 5.3. N N er numerabel. Dette blev vist i Øvelse 2.21, hvor der endda blev angivet en eksplicit bijektion af N N på N. Eksempel 5.4. Z er numerabel. Idet vi definerer f : N {0} Z ved, at f(0) = 0, og f(2n 1) = n og f(2n) = n for n = 1, 2,..., får vi en bijektion af N {0} på Z. Det overlades nu til læseren at konstruere en bijektion af N på Z. 20

21 Sætning 5.5. Enhver delmængde af en tællelig mængde er selv tællelig. Bevis. Lad M N, hvor N er tællelig, dvs endelig eller numerabel. Idet enhver delmængde af en endelig mængde selv er endelig (Proposition 4.5), har vi det ønskede, når N er endelig. Tilbage er blot det tilfælde, hvor N er numerabel. Her ser vi først på det specialtilfælde, hvor N = N, så M er en delmængde af N. Vi er færdige, hvis M er endelig, så vi antager, at M ikke er endelig. I så fald definerer vi en afbildning f : N M på følgende vis: f(1) = det mindste element i M, altså min M. f(2) = min[m \ {f(1)}].. f(n + 1) = min[m \ ({f(1)} {f(2)} {f(n)})]. Det er klart, at f(1) < f(2) <.... Processen kan ikke stoppe, for i så fald ville det for et eller andet n N gælde, at M = {f(1)} {f(2)} {f(n)}, så M var endelig. Da f(1) < f(2) <..., er f injektiv. Det er også klart, at vi får alle elementer i M med. Det betyder, at f er en bijektion af N på M, dvs M er numerabel. Vi har altså vist sætningen, når M er en delmængde af N. Lad os herefter betragte det generelle tilfælde, hvor M er en delmængde af en numerabel mængde N, der ikke nødvendigvis er N. Lad φ : N N være en bijektion; en sådan findes, ford i N er numerabel. Nu er φ(m) φ(n) = N. Ifølge det netop viste, er φ(m) tællelig, dvs enten endelig eller numerabel. Hvis φ(m) er tom, så er M det også, og dermed er M endelig. Hvis φ(m) er endelig, men ikke tom, så findes der en bijektion ψ : φ(m) [1, n] for et eller andet n N. Som en sammensætning af bijektioner er ψ φ M : M [1, n] selv en bijektion. Dermed er M endelig. Tilfældet, hvor φ(m) er numerabel, behandles på samme måde som det endelige tilfælde; blot skal [1, n] erstattes med N. Eksempelvis er mængden af primtal numerabel; der er jo uendelig mange primtal. Sætning 5.6. Lad f : X Y. Hvis X er tællelig, så er billedmængden f(x) også tællelig. Bevis. Vi kan antage, at X = N (Overvej dette!), så det gør vi. Vi definerer en afbildning g : f(n) N ved, at g(y) = min{n N f(n) = y}, y f(n). 21

22 Bemærk, at mængden {n N f(n) = y} ikke er tom, når y f(n), så vi ikke i definitionen af g tager minimum over den tomme mængde. Bemærk dernæst, at g : f(n) N er injektiv, idet mængderne {n N f(n) = y 1 } og {n N f(n) = y 2 } er disjunkte, når y 1 y 2. Det følger (overvej dette!), at g er en bijektion af f(x) på sit billede g(f(x)) N. Dette billede er en tællelig mængde (Sætning 5.5), dvs der findes en bijektion φ : g(f(x)) I, hvor I enten er et interval [1, n] eller N. Den sammensatte afbildning φ g : f(x) I er en bijektion (som en sammensætning af bijektioner) af f(x) på I. Heraf følger sætningen. Sætning 5.7. Enver endelig foreningsmængde af tællelige mængder er selv tællelig. Bevis. Vi nøjes med at bevise det tilfælde, hvor der er tale om to mængder X og Y. Det generelle tilfælde følger nemlig derefter umiddelbart ved induktion efter antallet af mængder (OTL). Vi overlader det til læseren at diskutere de tilfælde, hvor en eller begge mængder X og Y er endelige (det sidste er klaret i Øvelse 4.7), så vi vil her altså fra nu af antage, at både X og Y er numerable. Der findes derfor en bijektion f : N X af N på X og en bijektion g : N Y af N på Y. Vi definerer nu en afbildning F af Z \ {0} på X Y ved { f(n) for n > 0 F (n) = g( n) for n < 0 Da Z \ {0} er tællelig (Sætning 5.5), er billedmængden F (Z \ {0}) = X Y også tællelig ifølge Sætning 5.6. Eksempel 5.8. Mængden af rationale tal Q er numerabel. Hermed et bevis for denne påstand: Vi minder først om, at de rationale tal er alle brøker m/n, hvor m og n er hele tal on n 0. Mængden af rationale tal Q er ikke endelig, idet den numerable mængde N er en delmængde af Q. Vi har i Eksempel 5.3 set, at N N er numerabel. Idet afbildningen (p, q) p/q er en surjektiv afbildning af N N på de positive rationale tal, er disse en tællelig mængde (Sætning 5.6). Det samme gælder så mængden {r Q r > 0} {0} (ifølge Sætning 5.7). Afbildningen r r er en bijektion af {r Q r > 0} på {r Q r < 0}, så de negative rationale tal er også en tællelig mængde. Det ses så fra Sætning 5.7, at foreningsmængden Q = {r Q r > 0} {0} {r Q r < 0} er tællelig. Da Q ikke er endelig, er Q dermed numerabel. En sidebemærkning: At de rationale tal er en tællelig mængde, kan give resultater, der i første omgang strider mod ens intuition. Betragt de rationale tal i enhedsintervallet ]0, 1[. Det er ifølge Sætning 5.5 en tællelig mængde, så lad ]0, 1[ Q = {r 1, r 2,...}. Læg for ethvert n N et interval I n af længde 22

23 2 n 10 6 omkring r n. Så vil ]0, 1[ Q n=1 I n. Disse intervallers samlede længde er (ulighedstegn, idet der kan være overlap) n=1 2 n 10 6 = Det kan være svært at se, hvordan det kan være, at vi ikke får hele enhedsintervallet ]0, 1[ med, idet der jo i ethvert, selv nok så lille, delinterval af ]0, 1[ ligger rationale tal. Eksempel 5.9. De reelle tal R er ikke en tællelig mængde. Hermed et bevis for denne påstand. Det er indirekte, så vi antager, at R er tællelig, og fører denne antagelse til en modstrid. Ifølge Sætning 5.5 er enhver delmængde af R tællelig under vores antagelse, så det er nok at fremvise en delmængde, der ikke er tællelig. Som den pågældende delmængde tager vi de reelle tal, der kan skrives som uendelige decimalbrøker på formen 0, c 1 c 2..., hvor det for ethvert n N gælder, at c n = 3 eller c n = 4. Da det er en tællelig mængde, kan den skrives op på en liste r (1) = 0, c (1) 1 c(1) 2... c (1) n... r (2) = 0, c (2) 1 c(2) 2... c (2) n... r (3) = 0, c (3) 1 c(3) 2... c (3) n.... r (n) = 0, c (n) 1 c(n) 2... c (n) n.... Ethvert element i vores delmængde optræder altså på listen ovenfor. Vi får den ønskede modstrid ved at finde et element r fra delmængden, der ikke optræder på listen. Vi definerer r = 0, c 1 c 2... c n... ved, at c n = { 4 hvis c (n) n = 3 3 hvis c (n) n = 4. (5.1) Lad nu n N være vilkårlig. Vi ser, at r r (n), da de to tal r og r (n) jo er forskellige i hvert fald på plads nr. n, idet den ene i kraft af konstruktionen (5.1) af r der har cifferet 3 og den anden cifferet 4. Da n N er vilkårlig, gælder det for ethvert n N, at r r (n). Dermed optræder r ikke på listen. Bemærkning Resultatet i Eksempel 5.9 blev først bevist af Cantor (7. december 1873). Det meget snedige argument i Eksempel 5.9 for overtælleligheden skyldes også ham og kaldes derfor Cantors diagonalfølge-argument. Det er dog meget senere (1890). Cantors diagonalfølge-argument bruges også i andre sammenhænge. 23

24 Bemærkning Eksempel 5.9 viser, at der er flere reelle tal end rationale. Vi kan endda konkludere, at der findes overtælleligt mange irrationale tal (hvordan det?). Men vi får ikke noget at vide om individuelle tal, så vi er nødt til at søge tilflugt til andre metoder for at få vist, at tal som 2, e og π er irrationale. At 2 er irrational, blev vist allerede ca. 500 f. Kr. af pythagoræikeren Hippasus fra Metapontum. Dermed modsagde han den pythagoræiske doktrin om, at alt kan beskrives ved hele tal. Overleveringen beretter, at han gjorde opdagelsen ombord på et skib, og at de andre pythagoræere smed ham overbord for hans kætteri. At π er irrational, blev først vist af J. H. Lambert i Sætning Lad X 1, X 2,... være en følge af tællelige mængder. Da er deres foreningsmængde n=1 X n også en tællelig mængde. Bevis. Vi nøjes med at skitsere et bevis. Lad X 1 = {x (1) 1, x(1) 2,...}, X 2 = {x (2) 1, x(2) 2,...},. (5.2) X n = {x (n) 1, x(n) 2,...},. Vi skal opstille foreningsmængden n=1 X n i en følge. Det gør vi efter skemaet (5.3) Med denne ordning bliver de første otte elementer i foreningsmængden x (1) 1, x(2) 1, x(1) 2, x(3) 1, x(2) 2, x(1) 3, x(4) 1, x(3) 2. Hvis et element i foreningsmængden optræder flere gange i (5.2), skal vi kun medtage det første gang, vi møder det. Endvidere skal vi overspringe de pladser i (5.3), hvortil der ikke svarer noget element, enten det nu skyldes, at der står en endelig mængde i den pågældende række, eller at følgen af mængder er endelig. 24

25 Bevis. Hermed et andet bevis: Lad X 1 = {x (1) 1, x(1) 2,...}, X 2 = {x (2) 1, x(2) 2,...},. (5.4) X n = {x (n) 1, x(n) 2,...},. Vi kan antage, at følgen X 1, X 2,... er numerabel, idet Sætning 5.7 klarer det endelige tilfælde. Hvis X n er endelig, lader vi s(n) betegne nummeret på det sidste element i X n. Vi betragter delmængden X af N N, defineret ved, at (n, m) N N er et element i X, hvis og kun hvis m s(n) i det tilfælde, hvor X n er endelig (hvis X n er uendelig, er der ingen betingelser på m). Mængden X er tællelig (Eksempel 5.3 kombineret med Sætning 5.5). Afbildningen f : X n=1 X n givet ved f(n, m) = x (n) m er surjektiv, så tilbage står blot at henvise til Sætning 5.6. Eksempel Hilberts Hotel (se internettet). Eksempel Et komplekst tal siges at være et algebraisk tal, såfremt det er rod i en ligning a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (5.5) hvor n N {0}, a n, a n 1,..., a 1, a 0 Z og a n 0. Ethvert rationalt tal er algebraisk. Som irrationale tal, der er algebraiske, kan nævnes 2, og (Vis, at disse tal er algebraiske!). Sætning Mængden af algebraiske tal er tællelig. Bevis. En bestemt ligning (5.5) har endelig mange rødder, nemlig højst n indbyrdes forskellige rødder. Heraf følger, at mængden A q bestående af alle rødder i alle ligninger (5.5), for hvilke a n + a n a 1 + a 0 = q, (5.6) q = 1, 2, 3,..., er endelig; der er jo kun endelig mange ligninger (5.5), der opfylder betingelsen (5.6). Da A = A q, q=1 er A en tællelig mængde (Sætning 5.12). 25

26 Heraf følger, at der er flere end tælleligt mange tal, der ikke er algebraiske. Sådanne tal kaldes transcendente tal. Som eksempler på transcendente tal kan nævnes π, grundtallet e for den naturlige logaritme og 2 2. Beviser for, at π og e er transcendentale, blev først givet af henholdsvis Hermite (1873) og Lindemann (1882); senere har man fundet simplere beviser. At 2 2 er transcendent, blev vist i 1934 af Gelfond. I 1966 viste A. Baker følgende: Lad a være et algebraisk tal med a 0 og a 1, og lad b være et irrationalt algebraisk tal. Så er a b et transcendent tal. Øvelse Lad X være endelig og lad Y være numerabel. Vis, at X Y er numerabel. Øvelse Lad X og Y være tællelige mængder. Vis, at X Y også er tællelig. Øvelse Vis, at mængden {(q 1, q 2 ) R 2 q 1, q 2 Q} er numerabel. Øvelse Lad X betegne en mængde af parvis disjunkte intervaller i R. Vis, at X er tællelig, dvs X blot indeholder tælleligt mange intervaller, ikke overtælleligt mange. Øvelse Lad f : [0, 1] R være en voksende funktion, dvs s t medfører f(s) f(t). Vis, at mængden af f s diskontinuitetspunkter er tællelig. 6 Generelle resultater om mængder Vi har i foregående afsnit udledt en række resultater om tællelige mængder. Endvidere har vi i Eksempel 5.9 set, at de reelle tal er en overtællelig mængde, så ikke bare eksisterer overtællelige mængder, men nogle af dem er vigtige. Det spørgsmål melder sig nu, om vi i al almindelighed kan sige noget fornuftigt om mængder, der ikke nødvendigvis er tællelige. Er de måske for store, komplicerede og forskelligartede til, at vi udlede nogen generelle resultater om dem? Vi skal i indeværende afsnit se, at vi faktisk kan sige noget fornuftigt og interessant om mængder i al almindelighed, også selv om vi ikke indskrænker os til de tællelige mængder. Lad os for to mængder X og Y skrive X Y, såfremt der findes en injektiv afbildning af X ind i Y. I givet fald siger vi, at X har mindre kardinalitet end Y. Det er en udvidelse af, hvad vi har skrevet for endelige mængder. Hvis X og Y har samme kardinalitet, skriver vi X = Y. Vi skriver X < Y, såfremt der både gælder, at X Y og at X = Y. Det er klart, at X X. Det er også oplagt, at hvis X Y og Y Z, så er X Z, idet en sammensætning af to injektioner selv er en injektion. Hvad der bestemt ikke er helt klart, er følgende sætning. 26

27 Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækvivalenssætning, 1897). Lad X og Y være to mængder. Hvis X Y og Y X, så er X = Y, dvs X og Y har samme kardinalitet. Bemærkning 6.2. Ækvivalenssætningen kaldes også Cantor-Bernsteins æ- kvivalenssætning, fordi Cantor var den første til at formulere den, og Felix Bernstein ( ) den første til at bevise den. Den kaldes også undertiden Bernstein-Schröders ækvivalenssætning, fordi logikeren Ernst Schröder ( ) mente at have bevist den. Lidt standard notation, før vi går i gang med beviset for Bernsteins ækvivalenssætning: Hvis X er en mængde og φ : X X er en afbildning af mængden ind i sig selv, så sætter vi φ 0 = i X, φ 1 = φ og induktivt φ n = φ φ n 1 for n = 2, (6.1) Bevis for Bernsteins ækvivalenssætning. At X Y betyder, at der findes en injektiv afbildning f : X Y. Der er ikke givet noget om, at den skulle være surjektiv; det behøver den faktisk ikke at være. Tilsvarende findes der en injektiv afbildning g : Y X, da Y X. Nedenfor regnes komplementærmængder i forhold til X og Y henholdsvis. Vi får brug for en vis delmængde A af X, nemlig A = (g f) n (X \ g(y )) n=0 = (X \ g(y )) (g f)(x \ g(y )) (g f) 2 (X \ g(y )). (6.2) Vi noterer tre egenskaber ved A: (i) A g(y ). (ii) A = (g f)(a) (X \ g(y )). (iii) f(a) = g 1 (A) og f(a) = g 1 ( A). Bemærk, at højre side g 1 ( A) er billedet af A ved afbildningen g 1 : g(y ) Y (Lemma 3.5). Ad (i): Af (6.2) fremgår det, at A X \ g(y ). Heraf følger (i), f.eks. ved at man tager komplementærmængder med hensyn til X. Ad (ii): Af definitionen (6.2) på A får vi, at (g f)(a) = (g f)(x \ g(y )) (g f) 2 (X \ g(y )), hvilket er A pånær det første led på højresiden af (6.2). Tilføjes X \ g(y ) på begge sider, fås (ii). 27

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

1: Fundamentale begreber.

1: Fundamentale begreber. Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5. Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009 Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere