Polynomier af én variabel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Polynomier af én variabel"

Transkript

1 enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af én reel variabel er en fordel. Dette er (final) version Karsten Schmidt Indledning Polynomier forekommer overalt i den tekniske litteratur som matematiske modeller for fysiske problemer. En stor fordel ved polynomier er at de er uhyre simple i beregninger, da de kun forudsætter addition, multiplikation og potensopløftning. Derfor er polynomier også meget populære ved approksimation af mere komplicerede funktionstyper. Kendskab til polynomiers rødder er en kongevej til forståelsen af deres egenskaber og effektive brug og vil derfor være et hovedemne i det følgende. Men først introducerer vi nogle generelle egenskaber. Definition 30.1 Ved et polynomium af grad n forstås en funktion af formen P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 hvor a 0, a 1,... a n er konstanter med a n = 0, og z er en kompleks variabel. a k kaldes koefficienten for z k, k = 0, 1,... n. Et reelt polynomium er et polynomium hvori alle koefficienterne er reelle.

2 enote INDLEDNING 2 Eksempel 30.2 Eksempler på polynomier P(z) = 2 z 3 + (1 + i) z + 5 er et 3-grads polynomium. Q(z) = z er et reelt 2-grads polynomium. R(z) = 17 er et 0-grads polynomium. S(z) = 0 kaldes 0-polynomiet. T(z) = 2 z z 4 er ikke et polynomium. Når man adderer, subtraherer og multiplicerer polynomier med hinanden, får man et nyt polynomium som reduceres ved at man samler led med samme grad. Eksempel 30.3 Addition og multiplikation af polynomier To polynomier P og Q er givet ved P(z) = z 2 1 og Q(z) = 2 z 2 z + 2. Polynomierne R = P + Q og S = P Q bestemmes således: R(z) = (z 2 1) + (2 z 2 z + 2) = (z z 2 ) + ( z) + ( 1 + 2) = 3 z 2 z + 1. S(z) = (z 2 1) (2 z 2 z + 2) = (2 z 4 z z 2 ) + ( 2 z ) aaaa = 2 z 4 z 3 + (2 z 2 2 z 2 ) + z 2 = 2 z 4 z 3 + z 2. To polynomier kaldes identiske hvis de er ens for alle variable. Hvad skal der til for at de er ens? Kunne man for eksempel tænke sig at et 4-grads og et 5-grads polynomium er identiske i alle variable hvis man blot vælger koefficenterne for de to polynomier med tilstrækkelig omhu? Dette er ikke tilfældet idet der gælder følgende sætning (som anføres uden bevis i denne edition). Sætning 30.4 Identitetssætning for polynomier To polynomier er ens hvis og kun hvis de er af samme grad, og alle koefficienter for led af samme grad fra de to polynomier er ens. Eksempel 30.5 Ligningen To identiske polynomier 3 z 2 z + 4 = a z 2 + b z + c er opfyldt for alle z netop når a = 3, b = 1 og c = 4. Opgave 30.6 To identiske polynomier Bestem tallene a, b og c således at (z 2)(a z 2 + b z + c) = z 3 5 z + 2 for alle z.

3 enote POLYNOMIERS RØDDER Polynomiers rødder Definition 30.7 Rod i polynomium Ved en rod i et polynomium P forstås et tal z 0 for hvilket P(z 0 ) = 0. Eksempel 30.8 Om et givet tal er rod i et polynomium Vis at 3 er rod i P(z) = z 3 5 z 12, og at 1 ikke er rod. Svar: Da P(3) = = = 0, er 3 rod i P. Da P(1) = = 11 = 0, er 1 ikke rod i P. En helt afgørende motivation for indføringen af komplekse tal er at ethvert polynomium har rødder inden for de komplekse tal. Dette resultat blev vist af matematikeren Gauss i hans ph.d.-afhandling fra Beviset for sætningen er meget omfattende, og Gauss arbejdede videre på det hele sit liv for at gøre det endnu mere elegant. Hele fire versioner foreligger der fra hans hånd. Her tillader vi os at angive Gauss resultat uden bevis: Sætning 30.9 Algebraens fundamentalsætning Ethvert polynomium af grad n 1 har inden for de komplekse tal mindst én rod. Polynomiet P(z) = z har ingen rødder inden for de reelle tal. Men inden for de komplekse tal har det hele to rødder i og i fordi P(i) = i = = 0 og P( i) = ( i) = i = 0. Vejen fra Algebraens fundamentalsætning til fuldt kendskab til antallet af polynomiers rødder er ikke lang! Den kræver blot den følgende hjælpesætning (som anføres uden bevis i denne edition).

4 enote POLYNOMIERS RØDDER 4 Hjælpesætning Nedstigningssætningen Hvis n te-gradspolynomiet P har roden z 0, så findes et (n 1) tegradspolynomium Q således at P(z) = (z z 0 )Q(z). (30-1) Vi videreudvikler nu ideen i Nedstigningssætningen, idet vi betragter polynomiet P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 Hvis n 1, har P i følge fundamentalsætningen en rod z 1, og kan derfor skrives som P(z) = (z z 1 )Q 1 (z) (30-2) hvor Q 1 er et polynomium af grad n 1. Hvis n 2, så har Q 1 en rod z 2 og kan skrives som Q 1 (z) = (z z 2 )Q 2 (z) hvor Q 2 er et polynomium af grad n 2. Således fortsættes nedstigningen indtil vi når til polynomiet Q n hvis grad er n n = 0. Det vil sige Q n (z) = k hvor k er en konstant. Ved successivt at indsætte det fundne udtryk for Q k i udtrykket for Q k 1, k = n..2, og afslutningsvist indsætte det opnåede udtryk for Q 1 i 30-2, får vi P(z) = k(z z 1 )(z z 2 ) (z z n ). Forestiller vi os nu at vi udganger paranteserne på højresiden, ser vi at højestegradsleddet må være k z n, og dermed k = a n. Herefter er P skrevet på fuldstændig faktoriseret form: P(z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ). (30-3) I dette udtryk skal vi bemærke to ting. Den første er at vi i (30-3) har oplistet samtlige rødder z 1, z 2..., z n i P. At der ikke kan være flere, ses nemt således. Hvis et vilkårligt tal α = z k, k = 1... n, indsættes på z s plads i (30-3), vil samtlige faktorer på højresiden af (30-3) være forskellige fra nul. Dermed vil også deres produkt være forskelligt fra nul. Derfor er P(α) = 0 og α ikke en rod i P. Den anden ting vi skal bemærke i (30-3) at rødderne ikke nødvendigvis er forskellige. Det antal gange en rod optræder i polynomiets fuldstændigt faktoriserede form, kaldes rodens algebraiske muliplicitet (eller blot multiplicitet). Efter de ovenstående betragtninger kan vi præsentere følgende udvidede udgave af Algebraens Fundamentalsætning.

5 enote POLYNOMIERS DIVISION 5 Sætning Algebraens fundamentalsætning ver. 2 Ethvert polynomium af grad n 1 har inden for de komplekse tal netop n rødder når rødderne regnes med multiplicitet. Eksempel Andengradspolynomier på fuldstændig faktoriset form Et vilkårligt andengradspolynomium P(z) = az 2 + bz + c kan skrives på formen P(z) = a(z α)(z β) hvor α og β er rødder i P. Hvis α = β, har P to forskellige rødder, hver med algebraisk multiplicitet 1. Hvis α = β, har P én rod med algebraisk multiplicitet 2. Roden kaldes da en dobbeltrod. Eksempel Algebraisk multiplicitet Et polymomium P er angivet på fuldstændig faktoriseret form således: P(z) = 7(z 1)(z 1)(z + 4)(z + 4)(z + 4)(z 5) = 7(z 1) 2 (z + 4) 3 (z 5). Vi ser at P har tre forskellige rødder, 1, 4 og 5 med de algebraiske multipliciteter 2 henholdvis 3 og 1. Det bemærkes at summen af de algebraiske multipliciteter er 6 som er lig med graden af P. I overenstemmelse med Algebraens fundamentalsætning ver. 2. Eksempel Algebraisk multiplicitet Angiv antallet af rødder i P(z) = z 4. Svar: P har kun én rod z = 0. Rodens algbraiske multiplicitet er 4. Man siger at 0 er en fjerde-dobbeltrod Polynomiers division Nedstigningssætningen siger at et polynium som har en rod, kan faktoriseres på formen (30-1). Men den siger ikke noget om hvordan faktoriseringen kan udføres. Det tager vi op i dette afsnit hvor vi introducerer en simpel variant af algoritmen polynomiers division, som populært kaldes at dividere en rod ud af et polynium. Den forløber helt analog med den sædvanlige divisionsalgoritme som vi her mindes med et passende eksempel hvori divisionen går op.

6 enote POLYNOMIERS DIVISION 6 Eksempel Divisionsalgoritmen NB: Divisionen viser at 5773 = : 23 = aa 0 Metode At dividere en rod ud af et polynomium Tredjegradspolynomiet P(z) = z 3 2z 2 + 2z 15 har roden 3. Vi benytter algoritmen polynomiers division til at dividere P med førstegradspolynomiet z 3. z 3 2z 2 + 2z 15 : z 3 = z 2 + z + 5 z 3 3z 2 aaaaa z 2 + 2z 15 aaaaa z 2 3z aaaaaa 5z 15 aaaaaa 5z 15 a 0 Konklusionen er at P kan skrives som produktet af førstegradspolynomiet z 3 og et polynomium Q(z) = z 2 + z + 5 hvis grad er én lavere end P s: P(z) = (z 3) (z 2 + z + 5) NB: Kravet til det første led i Q er, at det bliver lig med det første led i P, når det ganges med z. Derfor er de første led i Q lig z 2. Anden linje fremkommer ved at dette led ganges med divisoren z 3. Tredje linje fremkommer ved at polynomiet i anden linje trækkes fra polynomiet i første linje. Derved bliver tredje linje et polynomium af lavere grad end P. Algoritmen starter nu forfra med tredje linje som dividend og (z 3) som divisor, og der forsættes indtil fratrækningen giver 0. Vi tager nu et sidste eksempel på divisionsalgoritmen.

7 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 7 Eksempel At dividere en rod ud Ved indsættelse ses at 2 er rod i polynomiet 2z Vi dividerer roden ud: 2z 3 16 : z 2 = 2z 2 + 4z + 8 2z 3 4z 2 4z z 2 8z 8z 16 8z 16 0 I det følgende afsnit behandler vi metoder til at finde rødder for visse typer af polynomier Polynomiumsligninger Fra Algebraens fundamentalsætning ved vi at ethvert polynomium af grad større end eller lig med 1 har rødder. I dens udvidede version slås det endog fast at for ethvert polynoium er dets grad lig med antallet af dets rødder, hvis rødderne regnes med multiplicitet. Men sætningen er en teoretisk eksistenssætning, som ikke hjælper os med at bestemme polynomiers faktiske rødder. I det følgende introduceres metoder til at finde rødderne for simple polynomier. Men lad os holde amitionsniveauet på et rimeligt niveau, for i begyndelsen af 18-hundredtallet beviste den norske algebraiker Abel at der ikke kan opstilles generelle metoder til at finde rødderne i polynomier af grad større end eller lig med fire! For polynomier af højere grad end fire findes der en række smarte tricks hvorved man kan være heldig at finde en enkelt rod som man kan dividere ud af polynomiet. Herefter arbejder man videre med det resterende polynomium af én grad lavere - og måske gradvist kan nå ned til et polynoium hvortil der findes en eksakt metode for at finde de resterende rødder. Lad os indledningsvist slå fast at når man ønsker at finde rødderne for et polynomium P(z) skal man løse den tilsvarende polynomiumsligning P(z) = 0. Som en simpel illustration kan vi se på roden for et vilkårligt førstegradspolynomium For at finde den skal vi løse ligningen P(z) = az + b. az + b = 0.

8 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 8 Det er ikke svært, den har løsningen z 0 = b a som derfor er rod i P(z). Når man skal finde rødderne for et polynoimium P, finder man løsningerne på polynomiumsligningen P(z) = 0. Eksempel Roden i et førstegradspolynomium Vi vil finde roden til førstegradspolynomiet P givet ved P(z) = (1 i) z (5 + 2i). Vi skal løse ligningen (1 i) z (5 + 2i) = 0 (1 i) z = (5 + 2i). Vi isolerer z på venstre side z = 5 + 2i 1 i = (5 + 2i)(1 + i) (1 i)(1 + i) = 3 + 7i 2 = i. Det ses heraf at ligningen har løsningen z 0 = i hvorved vi samtidigt har fundet P s rod Binome ligninger En binom ligning er en særlig n -te gradsligning hvor kun koefficienterne a n og a 0 er forskellige fra 0. En given binom ligning kan reduceres til den følgende form: Definition Binom ligning En binom ligning har formen z n = w, hvor w C og n N. For binome ligninger findes en eksplicit løsningsformel som vi præsenterer i den følgende sætning.

9 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 9 Sætning Binom ligning løst vha. eksponentiel form Lad w = 0 være et komplekst tal med den eksponentielle form w = w e iv. Den binome ligning z n = w (30-4) har n forskellige løsninger givet ved formlen z p = w n e i( n v +p 2π n ) hvor p = 0, 1,..., n 1. (30-5) Bevis For ethvert p {0, 1,... n 1} er z p = n w e i( v n +p 2π n ) en løsning til (30-4) idet (z p ) n = ( n w e i( v n +p 2π n ) ) n = w e i(v+k 2π) = w e iv. Det ses at de n løsninger ligger på en cirkel i den komplekse talplan med centrum i Origo, radius n w og en fortløbende vinkelafstand på 2π n. Forbindelseslinjerne mellem Origo og løsningerne deler med andre ord cirklen i n lige store vinkler. Det følger heraf at de n løsninger er indbyrdes forskellige. At der ikke er flere løsninger, er en følge af Algebraens fundamentalsætning ver. 2, Hermed er sætningen bevist. Vi skal i de næste eksempler betragte nogle vigtige særtilfælde af binome ligninger. Eksempel Binom andengradsligning Vi betragter et komplekst tal på eksponentiel form w = w e iv. Det følger af (30-5) at andengradsligningen z 2 = w har to løsninger z 0 = w e i 2 v. og z1 = w e i 2 v.

10 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 10 Eksempel Binom andengradsligning med negativ højreside Lad r være et vilkårligt positivt reelt tal. Ved i eksempel at sætte v = Arg( r) = π ses at den binome andengradsligning z 2 = r har to løsninger z 0 = i r og z 1 = i r. Med et konkret eksempel har ligningen z 2 = 9 løsningerne z = ± i 3. Den benyttede metode i eksempel kan i mange tilfælde være vanskelig at gennemføre. I det følgende eksempel vises en alternativ metode. Eksempel Binom andengradsligning, metode 2 Vi vil løse ligningen z 2 = 8 6i. (30-6) Vi sætter z = x + iy, hvorved z 2 = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + 2xyi. Dermed kan (30-6) omskrives til x 2 y 2 + 2xyi = 8 6i. Da realdelene henholdvis imaginærværdierne på ligningens to sider skal være identiske, må (30-6) være ækvivalent med x 2 y 2 = 8 og 2xy = 6. (30-7) Indsættes y = 6 2x = 3 x i x2 y 2 = 8 og sættes x 2 = u opnås andengradsligningen u 2 8u 9 = 0 u = 9 eller u = 1. Mens ligningen x 2 = u = 9 har løsningerne x 1 = 3 og x 2 = 3, har ligningen x 2 = u = 1 ingen løsninger. Indsættes x 1 = 3 henholdsvis x 2 = 3 i (30-7), fås de tilsvarende y-værdier y 1 = 1 og x y = 1. Hermed konkluderes at den givne ligning (30-6) har rødderne z 1 = x 1 + iy 1 = 3 i og z 2 = x 2 + iy 2 = 3 + i Andengradsligninger Til løsning af andengradsligninger opstiller vi nedenfor den formel der svarer til den velkendte løsningsformel for reelle andengradsligninger pånær en enkelt detalje. Vi

11 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 11 tager ikke kvadratroden af diskriminanten. Afvigelsen skyldes at vi ikke forudsætter kendskab til kvadratrødder af komplekse tal. Sætning Løsningsformel for andengradsligning For andengradsligningen az 2 + bz + c = 0, a = 0 (30-8) indføres diskriminanten D ved D = b 2 4ac. Ligningen har to løsninger z 1 = b w 0 2a og z 2 = b + w 0 2a (30-9) hvor w 0 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D. Hvis specielt D = 0, gælder der z 1 = z 2 = b 2a. Bevis Lad w 0 være en vilkårlig løsning til den binome ligning w 2 = D. Der gælder da: ( az 2 + bz + c = a z 2 + b a z + c ) a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 2a 4a 2 + c a ( ( = a z + b ) ) 2 b2 4ac 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 D 2a 4a 2 ( ( = a z + b ) ) 2 w2 0 2a 4a 2 (( = a z + b ) + w ) (( 0 z + b ) w ) 0 2a 2a 2a 2a ( = a z + b + w ) ( 0 z b + w ) 0 = 0 2a 2a z = b w 0 2a eller z = b + w 0 2a.

12 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER 12 Hermed er løsningsformlen (30-8) udledt. Eksempel Reel andengradsligning med positiv diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter 2z 2 + 5z 3 = 0. Vi identificerer koefficienterne: a = 2, b = 5, c = 3. Diskriminanten findes: D = ( 3) = 49. Det ses at w 0 = 7 er en løsning til den binome andengradsligning w 2 = D = 49. Nu kan løsningerne udregnes: z 1 = = 1 2 og z 2 = = 3. (30-10) Eksempel Reel andengradsligning med negativ diskriminant Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter z 2 2z + 5 = 0. Vi identificerer koefficienterne: a = 1, b = 2, c = 5. Diskriminanten findes: D = ( 2) (5) = 16. I følge eksempel er en løsning for den binome andengradsligning w 2 = D = 16 givet ved w 0 = i 16 = 4i. Nu kan løsningerne udregnes: z 1 = ( 2) + 4i 2 1 = 1 + 2i og z 2 = ( 2) 4i 2 1 = 1 2i. (30-11) Eksempel Andengradsligning med komplekse koefficienter Vi løser andengradsligningen z 2 (1 + i)z 2 + 2i = 0. (30-12) Lad os først identificere koefficienterne: a = 1, b = 1 i, c = 2 + 2i. Diskriminanten findes: D = ( (1 + i)) ( 2 + 2i) = 8 6i. Fra eksempel ved vi at den binome ligning w 2 = 8 6i har løsningen w 0 = 3 i. Herefter findes løsningerne for (30-12) ved z 1 = (1 + i) + (3 i) 2 1 = 2 og z 2 = (1 + i) (3 i) 2 1 = 1 + i. (30-13)

13 enote POLYNOMIUMSLIGNINGER Tredje- og fjerdegradsligninger Fra antikken kendes geometriske metoder til løsning af (reelle) andengradsligninger. Men først omkring 800 e.kr. blev algebraiske løsningsformler kendt via den persiske (arabisk skrivende) matematiker Muhammad ibn Musa al-khwarismes berømte bog al- Jabr. Navnet Khwarisme blev i vesten til det velkendte ord algoritme, mens bogens titel blev til algebra. Tre hundrede år senere gentog historien sig. Omkring år 1100 e.kr. angav en anden persisk matematiker (og digter) Omar Khayyám eksakte metoder til hvordan man finder løsninger til reelle tredje- og fjerdegradsligninger ved hjælp af mere avancerede geometriske konstruktioner. For eksempel løste han ligningen x x = 20x ved skæring mellem en cirkel og en hyperbel hvis ligninger han kunne udlede af tredjegradsligningen. Omar Khayyám mente ikke det ville være muligt at opstille algebraiske formler for løsninger til ligninger af grad større end med to. Her tog han dog fejl, idet italieneren Gerolamo Cardano i 1500-tallet offentliggjorde formler til løsning af tredje- og fjerdegradsligninger. Khayyáms og Cardonos formler ligger ikke inden for rammerne af denne enote. Her angiver vi blot et enkelt eksempel på hvordan kan man ved hjælp af nedstigningsmetoden kan finde alle løsninger til ligninger af grad større en to, hvis man i forvejen kender eller kan gætte et tilstrækkeligt antal af løsningerne. Eksempel En tredjegradsligning med et indledende gæt Vi skal løse tredjegradsligningen z 3 3z 2 + 7z 5 = 0. Det gættes nemt at 1 er en løsning. Ved at dividere venstresiden med z 1 (polynomiers division) fås faktoriseringen: z 3 3z 2 + 7z 5 = (z 1)(z 2 2z + 5) = 0. De resterende løsninger fås derfor ved løsning af andengradsligningen z 2 2z + 5 = 0, som i følge eksempel (30.26) har løsningerne 1 + 2i og 1 2i. Samlet ses at tredjegradsligningen har løsningerne {1, 1 + 2i, 1 2i}.

14 enote REELLE POLYNOMIER Reelle polynomier Teorien som har været udfoldet i de forrige afsnit, gælder for alle polynomier med komplekse koefficienter. I dette afnit skal vi præsentere to sætninger der kun gælder for polynomier med reelle koefficienter, det vil sige den delmængde som kaldes de reelle polynomier. Den første sætning viser at ikke-reelle rødder altid optræder i par. Sætning Rødder i reelle polynomier Hvis tallet a + ib er rod i et polynomium som kun har reelle koefficienter, så er også det konjugerede tal a ib rod i polynomiet. Lad Bevis P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 være et reelt polynomium. Ved brug af regneregler for konjugering af sum og produkt af komplekse tal (se enote 29 om komplekse tal) samt forudsætningen at alle koefficienterne er reelle, fås P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = P(z). Hvis z 0 er rod i P, får vi da P(z 0 ) = 0 = 0 = P(z 0 ) hvoraf ses at også z 0 er rod. Eksempel Konjugerede rødder Det oplyses at polynomiet P(z) = 3z 2 12z + 39 (30-14) har roden 2 3i. Bestem alle rødder i P, og opskriv P på fuldstændig faktoriseret form. Svar: Vi ser at alle tre koefficienter for P er reelle. Derfor er også den oplyste rods konjugerede 2 + 3i rod i P. Da P er et andengradspolynomium er der ikke flere rødder. Ved brug af (30-3) får vi P(z) = a 2 (z (2 3i))(z (2 + 3i)) = a 2 (z 2 4z + 13).

15 enote REELLE POLYNOMIER 15 Ved sammenligning med (30-14) fås a 2 = 3 og den fuldstændigt faktoriserede form for P er P(z) = 3 (z (2 3i))(z (2 + 3i)). Fra sætning ved vi at komplekse rødder i et reelt polynomium altid optræder i konjugerede par. I polynomiets fuldstændigt faktoriserede form vil et par af konjugerede rødder derfor give anledning til to faktorer som kan ganges sammen til et reelt andengradspolynomium således (z (a + ib))(z (a ib)) = ((z a) + ib))((z a) ib) Heraf udspringer følgende sætning: = (z a) 2 (ib) 2 = z 2 2az + (a 2 + b 2 ). Sætning Reel faktorisering Et reelt polynomium kan skrives som et produkt af reelle førstegradspolynomier og reelle andengradspolynomier som ikke har reelle rødder. Eksempel Reel faktorisering Om et reelt syvendegradspolynomium P oplyses at det har rødderne 1, i, 1 + 2i samt dobbeltroden 2, og at koefficienten til dets højestegradsled er a 7 = 5. Skriv P som et et produkt af reelle førstegradspolynomier og reelle andengradspolynomier som ikke har reelle rødder. Svar: Vi kan sætte P på fuldstændig faktoriseret form: P(z) = 5 (z 1)(z i)(z + i)(z (1 + 2i))((z (1 2i))(z 2) 2 Der er to par af faktorer der svarer til konjugerede rødder. Når de ganges sammen, fås den ønskede form: P(z) = 5 (z 1)(z 2 + 1)(z 2 2z + 5)(z 2) 2. Hermed afsluttes behandlingen af polynomier af én variabel.

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Komplekse tal. enote Indledning

Komplekse tal. enote Indledning enote 1 1 enote 1 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Vi laver et hop til renæssancens Norditalien. Her udarbejdede nogle matematiker i begyndelsen af 1500-tallet algoritmer for tredje- og fjerdegradsligningerne.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Projekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Polynomier. Ikast Ib Michelsen

Polynomier. Ikast Ib Michelsen Polynomier Ikast 017 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Polynomier Sidst ændret: 31. Januar ca kl 151 Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Andengradspolynomium og andengradsligning...7 Definition af

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Førsteordens lineære differentialligninger

Førsteordens lineære differentialligninger enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Elementær Matematik. Tal og Algebra

Elementær Matematik. Tal og Algebra Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Andengradspolynomier - Gymnasienoter

Andengradspolynomier - Gymnasienoter - Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Polynomier. Frank Villa. 26. marts 2012

Polynomier. Frank Villa. 26. marts 2012 Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Polynomiumsbrøker og asymptoter Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Svar på opgave 336 (Januar 2017)

Svar på opgave 336 (Januar 2017) Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst? Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere