Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
|
|
- Arne Winther
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion Formålet med dette projekt er at analysere samspillet i et biologisk system mellem antal byttedyr N(t) og antal rovdyr P(t). Dette kan gøres vha. differentialligningerne N (t) = an(t)-bn(t)p(t) og P (t) = -dp(t)+cn(t)p(t), som er udgangspunktet for den såkaldte Lotka-Volterra model. Faglige forudsætninger (matematik) Erfaringer med og forståelse for matematisk modellering. Differential- og integralregning. Endvidere er det en fordel tidligere at have stiftet bekendtskab med differentialligninger og kvalitativ analyse af disse. Faglige forudsætninger (biologi) Basal viden inden for populationsbiologi. Herunder kendskab til forskellige typer vækstmodeller. Faglige mål (matematik) Forståelse af differentialligningssystemer og mulige modifikationer af disse. At have forståelse for og fortrolighed med en generel anvendelse af modellering. At kunne forholde sig kritisk i vurderingen af anvendelsen af matematiske modeller og deres resultater. Illustration af differentialligningssystemers løsningsfunktioner vha. lommeregner eller computerprogram.
2 Forståelse af vektorrums rolle i forbindelse med løsningsfunktionerne. Anvendelse af funktioner af flere variable og deres partielt afledte. Matrixregning, herunder egenværdier og egenvektorer, kan også inddrages i projektet. Et ambitiøst projekt kan desuden også anvende komplekse tal, hvor dette er relevant. Faglige mål (biologi) Forståelse af de biologiske begrundelser for Lotka-Volterra modellen og dens begrænsninger. Analyse af modellens anvendelse i biologiske sammenhænge. Nærmere beskrivelse af projektemnet Eleven skal opnå en god fornemmelse af det system, som differentialligningerne i Lotka- Volterra modellen beskriver. Herunder hører en forståelse af, hvordan differentialligningernes løsningsfunktioner hænger sammen med det vektorfelt, som man kan optegne ved at anvende de to differentialligninger som retningsvektorer i ethvert punkt. Eleven skal kunne forstå, hvordan man kan optegne løsningskurverne til ligningssystemet, eksempelvis som niveaukurver omkring et ligevægtspunkt. Eleverne skal også forstå, hvilke betydning forskellige værdier for konstanterne a, b, c og d eller forskellige begyndelsesværdier N(t 0 ) og P(t 0 ) har for systemet. Her kan lommeregneren eller et computerprogram som Maple med fordel benyttes til simuleringer, som kan udgøre en slags matematiske eksperimenter. Den basale Lotka-Volterra model, som opstillet under punktet introduktion er meget forenklet. Derfor er det essentielt, at eleven introduceres for forskellige biologiske modifikationer af modellen. Faktorer som kunne tænkes at have indflydelse: Menneskelig jagt af rovdyr og/eller byttedyr. Andre dødsårsager hos byttedyrene end mødet med rovdyrene. Fødebegrænsning på byttedyrene. Flere konkurrerende arter. Rovdyret kan have flere fødekilder. Eksterne faktorer som klimaændringer. Biologisk set kunne det være interessant at analysere, hvorvidt modellen stemte overens med virkeligheden. Projektet bør derfor indeholde en sammenligning mellem et datasæt og sammenligning af dette med forudsigelserne i en Lotka-Volterra model, som kunne tænkes at være sandsynlig i det givne tilfælde. Under henvisninger er der et link til et konkret biologieksperiment, hvor man undersøger interaktionen mellem to konkurrerende hvepsearter i et isoleret system. Hvis man er mere interesseret i at arbejde teoretisk i relation til biologidelen af projektet kan man vælge at se på tallene for hare- og losbestandene i Canada (Se henvisning) og eksempelvis analysere, hvor godt eller dårligt de passer til modellen og hvad koefficienterne i så fald bør være.
3 Variationsmuligheder I udgangspunktet skal eleven opnå en matematisk forståelse af Lotka-Volterra modellen, som beskrevet i første afsnit under forrige punkt. Derefter er der i stor grad mulighed for at variere sværhedsgraden af det matematiske indhold alt efter forudsætninger og ambitioner. I et ambitiøst projekt er det således muligt at gå videre og eksempelvis bevise, at løsningskurverne er lukkede (Illner et al. s Se også Poulsen, side for gennemgang af ABC-kriteriet). Man kan også se på den lineariserede model, som kan bruges til at klassificere ligevægtspunkterne (Illner et al. s Notesæt fra Århus kapitel 16). Dette kræver dog i det første tilfælde, at man inkluderer bl.a. funktioner af flere variable, integralregning, og i det andet tilfælde, at man inkluderer matrixregning, herunder egenværdier og egenvektorer (som eksempelvis bliver gennemgået i notesættet fra Århus Universitet, kapitel 10). Hvor meget der gøres ud af de komplekse egenværdier er igen afhængigt af projektets ambitionsniveau. Det er på sin plads at nævne, at det også er muligt at formulere Lotka-Volterra systemet i form af differensligninger (Se Jesper Michael Møllers noter, afsnit 3.4). Dette kan måske være en nemmere tilgang til projektet, idet det her er mere enkelt for eleverne at overbevise sig om dynamikken i systemet ved at indsætte nogle konkrete værdier. Der findes rigtig mange forskellige slags biologiske anvendelser af Lotka-Volterra modellen, som det kunne være muligt at beskæftige sig med. Som inspirationsmuligheder kan nævnes: Traditionelle jagtmodeller (F.eks. interaktion mellem dingo og får i Australien. Se henvisning.) Fiskerimodeller (Den optimale fiskekvote (Illner et. al., kap. 6) Forholdet mellem vært og parasit (Se henvisning). Effekt af skadedyrsbekæpelse (Se henvisning) Genetiske sprednings- og invasionsmodeller (Se henvisning) Udsætninger af pighvar (Se henvisning).
4 Henvisninger Illner, Reinhard et al.: Mathematical Modelling, American Mathematical Society 2000 (Kapitel 5 og 6) Poulsen, Ebbe Thue: Indledning til Matematisk Analyse I, Århus Universitet Allman, Elizabeth og Rhodes, John: Mathematical Models in Biology, Cambridge University Press 2004 (Kap. 3 behandler Lotka-Volterra modellen) Websider (pr. 21. februar 2007): (Notesæt til lineær algebra og differentialligninger fra Århus Universitet. Lotka-Volterra introduceres på side 159) (Jesper Michael Møllers undervisningsnoter. Afsnit 3.4) (Formelsamling for biologer. Kap. 11.) (Eksempel 14 og 15 omhandler Lotka- Volterra) (Introduktion til Lotka- Volterra) (Lab nr. 21 (punkt b og c) er interaktive simuleringer af Lotka Volterra modellen for forskellige startbetingelser og for forskellige værdier af konstanterne a, b, c og d) tm (Endnu en interaktiv simulering) (Diverse materiale om differentialligninger) (Et forslag til biologisk eksperiment med to konkurrerende hvepsearter) (Graf over udviklingen af harer og los i Canada. Desuden meget andet materiale, bl.a. eksempler på, hvordan Maple kan anvendes)
5 (Her er de konkrete tal af hare- og losbestandene i Canada sammen med en generel omtale af modellen) (Et glimrende og omfattende projekt, skrevet på engelsk i Maple, der omhandler effekten af skadedyrsbekæmpelse. Kræver, at Maple er installeret på computeren.) (Mange eksempler på anvendelse af modellen Se eksempelvis side 11 og 12 for eksempler på, hvilken konsekvens det har, hvis byttedyret fjernes) (Omtale af genetiske sprednings- og invasionsmodeller på s. 88.) (Projekt om udsættelse af pighvar ved Nordsjællands kyst i et forsøg på at holde bestanden oppe.) I forbindelse med udarbejdelsen af ovenstående skylder vi tak til Lektor Frank Spoorendonk, Næstved Gymnasium & HF samt Inge Danielsen, Tidl. Frederiksberg Gymnasium.
Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereEpidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A).
7.4.07 Kristian Priisholm, Flóvin Tór Nygaard Næs & Lasse Arnsdorf Pedersen. Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). Indledning Projektet omhandler
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereOplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis
Læs mereÅrsplan 8. Klasse Matematik Skoleåret 2016/17
Hovedformål Der arbejdes med følgende 3 matematiske emner: 1. tal og algebra, 2. geometri samt 3. statistik og sandsynlighed. Derudover skal der arbejdes med matematik i anvendelse samt de matematiske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereKontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B
1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik A Jane Madsen X2maA18s
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereMATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål
MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Thy-Mors hf & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Knud Søgaard
Læs mereÅrsplan 9. Klasse Matematik Skoleåret 2015/16
Årsplan 9 Klasse Matematik Skoleåret 2015/16 Hovedformål Årsplanen for 9 Klasse i Matematik tager udgangspunkt i Forenklede Fællesmål (Undervisningsministeriet) Formålet med undervisningen er, at eleverne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over
Læs mereJan B. Larsen HTX Næstved Computational Thinking Albena Nielsen N. Zahles Gymnasium 2018/2019
Forløb: Toksikologi Fag og emner Forløbet kan laves udelukkende i matematik og bioteknologi, men der er oplagt, at det implementeres i andre fag. Matematik modellering, differenceligninger, sandsynlighed,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2018/19 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse Rasmussen
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse Rasmussen
Læs mereProjekt 3.5 Når en population kollapser
Projekt 3.5 Når en population kollapser Logistisk vækst beskrives af en langstrakt S-formet graf, der blødt bevæger sig op mod en øvre grænse, som vi kalder for bæreevnen. Virkeligheden er ofte betydeligt
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mereAnden grads polynomier og populations dynamik
matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt
Læs mereXM @ DTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Matematik 1 på DTU S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 1 Matematik 1 I begyndelsen af det tredie årtusind hedder på Danmarks
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs mereMatematika rsplan for 8. kl
Matematika rsplan for 8. kl 2015-2016 Årsplanen tager udgangspunkt i fællesmål (færdigheds- og vidensmål) efter 9. klassetrin. Desuden tilrettelægges undervisningen efter læseplanen for matematik. Formålet
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereTavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.
Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution Vid Gymnasier, Rønde Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution EUC Nordvest, Thisted Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2018 Institution Vid Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereÅrsplan for matematik
Årsplan for matematik Målgruppe: 07A Periode: Oprettet af: GL Mål for undervisningen: Matematik, 2017/18, 7. klasse. Undervisningen vil veksle mellem fælles gennemgang og selvstændigt arbejde, både individuelt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold STX Matematik A Imad Abou-Hayt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereLæringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer
Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende
Læs merematematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2017 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Hf-enkeltfag Fag og niveau Matematik B A, 1 år (2016-2017) Lærer Janne Skjøth Winde Hold maaa (1608) Oversigt over gennemførte
Læs mereEmne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter
Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2016 Marie
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 14 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jane Madsen X1maC18s
Læs mereComputerstøttet beregning
CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/
Læs mereFagplan og mål for matematik 7-9 klasse
Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse På Slotsparkens Friskole følger vi Undervisningsministeriets mål for de fag. Kompetencemål se link : http://ffm.emu.dk Fagets kompetenceområder: Matematiske kompetencer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejle HF og VUC, Campusvejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereMatematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.
Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLæseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin
Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016/2017 Institution Uddannelsescenter Holsterbro Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX Matematik B
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Årstid/årstal Institution Uddannelse Hf/hfe/hhx/htx/stx /gsk/gif/fagpakke/hf+ Fag og niveau Fagbetegnelsen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 16/17 Institution Hf i Nørre Nissum VIA UC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2013 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Mia Hauge Dollerup 2s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereSkriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering. Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC
Skriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC Link til resultaterne fra udviklingsarbejde i matematik http://uvmat.dk/skrift/materialer.htm Alt materiale
Læs mereRetsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager
7.4.07 Flóvin Tór Nygaard Næs & Kristian Priisholm Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager Studieretningsprojekt i biologi (A) og matematik (A) Emne: Brug af genetisk materiale som grundlag
Læs mereÅrsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012
Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand
Læs mereMatematika rsplan for 9. kl
Matematika rsplan for 9. kl. 2019-2020 Årsplanen tager udgangspunkt i fællesmål (færdigheds- og vidensmål) efter 9. klassetrin. Desuden tilrettelægges undervisningen efter læseplanen for matematik. Formålet
Læs mereÅRSPLAN MATEMATIK 3.KLASSE
ÅRSPLAN MATEMATIK 3.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE
Læs mereMatematik. Læseplan og formål:
Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik Aa (et årig enkeltfag)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 08/09 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mere