Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr"

Transkript

1 8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion Formålet med dette projekt er at analysere samspillet i et biologisk system mellem antal byttedyr N(t) og antal rovdyr P(t). Dette kan gøres vha. differentialligningerne N (t) = an(t)-bn(t)p(t) og P (t) = -dp(t)+cn(t)p(t), som er udgangspunktet for den såkaldte Lotka-Volterra model. Faglige forudsætninger (matematik) Erfaringer med og forståelse for matematisk modellering. Differential- og integralregning. Endvidere er det en fordel tidligere at have stiftet bekendtskab med differentialligninger og kvalitativ analyse af disse. Faglige forudsætninger (biologi) Basal viden inden for populationsbiologi. Herunder kendskab til forskellige typer vækstmodeller. Faglige mål (matematik) Forståelse af differentialligningssystemer og mulige modifikationer af disse. At have forståelse for og fortrolighed med en generel anvendelse af modellering. At kunne forholde sig kritisk i vurderingen af anvendelsen af matematiske modeller og deres resultater. Illustration af differentialligningssystemers løsningsfunktioner vha. lommeregner eller computerprogram.

2 Forståelse af vektorrums rolle i forbindelse med løsningsfunktionerne. Anvendelse af funktioner af flere variable og deres partielt afledte. Matrixregning, herunder egenværdier og egenvektorer, kan også inddrages i projektet. Et ambitiøst projekt kan desuden også anvende komplekse tal, hvor dette er relevant. Faglige mål (biologi) Forståelse af de biologiske begrundelser for Lotka-Volterra modellen og dens begrænsninger. Analyse af modellens anvendelse i biologiske sammenhænge. Nærmere beskrivelse af projektemnet Eleven skal opnå en god fornemmelse af det system, som differentialligningerne i Lotka- Volterra modellen beskriver. Herunder hører en forståelse af, hvordan differentialligningernes løsningsfunktioner hænger sammen med det vektorfelt, som man kan optegne ved at anvende de to differentialligninger som retningsvektorer i ethvert punkt. Eleven skal kunne forstå, hvordan man kan optegne løsningskurverne til ligningssystemet, eksempelvis som niveaukurver omkring et ligevægtspunkt. Eleverne skal også forstå, hvilke betydning forskellige værdier for konstanterne a, b, c og d eller forskellige begyndelsesværdier N(t 0 ) og P(t 0 ) har for systemet. Her kan lommeregneren eller et computerprogram som Maple med fordel benyttes til simuleringer, som kan udgøre en slags matematiske eksperimenter. Den basale Lotka-Volterra model, som opstillet under punktet introduktion er meget forenklet. Derfor er det essentielt, at eleven introduceres for forskellige biologiske modifikationer af modellen. Faktorer som kunne tænkes at have indflydelse: Menneskelig jagt af rovdyr og/eller byttedyr. Andre dødsårsager hos byttedyrene end mødet med rovdyrene. Fødebegrænsning på byttedyrene. Flere konkurrerende arter. Rovdyret kan have flere fødekilder. Eksterne faktorer som klimaændringer. Biologisk set kunne det være interessant at analysere, hvorvidt modellen stemte overens med virkeligheden. Projektet bør derfor indeholde en sammenligning mellem et datasæt og sammenligning af dette med forudsigelserne i en Lotka-Volterra model, som kunne tænkes at være sandsynlig i det givne tilfælde. Under henvisninger er der et link til et konkret biologieksperiment, hvor man undersøger interaktionen mellem to konkurrerende hvepsearter i et isoleret system. Hvis man er mere interesseret i at arbejde teoretisk i relation til biologidelen af projektet kan man vælge at se på tallene for hare- og losbestandene i Canada (Se henvisning) og eksempelvis analysere, hvor godt eller dårligt de passer til modellen og hvad koefficienterne i så fald bør være.

3 Variationsmuligheder I udgangspunktet skal eleven opnå en matematisk forståelse af Lotka-Volterra modellen, som beskrevet i første afsnit under forrige punkt. Derefter er der i stor grad mulighed for at variere sværhedsgraden af det matematiske indhold alt efter forudsætninger og ambitioner. I et ambitiøst projekt er det således muligt at gå videre og eksempelvis bevise, at løsningskurverne er lukkede (Illner et al. s Se også Poulsen, side for gennemgang af ABC-kriteriet). Man kan også se på den lineariserede model, som kan bruges til at klassificere ligevægtspunkterne (Illner et al. s Notesæt fra Århus kapitel 16). Dette kræver dog i det første tilfælde, at man inkluderer bl.a. funktioner af flere variable, integralregning, og i det andet tilfælde, at man inkluderer matrixregning, herunder egenværdier og egenvektorer (som eksempelvis bliver gennemgået i notesættet fra Århus Universitet, kapitel 10). Hvor meget der gøres ud af de komplekse egenværdier er igen afhængigt af projektets ambitionsniveau. Det er på sin plads at nævne, at det også er muligt at formulere Lotka-Volterra systemet i form af differensligninger (Se Jesper Michael Møllers noter, afsnit 3.4). Dette kan måske være en nemmere tilgang til projektet, idet det her er mere enkelt for eleverne at overbevise sig om dynamikken i systemet ved at indsætte nogle konkrete værdier. Der findes rigtig mange forskellige slags biologiske anvendelser af Lotka-Volterra modellen, som det kunne være muligt at beskæftige sig med. Som inspirationsmuligheder kan nævnes: Traditionelle jagtmodeller (F.eks. interaktion mellem dingo og får i Australien. Se henvisning.) Fiskerimodeller (Den optimale fiskekvote (Illner et. al., kap. 6) Forholdet mellem vært og parasit (Se henvisning). Effekt af skadedyrsbekæpelse (Se henvisning) Genetiske sprednings- og invasionsmodeller (Se henvisning) Udsætninger af pighvar (Se henvisning).

4 Henvisninger Illner, Reinhard et al.: Mathematical Modelling, American Mathematical Society 2000 (Kapitel 5 og 6) Poulsen, Ebbe Thue: Indledning til Matematisk Analyse I, Århus Universitet Allman, Elizabeth og Rhodes, John: Mathematical Models in Biology, Cambridge University Press 2004 (Kap. 3 behandler Lotka-Volterra modellen) Websider (pr. 21. februar 2007): (Notesæt til lineær algebra og differentialligninger fra Århus Universitet. Lotka-Volterra introduceres på side 159) (Jesper Michael Møllers undervisningsnoter. Afsnit 3.4) (Formelsamling for biologer. Kap. 11.) (Eksempel 14 og 15 omhandler Lotka- Volterra) (Introduktion til Lotka- Volterra) (Lab nr. 21 (punkt b og c) er interaktive simuleringer af Lotka Volterra modellen for forskellige startbetingelser og for forskellige værdier af konstanterne a, b, c og d) tm (Endnu en interaktiv simulering) (Diverse materiale om differentialligninger) (Et forslag til biologisk eksperiment med to konkurrerende hvepsearter) (Graf over udviklingen af harer og los i Canada. Desuden meget andet materiale, bl.a. eksempler på, hvordan Maple kan anvendes)

5 (Her er de konkrete tal af hare- og losbestandene i Canada sammen med en generel omtale af modellen) (Et glimrende og omfattende projekt, skrevet på engelsk i Maple, der omhandler effekten af skadedyrsbekæmpelse. Kræver, at Maple er installeret på computeren.) (Mange eksempler på anvendelse af modellen Se eksempelvis side 11 og 12 for eksempler på, hvilken konsekvens det har, hvis byttedyret fjernes) (Omtale af genetiske sprednings- og invasionsmodeller på s. 88.) (Projekt om udsættelse af pighvar ved Nordsjællands kyst i et forsøg på at holde bestanden oppe.) I forbindelse med udarbejdelsen af ovenstående skylder vi tak til Lektor Frank Spoorendonk, Næstved Gymnasium & HF samt Inge Danielsen, Tidl. Frederiksberg Gymnasium.

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A).

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). 7.4.07 Kristian Priisholm, Flóvin Tór Nygaard Næs & Lasse Arnsdorf Pedersen. Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). Indledning Projektet omhandler

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Oplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A.

Oplægget henvender sig primært til specielt interesserede 3g elever med matematik A og kemi A. OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-KEMI OM OSCILLERENDE REAKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Indledning De fleste kemiske reaktioner forløber uproblematisk inil der opnås kemisk ligevægt, eksempelvis

Læs mere

Årsplan 8. Klasse Matematik Skoleåret 2016/17

Årsplan 8. Klasse Matematik Skoleåret 2016/17 Hovedformål Der arbejdes med følgende 3 matematiske emner: 1. tal og algebra, 2. geometri samt 3. statistik og sandsynlighed. Derudover skal der arbejdes med matematik i anvendelse samt de matematiske

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B 1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

XM @ DTU. License to Thrill

XM @ DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Matematik 1 på DTU S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 1 Matematik 1 I begyndelsen af det tredie årtusind hedder på Danmarks

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Anden grads polynomier og populations dynamik

Anden grads polynomier og populations dynamik matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Årsplan 9. Klasse Matematik Skoleåret 2015/16

Årsplan 9. Klasse Matematik Skoleåret 2015/16 Årsplan 9 Klasse Matematik Skoleåret 2015/16 Hovedformål Årsplanen for 9 Klasse i Matematik tager udgangspunkt i Forenklede Fællesmål (Undervisningsministeriet) Formålet med undervisningen er, at eleverne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Thy-Mors hf & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Knud Søgaard

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 14 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik A Hasse Rasmussen

Læs mere

Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager

Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager 7.4.07 Flóvin Tór Nygaard Næs & Kristian Priisholm Retsgenetik - anvendelse af DNA-materiale i retssager Studieretningsprojekt i biologi (A) og matematik (A) Emne: Brug af genetisk materiale som grundlag

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

er en n n-matrix af funktioner

er en n n-matrix af funktioner Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Matematika rsplan for 8. kl

Matematika rsplan for 8. kl Matematika rsplan for 8. kl 2015-2016 Årsplanen tager udgangspunkt i fællesmål (færdigheds- og vidensmål) efter 9. klassetrin. Desuden tilrettelægges undervisningen efter læseplanen for matematik. Formålet

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2017 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Hf-enkeltfag Fag og niveau Matematik B A, 1 år (2016-2017) Lærer Janne Skjøth Winde Hold maaa (1608) Oversigt over gennemførte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold STX Matematik A Imad Abou-Hayt

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016/2017 Institution Uddannelsescenter Holsterbro Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX Matematik B

Læs mere

Skriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering. Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC

Skriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering. Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC Skriftlige opgaver i matematik Teksttyper og stilladsering Ved Morten Overgård Nielsen, KVUC Link til resultaterne fra udviklingsarbejde i matematik http://uvmat.dk/skrift/materialer.htm Alt materiale

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution Vid Gymnasier, Rønde Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Årstid/årstal Institution Uddannelse Hf/hfe/hhx/htx/stx /gsk/gif/fagpakke/hf+ Fag og niveau Fagbetegnelsen

Læs mere

Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse

Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse På Slotsparkens Friskole følger vi Undervisningsministeriets mål for de fag. Kompetencemål se link : http://ffm.emu.dk Fagets kompetenceområder: Matematiske kompetencer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2013 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Mia Hauge Dollerup 2s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

M2CAL2 Calculus og Indledende Lineær algebra

M2CAL2 Calculus og Indledende Lineær algebra M2CAL2 Calculus og Indledende Lineær algebra Agenda Velkommen Præsentation mig Præsentation af M2CAL2 Kursusbeskrivelse, herunder læringsmål Eksamen Lærebøger Skema/Blackboard Kalender Fildeling En typisk

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, HHX Nørregade Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik Aa (et årig enkeltfag)

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen

Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive

Læs mere

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM FORMÅL - BEKENDTGØRELSEN STX MATEMATIK A Kompetencer anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller

Læs mere

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.

Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2017 Marie

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 16/17 Institution Hf i Nørre Nissum VIA UC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B Lærer(e) Hold Nils Hagstrøm

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2016 Institution Vestegnen hf og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik C Nicolai

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Bilag til konference om evaluering Grundforløb Kernestof Faglige mål Fokuspunkter Forslag til løbende evaluering

Bilag til konference om evaluering Grundforløb Kernestof Faglige mål Fokuspunkter Forslag til løbende evaluering Grundforløb Kernestof Faglige mål Fokuspunkter Forslag til løbende evaluering Regningsarternes hierarki At lære at lave lektier og afleveringer Ligningsløsning (lineære) med analytiske metoder og med itværktøjer

Læs mere

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hfe Matematik B Najib Faizi Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 3.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 3.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 3.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejle HF og VUC, Campusvejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik

Læs mere