Modellering. Frank Nasser. 14. april 2011

Transkript

1 Modellering Frank Nasser 14. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion Modelleringsprocessen i korte træk Teoretisk modelvalg Funktionsligninger Modelkritik Empirisk modelvalg Lineære modeller Eksponentielle modeller Enkeltlogaritmiske koordinatsystemer Potensielle modeller Dobbeltlogaritmiske koordinatsystemer Approksimative modeller Approksimativt lineære modeller Regression Regression til to målepunkter Regression til flere målepunkter Regression v.h.a. IT-redskaber Ekstrapolering og modelkontrol Ekstrapolering Modelkontrol Vaskebjørne i Europa 39 8 Kausalitet og korrelation 39

3 Resumé I dette dokument introduceres begrebet modellering. Vi gennemgår både modelvalg ud fra teoretiske overvejelser (hvor vi snuser til emnet differentialligninger) og modelvalg ud fra statistisk materiale (hvor vi ser på logaritmiske koordinatsystemer). Til sidst skal vi arbejde med regression, hvor vi især vil tale om regression til lineære modeller, potensielle modeller og eksponentielle modeller. 1 Introduktion Modellering er den proces hvor observationer fra virkeligheden bliver til en teoretisk model for hvordan størrelser afhænger af hinanden. Det er den centrale del af hele den naturvidenskabelige metode, hvorved samtlige naturlove er opstået. Dermed skulle der ikke være nogen tvivl om anvendeligheden. Vi kommer vidt omkring i denne note. For det første er det nødvendigt at man har styr på sin analytiske plangeometri 1 og hvordan man tegner grafer for funktioner 2. For det andet får vi mange af de konkrete funktionstyper i sving, nemlig lineære funktioner, potensielle udviklinger og eksponentielle udviklinger 3. For det tredie bruger vi logaritmer og regnereglerne for disse når vi skal lave potensielle og eksponentielle modeller ved hjælp af logaritmiske koordinatsystemer Modelleringsprocessen i korte træk Modelleringsprocessen består af tre dele, nemlig modelvalget, en efterfølgende regression og til sidst ekstrapolering og modelkontrol. 1 Læs om analytisk geometri her 2 Læs om funktioner og deres grafer her 3 Læs om funktionstyper her 4 Læs om logaritmer her side 1

4 Modelvalg Ved modelvalget vælger man hvilken type funktion som bedst kan bruges til at beskrive en sammenhæng mellem nogle fysiske størrelser. Dette valg kan enten træffes ud fra teoretiske overvejelser, eller på baggrund af statistisk materiale. Som regel vælger man i første omgang en generel funktionstype, f.eks. lineære funktioner, uden at fastlægge præcis hvilken lineær funktion der er bedst. Regression Efter valget af modellen står man som regel med en generel funktionstype og mangler stadig at finde ud af præcis hvilken af disse funktioner som bedst beskriver sammenhængen mellem de givne størrelser. Ofte er funktionstypen givet ved et generelt funktionsudtryk, hvor der indgår en eller flere såkaldte frie parametre. Lineære funktioner er f.eks. givet ved funktionsudtrykket: f(x) = a x + b hvor a og b er frie parametre, som kan være et hvilket som helst reelt tal: For hvert valg af a og b har man én konkret lineær funktion. Regressionen går nu ud på at fastlægge alle sådanne parametre, sådan at man står tilbage med en konkret funktion, der beskriver sammenhængen mellem de givne størrelser bedst muligt. Regressionen vil næsten altid foregå ud fra nogle målinger af de givne størrelser. Ekstrapolering og modelkontrol Når man har en færdig model som er valgt helt eller delvist ud fra eksperimentelle data, er det næste skridt altid at prøve at bruge modellen til at forudsige nogle målinger som ikke var i de oprindelige data. Denne proces kaldes ekstrapolering. side 2

5 Det er det selvfølgelig også fristende at forsøge at kontrollere modellen ved at foretage nogle nye målinger i andre situationer og sammenligne dem med det som modellen forudsiger. 2 Teoretisk modelvalg Dette afsnit er meget overfladisk, fordi et nærmere studie vil kræve kendskab til differentialligninger hvilket ligger langt over niveauet i denne tekst. Afsnittet bør derfor læses som baggrundsviden, og det kan uden problemer overspringes. Et teoretisk modelvalg indebærer at man, ud fra teoretiske overvejelser om sammenhængen mellem nogle størrelser, når frem til en konklusion om hvilken funktionstype der kan beskrive denne sammenhæng. Ofte vil sådanne teoretiske overvejelser resultere i nogle indirekte informationer om de søgte funktioner, f.eks. i form af ligninger, hvor funktionerne indgår som ukendte. 2.1 Funktionsligninger Ofte starter et teoretisk modelvalg med en ligning som beskriver den relevante funktion. Det kunne tænkes at den søgte funktion f (af teoretiske årsager) var nødt til at opføre sig sådan at f(x) 2 = sin(x) for alle x Dm(f). Dette er et (meget simpelt) eksempel på en ligning, hvor den ukendte størrelse ikke længere er et tal, men derimod en funktion. Sådanne ligninger er ufatteligt meget mere komplicerede end sædvanlige ligninger med talstørrelser som ukendte. Umiddelbart ville man måske sige at man jo bare kan isolere f(x) ved at tage kvadratroden på begge sider. Dette ville give at f måtte være funktionen: f(x) = sin(x) side 3

6 (med definitionsmængde bestående af de x R hvor sin(x) 0.) Men nu ville vakse læsere bemærke er der også er en anden mulighed, nemlig: f(x) = sin(x) (med definitionsmængde som før). Endnu mere vakse læsere ville endda fortsætte: Der er jo ingen som siger at funktionen behøver at have det samme fortegn hele tiden! Man kunne forstille masser af underlige funktioner som skiftede mellem de to kvadratrødder flere gange, som f.eks.: (Se grafen på figur 1.) sin(x), x [0; 1] f(x) = sin(x), x ]1; 2] Figur 1: En løsning til funktionsligningen Generelt er det meget vanskeligt at opskrive alle tænkelige løsninger til en funktionsligning. Dette er blot en af grundene til at funktionsligninger er svære at håndtere. En anden grund er at funktioner kan "hænge sammen"på meget mere komplicerede måder end side 4

7 talstørrelser kan. Det skal vi ikke komme ind på i detaljer nu, men vi vil blot give et eksempel: Eksempel 1 I en dejlig dansk skov lever der både ræve og kaniner. Forholdet mellem antallet af ræve og kaniner er temmeligt kompliceret: Hvis t er tiden, målt i sekunder (efter et på forhånd fastlagt tidspunkt), R angiver antallet af ræve og K angiver antallet af kaniner, så er både R og K funktioner af t. Hvis R er stor, bliver der spist mange kaniner, så derfor må K være aftagende. Omvendt: Hvis R er lille, kan kaninerne avle uforstyrret, så derfor må K vokse. Tilsvarende, hvis K er stor, er der masser af mad til rævene, så de vil formere sig, og dermed vil R være voksende. Hvis K derimod er lille, dør rævene af sult, så R vil aftage. Disse teoretiske overvejelser fortæller os ikke direkte hvilken slags funktioner K og R må være, men det giver os noget information om hvordan de to funktioner påvirker hinanden. Eller mere præcist: Hvordan den ene funktion påvirker den andens vækstrate. En information, der både omhandler ukendte funktioner og deres vækstrater kaldes en differentialligning, og ovenstående er et eksempel på en såkaldt koblet førsteordens differentialligning. Der findes metoder til at løse forskellige typer af differentialligninger 5 Dette vil som regel resultere i en generel funktionstype. I vores tilfælde med rævene og kaninerne viser det sig at både R og K bliver harmoniske svingninger som er faseforskudt i forhold til hinanden. Dermed har vi foretaget et teoretisk modelvalg: Ud fra teoretiske overvejelser om sammenhængen mellem de to funktioner har vi bestemt hvilken type funktioner de begge to må være. side 5

8 2.2 Modelkritik En model kan sjældent forklare virkeligheden perfekt. Ethvert teoretisk modelvalg vil indebære at man forsøger at forklare nogle enkelte fænomener, samtidigt med at man "glemmer" 6 en masse andre fænomener som ville gøre modellen for kompliceret. I eksemplet ovenfor med ræve og kaniner, har vi for eksempel intet nævnt om at begge dyrearter dør af sig selv, at der er en øvre grænse for hvor mange dyr der kan være i skoven, og at en meget lille bestand sandsynligvis vil uddø helt, fordi de ikke vil kunne finde hinanden når parringssæsonen går ind. Derfor bør ethvert teoretisk modelvalg indeholde en såkaldt modelkritik hvor der gøres rede for hvilke fænomener der er inkluderet i modellen, og hvilke der ikke er. 3 Empirisk modelvalg Et empirisk modelvalg tager udgangspunkt i eksperimentelle målinger af nogle fysiske størrelser. Vi vil i hele dette afsnit tage udgangspunkt i en situation hvor vi har en række sammenhørende målinger af to størrelser X og Y. (Bemærk at vi bruger store bogstaver til at betegne størrelserne sådan at vi stadig kan bruge de tilsvarende små bogstaver til at betegne koordinater i koordinatsystemet og som variable i definitionen af funktioner.) Man kan forestille sig at målingerne er opstillet i et skema som vist nedenfor: X Y 7 6,3 6 4,3 3,9 2,1 1,6-0,4 Vi ønsker nu at finde en funktion, f, som beskriver sammenhængen mellem de to størrelser. Med andre ord: En funktion som til enhver værdi af X udregner den tilhørende værdi af Y. 6 Det kaldes med et fint ord at man negligerer disse fænomener. side 6

9 Det allerførste man gør er at indtegne de målte data som punkter i et koordinatsystem. (Se figur 2). Dermed kan problemet formuleres som at vi ønsker en funktion f, hvis graf går igennem alle de indtegnede punkter. Man siger at man indtegner målingerne af Y versus eller mod målingerne af X. Figur 2: Et eksempel på dataindtegning i et koordinatsystem 3.1 Lineære modeller Definition 1 En fysisk størrelse Y siges at afhænge lineært af en anden fysisk størrelse X, hvis der findes en lineær funktion f givet ved: f(x) = ax + b hvor a og b er reelle konstanter, og hvor f opfylder at f(x) = Y for alle sammenhørende værdier af X og Y. side 7

10 Det er meget nemt at undersøge hvorvidt to fysiske størrelser afhænger lineært af hinanden: Man indtegner ganske enkelt de sammenhørende værdier som punkter i et koordinatsystem og undersøger om disse punkter ligger på en ret linje. (F.eks. ved at se om man kan lægge en lineal hen over koordinatsystemet, sådan at den lige præcis berører alle punkterne.) Øvelse 1 En fysiker har målt sammenhørende værdier af strømstyrken I (målt i Ampere) gennem en modstand, og spændingsforskellen U (målt i Volt) over denne modstand. De målte værdier er angivet i tabellen nedenfor: U I 0,3 0,9 1,5 2,1 2,7 3,6 5,1 0,1 Undersøg om der er en lineær sammenhæng mellem de to størrelser eller ej. Øvelse 2 En kemiker har målt sammenhørende værdier af ph-værdien af en væskeblanding og mængden V af tilsat NaOH (målt i ml). (En såkaldt titrer-analyse). De målte værdier er angivet i tabellen nedenfor: V 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 ph 2,2 2, ,3 6,5 7 7,5 Undersøg om der er en lineær sammenhæng mellem de to størrelser eller ej. side 8

11 Øvelse 3 En biolog har målt sammenhørende værdier af koncentrationen, k af et bestemt protein i en cellekultur (i mg) og cellernes mutationsrate M (målt i procent). k M ,1 25,1 25,4 25, ,4 Undersøg om der er en lineær sammenhæng mellem de to størrelser eller ej. 3.2 Eksponentielle modeller Eksponentielle modeller optræder rigtig mange steder i naturen. For at give et lille indtryk af anvendeligheden nævner vi følgende eksempler: Celledeling. Befolkningsudvikling. Radioaktivt henfald. Renteudvikling. Afladning af kondensatorer. Definition 2 En fysisk størrelse Y siges at afhænge eksponentielt af en anden fysisk størrelse X, hvis der findes en eksponentiel udvikling f givet ved: f(x) = b a x side 9

12 hvor a og b er positive reelle konstanter, sådan at f opfylder at f(x) = Y for alle sammenhørende værdier af X og Y. Det er desværre meget svært at se om to størrelser udviser en eksponentiel sammenhæng eller ej alene ved at indtegne dem i et koordinatsystem. Det skyldes at der findes masser af funktioner som ikke er eksponentielle udviklinger, men hvis grafer alligevel ligner grafer for eksponentielle udviklinger, idet de buer mere og mere opad. Men det er jo ikke sikkert at de buer på lige præcis den rigtige måde. Som en løsning på det problem har vi følgende meget nyttige sætning. Den er bevist i et seperat dokument. 7. Sætning 1 (Første transformationssætning) En størrelse Y afhænger eksponentielt af en størrelse X præcis hvis ln(y ) afhænger lineært af X Bemærkninger Når man skal undersøge om størrelserne X og Y afhænger eksponentielt af hinanden, kan man altså udregne logaritmen til alle målingerne af størrelsen Y, og derefter undersøge om disse værdier afhænger lineært af X. Man kalder dette at transformere det målte datasæt. Hvis det transformerede datasæt ser ud til at have en tilnærmelsesvist lineær sammenhæng, siger man at Y tilnærmelsesvist afhænger eksponentielt af X. 7 Læs beviset for sætning 1 her side 10

13 I sætningen bruges den naturlige logaritmefunktion, men man kunne nøjagtig lige så godt bruge en hvilken som helst anden logaritme (så længe man bruger den samme hele tiden, naturligvis). Læseren opfordres til at tjekke hvordan beviset skulle ændres hvis man besluttede at bruge en logaritme med et andet grundtal. Eksempel 2 Ved en uheldig misforståelse er hr. Hansen kommet til at skylde penge til nogle motorcykelentusiaster. De sender ham regninger som bliver større og større med tiden. Hr. Hansen har indtastet de sammenhørende værdier af tiden t målt i dage og det skyldige beløb B målt i kroner. t B Først indtegner hr. Hansen disse målepunkter i et almindeligt koordinatsystem (se figur 3) og umiddelbart synes han at det ligner en eksponentiel udvikling, sådan som man ville forvente i en situation hvor der løber renter på et skyldigt beløb. Men hr. Hansen ved godt at man ikke kan se hvorvidt en sammenhæng er eksponentiel alene ved at indtegne data i et koordinatsystem. Derfor transformerer han sit datasæt ved at tage den naturlige logaritme til alle værdierne af B. t B ln(b) 6,91 7,00 7,14 7,33 7,59 7,92 8,33 8,80 Nu indtegner hr. Hansen i stedet sammenhørende værdier af t og ln(b) i et koordinatsystem (se figur 4) og opdager at punkterne ikke kommer til at ligge på en ret linje! De kan end ikke siges at ligge tilnærmelsesvist på en linje, idet der er en tydelig opadgående tendens. side 11

14 Hr. Hansen kan altså konkludere at der ikke er tale om en eksponentiel udvikling, men sidder i stedet tilbage med en grim fornemmelse af at rentesatsen åbenbart stiger hele tiden. Figur 3: Et plot af hr. Hansens regning mod tiden Øvelse 4 Undersøg om følgende målinger af størrelserne X og Y kan understøtte en model hvor Y afhænger eksponentielt af X. X Y 0, Bemærkning I det næste afsnit vil vi undtagelsesvist bruge logaritmen med grundtal 10 som vores foretrukne logaritme. Man kunne naturligvis lige så side 12

15 Figur 4: Et plot af det transformerede datasæt. godt bruge den naturlige eller en hvilken som helst anden logaritme, men lige præcis her er det mere oplagt med titalslogaritmen, fordi den giver pænere værdier når man tager den til runde tal. 3.3 Enkeltlogaritmiske koordinatsystemer For at slippe for at sidde og transformere et datasæt ved at udregne logaritmen til samtlige målinger af den ene størrelse, har man opfundet de såkaldte enkeltlogaritmiske koordinatsystemer. Ideen er følgende: I stedet for hele tiden at skulle udregne logaritmen til Y, og så finde denne værdi på y-aksen i et sædvanligt koordinatsystem, så visker man enhederne ud på y-aksen og skriver f.eks. 17 i højden log 10 (17) oppe ad y-aksen. Hvis man således har en Y -måling med værdien 17, skal man blot finde 17 på y-aksen og sætte en prik i denne højde. Det svarer nemlig præcist til at sætte en prik i højden log 10 (17) i et sædvanligt koordinatsystem. I praksis markerer man selvfølgelig ikke 17 på y-aksen, men derimod nogle mere runde tal. side 13

16 Definition 3 I et enkeltlogaritmisk koordinatsystem skriver man enheder på y-aksen på følgende måde: 1 skrives i højden log 10 (1) = 0. Altså: Dér hvor x-aksen skærer y-aksen skriver man 1 (og ikke nul!) Man skriver 10 i højden log 10 (10) = 1 Man skriver 100 i højden log 10 (100) = 2 Man skriver i højden log 10( ) = 2 Og så videre Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem kan f.eks. se ud som på figur Figur 5: Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. side 14

17 Bemærkninger De afsnit som det enkeltlogaritmiske koordinatsystem er inddelt i, svarende til y-koordinater mellem 10 n og 10 n+1 for en eller anden værdi af n, kaldes dekader. Når man skal finde en værdi på y-aksen, skal man starte med at gøre sig klart hvilken dekade man befinder sig i: Hvis man f.eks. vil finde værdien 73 på y-aksen, skal vi altså befinde os i dekaden mellem 10 1 og Derefter skal man gøre sig klart at hvert trin i underinddelingen betyder noget forskelligt, alt efter hvilken dekade vi befinder os i. I dekaden mellem 10 1 og 10 2 betyder markeringerne i underinddelingen henholdsvist: 20, 30, Hvis vi derimod befinder os i dekaden mellem 1000 og 10000, vil markeringerne i underinddelingen betyde: 2000, 3000, På den måde vil 73 altså befinde sig et sted mellem den syvende markering (70) og den ottende (80). På figur 6 har vi indtastet nogle punkter i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem. Vær sikker på at du selv ville have afsat alle disse punkter de samme steder. Prøv at afsætte nogle flere. Hvis man skal bruge meget store eller meget små værdier på y-aksen, er det tilladt at udelade nogle dekader. Således kan man sagtens løfte x-aksen op til starten af den femte dekade og starte med y-værdien Af denne grund kommer fortrykte logaritmiske koordinatsystemer ikke med enheder på y-aksen, men kun med hjælpestregerne til inddeling af dekaderne. Nu kan sætning 1 formuleres som: Sætning 2 En størrelse Y afhænger eksponentielt af en størrelse X præcis hvis en indtegning af sammenhørende værdier af X og Y som side 15

18 Figur 6: Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem med nogle indtegnede punkter. punkter i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem ligger på en ret linje. Øvelse 5 På figur 7 er der et blankt enkeltlogaritmisk koordinatsystem uden enheder på akserne. Sæt selv passende enheder på akserne, og indtegn derefter nedenstående måledata for at undersøge om Y afhænger eksponentielt af X eller ej. X Y side 16

19 Figur 7: Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem til brug i opgave Potensielle modeller Potensielle modeller er også meget almindelige i naturvidenskaben. Vi nævner et par eksempler: Størrelsen af dyrs organer afhænger ofte potensielt af deres samlede kropsstørrelse. Dette kaldes allometriloven i biologi. Dimensioner af fysiske objekter, såsom længder, arealer og rumfang, afhænger potensielt af hinanden. De fleste naturkræfter, hvorved partikler tiltrækker eller frastøder hinanden afhænger potensielt af partiklernes indbyrdes afstand. Definition 4 En fysisk størrelse Y siges at afhænge potensielt af en anden fysisk side 17

20 størrelse X, hvis der findes en potensiel udvikling f givet ved: f(x) = b x a hvor a R og b > 0, og hvor f opfylder at f(x) = Y for alle sammenhørende værdier af X og Y. Lige som med eksponentielle udviklinger, er det meget svært at se om punkter følger grafen for en potensiel udvikling eller ej. Derfor har vi følgende sætning til hjælp: Sætning 3 (Anden transformationssætning) En størrelse Y afhænger potensielt af en størrelse X hvis og kun hvis ln(y ) afhænger lineært af ln(x) Der gælder omtrent de samme bemærkninger som ved eksponentielle modeller: Bemærkninger Når man skal undersøge om størrelserne X og Y afhænger potensielt af hinanden, kan man altså udregne logaritmen til alle målingerne af både X og Y, og derefter undersøge om disse værdier afhænger lineært af hinanden. Man kalder dette at transformere det målte datasæt. Hvis det transformerede datasæt ser ud til at have en tilnærmelsesvist lineær sammenhæng, siger man at Y tilnærmelsesvist afhænger potensielt af X. side 18

21 I sætningen bruges den naturlige logaritmefunktion, men man kunne nøjagtig lige så godt bruge en hvilken som helst anden logaritme (så længe man bruger den samme hele tiden, naturligvis). Læseren opfordres til at tjekke hvordan beviset skulle ændres hvis man besluttede at bruge en logaritme med et andet grundtal. Eksempel 3 En biolog ved navn Flemming har indsamlet nogle røde ildmyrer af arten Solenopsis invicta. Han har målt den totale kropslængde (inklusive hovedet), X (i mm) og størrelsen af hovedet, Y (også i mm) på hver eneste myre. Disse måledata har han samlet i en tabel som er for lang til at vi vil tage den med her. Derefter har han indtegnet målingerne som punkter i et sædvanligt koordinatsystem. (Se figur 8). I det samme koordinatsystem har Flemming også forsøgt at tegne en ret linje gennem målepunkterne. Umiddelbart synes Flemming at målepunkterne ligger ganske tæt omkring den rette linje. Dette peger på en approksimativ lineær sammenhæng af typen: Y = a X + b hvor a og b er reelle tal. Der er dog et par alvorlige problemer med en sådan model: For det første: Punkterne ligger ikke "tilfældigt"omkring linjen. Tværtimod ligger alle de første og næsten alle de sidste punkter over linjen, og de midterste punkter ligger næsten alle under linjen. For det andet: Hvis der skulle være en lineær sammenhæng mellem X og Y svarende omtrent til den rette linje som Flemming har indtegnet, så kan man umiddelbart se at den rette linje skærer x-aksen omkring punktet (1,3; 0). Det betyder at modellen forudsiger at en myre som er mindre end 1,3 mm i kropslængde slet ikke har noget hoved, hvilket lyder absurd eftersom alle vores side 19

22 myrer antageligt har været mindre end 1 millimeter dengang de var små. Nu prøver Flemming med en mere fornuftig model ud fra et biologisk synspunkt. Han tager logaritmen til samtlige målinger af både X og Y og indtegner dette i et koordinatsystem. Resultatet er angivet på figur 9. Eftersom disse punkter følger en ret linje (endda meget mere overbevisende end tidligere), tror Flemming på at sammenhængen mellem X og Y kan beskrives approksimativt med en potensiel sammenhæng af typen: Y = b X a hvor a er et reelt tal, og b er et positivt reelt tal. Vi vender tilbage til Flemming og hans tissemyrer senere, hvor vi skal se hvad denne model kan bruges til. Figur 8: Hovedstørrelse (Y) versus kropsstørrelse (X) for røde ildmyrer side 20

23 Figur 9: Et plot af det transformerede datasæt. Bemærkning I det næste afsnit vil vi igen bruge logaritmen med grundtal 10 som vores foretrukne logaritme. Man kunne lige så godt bruge den naturlige eller en hvilken som helst anden logaritme, men lige præcis her er det mere oplagt med titalslogaritmen, fordi den giver pænere værdier når man tager den til runde tal. 3.5 Dobbeltlogaritmiske koordinatsystemer Et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem laves efter præcis samme ide som det enkeltlogaritmiske, bortset fra at man sætter logaritmiske enheder på begge akserne. Et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem kan se ud som på figur 10, hvor vi også har indtegnet nogle punkter. Hvis du er i tvivl om hvordan punkterne er afsat, så læs bemærkningerne om indtegning af punkter i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem i det foregående afsnit. Ideen er selvfølgelig at når man indtegner et punkt (x; y) i dette koordinatsystem, så sætter man i virkeligheden en prik i højden log 10 (y) og i afstanden log 10 (x) ude af x-aksen. Altså det samme side 21

24 Figur 10: Et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem med nogle indtegnede punkter. som at indtaste logaritmen til de to tal i et sædvanligt koordinatsystem. Dermed har vi følgende version af sætning 3: Sætning 4 En størrelse Y afhænger potensielt af en størrelse X præcis hvis en indtegning af sammenhørende værdier af X og Y som punkter i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem ligger på en ret linje. Eksempel 4 Målingerne fra Flemmings myreeksperiment (se eksempel 3 er indtegnet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem på figur 11 nedenfor. Ikke overraskende giver det præcis samme punkter som ved indtegningen af det transformerede datasæt i figur 9. Det er kun enhederne på akserne som har ændret sig. side 22

25 Figur 11: Flemmings myredata indtegnet i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem 4 Approksimative modeller Desværre vil det meget sjældent ske at punkterne fra et datasæt ligger præcist på en ret linje i noget som helst koordinatsystem. I eksemplet fra figur 2 er det f.eks. umuligt at tegne en ret linje som går gennem alle punkter. Det ser dog ud til at man kan tegne en ret linje som næsten går gennem alle punkterne, og det er ikke svært at forestille sig at de to størrelser rent faktisk har en lineær sammenhæng, men at et eller andet tilfældigt fænomen (f.eks. måleusikkerheder) har ændret alle værdierne en lille smule i forhold til deres rigtige værdi. Man siger i sådanne tilfælde at sammenhængen mellem X og Y kan beskrives approksimativt med en lineær model, eller at de tilnærmelsesvist har en lineær sammenhæng. Vi vil i det følgende tage udgangspunkt i lineære modeller, men alle bemærkningerne gælder også om andre modeller, såsom eksponentielle og potensielle modeller. side 23

26 4.1 Approksimativt lineære modeller Når man skal argumentere for at to størrelser har en approksimativt lineær sammenhæng, skal man ikke blot argumentere for at alle punkterne ligger rimeligt tæt på en ret linje, men også retfærdiggøre at afvigelsen fra punkterne til den rette linje er tilfældig. Dertil bør man holde øje med følgende: At punkterne ligger nogenlunde lige meget over og under linjen. At der ikke forekommer nogen systematik i afvigelsen, som f.eks. at punkterne ligger længere fra den rette linje jo længere man går til højre i koordinatsystemet. 8 Øvelse 6 Hvilken af måleserierne i opgave 1, 2 og 3 vil kunne beskrives approksimativt med en lineær model? Den bedste rette linje Når man har nogle punkter i et koordinatsystem som tilnærmelsesvist ligger på en ret linje, er det lidt af en kunst at tegne den rette linje som er tættest på at gå gennem alle punkterne. Vi skal ikke gå i detaljer med hvordan det gøres her, udover at man selvfølgelig skal prøve at tegne den linje som rammer tættest muligt på alle punkterne på en gang. Der findes en mere præcis metode som hedder mindste kvadraters metode, hvorved man direkte kan udregne hvilken linje der er den bedste. Men den gemmer vi til et andet dokument 9. 8 Vi berører her overfladen af et kæmpestort område af matematikken, nemlig statistik. Statistik handler basalt set om hvordan man afgør hvorvidt en størrelse er tilfældig eller ej. Og ikke mindst om hvad ordet tilfældig betyder. 9 Læs om mindste kvadraters metode her side 24

27 Hvor stor er afvigelsen? Når man har indset at to størrelser afhænger tilnærmelsesvist lineært af hinanden, så melder følgende spørgsmål sig som regel: Kan vi på en eller anden måde måle hvor stor den tilfældige afvigelse er? Med dette spørgsmål har man taget den allerførste bid af en kæmpestor kage 10 ved navn statistik. Videnskaben statistik går (meget kort fortalt) ud på at måle og beskrive tilfældige fænomener såsom måleusikkerheder. Man kan naturligvis aldrig komme så vidt at man kan forudsige de tilfældige fænomener (det er jo netop pointen med tilfældighed). Men man kan beskrive hvor sandsynlige forskellige udfald af de tilfældige fænomener er på en meget præcis måde. Dermed kan man bruge en approksimativ linær model til næsten lige så meget som en eksakt. Det som man gerne vil bruge modeller til er jo at forudsige hvad Y bliver hvis X sættes til andre værdier end dem som vi har målt. (Se afsnit 6 om ekstapolering). Hvis man har en statisk beskrivelse af de tilfældige afvigelser, så kan det bruges til at forudsige med hvor stor sandsynlighed at Y kommer til at ligge inden for et bestemt interval. Men dette er en helt anden (og meget lang) historie som vi gemmer til et dokument om statistik. Fejlmålinger Det kan også forekomme at de fleste målepunkter passer perfekt eller approksimativt til en lineær model, mens nogle enkelte punkter afviger helt vildt. I sådanne situationer vil man ofte kunne konkludere at de få afvigende punkter enten er fejlmålinger, eller skyldes en eller anden form for ekstrem situation som vores model ikke behøver at tage højde for. Disse målinger vil man herefter fjerne fra datasættet, idet man gør opmærksom på at der ses bort fra de oplagte fejlmålinger. 10 Nogle matematikere ville måske bruge et andet metafor her, fordi statistik ofte er meget, meget svært for folk med en veludviklet sans for eksakt matematik. side 25

28 Øvelse 7 I hvilken af opgaverne 1, 2 og 3 forekommer der en fejlmåling. Hvad skyldes denne fejlmåling mon? 5 Regression Når man har valgt sin model (enten ud fra teoretiske overvejelser, eller ud fra måledata), står man med en generel funktionstype der skal beskrive sammenhængen mellem to størrelser. Vi vil her tage udgangspunkt i de tre modeltyper omtalt ovenfor: Lineære, eksponentielle og potentielle modeller. I alle disse tilfælde består funktionstypen af en parametriseret familie af funktioner med to frie parametre. Nu skal vi se hvordan de frie parametre kan fastlægges på baggrund af nogle målinger af de involverede størrelser. 5.1 Regression til to målepunkter Hvis vi har præcis to samtidige målinger af størrelserne X og Y, kan man finde det medlem af funktionsfamilien som i hver af de to værdier af X giver den tilsvarende værdi af Y ved ganske enkelt at løse to ligninger med to ukendte. Eksempel 5 Hvis vi allerede ved (af en eller anden årsag) at Y afhænger lineært af X, har vi som udgangspunkt en model: Y = a X + b hvor a og b er reelle tal de to frie parametre. Hvis vi samtidigt har to målinger: side 26

29 X Y 9 51 så kan vi opskrive to krav til a og b, idet vi jo ønsker at: og 9 = a 12 + b 51 = a 19 + b Dette er ganske enkelt to ligninger med to ubekendte, som vi kan bruge til at bestemme a og b. Første ligning giver: b = 9 12a Indsættes dette i den anden ligning får vi: dvs. dvs. dvs. 51 = a 19 + (9 12a) 51 = 7a = 7a a = 6 Bruger vi nu den første ligning igen, får vi: b = = 63 Hermed har vi bestemt de to frie parametre, og vi har en færdig model: Y = 6 X 63 side 27

30 Eksempel 6 Hvis vi allerede ved at Y afhænger eksponentielt af X, har vi altså at: Y = b a X hvor a og b er positive, reelle tal. Hvis vi samtidigt har to målinger: og X Y så kan vi opskrive to krav til a og b, idet vi jo ønsker at: 117 = b a = b a 39 Dette er igen to ligninger med to ubekendte som vi kan bruge til at bestemme a og b. Blot er det en anelse mere teknisk at løse ligningerne. Den første ligning giver: b = 117 a 15 Indsættes dette i den anden ligning, får vi: dvs. dvs. dvs. a = 69 = 117 a39 a15 69 = 117 a 24 a 24 = ( ) , side 28

31 Bruger vi nu den første ligning igen, får vi: b = a15 Igen har vi en færdig model som siger at: Y = 163 0,9782 X (Prøv selv at indsætte de to givne målinger af X og se at det giver de tilsvarende målinger af Y.) 5.2 Regression til flere målepunkter Hvis man har flere end to målepunkter, kan man selvfølgelig bare vælge sig to af dem og lave regressionen som beskrevet i det foregående afsnit. Men hvis ikke alle målingerne passer perfekt med den valgte model, vil det som regel ikke være optimalt bare at vælge to tilfældige målepunkter. Man risikerer nemlig at man får lavet en model der passer perfekt med disse to punkter, og rigtig dårligt med alle de andre! Her er lidt taktik for hvordan man skal vælge sig to passende punkter: Vælg punkter fjernt fra hinanden: Først og fremmest er det en god ide at vælge to punkter som ligger fjernt fra hinanden i koordinatsystemet. Grunden til dette kan man nærmest se ved at forestille sig de to punkter i sit indre koordinatsystem (enten et sædvanligt, et enkeltlogaritmisk eller et dobbeltlogaritmisk): Hvis de to punkter ligger langt fra hinanden, og man ændrer det ene punkt (f.eks. ved at man fejlaflæser det, eller ved at punktet afviger fra den korrekte model) så ændrer den rette linje gennem de to punkter sig kun en lille smule. Men hvis de to punkter ligger side 29

32 meget tæt på hinanden, kan den samme ændring af det ene punkt pludselig betyde en kæmpe forskel i hvilken ret linje der går gennem de to punkter. Vælg punkter som passer med modellen: For det andet bør man indtegne alle målingerne i et passende 11 koordinatsystem (det har man som regel allerede gjort under modelvalget) og tegne den bedste rette linje gennem punkterne. Herefter vælger man sig to punkter som ligger præcist på den rette linje. Bemærk at det ikke behøver at være nogen af de oprindelige målepunkter! Vælg punkter som kan aflæses præcist: Hvis man befinder sig i et koordinatsystem med logaritmiske akser, kan det være smart at vælge punkter hvis koordinater er nemme at aflæse. Især hvis punkterne ligger mellem to underinddelingsstreger, kan det være meget svært at aflæse deres koordinater præcist. Eksempel 7 Lad os vende tilbage til Flemming og hans myrer. Vi så i eksempel 3 at sammenhængen mellem myrernes kropslængde (X) og deres hovedstørrelse (Y ) kunne beskrives med en potensiel udvikling: Y = b X a Ved indtegningen af målepunkterne i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem (se figur 11) er det ikke svært for Flemming at lave den bedste rette linje gennem punkterne. Dette er gjort på figur 12 nedenfor, hvor han også har zoomet ind på det relevante område af koordinatsystemet og (som en hjælp) sat enheder på underinddelingen af dekaderne. 11 Dvs. et almindeligt, et enkeltlogaritmisk eller et dobbeltlogaritmisk, alt efter om man har en lineær, en eksponentiel eller en potensiel model side 30

33 Vi bemærker at de 7-8 målepunkter længst til venstre i koordinatsystemet, undtagen det allerførste, passer dårligere med den bedste rette linje end de øvrige. (Dette giver god mening. Hvorfor?) Derfor ville det være totalt forkert at vælge f.eks. de to første målepunkter til at lave regressionen med. Derimod ser det ud til at passe ganske fint med det første og det sidste målepunkt. Herved får vi også valgt punkterne meget langt fra hinanden i koordinatsystemet. Til gengæld er det sidste målepunkt svært at aflæse førstekoordinaten på (og Flemming har desværre smidt det papir ud hvor de oprindelige målinger stod på). Derfor går Flemming på kompromis og bruger det første punkt sammen med punktet (10; 4). Flemming skriver målingerne svarende til de valgte punkter ned i et skema: X 3 10 Y 0,85 4 Dermed er regressionsproblemet reduceret til at finde værdier af a og b, sådan at: og 0,85 = b 3 a 4 = b 10 a Den første ligning giver hurtigt at: b = 0,85 3 a Indsættes dette i den anden ligning får vi: 4 = 0,85 3 a 10 a = 0,85 ( ) 10 a 3 side 31

34 (Hvor vi i den sidste omskrivning brugte en potensregneregel.) Det kan omskrives til: ( ) 10 a = 4 3 0,85 4,706 For at løse denne ligning tager vi den naturlige logaritme på begge sider: (( ) 10 a ) ln = ln(4,706) 3 dvs. ( ) 10 a ln = ln(4,706) 3 dvs. a = ln(4,706) ln ( ) 1, Og hvis dette sættes tilbage i den første linje får vi: b = 0,85 3 a 0,21 Dermed har Flemming en færdig model: Y = 0,21 X 1,29 Grafen for denne funktion er indtegnet i et sædvanligt koordinatsystem på figur Regression v.h.a. IT-redskaber Der findes mange elektroniske redskaber som kan udføre regression. Som regel kaldes det for interpolation i forbindelse med matematikprogrammer. Fordelen ved at bruge sådanne programmer er at man slipper side 32

35 Figur 12: Flemmings dobbeltlogaritmiske plot med indtegning af den bedste rette linje. Figur 13: Den færdige model for Flemmings myreeksperiment. for at lave arbejdet i hånden, at det som regel bliver mere præcist, og (i særdeleshed!) at man kan lave regression til andre modeller end de tre typer vi har beskæftiget os med. Nogle andre almindelige funktionstyper, som indimellem bruges i alternative modeller er: Polynomier Læs om polynomier her side 33

36 Harmoniske svingninger 13 Logistiske vækstfunktioner 14 Computerprogrammer der kan foretage regression til vilkårlige modeller bygger på meget avancerede nummeriske beregningsmetoder og store mængder statistik, så vi skal ikke snakke om hvordan de fungerer. Derimod skal det nævnes hvordan de bruges: Først indtastes målepunkterne. Derefter vælges hvilken generel modeltype der skal laves regression til. Herunder hvilke frie parametre der skal bestemmes. Så indtastes der nogle gæt på hvad hver af de frie parametre skal være. Disse gæt kaldes initialværdier og skal bruges i nogle af de komplicerede beregninger som vi omtalte ovenfor. Hvis man gætter meget forkert, kan det ske at programmet enten finder en model som overhovedet ikke passer med målingerne, eller at det slet ikke finder en model, men i stedet laver en fejlmeddelelse. Til sidst foretages regressionen. Programmet oplyser (hvis alt går godt) de bedste værdier af de frie parametre, sammen med en eller anden information om hvor godt den færdige model passer med målepunkterne. Denne information gives som regel i form af en såkaldt regressionskoefficient eller et såkaldt konfidensinterval for de frie parametre. Begge dele hører hjemme under statistik, og vi skal ikke komme ind på hvordan de skal fortolkes her Læs om harmoniske svingninger her 14 Læs om logistisk vækst her 15 Læs i stedet om statistik her side 34

37 6 Ekstrapolering og modelkontrol 6.1 Ekstrapolering Når en model er opstillet og regressionen er udført har man ikke kun en funktion der forklarer de målte værdier, men den kan også kan bruges til at forudsige andre målinger teoretisk. Her er nogle eksempler: Hvis de oprindelige data handler om hvordan tyngekraften fungerer på jorden, og den opstillede model siger noget om et æble og jordkloden tiltrækker hinanden med en kraft der afhænger lineært af legemernes masser og potensielt af afstanden imellem dem 16, kunne det være interessant at spørge hvordan massetiltrækningen mellem to galaksehobe fungerer. Hvis de oprindelige data handler om den globale gennemsnitstemperatur de sidste 100 år, og den opstillede model siger noget om at temperaturen er en voksende funktion af tiden, kunne det være interessant at spørge hvad temperaturen mon vil være om 200 år. Hvis de opstillede data handler om et firmas økonomi, og den opstillede model siger noget om hvordan prisen på et produkt påvirker firmaets fortjeneste, kunne man meget passende spørge hvilken pris der vil gøre fortjenesten så stor som overhovedet mulig. At bruge en model til at forudsige målinger som ikke er foretaget endnu (enten fordi det er umuligt eller fordi det er meget besværligt at foretage dem) kaldes ekstrapolering, og det er lige præcis på dette punkt at naturvidenskaben udmærker sig i forhold til de ikke-eksakte videnskaber, myter, religioner og regulær snik-snak. 16 Du kan måske genkende dette som en kortfattet version af Newtons tyngdelov side 35

38 Det viser sig nemlig at universet har en totalt underlig, men meget, meget nyttig tendens til at opføre sig logisk, sådan at modeller der er opstillet udfra måledata ofte kan forudsige meget præcis hvordan andre målinger vil falde ud. Eksempel 8 Et af de mest ekstreme eksempler på succesfuld ekstrapolering forekommer i kernefysikken. Her har man opbygget modeller for atomkerners opbygning ud fra observationer på kerner med mellem 1 og 100 nukleoner. Det viser sig at mange konklusioner fra disse modeller kan bruges til at forklare opførslen af såkaldte neutronstjerner efterladenskaber fra kæmpestjerner, der er eksploderet og har efterladt en supertung masse, som er trykket så voldsomt sammen 17 at de enkelte atomer er mast sammen til en gigantisk "atomkerne med omkring nukleoner. Således kan en model bygget på observationer af mikroskopiske atomer i et laboriatorium på jorden bruges til at forklare opførslen af gigantiske, supermassive objekter i den anden ende af universet! Forbehold for modellens rigtighed Det er meget vigtig, når man bruger ekstrapolering til at lave forudsigelser, at man gør opmærksom på at forudsigelserne forudsætter at modellen holder i den nye situation. Man bruger som regel formuleringer som under antagelse af at modellen holder.... Dette er endnu en fundamental forskel på naturvidenskab og religion: Naturvidenskab beskæftiger sig ikke med absolutte sandheder! Den kommer udelukkende med konklusioner baseret på en antagelse om at modellerne kan anvendes. Det fantastiske, og hele grunden til at naturvidenskab kan bruges til noget, er at modellerne meget ofte rent faktisk kan anvendes! side 36

39 Eksempel 9 Flemming ønsker at ekstrapolere på sin model for sammenhængen mellem myrers kropslængde (inklusive hovedet) og deres hovedstørrelse. Han forestiller sig en kæmpestor mutantmyre med en samlet kropslængde på en meter. Ved at indsætte X = 1000 i modellen, kan han konkludere, at hvis modellen holder for ekstremt store mutantmyrer, så vil en sådan myre have et hoved på: Y = 0,21 X 1, altså over 1,5 meter stort! Flemming opdager altså at den slags kæmpemyrer vil have et hoved som er større end hele kroppen! Det kan naturligvis ikke passe, så han stiller sig selv det interessante spørgsmål: Ved hvilken kropsstørrelse vil myrens hoved udgøre hele kroppen (under forudsætning af at modellen holder!). Dette svarer til at bestemme hvilken værdi af X, der opfylder at: dvs. og Y = X 0,21 X 1,29 = X Ved at tegne grafer for funktionerne f(x) = 0,21 x 1,29 g(x) = x i det samme koordinatsystem (figur 14, ser Flemming at ligningen f(x) = g(x) har netop en løsning ved x 210. Han får et grafprogram til at bestemme løsningen mere præcist til: x 217. Dermed kan han konkludere at såfremt hans model holder for ekstremt store myrer, så vil de aldrig kunne blive større end 21,7 centimeter i samlet kropslængde 18. side 37

40 Figur 14: Skæring mellem de to grafer fra eksempel Modelkontrol Man kan kontrollere sin model ved at forsøge at foretage nogle af de målinger som den forudsiger. Skulle det nogle gange vise sig at modellens forudsigelser ikke holder, er der mange som tror at naturvidenskaben har fejlet. Ofte ser man avisartikler med overskrifter i stil med: Relativitetsteorien modbevist! Men sådanne overskrifter er noget vrøvl, for relativitetsteorien har jo aldrig påstået at den var rigtig! Tværtimod er det som regel mere interessant at finde målinger som strider imod en models forudsigelser: Det betyder blot at man har fundet en begrænsning af hvad modellen kan bruges til, og at der skal arbejdes på at finde en udvidet model som både kan forklare de nye data og stadig stemme overens med den gamle model i de situationer hvor denne var korrekt. Hvis det f.eks. skulle vise sig at Newtons tyngelov giver forkerte forudsigelser af galaksers bevægelse, betyder det bestemt ikke at den skal kasseres: Man kan stadig bruge den til at forudsige rumsonders bevægelse i solsystemet så præcist at man kan sende dem til Mars og forudsige deres landingssted med få hundrede meters nøjagtighed! side 38

41 7 Vaskebjørne i Europa Øvelse 8 Antallet af vaskebjørne i Europa er vokset eksponentielt fra 285 individer i 1956 til omkring individer i (A) Opstil ud fra de givne oplysninger et funktionsudtryk af formen: f(x) = b a x hvor x angiver antallet af år efter 1956, f(x) angiver antallet af vaskebjørne i Europa, og a og b er positive konstanter. (B) Giv et estimat på antallet af europæiske vaskebjørne i 2008 under antagelse af at udviklingen fortsætter. (C) Hvilket år overstiger antallet af vaskebjørne en million? (D) Det er sandsynligt at hele vaskebjørnebestanden i Europa nedstammer fra en gruppe på ca. 10 individer som på et tidspunkt er indvandret fra Asien. Hvornår har denne indvandring fundet sted, hvis udviklingen er foregået som modellen beskriver? 8 Kausalitet og korrelation Til sidst en lille advarsel om to ord der meget ofte bliver forvekslet af journalister, politikere og andre folk der ikke har fulgt med i matematiktimerne. Når man har fundet en model der præcist eller approksimativt beskriver sammenhængen mellem to fysiske størrelser, siger man at de to størrelser er korrelerede, eller at der er korrelation mellem dem. Man skal passe utroligt meget på med at gøre en korrelation til en dybere sandhed end den er. Der kan påvises en approksimativt lineær side 39

42 korrelation mellem de underligste ting. Her er et par eksempler: Antallet af pirater i verden og den globale opvarmning. Antallet af hajangreb ved en strand og salget af is i den nærliggende kiosk. Børns ordforråd og antallet af huller i deres tænder. Men: Bare fordi den globale gennemsnitstemperatur er steget i takt med at antallet af pirater er faldet, kan man ikke nødvendigvis modarbejde den globale opvarmning ved at springe ud som pirat! Og antallet af hajangreb er velsagtens korreleret til salget af is fordi begge dele afhænger af vejret og antallet af badegæster. Det er ihvertfald næppe iskiosken som tiltrækker hajerne, eller hajerne der køber is. Og man giver da slet ikke sine børn ekstra meget slik for at øge deres ordforråd! Korrelationen skyldes nærmere at både ordforrådet og antallet af huller i tænderne er størst hos de ældste børn. Hvis en korrelation mellem to størrelser rent faktisk skyldes en sammenhæng, hvor en ændring af den ene størrelse forårsager ændringer af den anden siger man at størrelserne er kausalt forbundne. Der findes mange gode eksempler på kausale sammenhænge i naturvidenskaben: Trykket i en beholder med gas er kausalt forbundet med temperaturen og gasmængden. Den kraft man slår sig med er kausalt forbundet med den højde man falder ned fra i et tyngdefelt. På en måde kan man sige at en kausal sammenhæng er en korrelation som er blevet voksen. I starten har man tilfældigt observeret at gasser i lukkede beholdere udviser højere tryk hvis temperaturen øges. Men efter at have fundet præcis den samme korrelation mellem tryk og temperatur under andre omstændigheder, har man ophøjet det til en naturlov 19. Og eftersom utallige andre eksperimenter 19 Kendt under navnet idealgasloven side 40

43 understøtter en dybere forståelse af både temperatur og tryk som et udtryk for molekylbevægelse, kan man tillade sig at kalde de to størrelser kausalt forbundne. Med disse ord på plads slutter vi dokumentet med at gentage advarslen (fordi den ikke kan gentages ofte nok): Korrelation alene er aldrig et bevis for kausal sammenhæng! side 41