User s guide til cosinus og sinusrelationen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "User s guide til cosinus og sinusrelationen"

Transkript

1 User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Tilstrækkelig information 2 3 Værktøj 4 4 Eksempler Tre kendte sider To sider og en mellemliggende vinkel To vinkler og en side Cosinusrelationen eller sinusrelationen? Næsten tilstrækkelig information

3 Resumé I dette dokument giver vi eksempler på hvordan cosinusog sinusrelationerne kan bruges til at løse problemer vedrørende trekanter som ikke er retvinklede. 1 Introduktion I en retvinklet trekant, kan man bestemme alle sidelængderne og vinklerne hvis men kender enten to af sidelængderne (med information om hvorvidt disse er kateter eller hypotenuse i trekanten) eller en sidelængde og en af de ikke-rette vinkler (med information om hvor siden og vinklen ligger i forhold til hinanden). Når trekanten ikke er retvinklet, bliver historien lidt mere kompliceret. For det første er der ikke noget der hedder kateter og hypotenuse længere. Derfor gælder Pythagoras sætning og vores resultater om sinus, cosinus og tangens til vinklerne i en retvinklet trekant ikke! I stedet har vi to andre stykker værktøj, nemlig cosinusrelationen og sinusrelationen. Forudsætninger: Det er en god ide at kende cosinusrelationen 1 og sinusrelationen 2 i forvejen, for eksempel ved at have læst (og forstået) et bevis for dem. Desuden bør du have prøvet at løse problemer med retvinklede trekanter inden du kaster dig ud i de generelle tilfælde 3. Sidst, men allervigtigst, skal du have træning i at løse ligninger, fordi alle eksemplerne havner i at man skal isolere en ukendt størrelse i en ligning 4. 1 Læs et bevis for cosinusrelationen her 2 Læs et bevis for sinusrelationen her 3 Læs om problemløsning i retvinklede trekanter her 4 Læs om simple ligninger her og om andengradsligninger her side 1

4 2 Tilstrækkelig information Vi starter med at minde om hvor meget man skal vide om en trekant før man kan beregne alle sidelængder og vinkler i trekanten. Det er altid en god ide at sikre sig at man har nok informationer inden man går i gang med at beregne noget som helst. Ellers ender man som regel med at sidde fast eller køre i cirkler. Hvis man har tilstrækkelig information om en trekant til at alle de resterende sidelængder og vinkler kan beregnes, så siger man med et fint udtryk at trekanten er fastlagt op til kongruens. Det forklarer navnet på den følgende sætning 5. Sætning 1 (Kongruenssætningen) En trekant er fastlagt op til kongruens hvis man har et af følgende sæt af oplysninger om den: 1. Længden af alle tre sider. 2. Længden at to af siderne og den vinkel som ligger mellem disse sider. 3. Længden af en side og to af vinklerne med oplysning om hvor disse vinkler ligger i forhold til siden. Det er næsten endnu vigtigere at huske hvilke oplysninger der ikke er tilstrækkelige til at fastlægge en trekant. Det er ret nemt at indse at det ikke er nok at kende de tre vinkler. To trekanter kan jo sagtens være ensvinklede uden at være lige store. 5 Kongruens betyder flytninger, rotationer og spejlinger. Så når man siger op til kongruens så er det fordi man selvfølgelig godt kan tegne to forskellige trekanter med præcis de samme sidelængder og vinkler. Men disse trekanter vil altid være flytninger, rotationer og/eller spejlinger af hinanden. side 2

5 Det er til gengæld sværere at indse hvorfor man ikke altid kan klare sig med to sider og en vinkel (se mulighed (2) i sætning 1). Det kan du se i eksempel 6. Her vil vi lige vise hvorfor mulighed (3) i sætning 1 kræver at man ved hvor de givne vinkler ligger i forhold til siden. Eksempel 1 Hvis man f.eks. kun får at vide at en trekant har en side med længde 5, og at to af dens vinkler er henholdsvis 21 og 32, så kan man ikke vide hvilken af de tre trekanter på figur 1 der er tale om. Figur 1: De tre forskellige trekanter i eksempel o 21 o 32 o 5 21 o 32 o 21 o 5 side 3

6 3 Værktøj Vi får brug for følgende sætninger i eksemplerne: Sætning 2 I enhver trekant er summen af de tre vinkler lig med 180. Sætning 3 (Cosinusrelationen) I en trekant med sidelængder a, b og c, og hvor C er vinklen som står over for siden med længde c (se figur 2) gælder: a 2 + b 2 = c a b cos(c) Figur 2: Navngivning af sider og vinkler i sætning 3. c a b C Når man skal bruge cosinusrelationen er det vigtigt at man kan formulere den uden brug af bogstaver. Man kan sige den på sloganform som at: (Peg på tegningen ovenover mens du læser!) side 4

7 I en trekant er: Den ene side i anden plus den anden side i anden lig med den tredje side i anden PLUS to gange den første side gange den anden side gange cosinus til vinklen mellem disse sider. Sætning 4 (Sinusrelationen) I en trekant med sidelængder a, b og c og vinkler A, B og C, placeret som vist på figur 3, gælder: sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c Figur 3: Navngivning af sider og vinkler i sætning 4. B c a A b C Lige som med cosinusrelationen er det vigtigt at man kan formulere sinusrelationen uden brug af bogstaver. Man kan sige den på sloganform som at: side 5

8 I en trekant er sinus til en vinkel, divideret med længden af den modstående side det samme for alle tre vinkler side 6

9 4 Eksempler 4.1 Tre kendte sider Eksempel 2 I en trekant med navngivne sidelængder og vinkler som på figuren nedenfor, har vi oplyst: a = 4 b = 2 c = 3 og vi vil gerne bestemme alle vinklerne. Eftersom de givne oplysninger fastlægger trekanten op til kongruens er vi sikre på at det kan lade sig gøre. A c=3 b=2 B a=4 C Bestemmelse af C: Idet vi leder efter en sammenhæng mellem kendte og ukendte størrelser, falder vi straks over cosinusrelationen: a 2 + b 2 = c 2 + 2ab cos(c) a 2 + b 2 c 2 = 2ab cos(c) side 7

10 a 2 + b 2 c 2 2ab = cos(c) ( a C = cos b 2 c 2 ) 2ab Vi indsætter de kendte størrelser, og har dermed: ( 4 C = cos ) 46, Bestemmelse af B: Igen leder vi efter sammenhænge mellem kendte og ukendte størrelser. Denne gang kunne vi godt bruge sinusrelationen, idet vi nu kender vinkel C: sin(b) b = sin(c) c Men vi vælger i stedet at bruge cosinusrelationen en gang til. (Prøv meget gerne at fortsætte med sinusrelationen og se at det giver samme resultat, men se derefter eksempel 5 hvis du vil se hvorfor cosinusrelationen generelt er bedre til at bestemme vinkler). Det er lidt sværere at bruge cosinusrelationen denne gang, fordi der er byttet rundt på bogstavnavnene. (Det er derfor man skal lære at formulere den uden brug af bogstaver.) Hvis man ønsker at involvere vinkel B, så spiller a og c rollen som de to første sider mens b spiller rollen som den tredje side. Derfor ser cosinusrelationen sådan her ud: a 2 + c 2 = b 2 + 2ac cos(b) a 2 + c 2 b 2 = 2ac cos(b) a 2 + c 2 b 2 = cos(b) 2ac side 8

11 ( a B = cos c 2 b 2 ) 2ac Vi indsætter de kendte størrelser, og har dermed: ( 4 B = cos ) 28, Bestemmelse af vinkel A: Den sidste vinkel kan nemt bestemmes, idet sætning 2 siger at: A + B + C = 180 A = 180 B C ,96 46,57 = 104, To sider og en mellemliggende vinkel Dette tilfælde minder meget om eksempel 2, fordi cosinusrelationen igen kan klare alting for os. Derfor vil vi være lidt mere kortfattede denne gang. Vi begynder også at bruge lidt mere eksotiske navne til sidelængderne og vinklerne. Eksempel 3 I trekanten på tegningen nedenfor kender vi sidelængderne: g = 7 k = 10 og den mellemliggende vinkel: D = 17 side 9

12 M k=10 a D=17 o g=7 N Bestemmelse af sidelængden a: Cosinusrelationen giver os en sammenhæng mellem kendte og ukendte størrelser: g 2 + k 2 = a 2 + 2gk cos(d) a 2 = g 2 + k 2 2gk cos(d) a = g 2 + k 2 2gk cos(d) (Bemærk at vi kan glemme den negative løsning, fordi a er en sidelængde i en trekant.) Idet vi indsætter de kendte størrelser, får vi: a = cos(17 ) 3,89 Bestemmelse af vinklerne De sidste to vinkler kan nu bestemmes på præcis samme måde som i eksempel 2. Første bruger vi en cosinusrelation til at bestemme vinkel N: N = cos 1 ( a 2 + g 2 k 2 2ag a 2 + g 2 = k 2 + 2ag cos(n) ) ( 3,89 cos ) 131,2 2 3,89 7 side 10

13 Og til sidst bruges sætning 2 til at bestemme vinkel M: M + N + D = 180 M = 180 D N ,2 = 31,8 Her kommer lige en opgave for at sikre at du har styr på cosinusrelationen: Øvelse 1 Tegn en trekant, hvor du på forhånd har bestemt hvor stor den ene vinkel skal være og hvor lange de to sider som udgår fra denne vinkel skal være. (Bemærk at dette fastlægger trekanten op til kongruens.) Prøv nu at beregne længden af den sidste side i trekanten og størrelsen af de to sidste vinkler. Gå frem på følgende måde: 1. Brug cosinusrelationen til at finde den sidste side. 2. Brug cosinusrelationen til at finde en af de andre vinkler. 3. Beregn den sidste vinkel. 4.3 To vinkler og en side Denne gang kan vi ikke bruge cosinusrelationen fra starten, fordi den altid involverer alle tre sider. Og eftersom vi kun kender en enkelt sidelængde vil dette give en ligning med (mindst) to ukendte størrelser. Heldigvis kommer sinusrelationen til undsætning i præcis denne situation. side 11

14 Eksempel 4 I en trekant med navngivne sidelængder og vinkler som vist på figuren nedenfor, har vi oplyst: a = 5 B = 44 C = 64 og vi vil gerne bestemme de to andre sidelængder. Eftersom de givne oplysninger fastlægger trekanten op til kongruens (det fremgår nemlig af tegningen hvor den givne side ligger i forhold til de to vinkler) er vi sikre på at dette kan lade sig gøre. A c b B=44 o a=5 C=64 o Vi kan lynhurtigt beregne den sidste vinkel, idet: A + B + C = 180 A = 180 B C = = 72 side 12

15 Vi påkalder nu sinusrelationen. Hvis vi starter med at bestemme sidelængden b, så er den relevante sammenhæng mellem kendte og ukendte størrelser (husk at A nu er kendt): sin(a) a b sin(a) a b = sin(b) = sin(b) b = sin(b) a sin(a) Idet vi indsætter de kendte størrelser får vi: b = sin(44 ) 5 sin(72 ) 3,65 På præcis samme måde kan c bestemmes. Her er den relevante sammenhæng enten: sin(a) a = sin(c) c eller: sin(b) = sin(c) b c Vi kunne endda også bruge cosinusrelationen, idet der nu er to kendte sidelængder. Uanset hvilken sammenhæng vi starter med, ender vi med samme resultat, nemlig (Prøv selv!) c 4,73 side 13

16 4.4 Cosinusrelationen eller sinusrelationen? Vi har tidligere antydet (se eksempel 2) at cosinusrelationen er bedre end sinusrelationen i de tilfælde hvor begge dele kan bruges. Det kan man skrive en lang historie om grunden til 6, men her vil vi blot give et enkelt eksempel hvor det kan gå galt med sinusrelationen. Eksempel 5 I en trekant med navngivne sidelængder og vinkler som vist på figuren nedenfor, har vi oplyst sidelængderne: a = 6 og vinklen: b = 8 c = 3 C = 18,57335 A c B b a C Lige som tidligere har vi tilstrækkelige (endda rigelige!) informationer til at trekanten er fastlagt 7. Derfor bør vi kunne beregne de sidste to vinkler uden problemer. 6 Det skyldes at cosinus er en injektiv funktion på hele intervallet [0 ; 180 ] Eller mere korrekt: på intervallet [0; π]. Det er sinus ikke! Du kan læse mere om injektivitet og konstruktionen af de inverse trigonometriske funktioner her. side 14

17 Hvis vi nu vil bestemme vinkel B, så er både cosinusrelationen og sinusrelationen fristende at tage frem. Vi prøver med sinusrelationen: sin(b) = b sin(c) c sin(b) b = sin(c) c = 8 sin(18,57335 ) 3 B = sin 1 (0,84938) 58,14 0,84938 Det fremgår meget tydeligt af tegningen at dette er forkert! Hvis vi derimod kaster os over cosinusrelationen (idet vi involverer vinkel B) så siger den: a 2 + c 2 = b 2 + 2ac cos(b) cos(b) = a2 + c 2 b 2 2ac 0,5278 ( a B = cos c 2 b 2 ) cos 1 ( 0,5278) 121,86 2ac Forklaring Hvorfor gik den første udregning i eksempel 5 egentlig galt? Bemærk at der absolut intet er forkert ved sinusrelationen! Fejlen opstod altså ikke fordi sinusrelationen sagde noget forkert, eller fordi vi brugte den forkert. Der er heller nogen regnefejl eller problemer med at lommeregneren har stået i radianer. Fejlen ligger i den side 15

18 allersidste konklusion, markeret med rødt. Problemet er nemlig at der findes to vinkler mellem 0 og 180 som opfylder at sinus til den giver 0,84938! Nemlig vinklen: og vinklen: 58, ,14457 = 121,86 (Se figur 4) Den inverse sinus finder kun en af disse mulige løsninger, og det er i dette tilfælde desværre den forkerte. Figur 4: To forskellige vinkler med samme sinusværdi o -x x -1 Problemet er omtrent det samme som når man løser ligningen ved at konkludere at x 2 = 16 x = 16 = 4 Her finder kvadratroden kun en af de mulige løsninger (nemlig den positive), og så skal man selv huske at det findes en mulighed mere (nemlig x = 4). side 16

19 Eftersom cosinus ikke har det samme problem (der findes ikke to vinkler mellem 0 og 180 som har samme værdi af cosinus), begår vi aldrig denne fejl når vi bruger cosinusrelationen (og den inverse cosinus) til at bestemme vinkler i trekanter med. En ekstra bemærkning om informationer Man kan også tolke de to udregninger i eksempel 5 på en anden måde: I begge tilfælde smider vi nemlig en af de givne informationer væk. Idet vi bruger sinusrelationen får vi slet ikke brug for sidelængden a. Dermed benytter vi altså kun information om to sidelængder og en vinkel som ikke ligger mellem de to sider! Hvis man kigger på sætning 1 kan man se at disse tre informationer slet ikke fastlægger trekanten, og dermed er det igen ret naturligt at udregningen kan gå galt. Omvendt: Idet vi bruger cosinusrelationen får vi ikke brug for vinklen C. I dette tilfælde benytter vi altså kun informationen om de tre sidelængder. Men denne information er til gengæld tilstrækkelig ifølge sætning 1, så derfor er det meget naturligt at fremgangsmåden her leder til det rigtige resultat. 4.5 Næsten tilstrækkelig information Vi slutter med et avanceret eksempel hvor de givne informationer ikke fastlægger trekanten. I eksempel 5 så vi hvordan sinusrelationen gav to mulige løsninger, hvoraf kun den ene var rigtig. Mens cosinusrelationen kun gav den rigtige løsning. Denne gang oplever vi at begge fremgangsmåder giver to mulige løsninger. Og det viser sig at være fordi begge løsningerne er rigtige! Derfor er dette et godt skræmmeeksempel for dem som nogle gange glemmer at en ligning kan have flere løsninger. side 17

20 Eksempel 6 Vi bygger dette eksempel ud fra en lille historie fra virkeligheden: Anne og Bente (to piger med temmelig excentrisk opførsel) har præcis lige lange ben, og derfor tager de præcis lige lange skridt. For at fejre dette stiller de sig begge henne ved flagstangen, som befinder sig i punktet F. Efter at have hejst flaget siger Bente til Anne: Jeg stiller mig lige 20 skridt væk og kigger på flaget. Fint nok, siger Anne. Jeg vil stille mig 100 skridt væk og kigge på flaget. Derefter går Anne og Bente i to forskellige retninger. Anne går 100 skridt, og Bente går 20 skridt. De stiller sig begge op og kigger på flaget, og pludselig råber Anne: Hey, Bente! Bliv lige stående. Jeg vil beregne hvor lang afstanden imellem os er. Helt uden at flytte mig! Anne flår sin vinkelmåler frem af tasken og måler vinklen mellem flagstangen og Bente, set derfra hvor hun står. Den viser sig at være: A = 10 Derefter laver hun en hurtig skitse af situationen: m=20 F B x n=100 A=10 o side 18

21 De kendte størrelser i den fremkomne trekant er altså en vinkel: A = 10 og to sidelængder: m = 20 n = 100 Pokkers også, udbryder Anne, idet hun indser at trekanten ikke er fastlagt af de forhåndenværende oplysninger. Den kendte vinkel ligger jo ikke mellem de to kendte sider! Første forsøg Alligevel giver hun sig til at regne. Hvis det er afstanden x hen til Bente der skal bestemmes, er det jo fristende at opskrive en cosinusrelation som involverer den kendte vinkel: x 2 + n 2 = m 2 + 2nx cos(a) Det tyder godt! Her er en ligning, hvor x er den eneste ukendte størrelse. Hun indsætter de kendte størrelser: x = x cos(10 ) og omskriver med lidt hjælp fra lommeregneren: x = 196,96 x x 2 196,96 x = 0 Men det er jo en andengradsligning! Anne er heldigvis ekspert i at løse andengradsligninger, så hun udregner hurtigt diskriminanten: d = ( 196,96) ,85 side 19

22 Derfor har andengradsligningen to løsninger, nemlig: og: x 1 = ( 196,96) + 393, x 2 = ( 196,96) 393, ,4 88,6 Andet forsøg Øv, også! siger Anne. Jeg tænkte det nok. Der er to løsninger, og jeg kan ikke finde ud af hvilken en der er den rigtige. Men Anne giver ikke op så let. I stedet for at beregne x, kunne hun prøve at beregne vinklen B. Jeg kunne bruge en sinusrelation! udbryder hun. Vinkel B er jo den eneste ukendte i denne sammenhæng her: sin(b) n Hun indsætter kendte størrelser: Dvs. sin(b) 100 = sin(a) m = sin(10 ) 20 sin(b) = 100 sin(10 ) 0, Men Anne er bestemt ikke dum. Hun ved ganske godt at den slags ligninger har flere løsninger. Den ene løsning kan findes ved: B 1 = sin 1 (0,868) 60,25 Men der er også en anden løsning mellem 0 og 180, nemlig: B 2 = ,25 = 119,75 side 20

23 Konklusionen Igen to muligheder, sukker Anne. Hvad er det for en underlig trekant? Hvis hun kigger på sin tegning, ser de 119,75 ud til at passe bedst. Hun skal lige til at smide den anden løsning ud da hun indser noget meget vigtigt. Uha! siger hun til sig selv. Det er jo kun fordi jeg har tegnet min skitse sådan. Der er i virkeligheden to måder at tegne de givne informationer på. Hun tilføjer to streger til sin tegning og sukker dybt: 20 B? F B? 20 x n=100 A=10 o Jeg finder aldrig ud af hvor langt der er mellem os. De informationer jeg har passer med to forskellige muligheder! råber hun til Bente. Øvelse 2 Nu får Bente også lyst til at prøve. Hun hiver sin egen vinkelmåler frem og måler vinklen mellem flagstangen og Anne. Den viser sig at være 60,25. (Bemærk: Det var også en af de muligheder Anne regnede sig frem til.) Efter 10 minutters ivrig skriblen og lidt tastning på lommeside 21

24 regneren råber Bente: Hahahaha! Du er da dum, Anne! Jeg kan sagtens beregne afstanden mellem os! Hvordan kan det være? Prøv at lave de samme beregninger set fra Bentes synsvinkel (se figur 5) og hold øje med hvad der sker med den anden løsning. Husk at Bente ikke kender vinkel A, og heller ikke resultaterne af Annes beregninger. Figur 5: Bentes arbejdstegning til brug i opgave 2 B=60,25 o m=20 F x n=100 A side 22

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Læringsprogram Pro C

Læringsprogram Pro C Læringsprogram Pro C TriangleSolver Emil Lynegaard & Steffen Immerkær 3.6i Emil Lynegaard (emilcl10) Steffen Immerkær (steffenhi10) 1 Indholdsfortegnelse Emil Lynegaard & Steffen Immerkær 3.6i Abstract...

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Ny skriftlighed - Matematik

Ny skriftlighed - Matematik Ny skriftlighed - Matematik Indhold Andres tanker og ideer:... 2 Andre nyttige links:... 2 Kompetencer:... 2 Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer... 3 Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det.

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Emne: procent og rente: 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011 1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Herning HF og VUC Hf Fag og niveau Matematik C Lærer(e) Hold

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere