Omskrivningsgymnastik

Transkript

1 Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion Om regneregler Forlæns, baglæns og ordet formel De neutrale elementer Det additivt neutrale element (nul) Det multiplikativt neutrale element (et) De associative og kommutative love De associative love De kommutative love Regning med tal og bogstaver Den distributive lov At gange ind i parenteser At sætte uden for parentes Samling af ligeværdige led Inverse elementer Minus operationen Division Afledte regler 23

3 Resumé Dette dokument er skrevet i en lille bar ved navn Almendro 13 i Latinadistriktet i Madrid. Vi gennemgår vi de basale regler for omskrivninger af taludtryk med masser af eksempler på hvordan de bruges. 1 Introduktion En stor del af gymnasiematematik handler om at nærstudere et eller andet regneudtryk 1, hvori der indgår kendte og ukendte talstørrelser samt nogle regneoperationer. Det foregår som regel ved at man omskriver udtrykket til noget som ser anderledes ud, men er præcis det samme. F.eks. har du sikkert set masser af gange at udtrykket er det samme som x + x + x 3 x Nogle gange kan det være svært at følge med i de mange omskrivninger som foregår på tavlen, og man fristes til at tænke at matematiklæreren opfinder en ny regel hver eneste gang. Den gode nyhed er: Det er overhovedet ikke rigtigt! Langt de fleste omskrivninger i gymnasiematematik (inklusive den ovennævnte) kan faktisk foretages ved at anvende en af de fem regneregler i dette dokument. Den dårlige nyhed er: Livet ville være ekstremt besværligt hvis man skulle reducere alle omskrivninger til anvendelser af de fem regneregler i dette dokument. Nogle anvendelser af de fem regler i kombination bliver brugt så mange gange at man har givet dem deres eget navn. På den måde kan man nogle gange lave mange ting på en 1 Læs om udtryk her

4 gang og bare sige at vi f.eks. dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte. I det sidste afsnit samler jeg nogle af de mest brugte af den slags ekstraregler. Og når man definerer nye regneoperationer (såsom potensopløftning) så kommer der naturligvis også nye regler, men disse regler er også bare en sammensætning af de fem første regler. Sagt med andre ord: De fem regler er så vigtige at hvis ikke man kender dem alle fem (helst forlæns, baglæns, udvendigt, indvendigt, i søvne og på tysk), så har man ikke en chance for at følge med i omskrivningerne når det går lidt stærkt. Forudsætninger: I princippet kan du læse dette dokument helt uden nogen forudsætninger. Selv hvis du intet ved om tal overhovedet 2. Men det bliver selvfølgelig nemmere hvis du allerede har lidt erfaringer med at regne med ukendte størrelser. Det er dog vigtigt at du forstår hvordan parenteser fungerer. Du kan enten vælge at læse den lange historie om tal og regneoperationer 3, eller du kan nøjes med følgende ultrakorte opsummering af det allervigtigste: 1. Parenteser omslutter noget som skal betragtes som en historie helt for sig selv. Jeg kan godt lide at tænke på parenteser som en halvgennemsigtig indpakning. Man kan vælge at kigge ind og se hvad den indeholder. Men man kan også vælge at lade være, og bare betragte pakken som en helhed. Derfor skal udregningen: 2 (3 + 4) forstås som at man vil gange 2 med resultatet af den udregning som står inde i parentesen. 2 Man kan lege lidt med tanken om at møde et voksent menneske som aldrig har hørt om tal. I så fald er det en god ide at fortælle ham eller hende om reglerne i dette dokument før alt andet. 3 Den kan du finde her

5 2. Man har vedtaget et såkaldt hierarki (en slags rækkefølge ) for hvor hurtige de forskellige regneoperationer er. Det betyder at når en udregning indeholder flere forskellige regneoperationer (og ingen parenteser), så skal man automatisk læse udregningen som om der var en parentes om de udregninger som er hurtigst. Det eneste som du skal huske for at læse dette dokument er at gange er hurtigere end plus. Derfor skal udregningen: opfattes som om der stod: (3 4) 3. Nogle gange er der indbygges en slags usynlig parentes i den måde vi skriver ting på. Et vigtigt eksempel er brøkstreger. En brøk skal altid læses som om der var en parentes om hele tælleren (det som står over brøkstregen) og om hele nævneren (det som står under brøkstregen). Derfor skal udregningen: opfattes som der stod: (2 + 3) (4 + 5) = Om regneregler Når man omskriver et regneudtryk hvori der indgår ukendte størrelser, skal man selvfølgelig passe på at man omskriver rigtigt. F.eks. må man gerne omskrive udtrykket x + x + x til 3 x fordi de to regneudtryk giver samme resultat, uanset hvad x måtte være. Men omvendt må man f.eks. absolut ikke omskrive udtrykket: a + b x + y

6 til udtrykket a x + b y fordi de to udtryk bestemt ikke giver det samme resultat, hvis f.eks. a = 1, b = 1, x = 1 og y = 1. (Regn selv efter!) Man må altså kun foretage lovlige omskrivninger, hvor man benytter en regneregel som er rigtig. I princippet skal enhver regneregel bevises før den må bruges, men de fem regneregler i dette dokument er en undtagelse. Det er fordi de er så fundamentale 4 at man ville være nødt til at fordybe sig meget grundigt i hvordan de reelle tal i første omgang er defineret før man kunne lave et sådant bevis. Og det viser sig at være meget sværere end man skulle tro. 1.2 Forlæns, baglæns og ordet formel En omskrivningsregel som denne her 5 x + x + x = 3 x fortæller os at to udtryk (som muligvis ser meget forskellige ud) er ens. Altså at det ene udtryk frit kan erstattes af det andet. Det er vigtigt at huske at en sådan erstatning kan gå begge veje!. Nogle gange står man med udtrykket til venstre for lighedstegnet og har lyst til at bruge udtrykket til højre i stedet for. Og nogle gange er det lige omvendt! Hvis du synes at denne tanke er meget underlig, så er det sandsynligvis fordi du har fået et (forkert) indtryk af matematik. Nemlig at det handler om at sætte tal ind i en formel og regne svaret ud. 4 Man kunne endda sige at de er aksiomer for de reelle tal. Altså nogle regler som definerer hvad vi overhovedet mener med de reelle tal. Læs mere om aksiomer og de reelle tal her 5 Vi skal snart se at dette ikke er en regel i sig selv, men derimod en kombination af to af de fem regler i dette dokument.

7 Mange elever har (desværre) en opfattelse af at ordet formel betyder en magisk trylleformular som fremskaffer det rigtige facit til en opgave. Hvis du har denne opfattelse, så prøv med følgende lille mentale øvelse: Hver eneste gang du ser et lighedstegn, f.eks. y = 3 x + 1 så skriv det ned på et stykke papir, omvendt! Altså i vores eksempel: 3 x + 1 = y og sig til dig selv: Der står nøjagtigt det samme! og så i øvrigt læse alle lighedstegn som et udsagn om at to objekter er ens, og ikke som en opskrift på hvordan en af dem kan regnes ud

8 2 De neutrale elementer De to tal, 0 og 1, udgør de såkaldt neutrale elementer i de reelle tal. At være neutral vil sige at man ikke ændrer noget. Og det er præcis hvad 0 og 1 gør (eller rettere: ikke gør) når man henholdsvist lægger 0 sammen med et andet tal, og når man ganger 1 med et andet tal. Lad os formulere helt præcist hvad vi mener med det: 2.1 Det additivt neutrale element (nul) Tallet 0 er neutralt med hensyn til addition. Det betyder at hvis man lægger et tal sammen med nul, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1A. For ethvert tal x, gælder: x + 0 = x Regel 1A er (overraskende nok) meget mere nyttig end man skulle tro. Her er et par eksempler. Der kommer flere i resten af dokumentet. Eksempel 1. Hvis man f.eks. møder følgende regneudtryk (hvor a og b er to ukendte reelle tal): 6a b 2 + a b + 0 så kan man tillade sig at droppe nullet og omskrive: 6a b 2 + a b + 0 = 6a b 2 + a b Hvis ikke du er imponeret over det foregående eksempel, så er det helt i orden. Du vil dog opdage senere at der meget ofte opstår situationer hvor præcis denne omskrivning skal bruges. Eksempel 2. Man bruger tit regel 1A baglæns, idet man kan tillade sig at lægge nul til alle de steder man har lyst til. Det kan være nyttigt hvis man

9 f.eks. arbejder med ligninger af den generelle type a : y = ax + b hvor a og b er givne reelle tal. Hvis man en dag møder ligningen: y = 5x så kan man komme i tvivl om hvorvidt den er af ovennævnte type. ( Der er jo ikke noget b, hører man ofte elever sige med tårer i øjnene). Men hvis man omskriver den til: y = 5x + 0 er det nemt at se at det er en ligning af den nævnte type, nemlig svarende til at b er nul. a Denne type ligninger beskriver rette linjer i koordinatsystemet. Læs om rette linjer her 2.2 Det multiplikativt neutrale element (et) Tallet 1 er det neutrale element med hensyn til multiplikation. Det betyder at hvis man ganger et tal med 1, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1B. For ethvert tal x, gælder: x 1 = x Lad os igen starte med et meget simpelt eksempel (som også er mere nyttigt end man umiddelbart tror).

10 Eksempel 3. Hvis man en dag møder udregningen: 1 (3x + 4x ) så kan man tillade sig at fjerne 1-tallet og omskrive: 1 (3x + 4x ) = 3x + 4x Eksempel 4. Ligesom med regel 1A kan regel 1B være endnu mere nyttig baglæns. F.eks. når man arbejder med rette linjer. Hvis man har en ligning med ligningen: y = x + 7 Så kan det igen være svært at se hvad der spiller rollen som hældningskoefficienten a i forhold til den generelle linjes ligning: y = ax + b Men regel 1B siger jo at vi gerne må skrive ligningen som: y = 1 x + 7 og nu er det nemt at se at der er tale om en linje med hældningskoefficient 1. Øvelse 5. En generel andengradsligning er en ligning af typen: a x 2 + b x + c = 0

11 Her er en konkret andengradsligning: x 2 + x = 0 Hvilke tal spiller rollen som a, b og c i denne ligning?

12 3 De associative og kommutative love De næste love kunne også kaldes for flytte rundt lovene. De handler om at man (i nogle bestemte situationer!) må ændre på den rækkefølge som en udregning skal foretages i. 3.1 De associative love De første to love kaldes associative. Det er et meget mystisk navn. At associere betyder noget i retning af at tillægge mening eller give betydning. Og jeg vil forsøge at forklare hvorfor det egentlig er et ret fornuftigt navn efter at have givet et par eksempler. Lovene siger (på sloganform) at man må flytte rundt på parenteser så længe det er den samme regneoperation (enten plus eller gange) alle steder. De ser sådan her ud når man skriver dem præcist: Regel 2A. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x + y) + z = x + (y + z) Regel 2B. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x y) z = x (y z) Eksempel 6. I sin simpleste form kan regel 2A bruges til at omskrive udregningen: 2 + (7 + a) til 2 + (7 + a) = (2 + 7) + a = 9 + a Til det næste eksempel skal du lige huske at vi nogle gange lader være med at skrive gange mellem et tal og et bogstav.

13 Eksempel 7. I sin simpleste form kan regel 2B bruges til at omskrive udregningen: 2 (5x) til 2 (5x) = 2 (5 x) = (2 5) x = 10x De associative love bliver lidt sjovere når man bruger dem mere end én gang. Så kan man nemlig lave nogle ret vilde flytninger af parenteser. Eksempel 8. Regneudtrykket er det samme som (a + ((b + c) + d)) + e (a + b) + (c + (d + e)) For at se hvorfor det er rigtigt skal man mestre regel 2A på et lidt vildere niveau. Jeg prøver lige med lidt farvelægning for at illustrere hvad der spiller rollen som x, y og z i hver omskrivning. Vi omskriver (bemærk at hele den blå parentes spiller rollen som et y ): (a + ((b + c) + d)) + e = a + (((b + c) + d) + e) Derefter omskriver vi (bemærk at hele ændringen denne gang foregår inde i parentesen som er lagt til a): a + (((b + c) + d) + e) = a + ((b + c) + (d + e))

14 og nu: a + ((b + c) + (d + e)) = a + (b + (c + (d + e))) og til sidst (Bemærk at vi denne gang bruger regel 2A baglæns ): a + (b + (c + (d + e))) = (a + b) + (c + (d + e)) Normal ville man selvfølgelig ikke gøre så meget ud af at forklare hver enkelt omskrivning og farvelægge de enkelte dele, sådan som jeg gjorde i det foregående eksempel. Du skal helst træne dig op til at kunne følge med i udregningen selv når den er skrevet sådan her: (a + ((b + c) + d)) + e = a + (((b + c) + d) + e) = a + ((b + c) + (d + e)) = a + (b + (c + (d + e))) = (a + b) + (c + (d + e)) Men heldigvis opdager man ret hurtigt at det er fuldkommen ligegyldigt hvor man sætter parenteser i udtrykket: a + b + c + d + e Udregningen giver simpelt hen det samme uanset hvor man sætter parenteserne. Man kan sige at man giver udtrykket mening (her kom forklaring på navnet associativ ) når man sætter parenteser der fortæller hvilke par af bogstaver der skal lægges sammen først. Men de associative love siger altså at det er ligegyldigt hvordan man vælger at gøre det. Dette er faktisk grunden til at man kan tillade sig at skrive en udregning med mange led helt uden at sætte parenteser. F.eks. er det helt normalt at skrive forskriften for et andengradspolynomium

15 som: f(x) = a x 2 + b x + c Faktisk ville det se enormt mærkeligt ud (men stadig være korrekt!) hvis man insisterede på at skrive enten: eller f(x) = (a x 2 + b x) + c f(x) = a x 2 + (b x + c) Hvis du er typen som holder af at tænke meget længe over et problem, så kan du prøve kræfter med følgende (meget svære) opgave. Øvelse 9. På hvor mange forskellige måder kan man sætte parenteser i udtrykket a + b + c + d + e på en sådan måde at det er klart hvilke par af elementer der skal lægges sammen. (Det rigtige svar giver 2744 når når man sætter det i tredje potens. Så kan du selv tjekke om dit svar er rigtigt.) Hvis du talte rigtigt, hvad med det følgende udtryk? og og a + b + c + d + e + f Her er et par stykker som inspiration: ((a + b) + (c + (d + e))) + f (a + b) + ((c + d) + (e + f)) a + (b + (c + (d + (e + f)))) (Hvis du når frem til det rigtige svar, så er du ikke i tvivl om at det er rigtigt.)

16 Kan du finde en formel for hvor mange måder der kan sættes parenteser i et udtryk med n led på? Hvis du har brug for inspiration, kan du prøve at læse om Catalantal ( Catalan numbers ) på internettet. 3.2 De kommutative love De to næste love har også et underligt navn. Kommutere betyder noget i retning af at flytte sig. Og det er et supergodt navn til disse to regler. Du kan hurtigt se hvorfor. Regel 3A. Hvis x og y er to tal, så er x + y = y + x Regel 3B. Hvis x og y er to tal, så er x y = y x Eksempel 10. Et meget simpelt eksempel hvor man bruger både regel 3A og 3B kunne være hvis man mødte ligningen: y = 4 + x 8 På en dårlig dag kan det være svært at gennemskue at dette er ligningen for en ret linje. Men det bliver nemmere hvis man først husker den usynlige parentes: y = 4 + (x 8) og derefter bruger regel 3B inde i parentesen: y = 4 + (8x)

17 og derefter bruger regel 3A med 4-tallet og parentesen i rollerne som dem der skal byttes om på: y = (8x) + 4 Til sidst kan man fjerne den ligegyldige parentes for skønhedens skyld: y = 8x + 4 Lige som med de associative love, kan man lave nogle vildere omskrivninger ved at bruge regel 3A og 3B mange gange. I kombination med regel 2A og 2B giver dette os temmeligt meget magt til at lave om på ting. Eksempel 11. Jeg vil nu omskrive udtrykket: til f r + (a + (n + k)) (k + (n + a)) + r f Først sætter vi en parentes for at tydeliggøre at gangetegnet er hurtigst: f r + (a + (n + k)) = (f r) + (a + (n + k)) Så bruger vi regel 3B inde i den første parentes og regel 3A inde i den anden: = (r f) + ((n + k) + a)) Så bruger vi regel 3A på de to store parenteser: = ((n + k) + a) + (r f)

18 Og til sidst regel 2A til at flytte parentes inde i den første parentes: = (n + (k + a)) + (r f) Man får næsten et indtryk af at alt kan lade sig gøre. Men det er ikke rigtigt. Hvis ting er ganget med hinanden, så vil de altid klistre sammen på grund af regnearternes hierarki. Øvelse 12. En af følgende omskringninger er kan ikke lade sig gøre. Gennemfør de to omskrivninger som kan lade sig gøre, og prøv at beskrive hvad der går galt med den som ikke kan lade sig gøre. 1. Fra: til: 2. Fra: til: 3. Fra: til: (a x + b y) + (c z + (a b) c) b (a c) + ((c z + y b) + x a) (a + b) + (d e + 1) 1 + ((b + e d) + a) 13 (a (4 + b)) + (c + 2) (b + 4) a) + (c + 2) Regning med tal og bogstaver En lille teknik som er nyttig når man regner med en blanding af tal og bogstavbetegnelser er at når tal og bogstaver er ganget med

19 hinanden, så prøver man hele tiden at rydde op i beregningerne efter følgende system: Når tal er ganget med bogstaver, så rykker man alle tallene så langt ud til venstre som man kan. Når bogstaver er ganget med hinanden, så skriver man dem i alfabetisk rækkefølge. Når der er flere led som er lagt sammen, så forsøger man at skrive dem i en eller anden logisk rækkefølge. Hvis hvert led f.eks. indeholder en potensopløftning af x, så flytter man enten de højeste eller laveste potenser længst mod venstre. Det er naturligvis helt frivilligt om man vil gøre dette eller ej. Men det gør regneudtryk mere overskuelige, og det kan hjælpe med at undgå en masse regnefejl. Når der kommer fortegn, divisioner og potensopløftninger med i historien (se senere), så bliver det endnu mere nyttigt.

20 Eksempel 13. Lad os rydde op i udregningen: a b + 0,5 b a b 2 + 2a + b Bemærk at der ikke sat parenteser til at markere hvilke af plus operationerne der skal laves først. Det vil jeg holde op med fra nu af, fordi det jo er ligegyldigt ifølge regel 2A. Vi starter med at sortere leddene (de dele som er lagt sammen). I princippet foregår dette ved at lave en ombytning af gangen. F.eks. kunne vi (ifølge regel 2A) sætte en parentes her: a b + (0,5 b a b 2 + 2a) + b og så bruge regel 3A inde i denne parentes (husk at der er en usynlig parentes om alle gange operationerne): = a b + (2a + 0,5 b a b 2) + b Men man bliver meget hurtigt bedre til at foretage mange af disse ombytninger på en gang, så du kan sikkert nemt se at vi kan komme frem til følgende: = a 7 + 2a + 9 b + b + 0,5 b a b 2 Nu kan vi bruge regel 3B til at sortere i rækkefølgen på de ting som er ganget sammen. Det leder frem til følgende (efter lidt arbejde med parenteser i det sidste udtryk): = 7a + 2a + 9 b + b + 0,5 2 a b b Og hvis vi lige snyder og bruger den næste regel (se næste afsnit), så kan det blive helt pænt ved først at sætte nogle parenteser (som

21 er lovlige takket være regel 2A og 2B). = (7a + 2a) + (9 b + b) + (0,5 2) a (b b) og udregne hver af disse parenteser: = 9a + 10b + 1 a b 2 og til sidst fjerne 1-tallet (takket være regel 1B): = 9a + 10b + a b 2 4 Den distributive lov Denne regel er der kun en enkelt af. Til gengæld handler den (som den eneste) om begge regneoperationerne på samme tid. Det er samtidigt langt den sværeste at vænne sig til, fordi der nogle gange forsvinder eller opstår kopier af et bogstav eller tal. Regel 4. Hvis x, y og z er tre tal, så er x (y + z) = x y + x z Bemærk at der er flere kopier af x på højresiden af lighedstegnet end på venstresiden. Det kan være lidt svært at vænne sig til hvis man har fået den (forkerte) opfattelse at alle omskrivninger bare handler om at flytte rundt på ting, sådan som vi gør med de to foregående regneregler. Denne regel giver dog utroligt meget mening hvis man forestiller sig en situation hvor udregningen x (y + z) opstår naturligt: Eksempel 14. Et sted hvor udregningen x (y +z) opstår helt naturligt er følgende:

22 4.1 At gange ind i parenteser 4.2 At sætte uden for parentes 4.3 Samling af ligeværdige led En omskrivning som ofte forekommer mystisk for gymnasieelever er når en udregning indeholder flere led, og læreren begynder at regne dem sammen. Det kunne være i et udtryk som: 3x + 5x hvor læreren så regner dem sammen til 8x. Ofte med en forklaring i stil med hvis du har 3 æbler plus 5 æbler, så har du jo 8 æbler. Det er en dum forklaring, fordi x jo ikke er det samme som ordet æbler. Så længe tallene er 3 og 5, så kan man godt følge med til denne forklaring. Men det bliver meget mere mystisk når et udtryk i stil med: T e 2 2 x + 10a+b x regnes sammen til ( ) T e a+b x Og det bliver endnu værre af at det ofte er omtrent lige så fristende at regne sammen på udtrykket x 3 + x 2 til noget som slet ikke er det samme. Heldigvis er disse omskrivninger et specielt tilfælde af at sætte uden for parentes, som vi så på i sidste afsnit. Det er jo bare fordi udregningen 3x + 4x kan omskrives til (3 + 4) x idet x sættes uden for parentesen. Det er den distributive lov. Hverken mere eller mindre.

23 5 Inverse elementer Indtil nu har jeg omhyggeligt undgået at tale om regneoperationerne minus og division. Det er fordi de faktisk kan klares utroligt nemt når man har det ovenstående på plads. Man skal bare lige gå en lille omvej. Ordet invers betyder omvendt. Og et tals inverse element skal man lige præcis tænke på som en slags spejlbillede eller ond tvilling. Den præcise betydning af at være omvendte afhænger af hvilken regneoperation man snakker om, og derfor har man både inverse elementer med hensyn til addition og med hensyn til multiplikation. Det additivt inverse element Ethvert tal har et spejlbillede i form af det samme tal med omvendt fortegn. Den operation hvor man erstatter et reelt tal med sit spejlbillede kaldes fortegnsskift, og hvis x er et reelt tal, så skrives dette spejlbillede som: x Bemærk at x sagtens kan være negativt. I så fald bliver x positivt. F.eks. er: ( 8) = 8 Det spejlbillede som fremkommer når man laver fortegnsskift på et reelt tal, x, kaldes det additivt inverse tal til x. Følgende regel forklarer hvorfor: Regel 5A. Til ethvert tal, x, findes der et additivt inverst tal, y, med den egenskab at: x + y = 0 (Altså: Man får 0 når man lægger x sammen med sit additivt inverse tal.)

24 5.1 Minus operationen Ombytning af en differens Minus parenteser Det multiplikativt inverse element Man kan også spejle et tal med hensyn til regneoperationen gange. Så handler det om at finde et spejlbillede som opfylder at når man ganger et tal med sit spejlbillede, så får man det multiplikativt neutrale element. Denne gang er det dog en smule mere indviklet af to grunde: 1. Nul har ikke nogen multiplikativ invers. Det kan føles meget uretfærdigt, men vi skal senere se at nul er en meget destruktiv fætter når man ganger med den, så den har slet ikke nogen chancer for at have en invers. 2. Spejlingen er denne gang ikke så pæn og symmetrisk når man tænker på de reelle tal som en tallinje. Man skal i stedet forestille sig at tal som er større end 1 ryger om på den anden side mellem 0 og 1. Her er reglen: Regel 5B. Til ethvert tal, x 0, findes der et multiplikativt inverst tal, y, med den egenskab at: x y = 1 (Altså: Man får 1 når man ganger x med sit multiplikativt inverse tal.)

25 5.2 Division Brøkregneregler 6 Afledte regler De fem regler som vi har set på i dette dokument er som sagt de mest fundamentale regneregler som findes. Du har set nogle eksempler på hvordan de kan kombineres til at lave ret komplicerede omskrivninger, og hvordan mange andre regler dukker op simpelt hen ved at kombinere de fem grundlæggende regler. Faktisk er det endnu vildere: Man kan i princippet bevise alt hvad vi ved om reelle tal udfra disse fem regler og en lille smule mere (helt præcist fire regler mere). Hvis du synes at dette lyder spændende, så kan du læse mere om det i et andet dokument, hvor vi går helt til bunds i historien. Du kan også finde en oversigt over alle de regneregler som du bør kende udenad.