Omskrivningsgymnastik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Omskrivningsgymnastik"

Transkript

1 Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion Om regneregler Forlæns, baglæns og ordet formel De neutrale elementer Det additivt neutrale element (nul) Det multiplikativt neutrale element (et) De associative og kommutative love De associative love De kommutative love Regning med tal og bogstaver Den distributive lov At gange ind i parenteser At sætte uden for parentes Samling af ligeværdige led Inverse elementer Additiv invers Et underligt tegn Minus operationen Multiplikativ invers Division Afledte regler 34

3 Resumé Vi gennemgår vi de allermest basale regler for omskrivninger af taludtryk med masser af eksempler på hvordan de bruges. Til sidst viser vi eksempler på hvordan mange af de mere avancerede regneregler som du har forsøgt at lære udenad faktisk er unødvendige, fordi de kan fremkomme ved at bruge de basale regneregler flere gange i kombination. 1 Introduktion En stor del af gymnasiematematik handler om at undersøge et eller andet regneudtryk 1, hvori der indgår kendte og ukendte talstørrelser og nogle regneoperationer. Det foregår som regel ved at man omskriver udtrykket til noget som ser anderledes ud, men som alligevel er præcis det samme. F.eks. har du sikkert set masser af gange at udtrykket x + x + x er det samme som 3 x Nogle gange kan det være svært at følge med i de mange omskrivninger som foregår på tavlen, og man fristes til at tænke at matematiklæreren opfinder en ny regel hver eneste gang. Den gode nyhed er: Det er overhovedet ikke rigtigt! Langt de fleste omskrivninger i gymnasiematematik (inklusive den ovennævnte) kan faktisk foretages ved at anvende en af de fem forskellige regneregler i dette dokument. Den dårlige nyhed er: Livet ville være ekstremt besværligt hvis man skulle reducere alle omskrivninger til anvendelser af de fem regneregler i dette dokument. Nogle anvendelser af de fem regler i kombination bliver brugt så mange gange at man har givet dem deres 1 Læs om udtryk her side 1

4 eget navn. På den måde kan man nogle gange lave mange ting på en gang og bare sige at vi f.eks. dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte. I det sidste afsnit samler jeg nogle af de mest brugte af den slags ekstraregler og viser hvordan de i virkeligheden er en kombination af de fem grundregler. En dårlig nyhed mere: Når man definerer nye regneoperationer (som f.eks. potensopløftning) så kommer der naturligvis også nye regler. Men hvis man ser efter, så er disse regler er også bare en konsekvens af de fem første regler. Sagt med andre ord: De fem regler i dette dokument er så vigtige at hvis ikke man kender dem alle fem (helst forlæns, baglæns, udvendigt, indvendigt, i søvne og på tysk), så har man ikke en chance for at følge med i omskrivninger når det går lidt stærkt. Forudsætninger: I princippet kan du læse dette dokument helt uden nogen forudsætninger. Selv hvis du intet ved om tal overhovedet 2. Men det bliver selvfølgelig nemmere hvis du allerede har lidt erfaringer med at regne med ukendte størrelser. Det er vigtigt at du forstår hvordan parenteser fungerer. Du kan enten vælge at læse den lange historie om tal og regneoperationer 3, eller du kan nøjes med følgende ultrakorte opsummering af det allervigtigste: 1. Parenteser omslutter noget som skal betragtes som en historie helt for sig selv. Jeg kan godt lide at tænke på parenteser som en halvgennemsigtig indpakning. Man kan vælge at kigge ind og se hvad den indeholder. Men man kan også vælge at lade være, og 2 Man kan lege lidt med tanken om at møde et voksent menneske som aldrig har hørt om tal. I så fald er det en god ide at fortælle ham eller hende om reglerne i dette dokument før alt andet. 3 Den kan du finde her side 2

5 bare betragte pakken som en helhed. Derfor skal udregningen: 2 (3 + 4) forstås som at man vil gange 2 med resultatet af den udregning som står inde i parentesen. 2. Man har vedtaget et såkaldt hierarki (en slags rækkefølge ) for hvor hurtige de forskellige regneoperationer er. Det betyder at når en udregning indeholder flere forskellige regneoperationer (og ingen parenteser), så skal man automatisk læse udregningen som om der var en parentes om de udregninger som er hurtigst. Det eneste som du skal huske for at læse dette dokument er at gange er hurtigere end plus. Derfor skal udregningen: opfattes som om der stod: (3 4) 3. Nogle gange er der indbygget en usynlig parentes i den måde vi skriver ting på. Et vigtigt eksempel er brøkstreger. En brøk skal altid læses som om der var en parentes om hele tælleren (det som står over brøkstregen) og om hele nævneren (det som står under brøkstregen). Derfor skal udregningen: opfattes som der stod: (2 + 3) (4 + 5) = 5 9 side 3

6 1.1 Om regneregler Når man omskriver et regneudtryk hvori der indgår ukendte størrelser, skal man selvfølgelig passe på at man omskriver rigtigt. F.eks. må man gerne omskrive udtrykket x + x + x til 3 x fordi de to regneudtryk giver samme resultat, uanset hvad x måtte være. Men omvendt må man f.eks. absolut ikke omskrive udtrykket: til udtrykket a + b x + y a x + b y fordi de to udtryk bestemt ikke giver det samme resultat, hvis f.eks. a = 1, b = 1, x = 1 og y = 1. (Regn selv efter!) Man må altså kun foretage lovlige omskrivninger, hvor man benytter en regneregel som er rigtig. I princippet skal enhver regneregel bevises før den må bruges, men de fem regneregler i dette dokument er en undtagelse. Det er fordi de er så fundamentale 4 at man ville være nødt til at fordybe sig meget grundigt i hvordan de reelle tal i første omgang er defineret før man kunne lave et sådant bevis. Og det viser sig at være meget sværere end man skulle tro. 1.2 Forlæns, baglæns og ordet formel En omskrivningsregel som denne her 5 x + x + x = 3 x 4 Man kunne endda sige at de er aksiomer for de reelle tal. Altså nogle regler som definerer hvad vi overhovedet mener med de reelle tal. Læs mere om aksiomer og de reelle tal her 5 Vi skal snart se at dette ikke er en regel i sig selv, men derimod en kombination af to af de fem regler i dette dokument. side 4

7 fortæller os at to udtryk (som muligvis ser meget forskellige ud) er ens. Altså at det ene udtryk frit kan erstattes af det andet. Det er vigtigt at huske at en sådan erstatning kan gå begge veje!. Nogle gange står man med udtrykket til venstre for lighedstegnet og har lyst til at bruge udtrykket til højre i stedet for. Og nogle gange er det lige omvendt! Hvis du synes at denne tanke er meget underlig, så er det sandsynligvis fordi du har fået et (forkert) indtryk af matematik. Nemlig at det handler om at sætte tal ind i en formel og regne svaret ud. Mange elever har (desværre) en opfattelse af at ordet formel betyder en magisk trylleformular som fremskaffer det rigtige facit til en opgave. Hvis du har denne opfattelse, så prøv med følgende lille mentale øvelse: Hver eneste gang du ser et lighedstegn, f.eks. y = 3 x + 1 så skriv det ned på et stykke papir, omvendt! Altså i vores eksempel: 3 x + 1 = y og sig til dig selv: Der står nøjagtigt det samme! og så i øvrigt læse alle lighedstegn som et udsagn om at to objekter er ens, og ikke som en opskrift på hvordan en af dem kan regnes ud side 5

8 2 De neutrale elementer De to tal, 0 og 1, udgør de såkaldt neutrale elementer i de reelle tal. At være neutral vil sige at man ikke ændrer noget. Og det er præcis hvad 0 og 1 gør (eller rettere: ikke gør) når man henholdsvist lægger 0 sammen med et andet tal, og når man ganger 1 med et andet tal. Lad os formulere helt præcist hvad vi mener med det: 2.1 Det additivt neutrale element (nul) Tallet 0 er neutralt med hensyn til addition. Det betyder at hvis man lægger et tal sammen med nul, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1A. For ethvert tal x, gælder: x + 0 = x Regel 1A er (overraskende nok) mere nyttig end man skulle tro. Her er et par eksempler. Der kommer flere i resten af dokumentet. Eksempel 1. Hvis man f.eks. møder følgende regneudtryk (hvor a og b er to ukendte reelle tal): 6a b 2 + a b + 0 så kan man tillade sig at droppe nullet og omskrive: 6a b 2 + a b + 0 = 6a b 2 + a b Hvis ikke du er imponeret over det foregående eksempel, så er det helt i orden. Du vil dog opdage senere at der meget ofte opstår situationer hvor præcis denne omskrivning skal bruges. Her kommer et lidt mere nyttigt eksempel: side 6

9 Eksempel 2. Man bruger tit regel 1A baglæns, idet man kan tillade sig at lægge nul til alle de steder man har lyst til. Det kan være nyttigt hvis man f.eks. arbejder med ligninger af den generelle type a : y = ax + b hvor a og b er givne reelle tal. Hvis man en dag møder ligningen: y = 5x så kan man komme i tvivl om hvorvidt den er af ovennævnte type. ( Der er jo ikke noget b, hører man ofte elever sige med tårer i øjnene). Men hvis man omskriver den til: y = 5x + 0 er det nemt at se at det er en ligning af den nævnte type, nemlig svarende til at b er nul. a Denne type ligninger beskriver rette linjer i koordinatsystemet. Læs om rette linjer her 2.2 Det multiplikativt neutrale element (et) Tallet 1 er det neutrale element med hensyn til multiplikation. Det betyder at hvis man ganger et tal med 1, så får man det tal man startede med. Sagt med symboler: Regel 1B. For ethvert tal x, gælder: x 1 = x side 7

10 Lad os igen starte med et meget simpelt eksempel (som også er mere nyttigt end man umiddelbart tror). Eksempel 3. Hvis man en dag møder udregningen: 1 (3x + 4x ) så kan man tillade sig at fjerne 1-tallet og omskrive: 1 (3x + 4x ) = 3x + 4x Eksempel 4. Ligesom med regel 1A kan regel 1B være endnu mere nyttig baglæns. F.eks. når man arbejder med rette linjer. Hvis man har en ligning med ligningen: y = x + 7 Så kan det igen være svært at se hvad der spiller rollen som hældningskoefficienten a i forhold til den generelle linjes ligning: y = ax + b Men regel 1B siger jo at vi gerne må skrive ligningen som: y = 1 x + 7 og nu er det nemt at se at der er tale om en linje med hældningskoefficient 1. Tjek lige at du har forstået det hele indtil nu ved at løse følgende opgave: side 8

11 Øvelse 5. En generel andengradsligning er en ligning af typen: a x 2 + b x + c = 0 Her er en konkret andengradsligning: x 2 + x = 0 Hvilke tal spiller rollen som a, b og c i denne ligning? side 9

12 3 De associative og kommutative love De næste love kunne også kaldes for flytte rundt lovene. De handler om at man (i nogle bestemte situationer!) må ændre på den rækkefølge som en udregning skal foretages i. 3.1 De associative love De første to love kaldes associative. Det er et meget mystisk navn. At associere betyder noget i retning af at tillægge mening eller give betydning. Og jeg vil forsøge at forklare hvorfor det egentlig er et ret fornuftigt navn efter at have givet et par eksempler. Lovene siger (på sloganform) at man må flytte rundt på parenteser så længe det er den samme regneoperation (enten plus eller gange) alle steder. De ser sådan her ud når man skriver dem præcist: Regel 2A. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x + y) + z = x + (y + z) Regel 2B. Hvis x, y og z er tre tal, så er (x y) z = x (y z) Eksempel 6. I sin simpleste form kan regel 2A bruges til at omskrive udregningen: 2 + (7 + a) til 2 + (7 + a) = (2 + 7) + a = 9 + a Til det næste eksempel skal du lige huske at vi nogle gange lader være med at skrive gange mellem et tal og et bogstav. side 10

13 Eksempel 7. I sin simpleste form kan regel 2B bruges til at omskrive udregningen: 2 (5x) til 2 (5x) = 2 (5 x) = (2 5) x = 10x De associative love bliver lidt sjovere når man bruger dem mere end én gang. Så kan man nemlig lave nogle ret vilde flytninger af parenteser. Eksempel 8. Regneudtrykket er det samme som (a + ((b + c) + d)) + e (a + b) + (c + (d + e)) For at se hvorfor det er rigtigt skal man mestre regel 2A på et lidt vildere niveau. Jeg prøver lige med lidt farvelægning for at illustrere hvad der spiller rollen som x, y og z i hver omskrivning. Vi omskriver (bemærk at hele den blå parentes spiller rollen som et y ): (a + ((b + c) + d)) + e = a + (((b + c) + d) + e) Derefter omskriver vi (bemærk at hele ændringen denne gang foregår inde i parentesen som er lagt til a): a + (((b + c) + d) + e) = a + ((b + c) + (d + e)) side 11

14 og nu: a + ((b + c) + (d + e)) = a + (b + (c + (d + e))) og til sidst (Bemærk at vi denne gang bruger regel 2A baglæns ): a + (b + (c + (d + e))) = (a + b) + (c + (d + e)) Normal ville man selvfølgelig ikke gøre så meget ud af at forklare hver enkelt omskrivning og farvelægge de enkelte dele som jeg gjorde i det foregående eksempel. Du skal helst træne dig op til at kunne følge med i udregningen selv når den er skrevet sådan her: (a + ((b + c) + d)) + e = a + (((b + c) + d) + e) = a + ((b + c) + (d + e)) = a + (b + (c + (d + e))) = (a + b) + (c + (d + e)) Men heldigvis opdager man ret hurtigt at det er fuldkommen ligegyldigt hvor man sætter parenteser i udtrykket: a + b + c + d + e Udregningen giver simpelt hen det samme uanset hvor man sætter parenteserne. Man kan sige at man giver udtrykket mening (her kom forklaring på navnet associativ ) når man sætter parenteser der fortæller hvilke par af bogstaver der skal lægges sammen først. Men de associative love siger altså at det er ligegyldigt hvordan man vælger at gøre det. Dette er grunden til at man kan tillade sig at skrive en udregning med mange led helt uden at sætte parenteser. F.eks. er det helt normalt at skrive forskriften for et andengradspolynomium som: f(x) = a x 2 + b x + c side 12

15 Faktisk ville det se enormt fjollet ud (men stadig være korrekt!) hvis man insisterede på at skrive enten: eller f(x) = (a x 2 + b x) + c f(x) = a x 2 + (b x + c) Hvis du er typen som holder af at tænke meget længe over et problem, så kan du prøve kræfter med følgende (meget svære) opgave. Øvelse 9. På hvor mange forskellige måder kan man sætte parenteser i udtrykket a + b + c + d + e på en sådan måde at det er klart hvilke par af elementer der skal lægges sammen. (Det rigtige svar giver 2744 når når man sætter det i tredje potens. Så kan du selv tjekke om dit svar er rigtigt.) Hvis du talte rigtigt, hvad med det følgende udtryk? og og a + b + c + d + e + f Her er et par stykker som inspiration: ((a + b) + (c + (d + e))) + f (a + b) + ((c + d) + (e + f)) a + (b + (c + (d + (e + f)))) Kan du finde en formel for hvor mange måder der kan sættes parenteser i et udtryk med n led på? Hvis du har brug for inspiration, kan du prøve at læse om Catalantal ( Catalan numbers ) på internettet. side 13

16 3.2 De kommutative love De to næste love har også et underligt navn. Kommutere betyder noget i retning af at flytte sig. Og det er et supergodt navn til disse to regler. Du kan hurtigt se hvorfor. Regel 3A. Hvis x og y er to tal, så er x + y = y + x Regel 3B. Hvis x og y er to tal, så er x y = y x Reglerne siger simpelt hen at man må bytte om på rækkefølgen af to ting som er enten lagt sammen eller ganget sammen. Lad os se et eksempel. Eksempel 10. Et meget simpelt eksempel hvor man bruger både regel 3A og 3B kunne være hvis man mødte ligningen: y = 4 + x 8 På en dårlig dag kan det være svært at gennemskue at dette er ligningen for en ret linje. Men det bliver nemmere hvis man først husker den usynlige parentes (fordi gange kommer før plus i regnearternes hierarki): y = 4 + (x 8) og derefter bruger regel 3B inde i parentesen: y = 4 + (8x) side 14

17 og derefter bruger regel 3A med 4-tallet og parentesen i rollerne som dem der skal byttes om på: y = (8x) + 4 Til sidst kan man fjerne den ligegyldige parentes for skønhedens skyld: y = 8x + 4 og så ligner det pludselig en ret linjes ligning meget mere. Lige som med de associative love, kan man lave nogle vildere omskrivninger ved at bruge regel 3A og 3B mange gange. I kombination med regel 2A og 2B giver dette os temmeligt meget magt til at lave om på ting. Eksempel 11. Jeg vil nu omskrive udtrykket: til f r + (a + (n + k)) (k + (n + a)) + r f Først sætter vi en parentes for at tydeliggøre at gangetegnet er hurtigst: f r + (a + (n + k)) = (f r) + (a + (n + k)) Så bruger vi regel 3B inde i den første parentes og regel 3A inde i den anden: = (r f) + ((n + k) + a)) side 15

18 Så bruger vi regel 3A på de to store parenteser: = ((n + k) + a) + (r f) Og til sidst regel 2A til at flytte parentes inde i den første parentes: = (n + (k + a)) + (r f) Man får næsten et indtryk af at alt kan lade sig gøre. Men det er ikke rigtigt. Hvis ting er ganget med hinanden, så vil de altid klistre sammen på grund af regnearternes hierarki. Øvelse 12. En af følgende omskringninger er kan ikke lade sig gøre. Gennemfør de to omskrivninger som kan lade sig gøre, og prøv at beskrive hvad der går galt med den som ikke kan lade sig gøre. 1. Fra: til: 2. Fra: til: 3. Fra: til: (a x + b y) + (c z + (a b) c) b (a c) + ((c z + y b) + x a) (a + b) + (d e + 1) 1 + ((b + e d) + a) 13 (a (4 + b)) + (c + 2) ((b + 4) a) + (c + 2) 13 side 16

19 3.3 Regning med tal og bogstaver Her er en lille teknik som er nyttig når man regner med en blanding af tal og bogstavbetegnelser. Når tal og bogstaver er ganget med hinanden, så prøver man hele tiden at rydde op i beregningerne efter følgende system: Når tal er ganget med bogstaver, så rykker man alle tallene så langt ud til venstre som man kan. Når bogstaver er ganget med hinanden, så skriver man dem i alfabetisk rækkefølge. Når der er flere led som er lagt sammen, så forsøger man at skrive dem i en eller anden logisk rækkefølge. Hvis hvert led f.eks. indeholder en potensopløftning af x, så flytter man enten de højeste eller laveste potenser længst mod venstre. Det er naturligvis helt frivilligt om man vil gøre dette eller ej. Men det gør regneudtryk mere overskuelige, og det kan hjælpe med at undgå en masse regnefejl. Når der kommer fortegn, divisioner og potensopløftninger med i historien (se senere), så bliver det endnu mere nyttigt. side 17

20 Eksempel 13. Lad os rydde op i udregningen: a b + 0,5 b a b 2 + 2a + b Bemærk at der ikke sat parenteser for at markere hvilke af plus operationerne der skal laves først. Det vil jeg holde op med fra nu af, fordi det jo er ligegyldigt ifølge regel 2A. Vi starter med at sortere leddene (de dele som er lagt sammen). I princippet foregår dette ved at lave en ombytning af gangen. F.eks. kunne vi (ifølge regel 2A) sætte en parentes her: a b + (0,5 b a b 2 + 2a) + b og så bruge regel 3A inde i denne parentes (husk at der er en usynlig parentes om alle gange operationerne): = a b + (2a + 0,5 b a b 2) + b Men man bliver meget hurtigt bedre til at foretage mange af disse ombytninger på en gang, så du kan sikkert nemt se at vi kan komme frem til følgende: = a 7 + 2a + 9 b + b + 0,5 b a b 2 Nu kan vi bruge regel 3B til at sortere i rækkefølgen på de ting som er ganget sammen. Det leder frem til følgende (efter lidt arbejde med parenteser i det sidste udtryk): = 7a + 2a + 9 b + b + 0,5 2 a b b Og hvis vi lige snyder og bruger den næste regel (se næste afsnit), så kan det blive helt pænt ved først at sætte nogle parenteser (som side 18

21 er lovlige takket være regel 2A og 2B). = (7a + 2a) + (9 b + b) + (0,5 2) a (b b) og udregne hver af disse parenteser: = 9a + 10b + 1 a b 2 og til sidst fjerne 1-tallet (takket være regel 1B): = 9a + 10b + a b 2 4 Den distributive lov Denne regel er der kun en enkelt af. Til gengæld handler den (som den eneste) om begge regneoperationerne på samme tid. Det er samtidigt langt den sværeste at vænne sig til, fordi der nogle gange forsvinder eller opstår kopier af et bogstav eller tal. Den har også et mystisk navn (bare rolig: det er det sidste navn du behøver at lære), nemlig den distributive lov. At distribuere betyder at dele ud, sådan som man gør med f.eks. reklamer i folks postkasser eller med pizzaer. Og det er et godt navn, fordi der er netop et bogstav som bliver distribueret ud til flere modtagere. Regel 4. Hvis x, y og z er tre tal, så er x (y + z) = x y + x z Bemærk at der er flere kopier af x på højresiden af lighedstegnet end på venstresiden. Det kan være lidt svært at vænne sig til hvis man har fået den (forkerte) opfattelse at alle omskrivninger bare handler om at flytte rundt på ting, sådan som vi gør med de to foregående regneregler. side 19

22 Reglen giver dog utroligt meget mening hvis man forestiller sig en situation hvor udregningen x (y + z) opstår helt naturligt: Eksempel 14. Et sted hvor udregningen x (y +z) opstår helt naturligt er følgende: Tag en strimmel papir som er 3 cm bred og 10 cm lang. Tag en anden strimmel papir som også er 3 cm bred, men 20 cm lang. Læg de to strimler papir i forlængelse af hinanden. Hvad er nu det samlede areal af papirstrimlen? Det kan beregnes enten som den samlede længde gange bredden: 3 ( ) eller som summen af de to korte strimlers arealer: Og helt som forventet giver begge disse udregninger samme svar, nemlig 90 kvadratcentimeter. Eksempel 15. I sin simpleste form kan regel 4 bruges til at omskrive udtryk som f.eks. 5 (x + 1) til 5 x = 5x + 5 Men man finder hurtigt ud af at den også virker når der står flere led inde i parentesen. Hvis man f.eks. møder udtrykket: 5 (a b) så kan man (hvis det skal være helt tydelig) lige sætte en smart side 20

23 parentes (ifølge regel 2A): = 5 ((a + 7) + b) og så bruge regel 4 første gang (ved at betragte den blå parentes som et x : = 5 (a + 7) + 5 b og derefter bruge regel 4 endnu en gang: = 5 a b I praksis gider man naturligvis ikke gøre det så besværligt. Man indser ret hurtigt at det altid bare ender med at man gange ind på alle leddene, sådan her: 7 (a + 2x + b + 17) = 7 a + 7 2x + 7 b = 7a + 14x + 7b Bemærk at vi også lavede lidt gymnastik med regel 2B til at omskrive: 7 (2x) til (7 2) x 4.1 At gange ind i parenteser Når man bruger den distributive lov (regel 4), så kalder man det ofte at man ganger ind i parentesen. Man skal bare passe på at huske den præcise betydning, nemlig at man ganger ind på ting som er lagt sammen. Eksempel 16. Udregningen: 5ă ( ) side 21

24 giver det samme som udregningen: (prøv selv at regne efter). Men på en dårlig dag ser man nogle gange elever omskrive: til noget helt tosset, nemlig: 5 (1 2 3) (5 1) (5 2) (5 3) Kan du se hvad disse elever gør galt? Og hvad de skulle have gjort i stedet for? Ja, de skulle bare have brugt regel 2B. 4.2 At sætte uden for parentes Man bruger enormt tit den distributive lov baglæns. Når man gør det, kalder man det ofte at sætte uden for parentes. Eksempel 17. Forestil dig at du møder udtrykket: 2 x + 2 y Ved at bruge regel 4 baglæns kan dette omskrives til 2 x + 2 y = 2 (x + y) Det er som regel nemmere at se at omskrivningen er rigtig ved at gå baglæns. Altså indse at det sidste kan omskrives til det første ved at gange ind i parentesen. Men det er altså en rigtigt god ide at vænne dig til at se det forlæns også, fordi det sker meget ofte. side 22

25 Eksempel 18. Eftersom vi opdagede at man kan gange ind i parenteser, også når de har mange led der er lagt sammen, så kan man naturligvis også gøre det baglæns. F.eks. kan udtrykket: skrives som: 6a + 6c + 6b + 6f 6 (a + c + b + f) Idet vi har sat 6 uden for parentes. Bemærk at når man sætter noget uden for en parentes, så er det naturligvis lige gyldigt om man sætter det ud på venstre side eller højre side (takket være regel 2B). 4.3 Samling af ligeværdige led En omskrivning som ofte forekommer mystisk for gymnasieelever er når en udregning indeholder flere led, og læreren begynder at regne dem sammen. Det kunne være i et udtryk som: 3x + 5x hvor læreren så regner dem sammen til 8x. Ofte med en forklaring i stil med hvis du har 3 æbler plus 5 æbler, så har du jo 8 æbler. Det er en dum forklaring, fordi x jo ikke er det samme som ordet æbler. Så længe tallene er 3 og 5, så kan man godt følge med til denne forklaring. Men det bliver meget mere mystisk når et udtryk i stil med: T e 2 2 x + 10a+b x regnes sammen til ( ) T e a+b x side 23

26 Og det bliver endnu værre af at det ofte er omtrent lige så fristende at regne sammen på udtrykket x 3 + x 2 til noget som slet ikke er det samme. En meget bedre forklaring er at dette også bare handler om at sætte uden for parentes, som vi så på i sidste afsnit. Det er jo bare fordi udregningen 3x + 5x kan omskrives til (3 + 5) x idet x sættes uden for parentesen. Det er den distributive lov. Hverken mere eller mindre. Eksempel 19. Udregningen 7a + 2a + 3b + 5b + a kan omskrives ved først at ombytte led og sætte et par parenteser: = (7a + 2a + a) + (3b + 5b) I hver af disse parenteser vil vi så bruge regel 4 til at sætte henholdsvist a og b uden for parentes. Men hov! I den første parentes optræder et a som ikke er ganget med noget overhovedet? Så hvis man sætter den uden for parentes, så bliver der slet intet tilbage? Nej, for vi må jer gerne tilføje et 1-tal (tak til regel 1B): = (7a + 2a + 1 a) + (3b + 5b) side 24

27 og nu kan vi let sætte a og b uden for parenteser: = ( ) a + (3 + 5) b Hvilket kan udregnes til: 10a + 8b 5 Inverse elementer Indtil nu har jeg omhyggeligt undgået at tale om regneoperationerne minus og division. Det er fordi de kan klares utroligt nemt når man har det ovenstående på plads. Man skal bare lige gå en lille omvej, nemlig omkring det som hedder inverse elementer. Ordet invers betyder omvendt. Og et tals inverse element skal man lige præcis tænke på som en slags spejlbillede eller ond tvilling. Den præcise betydning af at være omvendte afhænger af hvilken regneoperation man snakker om, og derfor har man både inverse elementer med hensyn til addition og med hensyn til multiplikation. Vi tager dem en af gangen. 5.1 Additiv invers Ethvert tal har et spejlbillede i form af det samme tal med omvendt fortegn. Den operation hvor man erstatter et reelt tal med sit spejlbillede kaldes fortegnsskift, og hvis x er et reelt tal, så skrives spejlbilledet som: x Bemærk at x sagtens kan være negativt. I så fald bliver x positivt. F.eks. er: ( 8) = 8 Man skal tænke fortegnsskift som vist på tegningen nedenfor. side 25

28 -x y -y x Figur 1: Et billede af hvordan man bør tænke på fortegnsskift. Det spejlbillede som fremkommer når man laver fortegnsskift på et reelt tal, x, kaldes det additivt inverse tal til x. Den næste regel handler om dette: Regel 5A. Til ethvert tal, x, findes der et additivt inverst tal, y, med den egenskab at: x + y = 0 (Altså: Man får 0 når man lægger x sammen med sit additivt inverse tal.) Man gider selvfølgelig ikke skrive det tal y som er det additivt inverse element til x hver eneste gang man skal bruge det (det er nemlig ret tit!). Derfor har man opfundet en måde at skrive det på, nemlig som: x. Bemærk at nul er sit eget inverse element. Altså at 0 = 0 side 26

29 5.2 Et underligt tegn Det lille minus tegn som man sætter foran et tals additive inverse er et ret mystisk tegn. Det betyder nemlig hele tre forskellige 6 ting. 1. En del af navnet på nogle tal. Cirka halvdelen af de reelle tal er de såkaldt negative tal. De hedder navne som f.eks. 5, 1000 og π. 2. En såkaldt monær 7 operator ved navn fortegnsskift. Den fungerer sådan hvis x er et reelt tal, så kan man beregne x som betyder x med omvendt fortegn. 3. En såkaldt binær 8 operator ved navn minus. Hvordan den fungerer kan du læse om i næste afsnit. Bemærk at de to første betydninger overlapper. Når man skriver 5 så kan det nemlig både betyde tallet ved navn 5, og det kan betyder tallet 5 udsat for et fortegnsskift. Men heldigvis giver sidstnævnte fortegnsskift heldigvis tallet 5, så de to forskellige betydninger er heldigvis ens alligevel. Faktisk kan man sige at den første betydning bare er en konsekvens af den anden. Men når jeg alligevel har valgt at vise dem som to forskellige betydninger, så er det fordi forskellen mellem dem præcis er det som forvirrer mange elever og får dem til at lave følgende fejl. 6 Til de allerskarpeste læsere: Ok. De to første ting er i virkeligheden den samme ting. Den første er et specialtilfælde af den anden. 7 Ordet monær er i familie med mono og betyder en. Det referer til at operatoren kun skal bruge et enkelt tal for at producere et resultat. 8 Ordet binær betyder selvfølgelig noget med to. Det refererer til at denne operator skal bruge to tal for at producere et resultat. side 27

30 Eksempel 20. Det sker meget ofte at en elev ser et udtryk i stil med: x i en beregning. Og så konkluderer eleven (fejlagtigt) at x er negativ. Ofte med begrundelsen den har jo et minus på sig. Men dette minus er et fortegnsskift, og hvis x i sig selv er negativ (f.eks. x = 5), så er x er positivt tal. Så det kunne ikke være mere forkert at sige at x er negativ. Derfor skal man også vænne sig af med at sige den er minus som mange desværre har fået lov til i grundskolen. Man ved nemlig ikke altid hvad man mener med det. Der er en eneste vigtig ting at vide om fortegnsskift. Det er ikke så grundlæggende som de andre regler 9, men vi er nødt til at bruge den, så her kommer den: Sætning 21 (Ekstra-regel om fortegnsskift). At skifte fortegn er det samme som at gange med 1. Sagt med symboler: Hvis x er et reelt tal, så er x = ( 1) x Denne egenskab sikrer allerede at en masse mystiske regler om fortegn giver bedre mening. Eksempel 22. Nogle af de mest almindelige regler om minus som man bliver bedt om at lære udenad er dem som på sloganform lyder cirka sådan her: Minus minus giver plus Minus gange minus giver plus 9 Faktisk kan den udledes ud fra de andre regler. Det kan du læse mere om her side 28

31 Disse formuleringer er bare ikke præcise nok (mange elever er ikke engang klar over at det er to forskellige regler!) Helt præcist siger den første regel at når x er et reelt tal, så er: ( x) = x Altså at to fortegnsskift er det samme som intet at gøre. Den anden regel siger at når x og y er to negative tal, så er x y et positivt tal. Begge disse regler kan man roligt glemme hvis bare man tænker på et fortegnsskift som at man ganger med 1. Hvis man f.eks. møder udtrykket: ( 18) i en beregning. Så kan vi omskrive fortegnsskiftene til: ( 1) (( 1) 18) Men det er jo det samme som (takket være regel 2B): (( 1) ( 1)) 18 Men ( 1) ( 1) er det samme som at skifte fortegn på 1, så det giver 1. Så vi har altså omskrevet til 1 18 = 18 (Helt uden at huske på at minus minus giver plus ). Den anden regel er også indlysende når man tænker på fortegnsskift som at der er ganget med 1. F.eks. kan vi omskrive: ( 7) ( 3) = (( 1) 7) (( 1) 3) = ( 1) ( 1) 7 3 = = 7 3 Det er den tredje (og mest komplicerede) betydning vi skal snakke mest om. Det er hvad hele næste afsnit handler om. side 29

32 5.3 Minus operationen Den binære regneoperation minus er en hæslig regneoperation. Der er nok ikke nogen beregninger som har været skyld i flere fejl end minus er. En af grundene til at den er så grim er følgende: 1. Den kommutative lov gælder ikke for regneoperationen minus. F.eks. er 5 7 ikke det samme som Den associative lov gælder ikke for regneoperationen minus. F.eks. er 5 (2 1) ikke det samme som (5 2) 1. Derfor skal man være meget forsigtig når man arbejder med minus operationer. Men nu kommer den gode nyhed: Det behøver slet ikke at være svært! Fordi minus operationen faktisk slet ikke er en seperat operation. Den er nemlig defineret på følgende måde: Definition 23. Hvis x og y er to reelle tal, så defineres til at være følgende: x y x + ( y) Altså x lagt sammen med den additivt inverse til y. Med andre ord: Et (binært) minus er simpelt hen bare et plus og et fortegnsskift. Rigtigt mange mystiske tryllerier med minus operationer bliver meget mere forståelige hvis man indser at alle de binære minus er bare er plus operationer med et fortegnsskift. Eksempel 24. Kig på udregningen: 5 x + 2 y 3x 5y side 30

33 Strengt taget burde det være ulovligt at skrive sådanne udtryk. Det betyder nemlig ikke det samme om man læser det som: (((((5 x) + 2) y) 3x) 5y) eller på en af de mange andre mulige måder, som f.eks. (5 x) + (2 ((y 3x) 5y)) Den associative lov gælder nemlig ikke når der er minus operationer på spil!. Derfor burde man altid fortælle hvilken måde man har tænkt sig at parenteserne skal sættes på. Men det gør man ikke! Faktisk er det altid den første mulighed som er den rigtige, hvis ikke man sætter parenteser. Hvorfor det giver mening kan man forstå hvis man omskriver alle minus operationerne til et plus med et fortegnsskift, altså: 5 + ( x) ( y) + ( (3x)) + ( (5y)) Nu kan man sætte (yderligere) parenteser som man vil og bytte om på leddene som man vil (på grund af regel 2A og 3A). Det ser vi mere på i næste eksempel. Men umiddelbart er det klart at beregningen gerne må forstås som: ((((5 + ( x)) + 2) + ( y)) + ( (3x))) + ( (5y)) Hvilket er det samme som det første forslag. Det er også det samme som: (5 + ( x)) + (2 + (((( y)) + ( (3x))) + ( (5y)))) Men det er det samme som: (5 x) + (2 + ((( y) 3x) 5y)) Hvilket ikke er det samme som andet forslag. Vi skal se mere til hvad der er rigtigt og forkert i sådanne ombytninger i det næste eksempel. side 31

34 Eksempel 25. Lad os prøve at rydde lidt op i udtrykket fra sidste afsnit: 5 x + 2 y 3x 5y Lige som sidst omskriver vi alle minus-operationerne til et plus og et fortegnsskift: = 5 + ( x) ( y) + ( (3x)) + ( (5y)) Nu hvor alt er plus operationer, kan vi bytte rundt på rækkefølgen: = ( x) + ( (3x)) + ( y) + ( (5y)) Lad os nu skrive alle fortegnsskiftene som at der er ganget med ( 1): = ( x) + ( (3x)) + ( y) + ( (5y)) Ombytning med differenser Minus parenteser 5.4 Multiplikativ invers Man kan også spejle et tal med hensyn til regneoperationen gange. Så handler det om at finde et spejlbillede som opfylder at når man ganger et tal med sit spejlbillede, så får man det multiplikativt neutrale element. Denne gang er det dog en smule mere indviklet af to grunde: 1. Nul har ikke nogen multiplikativ invers. Det kan føles meget uretfærdigt, men vi skal senere se at nul er en meget destruktiv fætter når man ganger med den, så den har slet ikke nogen chancer for at have en invers. side 32

35 2. Spejlingen er denne gang ikke så pæn og symmetrisk når man tænker på de reelle tal som en tallinje. Man skal i stedet forestille sig at tal som er større end 1 ryger om på den anden side mellem 0 og 1. Her er reglen: Regel 5B. Til ethvert tal, x 0, findes der et multiplikativt inverst tal, y, med den egenskab at: x y = 1 (Altså: Man får 1 når man ganger x med sit multiplikativt inverse tal.) Figur 2: Et billede af hvordan man bør tænke på reciprok operationen. side 33

36 5.5 Division Brøkregneregler 6 Afledte regler De fem regler som vi har set på i dette dokument er som sagt de mest fundamentale regneregler som findes. Du har set nogle eksempler på hvordan de kan kombineres til at lave ret komplicerede omskrivninger, og hvordan mange andre regler dukker op simpelt hen ved at kombinere de fem grundlæggende regler. Faktisk er det endnu vildere: Man kan i princippet bevise alt hvad vi ved om reelle tal udfra disse fem regler og en lille smule mere (helt præcist fire regler mere). Hvis du synes at dette lyder spændende, så kan du læse mere om det i et andet dokument, hvor vi går helt til bunds i historien. Du kan også finde en oversigt over alle de regneregler som du bør kende udenad. side 34

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011 ULULU (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Excel-2: Videre med formler

Excel-2: Videre med formler Excel-2: Videre med formler Tips: Du kan bruge Fortryd-knappen ligesom i Word! Du kan markere flere celler, som ikke ligger ved siden af hinanden ved at holde CONTROL-knappen nede Du kan slette indholdet

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere