Preben Alsholm. 13. marts 2008
|
|
|
- Laurits Søgaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Arcus, I 13. marts 2008
2 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) Arcus, I
3 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus, x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved f 1 (a) = b () f (b) = a dvs. f 1 omgør, hvad f gør. 1 til f I
4 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus, x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved dvs. f f 1 (a) = b () f (b) = a 1 omgør, hvad f gør. I Lad f være enentydig. Vi har for alle x: f 1 f (x) = x og f f 1 (x) = x. 1 til f I
5 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved dvs. f f 1 (a) = b () f (b) = a 1 omgør, hvad f gør. 1 til f I Lad f være enentydig. Vi har for alle x: f 1 f (x) = x og f f 1 (x) = x. I Hvis f er di erentiabel i x 0 med f 0 (x 0 ) 6= 0, så er f 1 di erentiabel i y 0 = f (x 0 ) med f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) Arcus, I
6 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) I Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f er givet ved dvs. f f 1 (a) = b () f (b) = a 1 omgør, hvad f gør. 1 til f I Lad f være enentydig. Vi har for alle x: f 1 f (x) = x og f f 1 (x) = x. I Hvis f er di erentiabel i x 0 med f 0 (x 0 ) 6= 0, så er f 1 di erentiabel i y 0 = f (x 0 ) med f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) Arcus, I I Maple: arcsin, arccos og arctan, men se også nedenfor.
7 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 Arcus, I
8 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. Arcus, I
9 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 Arcus, I
10 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. Arcus, I
11 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, Arcus, I
12 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, I arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og , 2 Arcus, I
13 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, I arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og 0 2 2, I arcsin 1 2 = 6 da sin 6 = 1 2 og 6 2 2, Arcus, I
14 2, I Betragt restriktionen af sinusfunktionen til Lad os kalde den Sin. Vi har altså sin x for x 2 Sin (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 I Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcussinus og betegnes med arcsin. I arcsin omgør, hvad Sin gør: arcsin (a) = b () Sin (b) = a h () sin (b) = a ^ b 2 2, i 2 I De nitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. I arcsin 1 = 2 da sin 2 = 1 og 2 2 2, I arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og 0 2 2, I arcsin 1 2 = 6 da sin 6 = 1 2 og 6 2 2, I arcsin sin 3 2 = arcsin ( 1) = Arcus, I
15 I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. Arcus, I
16 I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arcsin (sin x) = x for alle x 2. 2, 2 Arcus, I
17 I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arcsin (sin x) = x for alle x 2. 2, 2 I arcsin er di erentiabel i ethvert x 2 ] d dx arcsin x = 1 p 1 x 2 1, 1[ med Arcus, I
18 I sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arcsin (sin x) = x for alle x 2. 2, 2 I arcsin er di erentiabel i ethvert x 2 ] d dx arcsin x = 1 p 1 x 2 1, 1[ med I Bevis. Lad x 0 2 2, 2 og lad f = sin i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = cos x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = sin x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 = q1 (sin x 0 ) 2 1 f 0 (x 0 ) = 1 = cos x 0 1 q1 (sin x 0 ) 2 = 1 q 1 y0 2
19 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] Arcus, I
20 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. Arcus, I
21 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I
22 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1].
23 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ].
24 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ]. I arccos 0 = 2 da cos 2 = 0 og 2 2 [0, ].
25 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ]. 2 I arccos 0 = 2 da cos I arccos 1 2 = 3 da cos 3 = 0 og 2 2 [0, ]. = 1 2 [0, ]. 2 og 3
26 I Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, ]. Lad os kalde den Cos. Vi har altså cos x for x 2 [0, ] Cos (x) = ikke de neret for x /2 [0, ] I Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcuscosinus og betegnes med arccos. I arccos omgør, hvad Cos gør: arccos (a) = b () Cos (b) = a () cos (b) = a ^ b 2 [0, ] Arcus, I I De nitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. I arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, ]. I arccos 0 = 2 da cos 2 = 0 og 2 2 [0, ]. I arccos 1 2 = 3 da cos 3 = 1 2 og 3 2 [0, ]. I arccos cos 3 2 = arccos (0) =
27 I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. Arcus, I
28 I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, ]. Arcus, I
29 I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, ]. I arccos er di erentiabel i ethvert x 2 ] 1, 1[ med d dx arccos x = 1 p 1 x 2 Arcus, I
30 I cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. I arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, ]. I arccos er di erentiabel i ethvert x 2 ] 1, 1[ med d dx arccos x = 1 p 1 x 2 I Bevis. Lad x 0 2 ]0, [ og lad f = cos i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = sin x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = cos x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 = q1 (cos x 0 ) 2 1 f 0 (x 0 ) = 1 = sin x 0 1 = q1 (sin x 0 ) 2 1 q 1 y0 2
31 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, Arcus, I
32 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. Arcus, I
33 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 Arcus, I
34 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. Arcus, I
35 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, Arcus, I
36 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, I arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og , 2 Arcus, I
37 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, I arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og 0 2 2, I arctan p 3 = 3 da tan p 3 = 3 og 3 2 2, Arcus, I
38 I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til Lad os kalde den Tan. Vi har altså tan x for x 2 Tan (x) = 2, 2 ikke de neret for x /2 2, 2 2, I Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes arcustangens og betegnes med arctan. I arctan omgør, hvad Tan gør: arctan (a) = b () Tan (b) = a i () tan (b) = a ^ b 2 2, h 2 I De nitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. I arctan 1 = 4 da tan 4 = 1 og 4 2 2, I arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og 0 2 2, I arctan p 3 = 3 da tan p 3 = 3 og 3 2 2, I arctan tan 3 4 = arctan ( 1) = 4. Arcus, I
39 I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. Arcus, I
40 I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, Arcus, I
41 I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, I arctan er di erentiabel i ethvert x 2 R med d dx arctan x = x 2 Arcus, I
42 I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, I arctan er di erentiabel i ethvert x 2 R med d dx arctan x = x 2 I Bevis. Lad x 0 2 2, 2 og lad f = tan i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = 1 + tan 2 x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = tan x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) = tan 2 x 0 = y 2 0
43 I I tan (arctan x) = x for alle x 2 R. I arctan (tan x) = x for alle x 2 2, I arctan er di erentiabel i ethvert x 2 R med d dx arctan x = x 2 I Bevis. Lad x 0 2 2, 2 og lad f = tan i den generelle sætning om di erentiabilitet. f 0 (x 0 ) = 1 + tan 2 x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = tan x 0, så gælder Arcus, I f 1 0 (y0 ) = 1 f 0 (x 0 ) = tan 2 x 0 = y 2 0 I Maple.
44 I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x Arcus, I
45 I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x I Cosinus hyperbolsk de neres således cosh x = 1 2 ex + e x Arcus, I
46 I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x I Cosinus hyperbolsk de neres således cosh x = 1 2 ex + e x I Begge er de nerede og di erentiable overalt med d d sinh x = cosh x, dx cosh x = sinh x dx Arcus, I
47 I Sinus hyperbolsk de neres således sinh x = 1 2 ex e x I Cosinus hyperbolsk de neres således cosh x = 1 2 ex + e x I Begge er de nerede og di erentiable overalt med d d sinh x = cosh x, dx cosh x = sinh x dx Arcus, I I Hyperbolsk idiotformel: cosh 2 x sinh 2 x = 1. Bevis: (cosh x) 2 (sinh x) 2 1 = 2 ex + e x ex e x 2 = 1 4 e2x e 2x 1 4 e2x 2 + e 2x = 1
48 I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x Arcus, I
49 I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. Arcus, I
50 I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x Arcus, I
51 I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x I cosh er ikke enentydig, men restriktionen til [0, [ er. Den omvendte hertil er arcosh. Arcus, I
52 I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x I cosh er ikke enentydig, men restriktionen til [0, [ er. Den omvendte hertil er arcosh. I Det kan vises, at for alle x 1: arcosh x = ln x + p x 2 1 Arcus, I
53 I Tangens hyperbolsk de neres således tanh x = sinh x cosh x I sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. I Det kan vises, at for alle x 2 R: arsinh x = ln x + p x I cosh er ikke enentydig, men restriktionen til [0, [ er. Den omvendte hertil er arcosh. I Det kan vises, at for alle x 1: arcosh x = ln x + p x 2 1 Arcus, I I For mere se Maple.
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk
Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Geometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)
Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...
3. Differentialregning
3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet
Differentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Elementære funktioner
enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere
Elementære funktioner
enote 3 1 enote 3 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere
Taylorpolynomier og Taylors sætning
og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet
Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier
. 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet
Trigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Problemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
DesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).
En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder
Matematikprojekt. Svingninger. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 17 September 2010
Matematikprojekt om Svingninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 17 September 2010 Del I Radianer Når man arbejder med vinkelstørrelser, kan man beskrive afstanden
π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund
Inverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Løsninger til øvelser i kapitel 1
Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.
Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.
Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006
Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommerkursus 2018. Institution HF & VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK-hold A-B
Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion
ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne
1 Differentialkvotient
gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden
Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Lektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Kompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Undervisningsbeskrivelse for 1ama
Undervisningsbeskrivelse for 2016-2017 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Horsens HF og VUC HF2 Matematik
HP 6S Videnskabelig kalkulator
HP 6S Videnskabelig kalkulator H 1 1 FRALÆGGELSE Denne håndbog og eksempler heri stilles til rådighed uden forandringer, og er underkastet ændringer uden varsel. Undtagen i den udstrækning som loven forbyder,
06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
MATEMATIK FOR INGENIØRER BIND 1
BJARNE HELLESEN og MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK FOR INGENIØRER BIND 1 6. UDGAVE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET INSTITUT FOR ANVENDT KEMI 2000 FORORD Formål. Det er hensigten, at lærebogssystemet (i
Vigtigt Texas Instruments Incorporated.
BA II PLUS Regner Vigtigt Texas Instruments giver ingen garanti, hverken udtrykt eller underforstået, herunder, men ikke begrænset til, underforståede garantier for salgbarhed og egnethed til et bestemt
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Formelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Din brugermanual TEXAS INSTRUMENTS BA II PLUS PROFESSIONAL http://da.yourpdfguides.com/dref/526619
Du kan læse anbefalingerne i brugervejledningen, den tekniske guide eller i installationsguiden. Du finder svarene til alle dine spørgsmål i TEXAS INSTRUMENTS BA II PLUS PROFESSIONAL i brugermanualen (information,
Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II
Formelsamling til MM501 Calculus I MM502 Calculus II MM503 BioMat I MM504 BioMat II Niels Kirkegaard og Peter Damkjær Senest redigeret af Hans J. Munkholm, juli 2009 Forord Denne formelsamling er oprindelig
Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Differentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
MATEMATIK 3 EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1
EN,MP 30. august 2013 Oversigt nr. 1 Litteratur: I Matematik 3 bruger vi (igen) i efteråret 2013 E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 10. udg., Wiley, 2011. Beskrivelse: Kurset vil handle om matematiske
A U E R B A C H. c h A H
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
MATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1
ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil
TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
BA II PLUS / BA II PLUS PROFESSIONAL Regnere
BA II PLUS / BA II PLUS PROFESSIONAL Regnere Vigtigt Texas Instruments giver ingen garanti, hverken udtrykt eller underforstået, herunder, men ikke begrænset til, underforståede garantier for salgbarhed
Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
M A T E M A T I K B 1
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Differentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Malene Overgaard
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Rabia Jeelani
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.
TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau
Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Løsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Skabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Najib Faizi
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kristian Møller
Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit
Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser
Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne
Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: august 2013 maj/juni
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.
1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,
Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Matematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
M I K E A U E R B A C H. c a
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
M A T E M A T I K A 1
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Lokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Introduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Oversigt [S] 4.5, 5.10
![Oversigt [S] 4.5, 5.10](/thumbs/20/426063.jpg "Oversigt [S] 4.5, 5.10")
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
![GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader](/thumbs/33/15809111.jpg "GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader")
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau VUC Holstebro Lemvig Struer HF Matematik C Læreplan Lærer(e) Hold Michael
Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1