t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
|
|
- Sofia Jørgensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Slide 1/54
2 Indhold Slide 2/54
3 Indhold Slide 3/54
4 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54
5 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54
6 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem 3) Hvad vil det sige at deducere? Slide 4/54
7 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem 3) Hvad vil det sige at deducere? 4) Hvordan skal vi vælge vores aksiomer? Ikke-redundans, konsistens og komplethed. Slide 4/54
8 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem 3) Hvad vil det sige at deducere? 4) Hvordan skal vi vælge vores aksiomer? Ikke-redundans, konsistens og komplethed. 5) Gõdels sætning Slide 4/54
9 Euklids Aksiomer 1) Mellem to punkter kan altid trækkes en ret linje. 2) Ethvert linjestykke kan forlænges til en vilkårligt lang ret linje. 3) Givet et vilkårligt linjestykke kan tegnes en cirkel, som har linjestykket som radius og centrum i et af endepunkterne. 4) Alle rette vinkler er ens. 5) Parallel postulatet: Hvis to linjer skærer en tredje linje, så summen at de to indre vinkler er mindre end to rette vinkler, da skærer de to linjer hinanden, hvis de forlænges nok. Slide 5/54
10 Zermelo-Fräenkels Aksiomer Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Slide 6/54
11 Zermelo-Fräenkels Aksiomer Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Russells paradoks: I en by bor der en barber, som kun barberer alle dem, som ikke barberer sig selv. Men hvem barberer barbereren? Slide 6/54
12 Zermelo-Fräenkels Aksiomer Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Russells paradoks: I en by bor der en barber, som kun barberer alle dem, som ikke barberer sig selv. Men hvem barberer barbereren? Zermelo-Fräenkels aksiomer 1) Der eksisterer en mængde, hvori ingen elementer er medlem. 2) For ethvert par af mængder findes der en mængde bestående af netop alle elementer fra de to første mængder. 3)... 4) I enhver ikke-tom mængde A, der findes et element a A, som ikke har elementer tilfælles med A. Slide 6/54
13 Definition Afgrænsning og beskrivelse af et begreb. Slide 7/54
14 Definition Afgrænsning og beskrivelse af et begreb. Lemma Hjælperesultat. Bruges om et mindre resultat, som bruges i beviset for en et større resultat (en sætning). Sætning Et vigtigt resultat. Korollar Følgeresultat. Bruges om et resultat, der følger (næsten) direkte af en sætning eller er et vigtigt specialtilfælde af en sætning. Slide 7/54
15 Indhold Slide 8/54
16 Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Slide 9/54
17 Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. Slide 9/54
18 Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. Slide 9/54
19 Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. 3) Talmængderne N, Z, Q, R. Slide 9/54
20 Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. 3) Talmængderne N, Z, Q, R. 4) med betingelser: X = {x R z R : x z = z} og Y = {x R n Z : 2n = x} Slide 9/54
21 Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. 3) Talmængderne N, Z, Q, R. 4) med betingelser: 5) Intervaller: X = {x R z R : x z = z} og Y = {x R n Z : 2n = x} [a, b] = {x R a x b} [a, b) = {x R a x < b} [a, ) = {x R a x} (, b) = {x R x < b} Slide 9/54
22 Slide 10/54
23 Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Slide 10/54
24 Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 2 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Slide 10/54
25 Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 2 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Sætning 3 Der er kun én mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Slide 10/54
26 Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 2 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Sætning 3 Der er kun én mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Definition 4 Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde og betegnes med. Slide 10/54
27 Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Slide 11/54
28 Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Slide 11/54
29 Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 6 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Slide 11/54
30 Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 6 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Bemærkning 7 Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det om at vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge et vilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor starter beviser af denne type med ordene Lad x A. Slide 11/54
31 Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 6 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Bemærkning 7 Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det om at vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge et vilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor starter beviser af denne type med ordene Lad x A. Eksempel 8 Vis at {x R x 2 < 2} {x R x < 5} Slide 11/54
32 Sætning 9 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Slide 12/54
33 Sætning 9 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Sætning 10 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A B) (B A). Slide 12/54
34 Sætning 9 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Sætning 10 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A B) (B A). Bemærkning 11 Hvis man vil vise, at to mængder A og B er lig hinanden, er det ofte lettest at vise, at A B og B A. Slide 12/54
35 Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Slide 13/54
36 Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 15 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Slide 13/54
37 Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 15 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Eksempel 16 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Slide 13/54
38 Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 15 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Eksempel 16 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 17 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 13/54
39 Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Slide 14/54
40 Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 19 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Slide 14/54
41 Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 19 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Eksempel 20 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Slide 14/54
42 Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 19 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Eksempel 20 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 21 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 14/54
43 Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Slide 15/54
44 Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 25 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Slide 15/54
45 Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 25 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Eksempel 26 Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Bestem A B. Slide 15/54
46 Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 25 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Eksempel 26 Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Bestem A B. Bemærkning 27 Hvis A = B skriv vi ofte A 2 i stedet for A B. Slide 15/54
47 Eksempel 28 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Slide 16/54
48 Eksempel 28 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Eksempel 29 Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen. Slide 16/54
49 Eksempel 28 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Eksempel 29 Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen. Definition 30 Lad A 1, A 2, A 3 osv. op til A n være n mængder. n mellem disse mængder er da givet ved A 1 A 2 A n = {(x 1, x 2,, x n ) x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n } Slide 16/54
50 af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Slide 17/54
51 af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Eksempel 22 Betragt intervallerne I 1 = [0, 1] I 2 = [0, 1 2 ] I 3 = [0, 1 3 ] I n = [0, 1 n ] Disse intervaller udgør en familie af delmængder af R, hvor indeksmængden er N. Slide 17/54
52 af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Eksempel 22 Betragt intervallerne I 1 = [0, 1] I 2 = [0, 1 2 ] I 3 = [0, 1 3 ] I n = [0, 1 n ] Disse intervaller udgør en familie af delmængder af R, hvor indeksmængden er N. Definition 23 Lad Λ være en indeksmængde, så der til etvhert α Λ svarer en mængde A α, da siger vi at A α erne udgør en familie af mængder, og vi betegner familien med {A α } α Λ. Slide 17/54
53 af mængder Definition 32 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien. Slide 18/54
54 af mængder Definition 32 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien. Bemærkning 33 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 18/54
55 af mængder Bemærkning 34 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Slide 19/54
56 af mængder Bemærkning 34 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 35 Betragt familien af intervaller {I n } n N fra eksempel 22. Vis at I n = I n = [0, 1 n ] = {0} n N n=1 n=1 Slide 19/54
57 af mængder Definition 36 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien. Slide 20/54
58 af mængder Definition 36 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien. Bemærkning 37 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 20/54
59 af mængder Bemærkning 38 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Slide 21/54
60 af mængder Bemærkning 38 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 39 Betragt familien af intervaller {I n } n N, hvor I n = [0, 1 1 n ]. Vis at n=1 [0, 1 1 ] = [0, 1) n Slide 21/54
61 Symboler Symbol Forklaring Symbol Forklaring tilhører eksisterer hvorom det gælder : hvor og eller/og for alle uendelig den tomme mængde delmængde af fællesmængde Slide 22/54
62 Indhold Slide 23/54
63 - Intuition En funktion f : A B sætter elementer fra mængden A i relation til elementer i B. Vi har dog ét krav: For ethvert a A skal være netop ét b B. Slide 24/54
64 - Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Slide 25/54
65 - Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! Slide 25/54
66 - Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. Slide 25/54
67 - Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. 2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A. Slide 25/54
68 - Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. 2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A. 3) f opfører sig ensartet i delmængder af A. Slide 25/54
69 - Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. 2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A. 3) f opfører sig ensartet i delmængder af A. 4) f er ude af kontrol?!?!? Slide 25/54
70 - Stringent Definition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X, Y, G), hvor G er en delmængde af X Y. ne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænet hørende til relationen, mens G kaldes relationens graf. Slide 26/54
71 - Stringent Definition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X, Y, G), hvor G er en delmængde af X Y. ne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænet hørende til relationen, mens G kaldes relationens graf. Definition: En relation f = (X, Y, G) kaldes en funktion, hvis der for alle x X eksisterer netop ét y Y, så (x, y) G. Mere formelt 1) x X, y Y : (x, y) G. 2) x X, y 1, y 2 Y : (x, y 1 ) G (x, y 2 ) G y 1 = y 2. Den unikke værdi y for f i x noteres f(x). Vi noterer funktionen f : X Y. Slide 26/54
72 - Stringent Definition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X, Y, G), hvor G er en delmængde af X Y. ne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænet hørende til relationen, mens G kaldes relationens graf. Definition: En relation f = (X, Y, G) kaldes en funktion, hvis der for alle x X eksisterer netop ét y Y, så (x, y) G. Mere formelt 1) x X, y Y : (x, y) G. 2) x X, y 1, y 2 Y : (x, y 1 ) G (x, y 2 ) G y 1 = y 2. Den unikke værdi y for f i x noteres f(x). Vi noterer funktionen f : X Y. Eksempel Lad f : N R være givet ved forskriften f(x) = πx + 4. Da er f en relation, hvor X = N Y = R G = {(x, y) N R y = πx + 4} Slide 26/54
73 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 Slide 27/54
74 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). Slide 27/54
75 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Slide 27/54
76 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 Slide 27/54
77 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. Slide 27/54
78 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. - Størrelsen af a (og b) har betydning for stejlheden af parablen. Slide 27/54
79 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. - Størrelsen af a (og b) har betydning for stejlheden af parablen. - Konstantleddet c angiver skærring med Y-aksen. Slide 27/54
80 Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. - Størrelsen af a (og b) har betydning for stejlheden af parablen. - Konstantleddet c angiver skærring med Y-aksen. - Men hvad så med b? Vi husker formlen for løsning af andengradsligninger, ax 2 + bx + c = 0, nemlig x = b ± b 2 4ac 2a Slide 27/54
81 Faktorisering af Andengradspolynomier Lemma: Lad r 1, r 2 være rødder for polynomiet P(x) = ax 2 + bx + c, a 0, altså P(r 1 ) = 0 og P(r 2 ) = 0 Da gælder r 1 + r 2 = b og r 1 r 2 = c a a Slide 28/54
82 Faktorisering af Andengradspolynomier Lemma: Lad r 1, r 2 være rødder for polynomiet P(x) = ax 2 + bx + c, a 0, altså P(r 1 ) = 0 og P(r 2 ) = 0 Da gælder r 1 + r 2 = b og r 1 r 2 = c a a Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 Lad endvidere r 1, r 2 være rødder for P. Da gælder P(x) = a(x r 1 )(x r 2 ), a 0 Slide 28/54
83 Toppunkt for Andengradspolynomier Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen Da har P sit toppunkt T i P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 ( T = b ) 2a, b2 4ac 4a Slide 29/54
84 Opsummering og Opgaver Lad P : R R være givet ved forskriften P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 Da har P følgende rødder r 1 = b + b 2 4ac 2a og r 2 = b b 2 4ac 2a Toppunktet for P er givet ved følgende formel ( T = b ) 2a, b2 4ac 4a P kan faktoriseres som P(x) = a(x r 1 )(x r 2 ) Slide 30/54
85 Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Slide 31/54
86 Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Vi har altså, at f er injektiv, hvis x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Til enhver værdi y Y er der altså HØJST én værdi x X, så f(x) = y. Slide 31/54
87 Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Vi har altså, at f er injektiv, hvis x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Til enhver værdi y Y er der altså HØJST én værdi x X, så f(x) = y. Surjektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst ét x X, så f(x) = y. Vi har altså, at f er surjektiv, hvis y Y, x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså MINDST én værdi x X, så f(x) = y. Slide 31/54
88 Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Vi har altså, at f er injektiv, hvis x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Til enhver værdi y Y er der altså HØJST én værdi x X, så f(x) = y. Surjektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst ét x X, så f(x) = y. Vi har altså, at f er surjektiv, hvis y Y, x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså MINDST én værdi x X, så f(x) = y. Bijektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv. Vi har altså, at f er bijektiv, hvis y Y,!x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså NETOP én værdi x X, så f(x) = y. Slide 31/54
89 Inverse funktioner Definition: Lad f : X Y og g : Y Z være to funktioner. Vi definerer da den sammensatte funktion g f : X Z ved x X : g f(x) = g(f(x)) Slide 32/54
90 Inverse funktioner Definition: Lad f : X Y og g : Y Z være to funktioner. Vi definerer da den sammensatte funktion g f : X Z ved x X : g f(x) = g(f(x)) Definition: Lad f : X Y være en funktion. Den inverse funktion til f betegnes f 1 : Y X og opfylder 1) x X : f 1 f(x) = x og 2) y Y : f f 1 (y) = y Slide 32/54
91 Inverse funktioner Definition: Lad f : X Y og g : Y Z være to funktioner. Vi definerer da den sammensatte funktion g f : X Z ved x X : g f(x) = g(f(x)) Definition: Lad f : X Y være en funktion. Den inverse funktion til f betegnes f 1 : Y X og opfylder 1) x X : f 1 f(x) = x og 2) y Y : f f 1 (y) = y Opgave Hvad skal der gælde om f, før vi med sikkerhed kan sige, at der findes en f 1, som opfylder både 1) og 2)? - Er 1) opfyldt, når f er injektiv? Er 2) opfyldt? - Er 1) opfyldt, når f er surjektiv? Er 2) opfyldt? - Hvornår er både 1) og 2) opfyldt? HUSK: f 1 : Y X er kun en funktion, hvis der for alle y Y findes NETOP ÉT x X, så f 1 (y) = x. Slide 32/54
92 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner Slide 33/54
93 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. Slide 33/54
94 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. Slide 33/54
95 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Slide 33/54
96 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. 4) En funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst et x X, så f(x) = y. Slide 33/54
97 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. 4) En funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst et x X, så f(x) = y. 5) En funktion f : X Y er bijektiv, hvis den er både injektiv og surjektiv. Slide 33/54
98 Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. 4) En funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst et x X, så f(x) = y. 5) En funktion f : X Y er bijektiv, hvis den er både injektiv og surjektiv. 6) En funktion f : X Y har en invers funktion f 1 : Y X, hvis og kun hvis f er bijektiv. Slide 33/54
99 Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. Slide 34/54
100 Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. Slide 34/54
101 Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). Slide 34/54
102 Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder Slide 34/54
103 Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder - Renteformlen givet ved K n = K 0 (1 + r) n hvor K n angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K 0 kroner ind på en konto med rente r. Slide 34/54
104 Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder - Renteformlen givet ved K n = K 0 (1 + r) n hvor K n angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K 0 kroner ind på en konto med rente r. - Stråling fra radioaktivt stof aftager (dvs. 0 < a < 1) eksponentielt, hvor a og b afhænger af det specifikke stof. Slide 34/54
105 Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder - Renteformlen givet ved K n = K 0 (1 + r) n hvor K n angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K 0 kroner ind på en konto med rente r. - Stråling fra radioaktivt stof aftager (dvs. 0 < a < 1) eksponentielt, hvor a og b afhænger af det specifikke stof. - Temperaturforskellen mellem en varm småkage og den konstante stuetemperatur aftager eksponentielt. Slide 34/54
106 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Slide 35/54
107 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: Slide 35/54
108 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. Slide 35/54
109 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. Slide 35/54
110 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. Slide 35/54
111 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. 4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på = 0, %. Slide 35/54
112 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. 4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på = 0, %. Alle banker forlanger, at du låser din formue i 1 år! Hvilket tilbud tager du? Og hvorfor? Slide 35/54
113 Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. 4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på = 0, %. Alle banker forlanger, at du låser din formue i 1 år! Hvilket tilbud tager du? Og hvorfor? SVAR: K 1 = (1 + 1) 1 = 2, ( K 2 = ) 2 = 2, ( K 12 = ) 12 = 2, ( K 365 = ) 365 = Slide 35/54
114 Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( n ) n Slide 36/54
115 Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( n ) n Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b. Slide 36/54
116 Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( n ) n Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b. - Konstanten b angiver skærringspunktet med X-aksen. Slide 36/54
117 Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( n ) n Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b. - Konstanten b angiver skærringspunktet med X-aksen. - Når k < 0 er funktionen aftagende. Når 0 < k er funktionen voksende. Slide 36/54
118 Eksponentialfunktioner Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = a x, a > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f. Slide 37/54
119 Eksponentialfunktioner Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = a x, a > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. Vi har særlig interesse i den naturlige eksponentialfunktion f(x) = e x Denne funktion har nemlig super pæne egenskaber - som vi skal se senere. Slide 37/54
120 Eksponentialfunktioner Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = a x, a > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Skæringspunktet med Y-aksen er altid (0, 1). Vi har særlig interesse i den naturlige eksponentialfunktion f(x) = e x Denne funktion har nemlig super pæne egenskaber - som vi skal se senere. Til slut ser vi at funktionen f : R R + givet ved forskriften f(x) = a x er bijektiv. Specielt er den naturlige eksponentialfunktion bijektiv. Slide 37/54
121 Opgaver Lad f : R R være en eksponential udviklingen, dvs. Det oplyses at k < 0. 1) Skitser grafen for f. f(x) = b e kx, k 0, b > 0 2) Det oplyses, at f(0) = 4. Hvad kan vi sige om b? 3) Det oplyses, at f(2) = 4e 1. Hvad kan vi sige om a? Antag at det oplyses f(x 1 ) = y 1 og f(x 2 ) = y 2. Vis at ( ) 1 e k y2 x 2 x 1 = og b = y 1 y 1 a x eller b = y 2 1 a x 2 Slide 38/54
122 Lad f : R R + være givet ved forskriften f(x) = a x. Vi definerer nu den entydigt bestemte funktion g : R + R, som opfylder x R : g f(x) = x og x R + : f g(x) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = log a (x) (læs: logaritmen med grundtal a af x). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = log e. Slide 39/54
123 Lad f : R R + være givet ved forskriften f(x) = a x. Vi definerer nu den entydigt bestemte funktion g : R + R, som opfylder x R : g f(x) = x og x R + : f g(x) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = log a (x) (læs: logaritmen med grundtal a af x). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = log e. Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) log(a) + log(b) = log(ab). 2) log(a) log(b) = ( ) a log b. 3) log(a n ) = n log(a). Slide 39/54
124 Lad f : R R + være givet ved forskriften f(x) = a x. Vi definerer nu den entydigt bestemte funktion g : R + R, som opfylder x R : g f(x) = x og x R + : f g(x) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = log a (x) (læs: logaritmen med grundtal a af x). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = log e. Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) log(a) + log(b) = log(ab). 2) log(a) log(b) = ( ) a log b. 3) log(a n ) = n log(a). Sætning: Lad a, b R + med a, b 1 og x R +. Da fås følgende relation log a (x) = log b(x) log b (a) Slide 39/54
125 Opsummering og Opgaver Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) log(a) + ln(b) = log(ab). 2) log(a) ln(b) = ( ) a log b. 3) log(a n ) = n log(a). Sætning: Lad a, b R + med a, b 1 og x R +. Da fås følgende relation log a (x) = log b(x) log b (a) Huskeregel For at udregne log a (x) skal man spørge: Hvilket tal skal a opløftes i for at få x? Slide 40/54
126 Enhedscirklen Definition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0).. Slide 41/54
127 Enhedscirklen Definition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Enhedscirklen kan altså illustreres grafisk således.. Slide 41/54
128 Enhedscirklen Definition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Enhedscirklen kan altså illustreres grafisk således. Enhedscirklen har radius 1, og derfor er omkredsen 2π. Slide 41/54
129 Enhedscirklen Lad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langs enhedscirklen cirkelbue mod urets retning. Slide 42/54
130 Enhedscirklen Lad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langs enhedscirklen cirkelbue mod urets retning. Slide 42/54
131 Enhedscirklen Lad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langs enhedscirklen cirkelbue mod urets retning. Vi når da et bestemt punkt på enhedscirklen. Punktets koordinater i planen giver os mulighed for at definere cosinus og sinus. Slide 42/54
132 Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Slide 43/54
133 Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet. Slide 43/54
134 Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet. Slide 43/54
135 Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet. Hvis x > 2π når vi hele vejen rundt på enhedscirklen og må påbegynde et nyt omløb. Vi ser altså at cos(x + n 2π) = cos(x) og sin(x + n 2π) = sin(x), n N Slide 43/54
136 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Slide 44/54
137 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Slide 44/54
138 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. Slide 44/54
139 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. Slide 44/54
140 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. Slide 44/54
141 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. En vinkel på 45 grader og en vinkel på π er ens. 4 Slide 44/54
142 Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. En vinkel på 45 grader og en vinkel på π er ens. Grader og radianer er altså to sider af 4 samme sag. Vi har altså: cos(v) = cos(45 grader) = cos( π 4 ) og sin(v) = sin(45 grader) = sin( π 4 ) Slide 44/54
143 Sinus og cosinus Sætning (idiotformlen): For alle x R gælder at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Slide 45/54
144 Sinus og cosinus Sætning (idiotformlen): For alle x R gælder at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Sætning (additionsformlerne): For alle x, y R gælder at sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Slide 45/54
145 Sinus og cosinus Sætning (idiotformlen): For alle x R gælder at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Sætning (additionsformlerne): For alle x, y R gælder at sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Sætning(overgangsformlerne): For alle x R gælder at sin(x + π 2 ) = cos(x) cos(x + π 2 ) = sin(x) Slide 45/54
146 Sinus og cosinus Grafen for henholdsvis sinus og cosinus er en bølge. Dette er en af årsagerne til deres mange anvendelser - fx i fysik. Slide 46/54
147 Indhold Slide 47/54
148 - Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a.. Slide 48/54
149 - Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a. Hvis a X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod er værdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende.. Slide 48/54
150 - Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a. Hvis a X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod er værdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende. Hvis der findes et tal b R, så f(x) ligger tæt ved b, når blot x ligger tilstrækkeligt tæt ved a, da siger vi at f(x) konvergerer mod b i grænseovergangen for x gående mod a. eller f(x) b, når x a lim f(x) = b x a. Slide 48/54
151 - Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a. Hvis a X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod er værdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende. Hvis der findes et tal b R, så f(x) ligger tæt ved b, når blot x ligger tilstrækkeligt tæt ved a, da siger vi at f(x) konvergerer mod b i grænseovergangen for x gående mod a. eller f(x) b, når x a lim f(x) = b x a Hvis der ikke findes b R, så f(x) nærmer sig b, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer i grænseovergangen for x gående mod a. Slide 48/54
152 - Intuition Lad f : R R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R være et punkt i X, så f er defineret tæt på a. Slide 49/54
153 - Intuition Lad f : R R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R være et punkt i X, så f er defineret tæt på a. Hvis f(x) vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer. Vi skriver eller f(x), når x a lim f(x) = x a Slide 49/54
154 - Intuition Lad f : R R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R være et punkt i X, så f er defineret tæt på a. Hvis f(x) vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer. Vi skriver eller f(x), når x a lim f(x) = x a Hvis f(x) nærmer sig en værdi b R, når x vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, siger vi igen f(x) konvergerer og skriver eller f(x) b, når x lim f(x) = b x Slide 49/54
155 - Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x f(x) x Slide 50/54
156 - Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x f(x) ?? x Slide 50/54
157 - Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x f(x) ?? Lad g : R R være givet ved forskriften x g(x) = 13 x 7 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 7. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 7. x f(x) Slide 50/54
158 - Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x f(x) ?? Lad g : R R være givet ved forskriften x g(x) = 13 x 7 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 7. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 7. x f(x) ?? Slide 50/54
159 - Stringent Lad f : X R være en funktion, hvor X R og lad a ligge i eller tæt på X. Lad endvidere b R. Vi siger da, at f har b som grænseværdi ved grænseovergangen x a, x X (læs: x gående mod a fra X), og vi skriver hvis f(x) b for x a, x X eller lim x a f(x) = b ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ f(x) b < ε for x X Slide 51/54
Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereMatematik A1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereM I K E A U E R B A C H. c a
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereM A T E M A T I K B 1
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereM A T E M A T I K A 1
M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereA U E R B A C H. c h A H
M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereMathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.
Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår19, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereMatematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011
1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mere20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereKomplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Læs mereFunktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012
Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereFunktionsfamilier. Frank Nasser. 12. april 2011
Funktionsfamilier Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereForløb om eksponential- og logaritmefunktioner
Forløb om eksponential- og logaritmefunktioner Mikkel Stouby Petersen 17/05/2016 Elevversion Indhold Indhold I Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst 3 1 Oversigt: Eksponentialfunktioner 5 2 Eksperimentariet:
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereMundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.
Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereSide 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereSupplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1
Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereNøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mere9 Eksponential- og logaritmefunktioner
9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereKomplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mere