Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Invarianter. 1 Paritet. Indhold"

Transkript

1 Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé at overveje om der er noget der er uafhængigt af det der kan ændres i opgaven. Den simpleste invariant er at se på pariteten af en størrelse. Paritet betyder simpelthen om noget er lige eller ulige, og grunden til at paritet ofte er simpelt at se på, er at der kun er to stadier. Her vil vi først se på paritet som invariant, derefter på lidt mere komplekse invarianter og hvordan man kan konstruere en invariant vha. farvning, og til slut se på monovarianter som er en størrelse der enten kun vokser eller aftager. Indhold 1 Paritet 1 2 Invariant modulo n 2 3 Farvning 3 4 Konstruktion af invariant med vægte 5 5 Monovarianter 6 6 Flere udfordringer 8 1 Paritet Når man lægger nogle hele tal sammen, og summen er lige, så ved man at der må være et lige antal ulige tal blandt de tal man har lagt sammen. Tilsvarende ved man hvis summen er ulige, at der må være et ulige antal ulige tal blandt summanderne. Det er denne basale egenskab man ofte udnytter når man benytter paritet som invariant. Eksempel 1.1. I en skakturnering deltager 2013 personer. Vi ønsker at vise at der er et lige antal personer der har spillet et ulige antal kampe. Lad s i betegne det antal kampe spiller nummer i har spillet, hvor de 2013 spillere nummereres 1, 2, 3,..., Summen s 1 + s 2 + s s 2013 må være lige da hvert spil er talt med præcis to gange, dvs. dens paritet er en invariant der er uafhængig af hvor mange kampe den enkelte spiller har spillet. Når summen af nogle hele tal er lige, er der som sagt et lige antal ulige tal blandt summanderne, dvs. at der er et lige antal personer der har spillet et ulige antal kampe. Bemærk at tallet 2013 ikke spiller nogen væsentlig rolle her. Opgave 1.1. Vis at hvis alle rum i et hus har et lige antal døre, da må der også være et lige antal døre der fører ud af huset. (Hver dør i et rum fører enten ud af huset eller ind i et andet rum). Opgave 1.2. I en hat ligger 1992 sedler med alle numre fra 1 til På tilfældig måde trækkes to sedler samtidig fra hatten; differencen mellem tallene på de to sedler skrives på en ny seddel som lægges i hatten, mens de to udtrukne sedler kastes bort. Der fortsættes på denne måde indtil der kun er en seddel tilbage i hatten. Vis at der på denne seddel står et lige tal. ( 1992) 1

2 Opgave 1.3. Er det muligt at tegne 2013 forskellige punkter P 1,P 2,...,P 2013 i planen så der findes en linje der skærer alle de 2013 linjestykker P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4,..., P 2012 P 2013, P 2013 P 1 uden at gå gennem nogen af de 2013 punkter? Opgave 1.4. I en skål er der 15 røde, 18 gule og 22 blå bolde. I hvert træk må man tage to bolde af forskellig farve og erstatte dem med en bold af den tredje farve. Efter et antal træk har alle boldene i skålen samme farve. Vis at denne farve ikke afhænger af hvordan man trækker. Opgave 1.5. Lad a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7 være syv hele tal, og lad b 1,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6,b 7 være de samme syv tal, bare i en anden rækkefølge. Vil produktet altid være lige? (a 1 b 1 )(a 2 b 2 ) (a 7 b 7 ) Opgave 1.6. Langs en cirkelperiferi er skrevet fire 1-taller og fem nuller i en eller anden rækkefølge. I hvert træk skrives et nul mellem to ens tal, og et 1-tal mellem to forskellige tal, og derefter viskes de oprindelige ni tal ud. Er det muligt at opnå en situation hvor der kun er nuller? Opgave 1.7. Et spil for tre spillere spilles på et bræt bestående af 99 felter i en lang række. Hver spiller har en spillebrik. Ved spillets start står de tre brikker på det første, det midterste og det sidste felt. En tur består i at man flytter sin brik enten en eller tre pladser frem eller tilbage (inden for brættets rammer). Man vinder spillet ved at rykke sin brik hen på et felt hvor en modstanders brik står. Det er spilleren med den midterste brik der starter. Vis at spiller nummer to ikke kan vinde. Opgave 1.8. Tallene 1, 2, 3,, 10 står på en række i denne rækkefølge. I hvert træk ombyttes to tal som står ved siden af hinanden. Efter m træk står tallene i omvendt rækkefølge. Vis at m altid er ulige. 2 Invariant modulo n Når man ser på paritet, så ser man på en størrelse modulo 2. I mange sammenhænge skal man i stedet se på en størrelse modulo et større tal n. Eksempel 2.1. I et rum er der til at starte med ingen personer. Hvert minut kommer der enten en person ind i rummet, eller der er to personer som forlader rummet. Er det muligt at der efter 2013 minutter er 1000 personer i rummet? Svaret er nej. For at vise dette vil vi gerne konstruere en invariant, og derfor er det vigtigt at overveje hvad der sker. Hvert minut er der to muligheder. Enten kommer der en person ind, eller også kommer der to ud. Forskellen mellem antal personer i rummet i de to muligheder er 3, dvs. det ligner at vi kan konstruere en invariant modulo 3. Lad os kalde antal personer i rummet efter n minutter for A n. Hvis der hele tiden kommer en person ind i rummet, er der hele tiden lige så mange personer til stede i rummet som antal minutter der er gået, dvs. A n = n. Hvis der i m af de n tilfælde i stedet er forsvundet to personer fra rummet, så er der for hver gang blevet 3 færre end i det tilfælde hvor A n = n, dvs. i dette tilfælde er A n = n 3m. Dette viser at A n n 0 modulo 3. Hvis vi ser på om det er muligt at der efter 2013 minutter kan være 1000 personer i rummet, så er svaret nej da = 1013 ikke er kongruent med 0 modulo 3. Vores analyse fra før viser helt præcist at samtlige muligheder for A n er A n = n 3m, hvor m = 0, 1, 2,..., n 3. (Her betegner n 3 det største hele tal mindre eller lig med n 3 ). Opgave 2.1. En drage har 100 hoveder. En ridder kan i et hug hugge henholdsvis 2, 17, 23 eller 38 hoveder af dragen med det resultat at der vokser 5 hoveder ud igen medmindre dragen har mistet alle sine hoveder og dermed dør. Dragen dør først når den ikke har flere hoveder. Kan ridderen slå dragen ihjel? 2

3 Opgave 2.2. På en ø er der 18 grønne, 17 røde og 13 blå kamæleoner. Hver gang to kamæleoner af forskellig farve møder hinanden, skifter de begge to farve til den tredje farve. Kan det lade sig gøre at alle kamæleonerne på øen til sidst har samme farve? Opgave 2.3. I en slimet, grå grotte bor et drabeligt dyr der en sjælden gang imellem vågner nytårsmorgen, går ud og spiser lige så mange får som summen af cifrene i årstallet, lægger sig til at sove igen og først vågner nytårsmorgen efter lige så mange år som det har spist får. Dyret vågnede nytårsmorgen i år 666. Vil dyret vågne nytårsmorgen i år 2013? Opgave 2.4. I en tabel står der 1 eller 1 i hvert felt. For hver række i er R i produktet af de 1001 tal i rækken, og for hver søjle j er S j produktet af de 1001 tal i søjlen. Vis at 1001 (R i =1 i +S i ) ikke kan være nul. Opgave 2.5. Georg spiller et enmandsspil på et bræt hvor hvert felt er et enhedskvadrat, og der er 20 felter langs den nederste kant. Først vælger han et naturligt tal r. Han må nu flytte en brik fra et felt til et andet hvis afstanden mellem de to felters centre er r. Målet er at finde en række træk der kan flytte en brik fra det nederste venstre hjørne til det nederste højre. Vis at Georg ikke kan nå målet hvis r er delelig med 2 eller 3. Vis at Georg kan nå målet når r = 73. Opgave 2.6. Til at starte med indeholder mængden S punktet (7, 29). Det er nu tilladt at tilføje punkter til S på følgende måde i) Hvis punktet (x,y ) er i S, må man tilføje punktet (x +1,y +1) til S. ii) Hvis punktet (x,y ) tilhører S, og x og y er lige, må man tilføje punktet ( x, y ) til S. 2 2 iii) Hvis punkterne (x,y ) og (y,z ) begge tilhører S, må man tilføje punktet (x,z ) til S. Er det muligt at tilføje et antal punkter til S så (3, 2013) ligger i S? 3 Farvning Mange opgaver kan løses ved at farvelægge de objekter man betragter, på en hensigtsmæssig måde. Dette er endnu en måde at konstruere en invariant på. Eksempel 3.1. Et klassisk eksempel på dette er at et skakbræt hvor to diagonalt modsatte hjørner er fjernet, ikke kan dækkes med 1 2 brikker. En sådan brik dækker nemlig altid et hvidt og et sort felt uanset hvor den ligger, og der er derfor altid dækket lige mange sorte og hvide felter. Dette er en invariant. Når de to hjørner er fjernet, er der ikke lige mange sorte og hvide felter, og brættet kan derfor ikke dækkes af 1 2 brikker. Eksempel 3.2. I foregående eksempel var farvningen allerede givet på forhånd, men nogle gange skal man selv finde på en smart farvelægning. I dette eksempel skal vi se på et rektangulært gulv som er dækket af 2 2 fliser og 1 4 fliser. Spørgsmålet er nu: Hvis en flise knækker, kan den så hvis man omarrangerer fliserne, erstattes af en flise af den anden type? Vi ønsker at finde en smart farvning der viser at dette ikke kan lade sig gøre, dvs. vi skal finde en farvelægning så de to flisetyper ikke kan dække lige mange felter af samme farve. Den traditionelle skakbrætfarvning virker ikke i dette tilfælde, men farvelægningen på figuren opfylder netop dette, og det viser at en enkelt flise ikke kan erstattes af en flise af den anden type. Prøv selv at finde på smarte farvelægninger i de følgende opgaver, og husk at det ikke altid er nok med to farver. 3

4 Opgave 3.1. På et 7 7 bræt står en brik på hvert felt. To felter kaldes nabofelter hvis de har en side tilfælles. Er det muligt at alle brikker hver især flytter til et nabofelt så der efter at alle har flyttet, igen står netop en brik på hvert felt? Opgave 3.2. Kan et skakbræt hvor alle fire hjørner er fjernet, dækkes af brikker af følgende type? Opgave 3.3. På et 7 7 bræt står en brik på hvert felt. To felter kaldes nabohjørnefelter hvis de deler et hjørne, men ikke en side. Er det muligt at alle brikker hver især flytter til et nabohjørnefelt så der efter at alle har flyttet, igen står netop en brik på hvert felt? Opgave 3.4. Kan et 8 8 skakbræt hvor et hjørne er fjernet, dækkes af 1 3 brikker? Opgave 3.5. Kan et skakbræt hvor det midterste felt er fjernet, dækkes af 1 4 brikker? (Baltic Way 1998) Opgave 3.6. På et bræt er markeret 117 felter. Vis at det altid er muligt at vælge mindst 30 af de 117 markerede felter så ingen af de 30 felter rører hinanden hverken med en side eller med et hjørne. Opgave 3.7. På brættet vist på figuren sidder der netop en trænet loppe på hvert felt. Når man fløjter i en speciel loppefløjte, hopper hver loppe over på et felt der har en side tilfælles med det felt den kom fra. Hvor mange tomme felter er der minimum når der er fløjtet fem gange i fløjten? Opgave 3.8. Et 7 7 skakbræt er dækket af brikker af følgende to typer: Type a Type b Vis at der netop er en brik af type b. ( 1997) Opgave 3.9. En regulær heksagon er inddelt i 24 regulære trekanter som vist på figuren. Ved hvert af de 19 hjørner skrives et tal så der ikke er to ens tal. En trekant har nu tilknyttet tre tal. Hvis tallene vokser mod uret, farves trekanten rød, og hvis de vokser med uret, farves den blå. Bevis at der findes mindst syv trekanter af hver farve. 4

5 4 Konstruktion af invariant med vægte Eksempel 4.1. I en skål er der 2000 hvide bolde. Uden for skålen er der masser af hvide, røde og grønne bolde. Følgende træk er tilladte: To hvide bolde fjernes og erstattes af en grøn. To røde bolde fjernes og erstattes af en grøn. To grønne bolde fjernes og erstattes af en hvid og en rød. En hvid og en grøn bold fjernes og erstattes af en rød. En rød og en grøn bold fjernes og erstattes af en hvid. a) Vis at når der efter et endeligt antal træk er netop tre bolde tilbage i skålen, da er mindst en af dem grøn. b) Er et muligt efter et endeligt antal træk at ende med netop en bold i skålen? For at løse opgaven vil vi forsøge at give en bold med en bestemt farve en vægt. Lad h, r og g være antallet af henholdsvis hvide, røde og grønne bolde, og lad x,y,z være vægten af henholdsvis en hvid, en rød og en grøn bold. Vi undersøger om vi kan vælge de tre vægte så I = x h + y r + z g er invariant modulo et helt tal n. En sådan invariant skal opfylde at 2x z, 2y z, 2z x + y, x + z y og y +z x (mod n). Her ud fra er det ikke svært at se at I = 1 h +( 1) r + 2 g (mod 4) er en invariant. Til at starte med er I = (mod 4), dvs. der gælder altid at I 0 (mod 4). Denne invariant kan vi nu bruge til at løse opgaven: a) Hvis der er netop tre bolde tilbage, er h +r +g = 3. I dette tilfælde er der mindst en grøn, for hvis g = 0 er h + r = 3 og dermed I = h r 0 (mod 4). b) Det er ikke muligt at ende med netop en bold, da I = h r + 2g 0 (mod 4), hvis h + r + g = 1. Eksempel 4.2. Et skakbræt dækkes med 32 dominobrikker således at brikkerne dækker netop to felter hver. De brikker der ligger vandret, og hvis venstre del dækker et sort felt, kalder vi SH-brikker, og de brikker hvis venstre del dækker et hvidt felt, kalder vi HS-brikker. Vi ønsker at knytte en vægt til hvert af de enkelte felter på skakbrættet for at vise at der er lige mange af de to typer brikker. Ideen er at summen af de to felter der dækkes af en lodret brik, ikke skal have nogen indflydelse, dvs. den skal være 0, mens summen af de to felter dækket af en SH-brik skal have modsat fortegn af summen af to felter dækket af en HS-brik. Nummerer søjlerne 1-8 fra venstre mod højre. Alle sorte felter får tildelt nummeret fra den søjle de ligger i som vægt, og alle hvide felter får tildelt minus dette nummer. Alle brikker der ligger lodret, dækker nu to felter hvis sum er nul, mens SH-brikker dækker to felter hvis sum er -1, og HS-brikker dækker to felter hvis sum er 1. Da summen af samtlige felter er nul, må der være lige mange SH-brikker og HS-brikker. Opgave 4.1. En kube med sidelængde 2n er sammensat af 4n 3 brikker af formen som hver af sammensat af et hvidt og et sort enhedskvadrat. Brikkerne ligger sådan at alle sidefladerne i de hvide enhedskvadrater støder op til sorte og omvendt. Vis at hvis man ser på alle de brikker der ligger lodret, så har halvdelen den hvide del opad og halvdelen den sorte del opad. Opgave 4.2. Ved hvert hjørne i et kvadrat A BC D ligger der til at starte med netop en sten, og ved siden af kvadratet er en kæmpe bunke med sten. Et træk består i at vælge et hjørne, fjerne et antal sten og lægge dobbelt så mange sten ved et af de to nabohjørner. Er det muligt efter et endeligt antal træk at få 2012 sten ved A, 2011 sten ved B, 2011 sten ved C og 2010 sten ved D? Opgave 4.3. I følgen 1, 0, 1, 0, 1, 0,... er hvert led fra og med det syvende summen af de seks foregående modulo 10. Vis at sekvensen 0, 1, 0, 1, 0, 1 ikke på noget tidspunkt er en del af følgen. Opgave 4.4. Georg spiller følgende enmandsspil. I hvert felt på et 5 5 bræt står der 0. I hvert træk må han vælge et tilfældigt felt og lægge 1 til både tallet i feltet og tallene i alle de felter der har en side til fælles med feltet. Kan Georg opnå at der står 2012 på samtlige felter? (Baltic Way 2012) 5

6 Opgave 4.5. Til at starte med er der fire kongruente retvinklede trekanter med hypotenuse 1. I hvert træk må man vælge en trekant og erstatte den med de to mindre trekanter der fremkommer når man tegner højden fra den rette vinkel på hypotenusen. Er det muligt efter et endeligt antal træk at opnå en situation hvor der ikke er to kongruente trekanter? Opgave 4.6. Brættet på figuren fortsætter uendeligt opad og til højre. Til at starte med er der placeret fire brikker som vist på figuren. I hvert træk må man fjerne en brik på et felt, hvis både feltet ovenfor og feltet til højre er tomme, og derefter placere en brik på hvert af disse felter. Vis at det ikke er muligt at få det grå område tømt for brikker. Er det muligt hvis der til at starte med kun er en brik på det nederste venstre hjørne at få det grå område tømt for brikker? 5 Monovarianter Når noget ændrer sig, er det ikke altid man kan finde en bestemt størrelse der ikke ændrer sig modulo et helt tal, men man kan nogle gange i stedet finde en bestemt størrelse der enten kun vokser eller kun aftager, og dette kaldes en monovariant. Eksempel 5.1. På et uendeligt spillebræt er der en lang række af felter, dvs. uendeligt mange til hver side. Til at starte med er der et endeligt antal brikker på brættet, gerne flere på hvert felt. I hvert træk må man vælge et felt med mindst to brikker, tage to brikker og flytte den ene til feltet umiddelbart til højre og den anden til feltet umiddelbart til venstre. Vi vil vise at det aldrig er muligt at nå tilbage til udgansgpunktet efter et endeligt positivt antal træk. Vi forsøger at finde en monovariant. Nummerer felterne..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,.... Vi ønsker at finde en størrelse der enten vokser eller aftager i hvert træk. I et træk flyttes to brikker på felt nummer n til henholdsvis felt n 1 og felt n + 1. Her kan vi udnytte at (n 1) 2 + (n + 1) 2 = 2n > 2n 2. Hvis vi fx vælger S lig summen af kvadratet på feltnummeret for hver brik, da vil S vokse med 2 for hvert træk, dvs. S er en monovariant. Det er derfor uanset udgangspunktet aldrig muligt at nå tilbage til udgangspunktet efter et endeligt positivt antal træk. Eksempel 5.2. Til et middagsselskab skal 2n personer fordeles om et rundt bord. Hver person er venner med mindst n af de andre personer, og venskab er gensidigt. Vi vil vise at det altid muligt at placere de 2n personer rundt om bordet så alle sidder ved siden af to de er venner med. Først placerer vi de 2n personer helt tilfældigt rundt om bordet. Idéen er nu lade P være antallet af par som sidder ved siden af hinanden og ikke er venner. Ved at vise at hvis P > 0, da kan vi flytte rundt på personerne så P bliver mindre, sikrer vi os at vi kan opnå en situation hvor P er 0. 6

7 Antag at A og B sidder ved siden af hinanden, at de ikke er venner, og yderligere at B sidder til højre for A. Da A har mindst n venner, er der mindst n personer der sidder til højre for en af A s venner. Blandt disse må være en af B s venner da B højst har n 1 personer han ikke er venner med blandt de n personer. Der findes altså et par A og B så A er ven med A, B er ven med B, og så B sidder til højre for A (se figuren til venstre). Nu tager vi og betragter rækken af personer fra B mod uret langs bordet til A og sætter denne række af personer i modsat rækkefølge (se figuren til højre). På denne måde fjernes parrene (A, B) og (A, B ), parrene (A,A ) og (B, B ) tilføjes, og alle andre par bibeholdes. Derfor falder P med mindst 1. B A B A B B I dette eksempel ønskede vi altså at opnå en bestemt situation og konstuerede derfor en monovariant der kunne ændres hvis den ønskede situation ikke var opnået. Dette er endnu en måde at benytte en monovariant på. Opgave 5.1. I et rektangulært skema er der et positivt heltal i hvert felt. I hvert træk må man enten vælge en række og fordoble hvert tal i rækken, eller man må vælge en søjle og trække 1 fra hvert tal i søjlen. Er det muligt efter et endeligt antal træk at få der til at stå 0 i hvert felt? Opgave 5.2. Ved hver kant i en n-kant står der et positivt reelt tal. Hvis tallene a,b,c,d står ved fire på hinanden følgende kanter og (a d )(b c) < 0, da må man bytte om på b og c. Vis at denne proces ikke kan fortsætte i det uendelige, men må stoppe på et tidspunkt. A A Opgave 5.3. I planen er givet n røde punkter og n blå punkter. Der findes ikke tre punkter der ligger på samme linje. Vis at det er muligt at tegne n rette linjestykker der forbinder de n røde punkter med de n blå punkter, så ingen af disse linjestykker skærer hinanden. Opgave 5.4. I et kortspil er der n kort nummereret 1, 2, 3,...,n. Georg blander kortene så de ligger i tilfældig rækkefølge i en bunke. Nu udfører Georg følgende operation: Hvis det øverste kort har værdien k, så tager han de k øverste kort og lægger dem i modsat rækkefølge i bunken, mens alle andre kort bliver hvor de er. Hvis Georg fortsætter med at udføre denne operation, er han så sikker på på et tidspunkt at få kortet med nummer 1 øverst? Opgave 5.5. På en række står der 2013 positive heltal. I hvert træk konstrueres en ny række af positive heltal under den foregående række på følgende måde: Række nummer n + 1 konstrueres ud fra række nummer n ved at der under hvert tal a i række n skrives det antal gange a optræder i række n. Bevis at der på et tidspunkt kommer to identiske rækker efter hinanden. Opgave 5.6. Verdenerne i Verdenernes sfære er nummereret 1, 2, 3,..., og de har forbindelse så der for ethvert positivt n gælder at troldmanden Gandalf kan bevæge sig i begge retninger mellem de tre verdener nummereret n, 2n og 3n + 1. Er det muligt for Gandalf at komme fra en vilkårlig verden til en vilkårlig anden verden? (Baltic Way 1997) Opgave 5.7. Ved hjørnerne i en 1001 kant sidder mindst 501 frøer. Der kan sagtens være mere end en frø ved hvert hjørne. Hvert minut sker der følgende: Hvis der er mindst to frøer ved samme hjørne, da vil to af frøerne ved dette hjørne hoppe - en til hvert af de to nabohjørner. Vis at der efter et endeligt antal minutter vil opstå en situation hvor der er frøer ved mindst 501 af hjørnerne. 7

8 6 Flere udfordringer Opgave 6.1. Et enmandsspil består af en cirkelskive med n røde knapper i en cirkel langs kanten, n 3. Knapperne kan lyse, og fra starten er der netop en knap som lyser. Når man trykker på en knap som lyser, så slukkes den, og de to naboknapper skifter status, dvs. hvis de lyste så slukkes de, og omvendt. Hvis man trykker på en knap der ikke lyser, så sker der ingenting. Spillet vindes hvis man kan få slukket alle knapperne. For hvilke n er det muligt at vinde? Opgave 6.2. Lad a 1,a 2,a 3,...,a n være en følge af positive heltal. I hvert træk må man vælge to indeks j og k, j < k, hvor a j ikke går op i a k, og erstatte a j med gcd(a j,a k ) og a k med lcm(a j,a k ). Vis at det til sidst ikke længere er muligt at trække. (lcm(a,b) står for det mindste fælles multiplum af a og b, altså det mindste positive heltal som både a og b går op i. Forkortelsen lcm står for least common multiple). Opgave 6.3. Lad P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d være et polynomium af grad højst 3. Det er tilladt at udføre følgende to operationer på P. a) Ombytte a med d og b med c. b) Translatere variablen x til x + t, hvor t er et reelt tal. Er det muligt efter et endeligt antal operationer at komme fra P 1 (x) = x 3 + x 2 2x til P 2 (x) = x 3 3x 2? Opgave 6.4. På en række ligger der 31 forskellige kort. Det er nu tilladt at udføre følgende operationer: a) Flytte det forreste kort om bagerst i rækken. b) Tage de første 15 kort og placere det første i det første af de 15 mellemrum mellem de 16 resterende kort, det andet i det andet mellemrum, osv. Hvor mange forskellige rækkefølger af de 31 kort kan man opnå? Opgave 6.5. Et rektangel er inddelt i en række mindre rektangler. I de mindre rektangler er længden af mindst en side heltallig. Vis at dette også gælder for det store rektangel. Opgave 6.6. På et uendeligt skakbræt spilles følgende spil. Til at begynde med er der n 2 brikker som står på et n n kvadrat således at der er en brik på hvert felt. Et træk består i lade en brik hoppe hen over en nabobrik lodret eller vandret til et tomt felt lige på den anden side, og fjerne den brik man hopper henover. Bestem samtlige værdier af n for hvilke det er muligt at ende med netop én brik på brættet. (IMO 1993) Opgave 6.7. Ved et rundt bord sidder 1994 personer. Til at begynde med har en af personerne 1994 kort, mens resten ikke har nogen kort. I hver runde i et spil giver alle personer med mindst to kort, et kort til hver af sine naboer. Spillet stopper hvis hver person har højst 1 kort. Vil spillet på et tidspunkt stoppe? Opgave 6.8. Ved hvert hjørne i en pentagon er et helt tal så summen af de fem tal er positiv. Hvis x,y,z er tre på hinanden følgende tal og y < 0, da må man erstatte x, y og z med henholdsvis x + y, y og y + z. Vis at det er muligt at opnå at alle fem tal er ikke-negative. (IMO 1986) 8

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Nordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen

Nordisk Matematikkonkurrence Danmarks Matematiklærerforening Skoleåret 2010-2011 Opgaver ved semifinalen Opgave 1 Sum af produkter i en trekant Antag at der i et koordinatsystem er en trekant hvis vinkelspidser ligger i punkterne ( 2, 1), (3, 3) og (4, 3). Find alle de punkter inden i trekanten hvis koordinater

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december 1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december 1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Udforskningsopgaver. Hvor lang kan stangen højst blive, hvis den består af 4 metalstænger?

Udforskningsopgaver. Hvor lang kan stangen højst blive, hvis den består af 4 metalstænger? r 2015 Videre arbejde med opgaverne Udforskning af opgaverne Disse opgaver bygger videre på udvalgte opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske opgaverne. Opgavenumrene

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Demoopgaver for 4. og 5. klassetrin 60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Astrid skal indsætte cifferet 3 i tallet 2014, så hun får et 5-cifret tal. Hvor skal hun

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. Løsninger til 2015 60 minutter Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave 1. 2 3 15 A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. 2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Rækkefølgen af faserne i en spilleomgang Nedenfor ses et resumé af faserne i en spilleomgang, som SKAL udføres i nævnte rækkefølge.

Rækkefølgen af faserne i en spilleomgang Nedenfor ses et resumé af faserne i en spilleomgang, som SKAL udføres i nævnte rækkefølge. 14538i08 2/18/00 4:31 PM Page 1 Rækkefølgen af faserne i en spilleomgang Nedenfor ses et resumé af faserne i en spilleomgang, som SKAL udføres i nævnte rækkefølge. Forstærkningsfase - 1/3 af de besatte

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

120 ords-tæppet. På sporet af ordet

120 ords-tæppet. På sporet af ordet 120 ords-tæppet På sporet af ordet I denne vejledning kan du finde idéer og inspiration til, hvordan du kan bruge 120 ords-tæppet i arbejdet med at få automatiseret de 120 hyppige ord med afsæt i leg og

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Mark Jeays simple solution to the Rubik s cube oversat og redigeret af Jess Bonde. -

Mark Jeays simple solution to the Rubik s cube oversat og redigeret af Jess Bonde. - Mark Jeays simple solution to the Rubik s cube oversat og redigeret af Jess Bonde. jess@rubiks.dk - http://www.rubiks.dk Trin 0 Introduktion & notation Trin 1 De tre øverste sidestykker Trin 2 Hjørner

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Digital Choice 12 + MERE, MERE, MERE!

Digital Choice 12 + MERE, MERE, MERE! MERE, MERE, MERE! Digital Choice Gå ind på mytpchoice.dk for at downloade flere minikategorier. Der er mere end 100 minikategorier at vælge mellem, bl.a. Helte & Heltinder, Science Fiction & Fantasy, Rejser

Læs mere

POWER GRID SPILLEREGLER

POWER GRID SPILLEREGLER POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Tabeltræning på mange måder

Tabeltræning på mange måder Tabeltræning på mange måder - med afsæt i MI og læringsstile Snoreleg (3 tabellen) 10 elever sidder i en rundkreds. Eleverne nummereres 0, 1, 2.osv. op til 30. Hver elev får altså 3 numre (fx 1, 11 og

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Nordisk Matematikkonkurrence. samt Danmarks Matematiklærerforening. Skoleåret 2008 2009 Opgaver ved semifinalen

Nordisk Matematikkonkurrence. samt Danmarks Matematiklærerforening. Skoleåret 2008 2009 Opgaver ved semifinalen Opgave 1 Opdeling af figur I har fået udleveret et ark med syv regulære sekskanter. Inddel dem i 6 6 på syv forskellige måder. Det er kun tilladt at bruge rette linjer. Nedenfor kan I se en af måderne

Læs mere

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information AMERIKANSK ROULETTE Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Elasund Rules Forberedelse Marker byggeområdet

Elasund Rules Forberedelse Marker byggeområdet Elasund Rules År efter frygtløse søfarere opdagede og etablerede øen Catan voksede befolkningstallet konstant. Kolonister dukkede op på øen og langs kysten og der opstod en uundværlig handel mellem dem.

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der

2. juni Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der SOLITAIRE 2. juni 2003 Mogens Esrom Larsen Indledning. Solitaire spilles med pinde, der pa gurerne er angivet som sorte pletter. Der kan sta en eller ingen pind i et felt, som pa guren er angivet som et

Læs mere

Forslag til træningsøvelser for U13 14

Forslag til træningsøvelser for U13 14 Forslag til træningsøvelser for U13 14 Inderside. Spillerantal: Alle 2 bolde pr. 3 spiller Banestørrelse: 20 x 20 meter Scoring: Ingen Rød spiller skal stoppe bolden med fodsålen inden den spilles tilbage

Læs mere

Scrabbleregler. 1 Spillere. 2 Udstyr. 2.1 Ordliste. 2.2 Ure. 2.3 Spillebræt og brikker

Scrabbleregler. 1 Spillere. 2 Udstyr. 2.1 Ordliste. 2.2 Ure. 2.3 Spillebræt og brikker Scrabbleregler Februar 2015 Dette er det officielle regelsæt for Scrabble som spilles i Dansk Scrabbleforenings regi. 1 Spillere a. Der deltager to spillere i spillet. 2 Udstyr 2.1 Ordliste a. Retskrivningsordbogen,

Læs mere

Side 1 af 8. Vejledning

Side 1 af 8. Vejledning Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:

Læs mere

Brug af brøker. Men brøker kan også bruges til at beskrive andet end størrelser Kapitlet handler om noget af det, brøker kan bruges til at beskrive.

Brug af brøker. Men brøker kan også bruges til at beskrive andet end størrelser Kapitlet handler om noget af det, brøker kan bruges til at beskrive. Brug af brøker Brøker er tal ligesom de hele tal. På tallinjen er der uendelig mange brøker imellem de hele tal. Vi kan beskrive mange af de størrelser vi har brug for med brøker - fx længder og rumfang.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Collegetable.dk præsenterer. College Table grøn

Collegetable.dk præsenterer. College Table grøn Collegetable.dk præsenterer College Table grøn 1) Opstilling/udstyr 1.1) Der spilles 2 mod 2. 1.2) Der spilles med 10 kopper i pyramideform. 4 bagerst. 3 næst bagerst. Så 2 og én cup forrest. 1.3) 66 cl.

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.

Hop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene. Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Filtmåtter med de 120 hyppige ord

Filtmåtter med de 120 hyppige ord VEJLEDNING TIL Fodspor Filtmåtter med de 120 hyppige ord Med bogen På sporet af ordet fang tyven, opgaveæsken og app en På sporet af ordet, Turbo-ord, sækkekort, Læs Lydret bøgerne, gulvtæppet og filtmåtterne

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Magiske kvadrater. Placer tallene 1-9 i hver sit rum. Summen skal være den samme både vandret, lodret og diagonalt.

Magiske kvadrater. Placer tallene 1-9 i hver sit rum. Summen skal være den samme både vandret, lodret og diagonalt. Magiske kvadrater Placer tallene 1-9 i hver sit rum. Summen skal være den samme både vandret, lodret og diagonalt. Prøv med tallene 3-11 Summen skal stadig være den samme både vandret, lodret og diagonalt.

Læs mere

I denne menu taster man data på kampen. Dette inkluderer scoringer, advarsler og andre hændelser på kampen.

I denne menu taster man data på kampen. Dette inkluderer scoringer, advarsler og andre hændelser på kampen. Kampregistrering I denne menu taster man data på kampen. Dette inkluderer scoringer, advarsler og andre hændelser på kampen. Der skal nu være det antal spillere med, som er markeret under teknisk møde

Læs mere

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4)

Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) Leg med trekanter 19 Præmieopgave og svar på sidste bloks abestreger! Jingyu She Svar på blokkens præmieopgave (21. årgang nr. 4) I sidste præmieopgave blev læseren bedt om at finde sandsynligheden for,

Læs mere

Indhold. Servicesider. Testsider

Indhold. Servicesider. Testsider Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere