Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Invarianter. 1 Paritet. Indhold"

Transkript

1 Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé at overveje om der er noget der er uafhængigt af det der kan ændres i opgaven. Den simpleste invariant er at se på pariteten af en størrelse. Paritet betyder simpelthen om noget er lige eller ulige, og grunden til at paritet ofte er simpelt at se på, er at der kun er to stadier. Her vil vi først se på paritet som invariant, derefter på lidt mere komplekse invarianter og hvordan man kan konstruere en invariant vha. farvning, og til slut se på monovarianter som er en størrelse der enten kun vokser eller aftager. Indhold 1 Paritet 1 2 Invariant modulo n 2 3 Farvning 3 4 Konstruktion af invariant med vægte 5 5 Monovarianter 6 6 Flere udfordringer 8 1 Paritet Når man lægger nogle hele tal sammen, og summen er lige, så ved man at der må være et lige antal ulige tal blandt de tal man har lagt sammen. Tilsvarende ved man hvis summen er ulige, at der må være et ulige antal ulige tal blandt summanderne. Det er denne basale egenskab man ofte udnytter når man benytter paritet som invariant. Eksempel 1.1. I en skakturnering deltager 2013 personer. Vi ønsker at vise at der er et lige antal personer der har spillet et ulige antal kampe. Lad s i betegne det antal kampe spiller nummer i har spillet, hvor de 2013 spillere nummereres 1, 2, 3,..., Summen s 1 + s 2 + s s 2013 må være lige da hvert spil er talt med præcis to gange, dvs. dens paritet er en invariant der er uafhængig af hvor mange kampe den enkelte spiller har spillet. Når summen af nogle hele tal er lige, er der som sagt et lige antal ulige tal blandt summanderne, dvs. at der er et lige antal personer der har spillet et ulige antal kampe. Bemærk at tallet 2013 ikke spiller nogen væsentlig rolle her. Opgave 1.1. Vis at hvis alle rum i et hus har et lige antal døre, da må der også være et lige antal døre der fører ud af huset. (Hver dør i et rum fører enten ud af huset eller ind i et andet rum). Opgave 1.2. I en hat ligger 1992 sedler med alle numre fra 1 til På tilfældig måde trækkes to sedler samtidig fra hatten; differencen mellem tallene på de to sedler skrives på en ny seddel som lægges i hatten, mens de to udtrukne sedler kastes bort. Der fortsættes på denne måde indtil der kun er en seddel tilbage i hatten. Vis at der på denne seddel står et lige tal. ( 1992) 1

2 Opgave 1.3. Er det muligt at tegne 2013 forskellige punkter P 1,P 2,...,P 2013 i planen så der findes en linje der skærer alle de 2013 linjestykker P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4,..., P 2012 P 2013, P 2013 P 1 uden at gå gennem nogen af de 2013 punkter? Opgave 1.4. I en skål er der 15 røde, 18 gule og 22 blå bolde. I hvert træk må man tage to bolde af forskellig farve og erstatte dem med en bold af den tredje farve. Efter et antal træk har alle boldene i skålen samme farve. Vis at denne farve ikke afhænger af hvordan man trækker. Opgave 1.5. Lad a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7 være syv hele tal, og lad b 1,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6,b 7 være de samme syv tal, bare i en anden rækkefølge. Vil produktet altid være lige? (a 1 b 1 )(a 2 b 2 ) (a 7 b 7 ) Opgave 1.6. Langs en cirkelperiferi er skrevet fire 1-taller og fem nuller i en eller anden rækkefølge. I hvert træk skrives et nul mellem to ens tal, og et 1-tal mellem to forskellige tal, og derefter viskes de oprindelige ni tal ud. Er det muligt at opnå en situation hvor der kun er nuller? Opgave 1.7. Et spil for tre spillere spilles på et bræt bestående af 99 felter i en lang række. Hver spiller har en spillebrik. Ved spillets start står de tre brikker på det første, det midterste og det sidste felt. En tur består i at man flytter sin brik enten en eller tre pladser frem eller tilbage (inden for brættets rammer). Man vinder spillet ved at rykke sin brik hen på et felt hvor en modstanders brik står. Det er spilleren med den midterste brik der starter. Vis at spiller nummer to ikke kan vinde. Opgave 1.8. Tallene 1, 2, 3,, 10 står på en række i denne rækkefølge. I hvert træk ombyttes to tal som står ved siden af hinanden. Efter m træk står tallene i omvendt rækkefølge. Vis at m altid er ulige. 2 Invariant modulo n Når man ser på paritet, så ser man på en størrelse modulo 2. I mange sammenhænge skal man i stedet se på en størrelse modulo et større tal n. Eksempel 2.1. I et rum er der til at starte med ingen personer. Hvert minut kommer der enten en person ind i rummet, eller der er to personer som forlader rummet. Er det muligt at der efter 2013 minutter er 1000 personer i rummet? Svaret er nej. For at vise dette vil vi gerne konstruere en invariant, og derfor er det vigtigt at overveje hvad der sker. Hvert minut er der to muligheder. Enten kommer der en person ind, eller også kommer der to ud. Forskellen mellem antal personer i rummet i de to muligheder er 3, dvs. det ligner at vi kan konstruere en invariant modulo 3. Lad os kalde antal personer i rummet efter n minutter for A n. Hvis der hele tiden kommer en person ind i rummet, er der hele tiden lige så mange personer til stede i rummet som antal minutter der er gået, dvs. A n = n. Hvis der i m af de n tilfælde i stedet er forsvundet to personer fra rummet, så er der for hver gang blevet 3 færre end i det tilfælde hvor A n = n, dvs. i dette tilfælde er A n = n 3m. Dette viser at A n n 0 modulo 3. Hvis vi ser på om det er muligt at der efter 2013 minutter kan være 1000 personer i rummet, så er svaret nej da = 1013 ikke er kongruent med 0 modulo 3. Vores analyse fra før viser helt præcist at samtlige muligheder for A n er A n = n 3m, hvor m = 0, 1, 2,..., n 3. (Her betegner n 3 det største hele tal mindre eller lig med n 3 ). Opgave 2.1. En drage har 100 hoveder. En ridder kan i et hug hugge henholdsvis 2, 17, 23 eller 38 hoveder af dragen med det resultat at der vokser 5 hoveder ud igen medmindre dragen har mistet alle sine hoveder og dermed dør. Dragen dør først når den ikke har flere hoveder. Kan ridderen slå dragen ihjel? 2

3 Opgave 2.2. På en ø er der 18 grønne, 17 røde og 13 blå kamæleoner. Hver gang to kamæleoner af forskellig farve møder hinanden, skifter de begge to farve til den tredje farve. Kan det lade sig gøre at alle kamæleonerne på øen til sidst har samme farve? Opgave 2.3. I en slimet, grå grotte bor et drabeligt dyr der en sjælden gang imellem vågner nytårsmorgen, går ud og spiser lige så mange får som summen af cifrene i årstallet, lægger sig til at sove igen og først vågner nytårsmorgen efter lige så mange år som det har spist får. Dyret vågnede nytårsmorgen i år 666. Vil dyret vågne nytårsmorgen i år 2013? Opgave 2.4. I en tabel står der 1 eller 1 i hvert felt. For hver række i er R i produktet af de 1001 tal i rækken, og for hver søjle j er S j produktet af de 1001 tal i søjlen. Vis at 1001 (R i =1 i +S i ) ikke kan være nul. Opgave 2.5. Georg spiller et enmandsspil på et bræt hvor hvert felt er et enhedskvadrat, og der er 20 felter langs den nederste kant. Først vælger han et naturligt tal r. Han må nu flytte en brik fra et felt til et andet hvis afstanden mellem de to felters centre er r. Målet er at finde en række træk der kan flytte en brik fra det nederste venstre hjørne til det nederste højre. Vis at Georg ikke kan nå målet hvis r er delelig med 2 eller 3. Vis at Georg kan nå målet når r = 73. Opgave 2.6. Til at starte med indeholder mængden S punktet (7, 29). Det er nu tilladt at tilføje punkter til S på følgende måde i) Hvis punktet (x,y ) er i S, må man tilføje punktet (x +1,y +1) til S. ii) Hvis punktet (x,y ) tilhører S, og x og y er lige, må man tilføje punktet ( x, y ) til S. 2 2 iii) Hvis punkterne (x,y ) og (y,z ) begge tilhører S, må man tilføje punktet (x,z ) til S. Er det muligt at tilføje et antal punkter til S så (3, 2013) ligger i S? 3 Farvning Mange opgaver kan løses ved at farvelægge de objekter man betragter, på en hensigtsmæssig måde. Dette er endnu en måde at konstruere en invariant på. Eksempel 3.1. Et klassisk eksempel på dette er at et skakbræt hvor to diagonalt modsatte hjørner er fjernet, ikke kan dækkes med 1 2 brikker. En sådan brik dækker nemlig altid et hvidt og et sort felt uanset hvor den ligger, og der er derfor altid dækket lige mange sorte og hvide felter. Dette er en invariant. Når de to hjørner er fjernet, er der ikke lige mange sorte og hvide felter, og brættet kan derfor ikke dækkes af 1 2 brikker. Eksempel 3.2. I foregående eksempel var farvningen allerede givet på forhånd, men nogle gange skal man selv finde på en smart farvelægning. I dette eksempel skal vi se på et rektangulært gulv som er dækket af 2 2 fliser og 1 4 fliser. Spørgsmålet er nu: Hvis en flise knækker, kan den så hvis man omarrangerer fliserne, erstattes af en flise af den anden type? Vi ønsker at finde en smart farvning der viser at dette ikke kan lade sig gøre, dvs. vi skal finde en farvelægning så de to flisetyper ikke kan dække lige mange felter af samme farve. Den traditionelle skakbrætfarvning virker ikke i dette tilfælde, men farvelægningen på figuren opfylder netop dette, og det viser at en enkelt flise ikke kan erstattes af en flise af den anden type. Prøv selv at finde på smarte farvelægninger i de følgende opgaver, og husk at det ikke altid er nok med to farver. 3

4 Opgave 3.1. På et 7 7 bræt står en brik på hvert felt. To felter kaldes nabofelter hvis de har en side tilfælles. Er det muligt at alle brikker hver især flytter til et nabofelt så der efter at alle har flyttet, igen står netop en brik på hvert felt? Opgave 3.2. Kan et skakbræt hvor alle fire hjørner er fjernet, dækkes af brikker af følgende type? Opgave 3.3. På et 7 7 bræt står en brik på hvert felt. To felter kaldes nabohjørnefelter hvis de deler et hjørne, men ikke en side. Er det muligt at alle brikker hver især flytter til et nabohjørnefelt så der efter at alle har flyttet, igen står netop en brik på hvert felt? Opgave 3.4. Kan et 8 8 skakbræt hvor et hjørne er fjernet, dækkes af 1 3 brikker? Opgave 3.5. Kan et skakbræt hvor det midterste felt er fjernet, dækkes af 1 4 brikker? (Baltic Way 1998) Opgave 3.6. På et bræt er markeret 117 felter. Vis at det altid er muligt at vælge mindst 30 af de 117 markerede felter så ingen af de 30 felter rører hinanden hverken med en side eller med et hjørne. Opgave 3.7. På brættet vist på figuren sidder der netop en trænet loppe på hvert felt. Når man fløjter i en speciel loppefløjte, hopper hver loppe over på et felt der har en side tilfælles med det felt den kom fra. Hvor mange tomme felter er der minimum når der er fløjtet fem gange i fløjten? Opgave 3.8. Et 7 7 skakbræt er dækket af brikker af følgende to typer: Type a Type b Vis at der netop er en brik af type b. ( 1997) Opgave 3.9. En regulær heksagon er inddelt i 24 regulære trekanter som vist på figuren. Ved hvert af de 19 hjørner skrives et tal så der ikke er to ens tal. En trekant har nu tilknyttet tre tal. Hvis tallene vokser mod uret, farves trekanten rød, og hvis de vokser med uret, farves den blå. Bevis at der findes mindst syv trekanter af hver farve. 4

5 4 Konstruktion af invariant med vægte Eksempel 4.1. I en skål er der 2000 hvide bolde. Uden for skålen er der masser af hvide, røde og grønne bolde. Følgende træk er tilladte: To hvide bolde fjernes og erstattes af en grøn. To røde bolde fjernes og erstattes af en grøn. To grønne bolde fjernes og erstattes af en hvid og en rød. En hvid og en grøn bold fjernes og erstattes af en rød. En rød og en grøn bold fjernes og erstattes af en hvid. a) Vis at når der efter et endeligt antal træk er netop tre bolde tilbage i skålen, da er mindst en af dem grøn. b) Er et muligt efter et endeligt antal træk at ende med netop en bold i skålen? For at løse opgaven vil vi forsøge at give en bold med en bestemt farve en vægt. Lad h, r og g være antallet af henholdsvis hvide, røde og grønne bolde, og lad x,y,z være vægten af henholdsvis en hvid, en rød og en grøn bold. Vi undersøger om vi kan vælge de tre vægte så I = x h + y r + z g er invariant modulo et helt tal n. En sådan invariant skal opfylde at 2x z, 2y z, 2z x + y, x + z y og y +z x (mod n). Her ud fra er det ikke svært at se at I = 1 h +( 1) r + 2 g (mod 4) er en invariant. Til at starte med er I = (mod 4), dvs. der gælder altid at I 0 (mod 4). Denne invariant kan vi nu bruge til at løse opgaven: a) Hvis der er netop tre bolde tilbage, er h +r +g = 3. I dette tilfælde er der mindst en grøn, for hvis g = 0 er h + r = 3 og dermed I = h r 0 (mod 4). b) Det er ikke muligt at ende med netop en bold, da I = h r + 2g 0 (mod 4), hvis h + r + g = 1. Eksempel 4.2. Et skakbræt dækkes med 32 dominobrikker således at brikkerne dækker netop to felter hver. De brikker der ligger vandret, og hvis venstre del dækker et sort felt, kalder vi SH-brikker, og de brikker hvis venstre del dækker et hvidt felt, kalder vi HS-brikker. Vi ønsker at knytte en vægt til hvert af de enkelte felter på skakbrættet for at vise at der er lige mange af de to typer brikker. Ideen er at summen af de to felter der dækkes af en lodret brik, ikke skal have nogen indflydelse, dvs. den skal være 0, mens summen af de to felter dækket af en SH-brik skal have modsat fortegn af summen af to felter dækket af en HS-brik. Nummerer søjlerne 1-8 fra venstre mod højre. Alle sorte felter får tildelt nummeret fra den søjle de ligger i som vægt, og alle hvide felter får tildelt minus dette nummer. Alle brikker der ligger lodret, dækker nu to felter hvis sum er nul, mens SH-brikker dækker to felter hvis sum er -1, og HS-brikker dækker to felter hvis sum er 1. Da summen af samtlige felter er nul, må der være lige mange SH-brikker og HS-brikker. Opgave 4.1. En kube med sidelængde 2n er sammensat af 4n 3 brikker af formen som hver af sammensat af et hvidt og et sort enhedskvadrat. Brikkerne ligger sådan at alle sidefladerne i de hvide enhedskvadrater støder op til sorte og omvendt. Vis at hvis man ser på alle de brikker der ligger lodret, så har halvdelen den hvide del opad og halvdelen den sorte del opad. Opgave 4.2. Ved hvert hjørne i et kvadrat A BC D ligger der til at starte med netop en sten, og ved siden af kvadratet er en kæmpe bunke med sten. Et træk består i at vælge et hjørne, fjerne et antal sten og lægge dobbelt så mange sten ved et af de to nabohjørner. Er det muligt efter et endeligt antal træk at få 2012 sten ved A, 2011 sten ved B, 2011 sten ved C og 2010 sten ved D? Opgave 4.3. I følgen 1, 0, 1, 0, 1, 0,... er hvert led fra og med det syvende summen af de seks foregående modulo 10. Vis at sekvensen 0, 1, 0, 1, 0, 1 ikke på noget tidspunkt er en del af følgen. Opgave 4.4. Georg spiller følgende enmandsspil. I hvert felt på et 5 5 bræt står der 0. I hvert træk må han vælge et tilfældigt felt og lægge 1 til både tallet i feltet og tallene i alle de felter der har en side til fælles med feltet. Kan Georg opnå at der står 2012 på samtlige felter? (Baltic Way 2012) 5

6 Opgave 4.5. Til at starte med er der fire kongruente retvinklede trekanter med hypotenuse 1. I hvert træk må man vælge en trekant og erstatte den med de to mindre trekanter der fremkommer når man tegner højden fra den rette vinkel på hypotenusen. Er det muligt efter et endeligt antal træk at opnå en situation hvor der ikke er to kongruente trekanter? Opgave 4.6. Brættet på figuren fortsætter uendeligt opad og til højre. Til at starte med er der placeret fire brikker som vist på figuren. I hvert træk må man fjerne en brik på et felt, hvis både feltet ovenfor og feltet til højre er tomme, og derefter placere en brik på hvert af disse felter. Vis at det ikke er muligt at få det grå område tømt for brikker. Er det muligt hvis der til at starte med kun er en brik på det nederste venstre hjørne at få det grå område tømt for brikker? 5 Monovarianter Når noget ændrer sig, er det ikke altid man kan finde en bestemt størrelse der ikke ændrer sig modulo et helt tal, men man kan nogle gange i stedet finde en bestemt størrelse der enten kun vokser eller kun aftager, og dette kaldes en monovariant. Eksempel 5.1. På et uendeligt spillebræt er der en lang række af felter, dvs. uendeligt mange til hver side. Til at starte med er der et endeligt antal brikker på brættet, gerne flere på hvert felt. I hvert træk må man vælge et felt med mindst to brikker, tage to brikker og flytte den ene til feltet umiddelbart til højre og den anden til feltet umiddelbart til venstre. Vi vil vise at det aldrig er muligt at nå tilbage til udgansgpunktet efter et endeligt positivt antal træk. Vi forsøger at finde en monovariant. Nummerer felterne..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,.... Vi ønsker at finde en størrelse der enten vokser eller aftager i hvert træk. I et træk flyttes to brikker på felt nummer n til henholdsvis felt n 1 og felt n + 1. Her kan vi udnytte at (n 1) 2 + (n + 1) 2 = 2n > 2n 2. Hvis vi fx vælger S lig summen af kvadratet på feltnummeret for hver brik, da vil S vokse med 2 for hvert træk, dvs. S er en monovariant. Det er derfor uanset udgangspunktet aldrig muligt at nå tilbage til udgangspunktet efter et endeligt positivt antal træk. Eksempel 5.2. Til et middagsselskab skal 2n personer fordeles om et rundt bord. Hver person er venner med mindst n af de andre personer, og venskab er gensidigt. Vi vil vise at det altid muligt at placere de 2n personer rundt om bordet så alle sidder ved siden af to de er venner med. Først placerer vi de 2n personer helt tilfældigt rundt om bordet. Idéen er nu lade P være antallet af par som sidder ved siden af hinanden og ikke er venner. Ved at vise at hvis P > 0, da kan vi flytte rundt på personerne så P bliver mindre, sikrer vi os at vi kan opnå en situation hvor P er 0. 6

7 Antag at A og B sidder ved siden af hinanden, at de ikke er venner, og yderligere at B sidder til højre for A. Da A har mindst n venner, er der mindst n personer der sidder til højre for en af A s venner. Blandt disse må være en af B s venner da B højst har n 1 personer han ikke er venner med blandt de n personer. Der findes altså et par A og B så A er ven med A, B er ven med B, og så B sidder til højre for A (se figuren til venstre). Nu tager vi og betragter rækken af personer fra B mod uret langs bordet til A og sætter denne række af personer i modsat rækkefølge (se figuren til højre). På denne måde fjernes parrene (A, B) og (A, B ), parrene (A,A ) og (B, B ) tilføjes, og alle andre par bibeholdes. Derfor falder P med mindst 1. B A B A B B I dette eksempel ønskede vi altså at opnå en bestemt situation og konstuerede derfor en monovariant der kunne ændres hvis den ønskede situation ikke var opnået. Dette er endnu en måde at benytte en monovariant på. Opgave 5.1. I et rektangulært skema er der et positivt heltal i hvert felt. I hvert træk må man enten vælge en række og fordoble hvert tal i rækken, eller man må vælge en søjle og trække 1 fra hvert tal i søjlen. Er det muligt efter et endeligt antal træk at få der til at stå 0 i hvert felt? Opgave 5.2. Ved hver kant i en n-kant står der et positivt reelt tal. Hvis tallene a,b,c,d står ved fire på hinanden følgende kanter og (a d )(b c) < 0, da må man bytte om på b og c. Vis at denne proces ikke kan fortsætte i det uendelige, men må stoppe på et tidspunkt. A A Opgave 5.3. I planen er givet n røde punkter og n blå punkter. Der findes ikke tre punkter der ligger på samme linje. Vis at det er muligt at tegne n rette linjestykker der forbinder de n røde punkter med de n blå punkter, så ingen af disse linjestykker skærer hinanden. Opgave 5.4. I et kortspil er der n kort nummereret 1, 2, 3,...,n. Georg blander kortene så de ligger i tilfældig rækkefølge i en bunke. Nu udfører Georg følgende operation: Hvis det øverste kort har værdien k, så tager han de k øverste kort og lægger dem i modsat rækkefølge i bunken, mens alle andre kort bliver hvor de er. Hvis Georg fortsætter med at udføre denne operation, er han så sikker på på et tidspunkt at få kortet med nummer 1 øverst? Opgave 5.5. På en række står der 2013 positive heltal. I hvert træk konstrueres en ny række af positive heltal under den foregående række på følgende måde: Række nummer n + 1 konstrueres ud fra række nummer n ved at der under hvert tal a i række n skrives det antal gange a optræder i række n. Bevis at der på et tidspunkt kommer to identiske rækker efter hinanden. Opgave 5.6. Verdenerne i Verdenernes sfære er nummereret 1, 2, 3,..., og de har forbindelse så der for ethvert positivt n gælder at troldmanden Gandalf kan bevæge sig i begge retninger mellem de tre verdener nummereret n, 2n og 3n + 1. Er det muligt for Gandalf at komme fra en vilkårlig verden til en vilkårlig anden verden? (Baltic Way 1997) Opgave 5.7. Ved hjørnerne i en 1001 kant sidder mindst 501 frøer. Der kan sagtens være mere end en frø ved hvert hjørne. Hvert minut sker der følgende: Hvis der er mindst to frøer ved samme hjørne, da vil to af frøerne ved dette hjørne hoppe - en til hvert af de to nabohjørner. Vis at der efter et endeligt antal minutter vil opstå en situation hvor der er frøer ved mindst 501 af hjørnerne. 7

8 6 Flere udfordringer Opgave 6.1. Et enmandsspil består af en cirkelskive med n røde knapper i en cirkel langs kanten, n 3. Knapperne kan lyse, og fra starten er der netop en knap som lyser. Når man trykker på en knap som lyser, så slukkes den, og de to naboknapper skifter status, dvs. hvis de lyste så slukkes de, og omvendt. Hvis man trykker på en knap der ikke lyser, så sker der ingenting. Spillet vindes hvis man kan få slukket alle knapperne. For hvilke n er det muligt at vinde? Opgave 6.2. Lad a 1,a 2,a 3,...,a n være en følge af positive heltal. I hvert træk må man vælge to indeks j og k, j < k, hvor a j ikke går op i a k, og erstatte a j med gcd(a j,a k ) og a k med lcm(a j,a k ). Vis at det til sidst ikke længere er muligt at trække. (lcm(a,b) står for det mindste fælles multiplum af a og b, altså det mindste positive heltal som både a og b går op i. Forkortelsen lcm står for least common multiple). Opgave 6.3. Lad P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d være et polynomium af grad højst 3. Det er tilladt at udføre følgende to operationer på P. a) Ombytte a med d og b med c. b) Translatere variablen x til x + t, hvor t er et reelt tal. Er det muligt efter et endeligt antal operationer at komme fra P 1 (x) = x 3 + x 2 2x til P 2 (x) = x 3 3x 2? Opgave 6.4. På en række ligger der 31 forskellige kort. Det er nu tilladt at udføre følgende operationer: a) Flytte det forreste kort om bagerst i rækken. b) Tage de første 15 kort og placere det første i det første af de 15 mellemrum mellem de 16 resterende kort, det andet i det andet mellemrum, osv. Hvor mange forskellige rækkefølger af de 31 kort kan man opnå? Opgave 6.5. Et rektangel er inddelt i en række mindre rektangler. I de mindre rektangler er længden af mindst en side heltallig. Vis at dette også gælder for det store rektangel. Opgave 6.6. På et uendeligt skakbræt spilles følgende spil. Til at begynde med er der n 2 brikker som står på et n n kvadrat således at der er en brik på hvert felt. Et træk består i lade en brik hoppe hen over en nabobrik lodret eller vandret til et tomt felt lige på den anden side, og fjerne den brik man hopper henover. Bestem samtlige værdier af n for hvilke det er muligt at ende med netop én brik på brættet. (IMO 1993) Opgave 6.7. Ved et rundt bord sidder 1994 personer. Til at begynde med har en af personerne 1994 kort, mens resten ikke har nogen kort. I hver runde i et spil giver alle personer med mindst to kort, et kort til hver af sine naboer. Spillet stopper hvis hver person har højst 1 kort. Vil spillet på et tidspunkt stoppe? Opgave 6.8. Ved hvert hjørne i en pentagon er et helt tal så summen af de fem tal er positiv. Hvis x,y,z er tre på hinanden følgende tal og y < 0, da må man erstatte x, y og z med henholdsvis x + y, y og y + z. Vis at det er muligt at opnå at alle fem tal er ikke-negative. (IMO 1986) 8

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Udforskningsopgaver. Hvor lang kan stangen højst blive, hvis den består af 4 metalstænger?

Udforskningsopgaver. Hvor lang kan stangen højst blive, hvis den består af 4 metalstænger? r 2015 Videre arbejde med opgaverne Udforskning af opgaverne Disse opgaver bygger videre på udvalgte opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske opgaverne. Opgavenumrene

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik

Skak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik 1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

POWER GRID SPILLEREGLER

POWER GRID SPILLEREGLER POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Forslag til træningsøvelser for U13 14

Forslag til træningsøvelser for U13 14 Forslag til træningsøvelser for U13 14 Inderside. Spillerantal: Alle 2 bolde pr. 3 spiller Banestørrelse: 20 x 20 meter Scoring: Ingen Rød spiller skal stoppe bolden med fodsålen inden den spilles tilbage

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Digital Choice 12 + MERE, MERE, MERE!

Digital Choice 12 + MERE, MERE, MERE! MERE, MERE, MERE! Digital Choice Gå ind på mytpchoice.dk for at downloade flere minikategorier. Der er mere end 100 minikategorier at vælge mellem, bl.a. Helte & Heltinder, Science Fiction & Fantasy, Rejser

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1 side 1 Hvis man vil lave en opsætning af rejsebeskrivelse og billeder, kan man også gøre det i DRAW. Denne vejledning vil vise hvordan man indsætter hjælpelinjer så man laver en pæn opstilling med billede

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang

LÆrerVeJLednIng til Skak I SkoLen det SkaL VÆre SJoVt at blive klogere! brug Låget på brættet materialer: Sådan kommer I I gang løber 3 point SKOLESKAK SKOLESKAK LÆRERVEJLEDNING til skak i skolen Det skal være sjovt at blive klogere! Dansk Skoleskak og Skolemælk har i samarbejde udviklet dette materiale for at skabe mere leg, læring

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Småspil og volleyspecifikke lege

Småspil og volleyspecifikke lege Småspil og volleyspecifikke lege Småspil i undervisningen er en spændende og udfordrende måde for eleverne at arbejde med tekniske elementer. I dette afsnit præsenteres en masse småspil, der alle bygger

Læs mere

Word-5: Tabeller og hængende indrykning

Word-5: Tabeller og hængende indrykning Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da

Læs mere

Magiske kvadrater. Placer tallene 1-9 i hver sit rum. Summen skal være den samme både vandret, lodret og diagonalt.

Magiske kvadrater. Placer tallene 1-9 i hver sit rum. Summen skal være den samme både vandret, lodret og diagonalt. Magiske kvadrater Placer tallene 1-9 i hver sit rum. Summen skal være den samme både vandret, lodret og diagonalt. Prøv med tallene 3-11 Summen skal stadig være den samme både vandret, lodret og diagonalt.

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr. 105 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr. 105 Side 1 Side 1 Denne vejledning er et smalt grafikbillede man kan bruge i toppen af en mail lavet i PhotoFiltre 7 hvor man nu kan arbejde i lag. Med PhotoFiltre 7 er det nu endnu nemmere at sammensætte grafik

Læs mere

2-6 SPILLERE. Superheltespillet, hvor du handler med ejendomme. www.hasbro.dk

2-6 SPILLERE. Superheltespillet, hvor du handler med ejendomme. www.hasbro.dk Superheltespillet, hvor du handler med ejendomme Spider-Man og alle relaterede figurer: TM & 2007 Marvel Characters, Inc. Spider-Man-filmelementer: 2002-2007 Columbia Pictures Industries, Inc. Alle rettigheder

Læs mere

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information AMERIKANSK ROULETTE Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

En lille vejledning i at bruge Paint Win 98 og Win XP Indhold

En lille vejledning i at bruge Paint Win 98 og Win XP Indhold 1 En lille vejledning i at bruge Paint Win 98 og Win XP Indhold Indhold...2 1. Åbn Paint...3 2. Vælg en baggrundsfarve og en forgrundsfarve...3 3. Tegn et billede...4 4. Ny, fortryd og gentag...4 5. Andre

Læs mere

Martin Geisler. Uge 49, 2001

Martin Geisler. Uge 49, 2001 Min dintprog-browser Martin Geisler Uge 49, 2001 Resumé Dette dokument beskriver tankerne bag min dintprog-browser, en browser skrevet i Java der skal kunne fortolke en mindre delmængde af HTML 4, kaldet

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: PYRAMIDER I oldtiden regnede man med 7 underværker, hvilket var seværdigheder, som man fremhævede på grund af deres størrelse, skønhed og udseende. Kun et enkelt af disse

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta.

1 byggeplads denne viser 4 felter med plads til bygningsbrikker. Hvert felt hører til en bestemt type valuta. Alhambra Et spil af Dirk Henn for 2-6 spillere. De bedste bygmestre fra Europa og den arabiske verden vil bevise deres kunstfærdige arkitektur. Du har fået stillet deres bygningsarbejdere til rådighed

Læs mere

www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk

www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk THE SIMPSONS & 2007 Twentieth Century Fox Film Corporation. All rights reserved. Distribueret i Norden af Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, 2600 Glostrup. Made in Ireland www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk

Læs mere

Tal i det danske sprog, analyse og kritik

Tal i det danske sprog, analyse og kritik Tal i det danske sprog, analyse og kritik 0 Indledning Denne artikel handler om det danske sprog og dets talsystem. I første afsnit diskuterer jeg den metodologi jeg vil anvende. I andet afsnit vil jeg

Læs mere

Regler for Bordtenniskampe, dvs. materialer, borde, bat osv.

Regler for Bordtenniskampe, dvs. materialer, borde, bat osv. ITTF's Bordtennislove I dette dokument finder du den danske bordtennis unions oversættelse af ITTF's bordtennislove. Her kan du finde alt om, hvilke regler der er når man spiller en bordtenniskamp. ---

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

3.2. Grundlæggende Spilleregler

3.2. Grundlæggende Spilleregler 3.2. Grundlæggende Spilleregler 3.2.1. 1 Skakspillets natur og mål 1.1 Et parti skak er et spil mellem to modstandere som skiftevis flytter deres brikker på et kvadratisk bræt, kaldet et "skakbræt". Spilleren

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Ved brug af computer handler det derfor mest om, hvordan man får teksten til at stå på papiret og på skærmen.

Ved brug af computer handler det derfor mest om, hvordan man får teksten til at stå på papiret og på skærmen. Side 1 af 21 I dette materiale skal du prøve at arbejde med tekster og billeder. Tekster er bogstaver, der er sammensat til ord. Ord er igen sat sammen, så de danner sætninger. Sætninger kan udtrykke en

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Spil. Lege spil. Store: Fodtennis Her spiller vi fodtennis over et net. Eller i kan spille over et håndboldmål.

Spil. Lege spil. Store: Fodtennis Her spiller vi fodtennis over et net. Eller i kan spille over et håndboldmål. Lege spil Store: Fodtennis Her spiller vi fodtennis over et net. Eller i kan spille over et håndboldmål. Spil Futsal De forskellige grupper skal spille Futsal kampe mod hinanden. Såfremt grupperne er store

Læs mere

Øvelser til forhånd og baghånd

Øvelser til forhånd og baghånd Øvelser til forhånd og baghånd Forhånd og baghånd kan integreres i de fleste øvelser. Her er en masse øvelser, som giver mulighed for at lege forhånd og baghånd ind. En øvelse har altid et fagligt formål,

Læs mere

Rybners Teknisk Skole. Tømrer afdeling. Frank Kleemann Aarestrup

Rybners Teknisk Skole. Tømrer afdeling. Frank Kleemann Aarestrup Rybners Teknisk Skole Tømrer afdeling Frank Kleemann Aarestrup Opstart Start programmet og vælg Template måleenhed Millimeters Start Sketchup Velkommen til Sketchup brugerflade! Sketchup Opstart 2 Introduktion

Læs mere

OPBEVARING. INDHOLD: 1 spillebræt, 1 spilenhed, 6 MONOPOLY-bankkort, 6 brikker, 30 ejendomskort, 32 huse, 12 hoteller og 2 terninger.

OPBEVARING. INDHOLD: 1 spillebræt, 1 spilenhed, 6 MONOPOLY-bankkort, 6 brikker, 30 ejendomskort, 32 huse, 12 hoteller og 2 terninger. ALDER 8+ OPBEVARING 2-6 SPILLERE. Læg de 6 brikker i de særlige åbninger i bankørens bakke, så de ikke bliver ridset. 2. Vent på, at spilenheden slukker automatisk (den går i dvale, når den ikke har været

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.128 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.128 Side 1 Side 1 Denne vejledning er blot et lille eksempel på hvordan man også kan bruge Photofiltre 7 som en slags grafikprogram. Det er med udgangspunkt i f.eks. min hjemmeside hvor vi vil bruge den blå farve

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Alle er med:-) www.spilcricket.dk. Spil og lege vejledning

Alle er med:-) www.spilcricket.dk. Spil og lege vejledning Spil og lege vejledning Cricketrundbold I skal bruge: Et gærde, et bat, en blød skumbold, en gul top og 3 kegler. Start med at stille banen op. Placer gærdet, så der er god plads foran det. Sæt den gule

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

På min hjemmeside under Libre Draw finder du nederst en skabelon Skabelon med 2 spalter. Det er den vi skal bruge i dette eksempel.

På min hjemmeside under Libre Draw finder du nederst en skabelon Skabelon med 2 spalter. Det er den vi skal bruge i dette eksempel. Side 1 Mange kender programmet Microsoft Publisher hvor man sætte forskellige ting op i, blade, skrivelser, sange m.m. Libre Office Draw der er en del af den gratis LibreOffice pakke kan noget i samme

Læs mere

Inspiration til Servietfoldninger fra ASP-HOLMBLAD

Inspiration til Servietfoldninger fra ASP-HOLMBLAD Inspiration til Servietfoldninger fra ASP-HOLMBLAD 1. Servietten bredes ud, og kanterne bøjes ind mod midten. 2. Servietten bøjes én gang til. 3. Servietten lægges i fem læg. 4. Alle steder, hvor kanterne

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

SPILØVELSER FOR MÆND MOTIONSFODBOLD FOR MÆND KOM I FORM MED FODBOLD FITNESS

SPILØVELSER FOR MÆND MOTIONSFODBOLD FOR MÆND KOM I FORM MED FODBOLD FITNESS SPILØVELSER FOR MÆND MOTIONSFODBOLD FOR MÆND KOM I FORM MED FODBOLD FITNESS FORORD TIL SPILØVELSER KÆRE FODBOLDSPILLER Fodbolddelen består af 12 øvelseskort med en øvelse på forsiden og et spil på bagsiden.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Scapula. Backward rocking. Bevæg dig langsomt tilbage med vægt på armene. Vægtfordeling til siderne

Scapula. Backward rocking. Bevæg dig langsomt tilbage med vægt på armene. Vægtfordeling til siderne Backward rocking Backward rocking Backward rocking Stå på alle 4, skub fra med armene og hold lænden vandret. Bevæg dig langsomt tilbage med vægt på armene. Kom så langt tilbage som du kan, mens du fortsat

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

*CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE

*CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE *CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:36 Side 1 GUIDE AMERIKANSK ROULETTE *CAS 07 M65 Guide Roulet.qxp 03/09/07 15:37 Side 2 AMERIKANSK ROULETTE Intet casino uden roulette et klassisk bordspil, hvor

Læs mere

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK)

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 3 2 PRØVERNE 3 2.1 Log in 3 2.2 Lydtjek til lytteprøven 5 2.3 Under prøven 5 3 Prøvens opgaver 7 3.1 Lytteopgaver 7 3.2

Læs mere

Skakhåndbogen Afsnit 3 SKAKSPILLETS REGLER

Skakhåndbogen Afsnit 3 SKAKSPILLETS REGLER spilleren selv eller hans modstander standse uret og tilkalde dommeren. Dommeren kan idømme straf til den spiller som fejlplacerede brikkerne. 7.4 Hvis det under et parti opdages at der er fuldført et

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Positivlisten. Ra værdi Farve Vurdering >= 80 Grøn God ifølge EU QC 80 65 Orange Acceptabel < 65 Rød Ikke god

Positivlisten. Ra værdi Farve Vurdering >= 80 Grøn God ifølge EU QC 80 65 Orange Acceptabel < 65 Rød Ikke god Positivlisten Resultatet af projektet er en demonstrationsversion af LED positivlisten og der er udviklet en hjemmeside til listen, hvortil der er adgang fra www.lednet.dk. Det er i princippet en sortérbar

Læs mere

Nero Cover designer. 1. Opstart og justering af Printer første gang! Brug af Nero til at lave labler-indlægmm. til CD/DVD skiver af egenproduktion.

Nero Cover designer. 1. Opstart og justering af Printer første gang! Brug af Nero til at lave labler-indlægmm. til CD/DVD skiver af egenproduktion. Nero Cover designer. Brug af Nero til at lave labler-indlægmm. til CD/DVD skiver af egenproduktion. 1. Opstart og justering af Printer første gang! Start Nero og vælg i sidepanelet til venstre(åbnes ved

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere