Den rejsende sælgers problem. Den rejsende sælgers problem. Første omtale af problemet 1832

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den rejsende sælgers problem. Den rejsende sælgers problem. Første omtale af problemet 1832"

Transkript

1 Den rejsende sælgers problem? En sælger skal besøge n byer og vende tilbage til sit udgangspunkt I hvilken rækkefølge skal han besøge byerne, hvis han ønsker at minimere sine rejseomkostninger? Den rejsende sælgers problem ved Keld Helsgaun Tur for 16 amerikanske byer 1 2 Konkurrence fra 1962 Første omtale af problemet byer i Tyskland Der Handlungsreisende - wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiss zu sein - Von einem alten Commis-Voyageur Voigt 3 4

2 Matematisk formulering Rejseomkostninger kan f.eks. måles i afstand, tid eller penge Givet en matrix C = {c ij }, hvor c ij repræsenterer omkostningen ved at gå fra by i til by j (i, j = 1,..., n) Find en permutation (i 1, i 2,..., i n ) af tallene fra 1 til n, der minimerer summen c i1 i 2 + c i2 i c in!1 i n + c in i 1 Problemtyper Egenskaber ved C benyttes til at klassificere problemer: Hvis c ij = c ji for alle i og j, siges problemet at være symmetrisk. Ellers er det asymmetrisk Hvis trekantuligheden gælder (c ik! c ij + c jk for alle i, j og k), j siges problemet at være metrisk Hvis c ij er Euklidiske afstande imellem punkter i planet, siges problemet at være Euklidisk i k 5 6 Grafformulering i 1 i 2 i 3 i 5 i 4 Motivation (1) Lad G = (V, E) være en vægtet graf, hvor V = {1, 2,..., n) er mængden af knuder, og E = {(i, j) i! V, j! V} er mængden af kanter. En cykel er en mængde af kanter {(i 1, i 2 ), (i 2, i 3 ),..., (i k, i 1 )}, hvor i p " i q for alle p " q. Længden af en cykel er summen af dens kantomkostninger. En tur (Hamiltoncykel) er en cykel, hvor k = n. TSP kan nu formuleres således: Givet en graf G. Find en tur i G af minimal længde. 7 Hvorfor beskæftige sig med den rejsende sælgers problem (TSP)? (1) Prototype-problem. Algoritmer og teknikker udviklet til løsning af TSP kan overføres til andre kombinatoriske optimeringsproblemer Alle større landvindinger inden for kombinatorisk optimering kan direkte eller indirekte henføres til studiet af TSP: Branch and bound, dynamisk programmering, beregningskompleksitet, snitplaner i LP, metaheuristikker 8

3 (2) Mange anvendelser Motivation (2) TSP opstår naturligt som delproblem ved løsning af problemer inden for transport og logistik: afhentning af børn med en skolebus udbringning af mad til pensionister Men TSP opstår også inden for mange andre områder: boring af huller på en printplade (VLSI) planlægning af opgaveafviklingen på en maskine Flere praktiske anvendelser Design af et optisk fibernetværk Kredsløb til afprøvning af integrerede kredse Genetisk sekvensanalyse 9 10 Beregningskompleksitet For et symmetrisk problem med n byer er antallet af mulige ture lig med (n!1) " (n! 2) "..." 2 "1 (n!1)! = 2 2 Hvis vi antager, at det tager 10-9 sekunder at bestemme hver mulig tur, bliver tidsforbruget stort, selv for små værdier af n: n Antal ture # # # Tidsforbrug # 2 år # 10 millioner år # år N = 3: N = 4: N = 5: N = 6: N = 7: N = 8: N = 9: N = 10: N = 11: N = 12: N = 13: N = 14: N = 15: N = 17: N = 19: N = 21: N = 23: N = 25: N = 30: N = 35: N = 40: Antal ruter 1 rute. 3 ruter. 12 ruter. 60 ruter. 360 ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter

4 Problemkompleksitet TSP er NP-fuldstændigt Enhver algoritme, der med garanti finder optimum, vil have et tidsforbrug, der vokser eksponentielt med problemstørrelsen Løsningsalgoritmer Eksakte algoritmer Dynamisk programmering Lineær programmering (snitplaner, facetter) Approksimative algoritmer Heuristikker Metaheuristikker (simuleret udglødning, myrekolonier, genetiske algoritmer, tabusøgning) subject to minimize Eksakte løsninger (milepæle) pla85900: optimal tur År Forskere Byer 1954 G. Dantzig, R. Fulkerson, S. Johnson M. Held, R. M. Karp P. M. Camerini, L. Fratta, F. Maffioli M. Grötschel H. Crowder, M.W. Padberg M. Padberg, G. Rinaldi M. Grötschel, O. Holland M. Padberg, G. Rinaldi D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook, K. Helsgaun D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook, K. Helsgaun, S. Dash, D. Espinoza, R. Fukasawa, M. Goycoolea ,112-by problemet blev løst ved hjælp af 110 cpu er med et samlet CPU-forbrug på cirka 22 år. 24,978-by problemet blev løst med et samlet CPU-forbrug på cirka 84 år. 15 CPU-tidsforbrug: 136 år 16

5 by problemet Optimal løsning byer i Tyskland 1 ud af mulige ture Antallet af atomer i hele det kendte univers antages at være Approksimative algoritmer Nærmeste nabo (en turkonstruerende algoritme) Turkonstruktuerende algoritmer En tur konstrueres fra bunden Turforbedrende algoritmer En given tur forbedres så meget som muligt Sammensatte algoritmer En tur konstrueres og forbedres Besøg den nærmeste ubesøgte by, så længe der er ubesøgte byer

6 Multi-fragment (Greedy) (en turkonstruerende algoritme) 2-opt (en turforbedrende algoritme) Ersta forbindelser med 2 andre forbindelser, så der fremkommer en kortere tur Tilføj den korteste kant, som forbinder endepunkterne for to fragmenter Animering af 2-opt 3-opt Erstat 3 forbindelser med 3 andre forbindelser, så der fremkommer en kortere tur 23 24

7 Løsningskvalitet by problemet Algoritme Afvigelse fra optimum Nærmeste nabo 25% Multi-fragment 15% 2-opt 14% 3-opt 8% "-opt En tur siges, at være "-optimal, hvis det er umuligt at opnå en kortere tur ved at erstatte " af dens forbindelser med en mængde af " forbindelser Hvis en tur er "-optimal, er den også " -optimal for 1! "! " En tur med n byer er optimal, hvis og kun hvis den er n-optimal Kompleksitet af "-opt Lin-Kernighan Kvaliteten af en tur øges, når " øges Men (1) tiden for at undersøge, om en tur er "-optimal, vokser meget hurtigt. Med en naiv implementering er tidskompleksiteten O(n " ) (2) der er ingen ikke-triviel øvre grænse for antallet af "-ombytninger Ofte vælges "=2 eller "=3 Men det er en ulempe, at " skal vælges på forhånd Lin og Kernighan fjernede denne ulempe ved at introducere en variabel "-opt algoritme Algoritmen undersøger for stigende værdier af ", om en ombytning af " forbindelser vil resultere i en kortere tur. Dette fortsætter, indtil et fastsat stopkriterium er opfyldt 27 28

8 Begrænsning af søgningen (1) Eksempel på et ikke-sekventielt træk (1) Sekventielle ombytninger Forbindelser fjernes og tilføjes skiftevis, og således at to på hinanden følgende forbindelser har et endepunkt tilfælles t 4 t 3 Dobbelt-bro-træk t 3 t 4 4-opt træk t 8 t 6 t 7 t 7 t 5 t 8 t 6 Kæden af kanter udgør en alternaternde cykel t 5 To alternerende cyker t 1 t Begrænsning af søgningen (2) (2) Gennemførlighed For i $ 3 må en forbindelse (i-1, i ) kun fjernes, hvis tilføjelsen af forbindelsen (i, t 1 ) resulterer i en tur t 6 t tilladt 3 t 5 t 4 t 4 t 3 t 5 t 6 forbudt Træk som en følge af 2-opt træk 4 t 3 t 1 I den originale algoritme, LK, kan et "-opt træk repræsenteres som e- eller 3-opt træk, efterfulgt af en serie af 2-opt træk t 1 t 1 t

9 Begrænsning af søgningen (3) Begrænsning af søgningen (4) (3) Positiv gevinst Ved konstruktion af et "-opt træk, skal den foreløbige gevinst, G i, altid være positiv, hvor G i = c(t 1, ) - c(, t 3 ) + c(t 3, t 4 ) c(i, i+1 ) t 6 t 3 t 5 t 4 (4) Disjunkte forbindelser En tidligere fjernet forbindelse kan ikke blive tilføjet, og en tidligere tilføjet forbindelse kan ikke blive fjernet t 6 t 3 t 5 t 4 t 7 t 7 t 1 t Begrænsning af søgningen (5, 6 og 7) (5) Beskæring af søgebredden Søgning efter en forbindelse, der skal tilføjes, begrænses til de 5 nærmeste naboer til i (6) Gode faste forbindelser bibeholdes For i $ 4 må en forbindelse ikke fjernes, hvis den er fælles for et givet antal hidtil korteste ture (7) Overflødigt overarbejde undgås Søgning efter en forbedring stoppes, hvis den aktuelle tur er den samme som en tidligere tur Dirigering af søgningen Udover regler til begrænsning af søgningen indeholder den originale algoritme også en række heuristiske regler, hvis formål er at forbedre chancen for at finde gevinstgivende træk Hvis der er flere muligheder for at tilføje en forbindelse, vælges den, der giver den største tilvækst af gevinsten Hvis der er flere muligheder for at fjerne en forbindelse, vælges den længste 35 36

10 Effektiviteten af LK Itereret LK LK betragtes i dag som den mest effektive approksimative algoritme til løsning af TSP LK kan på rimelig tid bestemme løsninger, som afviger fra optimum med omkring 2% Med itereret LK opnås typisk en kvalitet på 1% besttour = LK(randomTour()); for (run = 2; run <= numberofruns; run++) { tour = LK(kick(bestTour)); if (cost(tour) < cost(besttour)) besttour = tour; } kick-operationen kan, for eksempel, være et tilfældigt dobbelt-bro-træk LKH Lin-Kernighan-Helsgaun algoritmen En turforbedrende algoritme, der finder næroptimale løsninger til TSP Faktisk finder algoritmen ofte optimum Centrale ændringer i forhold til LK (1) Der benyttes 5-opt træk, som det basale træk (i stedet for 2-opt træk) (2) Mængden af kandidater for de forbindelser, der kan indgå i en tur bestemmes ved sensitivitetsanalyse (i stedet for ved bestemmelse af nærmeste nabo) 39 40

11 Sensitivitetsanalyse i LKH Effektiviteten af #-målet Forbindelsers chance for at tilhøre en optimal tur estimeres ved hjælp af det såkaldte #-mål For hver kant i den til problemet svarende graf bestemmes kantens #-værdi som den tilvækst omkostningen for et mindste udspændende træ ville få, hvis kanten skulle være med i et sådan træ #-målet kan forbedres ved Lagrange relaksation og subgradient optimering Målet er så godt, at man i mange tilfælde kan nøjes med kandidatmængder, der for hver by blot omfatter de 5 #-nærmeste naboer Bestemmelse af #-værdierne kan gøres i O(n 2 ) tid Andre effektiviseringer (1) Startture genereres ikke helt tilfældigt Forbindelserne vælges blandt kandidatforbindelserne (2) Den første kant, der fjernes i et træk, (t 1, ), må ikke tilhøre den hidtil bedste tur (3) Ture repræsenteres med en datastruktur, som tillader udførelse af et "-opt træk i O(" n) tid (4) Tiden for afstandsberegninger reduceres (caching) LKH version 2 Version 2 af LKH forbedrer den oprindelige implementation på følgende punkter: (1) Løsning af meget store problemer (mere end 1 million byer), er nu muligt (2) Det er muligt at opnå endnu bedre løsningskvalitet (5) Tiden til at undersøge, at der ikke er mulighed for flere forbedringer, reduceres (hashing, don t look bits) 43 44

12 Løsning af meget store problemer Øget løsningskvalitet En god starttur kan bestemmes hurtigt med multi-fragment algoritmen Delaunay-triangularisering kan benyttes til at effektivisere sensitivitetsanalysen (1) Basistræk kan være K-opt for en vilkårlig værdi af K (ikke blot! 5 som i version 1) (2) Træk kan omfatte ikke-sekventielle træk (3) Ture kan flettes (4) Et problem kan opløses i delproblemer Generelt K-opt træk t 3 t 8 t 4 t 7 Er trækket lovligt? Antallet af tilfælde, der skal undersøges, vokser hurtigt for stigende værdier af K: Delproblemer: (1) Er trækket lovligt? (2) Hvorledes udføres det i givet fald? t 6 t 5 t 1 t 10 t 9 K Mulige sekvenser Lovlige sekvenser Andel 50.0% 50.0% 41.7% 38.5% 35.1% 32.8% 30.7% 29.1% 27.6% 47 48

13 Er trækket lovligt? Implementeringsmuligheder (1) Programgenerering (David Applegate) Antal producerede programlinjer: K = 6: K = 7: K = 8: Hvorledes udføres et lovligt træk? Et K-opt træk udføres ved at vende 0, 1 eller flere sekvenser af byer på turen om (foretage reversioner) reversion reversion (2) Rekursion og sortering (Keld Helsgaun) Lovlighed kan afgøres i O(K log K) tid 49 reversion 50 2-opt træk og reverseringer E-opt træk bevirker en reversering af et tursegment. Sætning: Ethvert K-opt træk (K $ 2) er ækvivalent med en følge af højst K 2-opt træk. Hvorledes udføres et lovligt træk? (mest effektivt) Bestemmelse af den korteste følge af reversioner, der skal bruges for at udføre et K-opt træk viser sig at være ækvivalent med et centralt problem ved sammenlignende studier af gener: Sortering ved reversering af permutationer med fortegn En permutation med fortegn er en sædvanlig permutation, hvor hvert element er forsynet med et fortegn, + eller - Problemet kan løses i polynomiel tid: O(K 2 ) 51 52

14 Et 4-opt træk og dets tilsvarende permutation med fortegn Udførelse 4-opt trækket ved sortering af dets permutation (+1, -4, -2, +3) (+1, -4, -3, +2) (+1, -2, +3, +4) (+1, +2, +3, +4) 2 (+1, -4, -2, +3) (+1, +2, +3, +4) 53 Trækket foretages med 3 reversioner (2-opt træk) 54 Tur repræsentation To-niveau-træ Ikke-sekventielle træk Hvis der under konstruktionen af et K-opt træk findes et turforbedrende, men ulovligt træk, forsøges de opståede cykler føjet sammen på en sådan måde, at der fremkommer et turforbedrende, lovligt træk Operation Kompleksitet PRED(t), SUC(t) O(1) BETWEEN(t1, t2, t3) O(1) FLIP(t1, t2, t3, t4) O( n) Cykler kan føjes sammen ved brug af en eller flere alternerende cykler 55 56

15 Sammenføjning med 1 alternerende cykel Sammenføjning med 2 alternerende cykler t 3 t 3 t 4 t 4 t 1 t 5 t 1 t 6 t 6 t 7 t 8 t Repræsentation af potentielle træk t incl t t 3 t 4 2 t 5 5 t 6 4 t t 8 9 t 9 8 t 10 7 Afgørelse af cykelmedlemskab 1. Sorter t-følgen: (t 1,, t 4, t 3, t 9, t 10, t 7, t 8, t 5, t 6 ) Tid: O(K logk) 2. Bestem cykelnummeret for hver t-knude Tid: O(K) Cykelnummeret for enhver knude kan bestemmes ved binær søgning i den sorterede t-følge Tid: O(logK) 59 60

16 Begrænsning af søgningen efter alternerende cykler Fletning af ture (1) To alternerende cykler må ikke haves fælles kanter. (2) Alle ud-kanter i en alternerende cykel skal tilhøre fællesmængden af kanter i den aktuelle tur og cyklernes kanter. (3) Alle ind-kanter i en alternerende cykel skal forbinde to cykler. (4) Startknuden i en alternerende cykel skal tilhøre den korteste cykel (cyklen med færrest kanter). Lås fælles kanter og løs ved lokal søgning (5) Konstuktion af en alternerende cykel påbegyndes kun, hvis den aktuelle gevinst er positiv Iterativ partiel omskrivning Givet to ture. Søg efter kantfølger, som indeholder de samme knuder, men i forskellig rækkefølge, og hvor startog slutknuden er den samme. Erstat den dyreste kantfølge med den billigste. Backbone-styret søgning Kanterne i ture, der er frembragt efter et fast antal indledende iterationer, kan benyttes som kandidatkanter i de efterfølgende iterationer 63 64

17 Tur-baseret opdeling Geometrisk opdeling En tur opdeles i segmenter af samme størrelse. Hvert segment omdannes til en tur ved tilføjelse af en fast kant imellem dets to endepunkter, og turen forsøges forbedret. Opdel området, der indeholder alle byerne, i rektangler med lige mange byer i hvert. Forbedrede segmenter sættes på plads igen. Prøv igen med en opdeling, hvor hvert nyt segment omfatter halvdelen af byerne fra to gamle nabosegmenter Resultater dk11455 I det følgende gives eksempler på løsninger fundet af LKH For visse af eksemplerne kendes de optimale løsninger ikke. For disse vurderes løsningernes kvalitet i forhold til kendte nedre grænser (bestemt af Applegate m.fl. ved hjælp af snitplan-metoder) Længde ca km 67 68

18 brd14051: optimum d18512: optimum sw24978: optimum pla33810: optimum 71 72

19 china71009: fejl! 0,024% pla85900: optimum e100k.0: fejl! 0,039% E1M.0: fejl! 0,019% 75 76

20 lrb World ( byer): fejl! 0,049% Antal ruter # Igangværende arbejde 526 millioner stjerner Distribueret løsning af meget store problemer: Et VLSI-problem med byer Cirka 526 millioner stjerner (# mulige ruter) I samarbejde med David Applegate, William Cook, André Rohe og Sanjeeb Dash Parallel memetisk (hybrid genetisk) algoritme baseret på LKH 79 80

21 TSP-kunst? punkter En ud af mulige ture Den rejsende rummands problem 81 82

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Jens Kristian Jensen, David Pisinger og Martin Zachariasen 13. april 2003 1 Formalia Dette er den anden af to godkendelsesopgaver på kurset

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Approximationsalgoritme giver garanti for løsningskvalitet Heuristik giver ingen garanti for løsningskvalitet

Approximationsalgoritme giver garanti for løsningskvalitet Heuristik giver ingen garanti for løsningskvalitet Generelle optimeringsheuristikker Også kaldet metaheuristikker. Idag gennemgås: Indplacering Lokal søgning Simuleret udgløding Tabusøgning Genetiske algoritmer Løsningsmetoder for NP -hårde opimeringsproblemer

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge

Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge Planlægning af arbejdsplaner for togrevisorer i S-toge Specialerapport af Lars Kjær Nielsen Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet - Odense 1 Forord Dette speciale er skrevet i perioden

Læs mere

Mobile Robotter på Bispebjerg Hospital

Mobile Robotter på Bispebjerg Hospital Mobile Robotter på Bispebjerg Hospital Bachelorprojekt af Emil Brøgger Kjer (s062379) Anders Hersland (s062216) Vejleder: Thomas Bolander 6. Juli 2009 IMM Danmarks Tekniske Universitet 1 Abstract The aim

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Rekursion C#-version

Rekursion C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 Internet hitlister En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 1 Formål Formålet med denne projekt-opgave er at finde en geometrisk repræsentation (i 2D eller

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

PS102: Den menneskelige faktor og patientsikkerhed

PS102: Den menneskelige faktor og patientsikkerhed IHI Open School www.ihi.org/patientsikkerhed PS102: Den menneskelige faktor og patientsikkerhed (1 time) Dette modul er en introduktion til emnet "menneskelige faktorer": Hvordan indarbejdes viden om menneskelig

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Valgfrit afdragsfrie lån

Valgfrit afdragsfrie lån Valgfrit afdragsfrie lån Morten Nalholm nalholm@math.ku.dk Valgfrit afdragsfrie lån p. 1/32 Introduktion Prisfastsættelse Modellering af låntagerheterogenitet S.Jakobsen:"unødigt kompliceret" (om et RDs

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Automatiser jeres produktion let, billigt og fleksibelt

Automatiser jeres produktion let, billigt og fleksibelt Automatiser jeres produktion let, billigt og fleksibelt Universal Robots udvikler fleksibel og prisgunstig robotteknologi til industrien. Vi sætter slutbrugeren i centrum og gør teknologien let at bruge

Læs mere

Sortering i CPH STL. Jakob Sloth, Morten Lemvigh & Mads Kristensen. CPH STL rapport 2003-2 maj 2003; revidered november 2003

Sortering i CPH STL. Jakob Sloth, Morten Lemvigh & Mads Kristensen. CPH STL rapport 2003-2 maj 2003; revidered november 2003 Sortering i CPH STL Jakob Sloth, Morten Lemvigh & Mads Kristensen CPH STL rapport 2003-2 maj 2003; revidered november 2003 1 INDHOLD S. 2 Indhold Indhold 2 1 Indledning 5 1.1 Problemstilling..........................

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999 )LDVLHO$DO\VH 3. september 1999 1\XONXSRUHHVUXNXUPRGHO 8LEDNVRIILFLHOOHXONXSRUHHVUXNXUVNLIHVXGIUDGHXY UHGH1HOVR 6LHJHOPRGHOLOHPHUHNRPSOLFHUHPRGHO 'H\HPRGHOJLYHUEHGUHILLJDISULVHUSnVDVREOLJDLRHURJHOLPLHUHUEODG

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Henvendelse vedrørende gratis befordring mellem skole og hjem i henhold til folkeskolelovens regler.

Henvendelse vedrørende gratis befordring mellem skole og hjem i henhold til folkeskolelovens regler. X 06-07- 2010 Henvendelse vedrørende gratis befordring mellem skole og hjem i henhold til folkeskolelovens regler. Du har ved mail af 23. marts 2010 rettet henvendelse til statsforvaltningen som tilsynsmyndighed

Læs mere

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ DM502 Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ 1 DM502 Bog, ugesedler og noter De første øvelser Let for nogen, svært for andre Kom til øvelserne! Lav opgaverne!

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Finn Gilling The Human Decision/ Gilling. 12. 13. September Insights Danmark 2012 Hotel Scandic Aarhus City

Finn Gilling The Human Decision/ Gilling. 12. 13. September Insights Danmark 2012 Hotel Scandic Aarhus City Finn Gilling The Human Decision/ Gilling 12. 13. September Insights Danmark 2012 Hotel Scandic Aarhus City At beslutte (To decide) fra latin: de`caedere, at skære fra (To cut off) Gilling er fokuseret

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Produktion III. Del af en integreret virksomhedsløsning. Produktion III til Microsoft Navision Axapta. forøger effektiviteten i produktionscyklussen.

Produktion III. Del af en integreret virksomhedsløsning. Produktion III til Microsoft Navision Axapta. forøger effektiviteten i produktionscyklussen. Produktion III til Microsoft Navision Axapta forøger effektiviteten i produktionscyklussen. Produktion III Produktionsserien til Microsoft Navision Axapta gør det muligt for producenter at styre hele Fordele

Læs mere

Undersøgelse af en genetisk algoritme

Undersøgelse af en genetisk algoritme Undersøgelse af en genetisk algoritme Study of a genetic algorithm Gruppe 2, hus 13.2 Gruppemedlemmer: Sanne Bjerg Tanja Josefsen Pernille Hviid Petersen Claus Daldorph Nielsen Rasmus Rasmussen Vejleder:

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Om forretningsmæssige kompetencer

Om forretningsmæssige kompetencer Om forretningsmæssige kompetencer Uddanner universiteterne kun i det de forsker i? DI, Industriens Hus - 22. september 2009 Jørn Johansen JoJ@delta.dk www.deltaaxiom.com www.delta.dk Tlf.: 72194421 1 Delta

Læs mere

Rangerplanlægning. Per Munk Jacobsen. 31. december 2007

Rangerplanlægning. Per Munk Jacobsen. 31. december 2007 Rangerplanlægning Per Munk Jacobsen 31. december 2007 Indhold 1 Resume 4 2 Indledning 6 3 Forhold ved værkstederne 9 4 Problemformulering 14 5 Litteratur 16 5.1 Tog rute problemet for en station..................

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Turist i Aarhus. Hvordan udnyttes tiden bedst?

Turist i Aarhus. Hvordan udnyttes tiden bedst? Turist i Aarhus Hvordan udnyttes tiden bedst? Morten Sloth Frandsen Antal anslag (Uden mellemrum): 92.481 Maj 2015 Vejleder: Jens Lysgaard Institut for Økonomi Executive Summary This paper briefly describes

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Programmering og Problemløsning. Bedre Eksamensplanlægning

Programmering og Problemløsning. Bedre Eksamensplanlægning Programmering og Problemløsning Bedre Eksamensplanlægning Eva Fajstrup Graversen, Jens Emil Gydesen Mathias Ormstrup Bjerregaard, Mikkel Alexander Madsen Nichlas Bo Nielsen, Sander Jespersen & Ulf Gaarde

Læs mere

Synopsis: Titel: Flugtveje. Tema: Algoritmer og netværk. Projektperiode: P2, forårssemesteret 2010. Projektgruppe: A312

Synopsis: Titel: Flugtveje. Tema: Algoritmer og netværk. Projektperiode: P2, forårssemesteret 2010. Projektgruppe: A312 Flugtveje [1] A312 Jens Stokholm Høngaard Kristian Pilegaard Jensen Thomas Birch Mogensen Niels Asger Aunsborg Nicolai Vesterholt Søndergaard Daniel Agerskov Heidemann Jensen 26. maj 2010 I II Det Teknisk-Naturvidenskabelige

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Rev. 11.04.2014. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil

Rev. 11.04.2014. Spilleregler: Bånd oversigt: Gevinst oversigt Featurespil Rev. 11.04.2014 Spilleregler Bånd oversigt Gevinst oversigt Featurespil Spilleregler: Bånd oversigt: Indsatsen vælges ved at logge på en automat med den ønskede indsats. 50 øre 1 krone eller 5 kroner pr.

Læs mere

03-10-2012 side 1. Billeddannelsen. Anne Sofie Nielsen. UDDANNELSER I UDVIKLING www.ucl.dk

03-10-2012 side 1. Billeddannelsen. Anne Sofie Nielsen. UDDANNELSER I UDVIKLING www.ucl.dk 03-10-2012 side 1 Billeddannelsen Anne Sofie Nielsen 03-10-2012 side 2 Dataopsamling (Data acquisition) Slice by sice (sekventiel) Volumen (Helical eller spiral) 03-10-2012 side 3 Seeram 03-10-2012 side

Læs mere

Fra Computer til Virkelighed. TPE-kursus Elektroniske Systemer P1

Fra Computer til Virkelighed. TPE-kursus Elektroniske Systemer P1 Fra Computer til Virkelighed TPE-kursus Elektroniske Systemer P1 Fra Computer til Virkelighed En kort introduktion til kurset Systems Engineering Projektfaser Opsamling og opgave Om kurset Mål: at I lærer

Læs mere

Version 8 Lejekontrakter

Version 8 Lejekontrakter Version 8 Lejekontrakter Erhvervslejekontrakter i 4 versioner C&B Systemer har distributionsaftale med Ejendomsforeningen Danmark og stiller 4 forskellige standardlejekontrakter til erhvervslejemål til

Læs mere

KAPITEL 10 flere eksempler

KAPITEL 10 flere eksempler KAPITEL 10 flere eksempler Afsnit 10.3 Matematik i virksomhedsøkonomiske problemstillinger E3a GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen er konstant I eksempel 3 i kapitel

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Velkommen til 70.3 Ironman 14 maj

Velkommen til 70.3 Ironman 14 maj Velkommen til 70.3 Ironman 14 maj Race og træningscamp på Mallorca Vi har været så heldige at få 50 startpladser på Ironman 70.3 på Mallorca. Det er præmiereåret, og der er lagt op til et af de bedste

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

12-03-2009. Resultater fra spørgeskemaundersøgelse. IT systemer. Er virksomheden beskæftiget inden for en eller flere af følgende brancher:

12-03-2009. Resultater fra spørgeskemaundersøgelse. IT systemer. Er virksomheden beskæftiget inden for en eller flere af følgende brancher: Resultater fra spørgeskemaundersøgelse : Er virksomheden beskæftiget inden for en eller flere af følgende brancher: 10 166 9 8 7 6 8 1 Godstransport på Terminaldrift vej og/eller IT systemer Anvender virksomheden

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Viden om ruter Efterspørgselsdrivere Hvilke faktorer vil gøre København attraktiv for flere flyruter?

Viden om ruter Efterspørgselsdrivere Hvilke faktorer vil gøre København attraktiv for flere flyruter? Viden om ruter Efterspørgselsdrivere Hvilke faktorer vil gøre København attraktiv for flere flyruter? SANKT ANNÆ PLADS 13, 2. 1250 KØBENHAVN K TELEFON: 2333 1810 FAX: 7027 0741 WWW.COPENHAGENECONOMICS.COM

Læs mere

Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3

Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3 Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3 Indholdsfortegnelse Indledning Prisudvikling 2.1 Prisudviklingen fra 2014 til

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Herning Kommune Uforstående over for, at krav til aftrækssystemer i 11, stk. 2, kun omfatter anlæg op til 30 kw og ikke op til 120 kw.

Herning Kommune Uforstående over for, at krav til aftrækssystemer i 11, stk. 2, kun omfatter anlæg op til 30 kw og ikke op til 120 kw. NOTAT Miljøteknologi J.nr. / MST-5230-00221 Ref. lahal, brk, chste Den 29. juni 2015 Høringsnotat om ændringsbekendtgørelse til bekendtgørelse om regulering af luftforurening fra fyringsanlæg til fast

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Cykelsuperstier på tværs af kommunegrænserne giver pendlere nye muligheder Konceptet er allerede udviklet bolden klar til at spille!

Cykelsuperstier på tværs af kommunegrænserne giver pendlere nye muligheder Konceptet er allerede udviklet bolden klar til at spille! Cykelsuperstier på tværs af kommunegrænserne giver pendlere nye muligheder Rigtig mange i hovedstadsregionen bruger allerede cyklen til den daglige transport mellem bolig og job med store gevinster for

Læs mere

Investpleje Frie Midler

Investpleje Frie Midler Investering Investpleje Frie Midler Investpleje Frie Midler 1 Investpleje Frie Midler En aftale om Investpleje Frie Midler er Andelskassens tilbud til dig om pleje af dine investeringer ud fra en strategi

Læs mere

Professional Series bevægelsesdetektorer Ved, hvornår alarmen skal lyde. Ved, hvornår den ikke skal.

Professional Series bevægelsesdetektorer Ved, hvornår alarmen skal lyde. Ved, hvornår den ikke skal. Professional Series bevægelsesdetektorer Ved, hvornår alarmen skal lyde. Ved, hvornår den ikke skal. Nu med Antimask teknologi, flere zoner og spraydetektering Uovertrufne Bosch teknologier forbedrer detekteringsevnen

Læs mere