Den rejsende sælgers problem. Den rejsende sælgers problem. Første omtale af problemet 1832
|
|
- Signe Skov
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Den rejsende sælgers problem? En sælger skal besøge n byer og vende tilbage til sit udgangspunkt I hvilken rækkefølge skal han besøge byerne, hvis han ønsker at minimere sine rejseomkostninger? Den rejsende sælgers problem ved Keld Helsgaun Tur for 16 amerikanske byer 1 2 Konkurrence fra 1962 Første omtale af problemet byer i Tyskland Der Handlungsreisende - wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiss zu sein - Von einem alten Commis-Voyageur Voigt 3 4
2 Matematisk formulering Rejseomkostninger kan f.eks. måles i afstand, tid eller penge Givet en matrix C = {c ij }, hvor c ij repræsenterer omkostningen ved at gå fra by i til by j (i, j = 1,..., n) Find en permutation (i 1, i 2,..., i n ) af tallene fra 1 til n, der minimerer summen c i1 i 2 + c i2 i c in!1 i n + c in i 1 Problemtyper Egenskaber ved C benyttes til at klassificere problemer: Hvis c ij = c ji for alle i og j, siges problemet at være symmetrisk. Ellers er det asymmetrisk Hvis trekantuligheden gælder (c ik! c ij + c jk for alle i, j og k), j siges problemet at være metrisk Hvis c ij er Euklidiske afstande imellem punkter i planet, siges problemet at være Euklidisk i k 5 6 Grafformulering i 1 i 2 i 3 i 5 i 4 Motivation (1) Lad G = (V, E) være en vægtet graf, hvor V = {1, 2,..., n) er mængden af knuder, og E = {(i, j) i! V, j! V} er mængden af kanter. En cykel er en mængde af kanter {(i 1, i 2 ), (i 2, i 3 ),..., (i k, i 1 )}, hvor i p " i q for alle p " q. Længden af en cykel er summen af dens kantomkostninger. En tur (Hamiltoncykel) er en cykel, hvor k = n. TSP kan nu formuleres således: Givet en graf G. Find en tur i G af minimal længde. 7 Hvorfor beskæftige sig med den rejsende sælgers problem (TSP)? (1) Prototype-problem. Algoritmer og teknikker udviklet til løsning af TSP kan overføres til andre kombinatoriske optimeringsproblemer Alle større landvindinger inden for kombinatorisk optimering kan direkte eller indirekte henføres til studiet af TSP: Branch and bound, dynamisk programmering, beregningskompleksitet, snitplaner i LP, metaheuristikker 8
3 (2) Mange anvendelser Motivation (2) TSP opstår naturligt som delproblem ved løsning af problemer inden for transport og logistik: afhentning af børn med en skolebus udbringning af mad til pensionister Men TSP opstår også inden for mange andre områder: boring af huller på en printplade (VLSI) planlægning af opgaveafviklingen på en maskine Flere praktiske anvendelser Design af et optisk fibernetværk Kredsløb til afprøvning af integrerede kredse Genetisk sekvensanalyse 9 10 Beregningskompleksitet For et symmetrisk problem med n byer er antallet af mulige ture lig med (n!1) " (n! 2) "..." 2 "1 (n!1)! = 2 2 Hvis vi antager, at det tager 10-9 sekunder at bestemme hver mulig tur, bliver tidsforbruget stort, selv for små værdier af n: n Antal ture # # # Tidsforbrug # 2 år # 10 millioner år # år N = 3: N = 4: N = 5: N = 6: N = 7: N = 8: N = 9: N = 10: N = 11: N = 12: N = 13: N = 14: N = 15: N = 17: N = 19: N = 21: N = 23: N = 25: N = 30: N = 35: N = 40: Antal ruter 1 rute. 3 ruter. 12 ruter. 60 ruter. 360 ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter ruter
4 Problemkompleksitet TSP er NP-fuldstændigt Enhver algoritme, der med garanti finder optimum, vil have et tidsforbrug, der vokser eksponentielt med problemstørrelsen Løsningsalgoritmer Eksakte algoritmer Dynamisk programmering Lineær programmering (snitplaner, facetter) Approksimative algoritmer Heuristikker Metaheuristikker (simuleret udglødning, myrekolonier, genetiske algoritmer, tabusøgning) subject to minimize Eksakte løsninger (milepæle) pla85900: optimal tur År Forskere Byer 1954 G. Dantzig, R. Fulkerson, S. Johnson M. Held, R. M. Karp P. M. Camerini, L. Fratta, F. Maffioli M. Grötschel H. Crowder, M.W. Padberg M. Padberg, G. Rinaldi M. Grötschel, O. Holland M. Padberg, G. Rinaldi D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook, K. Helsgaun D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, W. Cook, K. Helsgaun, S. Dash, D. Espinoza, R. Fukasawa, M. Goycoolea ,112-by problemet blev løst ved hjælp af 110 cpu er med et samlet CPU-forbrug på cirka 22 år. 24,978-by problemet blev løst med et samlet CPU-forbrug på cirka 84 år. 15 CPU-tidsforbrug: 136 år 16
5 by problemet Optimal løsning byer i Tyskland 1 ud af mulige ture Antallet af atomer i hele det kendte univers antages at være Approksimative algoritmer Nærmeste nabo (en turkonstruerende algoritme) Turkonstruktuerende algoritmer En tur konstrueres fra bunden Turforbedrende algoritmer En given tur forbedres så meget som muligt Sammensatte algoritmer En tur konstrueres og forbedres Besøg den nærmeste ubesøgte by, så længe der er ubesøgte byer
6 Multi-fragment (Greedy) (en turkonstruerende algoritme) 2-opt (en turforbedrende algoritme) Ersta forbindelser med 2 andre forbindelser, så der fremkommer en kortere tur Tilføj den korteste kant, som forbinder endepunkterne for to fragmenter Animering af 2-opt 3-opt Erstat 3 forbindelser med 3 andre forbindelser, så der fremkommer en kortere tur 23 24
7 Løsningskvalitet by problemet Algoritme Afvigelse fra optimum Nærmeste nabo 25% Multi-fragment 15% 2-opt 14% 3-opt 8% "-opt En tur siges, at være "-optimal, hvis det er umuligt at opnå en kortere tur ved at erstatte " af dens forbindelser med en mængde af " forbindelser Hvis en tur er "-optimal, er den også " -optimal for 1! "! " En tur med n byer er optimal, hvis og kun hvis den er n-optimal Kompleksitet af "-opt Lin-Kernighan Kvaliteten af en tur øges, når " øges Men (1) tiden for at undersøge, om en tur er "-optimal, vokser meget hurtigt. Med en naiv implementering er tidskompleksiteten O(n " ) (2) der er ingen ikke-triviel øvre grænse for antallet af "-ombytninger Ofte vælges "=2 eller "=3 Men det er en ulempe, at " skal vælges på forhånd Lin og Kernighan fjernede denne ulempe ved at introducere en variabel "-opt algoritme Algoritmen undersøger for stigende værdier af ", om en ombytning af " forbindelser vil resultere i en kortere tur. Dette fortsætter, indtil et fastsat stopkriterium er opfyldt 27 28
8 Begrænsning af søgningen (1) Eksempel på et ikke-sekventielt træk (1) Sekventielle ombytninger Forbindelser fjernes og tilføjes skiftevis, og således at to på hinanden følgende forbindelser har et endepunkt tilfælles t 4 t 3 Dobbelt-bro-træk t 3 t 4 4-opt træk t 8 t 6 t 7 t 7 t 5 t 8 t 6 Kæden af kanter udgør en alternaternde cykel t 5 To alternerende cyker t 1 t Begrænsning af søgningen (2) (2) Gennemførlighed For i $ 3 må en forbindelse (i-1, i ) kun fjernes, hvis tilføjelsen af forbindelsen (i, t 1 ) resulterer i en tur t 6 t tilladt 3 t 5 t 4 t 4 t 3 t 5 t 6 forbudt Træk som en følge af 2-opt træk 4 t 3 t 1 I den originale algoritme, LK, kan et "-opt træk repræsenteres som e- eller 3-opt træk, efterfulgt af en serie af 2-opt træk t 1 t 1 t
9 Begrænsning af søgningen (3) Begrænsning af søgningen (4) (3) Positiv gevinst Ved konstruktion af et "-opt træk, skal den foreløbige gevinst, G i, altid være positiv, hvor G i = c(t 1, ) - c(, t 3 ) + c(t 3, t 4 ) c(i, i+1 ) t 6 t 3 t 5 t 4 (4) Disjunkte forbindelser En tidligere fjernet forbindelse kan ikke blive tilføjet, og en tidligere tilføjet forbindelse kan ikke blive fjernet t 6 t 3 t 5 t 4 t 7 t 7 t 1 t Begrænsning af søgningen (5, 6 og 7) (5) Beskæring af søgebredden Søgning efter en forbindelse, der skal tilføjes, begrænses til de 5 nærmeste naboer til i (6) Gode faste forbindelser bibeholdes For i $ 4 må en forbindelse ikke fjernes, hvis den er fælles for et givet antal hidtil korteste ture (7) Overflødigt overarbejde undgås Søgning efter en forbedring stoppes, hvis den aktuelle tur er den samme som en tidligere tur Dirigering af søgningen Udover regler til begrænsning af søgningen indeholder den originale algoritme også en række heuristiske regler, hvis formål er at forbedre chancen for at finde gevinstgivende træk Hvis der er flere muligheder for at tilføje en forbindelse, vælges den, der giver den største tilvækst af gevinsten Hvis der er flere muligheder for at fjerne en forbindelse, vælges den længste 35 36
10 Effektiviteten af LK Itereret LK LK betragtes i dag som den mest effektive approksimative algoritme til løsning af TSP LK kan på rimelig tid bestemme løsninger, som afviger fra optimum med omkring 2% Med itereret LK opnås typisk en kvalitet på 1% besttour = LK(randomTour()); for (run = 2; run <= numberofruns; run++) { tour = LK(kick(bestTour)); if (cost(tour) < cost(besttour)) besttour = tour; } kick-operationen kan, for eksempel, være et tilfældigt dobbelt-bro-træk LKH Lin-Kernighan-Helsgaun algoritmen En turforbedrende algoritme, der finder næroptimale løsninger til TSP Faktisk finder algoritmen ofte optimum Centrale ændringer i forhold til LK (1) Der benyttes 5-opt træk, som det basale træk (i stedet for 2-opt træk) (2) Mængden af kandidater for de forbindelser, der kan indgå i en tur bestemmes ved sensitivitetsanalyse (i stedet for ved bestemmelse af nærmeste nabo) 39 40
11 Sensitivitetsanalyse i LKH Effektiviteten af #-målet Forbindelsers chance for at tilhøre en optimal tur estimeres ved hjælp af det såkaldte #-mål For hver kant i den til problemet svarende graf bestemmes kantens #-værdi som den tilvækst omkostningen for et mindste udspændende træ ville få, hvis kanten skulle være med i et sådan træ #-målet kan forbedres ved Lagrange relaksation og subgradient optimering Målet er så godt, at man i mange tilfælde kan nøjes med kandidatmængder, der for hver by blot omfatter de 5 #-nærmeste naboer Bestemmelse af #-værdierne kan gøres i O(n 2 ) tid Andre effektiviseringer (1) Startture genereres ikke helt tilfældigt Forbindelserne vælges blandt kandidatforbindelserne (2) Den første kant, der fjernes i et træk, (t 1, ), må ikke tilhøre den hidtil bedste tur (3) Ture repræsenteres med en datastruktur, som tillader udførelse af et "-opt træk i O(" n) tid (4) Tiden for afstandsberegninger reduceres (caching) LKH version 2 Version 2 af LKH forbedrer den oprindelige implementation på følgende punkter: (1) Løsning af meget store problemer (mere end 1 million byer), er nu muligt (2) Det er muligt at opnå endnu bedre løsningskvalitet (5) Tiden til at undersøge, at der ikke er mulighed for flere forbedringer, reduceres (hashing, don t look bits) 43 44
12 Løsning af meget store problemer Øget løsningskvalitet En god starttur kan bestemmes hurtigt med multi-fragment algoritmen Delaunay-triangularisering kan benyttes til at effektivisere sensitivitetsanalysen (1) Basistræk kan være K-opt for en vilkårlig værdi af K (ikke blot! 5 som i version 1) (2) Træk kan omfatte ikke-sekventielle træk (3) Ture kan flettes (4) Et problem kan opløses i delproblemer Generelt K-opt træk t 3 t 8 t 4 t 7 Er trækket lovligt? Antallet af tilfælde, der skal undersøges, vokser hurtigt for stigende værdier af K: Delproblemer: (1) Er trækket lovligt? (2) Hvorledes udføres det i givet fald? t 6 t 5 t 1 t 10 t 9 K Mulige sekvenser Lovlige sekvenser Andel 50.0% 50.0% 41.7% 38.5% 35.1% 32.8% 30.7% 29.1% 27.6% 47 48
13 Er trækket lovligt? Implementeringsmuligheder (1) Programgenerering (David Applegate) Antal producerede programlinjer: K = 6: K = 7: K = 8: Hvorledes udføres et lovligt træk? Et K-opt træk udføres ved at vende 0, 1 eller flere sekvenser af byer på turen om (foretage reversioner) reversion reversion (2) Rekursion og sortering (Keld Helsgaun) Lovlighed kan afgøres i O(K log K) tid 49 reversion 50 2-opt træk og reverseringer E-opt træk bevirker en reversering af et tursegment. Sætning: Ethvert K-opt træk (K $ 2) er ækvivalent med en følge af højst K 2-opt træk. Hvorledes udføres et lovligt træk? (mest effektivt) Bestemmelse af den korteste følge af reversioner, der skal bruges for at udføre et K-opt træk viser sig at være ækvivalent med et centralt problem ved sammenlignende studier af gener: Sortering ved reversering af permutationer med fortegn En permutation med fortegn er en sædvanlig permutation, hvor hvert element er forsynet med et fortegn, + eller - Problemet kan løses i polynomiel tid: O(K 2 ) 51 52
14 Et 4-opt træk og dets tilsvarende permutation med fortegn Udførelse 4-opt trækket ved sortering af dets permutation (+1, -4, -2, +3) (+1, -4, -3, +2) (+1, -2, +3, +4) (+1, +2, +3, +4) 2 (+1, -4, -2, +3) (+1, +2, +3, +4) 53 Trækket foretages med 3 reversioner (2-opt træk) 54 Tur repræsentation To-niveau-træ Ikke-sekventielle træk Hvis der under konstruktionen af et K-opt træk findes et turforbedrende, men ulovligt træk, forsøges de opståede cykler føjet sammen på en sådan måde, at der fremkommer et turforbedrende, lovligt træk Operation Kompleksitet PRED(t), SUC(t) O(1) BETWEEN(t1, t2, t3) O(1) FLIP(t1, t2, t3, t4) O( n) Cykler kan føjes sammen ved brug af en eller flere alternerende cykler 55 56
15 Sammenføjning med 1 alternerende cykel Sammenføjning med 2 alternerende cykler t 3 t 3 t 4 t 4 t 1 t 5 t 1 t 6 t 6 t 7 t 8 t Repræsentation af potentielle træk t incl t t 3 t 4 2 t 5 5 t 6 4 t t 8 9 t 9 8 t 10 7 Afgørelse af cykelmedlemskab 1. Sorter t-følgen: (t 1,, t 4, t 3, t 9, t 10, t 7, t 8, t 5, t 6 ) Tid: O(K logk) 2. Bestem cykelnummeret for hver t-knude Tid: O(K) Cykelnummeret for enhver knude kan bestemmes ved binær søgning i den sorterede t-følge Tid: O(logK) 59 60
16 Begrænsning af søgningen efter alternerende cykler Fletning af ture (1) To alternerende cykler må ikke haves fælles kanter. (2) Alle ud-kanter i en alternerende cykel skal tilhøre fællesmængden af kanter i den aktuelle tur og cyklernes kanter. (3) Alle ind-kanter i en alternerende cykel skal forbinde to cykler. (4) Startknuden i en alternerende cykel skal tilhøre den korteste cykel (cyklen med færrest kanter). Lås fælles kanter og løs ved lokal søgning (5) Konstuktion af en alternerende cykel påbegyndes kun, hvis den aktuelle gevinst er positiv Iterativ partiel omskrivning Givet to ture. Søg efter kantfølger, som indeholder de samme knuder, men i forskellig rækkefølge, og hvor startog slutknuden er den samme. Erstat den dyreste kantfølge med den billigste. Backbone-styret søgning Kanterne i ture, der er frembragt efter et fast antal indledende iterationer, kan benyttes som kandidatkanter i de efterfølgende iterationer 63 64
17 Tur-baseret opdeling Geometrisk opdeling En tur opdeles i segmenter af samme størrelse. Hvert segment omdannes til en tur ved tilføjelse af en fast kant imellem dets to endepunkter, og turen forsøges forbedret. Opdel området, der indeholder alle byerne, i rektangler med lige mange byer i hvert. Forbedrede segmenter sættes på plads igen. Prøv igen med en opdeling, hvor hvert nyt segment omfatter halvdelen af byerne fra to gamle nabosegmenter Resultater dk11455 I det følgende gives eksempler på løsninger fundet af LKH For visse af eksemplerne kendes de optimale løsninger ikke. For disse vurderes løsningernes kvalitet i forhold til kendte nedre grænser (bestemt af Applegate m.fl. ved hjælp af snitplan-metoder) Længde ca km 67 68
18 brd14051: optimum d18512: optimum sw24978: optimum pla33810: optimum 71 72
19 china71009: fejl! 0,024% pla85900: optimum e100k.0: fejl! 0,039% E1M.0: fejl! 0,019% 75 76
20 lrb World ( byer): fejl! 0,049% Antal ruter # Igangværende arbejde 526 millioner stjerner Distribueret løsning af meget store problemer: Et VLSI-problem med byer Cirka 526 millioner stjerner (# mulige ruter) I samarbejde med David Applegate, William Cook, André Rohe og Sanjeeb Dash Parallel memetisk (hybrid genetisk) algoritme baseret på LKH 79 80
21 TSP-kunst? punkter En ud af mulige ture Den rejsende rummands problem 81 82
Den rejsende sælgers problem. ved Keld Helsgaun
? Den rejsende sælgers problem ved Keld Helsgaun 1 Den rejsende sælgers problem En sælger skal besøge n byer og vende tilbage til sit udgangspunkt I hvilken rækkefølge skal han besøge byerne, hvis han
Læs mereSymmetrisk Traveling Salesman Problemet
Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid
6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler
Læs mereLøs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel
I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer
Læs mereUdtømmende søgning. Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Problem med 4461 byer Udtømmende søgning i grafer. Find den korteste rundtur
Udtømmende søgning Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Systematisk gennemsøgning af alle potentielle løsninger Den rejsende sælgers problem (TSP): En sælger skal besøge N byer ind den korteste rundtur
Læs mereGrundlæggende køretidsanalyse af algoritmer
Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers
Læs mereUdtømmende søgning 1
Udtømmende søgning Udtømmende søgning (kombinatorisk søgning) Systematisk gennemsøgning af alle potentielle løsninger Den rejsende sælgers problem (TSP): En sælger skal besøge N byer Find den korteste
Læs mereSidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed
Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde
Læs mereTirsdag 12. december David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereLogistik og optimering
Logistik og optimering JENS LYSGAARD Professor Institut for Økonomi Aarhus Universitet Forskningscentret CORAL v. Institut for Økonomi Logistik og optimering CORAL: Cluster for Operations Research And
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs merePerspektiverende Datalogikursus
Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 27. august 2004 1 Indhold Mere om Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer
Læs mereMindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Læs mereGeometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter
Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)
Læs mereDefinition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er
Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i
Læs mereP2-gruppedannelsen for Mat og MatØk
Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur (struktur opbygget af et endeligt antal enkeltdele) blandt mange mulige. Eksempler:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave
Læs mereBroer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.
Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur
Læs mere.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}
Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereMindste udspændende træ
Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation
Læs mereMindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion
Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 26. maj 2009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf
Læs mereIdeer til datalogiprojekter. Keld Helsgaun
Ideer til datalogiprojekter Keld Helsgaun 1 Keld Helsgaun Forskning: kombinatorisk optimering heuristisk søgning (kunstig intelligens) programmeringsværktøjer Undervisning: programmering, datastrukturer
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs merePerspektiverende Datalogikursus
Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 2. september 2005 1 Afleveringsopgaver... /\.. // \\ / \ / [] \ \\_// / \ / \ []._. ---------------- _ 2 Øvelse
Læs merePerspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer
Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal 1 Indhold Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer Ressourceforbrug for algoritmer Kompleksitet
Læs mereDynamisk programmering
Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs merePrioritetskøer og hobe. Philip Bille
Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af
Læs mere02105 Eksamensnoter. Lasse Herskind S maj Sortering 3
02105 Eksamensnoter Lasse Herskind S153746 12. maj 2017 Indhold 1 Sortering 3 2 Analyse af algoritme 4 2.1 Køretid.......................................... 4 2.2 Pladsforbrug.......................................
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereAlgoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version
Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 0205. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk
Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9
Læs mereBasale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser.
25 Sortering III. Basale forudsætninger. Sortering ved fletning med tre bånd, i to faser. Sortering ved fletning, med fire bånd, i én fase (balanceret fletning). Polyfase fletning med tre bånd. Generaliseret
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag:
Læs mereAlgoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet
Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereKorteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.
Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.
Læs mereBranch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10
Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereVideregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!
Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 0. august 00, kl. 9.00-.00
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX(): returner og fjern
Læs mereSommeren 2001, opgave 1
Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering. Philip Bille
Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer på hobe Hobkonstruktion Hobsortering Philip Bille Prioritetskøer Prioritetskøer Træer og hobe Repræsentation af hobe Algoritmer
Læs merePrioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer. Prioritetskøer
Philip Bille (priority-queues). Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key og satellitdata x.data. MAX(): returner element med største nøgle. EXTRACTMAX():
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Mandag den 11. august 008, kl.
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs mereAlgoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal
Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer som model for sekventielle
Læs mereM=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant
M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereDATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET
DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgaesættet (incl. forsiden): 7 (sy) Eksamensdag: Mandag den 20. juni 2005, kl. 9.00-13.00
Læs mereAlgoritmeanalyse. Øvre grænse for algoritme. Øvre grænse for problem. Nedre grænse for problem. Identificer essentiel(le) operation(er)
Algoritmeanalyse Identificer essentiel(le) operation(er) Øvre grænse for algoritme Find øvre grænse for antallet af gange de(n) essentielle operation(er) udføres. Øvre grænse for problem Brug øvre grænse
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:
Læs mereMindste udspændende træ
Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer
Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (fjorten) Eksamensdag: Mandag den. juni 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:
Læs mereMinimum udspændende Træer (MST)
Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter
Læs mereAlgoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012
Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk
Læs mereAlgoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal
Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer som model for sekventielle
Læs mereOpskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 3/2. n logn (3/2) n. 2 3logn (3/2) n
Side af 0 sider Opgave (4%) Ja Nej n er O(n / )? n +n er O(n )? (logn) er O( logn )? n er O()? /n er O(logn)? Opgave (4%) Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: logn
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mereOrienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.
Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk
Læs mereSkriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)
Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereSøgning og Sortering. Philip Bille
Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Læs mereDatastrukturer (recap)
Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang
Læs mereDM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006
DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
STTUT FR DTG, RUS UVERSTET Science and Technology ESE ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler: lle sædvanlige
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereGrafer og graf-gennemløb
Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,
Læs mereOplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal
Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet MasterClass Matematik, Mærsk Mc-Kinney Møller Videncenter, Sorø, 29-31. oktober 2009 Algoritmer: Matricer
Læs mere