Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning
|
|
|
- Vibeke Simonsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne ladning midle ud på makoskopisk skala, så i makoskopisk sammenhæng e ved begebet ladning undefostået oveskudsladning På mikoskopisk (atoma og molekylæ skala e det imidletid elektomagnetiske (EM kæfte mellem ladede patikle, de holde sammen på stoffet 1 e Ladning e en bevaet støelse, som kan oveføes men ikke hveken skabes elle destuees I det følgende, og i esten af dette kusus, opeees med begebet punktladning, som e en ladning, hvis udstækning e så lille i fohold til alle ande elevante støelse, at man med god tilnæmelse kan se bot fa den En punktladnings position kan således beskives ved en stedvekto 1 Flg bindingstype e alle baseet på den EM natukaft: Elektonens binding til atomkenen Kovalente bindinge ( e -fællesskab Ionbindinge ( e -oveføsel Van de Waals (ikke-kovalente bindinge mellem neutale atome/molekyle, eks dipol-dipol Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
2 Elektomagnetisme 1 Side af 11 Elektostatik 1 Coulombs lov Coulombs lov To punktladninge påvike hinanden med en elektisk kaft, de e ligefem popotionale med begge ladninge, e omvendt popotionale med kvadatet på dees indbydes afstand, vike langs fobindelseslinien imellem dem, og e fastødende/tiltækkende, hvis ladningene ha samme/modsat fotegn Coulombkaften på en punktladning To punktladninge: 1 1 F1 = k 1 1 [ ] = [ ] = [ ], F N, C, = m y F = C, ε = 8,854 1 N m,, z x F = (11 Femsat i 1785 af fanskmanden Chales Augustin de Coulomb som en empiisk lov (på baggund af obsevatione elle efaing, men loven va hutigt meget velundebygget I såkaldt gaussiske enhede sættes popotionalitetskonstanten til 1, hvilket kæve [ ] esu = ( electostatic units Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
3 Elektomagnetisme 1 Side af 11 Elektostatik 1 N punktladninge: Da supepositionspincippet gælde fo elektostatiske 4 kæfte: 1 1 i 1 i Fi = i1+ i+ i1 i N i j = : ij j i ij N 1 F i = j i i j ij ij (1 Kontinuet ladningsfodeling: 5 Ladningstæthed: Rumfang: Aeal: ρ Δ C, ρ = m ( = lim σ Længde: Δ ΔA C, σ = m ( = lim ΔA λ Δ ΔL C, λ = m ( = lim ΔL ΔA ΔL (1 (14 (15 S V dv ' ' ( ' ' ρ dv ' 4 Elektiske kæfte mellem ladninge i hvile 5 Dette begeb e nødvendigvis makoskopisk, da ladningen på mikoskopisk skala e kvantiseet i enhede af en 19 elementaladning e = 1, 6 1 C Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
4 Elektomagnetisme 1 Side 4 af 11 Elektostatik 1 Coulombkaften F ( fa en kontinuet ladningsfodeling (, V S på punktladningen anbagt i punktet findes ved at inddele ( V, S i uendeligt mange infinitesimale volumenelemente dv ' (og aealelemente da', som behandles som punktladninge, jf udtyk (1: 6 1 ρ ( ' dv ' 1 σ ( ' da' F ( = ( ' ( ' + V ' 4 S πε ' : ' ' F ( = ρ ( ' dv' ( ' ' 4 V ' 4 S πε + πε σ da (16 ' Bemæk, at ovenstående afhænge både af ( V, S og det paktisk at anvende et begeb, som kun beskive omsættes til et udtyk fo kaften fa ( V, S på eks en punktladning næhed I mange sammenhænge e ( V, S, og som umiddelbat kan anbagt i dens 6 Dette svae til, at 1 Inddele ladningsfodelingen i små, men endelige volumenelemente Δ V ' Finde bidaget til Coulombkaften fa ladningen i et sådant volumenelement, idet denne ladning tilnæmes ud ' 1 ρ ( ' ' fa ladningstætheden i et punkt inde i Δ V ' : F ( = ( ' 4 πε ' 1 ρ ( ' ' Lægge disse bidag sammen: F ( ( ' 4 πε ' ' 4 Gøe udtykket eksakt ved at tage gænsen, hvo volumenelementene blive infinitesimale: 1 ρ( ' ' 1 ρ( ' dv ' F ( = lim ( ' ( ' = ' V ' ' ' Ovenstående e helt analogt til at finde aealet unde gafen f ( x ved at 1 Inddele aealet i små, men endelige ektangle med bedden Δ x Finde aealet af et sådant ektangel: Δ A = f ( x Δ x Lægge disse aeale sammen: A f ( x Δx 4 Finde det eksakte aeal ved at tage gænsen Δx : A = f( x dx Δx b a Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
5 Elektomagnetisme 1 Side 5 af 11 Elektostatik 1 Det elektiske felt i et punkt Elektostatisk felt e defineet som Coulombkaften på en tænkt 7 punktladning ( testladning divideet med denne testladning 8, i gænsen sådan at punktladningen ikke ænde på ladningsfodelingen: F ( N E ( lim, E = C (17 Kendte punktladninge j og ladningsfodelinge ρ og σ vil således give anledning til flg elektiske ( elektostatiske felt: N 1 j 1 ' 1 ' E ( = j ρ ( ' dv' σ ( ' ' V ' 4 S j= πε πε da ' j (18 Et elektisk felt e således et vektofelt 9, hvis etning og styke kan visualisees vha oienteede kaftlinie 1, hvis tæthed angive styken af vektofeltet (længden af feltvektoene Hvis den ladningsfostyende indvikning fa en punktladning anbagt i et E-felt e lille, e E ( F = E, (19 og kaftliniene ses således at angive etningen af Coulombkaften på en positiv punktladning 7 Fodi Coulombkaften ifølge Coulombs lov e popotional med testladningen 8 Denne gænseovegang e makoskopisk, hvoved fostås at testladningen nok blive infinitesimal makoskopisk set, men stadig bestå af så mange elementaladninge, at de kan ses bot fa vaiatione på mikoskopisk skala 9 En funktion, som til ethvet punkt i ummet knytte en vekto, dvs en støelse (skala og en etning 1 Se også FIGURE - s 4 Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
6 Elektomagnetisme 1 Side 6 af 11 Elektostatik 1 Gadient, divegens og oto Ved at lade opeatoen d dx vike på en funktion af én vaiabel f ( x opnås som bekendt infomation om funktionens vaiation ove x Fo skalafelte ϕ( = ϕ( x, y, z og ikke mindst vektofelte F ( = Fxyz (,, e situationen selvsagt lidt mee kompliceet He afkodes vaiation om feltets vaiation vha en såkaldt nablaopeato: xˆ + yˆ + zˆ x y z hvo xˆ, yz ˆ, ˆ e enhedsnomalvektoe 11 i de te akses etning, (11 Gadient: Nablaopeatoen anvendt på et skalafelt give gadientvektoen: ϕ ϕ ϕ ϕ = xˆ+ yˆ+ zˆ x y z (111 Gadientvektoen angive den etning, hvoi skalafeltet øges hutigst, og støelsen af gadientvektoen angive, hvo hutigt skalafeltet øges i denne etning 11 ˆ -symbolet indikee således længde 1 og ha intet at gøe med begebet tvævekto fa bogen elle fa mekanikkuset på basis xˆ, yˆ, z ˆ svae således til iˆ, ˆj, kˆ Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
7 Elektomagnetisme 1 Side 7 af 11 Elektostatik 1 Divegens: Pikpoduktet mellem nablaopeatoen og et vektofelt give divegensen af vektofeltet: F = xˆ yˆ zˆ F xˆ F yˆ + + F z x y z + + ( x y zˆ F x y = + + : F F F x y z z (11 Som det femgå af denne definition, e divegensen et skalafelt, som angive et elle andet mål fo ændingen af vektofeltet Den pæcise fotolkning følge i en senee kususgang Roto: Kydspoduktet mellem nablaopeatoen og et vektofelt give otoen vektofeltet: af xˆ yˆ zˆ F = xˆ yˆ zˆ ( Fxxˆ Fyyˆ Fzzˆ + + x y z + + = x y z F F F x y z : F F z y F Fy ˆ x Fz F ˆ x F = x+ y+ ˆ y z z x z (11 x y Rotoen e således et vektofelt, som det i en senee kususgang vises e et mål fo ændingen i vektofeltets etning Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
8 Elektomagnetisme 1 Side 8 af 11 Elektostatik 1 Diffeentialopeatoe af anden oden: 1,, kan kombinees til flg 5 andenodens diffeentialopeatoe: I Divegensen af gadienten, også kaldet Laplace-opeatoen : = xˆ yˆ zˆ xˆ yˆ zˆ + + x y z + + x y z (114 = + + x y z II Rotoen af gadienten, som kan vises at væe nulopeatoen 1 III Divegensen af otoen, som også kan vises at væe nulopeatoen IV Rotoen af otoen: V Gadienten af divegensen: 1 Se i øvigt opeatoidentitetene i TABLE 1-1 s 1 Den opeato, som give nul, uanset hvad den vike på Fo opeationen gange e nulopeatoen således tallet Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
9 Elektomagnetisme 1 Side 9 af 11 Elektostatik 1 Elektostatisk potential Ifølge punkt II gælde fo et vilkåligt skalafelt f (, at f = Dette betyde, at alle vektofelte A(, som opfylde A =, kan skives A = f Da 14 ' 1 Opg 1-, = = = ' e ifølge udtyk (18 E =, (115 og de findes demed et skalafelt, hvis gadient e det elektostatiske felt: E = ϕ, (116 hvo ϕ, ϕ = Nm = J, e det elektostatiske potential, elle bae det C C V elektiske potential elle slet og et potentialet Jf beskivelsen af gadienten få minustegnet E-feltet til at pege i den etning, hvoi potentialet aftage hutigst 15 Givet et E-felt, findes det elektostatiske potential på flg måde: ϕ ϕ ϕ E d = ϕ d = xˆ yˆ zˆ dx xˆ dy yˆ + + dz z x y z + + ef ef ef ϕ( ( ˆ ϕ ϕ ϕ ϕ( = dx + dy + dz dϕ ϕ ϕ( ( ef ϕ( x y z = = = ϕ ef ef ϕ( ef = ϕ(, ϕ( : ef ϕ ( = E d ef (117 d( x h 14 Føste skidt svae til, at da dx = 1, e d( x h = dx 15 Hvis man tænke på potentialet som en funktion, de beskive højden ove havets oveflade, så angive det elektiske felt den etning, hvoi det gå stejlest nedad, og støelsen af feltet angive, hvo stejlt det e i den etning Jf udtyk (19 vil en positiv ladning således tille ned af potentialet (og en negativ ladning tille op, lidt på samme måde som en bold på en skåning Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
10 Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 ϕ e ifølge udtyk (116 kun defineet i kaft af sin afledede og demed kun på næ en vilkålige konstant 16, svaende til at nulpunktet ef kan vælges fit Som oftest vælges nulpunktet i det uendeligt fjene: ef = Bemæk, at kuve- elle linieintegalet i udtyk (117 e en uendelig sum af infinitesimale pikpodukte ef E d d E Elektostatisk potential fa en punktladning : E ( = : 4 ' 4 ' ' ϕ( = E d' = d ' 4 πε ' ' = d ( ' cos πε ( ' 1 = d πε 1 = 4 πε ' 1 = ( ' ' d ( ' 16 df Dette svae til, at funktionen f defineet ved = 8 e givet ved f ( x = 8 x + K, svaende til et nulpunkt i K x = 8 dx Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
11 Elektomagnetisme 1 Side 11 af 11 Elektostatik 1 Det elektostatiske potential fa en samling punktladninge og ladningsfodelinge blive således N 1 j 1 ρ ( ' 1 σ ( ' ϕ ( = dv' da ' + + ' S ' (118 V j= 1 j Bemæk, at potentialet ϕ e indføt, fodi det indeholde den samme mængde infomation som feltet E, samtidig med at det e lettee at beegne Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning
Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af
Elektrostatisk energi
Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,
Elektrostatisk energi
Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,
Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )
Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan
Dielektrisk forskydning
Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes
Magnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og
Overgangsbetingelser for D- og E-felt
lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Ovegngsetingse fo D- og -ft I det flg. undesøges, hvd de ske med D- og -ftvektoene ved ovegngen mlem to diektik: D-ft: Den Gussiske flde S e en cylinde med lille
Magnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I
g-påvirkning i rutsjebane
g-påvikning i utsjebane I denne note skal vi indføe begebet g-påvikning fo en peson, som sidde i en vogn, de bevæge sig undt i en utsjebane i et lodet plan. Dette skal vi gøe via begebet elativ bevægelse.
Elektromagnetisme 3 Side 1 af 8 Dielektrika 1. Elektrisk dipol
Elektromagnetisme Side af 8 Elektrisk dipol Betragt det elektrostatiske potential fra en elektrisk dipol bestående af to punktladninger + q og q : ϕ r ( ) i qi r r q q + r r r r + l q + r r r r l i ( ).
Elektromagnetisme 9 Side 1 af 5 Magnetfelter 2. Biot og Savart
Eektomagnetisme 9 ide af 5 Magnetfete Biot og avat En aften i 8 havde fysikpofesso fa Københavns Univesitet Hans Chistian Østed inviteet venne og studeende hjem i pivaten fo at demonstee, at en stømføende
Gravitationsfeltet. r i
Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo
To legeme problemet og Keplers love
To legeme oblemet og Keles love 0/8 To legeme oblemet og Keles love Indhold. To legeme oblemet. Reduktion til centalbevægelse.... Løsning af diffeentialligningene fo en centalbevægelse.... Lagange fomalismen...3
Annuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På
Projekt 2.3 Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
Pojekt. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende metode til beegning af aeale af figue, de e bestemt af kumme kuve, a siden oldtiden væe at tilnæme disse med polygone.
TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?
TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk
Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009
N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i
Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende
Kvantepartikel i centralpotential
Kvantemekanik 11 Side 1 af 7 Bintatomet II Kvantepatike i centapotentia Det kan vises at bevægesesmængdemomentets støese dets pojektion på en akse samt enegien af en kvantepatike i et centapotentia e samtidigt
Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.
- 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)
De dynamiske stjerner
De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til
Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................
Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen
Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.
Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.
16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode
Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige
Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007
Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det
Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3
Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk
Annuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen
Elektromagnetisme 8 Side 1 af 8 Magnetfelter 1. Magnetisk induktion. To punktladninger og q påvirker (i vakuum) som bekendt hinanden med en. qq C.
Elektroagnetise 8 Side 1 af 8 Magnetisk induktion To punktladninger og q påvirker (i vakuu) so bekendt hinanden ed en q1 elektrisk kraft (oulobkraft) F 1 qq 1 1 = 4πε 1 0 r1 r ˆ. (8.1) Hvis de to ladninger
Projekt 1.8 Design en optimal flaske
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I
Impulsbevarelse ved stød
Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt
Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
Elektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært elektrisk felt. Molekylært E-felt i et dielektrikum. mol
lektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært -felt i et dielektrikum Det ekylære elektriske felt, som et enkelt ekyle i et dielektrikum oplever, er ikke det samme som det makroskopiske -felt defineret i
TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud
TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige
Atomare egentilstande
Kvantemekank 4 Sde af 7 Atomae egentlstande Unde antagelsen om, at en atomkene e hvle fohold tl atomets massemdtpunkt, e Hamltonopeatoen fo et helumatom gvet ved ˆ e e e H = + + +, = + +, (4.) me me 0
Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
MATEMATIK på Søværnets officerskole
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1
Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I
HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00
1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,
SHOR S ALGORITME FOR KVANTE FAKTORISERING
SHOR S LGORITME FOR KVTE FKTORISERIG IELS YGRD Det e velkendt at mens det e meget nemt at få en compute til at gange to tal sammen e det meget svæee at gå den anden vej, at få en compute til at faktoisee
Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer
Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom
Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen
HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...
Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal
Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele
11: Det skjulte univers
: Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien
Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:
0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække
rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,
ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet
Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys
Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden
Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler
Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee
NYHED! BESKYTTELSE. Tyvek classic xpert ENESTÅENDE TYPE-5/6 FRA TYVEK CLASSIC TIL... NYTÆNKNING I HVER ENKELT DETALJE
Ny unik teknologi ENESTÅENDE TYPE-5/6 BESKYTTELSE Patentanmeldt FRA TYVEK CLASSIC TIL... Tyvek classic xpet Flee åties ekspetise inden fo dette fagomåde ha gjot Tyvek Classic til et foegangseksempel på
Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.
Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001
SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen
UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules
Energitæthed i et elektrostatisk felt
Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe i et ektrostatisk ft I utryk (5.0) er en ektrostatiske energi E af en laningsforing utrykt ve ennes laningstæthe ρ, σ og tilhørene ektrostatiske
Opsparing og afvikling af gæld
Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:
Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion
Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En
Første og anden hovedsætning kombineret
Statistisk mekanik 3 Side 1 af 12 Første og anden hovedsætning kombineret I dette afsnit udledes ved kombination af I og II en række udtryk, som senere skal vise sig nyttige. Ved at kombinere udtryk (2.27)
Arealet af en sfærisk trekant m.m.
ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt
Matematik på Åbent VUC
Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning
STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:
Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet
Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig
Retningsbestemt lydgiver
Retningsbestemt lygive Intouktion Ve uenøs musik e et isæ e ybe tone, e høes i sto afstan fa scenen, og et kan væe geneene fo en kunstneiske ufolelse på en naboscene elle fo beboelse i en vis afstan fa
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt.
Erhvervs- og Selskabsstyrelsen
Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak
Den klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen
Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?
Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis
side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke
Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord
Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt
Ekstra ugeopgaver UO 1. MAT 2AL 24. april 2006
UO 1 Eksta ugeopgave 1. [GRP2: 16 *Lad k k(σ) væe tallet defineet i GRP(2.18.1), altså som summen k (p 1)m p (σ ) n m(σ ). Som nævnt kan σ skives som podukt af k tanspositione. Vis, at σ ikke kan skives
praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.
Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet
VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE
Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj
Wear&Care Brugervejledning. A change for the better
A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone
GÆLDENDE SATSBILAG VEDRØRENDE MARKEDSVÆRDIGRUND- LAGET
GÆLDENDE SATSBILAG VEDRØRENDE MARKEDSVÆRDIGRUND- LAGET Anmeldelse af satsbilag fo opgøelse af livsfosikingshensættelse unde fosikingsklasse I til makedsvædi gældende indtil andet anmeldes. Risikoelemente
Stå op fo Odense. Vis, at vi er mange, der arbejder for det samme
Odense Vis, at vi e mange, de abejde fo det samme Inspiation til at spede budskabet om Beskæftigelsesalliancens indsatse på sociale medie. En alliance bestående af odenseanske viksomhede, uddannelsesinstitutione,
Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom
Uddannelsesodning fo uddannelsen til Gastonom Udstedelsesdato: 9. juni 2011 Udstedt af Det faglige Udvalg fo Gastonomuddannelsen i henhold til bekendtgøelse n. 329 af 28. apil 2009 om uddannelsene i den
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Sabatiers princip (elevvejledning)
Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne
Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen
Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et
Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016
Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed
CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune
-egnskab Fo viksomheden Jammebugt Kommune Fosidebilledet vise Ryå, de gå ove sine bedde -egnskab fo Jammebugt Kommune Jammebugt Kommune indgik d. 9. oktobe 2009 en klimakommuneaftale med Danmaks Natufedningsfoening.
Forløb om annuitetslån
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes
Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel
Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple
Youngs dobbeltspalteforsøg 1
Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives
Digital dannelse og kultur
Digital dannelse og kultu X X X - - - - - Eleve og medabejdee efteleve skolens etningslinje fo digitale kultu 01-05- til 31-12- X X X X X X X X 99% af alle medabejdee anvende Intanettet som skolens pimæe
En forhandlingsmodel for løndannelsen
MODELGRUPPEN Moten Wene Danmaks Statistik Abejdspapi 30. janua 2003[Udkast] En foandlingsmodel fo løndannelsen Resumé: Afløse foige papi af samme navn. [Koektulæsning og gennemskivning udestå] mo Nøgleod:
Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale
Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf)
Eksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages
Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden. Entropien er det centrale begreb i termodynamikkens anden hovedsætning (TII):
Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)
Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,
Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009
Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag
PRINCIPIA. stort. småt. SelvTryk. m F. r _. z l. f A y. - g _ g _ g _.
PRINCIPIA m F g=mg i stot g g g g g M og småt z l v i x v i y m v i z v i f aeal A y x SelvTyk clausmuenchow@mail.stofanet.dk - http://home.stofanet.dk/mue Indholdsfotegnelse. Indledning. Kinematik på
Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale
...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele
Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14.
Det skå kast o ballistiske kue side 1 Institut fo Matematik, DTU: Gymnasieopae Det skå kast Teoi: Eik Øhlenschlæe, Fysik fo Diplomineniøe, Gyldendal 1996, side 13-14 Fa kastemaskine til pojektile Fiu 1
Statistisk mekanik 6 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 6 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
Termodynamikkens første hovedsætning
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på
Vi ser altså, at der er situationer, hvor vi ikke kan afgøre, om vi befinder os i et tyngdefelt eller langt ude i rummet fjernt fra alle kræfter:
5 Tyngdekaften Nu hvo vi (fohåbentlig) ha fået et begeb om ummets og tidens sammenflettede natu, skal vi vende tilbage til en ting, som vi ganske kot blev konfonteet med i begyndelsen af foige kapitel.
Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm
Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,