2 Den lineære bølgeligning
|
|
- Philippa Kvist
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sidse Damgaard Årskortnummer Indledning I denne opgave skal vi se på den numeriske løsning af den ikke-lineære bølgeligning. Den ikke-lineære bølgeligning beskriver longitudinale trykbølger i en ikke-lineær gas eller væske med tab fra viskositet, og ser ud som følger: ( 1 + τ ) 2 q = β 2 q t t 2. (1) q = p ρ 0 c 2 hvor p(x, t) er trykket, c er lydens hastighed i mediet, τ er relaksionstiden og β = γ+1 2. γ er forholdet mellem varmekapaciteterne for en ideal gas, og ellers en empirisk konstant der fortæller hvor ikke-lineær gassen eller væsken er. For at gøre problemet mere simpelt vil vi kun se på den endimensionel bølgeligning, så 2 2 x 2. Dette motiveres yderligere af at plane bølger der propagerer i x-aksens retning kan beskrives af den endimensionelle bølgeliging til trods for at de propagerer i et tredimensionelt medium. Vi vil starte med at se på først den lineære bølgeligning (τ = 0 og β = 0), og så den lineære bølgeligning med tab (β = 0). Dette gøres dels fordi vi kender analytiske løsninger til disse ligninger og derfor kan sandsynliggøre rigtigheden af vores numeriske resultater, og dels for at starte med et så enkelt problem som muligt for så at udbygge det. 2 Den lineære bølgeligning Den endimentionelle lineære bølgeligning for trykket, p, i en gas eller væske ser ud som: 2 p x 2 = 1 2 p c 2 t 2. (2) Den har løsninger på formen: p(x, t) = p 1 (ct x) + p 2 (ct + x), (3) hvor p 1 og p 2 skal være to gange dierentiable, og bestemmes af begyndelsesbetingelserne. p 1 er en forstyrrelse der propagerer i den positive x-retning 1
2 med fasehastigheden c, og p 2 propagerer den anden retning, uden at ændre form. Drives væsken i den ene ende (x = 0) af en sinosodial kraft, F sin(ωt), og er fri i den anden ende er den plane bølge: en løsning til (2). p(x) = A sin(ωt kx) (4) 3 En numerisk løsning af den lineære bølgeligning For at undgå afrundingsfejl i de numeriske udregninger indføres de dimensionsløse størrelser: t = ωt, x = ω x og p, (5) c hvor p fx. er p p, så p er størrelsesordenen 1, dette giver den dimensionsløse bølgeligning: 2 p x 2 = 2 p t 2. (6) Ligningen løses med nite dierence metoden, som beskrevet herunder. Finite dierence Ved at Taylor-udvikle og dropppe led af højere orden end 3 får man følgende udtryk for den andenaedte af en funktion: f(x + h) = f(x) + hf (x) + h2 2 f (x) + h3 6 f (x) + O(h 4 ), f(x h) = f(x) hf (x) + h2 2 f (x) h3 6 f (x) + O(h 4 ) f (x) = f(x + h) 2f(x) + f(x h) h 2. (7) Jo mindre h er, jo mere præcist er udtrykket, dog vil der være en nedre grænse der skyldes at computerens præcision er på et vist antal decimaler. Diskretiseres både x- og t-aksen, så afstanden mellem punkterne er hhv. h og t, får vi af (6) og (7): p n+1 i 2p n i + pn 1 i t 2 = pn i+1 2pn i + pn i 1 h 2, (8) hvor p n i er trykket evalueret i det i'te rummelige punkt og det n'te tidslige punkt. Denne ligning er på matrixformen: p n+1 = ( t 2 H 2 I)p n p n 1, (9) 2
3 hvor p er en vektor i stedpunkterne og matricen H har formen: H = h (10).... Værdien af H i det øverste højre og nederste venstre hjørne er bestemt af randbetingelserne. Rand- og begyndelsesbetingelser Af (9) ser vi at vi skal kende trykket til to tider for at kunne nde tidsudviklingen, idet det er en andenordens dierentialligning. Vi skal altså have to begyndelsesbetingelser plus de to randbetingelser for de rummelige koordinater. Ser vi på et system drevet af en sinosodial kraft i x = 0 fra tiden t = 0 må p(0, t) = sin(ωt) til alle tider, vi kan derfor sætte det øverste højre hjørne i H lig nul, svarende til p 1 = 0. Dette vil give en fejl på p 0, men da denne sættes til p 0 = sin(ωt) pga. randbetingelsen er fejlen ligegyldig. Ser vi desuden på en væske med uendelig udstrækning, så vi ikke får nogen reektion og transmission af trykbølgen, kan vi vælge H til at være tri-diagonal, svarende til at p N = 0 ((N 1) h er længden af vores interval). Dette er ikke længere en korrekt randbetingelse når bølgen når punktet x = N h, men korrekt til tider mindre end t = N h/c. Andre mulige randbetingelser kan være at væsken ikke har en uendelig udstrækning, men har en fast kant i x = L, så skal p N = 0, også når bølgen når til x = L. En anden mulighed er periodiske randbetingelser, her sættes de o-diagnale hjørner til 1, svarende til p 1 = p N 1 og p N = p 0. De to startbetingelser sættes, i tilfældet med en sinosodial drevet væske, til at være: sin(ω t) 0 p 0 = 0, p 1 0 = 0, (11).. i de dimensionsløse enheder skal ω t selvfølgeligt bare være t. For andre systemer vælges startbetingelserne så de er i overensstemmelse med (3). 3
4 Koden I linear.py ndes funktionen proplin der tager inputtene N, h, dt, p 0 og p 1 og returnerer en matrix hvor den n'te søjle er p n i en lineær væske. N er antallet af tidsskridt vi ønsker at tage og dt er længden af tidsskridtene, altså t. p 0 og p 1 er de to startbetingelser, og længden af disse vektorer bestemmer længden af x-aksen, h er afstanden mellem de rummelige gitterpunkter. De rummelige randbetingelserne for en sinosodial drevet bølge er skrevet ind i funktionen, vil man ændre på dem skal man som beskrevet i forrige afsnit ændre på det øverste højre og nederste venstre hjørne i H og fjerne linien der der siger p n+1 0 = sin((n+1)dt). Dette er gjort i funktionen proplinperiodisk i linear2.py, der har periodiske randbetingelser. proplin kaldes fra main.py hvor resultaterne gemmes i en.npz-l, og resultaterne plottes sammen med de teoretiske funktioner i plot.py. h er sat til 0.05 og dt til Større værdier kan også bruges, men diskontinuiterne der opstår hvor forstyrrelsen startes giver anledning til støj der mindskes ved at mindske h og dt. For startbetingelser beskevet i (11) skal dt være mindre end h for at startbetingelsen ikke bliver for skarp. Resultater I g. 1 ses det at diskontinuiteten i startbetingelsen giver anledning til en del numerisk støj, og at amplituden mindskes når den propagerer gennem mediet. Denne dæmpning skyldes numeriske fejl, og ikke dæmpning i mediet. Drives væsken af en sinosodial kraft i x = 0 er diskontinuiteten i begyndelsesbetingelsen ikke så stor, og følgeligt bliver støjen heller ikke så stor, se g. 2. Det numerisk beregnede tryk stemmer godt overens med det teoretiske for en lineær væske (4). 4 Den lineære bølgeligning med tab Ved at lineæriserer Navier-Stokes ligningen får vi den lineære bølgeligning med tab. Tabet kommer af viskositet i væsken: ( 1 + τ ) 2 p t x 2 = p c 2 t 2, τ = 3 η + η B ρ o c 2. (12) τ er relaksionstiden, og c er nu ikke længere fasehastigheden pga. leddet med τ. Antager vi at bevægelsen har frekevensen ω og tidsudviklingen derfor er på formen sin(ωt) får man, at en løsning til (12) er: p(x, t) = Ae αx sin(ωt kx), (13) 4
5 Figur 1: En forstyrrelse af trykket i en lineær væske med periodiske randbetingelser. Startbetingelserne er at kurven forskydes mod højre med x = dt uden at ændre form i skridtet fra t = 0 til t = dt, derfor vil vi kun få en bølge der propagerer mod højre. Der er afstanden t 2 t 1 mellem toppene som forventet. t er i enheder af 1/ω. 5
6 Figur 2: Trykket i en sinosodial drevet lineær væske. De fuldt optrukne kurver er de numerisk beregnede, mens de stiplede er de teoretiske udtryk, sin(t x). t er i enheder af 1/ω. altså en plan bølge hvis amplitude dæmpes jo længere ind i væsken den når. Fasehastigheden er som nævnt ikke længere c, men c p (ωτ) = ω k. Antagelserne for udledningen af Navier-Stoks ligningen gælder kun i den klassiske grænse ωτ 1, og i denne grænse er absorptionskoecienten, α, og fasehastigheden, c p, givet ved: α ω2 τ 2c, c p c ( ) (ωτ)2, (14) fasehastigheden er altså næsten lydens hastighed c. Absorptionskoecient (α/f 2 ) stammende fra viskositet er for luft s 2 /m og s 2 /m for vand. Absorptionskoecienten for en realistisk gas får yderligere et bidrag fra termiske og intermolekylære tab. 5 Numerisk løsning af den lineære bølgeligning med tab Vi indfører igen dimensionsløse størrelser for at undgå afrundningsfejl i de numeriske resultater: t = 1 ω t, x = ω x og p, (15) c 6
7 på den måde bliver (12) på formen: ( 1 + ωτ ) 2 p t x 2 = 2 p t 2. (16) I disse enheder er ᾱ = c ω α = 1 2 ωτ, og k = c ω 1 ω c p = (ωτ)2 Herefter kan vi igen bruge nite dierence. For at nde den aedte af en funktion benytter man sig af de to øverste ligninger i (7), dog kun til 2. orden i h, og får: f (x) = (7),(16) og (17) giver os den diskretiserede ligning: p n i+1 2pn i + pn i 1 = pn+1 i h 2 2p n i + pn 1 i t 2, og denne giver på matrixform: f(x + h) f(x h). (17) 2h + ωτ pn+1 i+1 pn 1 i+1 2(pn+1 i p n 1 i ) + p n+1 i 1 pn 1 i 1 2 t h 2 ( ) t 1 p n+1 = 2 ωτh I ( t 2 H + 2 I ) p n ( ) t 1 ( ) t + 2 ωτh I 2 ωτh + I p n 1. (18) Vi ser at den reducerer til den tilsvarende matrixligning for bølgeligningen uden tab hvis ωτ = 0, ganske som forventet. Randbetingelserne vælges som for den lineære bølgeligning. Hvis det rummelige gitter er stort nok til at bølgen når at henfalde helt inden den når kanten, vil betingelsen p N = 0, svarende til at det øverste højre hjørne i H er nul, være en korrekt randbetingelse for en væske med uendelig udstrækning, selv når bølgen når til x = Nh. Også begyndelsesbetingelserne vælges som for den linieære bølgeligning uden tab, idet amplituden ikke er nået at henfalde meget ved x = h. Koden I linmtab.py ndes funktionen proplinmtab der tager inputtene N, h, dt, p 0, p 1 og wt og returnerer matricen hvor den n'te søjle er p n i. (18). Alle inputs udover wt er de samme som for proplin, og wt er størrelsen ωτ, der som nævnt skal være noget mindre end 1. Randbetingelser svarende til en sinosodial drevet væske er igen skrevet ind i programmet. proplintab kaldes fra main2.py og resultaterne plottes i plot2.py. 7
8 Figur 3: Trykket i en sinosodial drevet lineær væske med tab. De fuldt optrukne kurver er de numerisk beregnede, mens de stiplede er det teoretiske udtryk e αx sin(t kx). ωτ er sat til 0.1, hvilket svarer til en meget stor absorptionskoecient sammenlignet med realistiske absorptionskoecienter. t er i enheder af 1/ω. 8
9 Resultater I g. 3 ses at de numeriske resultater stemmer nt overens med det teoretiske udtryk (13) så længe bølgen ikke er nået alt for langt ind i mediet. Amplituden er dog som før en smule mindre end den burde, der er altså stadigt numerisk dæmpning. Når forstyrrelsen når til x 15 bliver amplituden af de numeriske resultater større end amplituden af den teoretiske, og bølgelængden bliver længere, så til tider større end t 15 kan vi ikke længere stole på vores resultater med de valgte værdier af h og dt, der er hhv. 0.1 og Den ikke-lineære bølgeligning Den ikke-lineære bølgeligning (1) fås også af Navier-Stokes ligningen, hvis man bl.a. indfører den dimensionsløse størrelse q = p ρ 0 c 2 M. M er Machtallet deneret ved bølgens hastighed over lydens hastighed, M u c. For en plan bølge er q = M. Der er ikke nogen fuldstændig analytisk løsning til den ikke-lineære bølgeligning, som der er til de lineære bølgeligninger, men man kan dog sige noget om opførslen af de ikke-lineære bølger. Er der ikke noget tab i væsken, τ = 0, vil der for en plan bølge skabes en Shock-front ved diskontinuitets-afstanden x = l 1 βmk, hvor hastigheden vil have en lodret tangent. Mach-tallet og β giver altså et mål for hvor ikkelineær propogationen er, og β et mål for hvor ikke-lineær væsken eller gassen er. γ er for vand og for luft, altså er β 1. Er der tab i væsken vil dette gøre diskontinuitets-afstanden større idet amplituden (der som nævnt er i størrelsesordenen M) vil formindskes når bølgen bevæger sig ind i mediet. Goldberg-tallet, Γ Mβ α/k = 1 αl, beskriver forholdet mellem de ikke-lineære eekter (β og M) og absorptionen (α/k). Hvis Γ 1 vil bølgen henfalde inden de ikke-lineære eekter sætter in, og er Γ 1 vil der dannes en Shock-front. 7 Numerisk løsning af den ikke-lineære bølgeligning Den numeriske metode vil bryde sammen inden shock-fronten nåes, idet nite-dierence metoden bygger på at funktionen kan approksimerers godt af et trediegradspolynomium indenfor et vist interval, hvilket ikke vil være tilfældet når tangenten bliver lodret. Men den ikke-lineære bølgeligning kan heller ikke beskrive fysikken når shock-fronten opstår. Vi benytter de samme dimensionsløse størrelser t og x som for den lineære 9
10 bølgeligning med tab og den dimensionsløse størrelse q, og får den dimensionsløse ikke-lineære bølgeligning: ( 1 + τω ) 2 2 q q = β t x 2 t 2. (19) Vha. nite dierence, som for den lineære bølgeligning med tab, får man ligningen: ) ( τω t 2 H I q n+1 + β ( q n+1) 2 = ( t 2 H + 2 I ) ( q n + 2 β (q n ) 2 + τω t ) 2 H + I q n+1 β ( q n 1) 2, (20) der for β = 0 reducerer til den lineære bølgeligning med tab. Dette er et sæt af koblede, ikke-lineære ligninger i q n+1 der kan løses vha. Newtons metode. Forbedret Newtons metode Vi vil benytte os af Newtons metode som beskevet i forelæsningsnoten, men som vi skal se kan vi eektivisere den. Omdøbes matricen og vektorene i (20) for at lette notationen ser (20) ud som: Ax + βx 2 = c, (21) x = q n+1, og x 2 skal forståes som en vektor hvis indgange er de kvadrerede af vektoren x's. De N ligninger vi skal nde et samtidigt nulpunkt for er altså: f i (x 0,..., x N 1 ) = j A ij x j + βx 2 i c i, i = 0,... N 1, (22) Jacobianten kan derfor let ndes analytisk: J ki f k x i = A ki + 2βx i δ ik. (23) Implementeres dette i Newton-metoden gør det metoden hurtigere idet vi ikke skal kalde funktionen for at nde Jacobianten, og mere præcis idet det er det korrekte udtryk for Jacobianten, og ikke et tilnærmet udtryk fundet vha. nite dierence. For at Newton-metoden skal konvergere hurtigt skal startgættet på et x = {x 0,..., x N 1 } være tæt på nulpunktet for ligningerne. Når det første tidsskridt tages vælges startværdien til at være løsningen til ligningen (20) for β = 0, altså løsningen til (18), idet de ikke-lineære eekter ikke indtræder så hurtigt. I de næste tidsskridt sættes startværdien til at være løsningen til det 10
11 foregående skridt, idet tidsudviklingen antages at være kontinuert i tiden indtil bølgen når x l. Når diskontinuiterne sætter ind kan Newton-metoden ikke længere nde nulpunkter iden for en rimelig tid, derfor er der sat et loft over hvor mange gange while-løkken i Newton-metoden må køre. Koden nonlinnewton.py indeholder len nonlinnewton, der tager inputtet N, h, dt, p 0, p 1, wt, b, M og acc, hvor de første er beskrevet i de tilsvarende afsnit under den lineære bølgeligning og den lineære med tab. b er værdien af β, og M Mach-tallet ved x = 0, altså amplituden af q. acc bruges når nonlinnewton kalder funktionen newtonmod fra newtonkendtj.py. Denne funktion tager inputtene A, b, c, x og acc og returnerer løsningen til den ikke-lineære matrix-ligning: Az + bz 2 c = 0. (24) x er startgættet, der i funktionen nonlinnewton vælges som beskrevet ovenfor. A og c vælges så det er matricen og vektoren fra (21), og b vælges til β. acc er hvor langt fra nul venstresiden af (24) må være før vi accepterer z som en løsning. nonlinnewto kaldes fra main3.py og main4.py, og plottes i plot3.py og plot4.py. Resultater På g. 4 ses en sinosodial drevet bølge i et lineært medie uden tab. Her skal diskontinuitetslængden som nævnt være l = 1 Mβk, og for parametrene i simuleringen er diskontinuitetslængden l = 3.3 c ω, hvilket svarer pænt overens med det vi ser på guren. Når bølgen nærmer sig diskontinuitetslængden ses det hvordan det giver anledning til numerisk støj. Fig. 5 viser en bølge i et medie med både ikke-lineære eekter og tab. l er kun en smule større end i forrige tilfælde (afviger først på fjerde decimal), men vi ser hvordan arbsorbtionen gør at diskontinuiteterne først træder i kraft senere. Langt fra diskontinuitetsafstanden ligner begge bølger som forventet de teoretiske udtryk for lineære medier, men de deformeres jo længere ind i mediet de kommer og bevæger sig også en smule hurtigere. 8 Konklusion Det er sandsynliggjort, at den numeriske metode til at nde tidsudviklingen af en trykbølge i en ikke-lineær væske eller gas, beskrevet i denne opgave, giver rigtige resultater så længe bølgen ikke har nået diskontinuitetsafstanden, 11
12 Figur 4: Trykbølge i et ikke-lineært medie uden tab (ωτ = 0), β = 1.2 og Mach-tallet er De fuldt optrukne kurver er fundet numetisk mens de stiplede er det teoretiske udtryk for en tilsvarende bølge i et lineært medie, sin(t x), til sammenligning. t er i enheder af 1/ω. 12
13 Figur 5: trykbølge i et ikke-lineært medie med tab, ωτ = 0.01, β = 1.2 og Mach-tallet er De fuldt optrukne kurver er fundet numetisk mens de stiplede er det teoretiske udtryk for en tilsvarende bølge i et lineært medie med tab, e αx sin(t x), til sammenligning. t er i enheder af 1/ω. 13
14 og så længe startbetingelserne ikke er for diskontinuerte. Dette er gjort ved at starte med at genskabe kendte løsninger for de lineære bølgeligninger numerisk, og se at en bølge i det ikke-lineære medie ikke afviger meget fra disse når de ikke-lineære eekter er små. Desuden ses det at diskontinuitetsafstanden for en plan bølge i et tabsfrit medie er tæt på det analytiske udtryk (at nde den korrekte diskontinuitetsafstand er ikke muligt idet de numeriske metoder, som nævnt, bryder sammen her). Man kan nu videre nde opførslen af andre typer bølger og medier ved at ændre på parametrene for ikke-lineæritet (β) og tab (ωτ) eller rand- og begyndelsesbetingelser. 14
Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereFourier transformationen
MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereEulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2
Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereHans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé
Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereLiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereLineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs merelineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereProgrammering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen
Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereNumerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereNummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009
Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt.
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereDiffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.
Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereTopologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning
3-ugers kursus, s011337 og s011394 Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for mikro- og nano-teknologi
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMatematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion
Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereStabilitet af kølet tankreaktor
Stabilitet af kølet tankreaktor Vi betragter en velomrørt tankreaktor, i hvilken den exoterme reaktion B skal gennemføres. Tankreaktorens volumen er V m 3 ), og reaktanten tilføres i en opløsning med den
Læs mereKvadratisk regression
Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereRækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen
Rækkeudvikling - Inertialsystem John V Petersen Rækkeudvikling inertialsystem 2017 John V Petersen art-science-soul Vi vil undersøge om inertiens lov, med tilnærmelse, gælder i et koordinatsytem med centrum
Læs mereKlassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet
Klassisk kaos 11.1 Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereIntroduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010
Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller
Læs mereStabilitet af rammer - Deformationsmetoden
Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mere