M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x"

Transkript

1 M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x

2 Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra cbna

3 Forord Disse matematiknoter dækker kernestoffet og en smule mere) for et opgraderingshold fra B-niveau til A-niveau på stx. Noterne er skrevet med det formål at have en grundbog, som kun indeholder den grundliggende matematiske teori. I forbindelse med samarbejde i studieretningen eller med andre fag er det derfor nødvendigt at supplere med eksempler og andet materiale, der dækker konkrete anvendelser. Til gengæld dækker noterne den rent matematiske fremstilling af kernestoffet på stx, hvilket ifølge min opfattelse gør dem velegnede til en første behandling af stoffet samt i forbindelse med eksamenslæsningen. Til slut en stor tak til Eva Stentebjerg Lethan for korrekturlæsning og gode forslag i forbindelse med tilblivelsen af noterne. De fejl og mangler, der stadig måtte findes, er naturligvis udelukkende mit ansvar. Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium 3

4

5 Indhold Vektorer i planen 7. Regning med vektorer Vektorkoordinater Skalarprodukt Vektorprojektion Determinant Plangeometri Linjens parameterfremstilling Linjens ligning Afstanden fra et punkt til en linje Cirkler Cirklens parameterfremstilling Trigonometriske funktioner Radianer Cosinus og sinus som funktioner Ligninger med cos og sin Tangens Infinitesimalregning Produkt, sammensat funktion og kvotient Trigonometriske funktioner Integration ved substitution Omdrejningslegemer Kurvelængder Differentialligninger Partikulære og fuldstændige løsninger Tangenter og hældningsfelter Typer af differentialligninger Eksponentiel vækst Forskudt eksponentiel vækst Den logistiske differentialligning Panserformlen Separation af variable Opstilling af differentialligninger Vektorer i rummet Vektorkoordinater i rummet Skalarprodukt Vektorprodukt Rumgeometri 9 7. Linjer i rummet Planer Linje og plan Vinkel mellem planer Afstanden fra et punkt til en plan Kugler A Lidt mere om vektorer 05 A. Trigonometriske additionsformler 05 A.2 Vektorprodukt og areal A.3 Projektion af en vektor på en plan. 07 A.4 Afstanden fra et punkt til en linje i rummet Bibliografi 09 Indeks 0 5

6

7 Vektorer i planen I dette kapitel gennemgås nogle af de væsentligste egenskaber for regning med vektorer i planen. En vektor er et geometrisk objekt, der udtrykker en længde og en retning. Den kan derfor tegnes som en pil, hvor længden af pilen angiver vektorens længde, mens pilens retning fastlægger vektorens retning. Symbolet for en vektor er et bogstav med en pil over, f.eks. # a. Pilen over a et viser, at der er tale om en vektor. Vektorer er særdeles nyttige i den analytiske geometri, som er en gren af matematikken, der handler om at beskrive geometriske objekter vha. ligninger og funktioner. De bruges også i f.eks. fysik, hvor rigtigt mange forskellige størrelser kræfter, hastigheder, osv.) har både en størrelse og en retning. Sådanne størrelser eksisterer i virkeligheden i det tredimensionelle rum; men her ses kun på vektorer i planen. Denne teori kan dog forholdsvist simpelt udvides til tre dimensioner frem for to. På figur. ses en række eksempler på vektorer. Det er her vigtigt at pointere, at en vektor kun er fastlagt ved sin længde og sin retning. Enhver pil med samme længde og retning er derfor en repræsentant for den samme vektor. For vektorerne på figuren gælder derfor, at # a = # c, # d # f # b # a # c Figur.: Eksempler på vektorer i planen. fordi de to pile har samme længde og samme retning. De repræsenterer altså den samme vektor. Man har derfor følgende definition på en vektor. Definition. En vektor er en matematisk størrelse, der er beskrevet ved en længde og en retning. Længden af vektoren # a skrives # a. Enhver pil med samme længde og retning som vektor # a kaldes en repræsentant for vektoren # a. Vektoren # f på figur. er en speciel vektor, hvis længde er 0. Denne vektor kalder man nulvektoren, # 0 : Definition.2 En vektor, hvis længde er 0, kaldes nulvektoren, # 0. Da vektorens længde er 0, har den ingen retning. Man kalder den derfor for en uegentlig vektor. 7

8 8 Vektorer i planen A # AB B Har man to punkter i planen, fastlægger disse en vektor. På figur.2 ses to repræsentater for vektoren AB. # Pilen fra A til B fastlægger vektoren # AB; men fordi alle pile med samme længde og retning er repræsentanter for den samme vektor, kan man altså lige så godt tegne vektoren et andet sted som det også er gjort på figuren. Man har følgende definition. # AB Definition.3 Hvis A og B er to punkter i planen, så er vektoren # AB den vektor, der kan repræsenteres ved en pil fra A til B. Figur.2: To repræsentater for vektoren # AB. Hvis man har to vektorer i planen, kan man tale om, hvordan de ligger i forhold til hinanden. Den følgende definition omhandler forskellige tilfælde. Definition.4 To vektorer # a og # b kaldes Ensrettede hvis # a og # b peger i samme parallelle retning. Modsat rettede hvis # a og # b peger i modsatte parallelle retninger. Parallelle, # a # b hvis # a og # b er enten ensrettede eller modsat rettede. Ortogonale, # a # b hvis # a står vinkelret på # b. Da nulvektoren ikke er en egentlig vektor er denne hverken parallel med eller vinkelret på nogen anden vektor. w # a v # b Ovenstående definition handler om vinkler mellem vektorer. Men en vinkel mellem vektorer kan måles på forskellig vis. Enten kan man måle den mindst mulige vinkel. Eller man kan måle vinklen ved at gå i en bestemt retning fra den ene vektor til den anden. Figur.3: Vinklen v er vinklen mellem # a og # b, og w er vinklen fra # a til # b. Definition.5 Vinkler mellem vektorer) Hvis # a og # b er to vektorer, definerer man. vinklen mellem vektor # a og # b som den mindste vinkel, der udspændes mellem vektorerne, og 2. vinklen fra # a til # b som den vinkel, man får ved at bevæge sig fra vektor # a til vektor # b i positiv omløbsretning. Denne vinkel kaldes # a, # b ). Forskellen på de to vinkler kan ses på figur.3.

9 . Regning med vektorer 9 Vinklen mellem # a og # b er altså en vinkel mellem 0 og 80, mens vinklen fra # a til # b er en vinkel mellem 0 og 360. Husk at positiv omløbsretning er mod uret.. Regning med vektorer Vektorer er givet ved deres længde og retning. Hvis man skal regne med vektorer, skal man altså kombinere disse størrelser på en måde, der giver mening i forhold til regneoperationen. I første omgang ses på addition. Hvis man skal finde summen # a + # b af de to vektorer # a og # b, skal man altså lægge længden og retningen af # b til længden og retningen af # a. Dette gør man ved at lægge # b i forlængelse af # a og tegne en pil fra # a s begyndelsespunkt til # b s slutpunkt. Den vektor, man herved får tegnet, er vektoren # a + # b se figur.4). # a # a + # b # b Definition.6 Summen # a + # b af de to vektorer # a og # b er den vektor, man får ved at tegne en pil fra # a s begyndelsespunkt til # b s slutpunkt, når vektor # b lægges i forlængelse af vektor # a. Figur.4: Addition af vektorer. Det viser sig, at vektoraddition opfylder nogle af de samme regneregler, som addition af tal. Man har nemlig følgende sætning: Sætning.7 Hvis # a, # b og # c er vektorer gælder. # # # a + b = b + # a. den kommutative lov) 2. # a # ) + b + # c = # # b ) a + + # c. den associative lov) Bevis På den øverste del af figur.5a) er # a + # b fundet ved at lægge vektor # b i forlængelse af vektor # a. På den nederste del af figuren er # b + # a fundet ved at lægge vektor # a i forlængelse af # b. # c Figur.5: Vektoraddition er både kommutativ og associativ. # b # d # a + # b # a # a + # b # b + # a # b + # c # b # a # a # b a) # a + # b = # b + # a. b) # a + # b ) + # c = # a + # b + # c ).

10 0 Vektorer i planen Som man kan se af figuren dannes der et parallelogram, hvor # a + # b og # b + # a svarer til den samme diagonal i parallelogrammet, dvs. # a + # b = # b + # a. Den anden del af sætningen kan bevises ved at se på figur.5b). Vektoren # d på figuren er summen af # a og # b + # c ; men den er også summen af # a + # b og # c. Altså er # a # ) + b + # c = # # b ) a + + # c # b # a # a + # b Figur.5a) giver i øvrigt anledning til en»anden«måde at lægge vektorer sammen på, som især bruges i fysikken nemlig»kræfternes parallelogram«. Her defineres # a + # b ud fra diagonalen i det parallelogram, som # a og # b udspænder se figur.6). For vektorer mellem punkter gælder specielt følgende vigtige sætning, som kan bevises ud fra tegningen på figur.7. Figur.6: Addition vha. kræfternes parallelogram. C # C B Sætning.8 Indskudssætningen) Hvis A, B og C er tre punkter i planen, så er # AB = AC # + C # B. # AC # AB = AC # + C # B B Man kan også trække vektorer fra hinanden. For at kunne gøre dette har man dog brug for følgende definition: A Figur.7: Indskuddsætningen. Definition.9 Hvis # a er en vektor så defineres den modsatte vektor # a som den vektor, der er lige så lang som og modsat rettet med # a. # a # a Dvs. # a = # a, og # a og # a er modsat rettede. Hvis A og B er to punkter i planen, gælder specielt, at # AB = # B A. Idet # a og # a er modsat rettede og har samme længde, gælder der, at # a + # a ) = # 0. Noget tilsvarende gælder for almindelige tal, hvor f.eks ) = 0. Det giver derfor mening at definere subtraktion af vektorer på følgende måde: Definition.0 Hvis # a og # b er to vektorer, er differensen af # a og # b givet ved # # a b = # a + # ) b, hvor # b er den modsatte vektor til # b.

11 .2 Vektorkoordinater På figur.8 kan ses, hvordan differensen mellem to vektorer # a # b kan findes ved at lægge # b i forlængelse af # a. Den samme vektor kan dog også fås ved at tegne # a og # b med samme begyndelsespunkt og derefter tegne en pil fra vektor # b s slutpunkt til vektor # a s slutpunkt. Den sidste regneoperation, der behandles i dette afsnit er multiplikation med en skalar. En skalar er i denne sammenhæng blot et fornemt ord for et tal. Man kan altså gange vektorer med tal. # b # # a b # a # a # b # b Definition. Hvis # a er en vektor, og t er et tal, så defineres produktet af t og # a, som vektoren t # a med følgende egenskaber:. t # a = t # a. 2. Hvis t > 0 er t # a ensrettet med # a, og hvis t < 0 er t # a og # a modsat rettede. Figur.8: Subtraktion af vektorer. 2 # a 2 # a På figur.9 ses en række eksempler på multiplikation af en vektor med et tal. Ved at gange en vektor med et tal t, får man altså en ny vektor, der er ensrettet med # a, hvis t er positiv, og modsat rettet, hvis t er negativ. Længden af den nye vektor er t gange længden af # a. Der gælder følgende sætning, hvis bevis overlades til læseren. 2 # a # a 3 # a Figur.9: Multiplikation af en vektor med en skalar. Sætning.2 Hvis # a og # b er vektorer, og t og s er tal, så gælder. ) # a = # a. 2. t + s) # a = t # a + s # a. 3. t s) # a = t s # a ). 4. t # a # ) + b = t # a + t # b..2 Vektorkoordinater Hvis man skal bruge vektorer i forbindelse med geometriske ligninger, viser det sig nyttigt at repræsentere dem på anden måde, end der er gjort hidtil, nemlig vha. koordinater. Først følger dog to definitioner: Definition.3 En enhedsvektor er en vektor # e med længden. Hvis # a er en vektor er vektoren # e # a en enhedsvektor i samme retning som # a, dvs. # e # a = # # a. a

12 2 Vektorer i planen Definition.4 I det sædvanlige koordinatsystem i planen er # e x en enhedsvektor i x-aksens retning, og # e y en enhedsvektor i y-aksens retning. Man kan nu tildele en vektor koordinater ved at se på den som summen af en vektor i x-aksens retning og en vektor i y-aksens retning. På figur.0 kan man se, at vektoren # a kan ses som følgende sum # a = 3 # e x + 4 # e y. y Det er derfor naturligt at give vektoren x-koordinaten 3 og y-koordinaten 4. For at man ikke skal forveksle en vektor med et punkt, skriver man koordinatsættet lodret, dvs. # a 4 # e y ) # 3 a =. 4 Der gælder derfor følgende definition: # e y # e x 3 # e x x Definition.5 Hvis der for vektoren # a gælder, at Figur.0: Koordinaterne for en vektor. # a = ax # e x + a y # e y, siger man, at den har koordinaterne a x og a y, og skriver ) # ax a =. a y Når man regner på vektorer vha. koordinater, gælder der nogle simple regneregler: Sætning.6 Hvis der er givet to vektorer # a og # b og et tal t; og så gælder der. t # ) t ax a =. t a y # # ax + b x a + b = a y + b y # a # b = ax b x a y b y ) # ax a = a y ). ). og ) # bx b =, b y

13 .2 Vektorkoordinater 3 Bevis Sætningen bevises ved at udnytte definition.5 og regnereglerne i sætning.2. Hvis # ) ax a =, så er Idet # a = a y ax a y t # a = t ) a # x e x + a # ) y e y = t ax # e x + t a # t ax y e y =. t a y ), og # b = bx b y ), er # a + # b = ax # e x + a y # e y ) + bx # e x + b y # e y ) = a # x e x + b # x e x + a # y e y + b # y e y = a x + b x ) # e x + a y + b y ) # ) ax + b x e y =. a y + b y Beviset for sætningens sidste del overlades som en øvelse til læseren. Eksempel.7 Hvis så er og # a = 3 4 ) og ) # 5 b =, 2 # ) ) 3 6 a = 2 =, 4 8 ) ) ) # # a + b = + =, 4 5 ) # # 3 a b = 4 ) 5 = ) 8. 3 Længden af en vektor kan i øvrigt beregnes på en simpel måde, når man regner i koordinater. Ser man på figur.0, ser man, at vektoren ) # 3 a =, 4 er hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er hhv. 3 og 4. Vektorens længde kan derfor beregnes vha. Pythagoras sætning Der gælder altså følgende sætning: # a = = 5. Sætning.8 Hvis vektoren # a har koordinaterne # a = # a = a 2 x + a 2 y. ax a y ), så er

14 4 Vektorer i planen 2) Ax 0 ; y 0 ) Hvis man har et punkt i et koordinatsystem, kan man herudfra definere en vektor, der har samme koordinater som punktet, dette er en såkaldt stedvektor, der går fra origo dvs. 0;0)) til punktet se figur.). O ) # x0 O A = y 0 ) Figur.: Vektoren # O A har samme koordinater som punktet A. Definition.9 Hvis Ax 0 ; y 0 ) er et punkt i et koordinatsystem, defineres stedvektoren til punktet som # O A = x0 # O A er vektoren fra O0;0) til Ax 0 ; y 0 ). y 0 ). En vektor der går mellem punkterne Ax ; y ) og Bx 2 ; y 2 ) har derfor koordinater, der er givet ved følgende sætning: Sætning.20 Vektoren AB # mellem punkterne Ax ; y ) og Bx 2 ; y 2 ) har koordinaterne ) # x2 x AB =. y 2 y Bevis Ifølge indskudssætningen sætning.8) og fordi # AO = # O A er # AB = AO # + OB # = O # A + OB # = OB # O # A. Idet # O A og # OB er stedvektorerne til punkterne A og B, er # O A = x y ) og # OB = x2 y 2 ). Dvs. # AB = OB # O # A = x2 y 2 ) x y ) ) x2 x =. y 2 y.3 Skalarprodukt 2 Det kaldes også somme tider»prikproduktet«, fordi symbolet er en prik. Indtil videre er det kun set på addition og subtraktion, når man regner med vektorer. Der findes dog for vektorer i planen også en form for multiplikation. Det er ikke muligt at gange to vektorer med hinanden og få en ny vektor; men der findes en form for multiplikation, som kaldes skalarproduktet, 2 hvor resultatet er en skalar, dvs. et tal. Definition.2 Skalarprodukt) Hvis de to vektorer # a og # b har koordinaterne ) ) # ax # bx a = og b =, a y b y

15 .3 Skalarprodukt 5 så er skalarproduktet af de to vektorer tallet # a # b = ax b x + a y b y. Eksempel.22 Hvis # a = 3 2 ) og ) # 8 b =, 5 så er # a # b = ) = ) = 4. Bemærk i øvrigt, at når man regner med almindelige variable, er det normalt at udelade gangetegnet og skrive f.eks. ab i stedet for a b; men for vektorer skal man altid skrive symbolet. Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet: Sætning.23 Hvis # a, # b og # c er vektorer, gælder der. # a # a = # a 2. længde og skalarprodukt) 2. # # # a b = b # a. den kommutative lov) 3. # # b ) a + # c = # a # b + # a # c. 4. # a # ) + b # c = # a # c + # b # den distributive lov) c. 5. # a # ) + b # a # ) + b = # a 2 # 2 + b + 2 # # a b. 6. # a # ) b # a # ) b = # a 2 # 2 + b 2 # # a b. 7. # a # ) + b # a # ) b = # a 2 # 2 b. Bevis Alle regnereglerne kan bevises ved regning med koordinater. Her bevises, 3 og 5; resten overlades til læseren. Hvis # ) ax a =, så er a y # a # a = ax a x + a y a y = a 2 x + a2 y = a 2 x + a 2 y) 2 = # a 2. Hermed er bevist. Hvis de tre vektorer # a, # b og # c har koordinaterne ) # ax a =, a y ) # bx b = b y og ) # cx c =, c y så er # a # b + # c ) = ax a y ) ) bx + c x b y + c y

16 6 Vektorer i planen hvilket beviser 3. For de to vektorer # a = = a x b x + c x ) + a y b y + c y ) = a x b x + a x c x + a y b y + a y c y = a x b x + a y b y + a x c x + a y c y = # a # b + # a # c, ax a y ) og # b = bx b y ) gælder # a # ) + b # a # ) ) ) ax + b x ax + b x + b = a y + b y a y + b y = a x + b x )a x + b x ) + a y + b y )a y + b y ) = a 2 x + b2 x + 2a xb x + a 2 y + b2 y + 2a y b y = a 2 x + a2 y ) + b2 x + b2 y ) + 2a xb x + a y b y ) = # a 2 + # b # a # b, hvorved også 5 er bevist. Skalarproduktet viser sig at være en praktisk størrelse, fordi det kan fortælle noget om, hvordan vektorer ligger i forhold til hinanden. Der gælder nemlig følgende sætning: Sætning.24 Hvis v er vinklen mellem vektorerne # a og # b, så er # b # a # b v cosv) = # a # b # a # b. # a Figur.2: Trekanten udspændt af # a, # b og # a # b. 3 Se evt. figur.8 for en forklaring på, hvorfor denne vektor er # a # b. Bevis Vinklen v mellem de to vektorer # a og # b ses på figur.2. Sammen med vektoren # a # b udspænder de to vektorer en trekant. 3. Ifølge cosinusrelationerne gælder der for denne trekant, at # a # b 2 = # a 2 # 2 + b 2 # a # cosv) b..) Ifølge sætning.23 er # a # b 2 = # a # ) b # a # ) b = # a 2 # 2 + b 2 # # a b. Derfor kan ligningen.) omskrives til # a 2 + # b 2 2 # a # b = # a 2 + # b 2 2 # a # b cosv) 2 # a # b = 2 # a # b cosv) # a # b # a # b = cosv), hvorved sætningen er bevist.

17 .3 Skalarprodukt 7 Eksempel.25 Her beregnes vinklen mellem de to vektorer y ) # a = 6 og ) # 5 b =. 4 ) # a = 6 ) Først beregnes de to vektorers længder: # a = ) = + 36 = 37 # b = = = 4. 60,8 # b = 5 4 x Disse kan nu indsættes i formlen cosv) = # a # b # a # b = ) ) = = 9, Figur.3: Vinklen mellem vektor # a og # b er 60,8. og man finder vinklen v ) v = cos 9 = 60,8. 57 Altså er vinklen mellem de to vektorer 60,8 se figur.3). Vinklen mellem to vektorer ligger mellem 0 og 80. Hvis der for en vinkel v gælder, at 0 v < 90, er cosv) > 0. Hvis 90 < v 80, er cosv) < 0. Specielt for v = 90 gælder cosv) = 0. Sætning.24 fører derfor til følgende: Sætning.26 Lad v være vinklen mellem de to vektorer # a og # b. Der gælder da. Hvis # a # b > 0, så er 0 v < Hvis # a # b = 0, så er v = 90, dvs. # a # b. 3. Hvis # a # b < 0, så er 90 < v 80. Denne sætning giver en nem test for, om to vektorer er ortogonale. Man skal blot beregne deres skalarprodukt. Hvis det giver 0, så er vektorerne ortogonale. Ellers er de ikke. Eksempel.27 For de to vektorer # ) 2 a = og # ) 3 b = er 6 # a # b = 2 6 ) ) 3 = ) = 0. Da # a # b = 0 er disse to vektorer ortogonale.

18 8 Vektorer i planen Figur.4: Projektionen af # a på # b, når vinklen mellem de to vektorer er hhv. spids og stump. # a # b # a # a # b # a # b # b a) Spids vinkel. b) Stump vinkel. Eksempel.28 Der er givet to vektorer # a = 2 t ) og ) # 3 b =, 4 hvor t er et tal. Hvis de to vektorer er ortogonale, hvad er så tallet t? Her beregnes først # a # b = 2 t ) ) 3 = t 4 = 6 + 4t. 4 Idet de to vektorer er ortogonale, er # a # b = 0, dvs t = 0 4t = 6 t = 6 4 = 3 2. Hvis de to vektorer er ortogonale, har man altså, at t = Vektorprojektion At projicere vektor # a på # b gøres ved at nedfælde vektor # a vinkelret på vektor # b. Det illustreres lettest ved at lade de to vektorer have samme begyndelsespunkt. På figur.4 ses, hvordan vektor # a # b, der er projektionen af # a på # b, ligger, når vinklen mellem de to vektorer er spids, og når den er stump. Som man kan se på figuren er # a # b # b, og de to vektorer er ensrettede, hvis vinklen mellem # a og # b er spids, og modsat rettede, hvis den er stump. Koordinaterne til # a # b kan bestemmes vha. følgende sætning: Sætning.29 For projektionen # a # b af vektor # a på # b, gælder at # # # a b # a # b = # b, b 2 og # a # b = #. b # a # b

19 .4 Vektorprojektion 9 Bevis På figur.5 ses det stumpvinklede tilfælde. Der er tillige indtegnet en vektor # c, som opfylder # c # a # a # b + # c = # a # c = # a # a # b. Idet # a # b # b, findes der et tal t, så # a # b # b dvs. # a # b = t # b, # c = # a t # b. Figur.5: Projektionen af # a på # b, når vinklen mellem # a og # b er stump. Tager man skalarproduktet med # b på begge sider af denne ligning, får man # c # b = # a t # b ) # b. Men # c # b = 0, da disse to vektorer står vinkelret på hinanden, så ligningen kan omskrives til Da # a # b = t # b, får man altså 0 = # a t # b ) # b 0 = # a # b t # b # b 0 = # a # b t # b 2 # # a b t = # b 2. # # # a b # a # b = # b. b 2 Den anden del af sætningen omhandler længden af projektionsvektoren. Men da man kender en formel for vektoren, tager man blot længden af denne og får # # # a # a b # # a # b b = # b b 2 = # b 2 # # a # b b = #, b og sætningen er dermed vist. 2) Eksempel.30 Hvis # a = 8 4 ) og ) # 3 b =, 9 # b så er # a s projektion på # b ) ) 8 3 # 4 9 a # b = ) 3 = ) 3 = ) 3 = 9 ) 2. 6 # a # b # a ) Vektorerne kan ses på figur.6. Figur.6: Projektionen af # a på # b.

20 20 Vektorer i planen.5 Determinant Vha. skalarproduktet kan man afgøre, om to vektorer er ortogonale. Der findes en anden størrelse, determinanten, som kan bruges til at afgøre om vektorer er parallelle. Før determinanten kan defineres, skal man dog lige have defineret følgende: # a Definition.3 For en vektor # a defineres tværvektoren # a som den vektor, man får ved at dreje # a 90 i positiv omløbsretning dvs. mod uret). Figur.7: Tværvektoren # a til # a. # a Et eksempel på en tværvektor kan ses på figur.7. En tværvektors koordinater er givet ud fra den oprindelige vektors koordinater: Sætning.32 Hvis # a = ax a y ), så er ) a # ay =. a x Bevis På figur.8 er de to vektorer # a og # a indtegnet i et koordinatsystem. Som det ses af figuren er a # = a # y e x + a # x e y, a x # e x # a # a a y # e y Dvs. ) a # ay =. a x a y # e x a x # e x For tværvektorer gælder følgende sætning, som kan bevises ved regning med koordinater: Figur.8: Koordinaterne til # a kan findes ud fra koordinaterne til # a. Sætning.33 For to vektorer # a og # b gælder. a # = # a, og 2. # a + # b = # a + # b. Determinanten af to vektorer # a og # b er defineret ud fra tværvektoren til # a og skalarproduktet. Man har følgende: Definition.34 For to vektorer # a og # b definerer man determinanten, det # a # ), b = # # a b.

21 .5 Determinant 2 Hvis de to vektorer har koordinaterne # a = også det # a # ), b = a x a y b x b y ax a y ) og # b = = a xb y a y b x. bx b y ) skriver man Notationen a x a y b x b y er opfundet for gøre beregningen af determinanten mere overskuelig. Den skal forstås på den måde, at man først beregner produktet af diagonalen fra øverste venstre hjørne til nederste højre, og derefter fratrækker produktet af diagonalen fra nederste venstre hjørne til øverste højre: a x a y b x b y = a xb y a y b x. Eksempel.35 Determinanten af de to vektorer # a = 3 2 ) og ) # 4 b = er det # a # ), b = = 3 2 4) = 3 8) =. Når man tager determinanten af to vektorer # a og # b er rækkefølgen ikke ligegyldig. Følgende sætning angiver en række regneregler for determinanten: Sætning.36 For vektorerne # a, # b og # c gælder der # b ). det, # a = det # a # ), b, 2. det # a # ) + b, # c = det # a, # ) # b ) c + det, # c, 3. det # a # ), b + # c = det # a # ), b + det # a, # ) c. Bevis Den første del kan bevises ved regning med koordinater. Hvis ) # ax a = a y og ) # bx b =, b y så er # b ) det, # a = b x a x b y a = b x a y b y a x y = a y b x a x b y = a x b y a y b x ) = det # a # ), b.

22 22 Vektorer i planen For det # a # ) + b, # c gælder der ifølge sætning.23 og.33 samt definition.34, at det # a # ) + b, # c = # a + # b ) # c ) = a # # + b # c = # a # # c + b # c = det # a, # ) # b ) c + det, # c. Den sidste del af beviset overlades som en øvelse til læseren. Hvis det # a # ), b = 0 er # # a b = 0. Ifølge sætning.26 betyder det, at a # og # b er ortogonale. Hvis # a og # b er ortogonale, må # a og # b være parallelle. Der gælder derfor følgende sætning: Sætning.37 For to vektorer # a og # b gælder der det # a # ), b = 0 # a # b. Man kan derfor ved at beregne determinanten afgøre, om to vektorer er parallelle. Det viser sig, at determinanten har en geometrisk fortolkning. Størrelsen af determinanten er nemlig lig arealet af det parallelogram, der udspændes af de to vektorer. Der gælder altså: # a Sætning.38 Det parallelogram, der udspændes af de to vektorer # a og # b har arealet P = det # a # ), b. # b # a # b # a Figur.9: Parallelogrammet udspændt af # a og # b. P Bevis På figur.9 ses parallelogrammet udspændt af de to vektorer # a og # b. Parallelogrammets grundlinje udgøres af vektor # a, dvs. dens længde er # a. På figuren er også indtegnet # a samt projektionen # b # a af # b på denne vektor. Vektoren # b a # står vinkelret på # a, og dens længde svarer til afstanden mellem to parallelle sider i parallelogrammet. Arealet P må derfor have størrelsen P = # b a # # a. Vha. sætning.29 kan dette omskrives til # b # a P = # # a. a Men da # a = # a er dette det samme som # b # a P = # # a b = a # det = # a # ), b. a

23 .5 Determinant 23 Eksempel.39 Her beregnes arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne # a = 3 2 ) og # b = 5 ) Ifølge sætning.38 er arealet det # a # ) 3 5, b = 2 = = 7 = 7. Arealet af parallelogrammet er altså 7. Eksempel.40 De to vektorer # a = 2 t ) og ) # b =, 4 udspænder et parallelogram med areal 0. Hvad er tallet t? Anvender man sætning.38 kan man opstille et udtryk for arealet: det # a # ) 2, b = t 4 = 2 4 t = 8 t. Da man ved, at arealet er 0, får man derfor ligningen 8 t = 0. Idet der er tale om en ligning med numerisk værdi, er der i virkeligheden to ligninger. Hvis 8 t giver 0, er ligningen opfyldt; men det er den også, hvis 8 t giver 0, dvs. 8 t = 0 8 t = 0 t = 2 t = 8. Altså er arealet af parallelogrammet 0, hvis t = 2 eller t = 8. Hvis en trekant har hjørner i punkterne A, B og C, vil dens areal være halvdelen af arealet af det parallelogram, der er udspændt af vektorerne # AB og AC #. Man kan derfor ud fra sætning.38 komme frem til følgende sætning, der omhandler arealet af trekanter: Sætning.4 Trekanten med hjørner i punkterne A, B og C har arealet T = # 2 det AB, AC) #. Eksempel.42 En trekant har hjørner i punkterne A ;3), B0;5) og C 7;2). Arealet af denne trekant kan bestemmes vha. sætning.4. Først beregnes koordinaterne til vektorerne AB # og AC #. Man får # AB = ) 0 ) = 5 3 ) 2

24 24 Vektorer i planen Figur.20: Om vinklen u mellem # b og # a er større eller mindre end 90 afhænger af, om vinklen v fra # a til # b er større eller mindre end 80. # a # b u v = w # a u # b w # a v # a a) v < 80 b) v > 80 ) ) # 7 ) 8 AC = =. 2 3 Arealet af trekant ABC kan nu beregnes: T = # 2 det AB, AC # ) = = 2 ) 2 8 = 2 7 = 7 2. Arealet af trekant ABC er altså 7 2. Ind til videre er det kun den numeriske værdi af determinanten, der har fået en geometrisk fortolkning. Det viser sig dog, at man kan angive en formel, der knytter værdien af determinanten med fortegn) til geometrien af vektorerne. Sætning.43 Hvis der er givet to vektorer # a og # b, og v = # a, # b ), dvs. vinklen fra # a til # b, så er det # a # ), b = # a # sinv) b. Bevis Hvis en trekant er udspændt af vektorerne # a og # b, og vinklen mellem # a og # b kaldes w, så er arealet af trekanten givet ved den sædvanlige arealformel T = # 2 a # sinw) b. Ser man på parallelogrammet udspændt af de to vektorer, får man i stedet et areal P, der er dobbelt så stort, dvs. P = # a # b sinw). Men sætning.38 giver en formel for arealet af dette parallelogram ud fra determinanten, så man kan konkludere, at det # a # ), b = # a # sinw) b..2) Det interessante er nu fortegnet for determinanten. På figur.20 ses to mulige beliggenheder for vektorerne # a og # b. Hvis vinklen v fra # a til # b er

25 .5 Determinant 25 mindre end 80, så er v lig med vinklen w mellem vektorerne. Samtidig er vinklen u mellem # a og # b mindre end 90, dvs. fra sætning.26 får man Altså får man fra ligningen.2), at a # # b > 0 det # a # ), b > 0. det # a # ), b = # a # sinv) b. Hvis vinklen v fra # a til # b er større end 80, har man derimod, at w = 360 v, hvilket betyder, at sinw) = sin360 v) = sinv). Samtidig er vinklen u mellem # a og # b større end 90, dvs. Derfor giver ligning.2), at a # # b < 0 det # a # ), b < 0. det # a # ), b = # a # sinw) b = # a # sinv) b, og sætningen er hermed bevist.

26

27 Plangeometri 2 Plangeometri handler, som navnet måske antyder, om geometri i planen. I dette kapitel ses derfor på punkter, linjer og cirkler, og sammenhænge mellem disse. Hvis man lægger et koordinatsystem ind i planen, kan man tale om punkter ud fra deres koordinatsæt. Vha. punkter og vektorer kan man dernæst udlede ligninger for de punkter der ligger f.eks. på en linje eller på en cirkel. Det er nyttigt at kunne tale om afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Der gælder følgende sætning: Sætning 2. Afstanden mellem punkterne Ax ; y ) og Bx 2 ; y 2 ) er AB = x 2 x ) 2 + y 2 y ) 2. Bevis Afstanden fra A til B er lig med længden af vektoren # AB, dvs. AB = AB # = x2 x y 2 y ) = x 2 x ) 2 + y 2 y ) 2. 2) AB Bx 2 ; y 2 ) y 2 y Sætningen kan også bevises ved at se linjen AB som hypotenusen i en retvinklet trekant, og derefter anvende Pythagoras sætning. Se figur 2.. Ax ; y ) x 2 x ) 2. Linjens parameterfremstilling En linje i et koordinatsystem kan beskrives ud fra et punkt på linjen, og den retning linjen har i koordinatsystem. Når man skal beskrive en linjes retning, kan dette gøres vha. en vektor. Figur 2.: Afstanden mellem to punkter kan findes vha. Pythagoras sætning. Definition 2.2 En vektor # r, der er parallel med en linje l kaldes en retningsvektor for l. En vektor # n, der står vinkelret på en linje l kaldes en normalvektor for l. 27

28 28 2 Plangeometri # P 0 P = t # r P # OP O 2) P 0 # OP 0 # r l ) Figur 2.2: Ud fra denne figur kan man udlede en sammenhæng mellem et tilfældigt punkt P på linjen, det kendte punkt P 0 og retningsvektoren # r. Det er her vigtigt at bemærke, at en linje ikke har én retningsvektor, men uendeligt mange. Hvis # r er en retningsvektor, så vil enhver vektor, der er parallel med # r, nemlig også være en retningsvektor. Det samme gælder for en normalvektor. Når man skal beskrive linjen er det ligeledes ligegyldigt, hvilket punkt man starter med. En linje indeholder uendeligt mange punkter, og ethvert af disse koblet med en retningsvektor kan bruges til at beskrive linjen. Har man et punkt og en retningsvektor for en linje, kan linjen beskrives ved en såkaldt parameterfremstilling, som er en ligning, der fortæller, hvordan ethvert punkt på linjen kan beregnes ud fra et startpunkt og en retningsvektor. På figur 2.2 ses en linje l, et punkt P 0 x 0 ; y 0 ) på linjen og en retningsvektor # r for linjen. På figuren er der også indtegnet et tilfældigt punkt Px; y) på linjen. Ifølge indskudssætningen sætning.8) gælder der # OP = OP # 0 + P # 0 P. Dette kan også ses på figuren. Men vektoren P # 0 P er parallel med # r, dvs. der findes et tal t, så P # 0 P = t # r. Altså får man ligningen # OP = OP # 0 + t # r. # OP og OP # 0 er stedvektorerne til de to punkter Px; y) og P 0 x 0 ; y 0 ), så det er vektorer, der har samme koordinater som de to punkter. Dvs. man kan sætte dette ind i ligningen og få ) ) x x0 = + t # r. 2.) y y 0 Ethvert punkt Px; y) på linjen kan findes ud fra denne ligning for en eller anden værdi af t. Lader man nu t gennemløbe alle de reelle tal, får man alle punkterne på linjen. En ligning af typen 2.), hvor t R, kaldes en parameterfremstilling for linjen l. Tallet t, der gennemløber de reelle tal, kaldes parameteren. Der gælder altså Sætning 2.3 En parameterfremstilling for en linje i planen er givet ved ) x = y x0 y 0 ) + t rx hvor x 0 ; y 0 ) er et punkt på linjen, og # r = linjen. r y ), t R, rx r y ) er en retningsvektor for Eksempel 2.4 Hvis en linje l går gennem punktet 3;2) og har en retningsvektor # r = ), så er dens parameterfremstilling 5 l : ) x = y ) 3 + t 2 ), t R. 5

29 2. Linjens parameterfremstilling 29 Eksempel 2.5 Her findes en parameterfremstilling for den linje m, der går gennem de to punkter A3; 4) og B 2; 6). For at kunne opskrive en parameterfremstilling, skal man bruge en retningsvektor. Da både A og B ligger på linjen, kan AB # bruges som retningsvektor. # AB = ) 2 3 = 6 4 ) 5. 2 Man skal tillige bruge et punkt, linjen går igennem. Her er det oplagt at vælge enten A eller B. Bruger man A bliver parameterfremstillingen m : ) x = y ) 3 + t 4 ) 5, t R. 2 Punkterne A og B, linjen m og retningsvektoren AB # kan ses på figur 2.3. Idet m går igennem uendeligt mange punkter og har uendeligt mange ) 5 retningsvektorer alle vektorer, der er parallelle med ), er f.eks. 2 ) x = y ) 2 + t 6 ) 5 2 og ) ) ) x 3 0 = + t y 4 4 B 2; 6) 2) # r = # AB A3; 4) m ) Figur 2.3: Punkterne A og B samt linjen m. også parameterfremstillinger for m. En parameterfremstilling er i virkeligheden en vektor-ligning, hvor ) x koordinaterne til retningsvektoren er funktioner af parameteren t. Det y betyder, at man ud fra parameterfremstillingen ) x = y x0 y 0 ) + t rx r y ), t R, kan finde de to koordinatfunktioner xt) og yt) givet ved xt) = x 0 + r x t og yt) = y 0 + r y t. De to funktioner viser, hvordan punktets x- og y-koordinat ændrer sig som funktion af parameteren t. Parameteren t i en parameterfremstilling fortolkes derfor ofte som en tid. Dvs. efterhånden som tiden t går, bevæger punktet xt); yt)) sig langs den kurve, som parameterfremstillingen angiver. Ud fra koordinatfunktionerne, kan man se at x t) = r x og y t) = r y. Det er ikke kun linjer, der har parameterfremstillinger. Der kan stilles parameterfremstillinger op for uendeligt mange forskellige kurver i et koordinatsystem, f.eks. cirkler eller parabler. Retningsvektoren for en linje bliver på denne måde et mål for den hastighed, punktet bevæger sig med. Hvis to linjer ikke er parallelle, har de et skæringspunkt. Koordinatfunktionerne kan her bruges til at bestemme skæringspunktet mellem to linjer.

30 30 2 Plangeometri 2 Når man opstiller flere parameterfremstillinger, er det vigtigt at parametrene kaldes noget forskelligt, da det ikke drejer sig om den samme variabel. l : Eksempel 2.6 To linjer er givet ved parameterfremstillingerne 2 m : x y x y ) 3 = 3 ) = 4 ) ) + t, t R 6 ) ) 5 + s, s R 8 For linjen l er koordinatfunktionerne derfor og for m får man x l = 3 + t ) og y l = 3 + t 6, x m = 4 + s 5) og y m = + s 8. For at finde skæringspunktet skal man finde den værdi af t og den værdi af s, der giver samme punkt, når man sætter dem ind i ligningerne. Dvs. de værdier for t og s, hvor x l = x m og y l = y m. Det giver to ligninger med to ubekendte: 3 t = 4 + 5s 2.2) 3 + 6t = + 8s. Disse to ligninger kan løses vha. lige store koefficienters metode. Forlænger man den øverste ligning med 6, får man 8 6t = s 3 + 6t = + 8s. Lægger man disse to ligninger sammen, forsvinder parameteren t; man får nemlig 5 = s s =. Da man kender parameteren s kan skæringspunktet beregnes ud fra parameterfremstillingen for m. Sætter man s = i parameterfremstillingen får man ) x = y ) 4 + ) 5 = 8 ). 9 Altså skærer de to linjer hinanden i ;9). Hvis man vil bekræfte denne beregning, kan man beregne værdien af parameteren t, f.eks. vha. ligningen 2.2). Sætter man s = ind i denne ligning, får man 3 t = t = 2. Når man sætter t = 2 ind i parameterfremstillingen for l, får man ) ) x 3 = + 2 y 3 ) = 6 ), 9 hvilket blot bekræfter, at de to linjer skærer hinanden i ;9).

31 2.2 Linjens ligning Linjens ligning Som bekendt kan linjer også beskrives ved ligninger. En parameterfremstilling for en linje kan derfor altid omskrives til en ligning for linjen. Antag f.eks., at en given linje l har parameterfremstillingen l : ) x = y x0 y 0 ) + t # r, t R. Så kan parameterfremstillingen omskrives til ) x x0 = t # r. 2.3) y y 0 Tværvektoren # r til retningsvektoren # r står vinkelret på linjen. Den er derfor en normalvektor for linjen. Koordinaterne til denne normalvektor kan findes ud fra # r s koordinater. Nedenfor kaldes koordinaterne blot a og b, dvs. # ) a r =. b Hvis man tager skalarproduktet med denne vektor på begge sider af ligningen 2.3) får man ) # x x0 r = # r t # r, y y 0 men fordi # r # r, giver højre side 0, dvs. man får ) # x x0 r = 0 y y 0 ) ) a x x0 = 0 b y y 0 ax x 0 ) + by y 0 ) = 0. Der gælder altså følgende sætning: Sætning 2.7 En linje, som går gennem punktet x 0 ; y 0 ) og har normalvektor # ) a n =, kan beskrives ved ligningen b ax x 0 ) + by y 0 ) = 0, der også kan skrives ax + by + c = 0, hvor c = ax 0 by 0. Eksempel 2.8 Linjen gennem 3;), som har normalvektoren # ) 5 n = har ligningen 2 5x 3) + 2)y ) = 0 5x 5 2y + 2 = 0 5x 2y 3 = 0.

32 32 2 Plangeometri Eksempel 2.9 Linjen med parameterfremstillingen l : ) ) ) x 4 = + t, t R y 5 3 kan omskrives til en ligning ved først at finde en normalvektor. Her tages tværvektoren til linjens retningsvektor, dvs. # ) 4 n = = 3 3) 4 ) ) 3 =. 4 Linjen går gennem punktet ;5). Linjens ligning er derfor l : 3x )) + 4y 5) = 0, som kan reduceres til l : 3x + 4y 7 = 0. Det er vigtigt at bemærke, at tallet a, som optræder i ligningen ax + by + c = 0, ikke er en hældningskoefficient. Hvis b 0 kan linjen dog omskrives ax + by + c = 0 y = a b x c b. dvs. linjens hældningskoefficient er a b. Hvis b = 0 kan denne omskrivning ikke lade sig gøre, fordi man som bekendt ikke kan dividere med 0. Er b = 0 har linjens ligning formen ax + c = 0 x = c a, 3 Linjens hældningskoefficient og skæring med andenaksen kaldes her α og β, for at de ikke skal forveksles med konstanterne a og b i ligningen ax + bx + c = 0. dvs. linjen er parallel med andenaksen altså»lodret«). Formen ax + by + c = 0 kan altså beskrive enhver linje i et koordinatsystem, også de lodrette hvilket man ikke kan med en ligning på formen y = αx + β, 3 Ud fra ovenstående argument, får man sætningen Sætning 2.0 Hvis en linje er givet ved ligningen hvor b 0, kan den omskrives til ax + by + c = 0, y = αx + β, hvor α = a b er hældningskoefficienten, og β = c b er skæringen med andenaksen. Hvis b = 0 er linjen parallel med andenaksen og kan ikke omskrives til denne form. Vha. en omskrivning mellem de to former for linjens ligning, kan man komme frem til følgende sætning om ortogonale linjer:

33 2.2 Linjens ligning 33 Sætning 2. De to linjer l og m med ligningerne l : y = α x + β m : y = α 2 x + β 2 er ortogonale, netop når α α 2 =. Bevis De to ligninger omskrives til formen ax + b y + c = 0: l : α x y + β = 0 m : α 2 x y + β 2 = 0. Det ses nu, at normalvektorerne for de to linjer er ) # α n l = og ) # α2 n m =. Hvis de to linjer er ortogonale, så er deres normalvektorer også ortogonale se figur 2.4), dvs. # n l # n m = 0 ) ) α α2 = 0 2) m α α 2 + ) ) = 0 α α 2 + = 0 # n m # n l l α α 2 =. Hvis man omvendt ved, at α α 2 =, kan man udføre ovenstående omskrivning baglæns og nå frem til, at normalvektorerne er ortogonale, og så er linjerne det også. Eksempel 2.2 Her bestemmes den linje m gennem 8;), der står vinkelret på linjen l : y = 4x + 3. Hvis de to linjer er ortogonale, så er produktet af deres hældningskoefficienter. Kaldes hældningskoefficienten for m for α, så gælder der altså α 4) = α = 4. Da linjen m går gennem punktet 8;) har linjen derfor ligningen som reduceres til y = 4 x 8) +, m : y = 4 x. De to linjer og punktet kan ses på figur 2.5. ) Figur 2.4: Hvis to linjer er ortogonale, så er deres normalvektorer også ortogonale. 2) l : y = 4x + 3 m : y = 4 x 8;) ) Figur 2.5: De to linjer l og m er ortogonale.

34 34 2 Plangeometri 2.3 Afstanden fra et punkt til en linje Hvis man har en linje i planen og et punkt, der ikke ligger på linjen, kan det være nyttigt at beregne, hvor langt punktet ligger fra linjen. Afstanden måles her altid som den korteste afstand fra punktet til linjen. Der gælder da følgende sætning: 2) # n Sætning 2.3 Afstanden fra punktet Px 0 ; y 0 ) til linjen l : ax +by +c = 0 er ax0 + by 0 + c distp,l) =. a 2 + b 2 # QP Qx ; y ) Px 0 ; y 0 ) # QP # n l ) Figur 2.6: Afstanden fra punktet til linjen kan findes som længden af vektoren # QP # n. Bevis På figur 2.6 ses linjen l og punktet P. Samtidig er der indtegnet en normalvektor # n og et tilfældigt punkt Qx ; y ) på linjen. Hvis man projicerer vektoren QP # på normalvektoren # n, får man en vektor QP # # n, hvis længde er den søgte afstand. Vha. sætning.29, kan man nu beregne længden af denne vektor. Man får distp,l) = QP # QP # # n # n = #. 2.4) n Fordi linjen har ligningen ax +b y +c = 0, og punkterne har koordinaterne Px 0 ; y 0 ) og Qx ; y ) har man # n = a b ) og Indsætter man det i ligningen 2.4), får man x0 x y 0 y distp,l) = a b) = = ) # x0 x QP =. y 0 y ) a b) x0 x )a + y 0 y )b a 2 + b 2 ax0 + by 0 ax by a 2 + b 2. Punktet Qx ; y ) ligger på linjen, dvs. der gælder og derfor bliver afstanden ax + by + c = 0 c = ax by, distp,l) = ax0 + by 0 + c a 2 + b 2.

35 2.4 Cirkler 35 Eksempel 2.4 Afstanden fra punktet P3;) til linjen l : 5x + 2y 6 = 0. Kan findes vha. sætning 2.3. Koordinaterne x 0 = 3, y 0 = og konstanterne a = 5, b = 2 og c = 6 sættes ind i formlen: distp,l) = = 2 69 = 2 3. Eksempel 2.5 De to linjer l : 4x 3y + 2 = 0 m : 8x 6y 5 = 0 er parallelle. Det kan man se, fordi de to normalvektorer ) # 4 n l = 3 og ) # 8 n m =, 6 2) ;2) l m er parallelle # n m = 2 # n l ). De to linjer ligger altså med en fast afstand fra hinanden. Denne afstand kan også bestemmes vha. sætning 2.3. Det kan gøres ved at finde et punkt på den ene linje og bestemme afstanden fra dette punkt til den anden linje se figur 2.7). Hvis man sætter x =, får man for linjen l, at 4 3y + 2 = 0 y = ) Figur 2.7: Afstanden fra l til m er lig afstanden fra et punkt på l til m. Linjen l går derfor gennem punktet ;2). Dette punkt anvendes i formlen sammen med konstanterne fra ligningen m, og man får så dist ;2),m ) = ) 2 Afstanden mellem de to linjer er altså Cirkler = 9 00 = 9 0. En cirkel beskrives nedenfor som alle de punkter, der ligger på cirkelperiferien. Fælles for alle disse punkter er, at de har samme afstand radius) til ét bestemt punkt centrum). Dette kan man bruge til at opstille en ligning for cirklen: Sætning 2.6 Cirklen med centrum i C x 0 ; y 0 ) og radius r har ligningen x x 0 ) 2 + y y 0 ) 2 = r 2.

36 36 2 Plangeometri Bevis Cirklen består af alle de punkter Px; y), som har afstanden r til centrum, dvs. C P = r. Men ifølge sætning 2. er C P = x x 0 ) 2 + y y 0 ) 2, dvs. x x 0 ) 2 + y y 0 ) 2 = r x x 0 ) 2 + y y 0 ) 2 = r 2. Eksempel 2.7 Cirklen med radius r = 5 og centrum i C 4; ) har ligningen x 4) 2 + y )) 2 = 5 2 x 4) 2 + y + ) 2 = 25. Ligningen kan reduceres yderligere ved at gange parenteserne ud. Man får så x x 4 + y y = 25 x x + y y = 25 x 2 + y 2 8x + 2y 8 = 0. Eksempel 2.8 Ligningen x 2 + y 2 6x + 4y + 42 = 0, er ligningen for en cirkel. Hvis man vil finde centrum og radius for cirklen, bliver man nødt til at skrive ligningen om, så den får samme form som ligningen i sætning 2.6. For at gøre det, skal leddene x 2 og 6x skrives om til kvadratet på en toleddet størrelse. Det samme gælder for y 2 og 4y. Hvis x 2 og 6x kommer af kvadratet på en toleddet størrelse, så er 6x det dobbelte produkt. Det giver derfor mening at beregne x 3) 2 = x x 3 = x x, Her kan man se, at x 2 6x kan omskrives til x 3) 2 9. På samme måde, kan man vise, at y 2 + 4y = y + 7) Derfor kan cirklens ligning omskrives på følgende måde x 2 + y 2 6x + 4y + 42 = 0 x 2 6x + y 2 + 4y + 42 = 0 x 3) y + 7) = 0 x 3) 2 + y + 7) 2 = 6 x 3) 2 + y 7)) 2 = 4 2. Når ligningen nu står på denne form, kan man direkte aflæse, at radius er r = 4, og centrum er C 3; 7).

37 2.4 Cirkler 37 2) Skæringspunkter mellem cirkler og linjer En cirkel og en linje kan have 0, eller 2 skæringspunkter, se figur 2.8. Hvis cirklen og linjen har præcist ét punkt fælles, er linjen en tangent til cirklen. Hvor mange skæringspunkter, der er mellem cirklen og linjen, kan man finde ud af ved at bestemme afstanden mellem cirklens centrum og linjen. Hvis afstanden fra centrum til linjen er præcis lig med radius, så er linjen en tangent. Hvis afstanden er mindre end radius, er der to skæringspunkter, og hvis afstanden er større end radius, er der ingen skæringspunkter mellem cirklen og linjen. Eksempel 2.9 Her bestemmes det, om der er skæringspunkter mellem linjen med ligningen 3x 2y 7 = 0 og cirklen med ligningen x + ) 2 + y 2) 2 = 9. Cirklens centrum er C ;2) og dens radius er r = 9 = 3. Afstanden fra centrum til l er distc,l) = 3 ) ) 2 = 4 3 = 4 3 3,88. Da afstanden fra centrum til linjen er større end radius, har linjen og cirklen ingen skæringspunkter se figur 2.9). ) Figur 2.8: En linje kan skære en cirkel 0, eller 2 steder. C ; 2) r = 3 2) 3,88 ) Figur 2.9: Afstanden fra centrum til linjen er større end radius. Eksempel 2.20 Linjen med ligningen x 3y + 2 = 0 og cirklen med ligningen x ) 2 + y 4) 2 = 25 har to skæringspunkter. Det ses af at afstanden fra cirklens centrum C ;4) til linjen er 2) distc,l) = ) 2 = = 9 0 2,85, som er mindre end cirklens radius r = 25 = 5 se figur 2.0). Eksempel 2.2 Linjen og cirklen i eksempel 2.20 skærer hinanden to steder. Her bestemmes de to skæringspunkter se figur 2.0). Først omskrives linjens ligning x 3y + 2 = 0 x = 3y 2. r = 5 2 2;0) C ; 4) 2, ; 3 5 ) ) Figur 2.0: Afstanden fra centrum til linjen er mindre end radius. Denne værdi for x sættes ind i cirklens ligning, som bliver til 3y 2 ) 2 + y 4) 2 = 25

38 38 2 Plangeometri 3y 3) 2 + y 4) 2 = 25 3y) y 3 + y y 4 = 25 9y y + y y = 25 0y 2 26y = 0 2y5y 3y) = 0 2y = 0 5y 3y = 0 y = 0 y = 3 5 De to skæringspunkter har disse værdier af y. Værdien af x kan beregnes ud fra linjens ligning: y = 0 : x = = 2 y = 3 5 : x = = = Linjen skærer altså cirklen i de to punkter 2;0) og 29 5 ; 3 5 ). Hvis en linje er givet ved en parameterfremstilling, kan man ikke uden videre beregne afstanden fra linjen til en cirkels centrum. Er man interesseret i dette, skal man altså først skrive parameterfremstillingen om til en ligning se eksempel 2.9). Men er man blot interesseret i skæringspunkterne mellem linjen og cirklen er dette ikke nødvendigt. Her kan man i stedet udnytte parameterfremstillingens koordinatfunktioner. Eksempel 2.22 Hvis en linje er givet ved parameterfremstillingen og en cirkel er givet ved ligningen ) ) ) x 3 2 = + t, t R. y 5 x 2) 2 + y ) 2 = 6, kan man finde skæringspunkterne ved at indsætte linjens koordinatfunktioner x = 3 + 2t og y = 5 t ind i linjens ligning. De to udtryk for x og y sættes ind i linjens ligning: x y {}}{{}}{ 3 + 2t 2) t ) 2 = 6 + 2t) t) 2 = 6 + 4t 2 + 4t t 2 8t = 6 5t 2 4t + 7 = 6 5t 2 4t + = 0. Antallet af løsninger til denne andengradsligning viser nu, hvor mange skæringspunkter der er mellem linjen og cirklen. Hvis ligningen ingen

39 2.4 Cirkler 39 løsninger har, så ligger linjen uden for cirklen; er der én løsning, er linjen en tangent; og hvis der er to løsninger, så er linjen en sekant. For at bestemme antallet af løsninger, kan man beregne ligningens diskriminant: d = 4) = 36. Da d > 0 har ligningen to løsninger, dvs. der er to skæringspunkter. Løser man ligningen, finder man løsningerne t = 5 t =. De to løsninger er de værdier af parameteren t, der svarer til skæringspunkterne. For at finde punkterne skal man sætte disse værdier af t ind i linjens parameterfremstilling: t = 5 : t = : x y ) x = y ) 3 = ) 5 ) ) 2 + ) = ) 8 ) = ). Linjen skærer altså cirklen i punkterne 8 5 ; 26 ) 5 og 5;4). Cirkeltangenter En tangent til en cirkel er en linje, der kun har ét punkt fælles med cirklen. Dette punkt kaldes røringspunktet. Derudover vil en tangent til en cirkel altid stå vinkelret på linjen gennem centrum og røringspunktet. Som omtalt ovenfor, kan man bestemme, om en given linje er en tangent, ved at beregne afstanden fra linjen til cirklens centrum. Afstanden fra centrum til en tangent er nemlig lig med radius. Alternativt kan man bestemme, om en linje givet ved en parameterfremstilling er en tangent, ved at bestemme antallet af skæringspunkter se eksempel 2.22). I de følgende eksempler vises, hvordan man kan konstruere bestemte tangenter, hvis man kender enten et punkt, eller en hældning. Eksempel 2.23 Punktet P5; 7) ligger på cirklen givet ved ligningen x 2) 2 + y + 3) 2 = Her bestemmes en ligning til den tangent til cirklen, der har dette punkt som røringspunkt. Cirklens centrum er C 2; 3). Den søgte tangent står vinkelret på linjestykket C P, dvs. vektoren C # P kan bruges som normalvektor for linjen: # C P = ) ) = 3 4 Da man nu kender et punkt P5; 7), som linjen går igennem, og en normalvektor, C # P, kan linjens ligning skrives op vha. sætning 2.7: ). 3x 5) + 4) y 7)) = 0 3x 4y 43 = 0. Cirklen og tangenten kan ses på figur ) 2 C 2; 3) P5; 7) ) Figur 2.: Cirklens tangent gennem det givne punkt P5; 7).

40 40 2 Plangeometri Eksempel 2.24 Her bestemmes røringspunkterne for de tangenter til cirklen x 2) 2 + y ) 2 = 25, der er parallelle med linjen l med ligningen l : 4x 3y + 30 = 0. Cirklen må have to tangenter, der er parallelle med den givne linje. En linje gennem de to røringspunkter må gå gennem centrum og stå vinkelret på linjen l. Idet den står vinkelret på l, kan man finde en parameterfremstilling for linjen ved at bruge en normalvektor for l som retningsvektor. Dvs. ) # r = # 4 n l =. 3 Man ved at linjen gennem røringspunkterne går gennem centrum C 2;). Dette punkt giver sammen med retningsvektoren parameterfremstillingen ) x = y ) ) t, t R. 3 2) l Skæringspunkterne mellem denne linje og cirklen vil være de søgte røringspunkter se figur 2.2). Disse skæringspunkter kan bestemmes på samme måde som i eksempel 2.22 vha. linjens koordinatfunktioner x = 2 + 4t og y = 3t, 2 2 C 2; ) ) Figur 2.2: Røringspunkterne for de cirkeltangenter, der er parallelle med linjen l. som sættes ind i cirklens ligning: 2 + 4t 2) 2 + 3t ) 2 = 25 4t) 2 + 3t) 2 = 25 6t 2 + 9t 2 = 25 25t 2 = 25 t 2 = t = t =. De to værdier af parameteren t kan nu sættes ind i parameterfremstillingen, og man får t = : t = : x y x y ) = ) = ) 2 ) ) ) ) 2 = 4 ) ) 6 =. 2 De to tangenter, der er parallelle med l, rører altså cirklen i punkterne 2;4) og 6; 2). Hvis man vil finde ligningerne for tangenterne, kan dette gøres på samme måde som i eksempel 2.23.

41 2.5 Cirklens parameterfremstilling Cirklens parameterfremstilling Som afslutning på dette kapitel vises, hvordan cirkler også kan beskrives ved parameterfremstillinger. Enhedscirklens parameterfremstilling er faktisk allerede kendt, idet ethvert punkt på enhedscirklen kan beskrives som cost);sint)) for en værdi af t mellem 0 og 2π se figur 2.3). Dvs. enhedscirklen kan beskrives ved parameterfremstillingen ) ) x cost) =, 0 t < 2π. y sint) Hvis man ganger denne parameterfremstilling op med r, får man i stedet en parameterfremstilling for cirklen med centrum i 0;0) og radius r : ) x = y ) r cost), 0 t < 2π. r sint) Skal man udlede en parameterfremstilling for en cirkel med centrum i x 0 ; y 0 ) i stedet for 0;0), skal man blot lægge retningsvektoren for dette punkt til parameterfremstillingen og man får følgende sætning: 2) cost);sint)) t ) Figur 2.3: Enhedscirklen. Sætning 2.25 Cirklen med centrum i C x 0 ; y 0 ) og radius r kan beskrives ved parameterfremstillingen ) x = y x0 y 0 ) ) r cost) +, 0 t < 2π. r sint) Dette er ikke den eneste mulighed for en parameterfremstilling for cirklen. I virkeligheden vil enhver parameterfremstilling af typen ) x = y x0 y 0 ) ) r cosωt) +, 0 t < 2π r sinωt) ω kunne bruges. En parameterfremstilling som denne bruges til at beskrive et punkt, der bevæger sig rundt i en jævn cirkelbevægelse. Størrelsen af konstanten ω hænger sammen med, hvor hurtigt punktet bevæger sig rundt på cirklen.[4]

42

43 Trigonometriske funktioner 3 De tre trigonometriske funktioner sin, cos og tan, som kan bruges til at beregne sider og vinkler i geometriske figurer, kan også opfattes som egentlige matematiske funktioner. Når man regner på geometriske figurer, måles vinkler i grader, dvs.i udtrykket sinx) er x en vinkel i grader. Det viser sig, at hvis man i stedet bruger en anden form for vinkelmål, så bliver nogle af de matematiske formler, der involverer trigonometriske funktioner, simplere. 3. Radianer En cirkel svarer som bekendt til en vinkel på 360. Men der er jo intet selvfølgeligt ved, at det lige skal være 360, der definerer en hel omdrejning. Man kunne lige så godt have valgt ethvert andet tal. Et vinkelmål, man ofte bruger i matematikken, bygger på, at man måler vinkler som længden af en cirkelbue. Tanken er den følgende: Man kan måle en vinkels størrelse som længden af den bue, den spænder over. Denne buelængde er en del af en cirkel, så dens længde afhænger selvfølgelig af, hvilken radius, der er, i den cirkel, man tegner. Men hvis man så dividerer med radius, får man et forhold, der er uafhængigt af radius. Dette vinkelmål kaldes radianer. Faktisk er tallet 360 et levn fra det babyloniske 60-talssystem.[2] Definition 3. En vinkels størrelse i radianer v måles som forholdet mellem den bue, vinklen spænder over, og radius i cirklen, 2π 3 π 2 π 3 v = b r. b r Da en cirkels omkreds er 2πr, kommer en hel omdrejning til at svare til 2π, og en ret vinkel 90 ) til at svare til π 2. Figur 3. viser sammenhængen mellem grader og radianer som vinkelmål. 43 π 3π 4 5π π π π 6 π 4 2π 3 π π Figur 3.: Sammenhængen mellem grader og radianer. π 4 π 6 0

44 44 3 Trigonometriske funktioner Da 2π i radianer svarer til en hel cirkel, og 360 også svarer til en hel cirkel, får man 360 = 2π = π 80, dvs. man kan omregne fra grader til radianer ved at gange med 80. Omvendt kan man regne om fra radianer til grader ved at gange med 80 Eksempel 3.2 Hvad er vinklen 36 i radianer? For at svare på dette spørgsmål beregnes π π. 2) 36 svarer altså til π π 80 = 36π 80 = π 5. ) 3π 2π π π 2π 3π ) 3π 2π π π 2π 3π 2) Figur 3.2: Graferne for funktionerne cosx) øverst) og sinx) nederst). Tabel 3.: Funktionsværdier for cos og sin. x cosx) sinx) π 0 π π 4 π 3 π π 0 3π 2 0 2π Cosinus og sinus som funktioner Når cosinus og sinus behandles som matematiske funktioner, cosx) og sinx), måles den uafhængige variabel x i radianer. Graferne for disse to funktioner kan ses på figur 3.2. Man kunne fristes til at tro, at fordi en cirkel svarer til 2π radianer, så har cosx) og sinx) kun funktionsværdier, når x ligger i intervallet mellem 0 og 2π, men dette er ikke rigtigt. Værdier af x, der ligger over 2π, svarer blot til, at man går mere end én omgang rundt i cirklen; mens de negative værdier svarer til, at man går modsat rundt. Funktionsværdierne vil så gentage sig selv for hver hel omgang, man går rundt i cirklen dette er beskrevet nærmere nedenfor. På graferne er førsteaksen inddelt i enheder af π. Dette skyldes, at det er ud for disse værdier, graferne skærer førsteaksen og antager deres maksima og minima. Nogle af funktionsværdierne for cosx) og sinx) kan ses i tabel 3.. Periodicitet Ved at se på graferne for de to funktioner, kan man udlede, at de er periodiske. At en funktion er periodisk betyder, at funktionen så at sige»gentager sig selv«. Man kan se på graferne for cosx) og sinx), at hver gang man går 2π frem eller tilbage på førsteaksen, finder man de samme funktionsværdier. Dette skyldes, at cosinus og sinus er defineret ud fra enhedscirklen, og 2π svarer til en hel omgang rundt i cirklen. Derfor vil cosx) og sinx) have samme værdi, når x stiger eller falder med et helt tal gange 2π, dvs. cosx + k 2π) = cosx) sinx + k 2π) = sinx) hvor k er et helt tal. Fordi de to funktioner er periodiske, kan de bruges til at beskrive en lang række fænomener i naturen, der udviser et gentagende mønster, som f.eks. bølger og svingninger.

45 3.3 Ligninger med cos og sin 45 Eksempel 3.3 En fjeder, der svinger op og ned, kan beskrives ved hjælp af funktionen f t) = a cosω 0 t + α), hvor f angiver udsvinget fra ligevægtspositionen, og t angiver tiden.[] Konstanterne a, ω 0 og α afhænger af den konkrete situation. 3.3 Ligninger med cos og sin Fordi sinus og cosinus er periodiske, så vil ligninger med disse funktioner typisk have mere end én løsning og ofte uendeligt mange løsninger. Hvis man f.eks. skal løse ligningen sinx) = a, hvor a er et eller andet tal, er en af løsningerne x = sin a). Men sin giver kun den af løsningerne, der ligger mellem π 2 og π 2.2 På 2 Hvilket svarer til 90 og 90. figur 3.3 kan man se angivet på enhedscirklen, at der også er en anden 2) løsning, som er givet ved π sin a) x = π sin a). Idet man kan lægge et helt antal gange 2π til x og få de samme funktionsværdier, betyder det, at ligningen sinx) = a har løsningerne x = sin a) + k 2π x = π sin a) + k 2π, k Z. a sin a) )»k Z«betyder, at k er et helt tal. Samme type argument kan man lave for ligningen cosx) = a, sådan at man får følgende sætning. 3 Sætning 3.4 Når a, gælder. Ligningen cosx) = a har løsningerne x = cos a) + k 2π x = cos a) + k 2π, k Z. 2. Ligningen sinx) = a har løsningerne x = sin a) + k 2π x = π sin a) + k 2π, k Z. Eksempel 3.5 Løsningerne til ligningen sinx) = 0,7 kan bestemmes grafisk ved at tegne grafen for sinx) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse førstekoordinaterne til skæringspunkterne se figur 3.4). Denne ligning har ifølge sætning 3.4 løsningerne Figur 3.3: Ligningen sinx) = a har to løsninger mellem 0 og 2π. 3 Bemærk i øvrigt, at a, idet funktionsværdierne for både cos og sin ligger i dette interval. ) 3π 2π π π 2π 3π 2) Figur 3.4: Løsningerne til sinx) = 0,7 kan findes ved at tegne grafen for sinx) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse skæringspunkternes førstekoordinater. dvs. 4 x = sin 0,7) + k 2π x = π sin 0,7) + k 2π, k Z, x = 0, k 2π x = 2, k 2π, k Z. 4 Her regner man ud, hvad sin 0,7) og π sin 0,7) rent faktisk giver.

46 46 3 Trigonometriske funktioner Eksempel 3.6 Ligningen 3cosx) = 0,8 løser man ved først at isolere cosx): 3cosx) = 0,8 3cosx) =,8 cosx) = 0,6. Herefter bruger man sætning 3.4, og får x = cos 0,6) + k 2π x = cos 0,6) + k 2π, k Z, som kan reduceres til x = 0, k 2π x = 0, k 2π, k Z. Eksempel 3.7 Løsningerne til ligningen sin2x ) = 0,3 finder man også ved at bruge sætning 3.4. Nu står der 2x i parentesen, så man får 2x = sin 0,3) + k 2π 2x = π sin 0,3) + k 2π, k Z. I disse to ligninger isolerer man x: x = sin 0,3) + k 2π + 2 Reducerer man, fås x = π sin 0,3) + k 2π + 2. dvs., k 2π k 2π x = x =, 2 2 x = 0, k π x =,985 + k π, k Z. 3.4 Tangens 2) ) 3π 2π π π 2π 3π Figur 3.5: Grafen for tanx). I det ovenstående er tangens ikke blevet omtalt. Grafen for tanx) kan ses på figur 3.5. Som man kan ane på figuren, går funktionsværdien mod hhv. når x nærmer sig ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2 osv. Dette skyldes at tanx) er defineret som tanx) = sinx) cosx), og det er netop i disse værdier af x, at cosx) = 0. Som man måske også kan se på figuren er tanx) periodisk med perioden π. Ved at se på enhedscirklen og argumentere, som der blev gjort i foregående afsnit, kan man komme frem til følgende sætning, som ikke bevises her.

47 3.4 Tangens 47 Sætning 3.8 Ligningen tanx) = a har løsningerne x = tan a) + k π, k Z. Eksempel 3.9 Ligningen tanx) = 0,5 kan man løse ved at bruge sætning 3.8: x = tan 0,5) + k π, k Z, dvs. Eksempel 3.0 Ligningen x = π 4 + k π, k Z. 4tanx) + 7 = 0 løser man også ved at bruge sætning 3.8. Blot skal man her først isolere tanx): 4tanx) + 7 = 0 4tanx) = 3 tanx) = 3 4. Herefter kan man bruge sætningen, hvorved man får x = tan 3 4 ) + k π, k Z, dvs. x = 0, k π, k Z.

48

49 Infinitesimalregning 4 I dette kapitel er samlet alle de resultater fra differential- og integralregningen, der er kernestof på A-niveau, men ikke på B-niveau. 4. Produkt, sammensat funktion og kvotient Når man differentierer en sum eller en differens, kan man blot differentiere de enkelte led hver for sig. Hvis man skal differentiere et produkt i hånden, er reglen en anelse mere indviklet. Sætning 4. Produktreglen) Hvis en funktion er givet ved f x) = px) qx), er f x) = p x) qx) + px) q x). Bevis Når f x) = px) qx), er f = f x + x) f x) = px + x) qx + x) px) qx). For at omskrive dette udtryk, så det indeholder både p og q bruger man et trick: Man trækker leddet px) qx + x) fra og lægger det herefter til igen. Herved ændrer man nemlig ikke noget: f = px + x) qx + x) px) qx) = px + x) qx + x) px) qx + x) + px) qx + x) px) qx). }{{} summen af disse to led er 0 Herefter kan man sætte uden for parentes, så Så bliver f = px + x) px) ) qx + x) + px) qx + x) qx) ) f x = p qx + x) + px) q. = p qx + x) + px) q x Lader man nu x 0, vil = p q qx + x) + px) x x. p x p x) 49

50 50 4 Infinitesimalregning Samlet set får man derfor qx + x) qx) px) px) q x q x). f x) = p x) qx) + px) q x). Eksempel 4.2 Skal man finde differentialkvotienten af f x) = x lnx), skriver man f x) som f x) = px) qx), hvor px) = x, qx) = lnx). Tabelopslag giver, at p x) = 2 x, q x) = x. Sætning 4. giver så Dette kan så reduceres yderligere til f x) = p x) qx) + px) q x) = 2 x lnx) + x x. f x) = lnx) 2 x + f x) = lnx) + 2 x 2. x Den næste sætning handler om sammensatte funktioner. Det er funktioner, der kan beskrives som en»funktion af en funktion«. Herved forstås funktioner som f x) = lnx)) 2, g x) = x 3 + 4, hx) = e 6x+x2, kx) = lnx 2 + e x ). Funktionen f er f.eks. sammensat af en indre funktion, som er qx) = lnx), og en ydre funktion, som er pq) = q 2, fordi lnx) er opløftet i 2. potens. Når man skal differentiere en sådan funktion, skal man opdele i en ydre funktion og en indre funktion. Fremgangsmåden ved differentiation er angivet i følgende sætning. Sætning 4.3 Kædereglen) Hvis en sammensat funktion f er givet ved f x) = pqx)), så er den afledte funktion f x) = p qx)) q x). Bevis Hvis f x) = pqx)), så bliver f x = f x + x) f x) x pqx + x)) pqx)) =. 4.) x

51 4. Produkt, sammensat funktion og kvotient 5 q er defineret ved q = qx + x) qx), hvilket giver qx + x) = qx) + q. Brøken i udtrykket 4.) kan derfor omskrives til f x = pqx) + q) pqx)) x Hvis man ikke skriver eksplicit, at q er afhængig af x kan dette også skrives som f pq + q) pq) =. x x Så længe q ikke er 0, kan man forlænge brøken med q, hvorved man får f x = pq + q) pq) q. q x. 4.2) De to faktorer på højre side af 4.2) undersøges nu hver for sig. Brøken pq+ q) pq) q kan skrives som p q, hvor det er underforstået, at p er en funktion af q. Idet q = qx + x) qx), vil der gælde, at q 0, når x 0, hvilket betyder at For brøken q x gælder, at p q p q), når x 0. q x q x), når x 0. Samlet set får man altså fra ligningen 4.2), at f x p q) q x), når x 0. Husker man nu, at q faktisk er en funktion af x, har man f x) = p qx)) q x). Eksempel 4.4 En funktion f er givet ved forskriften f x) = x f kan altså skrives som f x) = pqx)), hvor pq) = q og qx) = x Disse to funktioner kan differentieres vha. tabelopslag: p q) = 2 q og q x) = 2x. Sætning 4.3 giver, at f x) = p qx)) q x) = 2 q 2x

52 52 4 Infinitesimalregning ) = 2 x x Ved ) erstattes q med x 2 + 3, da qx) = x Udtrykket kan reduceres yderligere, og man får f x) = 2 x x = x x Eksempel 4.5 En funktion f er givet ved forskriften f x) = e x2. For at differentiere f skrives f x) = pqx)), hvor pq) = e q, qx) = x 2. Tabelopslag giver p q) = e q, q x) = 2x. Sætning 4.3 giver f x) = p qx)) q x) = e q 2x = e x2 2x. Sætningerne 4. og 4.3 kan også bruges til at bevise en sætning om differentiation af kvotienter af funktioner. Der gælder nemlig følgende sætning. Sætning 4.6 Kvotientreglen) Hvis en funktion er givet ved f x) = px) qx), er f x) = p x) qx) px) q x) qx)) 2. Bevis f x) = px) qx) kan omskrives til f x) = px) qx). Dette er et produkt af to funktioner, dvs. ifølge sætning 4. er 2 Funktionsudtrykket qx) kan siges at være sammensat af sq) = q og qx). Herefter bruger man, at s q) = q 2. f x) = p x) ) ) qx) + px) = p x) qx) qx) + px). 4.3) qx) For at komme videre med dette bliver man nødt til at undersøge. qx)) Her er der tale om den afledte af en sammensat funktion. Ved brug af sætning 4.3 får man så 2 qx) ) = qx) 2 q x). Indsætter man nu dette resultat i 4.3), får man f x) = p x) qx) + px) ) qx) 2 q x)

53 4. Produkt, sammensat funktion og kvotient 53 = p x) qx) px) q x) qx) 2 = p x) qx) qx) 2 px) q x) qx) 2 = p x) qx) px) q x) qx) 2. Eksempel 4.7 Lad f x) = x2 e. Differentialkvotienten f x) findes ved at skrive f x) = px) x hvor px) = x 2, qx) = e x. qx), Tabelopslag giver p x) = 2x, q x) = e x. Sætning 4.6 giver, at f x) = p x) qx) px) q x) qx)) 2 = 2x ex x 2 e x e x ) 2. Dette kan så reduceres yderligere til f x) = 2x x2 e x. Der findes funktioner, hvor det ikke er nok at bruge en enkelt af regnereglerne i sætningerne 4., 4.3 og 4.6. Nogle gange er det nødvendigt at kombinere dem. Her følger derfor et»vildt«eksempel: Eksempel 4.8 En funktion er givet ved forskriften f x) =, x >. x2 lnx) Hvordan differentieres denne funktion? Først skrives f x) = pqx)), hvor pq) = q, qx) = x 2 lnx). Her er det nemt nok at differentiere pq), men hvad med qx)? Denne deles yderligere op: qx) = stx)), hvor st) = t, tx) = x 2 lnx). Nu består problemet i at differentiere t. Dette kan gøres ved at skrive t som tx) = nx) mx), nx) = x 2, mx) = lnx). Her er n x) = 2x, m x) = x.

54 54 4 Infinitesimalregning Ifølge sætning 4. vil man så få t x) = n x) mx) + nx) m x) = 2x lnx) + x 2 x. Dette kan reduceres til t x) = 2x lnx) + x. Nu har man alt det, man skal bruge, og man kan begynde at arbejde sig tilbage gennem de mange delfunktioner: q x) = s tx)) t x) = 2 t 2x lnx)+ x) = 2 2x lnx)+ x). x 2 lnx) Dette kan reduceres til q 2x lnx) + x x) = 2. x 2 lnx) Til sidst kan man derfor finde f x) = p qx)) q x) = 2x lnx) + x q2 2 x 2 lnx) 2x lnx) + x = ) 2 x2 lnx) 2. x 2 lnx) Dette kan så til sidst reduceres til f 2lnx) + x) = 2x 2 lnx) lnx). Afsnittet her afsluttes med en opsummering af de sætninger, der gælder for differentiation af funktioner: Sætning 4.9 Følgende regneregler kan anvendes til bestemmelse af en afledt funktion: f x) = c px) f x) = c p x). f x) = px) + qx) f x) = p x) + q x). f x) = px) qx) f x) = p x) q x). f x) = px) qx) f x) = p x) qx) + px) q x). f x) = pqx)) f x) = p qx)) q x). f x) = px) qx) f x) = p x) qx) px) q x) qx) Trigonometriske funktioner De trigonometriske funktioner sin, cos og tan kan også differentieres. Når man behandler sin og cos som matematiske funktioner på denne måde, er det vigtigt at huske, at x altid måles i radianer. Det viser sig da, at der for sin og cos gælder følgende:

55 4.2 Trigonometriske funktioner 55 2) Figur 4.: Et udsnit af enhedscirklen. De to markerede trekanter er næsten ensvinklede, hvis x er lille. Dvs. a c a c. Når x er lille gælder der tillige, at x c. sinx + x) sinx) a c x c = x a = cosx) cosx) ) Sætning 4.0 For de trigonometriske funktioner sin og cos gælder. Hvis f x) = sinx), er f x) = cosx). 2. Hvis f x) = cosx), er f x) = sinx). Funktionerne sin og cos er altså nærmest hinandens afledte. Bemærk dog, at der optræder et minus, når man differentierer cos. For at bevise sætningen kan man se på enhedscirklen, da det er ud fra denne sin og cos er defineret. Her bevises kun første del af sætningen. Bevis Figur 4. viser et udsnit af enhedscirklen, hvor der er afsat en vilkårlig buelængde x. sinx) og cosx) er angivet på akserne. Den store markerede trekant får herved en hypotenuse på, og den vandrette katete bliver a = cosx). Lægger man en lille buelængde x til, kan man lave en ny trekant. Her er hypotenusen c x, når blot x er lille. Den lodrette katete kaldes a. For at bestemme f x) når f x) = sinx), ser man først på f = f x + x) f x) = sinx + x) sinx). På figuren ses, at dette svarer til linjestykke a, dvs. f = a. Som nævnt er x c, og altså er f x = a x a c. Hvis x er lille står de to hypotenuser c og c næsten vinkelret på hinanden. Herved bliver de to markerede trekanter næsten ensvinklede,

56 56 4 Infinitesimalregning og der gælder derfor, at Det betyder så, at a c a c. f x a c, når blot x er lille. Og jo mindre x er, jo bedre gælder tilnærmelsen. Lader man nu x 0, får man derfor 2) f x) = a c = cosx) = cosx). Et tilsvarende geometrisk bevis for cos overlades som en øvelse til læseren. ) Eksempel 4. På figur 4.2 kan man se grafen for f x) = x + 2sinx). Hvad er den afledte funktion af f? Da man ved, at den afledte funktion af x er, og at den afledte funktion af sinx) er cosx) ifølge sætning 4.0), bliver f x) = + 2cosx). Figur 4.2: Grafen for f x) = x + 2sinx). Eksempel 4.2 For at finde den afledte funktion af f x) = 5sin3x 2) er det nødvendigt at bruge regnereglen fra sætning 4.3. Funktionen f kan skrives som f x) = pqx)), hvor pq) = 5sinq) og qx) = 3x 2. Fra sætning 4.3 følger da, at f x) = p q) q x) = 5cosq) 3 = 5cosq) = 5cos3x 2). Ved hjælp af sætning 4.0 og regnereglen fra sætning 4.6 kan man bevise følgende sætning. Sætning 4.3 Den afledte funktion af f x) = tanx) er f x) = cosx) 2. Bevis Ud fra definitionen af tangens har man at f x) = tanx) = sinx) cosx). Ifølge sætning 4.6 er den afledte funktion derfor f x) = sinx)) cosx) sinx) cosx)) cosx) 2,

57 4.3 Integration ved substitution 57 og bruger man så sætning 4.0 kan dette omskrives til 3 f cosx) cosx) sinx) sinx)) x) = cosx) 2 = cosx)2 + sinx) 2 cosx) 2 = cosx) 2. 3 Undervejs udnyttes, at cosx) 2 + sinx) 2 =, hvilket følger af definitionen på cos og sin. 4.3 Integration ved substitution Den følgende regneregel kan måske virke en anelse kompliceret ved første øjekast. Sætning 4.4 Lad f og g være to funktioner. Så er f ux)) u x)dx = F ux)) + k, hvor F er en stamfunktion til f. Regnereglen følger faktisk af kædereglen for differentiation af sammensatte funktioner, og den bevises ved at differentiere højre side af udtrykket i sætningen. Bevis Differentierer man F ux)) + k får man vha. kædereglen, at 4 F ux)) + k) = F ux)) u x) = f ux)) g x). 4 Det første lighedstegn følger af kædereglen, det sidste følger af, at F er en stamfunktion til f. Altså er F ux)) + k stamfunktionerne til f ux)) g x), og sætningen er vist. Sætning 4.4 kan anvendes på følgende måde. Eksempel 4.5 Her beregnes det ubestemte integral 3e x e x + 5) 2 dx. Først sættes ux) = e x + 5. Så er u x) = e x og integralet kan omskrives på følgende måde 3e x e x + 5) 2 dx = 3u x) ux) 2 dx = 3ux) 2 u x)dx. Man kan nu bruge sætning 4.4, hvor funktionen f ux)) er 3ux) 2. En stamfunktion til 3u 2 er u 3, dvs. 3ux) 2 u x)dx = ux) 3 + k = e x + 5) 3 + k. Det sidste lighedstegn følger af, at ux) var sat lig med e x + 5.

58 58 4 Infinitesimalregning I eksemplet ovenfor erstatter man udtrykket e x + 5 med u, man taler om, at man substituerer. Fremgangsmåden kaldes derfor også integration ved substitution. En lidt mere uformel, men måske mere overskuelig måde at skrive det op på er den følgende. 5 Notationen du kan ses som en forkortelse for u x) dx. Eksempel 4.6 Her beregnes igen det ubestemte integral 3e x e x + 5) 2 dx. Først sættes u = e x + 5. Herved bliver 5 du = e x dx. Substituerer man nu u og du ind i integralet, får man 3e x e x + 5) 2 dx = 3e x + 5) e x dx = 3u 2 du. Dette integral kan nemt beregnes ved opslag, og man får så 3u 2 du = u 3 + k = e x + 5) 3 + k, hvor man ved det sidste lighedstegn har substitueret u tilbage til e x + 5. Eksempel 4.7 Integralet 2 lnx) x dx bestemmes ved at sætte u = lnx), du = x dx. Integralet kan nu beregnes ved substitution 2 lnx) x dx = 2 lnx) x dx = Substitueres tilbage får man 2u du = u 2 + k = lnx) 2 + k. 2u du = u 2 + k. Tabel 4.: Det ubestemte integral af cos og sin. f x) f x)dx cosx) sinx) sinx) + k cosx) + k De næste to eksempler involverer de trigonometriske funktioner cos og sin. Deres ubestemte integraler kan ses i tabel 4.. Vil man overbevise sig om, at de ubestemte integraler er korrekte, kan man differentiere højre kolonne for at se, om det giver den venstre. Eksempel 4.8 I dette eksempel bestemmes integralet 6x cosx 2 )dx. Sætter man u = x 2, du = 2x dx, bliver integralet til 6x cosx 2 )dx = 3 cosx 2 ) 2x dx = 3 cosu)du = 3 sinu) + k. Nu mangler man blot at indsætte u = x 2, og man får 6x cosx 2 )dx = 3 sinx 2 ) + k.

59 4.4 Omdrejningslegemer 59 Det sidste eksempel i dette afsnit er en smule mere kompliceret end de andre. Her beregnes tanx)dx. Eksempel 4.9 tanx)dx står ikke i tabel 4.. Integralet kan alligevel beregnes, hvis man husker, at tanx) er defineret som tanx) = sinx) cosx), dvs. Foretager man nu substitutionen kan man skrive integralet om til sinx) cosx) dx = sinx) tanx)dx = cosx) dx. u = cosx), du = sinx)dx, cosx) sinx))dx = u du. Dette integral er nemt at beregne. En stamfunktion til u er nemlig lnu), dvs. du = lnu) + k. u Substituerer man tilbage, finder man så, at tanx)dx = lncosx)) + k. 2) 4.4 Omdrejningslegemer Vha. bestemte integraler kan man også beregne rumfanget af et såkaldt omdrejningslegeme. Det er den figur, der fremkommer, når man drejer funktionens graf 360 om en af akserne. Her ses kun på omdrejningslegemer om førsteaksen. På figur 4.3 kan man se omdrejningslegemet for grafen for en funktion f. Rumfanget af et sådant omdrejningslegeme kan beregnes vha. den formel, der er givet i følgende sætning, som anføres uden bevis. Sætning 4.20 Hvis man drejer grafen for en funktion f x) i intervallet [a;b] 360 om førsteaksen, er rumfanget V af omdrejningslegemet givet ved b V = π f x) 2 dx. a f ) Figur 4.3: Omdrejningslegeme for en funktion f. 2) f Eksempel 4.2 På figur 4.4 ses omdrejningslegemet for funktionen 4 ) f x) = x + x, x > 0 i intervallet [;4]. Figur 4.4: Omdrejningslegeme for f x) = x + x i intervallet [;4].

60 60 4 Infinitesimalregning Rumfanget V af dette omdrejningslegeme kan da beregnes vha. sætning 4.20: 4 4 V = π f x) 2 dx = π x + ) 2 x dx. Idet funktionsudtrykket skal kvadreres, bliver udregningerne lidt besværlige, og man kan derfor overlade dem til et CAS-værktøj, hvorved man finder at 4 V = π x + ) 2 x dx = 49 4 π 38,48. r 2) f r ) Eksempel 4.22 Grafen for funktionen g x) = r 2 x 2, r x r er en halvcirkel med centrum i 0;0) og radius r. Grafens omdrejningslegeme er derfor en kugle med centrum i 0;0) og radius r. Vha. sætning 4.20 kan man derfor bestemme rumfanget af en kugle. Rumfanget er Figur 4.5: Omdrejningslegemet for funktionen f x) = r 2 x 2 er en kugle. r V = π r ) 2 r r 2 x 2 dx = π r 2 x 2 )dx = π [r 2 x 3 x3] r r r = π r 3 3 r 3) r 3 3 r )3)) = 4 3 πr 3, som er den velkendte formel for en kugles rumfang. 4.5 Kurvelængder Man kan også bestemme længden af en kurve vha. integralregning. Følgende sætning, som anføres uden bevis, viser hvordan. 2) Sætning 4.23 Længden l af grafen for en differentiabel funktion f x) fra punktet a; f a)) til punktet b; f b)) er givet ved l = b a + f x) 2 dx. l 3 ) Figur 4.6: Kurvelængden l i intervallet [;3] af grafen for f x) = x2 4 lnx) + 2. Eksempel 4.24 På figur 4.6 kan man se grafen for f x) = x2 4 lnx) + 2. Mellem x = og x = 3 er der fremhævet et stykke af grafen. Længden l af dette stykke kan man finde vha. sætning 4.23.

61 4.5 Kurvelængder 6 Ifølge sætningen er længden af l l = 3 + f x) 2 dx = 3 x + 2 ) 2 dx. x Dette udtryk er så vanskeligt, at det ikke kan beregnes analytisk, og man overlader derfor arbejdet til et CAS-værktøj, hvorved man finder l = 3 x + 2 ) 2 dx = 2,36. x

62

63 Differentialligninger 5 I en almindelig ligning, f.eks. 2x + 3 = x 2 5, er den ubekendte x et tal. Løsningerne til ligningen er de tal x, som får ligningens venstre og højre side til at være lig med hinanden. I en differentialligning er den ubekendte ikke et tal, men derimod en funktion. Man kan lave de samme regneoperationer med funktioner, som man kan med tal; men derudover kan man også differentiere og integrere). En differentialligning er derfor en ligning, der indeholder en funktion, f.eks. f samt funktionens afledte f. Eksempler på differentialligninger kunne være Den viste ligning har i øvrigt løsningerne x = 2 og x = 4. y = 2x 5.) y = 2y 5.2) y = y 2x 5.3) y = sinx) y 5.4) y = 3y. 5.5) Ligningerne 5.) 5.4) er alle førsteordens differentialligninger, mens ligningen 5.5) er en andenordens differentialligning, fordi ligningen indeholder y. En differentiallignings orden beskriver altså, hvor mange gange den ubekendte højst) er differentieret i ligningen. I det følgende ses kun på førsteordens differentialligninger. Når man skriver differentialligninger op, anvender man i øvrigt ofte notationen dy dx i stedet for y. F.eks. kan ligningerne 5.4) og 5.5) også skrives som dy dx = sinx) y og d 2 y dx 2 = 3y. 5. Partikulære og fuldstændige løsninger En løsning til en differentialligning er, som nævnt ovenfor, en funktion. Det er ikke altid så let at løse en differentialligning, men i bestemte tilfælde kan man udlede en løsningsformel. Dette er beskrevet i senere afsnit i kapitlet. 63

64 64 5 Differentialligninger Her ses i stedet på, hvordan man kan afgøre, om en given funktion er en løsning. Først kommer dog et enkelt eksempel, hvor der repeteres, hvordan man afgør om en given værdi er løsning til en almindelig ligning. Eksempel 5. Her er givet ligningen x 2 5 = x + 7. Er x = en løsning til ligningen? For at finde ud af det, sættes x = på ligningens venstre og højre side: Venstre side: 2 5 = 5 = 4 Højre side: + 7 = 8. Da venstre og højre side ikke giver samme tal er x = ikke en løsning. Er x = 4 en løsning til ligningen? For at finde ud af det, sættes x = 4 på ligningens venstre og højre side: Venstre side: = 6 5 = Højre side: =. 2 Bemærk, at blot fordi man har fundet én løsning, så har man ikke nødvendigvis fundet dem alle. Ligningen i eksemplet har faktisk yderligere en løsning, nemlig x = 3. Da venstre og højre side giver samme tal er x = 4 en løsning. 2 Hvis man skal afgøre, om en given funktion er løsningen til en bestemt differentialligning, gør man faktisk præcist det samme. Man sætter funktionsudtrykket ind på differentialligningens venstre og højre side, og ser om det giver samme resultat. Eksempel 5.2 Her undersøges, om funktionen f x) = e x + x + er en løsning til differentialligningen y = y x. Den venstre side af ligningen er y. Sætter man udtrykket for f x) ind på y s plads, får man y = f x) = e x = e x +. Den højre side af ligningen er y x. Sætter man her f x) ind, får man y x = f x) x = e x + x + ) x = e x +. 3 Hvis to funktioner er lig hinanden, så skal de være lig hinanden for alle x, og ikke blot for enkelte værdier af x. Venstre og højre side er altså lig hinanden for alle x, 3 dvs. den givne funktion f er en løsning til differentialligningen. Differentialligninger har aldrig kun én løsning. De har i virkeligheden uendeligt mange. En enkelt løsning som den, der er fundet i eksempel 5.2, kaldes en partikulær løsning. Differentialligningen y = y x, har i virkeligheden alle funktioner af typen f x) = c e x + x +, hvor c er en konstant, som løsning. Dette kaldes den fuldstændige løsning til differentialligningen. Ved at prøve efter, kan man altså være heldig at finde en partikulær løsning, men man finder ikke den fuldstændige løsning til ligningen.

65 5.2 Tangenter og hældningsfelter Tangenter og hældningsfelter Grafen for en partikulær løsning til en differentialligning kaldes en løsningskurve. Selv om man ikke kender den fuldstændige løsning til en differentialligning, kan man alligevel sige noget om, hvordan løsningerne ser ud. Det er nemlig muligt, at undersøge de forskellige løsningskurver. Differentialligningen giver sammenhængen mellem y, y og x, dvs. man kan for ethvert punkt i koordinatsystemet beregne y ud fra punktets koordinater. Det betyder, at hvis man kender et punkt x 0 ; y 0 ), som en løsningskurve skal gå igennem, kan man beregne tangenthældningen i dette punkt og derved også tangentens ligning. Eksempel 5.3 Differentialligningen y = x y, y 0, har en løsningskurve, der går gennem punktet 6; 3). Tangenten til løsningskurven i dette punkt, kan findes ud fra differentialligningen. Man sætter blot koordinaterne x 0 = 6 og y 0 = 3 fra punktet ind i ligningen. Herved får man y = 6 3 = 2. Tangenten i punktet 6;3) har altså hældningen 2. Tangentens ligning kan nu findes ved at sætte de kendte værdier ind i formlen for en ret linje gennem et punkt y = ax x 0 ) + y 0 ), og man får y = 2x 6) + 3 = 2x 9. Den løsning til differentialligningen, hvis graf går gennem 6;3) har altså tangenten y = 2x 9 i dette punkt. Hvis man har en differentialligning er det muligt at beregne tangenthældningen til løsningskurven i ethvert punkt i koordinatsystemet. Herved kan man beregne en masse såkaldte linjeelementer: Definition 5.4 Hvis grafen for en funktion f går gennem punktet x 0 ; y 0 ), og tangenthældningen i dette punkt er a = f x 0 ), så går grafen gennem linjeelementet x 0 ; y 0 ; a). Et linjeelement x 0 ; y 0 ; a) tegnes i et koordinatsystem som et lille linjestykke med hældning a gennem punktet x 0 ; y 0 ). Dvs. et linjeelement tegnes som et lille stykke af tangenten i punktet x 0 ; y 0 ). Eksempel 5.5 Her beregnes linjeelementerne for differentialligningen y = y x i en række punkter.

66 66 5 Differentialligninger ;3) : y = 3 = 3 dvs. linjeelementet er ;3;3) 2;2; ) 2) ;3;3) 3; 2; 2 3 ) 4; 3; 3 4 ) ) Figur 5.: Fire linjeelementer for differentialligningen y = y x. 2) 2;2) : y = 2 = 2 dvs. linjeelementet er 2;2; ) 3; 2) : y = 2 3 = 2 3 dvs. linjeelementet er 3; 2; 2 3 ) 4; 3) : y = 3 4 = 3 4 dvs. linjeelementet er 4; 3; 3 4 ) På figur 5. ses de fire linjeelementer indtegnet i et koordinatsystem. Hvis man beregner et linjeelement i alle punkter, finder man det, man kalder et hældningsfelt. Tegner man hældningsfeltet kan man få et indtryk af, hvordan løsningskurverne forløber. På figur 5.2 ses hældningsfeltet for differentialligningen y = 3y x, og på figur 5.3 ses hældningsfeltet igen, denne gang med to løsningskurver indtegnet. 5.3 Typer af differentialligninger ) Det er ikke muligt at give en generel metode, der virker på alle differentialligninger. Der er dog bestemte typer af differentialligninger, der dukker op i forbindelse med en lang række vækstmodeller, som man kan udlede løsningsformler for. Det gælder bl.a. andet for differentialligningerne Figur 5.2: Hældningsfeltet for differentialligningen y = 3y x. 2) y = g x) 5.6) y = ay y = b ay y + g x) y = hx) y = aym y) y = g x) hy), ) hvor a, b og M er konstanter, og g og h er funktioner. Ligningen 5.6) er specielt simpel, idet y slet ikke indgår i ligningen. Den kan derfor løses blot ved at bestemme en stamfunktion til g. De resterende ligninger gennemgås i de følgende afsnit. Hvordan ligningen 5.6) løses ses i dette eksempel: Figur 5.3: Hældningsfeltet for differentialligningen y = 3y x samt to af løsningskurverne. Eksempel 5.6 Der er givet differentialligningen y = 2x + 3. Da man kender y som funktion af x, kan man bestemme y som y = 2x + 3)dx = x 2 + 3x + c,

67 5.4 Eksponentiel vækst 67 hvor c er en konstant. Den fuldstændige løsning til ligningen er altså givet ved funktionerne f x) = x 2 + 3x + c. Hvis man leder efter en partikulær løsning, bliver man nødt til at kende et punkt på løsningskurven, således at man kan bestemme værdien af konstanten c. Det vil altså sige, at de to spørgsmål og»find den løsning til differentialligningen y = 2x +3, hvis graf går gennem punktet P3,7).Bestem den stamfunktion til f x) = 2x + 3, hvis graf går gennem punktet P3,7).«faktisk går ud på det samme. 5.4 Eksponentiel vækst I dette afsnit ses på differentialligningen y = ay. Denne ligning udtrykker at væksthastigheden af en given størrelse y er proportional med størrelsen selv. Det vil altså sige, at hvis y f.eks. bliver dobbelt så stor, vokser den også dobbelt så hurtigt. Denne type differentialligning kan bruges til at beskrive en masse fænomener, f.eks. populationsvækst og radioaktivt henfald.[5, 6] En måde at visualisere dette på kan ses på figur 5.4. Her er y afsat ud ad førsteaksen og y ud ad andenaksen. Som det fremgår af figuren, bliver væksthastigheden y større og større, jo større y bliver. Det viser sig, at denne differentialligning har en simpel løsning, der fremgår af denne sætning: y y Sætning 5.7 Differentialligningen y = ay, Figur 5.4: Visualisering af differentialligningen y = ay. hvor a er en konstant, har den fuldstændige løsning hvor c er en vilkårlig konstant. y = c e ax, Bevis Først omskrives ligningen til y ay = 0 y + a)y = ) Ser man nu på venstresiden kunne det godt ligne resultatet af differentiation af et produkt. 4 Ideen er nu, at gange med en funktion, således at 4 Husk, at produktreglen siger, at f g ) = f g + f g.

68 68 5 Differentialligninger venstresiden af 5.7) kan omskrives vha. produktreglen. Ganger man en vilkårlig funktion g x) på venstresiden, får man y + a)y) g x) = y g x) + y a)g x). Dette svarer til differentiationen af et produkt, hvis blot man kan vælge g x), sådan, g x) = a g x). Det viser sig at funktionen g x) = e ax opfylder dette krav. Man ganger derfor ligningen 5.7) med e ax på begge sider, hvorved man får y + a)y ) e ax = 0 e ax y e ax + y ae ax ) = 0 y e ax ) = 0. Ud fra den sidste ligning, kan man konkludere, at y e ax er konstant, dvs. y e ax = c y = c e ax, hvor c er en konstant. Som man kan se af sætningen, fører denne type differentialligning altså til eksponentiel vækst. De følgende eksempler viser, hvordan man bruger formlen i sætning 5.7. Eksempel 5.8 Differentialligningen y = 3y, har den fuldstændige løsning y = c e 3x. Eksempel 5.9 Her bestemmes den løsning f til differentialligningen y = 2y, der opfylder f 0) = 34. Den fuldstændige løsning til ligningen er givet ved y = c e 2x. Idet funktionen f opfylder f 0) = 34 er Den søgte løsning er altså c e 2 0 = 34 c = 34 c = 34. f x) = 34e 2x. Eksempel 5.0 Her findes den løsning f t) til differentialligningen y = 5y,

69 5.5 Forskudt eksponentiel vækst 69 hvis graf går gennem punktet 3;7). Den fuldstændige løsning er givet ved y = c e 5t. Konstanten c beregnes ved at indsætte punktet 3;7) i denne ligning, og derfor er løsningen c e 5 3 = 7 c = 7 e 5, f t) = 7 e 5 e5t = 7e 5t Forskudt eksponentiel vækst I dette afsnit ses på differentialligninger af typen y y = b ay, hvor a og b er konstanter. På figur 5.5 ses, hvordan væksthastigheden afhænger af størrelsen på y. Som det ses på figuren er væksthastigheden aftagende, og den bliver faktisk negativ, når y > b a. Det viser sig, at løsningerne til denne ligning er forskudte eksponentielle funktioner, dvs. eksponentielle funktioner, der er parallelforskudt langs andenaksen. b b a y Sætning 5. Differentialligningen Figur 5.5: Væksthastigheden som funktion af y for differentialligningen y = b ay. y = b ay, hvor a og b er konstanter, har den fuldstændige løsning hvor c er en vilkårlig konstant. y = b a + c e ax, Bevis Idéen i dette bevis er den samme som i beviset for sætning 5.7. Man forsøger at finde en funktion, som man kan gange ligningen med, sådan at man kan omskrive vha. produktreglen. Ligningen omskrives derfor på følgende måde: y = b ay y + ay = b Nu viser det sig, at hvis man ganger med e ax på begge sider, kan venstresiden omskrives vha. produktreglen: y + ay ) e ax = b e ax

70 70 5 Differentialligninger y e ax + y a e ax = b e ax y e ax ) = b e ax Nu kan man tage det ubestemte integral på begge sider, herved fås y e ax = b a eax + c, 5 Man udnytter, at e ax e ax = e ax ax = e 0 =. hvor c er en integrationskonstant. Nu ganger man med e ax på begge sider og får 5 ) b y e ax e ax = a eax + c e ax y = b a + c e ax, 2) og sætningen er således bevist. b a ) Figur 5.6: Graferne for nogle funktioner af typen f x) = b a + c e ax. På figur 5.6 ses graferne for nogle funktioner af typen f x) = b a +c e ax. Som man kan se vokser den ene op mod linjen y = b a, mens den anden aftager ned mod linjen. Afhængig af værdien af konstanten c, finder man derfor en løsning, som vokser op mod en øvre grænse eller aftager ned mod en nedre grænse. Eksempel 5.2 Differentialligningen har den generelle løsning y = 8 2y, y = c e 2x = 4 + c e 2x. Den løsning til ligningen, hvis graf går gennem punktet 0;) kan findes ved at sætte disse koordinater ind i ligningen: = 4 + c e 2 0 c = 3, dvs. løsningen bliver f x) = 4 3e 2x. Grafen for denne løsning vil vokse op mod den øvre grænse y = 4. Den løsning, hvis graf går gennem 0,9) opfylder derimod 9 = 4 + c e 2 0 c = 5, dvs. løsningen bliver g x) = 4 + 5e 2x, og grafen for denne løsning vil aftage mod den nedre grænse y = 4.

71 5.6 Den logistiske differentialligning Den logistiske differentialligning Eksponentiel vækst kan, som nævnt ovenfor, benyttes til at modellere forskellige former for populationsvækst. Dog er der intet i den virkelige verden, der kan vokse ubegrænset, idet enhver form for vækst vil have begrænsede ressourcer. Den belgiske matematiker Verhulst publicerede i 838 en artikel, hvor han beskrev følgende model, som han havde fået bekræftet ved at analysere statistikker for befolkningsvækst:[3] dp dt = mp np2. Der er her tale om såkaldt logistisk vækst. Differentialligningen y y = aym y), a > 0, M > 0, 5.8) der er en omskrevet version af den ovenstående, viser sig at føre til funktioner, der i begyndelsen vokser eksponentielt, men derefter nærmer sig en øvre grænse givet ved konstanten M. På figur 5.7 ses y som funktion af y for den logistiske differentialligning 5.8). Differentialligningens højre side er et andengradspolynomium i y. Ganger man ind i parentesen og bytter rundt på leddene, får man nemlig y = ay 2 + am y. Toppunktet for dette andengradspolynomium 6 ligger i y = 2 M. Grafen vender grenene nedad, da koefficienten til y 2 er a, og a > 0. Dvs. væksthastigheden er størst, når y = 2 6Rødderne M. Samtidig kan man se, at væksthastigheden er 0, når y = 0 og når y = M. Hvis der ingen individer er i populationen, eller populationen har sin maksimale størrelse M, så er der altså ingen vækst. Løsningen til ligningen 5.8) er givet i følgende sætning: 2 M M y Figur 5.7: Væksthastigheden som funktion af y for den logistiske differentialligning. i aym y) er 0 og M, og førstekoordinaten til toppunktet befinder sig midt imellem rødderne. Sætning 5.3 Den logistiske differentialligning y = aym y), hvor a > 0 og M > 0 er konstanter, har den fuldstændige løsning y = hvor c er en vilkårlig konstant. M + c e am x, Bevis Differentialligningen omskrives ved at gange ind i parentesen: y = aym y) y = ay 2 + am y. 5.9) Idet der indgår et y 2 på højre side, giver det mening at lede efter en funktion y, der opfylder y = y 2. Dette er opfyldt for y = z. Denne funktion

72 72 5 Differentialligninger 7 Da z er en funktion af x, er der her tale om differentiation af en sammensat funktion: ) y x) = = zx) zx) 2 z x). kan dog ikke være løsningen, idet der står mere på højre side end blot y 2, så den skal modificeres lidt. Man antager derfor, at løsningen er givet ved y = z, hvor z er en funktion af x. Så får man 7 ) y = = z z 2 z. Udtrykkene for y og y som funktion af z kan nu sættes ind i 5.9), og man får ) 2 z 2 z = a + am z z z = a am z. Denne ligning kan løses vha. sætning 5., og man får z = a am + c 0 e am x = M + c 0 e am x, hvor c 0 er en konstant. Nu var z jo defineret ud fra y = z, dvs. y = M + c 0 e. am x Forlænger man brøken på højre side med M kan dette omskrives til y = M + c e am x, hvor c = Mc 0 blot er en ny vilkårlig konstant. M 2) c < 0 c > 0 Løsningerne til ligningen y = aym y) er altså funktioner af typen y = M + c e am x. På figur 5.8 ses to eksempler på, hvordan graferne for sådanne funktioner ser ud. Hvis konstanten c > 0, er grafen en karakteristisk s-formet kurve, som vokser op mod linjen y = M. Er c < 0 aftager grafen derimod ned mod denne linje. ) Eksempel 5.4 Differentialligningen y = 0,3y820 y), Figur 5.8: Grafer for logistisk vækst. kan løses vha. sætning 5.3. I ligningen er a = 0,3 og M = 820, dvs. den fuldstændige løsning til differentialligningen er y = c e 0,3 820x = c e 246x. Eksempel 5.5 Størrelsen af en population N opfylder differentialligningen dn = 0,000N 4000 N ), dt

73 5.7 Panserformlen 73 hvor N er antal individer og tiden t måles i døgn. Til tiden t = 0 er populationens størrelse N = Differentialligningen har den fuldstændige løsning N t) = = + c e 0, t + c e,4t. Konstanten c kan nu bestemmes ud fra oplysningen om, at N 0) = 2000, dvs = 2000 c = c e,4 0 Populationens størrelse kan altså beskrives ved funktionen N t) = e,4t. Den logistiske differentialligning forekommer også af og til på formen y = yb ay). Denne form svarer fuldstændigt til formen 5.8), hvor b = am. Derfor gælder følgende sætning, som ikke bevises: Sætning 5.6 Differentialligningen y = yb ay), hvor a > 0 og b > 0 er konstanter, har den fuldstændige løsning y = hvor c er en vilkårlig konstant. b a + c e bx, 5.7 Panserformlen En differentialligning af formen y + g x) y = hx) 5.0) kaldes en lineær førsteordens differentialligning. Ligningerne y = ay og y = b ay, som er blevet behandlet ovenfor, er også af denne form. Her er funktionerne g x) og hx) konstante, hvilket gør ligningen nemmere at løse. Det viser sig dog, at man kan udlede en generel løsningsformel, som passer på enhver ligning af formen 5.0). Der gælder nemlig følgende sætning:

74 74 5 Differentialligninger Sætning 5.7 Panserformlen) Den lineære, førsteordens differentialligning y + g x) y = hx) har den generelle løsning y = e Gx) hx)e Gx) dx, hvor G er en stamfunktion til g. Bevis Hvis Gx) er en stamfunktion til g x), så er e Gx) ) = e Gx) G x) = e Gx) g x). Ganger man nu med e Gx) på begge sider af differentialligningen, får man y + g x) y ) e Gx) = hx) e Gx) y e Gx) + y e Gx) g x) = hx)e Gx) 8 y e Gx) + y e Gx)) = hx)e Gx). 8 Idet, det lige er vist, at e Gx) g x) = e Gx)). Ligningens venstre side kan nu omskrives vha. produktreglen, og man får y e Gx) ) = hx)e Gx) y e Gx) = hx)e Gx) dx y = e Gx) hx)e Gx) dx y = e Gx) hx)e Gx) dx. Hermed er sætningen bevist. Formlen i sætning 5.7 kaldes panserformlen. Det er en løsningsformel, der kan bruges på et væld af forskellige differentialligninger. Der er dog det problem, at det integral, der indgår i formlen, ikke altid kan løses og så er man jo lige vidt. I nogle tilfælde kan det dog lade sig gøre, hvilket fremgår af følgende eksempler: Eksempel 5.8 Differentialligningen y + 2x y = 6x kan løses vha. panserformlen. Her er g x) = 2x, Gx) = x 2 og hx) = 6x. Indsættes det i formlen, får man y = e x2 6x e x2 dx ) = e x2 3e x2 + c = 3 + c e x2.

75 5.8 Separation af variable 75 Eksempel 5.9 I differentialligningen er y + cosx) y = 4cosx) g x) = cosx), Gx) = sinx) og hx) = 4cosx). Indsættes det i formlen, får man y = e sinx) 4cosx)e sinx) dx = e sinx) 4e sinx) + c ) = 4 + c e sinx). Hvis man vil finde den løsningskurve, der går gennem punktet 0;6), indsætter man punktets koordinater i ligningen, og får 6 = 4 + c e sin0) c = 2, dvs. den partikulære løsning, hvis graf går gennem 0;6) er f x) = 4 + 2e sinx). 5.8 Separation af variable Visse typer af differentialligninger viser sig at kunne løses vha. en teknik, der kaldes separation af variable. Navnet henviser til, at man løser differentialligningen ved at separere den uafhængige og den afhængige variabel, således at disse står på hver sin side af ligningen. Eksempel 5.20 Hvis man vil løse differentialligningen y = x y gør man følgende: Først skrives differentialligningen op på formen dy dx = x y. Dernæst isolerer man alle led med y på venstre side og alle led med x på højre side, dy = x dx. y Til sidst integrerer man på begge sider 9 y dy = x dx lny) = 2 x2 + k. Løsningen til differentialligningen findes da ved at isolere y 9 Det er kun nødvendigt at tilføje en integrationskonstant k på den ene side, når man udfører integrationen, idet man altid vil kunne samle konstanter, der er lagt til, på den ene side af ligningen. y = e 2 x2 +k = e k e 2 x2 = c e 2 x2. Den fuldstændige løsning til differentialligningen er altså f x) = c e 2 x2, hvor c er en konstant som er lig med e k ).

76 76 5 Differentialligninger 0 I virkeligheden er dy jo en anden måde dx at skrive y på. Det er altså et samlet symbol og ikke en brøk. I eksempel 5.20 er g x) = x og hy) = y. 2 De to funktioner skal være kontinuerte, og hy) 0. Der er flere problemer i eksempel 5.20 ovenfor. Det største problem er, at man regner med dy dx, som om det var en almindelig brøk.0 For at kunne argumentere for metoden, bliver man derfor nødt til at gå lidt mere matematisk til værks. Differentialligningen i eksempel 5.20 er et specialtilfælde af ligningen y = g x)hy). Hvis de to funktioner g og h opfører sig tilstrækkeligt pænt 2 så gælder følgende sætning, Sætning 5.2 Løsningen til differentialligningen y = g x)hy) er også løsning til ligningen hy) dy = g x)dx. Bevis Man kan omskrive ligningen på følgende måde y = g x)hy) hy) y = g x) Nu integrerer man mht. x på begge sider hy) y dx = g x)dx. 3 Husk, at f g x)) g x)dx = f g )dg. Den højre side af denne ligning svarer til integration med substitution, 3 så ligningen kan omskrives til hy) dy = g x)dx. Hermed er sætningen bevist. Her følger til sidst et par eksempler på, hvordan man bruger sætning 5.2. Eksempel 5.22 For at løse differentialligningen y = e x y 2, anvendes sætning 5.2. Det ses, at g x) = e x og hy) = y 2.

77 5.9 Opstilling af differentialligninger 77 Løsningen til differentialligningen er derfor også løsning til y 2 dy = e x dx. Nu integrerer man på begge sider og løser ligningen, y = ex + k y = e x + k. Løsningen til differentialligningen er derfor f x) = e x +k. Eksempel 5.23 Her findes den løsning til differentialligningen y = y x, hvis graf går gennem punktet 0;7). Ligningen omskrives først til y = x y. Heraf kan man se, at g x) = x og hy) = y, dvs. y dy = x dx lny) = 2 x + k y = e 2 x+k y = e k e 2 x y = c e 2 x, hvor c = e k er en konstant. Da grafen for løsningen skal gå gennem 0;7) er 7 = c e 2 0 = c = c, dvs. den søgte løsning er f x) = 7e 2 x. 5.9 Opstilling af differentialligninger I dette afsnit gennemgås nogle eksempler på, hvordan man kan opstille differentialligninger ud fra en sproglig beskrivelse. Eksempel 5.24 En population vokser således at væksthastigheden er proportional med populationens størrelse. Proportionalitetskonstanten er 0,003 døgn. Kalder man populationen for N er væksthastigheden N. Beskrivelsen af væksten siger altså, at N er proportional med N, dvs. N = kn. Proportionalitetskonstanten k er kendt, dvs. beskrivelsen kan oversættes til differentialligningen N = 0,003N.

78 78 5 Differentialligninger Eksempel 5.25 En tændt vandhane fylder et badekar. Der løber vand ned i karret med en hastighed på 0,5 L/s. Bundproppen er dog utæt, så der løber vand ud af karret med en hastighed, der er proportional med mængden af vand i karret. Proportionalitetskonstanten er 0,00 s. Hvis denne beskrivelse skal oversættes til en differentialligning, skal man opstille en ligning for væksthastigheden. Kalder man mængden af vand i badekarret for v, kan man se, at væksthastigheden v er differensen af det vand der løber ind i karret, og det vand der løber ud. Vandet løber ind med en hastighed på 0,5 L/s. Det løber ud med en hastighed, der er proportional med mængden af vand, dvs. v. Altså løber der vand ud med en hastighed på 0,00v. Sætter man dette sammen, når man frem til følgende differentialligning v = 0,5 0,00v, hvor 0,5 altså beskriver den konstante tilstrømning af vand, og leddet 0,00v beskriver den mængde vand, der løber ud af karret pr. sekund. Eksempel 5.26 I en model er antallet N af individer i en population en funktion af tiden t målt i døgn). Væksthastigheden af N til tiden t er proportional med produktet af antallet af individer og forskellen på 300 og antallet af individer. Væksthastigheden er 5 døgn, når der er 300 individer i populationen. I beskrivelsen dukker disse størrelse op: Væksthastigheden, dvs. N, antallet af individer, dvs. N, og forskellen på 300 og antallet af individer, dvs. 300 N. Væksthastigheden N er proportional med produktet af de sidste to størrelser, dvs. N er proportional med N 300 N ). Altså gælder der N = kn 300 N ), hvor k er en proportionalitetskonstant. Størrelsen af k kan bestemmes ud fra den sidste oplysning i beskrivelsen. Her står nemlig, at N = 5, når N = 300. Indsættes dette i ligningen, får man 5 = k ) k = 0, Altså kan beskrivelsen oversættes til differentialligningen N = 0,00005N 3200 N ).

79 Vektorer i rummet 6 z I dette kapitel udvides resultaterne fra kapitel til vektorer i rummet, dvs. i tre dimensioner. Før man kan gøre det, er det dog nødvendigt først at beskrive, hvordan koordinatsystemer i tre dimensioner ser ud. x Det sædvanlige koordinatsystem i planen består af to akser x-aksen og y-aksen) der står vinkelret på hinanden. Akserne er orienteret sådan, når man bevæger sig fra x-aksen mod y-aksen, foregår bevægelsen mod uret. y For at danne et tredimensionalt koordinatsystem tilføjer man en tredje akse, z-aksen, der står vinkelret på de to andre. Men her skal man træffe et valg, for man kan gå vinkelret på x og y i to forskellige retninger. Her vælger man at orientere koordinatsystemet, så det er et såkaldt højresystem. På figur 6. kan man se orienteringen af akserne: Lægger man pegefingeren på højre hånd i x-aksens retning og langfingeren i y-aksens, så vil tommelfingeren pege i z-aksens retning. Figur 6.: Et højresystem. z P3; 2;4) 4 Et punkt P i rummet har tre koordinater Px; y; z), som tildeles på fuldstændigt samme måde, som man tildeler koordinater til et punkt i planen. På figur 6.2 ses punktet P3; 2;4) indtegnet i et tredimensionalt koordinatsystem. Hvert par af akser definerer en plan i det tredimensionelle koordinatsystem. De punkter, hvor z-koordinaten er 0, er punkter i den sædvanlige x y-plan. Mens de punkter, hvor enten x- eller y-koordinaten er 0 ligger i hhv. y z- og xz-planen se figur 6.3). 2 3 x y Når nu punkter i rummet er defineret, så er det muligt direkte at udvide mange af definitionerne for vektorer i planen til vektorer i rummet. En vektor defineres derfor som en størrelse, der har længde og retning. Blot skal man her være opmærksom på, at retningen nu er i tre dimensioner, dvs. der er mange flere muligheder. Figur 6.2: Punktet P3; 2;4). y z-planen xz-planen z Idet vektorer defineres på samme måde i rummet som i planen, kan man også definere summen af to vektorer og differensen mellem dem på fuldstændigt samme måde. Tildelingen af koordinater foregår også på fuldstændigt samme måde se definition 6.5). En hel række sætninger kan derfor bevises på fuldstændigt samme måde som de tilsvarende sætninger i kapitel, og de bevises derfor ikke i dette kapitel. Der gælder bl.a. følgende 3 sætninger: x y-planen x y 79 Figur 6.3: x y-, xz- og yz-planen.

80 80 6 Vektorer i rummet Sætning 6. Hvis # a, # b og # c er vektorer gælder. # # # a + b = b + # a. den kommutative lov) 2. # a # ) + b + # c = # # b ) a + + # c. den associative lov) Sætning 6.2 Indskudssætningen) Hvis A, B og C er tre punkter i planen, så er # AB = AC # + C # B. Sætning 6.3 Hvis # a og # b er vektorer, og t og s er tal, så gælder. ) # a = # a. 2. t + s) # a = t # a + s # a. 3. t s) # a = t s # a ). 4. t # a # ) + b = t # a + t # b. 6. Vektorkoordinater i rummet Ligesom i planen kan en vektor tildeles koordinater ved at se på den som en sum af vektorer, der er parallelle med enhedsvektorer i koordinatsystemet. Før dette kan gøres, har man derfor følgende definition: a z # e z z Definition 6.4 I et sædvanligt højresystem er # e x en enhedsvektor i x- aksens retning, # e y en enhedsvektor i y-aksens retning og # e z en enhedsvektor i z-aksens retning. x a x # e x # e z # a # e x # e y a y # e y y På figur 6.4 ses vektoren # a, som er summen af tre vektorer, der hver især er parallelle med en enhedsvektor for en af akserne. Dette giver anledning til følgende definition: Definition 6.5 Hvis der for vektoren # a gælder, at Figur 6.4: Vektoren # a er en sum af vektorer, der er parallelle med enhedsvektorerne # e x, # e y og # e z. # a = ax # e x + a y # e y + a z # e x, siger man, at den har koordinaterne a x, a y og a x, og skriver a x # a = a y. a z

81 6. Vektorkoordinater i rummet 8 Der gælder lige som for vektorer i planen følgende regneregler, der kan bevises på samme måde som den tilsvarende sætning i kapitel : Sætning 6.6 Hvis der er givet to vektorer # a og # b og et tal t; og a x # a = a y a z så gælder der. t # t a x a = t a y. t a z a 2. # # x + b x a + b = a y + b y. a z + b z a 3. # # x b x a b = a y b y. a z b z og b # x b = b y, b z Når man regner med vektorkoordinater i rummet, gælder der følgende sætning om vektorers længde, der kan ses som en udvidelse af Pythagoras sætning: Sætning 6.7 Hvis vektoren # a har koordinaterne # a = a y, så er a z a x z # a = a 2 x + a 2 y + a 2 z. # a # a Bevis På figur 6.5 ses vektoren # a tegnet ind i et koordinatsystem. I x y-planen ses en retvinklet trekant med sidelængderne a x og ay, dvs. længden af hypotenusen d kan beregnes vha. Pythagoras sætning: d 2 = a 2 x + a2 y. Men stykket d er også katete i den retvinklede trekant, hvor # a er hypotenuse. Her er længden af den anden katete a z, dvs. # a 2 = d 2 + a 2 z = a2 x + a2 y + a2 z, x d ay a z a x Figur 6.5: Længden af en vektor kan beregnes vha. koordinaterne a x, a y og a z. Man tager den numeriske værdi af koordinaterne for at finde længden, idet koordinaterne kan være negative. y og derfor er # a = a 2 x + a 2 y + a 2 z.

82 82 6 Vektorer i rummet x O z # O A Figur 6.6: Stedvektoren # OA til punktet A. A y Begyndelsespunktet i rummet er lige som i planen origo, som er det punkt hvor akserne krydser hinanden. Dette punkt har i rummet koordinaterne O0;0;0). Ud fra dette punkt kan man lige som i planen definere en stedvektor til et punkt A i rummet se figur 6.6): Definition 6.8 Hvis Ax 0 ; y 0 ; z 0 ) er et punkt i rummet, defineres stedvektoren til punktet som x # 0 O A = y 0. z 0 # O A er vektoren fra O0;0;0) til Ax 0 ; y 0 ; z 0 ). En vektor der går mellem punkterne Ax ; y ; z ) og Bx 2 ; y 2 ; z 2 ) har derfor koordinater, der er givet ved følgende sætning: Sætning 6.9 Vektoren AB # mellem punkterne Ax ; y ) og Bx 2 ; y 2 ) har koordinaterne x # 2 x AB = y 2 y. z 2 z Beviset for denne sætning forløber fuldstændigt som beviset for den tilsvarende sætning i kapitel. 6.2 Skalarprodukt Lige som for vektorer i planen, kan man definere skalarproduktet af to vektorer i rummet: Definition 6.0 Hvis de to vektorer # a og # b har koordinaterne a x # a = a y a z og b # x b = b y, b z defineres skalarproduktet af de to vektorer som tallet # a # b = ax b x + a y b y + a z b z. Eksempel 6. Her beregnes skalarproduktet af de to vektorer 3 # a = 5 og 8 # b = 4. 2

83 6.2 Skalarprodukt 83 Skalarproduktet er 3 8 # # a b = 5 4 = ) 2 = Ved at regne med koordinater kan man bevise følgende regneregler: Sætning 6.2 Hvis # a, # b og # c er vektorer i rummet, gælder der. # a # a = # a 2. længde og skalarprodukt) 2. # # # a b = b # a. den kommutative lov) 3. # # b ) a + # c = # a # b + # a # c. 4. # a # ) + b # c = # a # c + # b # den distributive lov) c. 5. # a # ) + b # a # ) + b = # a 2 # 2 + b + 2 # # a b. 6. # a # ) b # a # ) b = # a 2 # 2 + b 2 # # a b. 7. # a # ) + b # a # ) b = # a 2 # 2 b. Bevis Beviset kan udføres på samme måde som beviset for den tilsvarende sætning.23, dvs. ved regning med koordinater. Her bevises 4 og 6. Hvis # a, # b og # c har koordinaterne a x # a = a y, a z b # x b = b y b z og c x c y, c z så er # a # ) + b # a x + b x c x c = a y + b y c y = a x + b x )c x + a y + b y )c y + a z + b z )c z a z + b z c z = a x c x + b x c x + a y c y + b y c y + a z c z + b z c z = a x c x + a y c y + a z c z + b x c x + b y c y + b z c z = # a # c + # b # c. Hermed er 4 bevist. Desuden får man # a # ) b # a # ) b = a x b x a x b x a y b y a z b z a y b y a z b z = a x b x ) 2 + a y b y ) 2 + a z b z ) 2 = a 2 x + b2 x 2a xb x + a 2 y + b2 y 2a y b y + a 2 z + b2 z 2a zb z = a 2 x + a2 y + a2 z + b2 x + b2 y + b2 z 2a xb x + a y b y + a z b z )

84 84 6 Vektorer i rummet = # a 2 + # b 2 2 # a # b. Dvs. nu er 6 også bevist. Skalarproduktet har på samme måde som i planen en sammenhæng med vinklen mellem de to vektorer. Der gælder altså Sætning 6.3 Hvis v er vinklen mellem vektorerne # a og # b, så er cosv) = # a # b # a # b. Beviset er det samme som beviset for sætning.24. Eksempel 6.4 Her bestemmes vinklen mellem de to vektorer 3 # a = 2 5 og 4 # b =. 0 Først beregnes længden af hver vektor, samt deres skalarprodukt: # a = ) = 38 # b = 4) = 7 # a # b = 3 4) + 2) = 4. # a z Vinklen v mellem de to vektorer er så # v = cos 5 a # ) b # a # = cos 4 = 23,4. b ,4 # b De to vektorer og vinklen kan ses på figur 6.7. y Idet skalarproduktet virker fuldstændigt ligesom i planen gælder der også følgende to sætninger om skalarproduktet og projektion af vektorer: x Figur 6.7: Vinklen mellem vektor # a og # b. Sætning 6.5 Lad v være vinklen mellem de to vektorer # a og # b. Der gælder da. Hvis # a # b > 0, så er 0 v < Hvis # a # b = 0, så er v = 90, dvs. # a # b. 3. Hvis # a # b < 0, så er 90 < v 80.

85 6.3 Vektorprodukt 85 Sætning 6.6 For projektionen # a # b af vektor # a på # b, gælder at # # # a b # a # b = # b, b 2 og # a # b = # a # b #. b Eksempel 6.7 Her ses på de to vektorer 3 # a = 2 5 og 4 # b = 0 fra eksempel 6.4. Her blev det beregnet, at # a # b = 4 og # b = 7, dvs. projektionen # a # b af # a på # b er 56 # a # b = = # a z De to vektorer og projektionen kan ses på figur 6.8. # a # b # b 6.3 Vektorprodukt y For vektorer i planen kan man beregne en determinant. Dette er ikke muligt for vektorer i rummet. Til gengæld findes der for vektorer i rummet endnu et produkt, der kaldes vektorproduktet. Det defineres på følgende måde: x Figur 6.8: Projektionen af # a på # b. Definition 6.8 Lad vektorerne # a og # b have koordinaterne a x b # a = a y # x og b = b y. a z b z Man definerer da vektorproduktet # a # b som vektoren a y b y a z b # # z a b = a z b z a y b z a z b y a x b = a x z b x a x b z. a x b x a x b y a y b x a y b y

86 86 6 Vektorer i rummet Eksempel 6.9 Vektorproduktet af de to vektorer # a = 4 3 og 5 # b = 0 2 er # # a b = = 3 5 ) 2 = Beregner man i stedet # b # a, får man # b # a = = 2 ) 5 3 = ) Dvs. # a # b og # b # a er altså ikke den samme vektor. Eksempel 6.20 Her beregnes vektorproduktet af de to enhedsvektorer # e x og # e y, der har koordinaterne 0 # e x = 0 0 og # e y =. 0 Man får # e x # e y = = = 0 = # e z # a # b # a # b Dette eksempel viser, at # e x # e y er det samme som enhedsvektoren i z-aksens retning. Dvs. # e x # e y er ortogonal med både # e x og # e y, og de tre vektorer # e x, # e y og # e x # e y danner tilsammen et højresystem i den rækkefølge). Det viser sig, at dette rent faktisk gælder generelt for vektorerne # a, # b og # a # b. Der gælder altså følgende: Figur 6.9: Placeringen af vektorerne # a, # b og # a # b i forhold til hinanden. Sætning 6.2 Lad # a og # b være to vektorer i rummet. Der gælder da. # # a b # a og # # # a b b. 2. # # a, b og # # a b danner tilsammen et højresystem. Placeringen af de tre vektorer i forhold til hinanden kan ses på figur 6.9.

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 og maj/juni 13/14 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse 414 Københavns VUC Stx Fag og niveau Matematik A (fra B til A) Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2014/ Januar 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug. 14 jun.

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug. 14 jun. Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug. 14 jun. 16 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Vid Gymnasier HTX Matematik B Morten Käszner og Niels

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Vektorregning for 11. årgang.

Vektorregning for 11. årgang. Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Forår 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Bo Løvschall

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere