Anden halvdel af Hilberts 16. problem

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Anden halvdel af Hilberts 16. problem"

Transkript

1 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Et gammel uløst problem Af Jacob Schach Møller Denne artikel er blevet trukket tilbage fra En række bedømmelsesrapporter med specifikke detaljer viser, at det fremlagte bevis ikke hviler på et solidt grundlag, og at der er behov for yderligere gennemarbejdning. V. Lakshmikantham Ansvarshavende redaktør Det er november Grigori Rozenblum bliver kontaktet af en tidligere student, som henleder hans opmærksomhed på dagens udgave af Expressen. Som matematiker ved Chalmers Tekniske Universitet i Göteborg, specialiseret i disciplinen matematisk analyse, har Rozenblum en naturlig interesse for en artikel, der omhandler et af de kendteste udestående matematiske problemer inden for hans fagområde. Elin Oxenhielm, 22-årig matematikstudent ved Stockholms universitet, har måske løst en af historiens største matematikgåder. I næste uge publicerer hun en artikel, hvori hun udreder en del af Hilberts 16. problem. Expressen, 26/ Rozenblum er russisk, uddannet fra Leningrads Statsuniversitet nu Skt. Petersborg hvorfra han fik sin ph.d. i Efter at havde undervist ved universiteter rundtomkring i Rusland i 20 år, kom han til Aalborg Universitet i 1993 som gæsteprofessor i matematik. Han blev i Aalborg i to år, hvorefter han fik sin nuværende stilling ved Chalmers. Han er ekspert i det matematiske studie af kvantemekaniske systemer. Han er nok mest kendt for en ulighed, kaldet Cwikel-Lieb- Rozenblum-uligheden opkaldt efter Michael Cwikel (Technion, Haifa), Elliott Lieb (Princeton) og ham selv. Uligheden, som indgik i hans ph.d.-afhandling, sætter en i stand til at beregne et maksimalt antal stabile tilstande, som visse kvantemekaniske systemer kan befinde sig i. Nyheden om gennembruddet bredte sig hurtigt ud over Sveriges grænser, og følgende overskrift er at læse på BBC s hjemmeside: Historisk matematik-gåde løst En 22-årig studerende på universitetet i Stockholm, Elin Oxenhielm, har muligvis løst en del af et af matematikkens største uløste problemer. news.bbc.co.uk 27/ Formålet med dette bidrag er at forklare, hvad Hilberts 16. problem går ud på, og hvorfordetersværtatløse,thideterstadiguløst,somlæserenmåskealleredehar 127

2 Jacob Schach Møller Figur 1: Grigori Rozenblum. udledt af det indledende citat af V. Lakshmikantham, redaktør for tidskriftet Nonlinear Analysis. Men først skruer vi tiden tilbage til år 1900 for at sætte tingene i et historisk perspektiv. Den 8. september 1900 afholdtes den internationale matematikkongres ved Sorbonne i Paris. I anledning af århundredeskiftet havde den tids mest indflydelsesrige tyske matematiker David Hilbert forberedt en liste over 23 problemer, som han så som vigtige udfordringer for det 20. århundredes matematikere. Under kongressen holdt Hilbert en tale, hvori han fremlagde de problemer, han havde identificeret som værende de mest centrale. Hvemafosvilleikkegerneløftesløret,baghvilketfremtidenliggerskjult,ogkasteet blik på de forestående fremskridt i vores videnskab og få indblik i hemmelighederne bag deres udvikling i de kommende århundreder! Hvilke mål vil de kommende generationers førende matematiske ånder stræbe efter at indfri? Hvilke nye metoder og nye kendsgerninger vil de nye århundreder opdage inden for den matematiske tænknings rige, vidtstrakte felt? Figur 2: David Hilbert. Hilbert var født i 1862 i Königsberg nu Kaliningrad og arbejdede som ung ved universitetet i Königsberg, hvor han bestred en stilling som professor fra

3 Anden halvdel af Hilberts 16. problem til I 1895 blev han udnævnt til institutleder for det matematiske institut i Göttingen, som på det tidspunkt var verdens matematikcentrum. Hilbert blev i Göttingen indtil sin død i 1943 under anden verdenskrig. I de sidste år af sit liv måtte han lide den pine at se sit gamle institut blive decimeret til ingenting af nazisternes udrensninger af jødiske videnskabsfolk fra tyske universiteter. Blandt de 23 problemer Hilbert fremlagde ved pariserkongressen, står der i dag tre problemer tilbage som uløste. Deriblandt finder vi Riemann-hypotesen samt problemet refereret til i titlen på denne artikel, nemlig at bestemme en mindste øvre grænse for antallet af såkaldte grænsecykler for plane differentialligninger hørende til polynomielle vektorfelter. For at kunne forstå, hvad problemet handler om, vil vi først forklare, hvad det er for nogle størrelser, der indgår i formuleringen af problemet. Første stop på vejen er polynomier af en og to variable samt deres rødder. Ved et polynomium af grad n, i en variabel x, forstår vi en funktion p =p n på formen p(x)=a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0. Her era 0,a 1,...,a n reelle tal, der bestemmer polynomiet. Dog skala n være forskellig fra nul, førend vi kalder p et n te-gradspolynomium. Her er nogle eksempler på polynomier af grad gående fra n=0 til n=3: p 0 (x)=1, p 1 (x)=x, p 2 (x)=x 2 x, p 3 (x)=x 3 x. For at formulere og diskutere Hilberts problem skal vi bruge polynomier af vilkårlig orden. Vi reserverer bogstavet p til at betegne polynomier af én variabel og skriver nogle gange p n for et polynomium af grad n. Ved en rod til et polynomium p forstås et reelt tal x, som opfylder, at p(x)=0. Et polynomium af grad n kan have op til og med n reelle rødder. Lad os skriver p for mængden af rødder for et givet polynomium p. I eksemplerne ovenfor har vi R p0 =, R p1 ={0}, R p2 ={0,1}, R p3 ={ 1,0,1}. Her bruger vi symbolet til at betegne den tomme mængde, som udtrykker, at p 0 ingen rødder har. Vi får også brug for polynomier af to variable. Det vil sige funktioner, som til et par af reelle tal x og y tilskriver et nyt reelt tal P(x,y) ud fra en forskrift på formen P(x,y)=a n,m x n y m +a n,m 1 x n y m 1 +a n 1,m x n 1 y m + +a 1,1 xy+a 1,0 x+a 0,1 y+a 0,0. Her er a i,j erne alle reelle tal. Vi kalder P et (n+m) te-gradspolynomium af to variable, hvis a n,m 0. Som eksempler kan læseren tænke på P 1 (x,y)=y, P 2 (x,y)=x xy, P 3 (x,y)=y+(1 x 2 y 2 )x, Q 1 (x,y)= x, Q 2 (x,y)=xy y, Q 3 (x,y)= x+(1 x 2 y 2 )y. 129

4 Jacob Schach Møller VireservererbogstaverneP ogq tilatbetegnepolynomieraf2variableogskriver nogle gange P n og Q n for at indikere, at polynomierne har grad n. For polynomier af to variable bliver rødderne nu en mængde af punkter i planen, givet ved talpar (x,y), for hvilke P(x,y)=0. Mængden af rødder former det, man kalder algebraiske kurver i planen, og bestemmelsen af strukturen af sådanne algebraiske kurver er faktisk den første del af Hilberts 16. problem, men regnes for at være for diffust formuleret til at tillade en klar løsning. I Figur 3 kan man se rødderne for polynomierne listet ovenfor P1 0 Q1 0 1 P2 0 Q P3 0 Q3 0 1 P2 0 Q Figur 3: Rødder for par af polynomier. ViernuparattilatbeskrivedenførsteingrediensiHilberts16.problem.Givet et par af polynomier P og Q i to variable x og y, kan vi konstruere et vektorfelt i planen på følgende måde. Til et punkt (x,y) i planen knytter vi en pil startende i punktet (x,y) og pegende i retning af (P(x,y),Q(x,y)). Det vil sige at pilens spids sidder i punktet (x+p(x,y),y+q(x,y)). I Figur 7 er vektorfeltet hørende til parret (P 1,Q 1 )afbildet,ifigur4sesparret(p 2,Q 2 ),ogendeligkanvektorfeltethørendetil (P 3,Q 3 )nydesifigur8.betydningenafdeekstrafarverigedekorationerifigurerne vil blive forklaret i det efterfølgende. Af speciel betydning er nulpunkterne for vektorfeltet, dvs. de punkter (x, y), hvor pilen ingen længde har. Denne mængde kalder vie, og den kan bestemmes, hvis vi kender rødderne for både P og Q. Den er nemlig præcist givet vede = R P R Q, mængden af talpar (x,y) som er rødder i både P og Q. I Figur 3 er de fælles rødder for polynomier P og Q markeret med grønt. 130

5 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Vi er nuistandtilat give læseren et første indtrykaf,hvad en løsning til en differentialligningerforetdyr.enløsningkanopfattessomenkurveiplanen,der slanger sig igennem pileskoven i et givet vektorfelt, adlydende to ganske strenge færdselsregler: Fortsæt altidiretning afdenpil,der stritter udfradet punkt,duer kommet til. Om nødvendigt, skift hastighed, så din hastighed matcher længden af pilen, i hvis retning du bevæger dig. For at bestemme en løsning, kaster man sig ned et sted mellem pilene og slanger sig igennem dem, alt imens man minutiøst adlyder reglerne. Det er selvsagt noget, en computer er god til at gøre, og de mere komplicerede illustrationer i denne artikel er da også lavet numerisk. De fælles røddere, for P og Q, svarer til punkter i planen hvor den tilhørende pil har længde nul. Hvis man starter i sådan et punkt og følger færdselsreglerne, kommer man ikke nogen vegne. Den tilhørende løsningskurve er derfor konstant. Punkterne i E kaldes ligevægtspunkter, dvs. reflekterende løsninger der ikke ændrer sig over tid. For at kunne forstå mere præcist, hvad reglerne ovenfor betyder, er vi nødt til at forklare,hvordanman tilskriver en hastighedtilen kurveiplanen(eller i rummet for den sags skyld). At det kræver lidt omtanke illustreres nydeligt af følgende citat fra The Feynman Lectures on Physics Vol 1: Damen bliver standset af politiet, og betjenten kommer hen til hende og siger Sig mig, er du klar over, at du kørte 100 km/t, moster! Det kan ikke passe, hr. betjent, svarer hun, for jeg har kun kørt i syv minutter. Det giver jo overhovedet ingen mening hvordan skulle jeg kunne have kørt100km/t, når jeg ikke engang har kørt i en time? Lad os skrive x for en funktion fra de reelle tal R til de reelle tal R, som til tid t tilskriver en position x(t) på en linje. Man kan tænke på en bil, der kører på en linje, hvor x(t) er bilens position på linjen til tiden t. Lad os sige, at vi læner os ud ad døren, mens vi kører rent hypotetisk naturligvis og sætter en streg på vejen, når klokken er t, og igen efter yderligere s tidsenheder. Vi har således tilbagelagt strækningen x(t+s) x(t), dog har vi muligvis tabt kridtet ud af døren og er blevet nødt til at bakke lidt undervejs for at samle det op. Vi får nu en slags middelhastighed ud ved at dele med s x(t+s) x(t). s Vikantilskrivebilenx enhastighedtiltident vedatsættedenandenstregivejen tættereogtætterepådenførste vedatlades blivemindreogmindre.detkaldes den afledede eller hastigheden af x til tiden t, og vi skriver den som x (t). Hvis x (t) er negativ, er det, fordi vi bakker. Den afledede x af x er således igen en 131

6 Jacob Schach Møller funktion, men vi tænker på den som en hastighed i stedet for en position. Afleder man x igen, får man accelerationen. Bemærk, at det ikke er alle funktioner, der kan tilskrives en afledet, det kræver nemlig, at proceduren med at lade s mod 0 giver mening, og hvorvidt det kan lade sig gøre afhænger af funktionen x. Forestil dig for eksempel, at vi hugger bremsen i, og bilen stopper med et ryk. Da vil vi ikke være i stand til at tilskrive bilen en veldefineret hastighed til det tidspunkt, hvor bremsen brat gik i bund. Vi har valget mellem den hastighed, vi havde umiddelbart, før vi bremsede, og hastigheden nul, umiddelbart efter vi bremsede brat op. Det vil dog aldrig være et problem for de funktioner, vi støder på her, de vil altid kunne tilskrives en afledet. Ved en kurve, eller en bil, i planen forstår vi et par af funktioner (x,y), der til tiden t tilskriver et punkt(x(t), y(t)) i planen. Kurvens afledede, eller hastighed, er således et nyt par af funktioner, nemlig (x,y ). Hastigheden (x (t),y (t)) til tiden t plottes som en pil med base i punktet på kurven(x(t), y(t)), hvortil hastigheden hører. Vores færdselsregler fra før udtrykker altså, at en løsningskurves hastighedspil til enhver tid skal matche præcist med pilen fra vektorfeltet, der sidder på kurvens position. Vores differentialligning kan således skrives som x (t)=p(x(t),y(t)) y (t)=q(x(t),y(t)). Vi leder altså efter kurver i planen, hvis hastighed til enhver given tid t stemmer overens med pilen (P, Q) hørende til punktet (x(t), y(t)). Læseren undrer sig måske over, hvorfra interessen for at finde løsningskurver kommer fra. Differentialligninger, her med to ubekendte x og y, dukker ganske ofte op, når man forsøger at modellere udvikling af systemer i tid inden for naturvidenskab og økonomi. Lad os diskutere et enkelt klassisk eksempel som illustration. Vi forestiller os en ø, hvorpå der bor to dyrearter, en planteædende art lad os sige kaniner og en kødædende art lad os sige ræve. Vores ubekendte funktioner x og y måler populationernes størrelse, x antal kaniner og y antal ræve. Populationerne x og y opfattes som funktioner af tid, og vi er interesseret i at forstå, givet en startpopulation, hvad sker der med øens dyreliv over tid. Bemærk, at man tillader x ogy attagereelleværdier,ikkekunheltal,hvilketbørværeretvisende,sålænge vi har med store populationer at gøre. For at formulere modellen skal vi bruge nogle parametre: a er kaninernes fødselsrate. b er rævenes fødselsrate. c er raten for, hvor mange kaniner rævene kan spise. d er dødsrate for rævene. Vi kan nu opstille en model for udviklingen over tid af populationerne af kaniner x og ræve y. Vi betegner med P(x, y) ændringsraten for kanin-populationen, 132

7 Anden halvdel af Hilberts 16. problem givet en specifik population(x, y). Kaninerne fødes med raten a, som vi modellerer ved ledet ax. De forudsættes kun at dø, i det øjeblik de bliver spist af en ræv. Dødsraten modelleres derfor kun med leddet cxy, reflekterende at ræve spiser flere kaniner (per ræv), når kaninpopulationen er høj. Det giver P(x,y)=ax cxy. Vi skriver Q(x, y) for ændringsraten af rævepopulationen y. Rævene yngler hurtigst,nårdefårmegetatspise,såvisætterfødselsratentilatværebxy.rævene ivoresmodelkanikkesulteihjel,såvisætterdødsratentilatværedy,uafhængigt af kaninpopulationen. Det giver Q(x,y)=bxy dy. Vi ser, at både P og Q er polynomier af grad 2 i variablerne x og y. Vi ser, at mange kaniner giver en høj tilvækst af ræve, men mange ræve giver på den anden side et kraftigt fald i kanin-populationen Der er således indbygget i modellen en balancerende mekanisme. Modellen kaldes rovdyr-byttedyr-modellen eller predator-prey på engelsk. Hvis vi skriver differentialligningen op ved brug af de afledede, får vi x (t)=p(x,y)=ax cxy y (t)=q(x,y)=dxy by. Den samme type modeller, med anden fortolkning af x og y, bruges til at modellere kemiske reaktioner og udbredelse af epidemier for eksempel gonoré i en heteroseksuel population. Som en første analyse af rovdyr-byttedyr-modellen kan vi lede efter stabile populationer, svarende til ligevægtspunkter. Det vil sige populationstalpar x, y, hvor P(x,y)=Q(x,y)=0. Der er præcist to talpar, der giver ligevægtspunkter. Det første er det noget uinteressante x =0,y =0, svarende til en øde ø, og det andet er x= d b og y = a c. I Figur 4 kan man se vektorfeltet plottet med alle konstanterne valgt til at være lig 1. De grønne klatter er ligevægtspunkterne diskuteret ovenfor. Den hvide sektor svarer til ikke-negative populationer. Før vi vender tilbage til Hilberts 16. problem og et gensyn med eksemplet ovenfor, tager vi lige et historisk intermezzo. Da Hilbert formulerede sit 16. problem blev det gjort i lyset af Jules Henri Poincarés ( ) fundamentale bidrag til vores måde at forstå differentialligninger på. Da Poincaré kastede sin kærlighed på emnet, startende med hans ph.d.-afhandling, som blev skrevet under Charles Hermite ved Sorbonne i 1879, bestod den matematiske litteratur om emnet næsten udelukkende af sindrige kogebogsmetoder til at finde eksplicitte løsninger til klasser af ligninger. I løbet af de næste 15 år transformerede han emnet fuldstændigt og grundlagde det, vi i dag kalder den kvalitative analyse af differentialligninger. Man havde længe vidst, at omend alle differentialligninger har løsninger, kan de ikke altid udtrykkes i termer af kendte funktioner såsom polynomier, trigonometriske funktioner, logaritmer og eksponentialfunktioner. Det, Poincaré gjorde, var at påbegynde en systematisk undersøgelse af løsningers generelle geometriske egenskaber, uden et a priori-kendskab til deres form, det vil sige 133

8 Jacob Schach Møller Figur 4: Rovdyr-byttedyr-modellen og dens ligevægtspunkter. uden at have kendskab til en funktionsforskrift! Da Poincaré døde i 1912, havde verden fået kaosteori, redskaber til at konstruere stabile broer og elektroniske kredsløb, metoder til at forstå epidemiers udbredelse og muligheden for at studere stabiliteten af økosystemer. Poincaré var også en central figur i opbygningen af andre emner inden for matematikken, for eksempel den såkaldte algebraiske topologi, hvor han blandt andet lagde navn til Poincaré-formodningen, som er emnet for Andrew Swanns bidrag (Et milleniumproblem er løst: Poincarés formodning om 3-dimensionelle rum) til denne bog. For at forstå den basale struktur af løsninger er det vigtigt altid at holde sig en grundlæggende egenskab for øje: Ethvert punkt i planen ligger på en og kun en løsningskurve. Figur 5: Jules Henri Poincaré. 134

9 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Egenskaben ovenfor er dels et udtryk for, at færdselsreglerne i pileskoven altid tillader en at fortsætte uden at skulle bryde reglerne, dels et udtryk for at færdselsreglerne ikke tillader slinger i valsen de efterlader kun én vej videre. Som en konsekvens kan vi konkludere, at distinkte løsningskurver aldrig krydser hinanden. Det er af speciel vigtighed i planen, da løsningskurver i planen fungerer som hegn, der ikke kan springes over. (I rummet kan man komme ovenover eller nedenunder.) Det er også oprindelsen til Laplaces dæmon; Et intellekt for hvem intet er usikkert. Hvis fysikkens love er givet ved en differentialligning (med rigtig mange ubekendte), og universets tilstand er kendt i mindste detalje til et givet tidspunkt t, vil Laplaces hypotetiske intellekt se fremtiden såvel som fortiden foran sine øjne. Hvis man adlydende færdselsreglerne kører gennem pileskoven og ender med at genfinde sine egne spor, som Dupont og Dupond i Tintin og det sorte guld, er man tvunget til at fortsætte rundt i ring til evig tid. Sådanne løsninger kaldes periodiske og spiller en central rolle for Hilberts 16. problem. Faktisk kan man vise, at i rovdyr-byttedyr-modellen fra eksemplet ovenfor er alle løsninger med positive populationer periodiske. Det vil sige, at populationerne svinger i et stabilt mønster op og ned over tid,så hverken kaniner eller ræve uddør, og de holder hinanden i skak, så der ikke kommer overbefolkning af nogen af arterne. Se Figur Figur 6: Periodiske løsninger i rovdyr-byttedyr-modellen. Poincaré gav navn til en bestemt type af periodiske løsninger, som han kaldte cycle limites eller grænsecykler på dansk. Grænsecykler har den egenskab, at andre løsninger, der forløber tilstrækkeligt tæt på dem, bliver suget ind i tættere og tættere omløb (evt. bagud i tid) om den periodiske løsning. Det fænomen kan vi ikke se i rovdyr-byttedyr-modellen, medmindre vi modificerer vektorfeltet. Lad os i stedet bygge et andet vektorfelt i hånden, hvor vi manuelt kan indbygge Poincarés grænsecykler. Som grundsten i vores byggesæt tager vi den såkaldte harmoniske oscillator givet ved to polynomier af første grad P 1 (x,y) = y og Q 1 (x,y) = x. 135

10 Jacob Schach Møller Den tilhørende differentialligning x (t)=y(t) y (t)= x(t) beskriver en bold, der triller op og ned ad siderne i en parabelformet skål uden friktion. Her er x boldens (vandrette) forskydning i forhold til skålens bund, og y er dens hastighed. Vi har et ligevægtspunkt i (0,0), svarende til en bold, der ligger stille i bunden af skålen. Resten er periodiske løsninger svarende til en bold, der triller ned og op og tilbage igen til evig tid. I Figur 7 kan man se vektorfeltet, dets ligevægtspunkt og fire af de uendeligt mange periodiske løsningskurver, en for hvert valg af radius svarende til det maksimale udsving fra skålens bund Figur 7: Periodiske løsninger for den harmoniske oscillator. Nu modificerer vi vektorfeltet for den harmoniske oscillator, således at løsningen, der løber rundt på cirklen med radius 1, er specielt attraktiv, og andre løsninger bliver trukket hen mod den. Det gør vi ved at bøje pilene uden for enhedscirklen indad, og pilene inden for cirklen bøjes udad. Valget P 3 (x,y)=y+(1 x 2 y 2 )x og Q 3 (x,y)= x+(1 x 2 y 2 )y giver præcist denne effekt. Se Figur 8, hvor det modificerede vektorfelt er illustreret sammen med de nye løsningskurver, der som forventet bliver trukket ind mod, hvad der nu er en grænsecykel løbende med uret rundt om enhedscirklen med konstant fart. Vi kan nu formulere Hilberts 16. problem: For ethvert naturligt tal n. Bestem et naturligt tal H n, således at: (H1) Der findes et par af polynomier af to variable P n og Q n med grad højst n, således at den tilhørende differentialligning har præcist H n grænsecykler. (H2) For alle par af polynomier af to variable P n og Q n med grad højst n har den tilhørende differentialligning højst H n grænsecykler. Tallene H n kaldes for Hilberttal. 136

11 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Figur 8: Grænsecykel for en modificeret harmonisk oscillator. At der overhovedet er Hilberttal H n at bestemme, er slet ikke givet. Det kan jo være, at der er polynomielle vektorfelter med uendeligt mange grænsecykler! Hvis det er tilfældet, kan vi jo aldrig få egenskaben (H2) opfyldt (medmindre vi tillader H n at være uendeligt). Lad os lige overveje, at der faktisk godt kan være uendeligt mange grænsecykler iplanen,hvisvidropperkravetom,atp ogq erpolynomier.tænkpåplanensom et uendeligt skakbræt med kvadratiske felter, der har sidelængde 4. Vi lægger et felt med centrum i(0, 0), hvilket sammen med sidelængden fastlægger placeringen af alle felterne. I feltet indeholdende (0, 0) lader vi vektorfeltet (P, Q) være givet ved (P 3,Q 3 ) fra før. I de andre felter på brættet vælger vi at genbruge (P 3,Q 3 ) men translateret, så det resulterende vektorfelt bliver periodisk svarende til at hvis man tager en 4 kilometers vandretur langs en kompasretning i pileskoven, vil man gense de samme træer, man så, da man startede. Da vil grænsecyklen fra Figur 8 ogsåblivegentaget med en ihver felt pådet uendeligeskakbræt. Heraf ses,atmanaltsåikkekanforventeatsvarepå endsigestille Hilbertsspørgsmål uden at sætte restriktioner på klassen af vektorfelter, der betragtes. At polynomielle vektorfelter giver anledning til endeligt mange grænsecykler er i sig selv et yderst subtilt problem. Et bevis blev publiceret af Henri Dulac ( , fransk matematiker) i 1923, et bevis som stod indtil 1982, hvor Yulij Ilyashenko påpegede en fatal brist i logikken i Dulacs 143 sider lange bevis. Sidenhen er der så udkommet to uafhængige beviser for, at antallet af grænsecykler altid er endeligt. Et af Ilyashenko selv i 1991 og et af Jean Écalle i Som noget ganske udsædvanligt er de begge udkommet på bogform, og ikke som tidsskriftartikler. Vikandogstadigikkeværesikrepå,atetsvarpåproblemetoverhovedetfindes. Det kan jo være, at ligegyldigt, hvilket tal H n vi forsøger os med, så eksisterer der polynomier P n og Q n af grad højst n med flere end H n grænsecykler. Der er trods altrigtigmangepolynomieratvælgeimellem.isåfaldkan(h2)ikkeværeopfyldt, 137

12 Jacob Schach Møller og vi kan ikke smyge os udenom ved at vælge H n =+, da (H1) så falder. Faktisk er dette stadig et helt uafklaret problem, selv for andengradspolynomier! Vi kan således ikke sige med sikkerhed, at Hilberttallene H n, for n 2, overhovedet eksisterer. Lad os i stedet prøve at anskue problemet fra en anden vinkel og lede efter konkrete eksempler, hvor vi eksplicit kan tælle antallet af grænsecykler. På den måde kan visige noget om,hvorstore Hilberttallene H n mindst skalvære (hvis de findes). Ideen er at fortsætte som før og tilføje yderligere grænsecykler i cirkler med radius 1,2,...,n for et givet n. Det kan vi gøre ved hjælp af polynomiet p n (u)=(1 u)(2 2 u) ((n 1) 2 u)(n 2 u), som per konstruktionen er et polynomium af grad n med rødder i tallene 1,2 2,...,n 2.Vikannubrugep n tilatbyggeto(2n+1) tegradspolynomieraftovariable P 2n+1 (x,y)=y+p n (x 2 +y 2 )x og Q 2n+1 (x,y)= x+p n (x 2 +y 2 )y. Når n = 1 får vi bare det eksempel, vi kender fra før med én grænsecykel. De periodiske løsninger, der løber med uret rundt om cirklerne med radius 1,2,...,n bliver siddende, men er nu grænsecykler! Se Figur 9. Da vi således har eksempler på (2n + 1) te-gradspolynomier med n grænsecykler, kan vi konkludere, at Hilberttallene må opfylde H 2n+1 n. Figur 9: Tre grænsecykler for en modificeret harmonisk oscillator af 7. grad. SteveSmale,somiskrivendestunder81årgammel,blevfødti1930iMichigan og arbejdede det meste af sit liv ved University of California, Berkely. Han modtog Fieldsmedaljen (matematikkens Nobelpris) i 1966 og har været en central figur i udviklingen af den moderne geometriske analyse af differentialligninger. Smale argumenterede tilbage i 70 erne for, at man skulle prøve at identificere simplere 138

13 Anden halvdel af Hilberts 16. problem versioner af Hilberts problem, som var mere realistiske at løse. Helt specifikt foreslog han at betragte ligninger på formen x (t)=y(t) y (t)= x(t) p(y(t)), hvor p er et polynomium i en variabel. En differentialligning på denne form kaldes en Liénard-ligning efter den franske fysiker Alfred-Marie Liénard( ), som var nogle år yngre end Hilbert. Den beskriver vores bold fra før i parabelskålen(hvis p = 0) og polynomiet p modellerer(en hastighedsafhængig) friktion i skålen. Smale formulerede følgende simplifikation af Hilberts problem: For ethvert naturligt tal n, bestem et naturligt tal S n således at: (S1) Der findes et polynomium p n af én variabel med grad højst n, således at den tilhørende Liénard-ligning har præcist S n grænsecykler. (S2) For alle polynomier p n af én variabel med grad højst n, har den tilhørende Liénard-ligning højst S n grænsecykler. Lad os kalde tallene S n for Smaletal og observere, at vi nødvendigvis må have S n H n, såfremt de begge eksisterer. De eksempler, vi konstruerede før, var ikke Liénard-ligninger, så de siger ikke noget om størrelsen af S n. Alcides Lins (Neto), Welington de Melo og Charles Chapman Pugh konstruerede i 1977 eksempler på polynomier p 2n+1 af grad 2n+1 med præcist n grænsecykler ligesom i vores simplere eksempel. Vi ved derfor også, at S 2n+1 n. Figur 10: Steve Smale. I 1998 var Smale inviteret til at holde et foredrag ved Fields-instituttet i Toronto om Mathematical problems for the next century. Her fremlagde han en liste over

14 Jacob Schach Møller problemer, kaldt Smales problemer, iblandt hvilke vi finder Riemann-hypotesen, Poincaré-formodningen og Hilberts 16. (Smales 13.) problem nu i en simplere formulering, med Liénards ligning som et underproblem. Efter at have formuleret problemet skriver han: Dette er den moderne version af anden halvdel af Hilberts 16. problem. Med undtagelse af Riemann-hypotesen lader dette til at være det vanskeligste af Hilberts problemer. Da Rozenblum tilbage i 2003 havde læst nyheden i avisen, måtte han naturligvis tage et kig på artiklen, der skulle løse Hilberts problem. Han fandt den på tidsskriftets hjemmeside, hvor artiklen lå tilgængelig elektronisk forud for trykning. Det tager typisk adskillige måneder, nogle gange år, fra en artikel er indsendt til et tidskrift, indtil den bliver accepteret og til sidst publiceret. Efter endelig accept bliver en artikel editeret til tidsskriftets format og lagt på nettet ahead of print for at gøre den tilgængelig så hurtigt som muligt. Nogle tidsskrifter kan have et temmeligt langt efterslæb af godkendte artikler, der venter på at udkomme på tryk. Oxenhielms artikel mente at have vist, at Smale-tallet S 2n+1 faktisk var lig med n, det tal, som var eksemplificeret af Lins, de Melo og Pugh i Rozenblum opdagede dog ret hurtigt, at beviset slet ikke holdt vand, idet forfatteren erstattede grænsecykler med simplere funktioner, der approksimerer disse,menikkegørredefor,atdetteerengodapproksimation.efterathavdeindset at artiklen var meget langt fra at have vist noget som helst, skrev Rozenblum følgende til tidskriftet, der havde accepteret artiklen: Kære redaktører af Nonlinear Analysis, Det var formentlig ikke meningen, det skulle gå sådan, men Elin Oxenhielms artikel om Hilberts 16. problem, der skal publiceres i Nonlinear Analysis, har fået en hel del skadelig omtale i flere svenske medier. Jeg har downloadet hendes artikel, og det er mit klare indtryk, at det var en stor fejltagelse at ville publicere den i så anset et tidsskrift. Hvilken metode er der brugt til beviset? Forfatteren antager, i forhold til et ikke-lineært system, at løsningerne er domineret af et harmonisk led af en bestemt orden uden nærmere definition afordet domineret,som at dømme udfradet efterfølgende slet og ret betyder, at det er en god approksimation, hvor hun dog ikke specificerer, hvor god en approksimation det er. Herefter substituerer forfatteren denne approksimation ind i ligningen, ignorerer de led, hun ikke bryder sig om, og erklærer sin sætning bevist ud fra de resterende led. Det er langt under de almindeligvis accepterede matematiske bevisstandarder, eftersom der slet ikke foretages noget skøn over de udeladte leds indvirkning på banerne. I stedet skriver forfatteren, helt ubegrundet, at denne metode gør det muligt at studere strukturen af grænsekredsløb i almindelighed. Jeg tilråder i al ydmyghed redaktørerne af Nonlinear Analysis at genoverveje beslutningen om at publicere Elin Oxenhielms artikel. Grigori Rozenblum, Professor i Matematik, Chalmers University of Technology, Göteborg, Sverige 140

15 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Som konsekvens af Rozenblums og andres henvendelser besluttede tidsskriftet at sende artiklen til yderligere to referenter for vurdering ud over den ene, der havde på mystisk vis accepteret artiklen i første omgang. John Mather fra Princeton udtalte til Nature: Det er fuldstændig utilstrækkeligt jeg kan ikke forestille mig, hvem der ville have opfattet dette som et bevis. Mens artiklen undergik yderligere tjek, blev publikationen trukket tilbage fra tidskriftets hjemmeside. Nyheden om, at tidskriftet var begyndt at trække i land, blev hurtigt til diverse overskrifter rundtomkring i verden. Løsningen eller rettere den påståede løsning på en af historiens store matematikgåder skal gennemgås endnu en gang. Det er fortsat uvist, om svenskeren Elin Oxenhielm får sin artikel publiceret. Aftonbladet 08/ Matematisk gåde fortsat uløst efter tilbagetrækning af videnskabelig artikel. Et matematisk tidsskrift har trukket en artikel tilbage, der påstod at have løst et af fagets store mysterier efter først at have haft artiklen i review og publiceret den online. Nature 9/ Løsningen på matematikmysterium i kraftig modvind. Nonlinear Analysis trak artiklen tilbage den 4. december. Publiceringen er blevet stillet i bero, indtil der er blevet gennemført en grundig undersøgelse, udtaler chefredaktør V. Lakshmikantham, som er matematiker ved Florida Institute of Technology i Melbourne. Efter at den i første omgang blev godkendt af én reviewer, har tidsskriftet nu sendt artiklen til to andre matematikere med henblik på yderligere vurdering, vedlagt et forsvarsskrift af Oxenhielm, som hævder, at kritikerne ikke forstår hendes metoder. Redaktørerne af Nonlinear Analysis har vurderet artiklen, de hargodkendtdentilpubliceringogharcopyrightpåden ogdermederdeansvarlige for, at dens indhold er korrekt, udtalte hun til den norske avis Aftenposten. Guardian 11/ Dettogikkelangtid,førdetonyereferenterhavdeindset,atdenførstereferent havde sovet i timen, og efterfølgende anbefalede de tidsskriftet at trække artiklen endeligt tilbage. Det resulterede i noten fra redaktøren V. Lakshmikantham, som er at finde i den udgave af Non-linear Analysis, hvor den famøse artikel skulle være udkommet. Hvad gik galt? Lad os slå fast fra begyndelsen, at omend det var naivt af Oxenhielm at indsende artiklen til at starte med, så er tidsskriftsredaktører vant til at få en lind strøm af manuskripter ind ad døren med enten elementære nye beviser for vigtige eksisterende resultater eller løsninger på store gamle problemer. Lidt søgen rundt på den mest ukritiske af alle formidlere, internettet, vil give adskillige beviser for Riemann Hypotesen og alternative simple beviser forfermatssidstesætning.detskerganskeofte,atnogleafdissebidragfindervej 141

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år)

Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år) Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år) De pædagogiske processer skal lede henimod, at barnet ved slutningen af vuggestuen med lyst har tilegnet sig færdigheder og viden, som sætter

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund.

Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den digitale verden et barn af oplysningstiden Af redaktionen Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den elektroniske computer er blevet

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Hvad er ateisme? Hvordan bliver man ateist? Dansk Ateistisk Selskab. Ateisme er kort og godt fraværet af en tro på nogen guddom(me).

Hvad er ateisme? Hvordan bliver man ateist? Dansk Ateistisk Selskab. Ateisme er kort og godt fraværet af en tro på nogen guddom(me). Dansk Ateistisk Selskab Hvad er ateisme? Ateisme er kort og godt fraværet af en tro på nogen guddom(me). Meget mere er der sådan set ikke i det. Der er ingen dogmatisk lære eller mystiske ritualer og netop

Læs mere

Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet

Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet af adjunkt Karina Skovvang Christensen, ksc@pnbukh.com, Aarhus Universitet

Læs mere

INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009

INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009 Martinus Institut INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009 Kære venner af Martinus-Sagen Det er med stor glæde vi kan konstatere, at antallet af interesserede som bærer vores fælles Sag vokser stille og

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Den vandrette og den lodrette akse.

Den vandrette og den lodrette akse. Den vandrette og den lodrette akse. En tilgang til tilværelsen, som måske kan gøre det lettere at blive bevidst om forskellige aspekter af livet, er ved at se på den vandrette og den lodrette akse. Det

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Alex. Og den hemmelige skat. Navn: Klasse: Ordklasser 3. klassetrin

Alex. Og den hemmelige skat. Navn: Klasse: Ordklasser 3. klassetrin Alex Og den hemmelige skat Ordklasser 3. klassetrin Navn: Klasse: 1. Skattekortet Her er Alex. Han er en meget glad dreng, for han har lige fået en ny Nintendo. Eller han har ikke fået den, faktisk er

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Om at læse! en videnskabelig artikel! som diplomstudiestarter"

Om at læse! en videnskabelig artikel! som diplomstudiestarter Om at læse! en videnskabelig artikel! som diplomstudiestarter" Anker Helms Jørgensen! IT Universitetet i København! DUN Konferencen Maj 2010! Om at læse en artikel! 1! Baggrund: It-verdenen møder akademia!

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Derfor skal du investere

Derfor skal du investere Derfor skal du investere Investering er ofte lig med store kursudsving og mange bekymringer. Er det ikke bedre blot at spare op og undgå risiko? Nej, for hvis du ikke investerer, mister du penge hver dag,

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Sideløbende ser vi også en stigning i andelen af danskere, der siger, de kun hører musik i radio og tv.

Sideløbende ser vi også en stigning i andelen af danskere, der siger, de kun hører musik i radio og tv. 1 2 Spørgsmål: Sc.1 Hvor ofte hører du musik enten på cd, mobiltelefon, computer, mp3- afspiller (ipod) eller lign det vil sige musik du selv vælger at sætte på og som ikke kommer fra radio eller tv? Base:

Læs mere

Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27. Svar nummer 3: Meningen med livet er at føre slægten videre 41

Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27. Svar nummer 3: Meningen med livet er at føre slægten videre 41 Indhold Hvorfor? Om hvorfor det giver mening at skrive en bog om livets mening 7 Svar nummer 1: Meningen med livet er nydelse 13 Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27 Svar nummer 3: Meningen

Læs mere

Manuskriptvejledning pr. 2015 Bachelorprisen

Manuskriptvejledning pr. 2015 Bachelorprisen Manuskriptvejledning pr. 2015 Bachelorprisen Fremsendelse af artikel Artikler skrevet på baggrund af bachelorprojekter, der er afleveret og bestået på det annoncerede tidspunkt, kan deltage i konkurrencen

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

04.05.2012 INTERVIEW MED MICHAEL WÜRTZ OVERBECK_MODTAGER AF PUBLIKUMSPRISEN 2012

04.05.2012 INTERVIEW MED MICHAEL WÜRTZ OVERBECK_MODTAGER AF PUBLIKUMSPRISEN 2012 04.05.2012 INTERVIEW MED MICHAEL WÜRTZ OVERBECK_MODTAGER AF PUBLIKUMSPRISEN 2012 Michael Würtz Overbeck VINDEREN AF PUBLIKUMSPRISEN 2012 PÅ ÅRHUS Michael Würtz Overbeck modtog onsdag d. 25. april Publikumsprisen

Læs mere

Lige i øjet, lige i øret, lige nu, lige her!

Lige i øjet, lige i øret, lige nu, lige her! Lige i øjet, lige i øret, lige nu, lige her! Vil du se en film eller høre noget ny musik? Gør brug af bibliotekets netmedier Gratis og helt lovligt giver Aarhus Kommunes Biblioteker adgang til spillefilm,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Naturen, byen og kunsten

Naturen, byen og kunsten Tekst: Katrine Minddal Redigering: Karsten Elmose Vad Layout og grafik: Inger Chamilla Schäffer, Grafikhuset Naturen, byen og kunsten Fag Formål Billedkunst og dansk Træning i billedanalyse. Kendskab til

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A).

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). 7.4.07 Kristian Priisholm, Flóvin Tór Nygaard Næs & Lasse Arnsdorf Pedersen. Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). Indledning Projektet omhandler

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

2.0 Mediedækning. Mediedækning Fortællingen Anne- Helene og Tine

2.0 Mediedækning. Mediedækning Fortællingen Anne- Helene og Tine 2.0 Mediedækning Der er skrevet rigtig meget om angst, og derfor har det været nødvendigt for os at afgrænse vores søgning om emnet virkelig meget for at kunne overskue materialet. Vi har taget udgangspunkt

Læs mere

Vedr.: Re: Vedr.: Re: Vedr. Åbenhedstinget

Vedr.: Re: Vedr.: Re: Vedr. Åbenhedstinget Vedr.: Re: Vedr.: Re: Vedr. Åbenhedstinget Jens Otto Kjær Hansen 9:07 AM (17/3-2015) to, Thomas Kære Jeg overlader det 100 % hvad du mener der skal skrives og indestår på ingen måde for hvad du skriver,

Læs mere

Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør, COWI A/S klei@cowi.dk

Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør, COWI A/S klei@cowi.dk Evaluering af pilotprojekt Variable tavler for cyklister ved højresvingende lastbiler Forfattere: Michael Bloksgaard, Ingeniør, Århus Kommune mib@aarhusdk Karen Marie Lei, Sektionsleder og civilingeniør,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG

MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG ØEN 2 E N AF DE FØRSTE DAGE SER jeg hende med en nøgen dreng i hotelhavens indgang. De går gennem skyggen fra de høje daddelpalmer og standser nogle meter fra trappen til

Læs mere

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing 10 Skitur til Østrig Faglige mål Kapitlet Skitur til Østrig tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Budget og opsparing: kunne udarbejde budget og regnskab, kende forskel på de to begreber samt vide

Læs mere

Denne dagbog tilhører Norah

Denne dagbog tilhører Norah Denne dagbog tilhører Norah Den lille bog, du står med i hænderne nu, er en dagbog fra en russisk pige. Hun hedder Norah og er 12 år gammel. Dagbogen handler om hende og hendes familie. De var russiske

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I denne test skal I finde ud af, hvilket transportmiddel, I kan køre hurtigst på? Hypotese Hvilket transportmiddel tror I, I kan køre hurtigst på? Hvorfor? Det skal I bruge:

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

På jagt efter motivationen

På jagt efter motivationen På jagt efter motivationen Handlekraftig selvoverskridelse i meningsfuldhedens tjeneste Af Jakob Skov, Villa Venire A/S april 2011 Motivationsbegrebet fylder til stadighed mere i dagens virksomheder og

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Er tiden moden til at stoppe udbredelsen af diabetes 1?

Er tiden moden til at stoppe udbredelsen af diabetes 1? Er tiden moden til at stoppe udbredelsen af diabetes 1? Af Ulla Thorup Nielsen Livet med diabetes august 2012 Ukendskab til årsagen bag udvikling af diabetes 1 har indtil videre fremstået som hindringen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,

Læs mere

Guide. den dårlige. kommunikation. Sådan vender du. i dit parforhold. sider. Derfor forsvinder kommunikationen Løsninger: Sådan kommunikerer I bedre

Guide. den dårlige. kommunikation. Sådan vender du. i dit parforhold. sider. Derfor forsvinder kommunikationen Løsninger: Sådan kommunikerer I bedre Foto: Iris Guide Februar 2013 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus Sådan vender du den dårlige 12 kommunikation sider i dit parforhold Derfor forsvinder kommunikationen Løsninger: Sådan kommunikerer

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Hjælp til at opstille kompetencelæringsmål

Hjælp til at opstille kompetencelæringsmål 1 Hjælp til at opstille kompetencelæringsmål Dette skal hjælpe til at udstationeringer kan blive så målrettede som muligt. Vi definerer først begreberne kompetence og kompetenceudvikling. Derefter præsenterer

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

At plagiere er at snyde! Snyd er uacceptabelt, og du vil blive bortvist fra dine prøver, hvis du snyder. Så enkelt er det.

At plagiere er at snyde! Snyd er uacceptabelt, og du vil blive bortvist fra dine prøver, hvis du snyder. Så enkelt er det. Copy Paste At plagiere er at snyde! Snyd er uacceptabelt, og du vil blive bortvist fra dine prøver, hvis du snyder. Så enkelt er det. Ifølge Nudansk Ordbog så betyder plagiat en efterligning, især af en

Læs mere

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne.

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne. o Til censor Fagkonsulent Matematik, htx Vedr.: Skriftlig censur i matematik på htx Velkommen som skriftlig censor i matematik på htx. Marit Hvalsøe Schou Oehlenschlægersvej 55 5230 Odense M Tlf: 2565

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Skakhåndbogen Afsnit 3 SKAKSPILLETS REGLER

Skakhåndbogen Afsnit 3 SKAKSPILLETS REGLER spilleren selv eller hans modstander standse uret og tilkalde dommeren. Dommeren kan idømme straf til den spiller som fejlplacerede brikkerne. 7.4 Hvis det under et parti opdages at der er fuldført et

Læs mere