Anden halvdel af Hilberts 16. problem

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Anden halvdel af Hilberts 16. problem"

Transkript

1 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Et gammel uløst problem Af Jacob Schach Møller Denne artikel er blevet trukket tilbage fra En række bedømmelsesrapporter med specifikke detaljer viser, at det fremlagte bevis ikke hviler på et solidt grundlag, og at der er behov for yderligere gennemarbejdning. V. Lakshmikantham Ansvarshavende redaktør Det er november Grigori Rozenblum bliver kontaktet af en tidligere student, som henleder hans opmærksomhed på dagens udgave af Expressen. Som matematiker ved Chalmers Tekniske Universitet i Göteborg, specialiseret i disciplinen matematisk analyse, har Rozenblum en naturlig interesse for en artikel, der omhandler et af de kendteste udestående matematiske problemer inden for hans fagområde. Elin Oxenhielm, 22-årig matematikstudent ved Stockholms universitet, har måske løst en af historiens største matematikgåder. I næste uge publicerer hun en artikel, hvori hun udreder en del af Hilberts 16. problem. Expressen, 26/ Rozenblum er russisk, uddannet fra Leningrads Statsuniversitet nu Skt. Petersborg hvorfra han fik sin ph.d. i Efter at havde undervist ved universiteter rundtomkring i Rusland i 20 år, kom han til Aalborg Universitet i 1993 som gæsteprofessor i matematik. Han blev i Aalborg i to år, hvorefter han fik sin nuværende stilling ved Chalmers. Han er ekspert i det matematiske studie af kvantemekaniske systemer. Han er nok mest kendt for en ulighed, kaldet Cwikel-Lieb- Rozenblum-uligheden opkaldt efter Michael Cwikel (Technion, Haifa), Elliott Lieb (Princeton) og ham selv. Uligheden, som indgik i hans ph.d.-afhandling, sætter en i stand til at beregne et maksimalt antal stabile tilstande, som visse kvantemekaniske systemer kan befinde sig i. Nyheden om gennembruddet bredte sig hurtigt ud over Sveriges grænser, og følgende overskrift er at læse på BBC s hjemmeside: Historisk matematik-gåde løst En 22-årig studerende på universitetet i Stockholm, Elin Oxenhielm, har muligvis løst en del af et af matematikkens største uløste problemer. news.bbc.co.uk 27/ Formålet med dette bidrag er at forklare, hvad Hilberts 16. problem går ud på, og hvorfordetersværtatløse,thideterstadiguløst,somlæserenmåskealleredehar 127

2 Jacob Schach Møller Figur 1: Grigori Rozenblum. udledt af det indledende citat af V. Lakshmikantham, redaktør for tidskriftet Nonlinear Analysis. Men først skruer vi tiden tilbage til år 1900 for at sætte tingene i et historisk perspektiv. Den 8. september 1900 afholdtes den internationale matematikkongres ved Sorbonne i Paris. I anledning af århundredeskiftet havde den tids mest indflydelsesrige tyske matematiker David Hilbert forberedt en liste over 23 problemer, som han så som vigtige udfordringer for det 20. århundredes matematikere. Under kongressen holdt Hilbert en tale, hvori han fremlagde de problemer, han havde identificeret som værende de mest centrale. Hvemafosvilleikkegerneløftesløret,baghvilketfremtidenliggerskjult,ogkasteet blik på de forestående fremskridt i vores videnskab og få indblik i hemmelighederne bag deres udvikling i de kommende århundreder! Hvilke mål vil de kommende generationers førende matematiske ånder stræbe efter at indfri? Hvilke nye metoder og nye kendsgerninger vil de nye århundreder opdage inden for den matematiske tænknings rige, vidtstrakte felt? Figur 2: David Hilbert. Hilbert var født i 1862 i Königsberg nu Kaliningrad og arbejdede som ung ved universitetet i Königsberg, hvor han bestred en stilling som professor fra

3 Anden halvdel af Hilberts 16. problem til I 1895 blev han udnævnt til institutleder for det matematiske institut i Göttingen, som på det tidspunkt var verdens matematikcentrum. Hilbert blev i Göttingen indtil sin død i 1943 under anden verdenskrig. I de sidste år af sit liv måtte han lide den pine at se sit gamle institut blive decimeret til ingenting af nazisternes udrensninger af jødiske videnskabsfolk fra tyske universiteter. Blandt de 23 problemer Hilbert fremlagde ved pariserkongressen, står der i dag tre problemer tilbage som uløste. Deriblandt finder vi Riemann-hypotesen samt problemet refereret til i titlen på denne artikel, nemlig at bestemme en mindste øvre grænse for antallet af såkaldte grænsecykler for plane differentialligninger hørende til polynomielle vektorfelter. For at kunne forstå, hvad problemet handler om, vil vi først forklare, hvad det er for nogle størrelser, der indgår i formuleringen af problemet. Første stop på vejen er polynomier af en og to variable samt deres rødder. Ved et polynomium af grad n, i en variabel x, forstår vi en funktion p =p n på formen p(x)=a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0. Her era 0,a 1,...,a n reelle tal, der bestemmer polynomiet. Dog skala n være forskellig fra nul, førend vi kalder p et n te-gradspolynomium. Her er nogle eksempler på polynomier af grad gående fra n=0 til n=3: p 0 (x)=1, p 1 (x)=x, p 2 (x)=x 2 x, p 3 (x)=x 3 x. For at formulere og diskutere Hilberts problem skal vi bruge polynomier af vilkårlig orden. Vi reserverer bogstavet p til at betegne polynomier af én variabel og skriver nogle gange p n for et polynomium af grad n. Ved en rod til et polynomium p forstås et reelt tal x, som opfylder, at p(x)=0. Et polynomium af grad n kan have op til og med n reelle rødder. Lad os skriver p for mængden af rødder for et givet polynomium p. I eksemplerne ovenfor har vi R p0 =, R p1 ={0}, R p2 ={0,1}, R p3 ={ 1,0,1}. Her bruger vi symbolet til at betegne den tomme mængde, som udtrykker, at p 0 ingen rødder har. Vi får også brug for polynomier af to variable. Det vil sige funktioner, som til et par af reelle tal x og y tilskriver et nyt reelt tal P(x,y) ud fra en forskrift på formen P(x,y)=a n,m x n y m +a n,m 1 x n y m 1 +a n 1,m x n 1 y m + +a 1,1 xy+a 1,0 x+a 0,1 y+a 0,0. Her er a i,j erne alle reelle tal. Vi kalder P et (n+m) te-gradspolynomium af to variable, hvis a n,m 0. Som eksempler kan læseren tænke på P 1 (x,y)=y, P 2 (x,y)=x xy, P 3 (x,y)=y+(1 x 2 y 2 )x, Q 1 (x,y)= x, Q 2 (x,y)=xy y, Q 3 (x,y)= x+(1 x 2 y 2 )y. 129

4 Jacob Schach Møller VireservererbogstaverneP ogq tilatbetegnepolynomieraf2variableogskriver nogle gange P n og Q n for at indikere, at polynomierne har grad n. For polynomier af to variable bliver rødderne nu en mængde af punkter i planen, givet ved talpar (x,y), for hvilke P(x,y)=0. Mængden af rødder former det, man kalder algebraiske kurver i planen, og bestemmelsen af strukturen af sådanne algebraiske kurver er faktisk den første del af Hilberts 16. problem, men regnes for at være for diffust formuleret til at tillade en klar løsning. I Figur 3 kan man se rødderne for polynomierne listet ovenfor P1 0 Q1 0 1 P2 0 Q P3 0 Q3 0 1 P2 0 Q Figur 3: Rødder for par af polynomier. ViernuparattilatbeskrivedenførsteingrediensiHilberts16.problem.Givet et par af polynomier P og Q i to variable x og y, kan vi konstruere et vektorfelt i planen på følgende måde. Til et punkt (x,y) i planen knytter vi en pil startende i punktet (x,y) og pegende i retning af (P(x,y),Q(x,y)). Det vil sige at pilens spids sidder i punktet (x+p(x,y),y+q(x,y)). I Figur 7 er vektorfeltet hørende til parret (P 1,Q 1 )afbildet,ifigur4sesparret(p 2,Q 2 ),ogendeligkanvektorfeltethørendetil (P 3,Q 3 )nydesifigur8.betydningenafdeekstrafarverigedekorationerifigurerne vil blive forklaret i det efterfølgende. Af speciel betydning er nulpunkterne for vektorfeltet, dvs. de punkter (x, y), hvor pilen ingen længde har. Denne mængde kalder vie, og den kan bestemmes, hvis vi kender rødderne for både P og Q. Den er nemlig præcist givet vede = R P R Q, mængden af talpar (x,y) som er rødder i både P og Q. I Figur 3 er de fælles rødder for polynomier P og Q markeret med grønt. 130

5 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Vi er nuistandtilat give læseren et første indtrykaf,hvad en løsning til en differentialligningerforetdyr.enløsningkanopfattessomenkurveiplanen,der slanger sig igennem pileskoven i et givet vektorfelt, adlydende to ganske strenge færdselsregler: Fortsæt altidiretning afdenpil,der stritter udfradet punkt,duer kommet til. Om nødvendigt, skift hastighed, så din hastighed matcher længden af pilen, i hvis retning du bevæger dig. For at bestemme en løsning, kaster man sig ned et sted mellem pilene og slanger sig igennem dem, alt imens man minutiøst adlyder reglerne. Det er selvsagt noget, en computer er god til at gøre, og de mere komplicerede illustrationer i denne artikel er da også lavet numerisk. De fælles røddere, for P og Q, svarer til punkter i planen hvor den tilhørende pil har længde nul. Hvis man starter i sådan et punkt og følger færdselsreglerne, kommer man ikke nogen vegne. Den tilhørende løsningskurve er derfor konstant. Punkterne i E kaldes ligevægtspunkter, dvs. reflekterende løsninger der ikke ændrer sig over tid. For at kunne forstå mere præcist, hvad reglerne ovenfor betyder, er vi nødt til at forklare,hvordanman tilskriver en hastighedtilen kurveiplanen(eller i rummet for den sags skyld). At det kræver lidt omtanke illustreres nydeligt af følgende citat fra The Feynman Lectures on Physics Vol 1: Damen bliver standset af politiet, og betjenten kommer hen til hende og siger Sig mig, er du klar over, at du kørte 100 km/t, moster! Det kan ikke passe, hr. betjent, svarer hun, for jeg har kun kørt i syv minutter. Det giver jo overhovedet ingen mening hvordan skulle jeg kunne have kørt100km/t, når jeg ikke engang har kørt i en time? Lad os skrive x for en funktion fra de reelle tal R til de reelle tal R, som til tid t tilskriver en position x(t) på en linje. Man kan tænke på en bil, der kører på en linje, hvor x(t) er bilens position på linjen til tiden t. Lad os sige, at vi læner os ud ad døren, mens vi kører rent hypotetisk naturligvis og sætter en streg på vejen, når klokken er t, og igen efter yderligere s tidsenheder. Vi har således tilbagelagt strækningen x(t+s) x(t), dog har vi muligvis tabt kridtet ud af døren og er blevet nødt til at bakke lidt undervejs for at samle det op. Vi får nu en slags middelhastighed ud ved at dele med s x(t+s) x(t). s Vikantilskrivebilenx enhastighedtiltident vedatsættedenandenstregivejen tættereogtætterepådenførste vedatlades blivemindreogmindre.detkaldes den afledede eller hastigheden af x til tiden t, og vi skriver den som x (t). Hvis x (t) er negativ, er det, fordi vi bakker. Den afledede x af x er således igen en 131

6 Jacob Schach Møller funktion, men vi tænker på den som en hastighed i stedet for en position. Afleder man x igen, får man accelerationen. Bemærk, at det ikke er alle funktioner, der kan tilskrives en afledet, det kræver nemlig, at proceduren med at lade s mod 0 giver mening, og hvorvidt det kan lade sig gøre afhænger af funktionen x. Forestil dig for eksempel, at vi hugger bremsen i, og bilen stopper med et ryk. Da vil vi ikke være i stand til at tilskrive bilen en veldefineret hastighed til det tidspunkt, hvor bremsen brat gik i bund. Vi har valget mellem den hastighed, vi havde umiddelbart, før vi bremsede, og hastigheden nul, umiddelbart efter vi bremsede brat op. Det vil dog aldrig være et problem for de funktioner, vi støder på her, de vil altid kunne tilskrives en afledet. Ved en kurve, eller en bil, i planen forstår vi et par af funktioner (x,y), der til tiden t tilskriver et punkt(x(t), y(t)) i planen. Kurvens afledede, eller hastighed, er således et nyt par af funktioner, nemlig (x,y ). Hastigheden (x (t),y (t)) til tiden t plottes som en pil med base i punktet på kurven(x(t), y(t)), hvortil hastigheden hører. Vores færdselsregler fra før udtrykker altså, at en løsningskurves hastighedspil til enhver tid skal matche præcist med pilen fra vektorfeltet, der sidder på kurvens position. Vores differentialligning kan således skrives som x (t)=p(x(t),y(t)) y (t)=q(x(t),y(t)). Vi leder altså efter kurver i planen, hvis hastighed til enhver given tid t stemmer overens med pilen (P, Q) hørende til punktet (x(t), y(t)). Læseren undrer sig måske over, hvorfra interessen for at finde løsningskurver kommer fra. Differentialligninger, her med to ubekendte x og y, dukker ganske ofte op, når man forsøger at modellere udvikling af systemer i tid inden for naturvidenskab og økonomi. Lad os diskutere et enkelt klassisk eksempel som illustration. Vi forestiller os en ø, hvorpå der bor to dyrearter, en planteædende art lad os sige kaniner og en kødædende art lad os sige ræve. Vores ubekendte funktioner x og y måler populationernes størrelse, x antal kaniner og y antal ræve. Populationerne x og y opfattes som funktioner af tid, og vi er interesseret i at forstå, givet en startpopulation, hvad sker der med øens dyreliv over tid. Bemærk, at man tillader x ogy attagereelleværdier,ikkekunheltal,hvilketbørværeretvisende,sålænge vi har med store populationer at gøre. For at formulere modellen skal vi bruge nogle parametre: a er kaninernes fødselsrate. b er rævenes fødselsrate. c er raten for, hvor mange kaniner rævene kan spise. d er dødsrate for rævene. Vi kan nu opstille en model for udviklingen over tid af populationerne af kaniner x og ræve y. Vi betegner med P(x, y) ændringsraten for kanin-populationen, 132

7 Anden halvdel af Hilberts 16. problem givet en specifik population(x, y). Kaninerne fødes med raten a, som vi modellerer ved ledet ax. De forudsættes kun at dø, i det øjeblik de bliver spist af en ræv. Dødsraten modelleres derfor kun med leddet cxy, reflekterende at ræve spiser flere kaniner (per ræv), når kaninpopulationen er høj. Det giver P(x,y)=ax cxy. Vi skriver Q(x, y) for ændringsraten af rævepopulationen y. Rævene yngler hurtigst,nårdefårmegetatspise,såvisætterfødselsratentilatværebxy.rævene ivoresmodelkanikkesulteihjel,såvisætterdødsratentilatværedy,uafhængigt af kaninpopulationen. Det giver Q(x,y)=bxy dy. Vi ser, at både P og Q er polynomier af grad 2 i variablerne x og y. Vi ser, at mange kaniner giver en høj tilvækst af ræve, men mange ræve giver på den anden side et kraftigt fald i kanin-populationen Der er således indbygget i modellen en balancerende mekanisme. Modellen kaldes rovdyr-byttedyr-modellen eller predator-prey på engelsk. Hvis vi skriver differentialligningen op ved brug af de afledede, får vi x (t)=p(x,y)=ax cxy y (t)=q(x,y)=dxy by. Den samme type modeller, med anden fortolkning af x og y, bruges til at modellere kemiske reaktioner og udbredelse af epidemier for eksempel gonoré i en heteroseksuel population. Som en første analyse af rovdyr-byttedyr-modellen kan vi lede efter stabile populationer, svarende til ligevægtspunkter. Det vil sige populationstalpar x, y, hvor P(x,y)=Q(x,y)=0. Der er præcist to talpar, der giver ligevægtspunkter. Det første er det noget uinteressante x =0,y =0, svarende til en øde ø, og det andet er x= d b og y = a c. I Figur 4 kan man se vektorfeltet plottet med alle konstanterne valgt til at være lig 1. De grønne klatter er ligevægtspunkterne diskuteret ovenfor. Den hvide sektor svarer til ikke-negative populationer. Før vi vender tilbage til Hilberts 16. problem og et gensyn med eksemplet ovenfor, tager vi lige et historisk intermezzo. Da Hilbert formulerede sit 16. problem blev det gjort i lyset af Jules Henri Poincarés ( ) fundamentale bidrag til vores måde at forstå differentialligninger på. Da Poincaré kastede sin kærlighed på emnet, startende med hans ph.d.-afhandling, som blev skrevet under Charles Hermite ved Sorbonne i 1879, bestod den matematiske litteratur om emnet næsten udelukkende af sindrige kogebogsmetoder til at finde eksplicitte løsninger til klasser af ligninger. I løbet af de næste 15 år transformerede han emnet fuldstændigt og grundlagde det, vi i dag kalder den kvalitative analyse af differentialligninger. Man havde længe vidst, at omend alle differentialligninger har løsninger, kan de ikke altid udtrykkes i termer af kendte funktioner såsom polynomier, trigonometriske funktioner, logaritmer og eksponentialfunktioner. Det, Poincaré gjorde, var at påbegynde en systematisk undersøgelse af løsningers generelle geometriske egenskaber, uden et a priori-kendskab til deres form, det vil sige 133

8 Jacob Schach Møller Figur 4: Rovdyr-byttedyr-modellen og dens ligevægtspunkter. uden at have kendskab til en funktionsforskrift! Da Poincaré døde i 1912, havde verden fået kaosteori, redskaber til at konstruere stabile broer og elektroniske kredsløb, metoder til at forstå epidemiers udbredelse og muligheden for at studere stabiliteten af økosystemer. Poincaré var også en central figur i opbygningen af andre emner inden for matematikken, for eksempel den såkaldte algebraiske topologi, hvor han blandt andet lagde navn til Poincaré-formodningen, som er emnet for Andrew Swanns bidrag (Et milleniumproblem er løst: Poincarés formodning om 3-dimensionelle rum) til denne bog. For at forstå den basale struktur af løsninger er det vigtigt altid at holde sig en grundlæggende egenskab for øje: Ethvert punkt i planen ligger på en og kun en løsningskurve. Figur 5: Jules Henri Poincaré. 134

9 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Egenskaben ovenfor er dels et udtryk for, at færdselsreglerne i pileskoven altid tillader en at fortsætte uden at skulle bryde reglerne, dels et udtryk for at færdselsreglerne ikke tillader slinger i valsen de efterlader kun én vej videre. Som en konsekvens kan vi konkludere, at distinkte løsningskurver aldrig krydser hinanden. Det er af speciel vigtighed i planen, da løsningskurver i planen fungerer som hegn, der ikke kan springes over. (I rummet kan man komme ovenover eller nedenunder.) Det er også oprindelsen til Laplaces dæmon; Et intellekt for hvem intet er usikkert. Hvis fysikkens love er givet ved en differentialligning (med rigtig mange ubekendte), og universets tilstand er kendt i mindste detalje til et givet tidspunkt t, vil Laplaces hypotetiske intellekt se fremtiden såvel som fortiden foran sine øjne. Hvis man adlydende færdselsreglerne kører gennem pileskoven og ender med at genfinde sine egne spor, som Dupont og Dupond i Tintin og det sorte guld, er man tvunget til at fortsætte rundt i ring til evig tid. Sådanne løsninger kaldes periodiske og spiller en central rolle for Hilberts 16. problem. Faktisk kan man vise, at i rovdyr-byttedyr-modellen fra eksemplet ovenfor er alle løsninger med positive populationer periodiske. Det vil sige, at populationerne svinger i et stabilt mønster op og ned over tid,så hverken kaniner eller ræve uddør, og de holder hinanden i skak, så der ikke kommer overbefolkning af nogen af arterne. Se Figur Figur 6: Periodiske løsninger i rovdyr-byttedyr-modellen. Poincaré gav navn til en bestemt type af periodiske løsninger, som han kaldte cycle limites eller grænsecykler på dansk. Grænsecykler har den egenskab, at andre løsninger, der forløber tilstrækkeligt tæt på dem, bliver suget ind i tættere og tættere omløb (evt. bagud i tid) om den periodiske løsning. Det fænomen kan vi ikke se i rovdyr-byttedyr-modellen, medmindre vi modificerer vektorfeltet. Lad os i stedet bygge et andet vektorfelt i hånden, hvor vi manuelt kan indbygge Poincarés grænsecykler. Som grundsten i vores byggesæt tager vi den såkaldte harmoniske oscillator givet ved to polynomier af første grad P 1 (x,y) = y og Q 1 (x,y) = x. 135

10 Jacob Schach Møller Den tilhørende differentialligning x (t)=y(t) y (t)= x(t) beskriver en bold, der triller op og ned ad siderne i en parabelformet skål uden friktion. Her er x boldens (vandrette) forskydning i forhold til skålens bund, og y er dens hastighed. Vi har et ligevægtspunkt i (0,0), svarende til en bold, der ligger stille i bunden af skålen. Resten er periodiske løsninger svarende til en bold, der triller ned og op og tilbage igen til evig tid. I Figur 7 kan man se vektorfeltet, dets ligevægtspunkt og fire af de uendeligt mange periodiske løsningskurver, en for hvert valg af radius svarende til det maksimale udsving fra skålens bund Figur 7: Periodiske løsninger for den harmoniske oscillator. Nu modificerer vi vektorfeltet for den harmoniske oscillator, således at løsningen, der løber rundt på cirklen med radius 1, er specielt attraktiv, og andre løsninger bliver trukket hen mod den. Det gør vi ved at bøje pilene uden for enhedscirklen indad, og pilene inden for cirklen bøjes udad. Valget P 3 (x,y)=y+(1 x 2 y 2 )x og Q 3 (x,y)= x+(1 x 2 y 2 )y giver præcist denne effekt. Se Figur 8, hvor det modificerede vektorfelt er illustreret sammen med de nye løsningskurver, der som forventet bliver trukket ind mod, hvad der nu er en grænsecykel løbende med uret rundt om enhedscirklen med konstant fart. Vi kan nu formulere Hilberts 16. problem: For ethvert naturligt tal n. Bestem et naturligt tal H n, således at: (H1) Der findes et par af polynomier af to variable P n og Q n med grad højst n, således at den tilhørende differentialligning har præcist H n grænsecykler. (H2) For alle par af polynomier af to variable P n og Q n med grad højst n har den tilhørende differentialligning højst H n grænsecykler. Tallene H n kaldes for Hilberttal. 136

11 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Figur 8: Grænsecykel for en modificeret harmonisk oscillator. At der overhovedet er Hilberttal H n at bestemme, er slet ikke givet. Det kan jo være, at der er polynomielle vektorfelter med uendeligt mange grænsecykler! Hvis det er tilfældet, kan vi jo aldrig få egenskaben (H2) opfyldt (medmindre vi tillader H n at være uendeligt). Lad os lige overveje, at der faktisk godt kan være uendeligt mange grænsecykler iplanen,hvisvidropperkravetom,atp ogq erpolynomier.tænkpåplanensom et uendeligt skakbræt med kvadratiske felter, der har sidelængde 4. Vi lægger et felt med centrum i(0, 0), hvilket sammen med sidelængden fastlægger placeringen af alle felterne. I feltet indeholdende (0, 0) lader vi vektorfeltet (P, Q) være givet ved (P 3,Q 3 ) fra før. I de andre felter på brættet vælger vi at genbruge (P 3,Q 3 ) men translateret, så det resulterende vektorfelt bliver periodisk svarende til at hvis man tager en 4 kilometers vandretur langs en kompasretning i pileskoven, vil man gense de samme træer, man så, da man startede. Da vil grænsecyklen fra Figur 8 ogsåblivegentaget med en ihver felt pådet uendeligeskakbræt. Heraf ses,atmanaltsåikkekanforventeatsvarepå endsigestille Hilbertsspørgsmål uden at sætte restriktioner på klassen af vektorfelter, der betragtes. At polynomielle vektorfelter giver anledning til endeligt mange grænsecykler er i sig selv et yderst subtilt problem. Et bevis blev publiceret af Henri Dulac ( , fransk matematiker) i 1923, et bevis som stod indtil 1982, hvor Yulij Ilyashenko påpegede en fatal brist i logikken i Dulacs 143 sider lange bevis. Sidenhen er der så udkommet to uafhængige beviser for, at antallet af grænsecykler altid er endeligt. Et af Ilyashenko selv i 1991 og et af Jean Écalle i Som noget ganske udsædvanligt er de begge udkommet på bogform, og ikke som tidsskriftartikler. Vikandogstadigikkeværesikrepå,atetsvarpåproblemetoverhovedetfindes. Det kan jo være, at ligegyldigt, hvilket tal H n vi forsøger os med, så eksisterer der polynomier P n og Q n af grad højst n med flere end H n grænsecykler. Der er trods altrigtigmangepolynomieratvælgeimellem.isåfaldkan(h2)ikkeværeopfyldt, 137

12 Jacob Schach Møller og vi kan ikke smyge os udenom ved at vælge H n =+, da (H1) så falder. Faktisk er dette stadig et helt uafklaret problem, selv for andengradspolynomier! Vi kan således ikke sige med sikkerhed, at Hilberttallene H n, for n 2, overhovedet eksisterer. Lad os i stedet prøve at anskue problemet fra en anden vinkel og lede efter konkrete eksempler, hvor vi eksplicit kan tælle antallet af grænsecykler. På den måde kan visige noget om,hvorstore Hilberttallene H n mindst skalvære (hvis de findes). Ideen er at fortsætte som før og tilføje yderligere grænsecykler i cirkler med radius 1,2,...,n for et givet n. Det kan vi gøre ved hjælp af polynomiet p n (u)=(1 u)(2 2 u) ((n 1) 2 u)(n 2 u), som per konstruktionen er et polynomium af grad n med rødder i tallene 1,2 2,...,n 2.Vikannubrugep n tilatbyggeto(2n+1) tegradspolynomieraftovariable P 2n+1 (x,y)=y+p n (x 2 +y 2 )x og Q 2n+1 (x,y)= x+p n (x 2 +y 2 )y. Når n = 1 får vi bare det eksempel, vi kender fra før med én grænsecykel. De periodiske løsninger, der løber med uret rundt om cirklerne med radius 1,2,...,n bliver siddende, men er nu grænsecykler! Se Figur 9. Da vi således har eksempler på (2n + 1) te-gradspolynomier med n grænsecykler, kan vi konkludere, at Hilberttallene må opfylde H 2n+1 n. Figur 9: Tre grænsecykler for en modificeret harmonisk oscillator af 7. grad. SteveSmale,somiskrivendestunder81årgammel,blevfødti1930iMichigan og arbejdede det meste af sit liv ved University of California, Berkely. Han modtog Fieldsmedaljen (matematikkens Nobelpris) i 1966 og har været en central figur i udviklingen af den moderne geometriske analyse af differentialligninger. Smale argumenterede tilbage i 70 erne for, at man skulle prøve at identificere simplere 138

13 Anden halvdel af Hilberts 16. problem versioner af Hilberts problem, som var mere realistiske at løse. Helt specifikt foreslog han at betragte ligninger på formen x (t)=y(t) y (t)= x(t) p(y(t)), hvor p er et polynomium i en variabel. En differentialligning på denne form kaldes en Liénard-ligning efter den franske fysiker Alfred-Marie Liénard( ), som var nogle år yngre end Hilbert. Den beskriver vores bold fra før i parabelskålen(hvis p = 0) og polynomiet p modellerer(en hastighedsafhængig) friktion i skålen. Smale formulerede følgende simplifikation af Hilberts problem: For ethvert naturligt tal n, bestem et naturligt tal S n således at: (S1) Der findes et polynomium p n af én variabel med grad højst n, således at den tilhørende Liénard-ligning har præcist S n grænsecykler. (S2) For alle polynomier p n af én variabel med grad højst n, har den tilhørende Liénard-ligning højst S n grænsecykler. Lad os kalde tallene S n for Smaletal og observere, at vi nødvendigvis må have S n H n, såfremt de begge eksisterer. De eksempler, vi konstruerede før, var ikke Liénard-ligninger, så de siger ikke noget om størrelsen af S n. Alcides Lins (Neto), Welington de Melo og Charles Chapman Pugh konstruerede i 1977 eksempler på polynomier p 2n+1 af grad 2n+1 med præcist n grænsecykler ligesom i vores simplere eksempel. Vi ved derfor også, at S 2n+1 n. Figur 10: Steve Smale. I 1998 var Smale inviteret til at holde et foredrag ved Fields-instituttet i Toronto om Mathematical problems for the next century. Her fremlagde han en liste over

14 Jacob Schach Møller problemer, kaldt Smales problemer, iblandt hvilke vi finder Riemann-hypotesen, Poincaré-formodningen og Hilberts 16. (Smales 13.) problem nu i en simplere formulering, med Liénards ligning som et underproblem. Efter at have formuleret problemet skriver han: Dette er den moderne version af anden halvdel af Hilberts 16. problem. Med undtagelse af Riemann-hypotesen lader dette til at være det vanskeligste af Hilberts problemer. Da Rozenblum tilbage i 2003 havde læst nyheden i avisen, måtte han naturligvis tage et kig på artiklen, der skulle løse Hilberts problem. Han fandt den på tidsskriftets hjemmeside, hvor artiklen lå tilgængelig elektronisk forud for trykning. Det tager typisk adskillige måneder, nogle gange år, fra en artikel er indsendt til et tidskrift, indtil den bliver accepteret og til sidst publiceret. Efter endelig accept bliver en artikel editeret til tidsskriftets format og lagt på nettet ahead of print for at gøre den tilgængelig så hurtigt som muligt. Nogle tidsskrifter kan have et temmeligt langt efterslæb af godkendte artikler, der venter på at udkomme på tryk. Oxenhielms artikel mente at have vist, at Smale-tallet S 2n+1 faktisk var lig med n, det tal, som var eksemplificeret af Lins, de Melo og Pugh i Rozenblum opdagede dog ret hurtigt, at beviset slet ikke holdt vand, idet forfatteren erstattede grænsecykler med simplere funktioner, der approksimerer disse,menikkegørredefor,atdetteerengodapproksimation.efterathavdeindset at artiklen var meget langt fra at have vist noget som helst, skrev Rozenblum følgende til tidskriftet, der havde accepteret artiklen: Kære redaktører af Nonlinear Analysis, Det var formentlig ikke meningen, det skulle gå sådan, men Elin Oxenhielms artikel om Hilberts 16. problem, der skal publiceres i Nonlinear Analysis, har fået en hel del skadelig omtale i flere svenske medier. Jeg har downloadet hendes artikel, og det er mit klare indtryk, at det var en stor fejltagelse at ville publicere den i så anset et tidsskrift. Hvilken metode er der brugt til beviset? Forfatteren antager, i forhold til et ikke-lineært system, at løsningerne er domineret af et harmonisk led af en bestemt orden uden nærmere definition afordet domineret,som at dømme udfradet efterfølgende slet og ret betyder, at det er en god approksimation, hvor hun dog ikke specificerer, hvor god en approksimation det er. Herefter substituerer forfatteren denne approksimation ind i ligningen, ignorerer de led, hun ikke bryder sig om, og erklærer sin sætning bevist ud fra de resterende led. Det er langt under de almindeligvis accepterede matematiske bevisstandarder, eftersom der slet ikke foretages noget skøn over de udeladte leds indvirkning på banerne. I stedet skriver forfatteren, helt ubegrundet, at denne metode gør det muligt at studere strukturen af grænsekredsløb i almindelighed. Jeg tilråder i al ydmyghed redaktørerne af Nonlinear Analysis at genoverveje beslutningen om at publicere Elin Oxenhielms artikel. Grigori Rozenblum, Professor i Matematik, Chalmers University of Technology, Göteborg, Sverige 140

15 Anden halvdel af Hilberts 16. problem Som konsekvens af Rozenblums og andres henvendelser besluttede tidsskriftet at sende artiklen til yderligere to referenter for vurdering ud over den ene, der havde på mystisk vis accepteret artiklen i første omgang. John Mather fra Princeton udtalte til Nature: Det er fuldstændig utilstrækkeligt jeg kan ikke forestille mig, hvem der ville have opfattet dette som et bevis. Mens artiklen undergik yderligere tjek, blev publikationen trukket tilbage fra tidskriftets hjemmeside. Nyheden om, at tidskriftet var begyndt at trække i land, blev hurtigt til diverse overskrifter rundtomkring i verden. Løsningen eller rettere den påståede løsning på en af historiens store matematikgåder skal gennemgås endnu en gang. Det er fortsat uvist, om svenskeren Elin Oxenhielm får sin artikel publiceret. Aftonbladet 08/ Matematisk gåde fortsat uløst efter tilbagetrækning af videnskabelig artikel. Et matematisk tidsskrift har trukket en artikel tilbage, der påstod at have løst et af fagets store mysterier efter først at have haft artiklen i review og publiceret den online. Nature 9/ Løsningen på matematikmysterium i kraftig modvind. Nonlinear Analysis trak artiklen tilbage den 4. december. Publiceringen er blevet stillet i bero, indtil der er blevet gennemført en grundig undersøgelse, udtaler chefredaktør V. Lakshmikantham, som er matematiker ved Florida Institute of Technology i Melbourne. Efter at den i første omgang blev godkendt af én reviewer, har tidsskriftet nu sendt artiklen til to andre matematikere med henblik på yderligere vurdering, vedlagt et forsvarsskrift af Oxenhielm, som hævder, at kritikerne ikke forstår hendes metoder. Redaktørerne af Nonlinear Analysis har vurderet artiklen, de hargodkendtdentilpubliceringogharcopyrightpåden ogdermederdeansvarlige for, at dens indhold er korrekt, udtalte hun til den norske avis Aftenposten. Guardian 11/ Dettogikkelangtid,førdetonyereferenterhavdeindset,atdenførstereferent havde sovet i timen, og efterfølgende anbefalede de tidsskriftet at trække artiklen endeligt tilbage. Det resulterede i noten fra redaktøren V. Lakshmikantham, som er at finde i den udgave af Non-linear Analysis, hvor den famøse artikel skulle være udkommet. Hvad gik galt? Lad os slå fast fra begyndelsen, at omend det var naivt af Oxenhielm at indsende artiklen til at starte med, så er tidsskriftsredaktører vant til at få en lind strøm af manuskripter ind ad døren med enten elementære nye beviser for vigtige eksisterende resultater eller løsninger på store gamle problemer. Lidt søgen rundt på den mest ukritiske af alle formidlere, internettet, vil give adskillige beviser for Riemann Hypotesen og alternative simple beviser forfermatssidstesætning.detskerganskeofte,atnogleafdissebidragfindervej 141

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Analyse af PISA data fra 2006.

Analyse af PISA data fra 2006. Analyse af PISA data fra 2006. Svend Kreiner Indledning PISA undersøgelsernes gennemføres for OECD og de har det primære formål er at undersøge, herunder rangordne, en voksende række af lande med hensyn

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Forord. Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives

Forord. Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives Baggrunden for tilblivelsen af denne bog er to serier af forelæsninger, som jeg arrangerede på Folkeuniversitetet i 2010 og 2011. De omhandlede forskellige matematiske emner og tiltrak mange deltagere.

Læs mere

Undersøgelser i nyere geometri

Undersøgelser i nyere geometri Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet

Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet af adjunkt Karina Skovvang Christensen, ksc@pnbukh.com, Aarhus Universitet

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Når motivationen hos eleven er borte

Når motivationen hos eleven er borte Når motivationen hos eleven er borte om tillært hjælpeløshed Kristina Larsen Stud.mag. i Læring og Forandringsprocesser Institut for Læring og Filosofi Aalborg Universitet Abstract Denne artikel omhandler

Læs mere

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m.

TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m. TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m. Vejledning i projektskrivning Vejledning i rapportskrivning En hjælp til et lettere liv for studerende og undervisere Heini Havreki Verkætlanarfrágreiðing Skeið

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1 Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere

Akademisk tænkning en introduktion

Akademisk tænkning en introduktion Akademisk tænkning en introduktion v. Pia Borlund Agenda: Hvad er akademisk tænkning? Skriftlig formidling og formelle krav (jf. Studieordningen) De kritiske spørgsmål Gode råd m.m. 1 Hvad er akademisk

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Fremstillingsformer i historie

Fremstillingsformer i historie Fremstillingsformer i historie DET BESKRIVENDE NIVEAU Et referat er en kortfattet, neutral og loyal gengivelse af tekstens væsentligste indhold. Du skal vise, at du kan skelne væsentligt fra uvæsentligt

Læs mere

Forord Forord Hvem er bogen for?

Forord Forord Hvem er bogen for? Forord Forord 11 Meget hurtig var jeg til at sige ja, da en ven spurgte mig, om jeg ville skrive denne bog. Der er så meget at sige om de svære samtaler, der findes så mange måder at sige det på. Medierne

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Læs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre

Læs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Logik Sandt eller falsk? Lyver han? Taler hun sandt? Det ville

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

FLIPPED CLASSROOM MULIGHEDER OG BARRIERER

FLIPPED CLASSROOM MULIGHEDER OG BARRIERER FLIPPED CLASSROOM MULIGHEDER OG BARRIERER Er video vejen frem til at få de studerendes opmærksomhed? Udgivet af Erhvervsakademi Aarhus, forsknings- og innovationsafdelingen DERFOR VIRKER VIDEO 6 hovedpointer

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Professoren. - flytter ind! Baseret på virkelige hændelser. FORKORTET LÆSEPRØVE! Særlig tak til:

Professoren. - flytter ind! Baseret på virkelige hændelser. FORKORTET LÆSEPRØVE! Særlig tak til: 1 Professoren - flytter ind! 2015 af Kim Christensen Baseret på virkelige hændelser. FORKORTET LÆSEPRØVE! Særlig tak til: Shelley - for at bringe ideen på bane Professor - opdrætter - D. Materzok-Köppen

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Er det virkelig så vigtigt? spurgte han lidt efter. Hvis ikke Paven får lov at bo hos os, flytter jeg ikke med, sagde hun. Der var en tør, men

Er det virkelig så vigtigt? spurgte han lidt efter. Hvis ikke Paven får lov at bo hos os, flytter jeg ikke med, sagde hun. Der var en tør, men Kapitel 1 Min mor bor ikke hos min far. Julie tænkte det, allerede før hun slog øjnene op. Det var det første, hun huskede, det første hun kom i tanker om. Alt andet hang sammen med dette ene hendes mor

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Matematikkens filosofi filosofisk matematik

Matematikkens filosofi filosofisk matematik K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Det Naturvidenskabelige Fakultet Matematikkens filosofi filosofisk matematik Flemming Topsøe, topsoe@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Undervisningsforløb til Luremine Af Rie Borre, Læsekonsulent i Dit Læsekompagni og læsevejleder i Hvidovre Kommune

Undervisningsforløb til Luremine Af Rie Borre, Læsekonsulent i Dit Læsekompagni og læsevejleder i Hvidovre Kommune FORLAG Undervisningsforløb til Luremine Af Rie Borre, Læsekonsulent i Dit Læsekompagni og læsevejleder i Hvidovre Kommune Til eleven Indledning Du skal nu læse bogen Luremine. Bogen består af to dele,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år)

Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år) Læringsmål ved overgangen fra vuggestue til børnehave (0-3 år) De pædagogiske processer skal lede henimod, at barnet ved slutningen af vuggestuen med lyst har tilegnet sig færdigheder og viden, som sætter

Læs mere

INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009

INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009 Martinus Institut INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009 Kære venner af Martinus-Sagen Det er med stor glæde vi kan konstatere, at antallet af interesserede som bærer vores fælles Sag vokser stille og

Læs mere

MENNESKER MØDES 10 21 MIN DATTERS FIRHJULEDE KÆRLIGHED

MENNESKER MØDES 10 21 MIN DATTERS FIRHJULEDE KÆRLIGHED 21 MIN DATTERS FIRHJULEDE KÆRLIGHED I sidste uge var jeg ti dage i London for at besøge min datter. Hun har et rigtig godt job i et internationalt firma og et godt sted at bo. Hun har også en kæreste,

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

På jagt efter motivationen

På jagt efter motivationen På jagt efter motivationen Handlekraftig selvoverskridelse i meningsfuldhedens tjeneste Af Jakob Skov, Villa Venire A/S april 2011 Motivationsbegrebet fylder til stadighed mere i dagens virksomheder og

Læs mere