Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen"

Transkript

1 Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen

2 1 Indholdsfortegnelse. Forord Introduktion til lineær programmering Simplexmetoden Simplexmetoden med Derive Skyggepriser og følsomhedsanalyse Appendiks

3 2 Forord. Dette undervisningsmateriale er udviklet i forbindelse med projektet Matematik og naturfag i verdensklasse 1, som Københavns Kommune, Frederiksberg Kommune, Københavns Amt, Frederiksborg Amt, Roskilde Amt og Hovedstadens Udviklingsråd står bag. Lineær programmering med Derive er, som titlen antyder, et undervisningsforløb, der i høj grad udnytter mulighederne i et CAS-program. I fremstillingen introduceres begrebet Lineær programmering (LP) samt den mest anvendte metode til løsning af LP-problemer, Simplexmetoden. Desuden behandles begreberne skyggepriser og følsomhedsanalyse, herunder hvordan slutsimplextabellens værdier kan anvendes i beskrivelsen af disse begreber. Derive s faciliteter til grafisk fremstilling, til matrixmanipulation samt til bestemmelse af simplextabellerne mindsker i væsentlig grad de beregningsmæssige sider i løsningen af LPproblemer, hvorved der i højere grad kan fokuseres på det indholdsmæssige i begreberne. (De Derivefunktioner, der er benyttet, er forklaret i appendiks). Børge Jørgensen Helsingør Gymnasium, maj

4 3 1. Introduktion til lineær programmering. Betragt følgende problemstilling: Et lille tekstilforetagende i provinsen syr skjorter og bukser. Arbejdsgangen er fordelt på 3 områder: Tilskæring, syning og pakning. Der er ingen problemer med at skaffe de nødvendige materialer til produktionen, men på grund af lokalernes størrelse er der kun plads til et begrænset antal medarbejdere på de 3 områder; dette kan udtrykkes ved det antal timer, der er til rådighed i hver afdeling pr. uge. I dette tilfælde gælder følgende timetal: I tilskæringsafdelingen er der 110 timer, i syafdelingen 650 timer og i pakkeafdelingen 40 timer. Man regner med, at det tager 0.15 timer at tilskære en skjorte og 0.10 timer for bukser, syningen tager 0.60 timer for en skjorte og 0.90 timer for et par bukser, medens pakningen tager 0.05 timer for hver. Fortjenesten ved salget af disse beklædningsgenstande er 80 kr. pr. skjorte og 65 kr. pr. buksepar. Hvordan skal produktionen sammensættes for at maksimere fortjenesten? For at gøre problemet lidt mere overskueligt opstiller vi tallene i tabelform: skjorter (x) bukser (y) timer tilskæring #1: syning pakning fortjeneste maksimeres Herudover er det klart, at antal producerede skjorter (x) og bukser (y) er ikke-negative. Vi kan nu opstille problemet i matematisk form: #2: 0.15 x y 110 #3: 0.6 x y 650 #4: 0.05 x y 40 #5: 80 x + 65 y = max #6: x 0 y 0 Dette er et typisk problem inden for lineær programmering (et LP-problem). De første tre uligheder kaldes normalt for bibetingelser, de sidste uligheder (af gode grunde) for positivitetsbetingelser, medens den størrelse, der skal maksimeres kaldes kriteriefunktionen. Det givne LP-problem kan derfor udtrykkes ved: Maksimér kriteriefunktionen under bibetingelserne og positivitetsbetingelserne. For at komme en løsning af problemet lidt nærmere foretager vi først en geometrisk tolkning. Den matematiske form indikerer, at beskrivelsen er knyttet til et sædvanligt to-dimensionalt koordinatsystem. Positivitetsbetingelserne betyder, at vi kun opererer i 1. kvadrant (inklusive akserne). Lad os se lidt nærmere på den første ulighed i bibetingelserne: #7: 0.15 x y 110

5 4 Uligheden er lineær, hvilket betyder, at løsningsmængden grafisk set er en af de to halvplaner, som den tilhørende linie deler planen i. Indtegner vi løsningen til uligheden sammen med positivitetsbetingelserne #8: 0.15 x y 110 x 0 y 0 får vi Når den første bibetingelse og positivitetsbetingelserne skal opfyldes, er det altså kun inden for dette område, at kriteriefunktionen må maksimeres. De øvrige to bibetingelser indskrænker det tilladte område yderligere: #9: 0.15 x+0.1 y x+0.9 y x+0.05 y 40 x 0 y 0 Dette område, der bliver bestemt af bibetingelserne og positivitetsbetingelserne, kaldes for mulighedsområdet. Da betingelserne alle er lineære, bliver mulighedsområdet en fællesmængde af halvplaner, som udgør en konveks polygon. (At mængden er konveks, betyder at liniestykket, der forbinder to punkter i mængden, også tilhører mængden; polygon betyder mangekant). Tilbage står nu at finde det eller de punkt(er) inden for dette område, hvor kriteriefunktionen har sin maksimale værdi. Kriteriefunktionen er en lineær funktion i to variable: #10: f(x, y) := 80 x + 65 y For en given funktionsværdi (f.eks ) får vi derfor ligningen for en ret linie: #11: 80 x + 65 y = 50000

6 5 Retningsvektoren for linien #12: nf := [80, 65] angiver den retning, hvori funktionen vokser 2. Kriteriefunktionens værdi vil altså vokse, når linien bevæger sig op til højre. Maximalværdien i mulighedsområdet fås derfor lige før linien slipper, hvilket må ske i et hjørnepunkt (eller liniestykket, der forbinder to hjørnepunkter). På figuren har linien passeret to punkter (A og B), medens der er tre tilbage (C, D og E). Ved at bevæge linien yderligere ses, at det er punktet D, der passeres sidst, hvilket betyder, at kriteriefunktionen opnår sin maximale værdi i mulighedsområdet i dette punkt. Ulighederne i bibetingelserne og positivitetsbetingelserne giver i dette tilfælde anledning til 5 linier, der har 10 skæringspunkter, hvoraf de 5 er hjørner i mulighedsområdet. Da kriteriefunktionens maximalværdi antages i et hjørnepunkt, kunne vi have løst det oprindelige problem ved at finde de 10 skæringspunkter, bestemme hvilke, der ligger i mulighedsområdet, indsætte disse i kriteriefunktionen og vælge den største. Den grafiske (geometriske) metode gør, at vi kun skal finde punktet D, der her er bestemt af den første og sidste ulighed i bibetingelserne: #13: 0.15 x y = x y = 40 #14: x = 600 y = 200 Disse værdier indsættes i kriteriefunktionen #15: f(600, 200) = Vektorpile kan i Derive tegnes v.h.a. Arrows.mth

7 6 Hermed bliver svaret på problemet: Der skal produceres 600 skjorter og 200 par bukser (pr. uge) Herved bliver fortjenesten kr. Hvis vi i ovenstående eksempel forestiller os at fabrikken også fremstillede f.eks. kjoler, ville der i ulighederne indgå tre variable x (skjorter), y (bukser) og z (kjoler). Herudover ville kriteriefunktionen blive en lineær funktion i tre variable f(x,y,z) = ax+by+cz. Det betyder, at en geometrisk fremstilling skulle foretages i et 3-dimensionalt koordinatsystem. Vi illustrerer det 3-dimensionale tilfælde med et lille simpelt eksempel. Eksempel 1.1. Lad bibetingelserne være #16: x + y + z 4 #17: 2 y + z 4 #18: z 3 #19: x 2 og positivitetsbetingelserne #20: x 0 y 0 z 0 Vi ønsker at maksimere kriteriefunktionen #21: f(x, y, z) := 2 x + 3 y + 4 z Mulighedsområdet - som bliver et konvekst polyeder - får følgende udseende, set fra forskellige vinkler 3 : For en given funktionsværdi for kriteriefunktionen (f.eks. 10) får vi ligningen for en plan: #22: 2 x + 3 y + 4 z = 10 3 Derive kan ikke i 3 dimensioner grafisk løse ulighedssystemer, så mulighedsområdet er her optegnet ved at finde de relevante hjørnepunkter og forbinde disse på passende vis (se appendiks).

8 7 Normalvektoren n = (2,3,4) bestemmer igen den retning, hvori kriteriefunktionen vokser. Løsningen på problemet findes som før ved at bestemme det punkt (eller linie eller plan), hvor "kriterieplanen" slipper mulighedsområdet. I dette tilfælde viser det sig at være i punktet (1/2,1/2,3). Kriteriefunktionens værdi i dette punkt er #23: f,, 3 = 2 2 ƒ 2 Som det fremgår, kan det hurtigt blive en uoverskuelig sag grafisk at løse LP-problemer i tre dimensioner. Da der desuden ofte optræder mere end tre variable - hvor en geometrisk løsning ikke er mulig - er der selvfølgelig udviklet metoder til at løse sådanne problemer. Den mest anvendte - Simplexmetoden - ser vi på i næste kapitel. Opgaver Opgave 1.1 Løs følgende LP-problem grafisk: Maksimer f(x,y) = 4x + 2y under bibetingelserne 4x + 3y 7 x + 3y 5 og positivitetsbetingelserne x 0 y 0.

9 8 Opgave 1.2 Ulighederne i bibetingelserne kan indeholde " " i stedet for " ". Bestem (tegn) mulighedsområdet, når x +2 y 7 -x + y 3-2x + y -3 x 0 y 0 Bestem for hvilke værdier af x og y funktionen f(x,y) = 2x + 4y opnår sin maksimale værdi i dette område. Opgave 1.3 Kriteriefunktionen ønskes i nogle situationer minimeret i stedet for maksimeret (f.eks. hvis den er et udtryk for omkostninger). Minimer kriteriefunktionen f(x,y) = x + 3y under betingelserne x + y 4 3x + y 3 2x + 5y 12 x 0 y 0 Opgave 1.4 Kriteriefunktion f(x,y) = 3x + 2y ønskes både maksimeret og minimeret, når mulighedsområdet bestemmes af følgende betingelser -2x + y 4 -x + y 1 3x + y 6 x 0 y 0 Opgave 1.5 Bestem mulighedsområdet, når -x+y 2 x+3y 12 5x+3y 18 x 0 and y 0

10 9 Opgave 1.6 På en fabrik fremstilles tre produkter A, B og C. Fabrikken har to afdelinger. Det antal kg, der pr. time produceres, fremgår af nedenstående skema. A B C Afdeling I Afdeling II Bestem for hver af de to afdelinger et antal timer, som den skal være i drift, for at afdelingerne tilsammen billigst muligt kan producere mindst kg A, mindst kg B og mindst kg C, hvis 1) udgifterne i afdeling I er 300 kr. pr. time, og udgifterne i afdeling II er 600 kr. pr. time. 2) udgifterne i afdeling I er 400 kr. pr. time, og udgifterne i afdeling II er 600 kr. pr. time. (Studentereksamen 1977, Mat-Fys-gren)

11 10 2. Simplexmetoden Vi har i de tidligere eksempler set, at mulighedsområdet i to dimensioner er en konveks polygon og kriteriefunktionen for en givet værdi er en ret linie, og i tre dimensioner er mulighedsområdet et konvekst polyeder, medens kriteriefunktionen for en givet værdi er en plan; dette betød i begge tilfælde, at den maksimale eller minimale værdi blev antaget i et hjørnepunkt. Disse egenskaber kan generaliseres til vilkårlige dimensioner, således at den optimale værdi (såfremt den findes) vil antages i et hjørnepunkt. Dette er baggrunden for simplexmetoden, som består i at starte i et hjørnepunkt i mulighedsområdet og derefter bevæge sig til hjørnepunkter, hvori kriteriefunktionens værdi er bedre (max: større, min: mindre), indtil dette ikke længere kan lade sig gøre. Vi illustrerer metoden ved hjælp af et par eksempler. Eksempel 2.1 Maksimer kriteriefunktionen #24: f(x, y) := 3 x + 2 y #25: x + 3 y 9 #26: 2 x + y 8 #27: x 0 y 0 Mulighedsområdet får følgende udseende (med f(x,y) = 0 indtegnet): #28: x + 3 y 9 2 x + y 8 x 0 y 0 Først omformes bibetingelserne til ligninger ved at indføre nogle hjælpevariable, restvariable, s 0 og t 0. (s og t udtrykker, hvor meget der mangler i ulighedernes venstresider for at lighedstegnet gælder). #29: x + 3 y + s = 9 #30: 2 x + y + t = 8 Vi vælger nu hjørnepunktet O = (x,y) = (0,0) som startpunkt. Dette giver #31: s = 9 t = 8 og #32: f(0, 0) = 0

12 11 De angivne værdier kan aflæses i starttabellen, som opstilles med koefficienterne i bibetingelserne og kriteriefunktionen: x y s t b #33: _2_ De variable, der i det pågældende punkt er 0 (her s og t), har kun et 1-tal i deres søjle; værdien aflæses i b-søjlen ud for 1-tallet. Værdien nederst til højre angiver kriteriefunktionens værdi (med modsat fortegn) i det pågældende punkt. Ideen er nu at øge enten x eller y for at komme til næste hjørnepunkt (A eller C). Vi vælger at øge den variabel, der har den største koefficient i kriteriefunktionen, d.v.s. x (herved bliver første søjle pivotsøjle). Men hvor meget kan vi øge x uden at komme uden for mulighedsområdet? I den første ligning kan x øges til 9 ( = 9/1, se #29)) og i den anden til 4 ( = 8/2, se #30); da begge ligninger skal gælde kan x altså øges til 4 (herved bliver anden (tal)række pivotrække og 2-tallet bliver pivotelement, markeret i tabellen). Det giver følgende værdier #34: x = 4 y = 0 s = 5 t = 0 som svarer til punkt C. Her er #35: f(4, 0) = 12 Da x 0 skal den næste tabel indeholde en x-søjle med kun et 1-tal (der hvor pivotelementet står) og de øvrige 0. Dette opnår vi ved følgende ændringer af ligningerne: 1) Ligning 2 (#30) divideres igennem med 2, hvorved x får koefficienten 1: 1 1 #36: x + y + t = ) Ligning 1 (#29) fratrækkes den nye ligning 2, hvorved x får koefficienten 0: 1 1 #37: (x + 3 y + s = 9) - x + y + t = ƒ 5 1 #38: y + s - t = ) Kriteriefunktionen = 0 fratrækkes 3 gange den nye ligning 2, hvorved x får koefficienten 0: 1 1 #39: (3 x + 2 y = 0) - 3 x + y + t = ƒ 1 3 #40: y - t =

13 12 Herefter får tabellen følgende udseende: x y s t b _2_ 2 #41: Bemærk, at elementet i nederste højre hjørne angiver kriteriefunktionens værdi med modsat fortegn. Ligningerne og kriteriefunktionen kunne nu skrives 5 1 #42: y - t + s = #43: y + t + x = #44: f1(y, t) := y - t 2 2 Opfatter vi nu y og t som de "rigtige" variable og s og x som restvariable, er vi i samme situation, som da vi begyndte; altså skal vi blot gennemføre samme procedure igen, d.v.s. at vi skal øge enten y eller t. Da koefficienten til t er negativ, vil en forøgelse af t formindske kriteriefunktionens værdi, så derfor vælger vi at øge y. Det betyder, at anden søjle bliver pivotsøjle. Hvor meget y kan øges, bestemmes af de to ligninger. I første ligning kan y forøges til 2 ( = 5/(5/2)) og i anden ligning til 8 ( = 4/(1/2)). Den mindste vælges - altså øges y til 2; herved bliver 5/2 pivotelement. Med samme fremgangsmåde som før ændres y-søjlen, så tabellen får følgende udseende x y s y b #45: Ud fra denne tabel aflæses, at #46: x = 3 y = 2 s = 0 t = 0 f(3, 2) = 13 Da den nye kriteriefunktion f2(s,t) = -1/5s - 7/5t kun indeholder negative koefficienter, kan værdien

14 13 ikke øges yderligere - vi har altså fundet den maksimale værdi i punktet (x,y) = (3,2), hvilket også fremgår geometrisk #47: f(x, y) = 13 Øvelse 2.1 Vis, at den tredje tabel er korrekt. Eksempel 2.2 Lad os benytte simplexmetoden til at undersøge LP-problemet i eksempel 1.1. Her havde vi bibetingelserne #48: x + y + z 4 #49: 2 y + z 4 #50: z 3 #51: x 2 og positivitetsbetingelserne #52: x 0 y 0 z 0 Vi ønsker at maksimere kriteriefunktionen #53: f(x, y, z) := 2 x + 3 y + 4 z Først indfører vi restvariable s, t, u og v (alle ikke-negative) hørende til de fire bibetingelser: #54: x + y + z + s = 4 #55: 2 y + z + t = 4 #56: z + u = 3 #57: x + v = 2 og herefter opstiller vi starttabellen

15 14 x y z s t u v b #35: A := hvor vi altså har (x,y,z) = (0,0,0) og (s,t,u,v) = (4,4,3,2) og f(0,0,0) = 0. (På de efterfølgende figurer følges punktets bevægelse fra hjørnepunkt til hjørnepunkt). Vi vælger at øge z, d.v.s. at 3. søjle er pivotsøjle. Hvor meget z kan øges, bestemmes som før af kvotienterne mellem værdierne i b-søjlen og værdierne i z-søjlen (for de fire ligninger): 4 A i,8 4 #59: VECTOR, i, 2, 5 = A 3 i,3 ƒ ± (± betyder, at den sidste ligning ikke lægger begrænsninger på z). Da den mindste værdi er bestemmende, bliver pivotelementet det tredie 1-tal i z-søjlen. Pivotelementet er altså allerede 1, så vi skal nu have alle andre elementer i z-søjlen til at være 0: #60: C := FORCE0(FORCE0(FORCE0(A, 2, 3, 4), 3, 3, 4), 6, 3, 4) x y z s t u v b #61: Nu er #62: [x, y, z] = [0, 0, 3] [s, t, u, v] = [1, 1, 0, 2] f(0, 0, 3) = 12

16 15 Næste pivotsøjle bliver y-søjlen. Vi finder kvotienterne mellem b-søjle og y-søjle: 1 C 1 i,8 #63: VECTOR, i, 2, 5 = 2 C i,2 ƒ ± ± altså er 2-tallet i y-søjlen pivotelement. Vi bestemmer den nye tabel (pivotelementet skal være 1): 1 #64: D := FORCE0 FORCE0 SCALE_ELEMENT C, 3,, 2, 2, 3, 6, 2, 3 2 ƒ ƒ ƒ x y z s t u v b #65: Her aflæses, at #43: [x,y,z]= 0,, 3 [s,t,u,v]=, 0, 0, 2 f 0,, 3 = ƒ 2

17 16 Pivotsøjlen bliver nu x-søjlen, og beregningen 1 D 2 i,8 #67: VECTOR, i, 2, 5 = ± D i,1 ƒ ± 2 viser, at det øverste 1-tal er pivotelement. Den nye tabel bliver #68: E := FORCE0(FORCE0(D, 5, 1, 2), 6, 1, 2) x y z s t u v b #69: Da alle koefficienter i kriteriefunktionen nu er ikke-positive, kan funktionens værdi ikke øges yderligere. Vi har derfor løst problemet og fundet #70: [x,y,z] =,,3 [s,t,u,v]= 0,0,0, f,,3 = ƒ 2 hvilket er i overensstemmelse med den tidligere fundne løsning.

18 17 I de eksempler, vi hidtil har set på, indeholder bibetingelserne "" og kriteriefunktionen skal maksimeres, men som nævnt i opgaverne i kapitel 1 kan bibetingelserne indeholde " " (og også "="), medens kriteriefunktionen måske ønskes minimeret. I disse tilfælde transformeres på følgende måde: a b <=> -a -b a = b <=> a b a b min f = -max (-f) I eksemplerne med simplexmetoden benytter vi hjørnepunktet O (origo), som startpunkt; hvis dette punkt ikke ligger i mulighedsområdet, kan metoden ikke umiddelbart benyttes. Der findes imidlertid metoder (som udnytter simplexberegningen) til at finde et hjørnepunkt i mulighedsområdet (første fase), og herfra kan man så fortsætte på sædvanlig vis (anden fase). Vi vil ikke komme nærmere ind på dette her, idet Derive - som det fremgår af næste kapitel - kan løse LP-problemer uden at vi behøver at bekymre os om disse forhold. Opgaver Opgave 2.1 Løs LP-problemerne i opgave 1.1. og 1.2. ved hjælp af simplexmetoden. Opgave 2.2 Løs problemet for tekstilfabrikken i kapitel 1 ved hjælp af simplexmetoden. Opgave 2.3 Løs følgende LP-problem ved brug af simplexmetoden. Maksimer #71: f(x, y) := 3 x + 5 y + 4 z under betingelserne #72: x + 2 y + 5 z 180 #73: 3 x + 4 y + z 90 #74: 3 x + 3 z 210 #75: x 0 y 0 z 0

19 18 3. Simplexmetoden med Derive Simplexfunktionerne i Derive (version 5.05) ligger som mth.- fil i Users, hvorfor den skal indlæses (Load<Utility File<Simplex). #76: LOAD(C:\DfW5\Users\Simplex.mth) De to funktioner, vi vil benytte er MAXIMIZE og MINIMIZE, der begge som parametre har kriteriefunktionen og bibetingelserne (de sidste i [ ]); positivitetsbetingelserne forudsættes opfyldt. Selv om forfatteren til "Simplex" skriver, at både " " og "<" kan bruges, accepterer min version kun "<" (tilsvarende med " "); det kan virke paradoksalt, da kanterne og dermed hjørnerne af mulighedsområdet udelukkes, men det fungerer nu alligevel. Eksempel 3.1. Maksimer #77: f(x, y) := 3 x + 5 y + 4 z under betingelserne #78: x + 2 y + 5 z 180 #79: 3 x + 4 y + z 90 #80: 3 x + 3 z 210 #81: x 0 y 0 z 0 MAXIMIZE-funktionen opskrives #82: MAXIMIZE(3 x+5 y+4 z,[x+2 y+5 z < 180, 3 x+4 y+z < 90,3x+3z<210]) og der klikkes på "=" #83 [195, x = 0 y = 15 z = 30, [0, 0, 120]] Dette svar tydes således: Kriteriefunktionen antager sin maksimale værdi 195 i (x,y,z) = (0,15,30) og restvariablene (s,t,u) = (0,0,120). Eksempel 3.2 Lad bibetingelserne være #84 2 x + 4 y 36 #85 4 x + 12 y 12 #86 2 x - 2 y -6 #87 y 5 og positivitetsbetingelserne #88 x 0 y 0

20 19 Det giver følgende mulighedsområde #89 2 x+4 y 36 4 x+12 y 12 2 x-2 y -6 y 5 x 0 y 0 hvor A = (0,1), B = (0,3), C = (2,5), D = (8,5), E = (18,0) og F = (3,0). Vi bestemmer maksimum og minimum for forskellige kriteriefunktioner #90 MAXIMIZE(2 x+y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2 y >-6]) #91 [36, x = 18 y = 0, [0, 5, 42, 60]] Kriteriefunktionen 2x + y har altså den maksimale værdi 36 i punktet E(18,0). Vi finder den minimale værdi af den samme kriteriefunktion: #92 MINIMIZE(2 x+y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2 y >-6]) #93 [1, x = 0 y = 1, [32, 4, 4, 0]] Kriteriefunktionen 2x + y har altså sin minimale værdi 1 i punktet A(0,1). Endnu en maksimering: #94 MAXIMIZE(2 x+5 y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2y>-6]) #95 [41, x = 8 y = 5, [0, 0, 12, 80]] Kriteriefunktionen 2x + 5y har altså sin maksimale værdi 41 i punktet D(8,5). og en minimering: #96 MINIMIZE(2 x-3 y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2y>-6]) #97 [-11, x = 2 y = 5, [12, 0, 0, 56]] Kriteriefunktionen 2x - 3y har altså sin minimale værdi -11 i punktet C(2,5).

21 20 Simplex-programmet kan udskrive alle simplextabellerne, der benyttes i beregningen. Da det - som vi senere skal se - kun er den sidste tabel, der er interessant, vil vi fjerne alle tabellerne pånær den sidste. Programmet opskriver og regner på tabellerne på et lidt anden måde end vi har gjort - det justerer vi også. Til dette bruges et lille program "sluttabel", der er beskrevet i appendiks. Det indeholder to funktioner, sluttabel_max og sluttabel_min, der benyttes ved brug af henholdsvis MAXIMIZE og MINIMIZE. Programmet bør gemmes som mth.-fil i Users, og derefter indlæses på samme måde som "Simplex". #98: LOAD(C:\DfW5\Users\sluttabel.mth) For at få simplextabellerne udskrevet, skal man først skrive (dette gøres normalt i starten af dokumentet) #99: simplextables :=[] Efter brug af MAXIMIZE skrives #100: sluttabel_max og der klikkes på "=". (Tilsvarende med MINIMIZE). Eksempel 3.3 (LP-problemet fra eksempel 1.1 og eksempel 2.2) #101: MAXIMIZE(2 x + 3 y + 4 z, [x + y + z < 4, 2 y + z < 4, z < 3,x < 2]) #102:, x = y = z = 3, 0, 0, 0,

22 21 #103: sluttabel_max #104: Sammenlign denne tabel med sluttabellen i eksempel 2.2. (Rækkefølgen af rækkerne på nær den nederste - kan være ombyttet). Opgaver Opgave 3.1 Under betingelserne #105: 2 x + 3 y + z 23 #106: 3 x + y + z 21 #107: x + 2 y + 4 z 31 #108: x 0 y 0 z 0 skal du a) Maksimere f(x,y,z) = x + y + 2z og udskrive sluttabellen b) Minimere g(x,y,z) = -x - y - 2z og udskrive sluttabellen. Opgave 3.2 Løs LP-problemet i opgave 1.4. ved brug af MAXIMIZE og MINIMIZE og udskriv sluttabellerne.

23 22 4. Skyggepriser og følsomhedsanalyse #109: LOAD(C:\DfW5\Users\Simplex.mth) #110: LOAD(C:\DfW5\Users\sluttabel.mth) #111: simplextables := [] Vi vender nu tilbage til tekstilfabrikken for at se nærmere på betydningen af restvariablene. Udgangspunktet var: skjorter (x) bukser (y) timer tilskæring #112: syning pakning fortjeneste maksimeres eller skrevet på LP-form Maksimer #113: f(x, y) := 80 x + 65 y under betingelserne #114: 0.15 x y 110 #115: 0.6 x y 650 #116: 0.05 x y 40 #117: x 0 y 0 Først opstiller vi problemet på ligningform (dette er ikke nødvendigt for at bruge MAXIMIZE, men gøres for at holde styr på restvariablene) #118: 0.15 x y + s = 110 #119: 0.6 x y + t = 650 #120: 0.05 x y + u = 40 og løser ved hjælp af MAXIMIZE #121:MAXIMIZE(80 x+65 y,[0.15 x+0.1 y<110,0.6 x+0.9 y<650, 0.05x+0.05y<40]) #122: [61000, x = 600 y = 200, [0, 110, 0]] Restvariablene (s,t,u) = (0,110,0) er som tidligere nævnt udtryk for, hvor meget der mangler på venstresiderne af ulighedstegnet for at der gælder lighedstegn. At t = 110 betyder således, at der i syafdelingen er 110 timer i "overskud", medens s = 0 og u = 0 betyder, at kapaciteten er fuldt udnyttet i tilskæringsafdelingen og i pakkeafdelingen. Der er således ikke meget fornuft i at "købe"

24 23 flere timer til syafdelingen ude i byen; man kunne derimod "sælge" timer og øge fortjenesten uanset prisen (så længe den er positiv). Dette udtrykkes ved, at skyggeprisen for en time i syafdelingen er 0 kr. Men hvilke skyggepriser gælder for de to andre afdelinger? For at svare på dette får vi brug for slutsimplextabellen: #123: sluttabel_max #124: Sidste række i tabellen er koefficienterne i kriteriefunktionen. Udtrykket for kriteriefunktionen bliver derfor #125: 0 x + 0 y s + 0 t u Heraf ses, at hvis s ændres fra 0 til 1 - hvilket svarer til, at højresiden i første ulighed ændres til vil fortjenesten falde med 300, medens en forøgelse af højresiden til 111 (hvilket i princippet svarer til, at ændre s fra 0 til -1) forøger fortjenesten med 300: Det betyder, at fabrikken maksimalt bør betale 300 kr. for en ekstratime til tilskæringsafdelingen, medens de ved "salg" af timer bør forlange mindst 300 kr. pr. time. Derfor er skyggeprisen for timer i tilskæringsafdelingen 300 kr. Tilsvarende er skyggeprisen for en time i pakkeafdelingen 700 kr. Skyggepriserne kan altså aflæses i nederste række i sluttabellen. I betragtning af det høje antal overskudstimer i syafdelingen får man på fabrikken den ide, at en ændring af lokaler og indretning kunne flytte timer fra én afdeling til en anden og dermed udnytte kapaciteten bedre. Man ønsker derfor at undersøge, om fortjenesten kan øges, når det samlede antal timer ikke kan overstige det nuværende, som er = 800. De betingelser, der skal gælde, er således #126: 0.15 x y p #127: 0.6 x y q #128: 0.05 x y p - q Funktionen MAXIMIZE kan løse dette problem, idet p og q opfattes som normale variable #129: MAXIMIZE(80 x + 65 y, [0.15 x y < p, 0.6 x y < q, 0.05 x y < p - q]) #130: [80000, x = 1000 y = 0 p = 150 q = 600, [0, 0, 0]] Med disse p- og q-værdier, bliver det oprindelige problem #131: MAXIMIZE(80 x + 65 y, [0.15 x y < 150, 0.6 x y < 600, 0.05 x y < 50]) #132: [80000, x = 1000 y = 0, [0, 0, 0]]

25 24 #133: sluttabel_max #134: Vi ser nu, at fortjenesten stiger til (ikke dårligt), der skal kun produceres skjorter, og ressourcerne er fuldt udnyttet (alle restvariable er 0). Imidlertid er skyggeprisen på en time i pakkeafdelingen nu på betyder det, at det kan betale sig at investere (højst 1600) i en ekstra "pakketime"? Vi prøver at øge antallet af timer i pakkeafdelingen fra 50 til 51 og får #135: MAXIMIZE(80 x+65 y,[0.15x+0.1y<150, 0.6x+0.9y<600, 0.05x+0.05y<51]) #136: [80000, x = 1000 y = 0, [0, 0, 1]] Det kunne ikke betale sig; denne time bliver blot til overs (altså skyggepris 0). Men hvad sker der, hvis vi sælger en time? #137: MAXIMIZE(80x+65y [0.15x+0.1 y<150, 0.6x+0.9y<600, 0.05x+0.05y<49]) #138: [78400, x = 980 y = 0, [3, 12, 0]] Den kostede 1600 i fortjeneste (en produktionsnedgang og uudnyttede ressourcer). Denne uoverensstemmelse i skyggepris skyldes, at vi er i et grænsetilfælde, hvor vi i den ene retning har én skyggeværdi og i den anden retning en anden. Øvelse 4.1 Undersøg hvilken påvirkning en ændring på en time i de to andre afdelinger har m.h.t. fortjeneste, produktion, ressourceudnyttelse og skyggepriser. Ovenstående er et af emnerne, der behandles indenfor følsomhedsanalyse i lineære programmeringsmodeller; normalt ser man på hvilke ændringer, der kan forekomme i ressourcebegrænsningerne uden at skyggepriserne ændres. Generelt dækker følsomhedsanalysen påvirkningen af den optimale løsning ved ændring af en eller flere af de koefficienter, der indgår i beskrivelsen af modellen. Vi skal her kun se på betydningen af ændringer i kriteriefunktionen, hvilket i tekstilfabrikkens tilfælde vil sige ændringer i fortjenesten for henholdsvis skjorter og bukser. Det, der kan være interessant at undersøge er, hvor store ændringer, der kan forekomme i fortjenesten på de enkelte produkter, uden at det optimale hjørnepunkt (produktionssammensætningen) ændres. Først antager vi, at fortjenesten pr. skjorte kan skrives som 80 + k, således at fortjenesten beskrives ved kriteriefunktionen f(x,y) = (80 + k)x + 65y, og undersøger så, hvilken betydning en variation af k har. "Simplex"-programmet kan ikke løse problemet i denne udgave, så vi bruger metoden fra eksempel 2.2.

26 25 Starttabellen bliver som følger: x y s t u b #139: A := k Første søjle vælges som pivotsøjle (eneste krav er, at k ), og pivotrækken findes A i,6 #140: VECTOR, i, 2, 4 = A i,1 ƒ 800 altså første talrække hvorved tallet 0.15 bliver pivotelement. Den næste tabel findes 1 #141: C := FORCE0 FORCE0 FORCE0 SCALE_ELEMENT A, 2,, 3, 1, 2, 4, 0.15 ƒ ƒ 1, 2, 5, 1, 2 ƒ ƒ x y s t u b #142: k 20 (k + 80) 2200 (k + 80) k Næste pivotsøjle er y-søjlen (her skal 0 ), og 3 C 1100 i,6 #143: VECTOR, i, 2, 4 = 420 C i,2 ƒ 200 viser, at tallet 1/60 er pivotelement.

27 26 #144: D := FORCE0(FORCE0(FORCE0(SCALE_ELEMENT(C, 4, 60), 2, 2, 4), 3, 2, 4), 5, 2, 4) x y s t u b #145: (k + 15) 0 20 (2 k - 35) (3 k + 305) Denne tabel svarer til vores oprindelige optimalpunkt (x,y) = (600,200), altså er dette sluttabellen. Der skal derfor gælde, at koefficienterne i kriteriefunktionen er ikke-positive: #146: - 20 (k + 15) 0 20 (2 k - 35) 0 35 #147: -15 k 2 Det vil altså sige, at hvis fortjenesten på skjorter ligger mellem 65 kr. og 97,50 kr. (og fortjenesten på bukser er 65 kr.) vil den optimale produktion være 600 skjorter og 200 par bukser. Den samlede fortjeneste findes ved at indsætte værdien af k i 200(3k+305) eller i kriteriefunktionen sammen med værdierne af x og y. Øvelse 4.2 Undersøg fortjeneste, produktionssammensætning, ressourceudnyttelse og skyggepriser ved en fortjeneste på skjorter på henholdsvis 63 kr., 66 kr. og 98 kr. (Fortjenesten på bukser er 65 kr.). Hvis fortjenesten på både skjorter og bukser ændres fås følgende starttabel x y s t u b #148: k + 80 m og sluttabel x y s t u b # (k-m+15) 0 20 (2 k-3 m-35) -200 (3 k + m + 305) Ikke-positive koefficienter i kriteriefunktionen kræver

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A htx102-mat/a-26082010 Fra torsdag den 26. august til fredag den 27. august 2010 Side 1 af 15 sider Forord Forberedelsesmateriale

Læs mere

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 10/11 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder.

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder. Dette tema lægger forskellige vinkler på temaet biografen. Udgangspunktet er således ikke et bestemt matematisk område, men et stykke virkelighed, der bl.a. kan beskrives ved hjælp af matematik. I dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj Juni 2011 Roskilde

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Kapitel 4 ØVELSER. Øvelse 1 a) 100 kr. b) 10 km. c) 6,7 km. d) 63 kr. Øvelse 2 - Øvelse 3 - Øvelse 4 - Øvelse 5 a). b) og. c) d) Højst 6 km.

Kapitel 4 ØVELSER. Øvelse 1 a) 100 kr. b) 10 km. c) 6,7 km. d) 63 kr. Øvelse 2 - Øvelse 3 - Øvelse 4 - Øvelse 5 a). b) og. c) d) Højst 6 km. 1 af 19 FACITLISTE, HHX MAT C, 3. udgave Udskriv siden Kapitel 4 ØVELSER Øvelse 1 a) 100 kr. 10 km. c) 6,7 km. d) 63 kr. Øvelse 2 - Øvelse 3 - Øvelse 4 - Øvelse 5 a). og. c) d) Højst 6 km. Øvelse 6 Kurverne

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Athena DIMENSION Tværsnit 2

Athena DIMENSION Tværsnit 2 Athena DIMENSION Tværsnit 2 Januar 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Programmets opbygning........................... 2 2.1 Menuer og værktøjslinier............................

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115 Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for nye måder at arbejde med Diagrammer på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Jørn Ole Spedtsberg

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Lineær Planlægning (programmering) med Excel 2. udgave 2007 1 Indhold FORORD Denne bog forklarer ved anvendelse af nogle typiske eksempler, hvad der er karakteristisk ved LP -

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere