Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen"

Transkript

1 Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen

2 1 Indholdsfortegnelse. Forord Introduktion til lineær programmering Simplexmetoden Simplexmetoden med Derive Skyggepriser og følsomhedsanalyse Appendiks

3 2 Forord. Dette undervisningsmateriale er udviklet i forbindelse med projektet Matematik og naturfag i verdensklasse 1, som Københavns Kommune, Frederiksberg Kommune, Københavns Amt, Frederiksborg Amt, Roskilde Amt og Hovedstadens Udviklingsråd står bag. Lineær programmering med Derive er, som titlen antyder, et undervisningsforløb, der i høj grad udnytter mulighederne i et CAS-program. I fremstillingen introduceres begrebet Lineær programmering (LP) samt den mest anvendte metode til løsning af LP-problemer, Simplexmetoden. Desuden behandles begreberne skyggepriser og følsomhedsanalyse, herunder hvordan slutsimplextabellens værdier kan anvendes i beskrivelsen af disse begreber. Derive s faciliteter til grafisk fremstilling, til matrixmanipulation samt til bestemmelse af simplextabellerne mindsker i væsentlig grad de beregningsmæssige sider i løsningen af LPproblemer, hvorved der i højere grad kan fokuseres på det indholdsmæssige i begreberne. (De Derivefunktioner, der er benyttet, er forklaret i appendiks). Børge Jørgensen Helsingør Gymnasium, maj

4 3 1. Introduktion til lineær programmering. Betragt følgende problemstilling: Et lille tekstilforetagende i provinsen syr skjorter og bukser. Arbejdsgangen er fordelt på 3 områder: Tilskæring, syning og pakning. Der er ingen problemer med at skaffe de nødvendige materialer til produktionen, men på grund af lokalernes størrelse er der kun plads til et begrænset antal medarbejdere på de 3 områder; dette kan udtrykkes ved det antal timer, der er til rådighed i hver afdeling pr. uge. I dette tilfælde gælder følgende timetal: I tilskæringsafdelingen er der 110 timer, i syafdelingen 650 timer og i pakkeafdelingen 40 timer. Man regner med, at det tager 0.15 timer at tilskære en skjorte og 0.10 timer for bukser, syningen tager 0.60 timer for en skjorte og 0.90 timer for et par bukser, medens pakningen tager 0.05 timer for hver. Fortjenesten ved salget af disse beklædningsgenstande er 80 kr. pr. skjorte og 65 kr. pr. buksepar. Hvordan skal produktionen sammensættes for at maksimere fortjenesten? For at gøre problemet lidt mere overskueligt opstiller vi tallene i tabelform: skjorter (x) bukser (y) timer tilskæring #1: syning pakning fortjeneste maksimeres Herudover er det klart, at antal producerede skjorter (x) og bukser (y) er ikke-negative. Vi kan nu opstille problemet i matematisk form: #2: 0.15 x y 110 #3: 0.6 x y 650 #4: 0.05 x y 40 #5: 80 x + 65 y = max #6: x 0 y 0 Dette er et typisk problem inden for lineær programmering (et LP-problem). De første tre uligheder kaldes normalt for bibetingelser, de sidste uligheder (af gode grunde) for positivitetsbetingelser, medens den størrelse, der skal maksimeres kaldes kriteriefunktionen. Det givne LP-problem kan derfor udtrykkes ved: Maksimér kriteriefunktionen under bibetingelserne og positivitetsbetingelserne. For at komme en løsning af problemet lidt nærmere foretager vi først en geometrisk tolkning. Den matematiske form indikerer, at beskrivelsen er knyttet til et sædvanligt to-dimensionalt koordinatsystem. Positivitetsbetingelserne betyder, at vi kun opererer i 1. kvadrant (inklusive akserne). Lad os se lidt nærmere på den første ulighed i bibetingelserne: #7: 0.15 x y 110

5 4 Uligheden er lineær, hvilket betyder, at løsningsmængden grafisk set er en af de to halvplaner, som den tilhørende linie deler planen i. Indtegner vi løsningen til uligheden sammen med positivitetsbetingelserne #8: 0.15 x y 110 x 0 y 0 får vi Når den første bibetingelse og positivitetsbetingelserne skal opfyldes, er det altså kun inden for dette område, at kriteriefunktionen må maksimeres. De øvrige to bibetingelser indskrænker det tilladte område yderligere: #9: 0.15 x+0.1 y x+0.9 y x+0.05 y 40 x 0 y 0 Dette område, der bliver bestemt af bibetingelserne og positivitetsbetingelserne, kaldes for mulighedsområdet. Da betingelserne alle er lineære, bliver mulighedsområdet en fællesmængde af halvplaner, som udgør en konveks polygon. (At mængden er konveks, betyder at liniestykket, der forbinder to punkter i mængden, også tilhører mængden; polygon betyder mangekant). Tilbage står nu at finde det eller de punkt(er) inden for dette område, hvor kriteriefunktionen har sin maksimale værdi. Kriteriefunktionen er en lineær funktion i to variable: #10: f(x, y) := 80 x + 65 y For en given funktionsværdi (f.eks ) får vi derfor ligningen for en ret linie: #11: 80 x + 65 y = 50000

6 5 Retningsvektoren for linien #12: nf := [80, 65] angiver den retning, hvori funktionen vokser 2. Kriteriefunktionens værdi vil altså vokse, når linien bevæger sig op til højre. Maximalværdien i mulighedsområdet fås derfor lige før linien slipper, hvilket må ske i et hjørnepunkt (eller liniestykket, der forbinder to hjørnepunkter). På figuren har linien passeret to punkter (A og B), medens der er tre tilbage (C, D og E). Ved at bevæge linien yderligere ses, at det er punktet D, der passeres sidst, hvilket betyder, at kriteriefunktionen opnår sin maximale værdi i mulighedsområdet i dette punkt. Ulighederne i bibetingelserne og positivitetsbetingelserne giver i dette tilfælde anledning til 5 linier, der har 10 skæringspunkter, hvoraf de 5 er hjørner i mulighedsområdet. Da kriteriefunktionens maximalværdi antages i et hjørnepunkt, kunne vi have løst det oprindelige problem ved at finde de 10 skæringspunkter, bestemme hvilke, der ligger i mulighedsområdet, indsætte disse i kriteriefunktionen og vælge den største. Den grafiske (geometriske) metode gør, at vi kun skal finde punktet D, der her er bestemt af den første og sidste ulighed i bibetingelserne: #13: 0.15 x y = x y = 40 #14: x = 600 y = 200 Disse værdier indsættes i kriteriefunktionen #15: f(600, 200) = Vektorpile kan i Derive tegnes v.h.a. Arrows.mth

7 6 Hermed bliver svaret på problemet: Der skal produceres 600 skjorter og 200 par bukser (pr. uge) Herved bliver fortjenesten kr. Hvis vi i ovenstående eksempel forestiller os at fabrikken også fremstillede f.eks. kjoler, ville der i ulighederne indgå tre variable x (skjorter), y (bukser) og z (kjoler). Herudover ville kriteriefunktionen blive en lineær funktion i tre variable f(x,y,z) = ax+by+cz. Det betyder, at en geometrisk fremstilling skulle foretages i et 3-dimensionalt koordinatsystem. Vi illustrerer det 3-dimensionale tilfælde med et lille simpelt eksempel. Eksempel 1.1. Lad bibetingelserne være #16: x + y + z 4 #17: 2 y + z 4 #18: z 3 #19: x 2 og positivitetsbetingelserne #20: x 0 y 0 z 0 Vi ønsker at maksimere kriteriefunktionen #21: f(x, y, z) := 2 x + 3 y + 4 z Mulighedsområdet - som bliver et konvekst polyeder - får følgende udseende, set fra forskellige vinkler 3 : For en given funktionsværdi for kriteriefunktionen (f.eks. 10) får vi ligningen for en plan: #22: 2 x + 3 y + 4 z = 10 3 Derive kan ikke i 3 dimensioner grafisk løse ulighedssystemer, så mulighedsområdet er her optegnet ved at finde de relevante hjørnepunkter og forbinde disse på passende vis (se appendiks).

8 7 Normalvektoren n = (2,3,4) bestemmer igen den retning, hvori kriteriefunktionen vokser. Løsningen på problemet findes som før ved at bestemme det punkt (eller linie eller plan), hvor "kriterieplanen" slipper mulighedsområdet. I dette tilfælde viser det sig at være i punktet (1/2,1/2,3). Kriteriefunktionens værdi i dette punkt er #23: f,, 3 = 2 2 ƒ 2 Som det fremgår, kan det hurtigt blive en uoverskuelig sag grafisk at løse LP-problemer i tre dimensioner. Da der desuden ofte optræder mere end tre variable - hvor en geometrisk løsning ikke er mulig - er der selvfølgelig udviklet metoder til at løse sådanne problemer. Den mest anvendte - Simplexmetoden - ser vi på i næste kapitel. Opgaver Opgave 1.1 Løs følgende LP-problem grafisk: Maksimer f(x,y) = 4x + 2y under bibetingelserne 4x + 3y 7 x + 3y 5 og positivitetsbetingelserne x 0 y 0.

9 8 Opgave 1.2 Ulighederne i bibetingelserne kan indeholde " " i stedet for " ". Bestem (tegn) mulighedsområdet, når x +2 y 7 -x + y 3-2x + y -3 x 0 y 0 Bestem for hvilke værdier af x og y funktionen f(x,y) = 2x + 4y opnår sin maksimale værdi i dette område. Opgave 1.3 Kriteriefunktionen ønskes i nogle situationer minimeret i stedet for maksimeret (f.eks. hvis den er et udtryk for omkostninger). Minimer kriteriefunktionen f(x,y) = x + 3y under betingelserne x + y 4 3x + y 3 2x + 5y 12 x 0 y 0 Opgave 1.4 Kriteriefunktion f(x,y) = 3x + 2y ønskes både maksimeret og minimeret, når mulighedsområdet bestemmes af følgende betingelser -2x + y 4 -x + y 1 3x + y 6 x 0 y 0 Opgave 1.5 Bestem mulighedsområdet, når -x+y 2 x+3y 12 5x+3y 18 x 0 and y 0

10 9 Opgave 1.6 På en fabrik fremstilles tre produkter A, B og C. Fabrikken har to afdelinger. Det antal kg, der pr. time produceres, fremgår af nedenstående skema. A B C Afdeling I Afdeling II Bestem for hver af de to afdelinger et antal timer, som den skal være i drift, for at afdelingerne tilsammen billigst muligt kan producere mindst kg A, mindst kg B og mindst kg C, hvis 1) udgifterne i afdeling I er 300 kr. pr. time, og udgifterne i afdeling II er 600 kr. pr. time. 2) udgifterne i afdeling I er 400 kr. pr. time, og udgifterne i afdeling II er 600 kr. pr. time. (Studentereksamen 1977, Mat-Fys-gren)

11 10 2. Simplexmetoden Vi har i de tidligere eksempler set, at mulighedsområdet i to dimensioner er en konveks polygon og kriteriefunktionen for en givet værdi er en ret linie, og i tre dimensioner er mulighedsområdet et konvekst polyeder, medens kriteriefunktionen for en givet værdi er en plan; dette betød i begge tilfælde, at den maksimale eller minimale værdi blev antaget i et hjørnepunkt. Disse egenskaber kan generaliseres til vilkårlige dimensioner, således at den optimale værdi (såfremt den findes) vil antages i et hjørnepunkt. Dette er baggrunden for simplexmetoden, som består i at starte i et hjørnepunkt i mulighedsområdet og derefter bevæge sig til hjørnepunkter, hvori kriteriefunktionens værdi er bedre (max: større, min: mindre), indtil dette ikke længere kan lade sig gøre. Vi illustrerer metoden ved hjælp af et par eksempler. Eksempel 2.1 Maksimer kriteriefunktionen #24: f(x, y) := 3 x + 2 y #25: x + 3 y 9 #26: 2 x + y 8 #27: x 0 y 0 Mulighedsområdet får følgende udseende (med f(x,y) = 0 indtegnet): #28: x + 3 y 9 2 x + y 8 x 0 y 0 Først omformes bibetingelserne til ligninger ved at indføre nogle hjælpevariable, restvariable, s 0 og t 0. (s og t udtrykker, hvor meget der mangler i ulighedernes venstresider for at lighedstegnet gælder). #29: x + 3 y + s = 9 #30: 2 x + y + t = 8 Vi vælger nu hjørnepunktet O = (x,y) = (0,0) som startpunkt. Dette giver #31: s = 9 t = 8 og #32: f(0, 0) = 0

12 11 De angivne værdier kan aflæses i starttabellen, som opstilles med koefficienterne i bibetingelserne og kriteriefunktionen: x y s t b #33: _2_ De variable, der i det pågældende punkt er 0 (her s og t), har kun et 1-tal i deres søjle; værdien aflæses i b-søjlen ud for 1-tallet. Værdien nederst til højre angiver kriteriefunktionens værdi (med modsat fortegn) i det pågældende punkt. Ideen er nu at øge enten x eller y for at komme til næste hjørnepunkt (A eller C). Vi vælger at øge den variabel, der har den største koefficient i kriteriefunktionen, d.v.s. x (herved bliver første søjle pivotsøjle). Men hvor meget kan vi øge x uden at komme uden for mulighedsområdet? I den første ligning kan x øges til 9 ( = 9/1, se #29)) og i den anden til 4 ( = 8/2, se #30); da begge ligninger skal gælde kan x altså øges til 4 (herved bliver anden (tal)række pivotrække og 2-tallet bliver pivotelement, markeret i tabellen). Det giver følgende værdier #34: x = 4 y = 0 s = 5 t = 0 som svarer til punkt C. Her er #35: f(4, 0) = 12 Da x 0 skal den næste tabel indeholde en x-søjle med kun et 1-tal (der hvor pivotelementet står) og de øvrige 0. Dette opnår vi ved følgende ændringer af ligningerne: 1) Ligning 2 (#30) divideres igennem med 2, hvorved x får koefficienten 1: 1 1 #36: x + y + t = ) Ligning 1 (#29) fratrækkes den nye ligning 2, hvorved x får koefficienten 0: 1 1 #37: (x + 3 y + s = 9) - x + y + t = ƒ 5 1 #38: y + s - t = ) Kriteriefunktionen = 0 fratrækkes 3 gange den nye ligning 2, hvorved x får koefficienten 0: 1 1 #39: (3 x + 2 y = 0) - 3 x + y + t = ƒ 1 3 #40: y - t =

13 12 Herefter får tabellen følgende udseende: x y s t b _2_ 2 #41: Bemærk, at elementet i nederste højre hjørne angiver kriteriefunktionens værdi med modsat fortegn. Ligningerne og kriteriefunktionen kunne nu skrives 5 1 #42: y - t + s = #43: y + t + x = #44: f1(y, t) := y - t 2 2 Opfatter vi nu y og t som de "rigtige" variable og s og x som restvariable, er vi i samme situation, som da vi begyndte; altså skal vi blot gennemføre samme procedure igen, d.v.s. at vi skal øge enten y eller t. Da koefficienten til t er negativ, vil en forøgelse af t formindske kriteriefunktionens værdi, så derfor vælger vi at øge y. Det betyder, at anden søjle bliver pivotsøjle. Hvor meget y kan øges, bestemmes af de to ligninger. I første ligning kan y forøges til 2 ( = 5/(5/2)) og i anden ligning til 8 ( = 4/(1/2)). Den mindste vælges - altså øges y til 2; herved bliver 5/2 pivotelement. Med samme fremgangsmåde som før ændres y-søjlen, så tabellen får følgende udseende x y s y b #45: Ud fra denne tabel aflæses, at #46: x = 3 y = 2 s = 0 t = 0 f(3, 2) = 13 Da den nye kriteriefunktion f2(s,t) = -1/5s - 7/5t kun indeholder negative koefficienter, kan værdien

14 13 ikke øges yderligere - vi har altså fundet den maksimale værdi i punktet (x,y) = (3,2), hvilket også fremgår geometrisk #47: f(x, y) = 13 Øvelse 2.1 Vis, at den tredje tabel er korrekt. Eksempel 2.2 Lad os benytte simplexmetoden til at undersøge LP-problemet i eksempel 1.1. Her havde vi bibetingelserne #48: x + y + z 4 #49: 2 y + z 4 #50: z 3 #51: x 2 og positivitetsbetingelserne #52: x 0 y 0 z 0 Vi ønsker at maksimere kriteriefunktionen #53: f(x, y, z) := 2 x + 3 y + 4 z Først indfører vi restvariable s, t, u og v (alle ikke-negative) hørende til de fire bibetingelser: #54: x + y + z + s = 4 #55: 2 y + z + t = 4 #56: z + u = 3 #57: x + v = 2 og herefter opstiller vi starttabellen

15 14 x y z s t u v b #35: A := hvor vi altså har (x,y,z) = (0,0,0) og (s,t,u,v) = (4,4,3,2) og f(0,0,0) = 0. (På de efterfølgende figurer følges punktets bevægelse fra hjørnepunkt til hjørnepunkt). Vi vælger at øge z, d.v.s. at 3. søjle er pivotsøjle. Hvor meget z kan øges, bestemmes som før af kvotienterne mellem værdierne i b-søjlen og værdierne i z-søjlen (for de fire ligninger): 4 A i,8 4 #59: VECTOR, i, 2, 5 = A 3 i,3 ƒ ± (± betyder, at den sidste ligning ikke lægger begrænsninger på z). Da den mindste værdi er bestemmende, bliver pivotelementet det tredie 1-tal i z-søjlen. Pivotelementet er altså allerede 1, så vi skal nu have alle andre elementer i z-søjlen til at være 0: #60: C := FORCE0(FORCE0(FORCE0(A, 2, 3, 4), 3, 3, 4), 6, 3, 4) x y z s t u v b #61: Nu er #62: [x, y, z] = [0, 0, 3] [s, t, u, v] = [1, 1, 0, 2] f(0, 0, 3) = 12

16 15 Næste pivotsøjle bliver y-søjlen. Vi finder kvotienterne mellem b-søjle og y-søjle: 1 C 1 i,8 #63: VECTOR, i, 2, 5 = 2 C i,2 ƒ ± ± altså er 2-tallet i y-søjlen pivotelement. Vi bestemmer den nye tabel (pivotelementet skal være 1): 1 #64: D := FORCE0 FORCE0 SCALE_ELEMENT C, 3,, 2, 2, 3, 6, 2, 3 2 ƒ ƒ ƒ x y z s t u v b #65: Her aflæses, at #43: [x,y,z]= 0,, 3 [s,t,u,v]=, 0, 0, 2 f 0,, 3 = ƒ 2

17 16 Pivotsøjlen bliver nu x-søjlen, og beregningen 1 D 2 i,8 #67: VECTOR, i, 2, 5 = ± D i,1 ƒ ± 2 viser, at det øverste 1-tal er pivotelement. Den nye tabel bliver #68: E := FORCE0(FORCE0(D, 5, 1, 2), 6, 1, 2) x y z s t u v b #69: Da alle koefficienter i kriteriefunktionen nu er ikke-positive, kan funktionens værdi ikke øges yderligere. Vi har derfor løst problemet og fundet #70: [x,y,z] =,,3 [s,t,u,v]= 0,0,0, f,,3 = ƒ 2 hvilket er i overensstemmelse med den tidligere fundne løsning.

18 17 I de eksempler, vi hidtil har set på, indeholder bibetingelserne "" og kriteriefunktionen skal maksimeres, men som nævnt i opgaverne i kapitel 1 kan bibetingelserne indeholde " " (og også "="), medens kriteriefunktionen måske ønskes minimeret. I disse tilfælde transformeres på følgende måde: a b <=> -a -b a = b <=> a b a b min f = -max (-f) I eksemplerne med simplexmetoden benytter vi hjørnepunktet O (origo), som startpunkt; hvis dette punkt ikke ligger i mulighedsområdet, kan metoden ikke umiddelbart benyttes. Der findes imidlertid metoder (som udnytter simplexberegningen) til at finde et hjørnepunkt i mulighedsområdet (første fase), og herfra kan man så fortsætte på sædvanlig vis (anden fase). Vi vil ikke komme nærmere ind på dette her, idet Derive - som det fremgår af næste kapitel - kan løse LP-problemer uden at vi behøver at bekymre os om disse forhold. Opgaver Opgave 2.1 Løs LP-problemerne i opgave 1.1. og 1.2. ved hjælp af simplexmetoden. Opgave 2.2 Løs problemet for tekstilfabrikken i kapitel 1 ved hjælp af simplexmetoden. Opgave 2.3 Løs følgende LP-problem ved brug af simplexmetoden. Maksimer #71: f(x, y) := 3 x + 5 y + 4 z under betingelserne #72: x + 2 y + 5 z 180 #73: 3 x + 4 y + z 90 #74: 3 x + 3 z 210 #75: x 0 y 0 z 0

19 18 3. Simplexmetoden med Derive Simplexfunktionerne i Derive (version 5.05) ligger som mth.- fil i Users, hvorfor den skal indlæses (Load<Utility File<Simplex). #76: LOAD(C:\DfW5\Users\Simplex.mth) De to funktioner, vi vil benytte er MAXIMIZE og MINIMIZE, der begge som parametre har kriteriefunktionen og bibetingelserne (de sidste i [ ]); positivitetsbetingelserne forudsættes opfyldt. Selv om forfatteren til "Simplex" skriver, at både " " og "<" kan bruges, accepterer min version kun "<" (tilsvarende med " "); det kan virke paradoksalt, da kanterne og dermed hjørnerne af mulighedsområdet udelukkes, men det fungerer nu alligevel. Eksempel 3.1. Maksimer #77: f(x, y) := 3 x + 5 y + 4 z under betingelserne #78: x + 2 y + 5 z 180 #79: 3 x + 4 y + z 90 #80: 3 x + 3 z 210 #81: x 0 y 0 z 0 MAXIMIZE-funktionen opskrives #82: MAXIMIZE(3 x+5 y+4 z,[x+2 y+5 z < 180, 3 x+4 y+z < 90,3x+3z<210]) og der klikkes på "=" #83 [195, x = 0 y = 15 z = 30, [0, 0, 120]] Dette svar tydes således: Kriteriefunktionen antager sin maksimale værdi 195 i (x,y,z) = (0,15,30) og restvariablene (s,t,u) = (0,0,120). Eksempel 3.2 Lad bibetingelserne være #84 2 x + 4 y 36 #85 4 x + 12 y 12 #86 2 x - 2 y -6 #87 y 5 og positivitetsbetingelserne #88 x 0 y 0

20 19 Det giver følgende mulighedsområde #89 2 x+4 y 36 4 x+12 y 12 2 x-2 y -6 y 5 x 0 y 0 hvor A = (0,1), B = (0,3), C = (2,5), D = (8,5), E = (18,0) og F = (3,0). Vi bestemmer maksimum og minimum for forskellige kriteriefunktioner #90 MAXIMIZE(2 x+y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2 y >-6]) #91 [36, x = 18 y = 0, [0, 5, 42, 60]] Kriteriefunktionen 2x + y har altså den maksimale værdi 36 i punktet E(18,0). Vi finder den minimale værdi af den samme kriteriefunktion: #92 MINIMIZE(2 x+y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2 y >-6]) #93 [1, x = 0 y = 1, [32, 4, 4, 0]] Kriteriefunktionen 2x + y har altså sin minimale værdi 1 i punktet A(0,1). Endnu en maksimering: #94 MAXIMIZE(2 x+5 y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2y>-6]) #95 [41, x = 8 y = 5, [0, 0, 12, 80]] Kriteriefunktionen 2x + 5y har altså sin maksimale værdi 41 i punktet D(8,5). og en minimering: #96 MINIMIZE(2 x-3 y, [2 x+4 y < 36, y < 5, 4 x+12 y > 12, 2 x-2y>-6]) #97 [-11, x = 2 y = 5, [12, 0, 0, 56]] Kriteriefunktionen 2x - 3y har altså sin minimale værdi -11 i punktet C(2,5).

21 20 Simplex-programmet kan udskrive alle simplextabellerne, der benyttes i beregningen. Da det - som vi senere skal se - kun er den sidste tabel, der er interessant, vil vi fjerne alle tabellerne pånær den sidste. Programmet opskriver og regner på tabellerne på et lidt anden måde end vi har gjort - det justerer vi også. Til dette bruges et lille program "sluttabel", der er beskrevet i appendiks. Det indeholder to funktioner, sluttabel_max og sluttabel_min, der benyttes ved brug af henholdsvis MAXIMIZE og MINIMIZE. Programmet bør gemmes som mth.-fil i Users, og derefter indlæses på samme måde som "Simplex". #98: LOAD(C:\DfW5\Users\sluttabel.mth) For at få simplextabellerne udskrevet, skal man først skrive (dette gøres normalt i starten af dokumentet) #99: simplextables :=[] Efter brug af MAXIMIZE skrives #100: sluttabel_max og der klikkes på "=". (Tilsvarende med MINIMIZE). Eksempel 3.3 (LP-problemet fra eksempel 1.1 og eksempel 2.2) #101: MAXIMIZE(2 x + 3 y + 4 z, [x + y + z < 4, 2 y + z < 4, z < 3,x < 2]) #102:, x = y = z = 3, 0, 0, 0,

22 21 #103: sluttabel_max #104: Sammenlign denne tabel med sluttabellen i eksempel 2.2. (Rækkefølgen af rækkerne på nær den nederste - kan være ombyttet). Opgaver Opgave 3.1 Under betingelserne #105: 2 x + 3 y + z 23 #106: 3 x + y + z 21 #107: x + 2 y + 4 z 31 #108: x 0 y 0 z 0 skal du a) Maksimere f(x,y,z) = x + y + 2z og udskrive sluttabellen b) Minimere g(x,y,z) = -x - y - 2z og udskrive sluttabellen. Opgave 3.2 Løs LP-problemet i opgave 1.4. ved brug af MAXIMIZE og MINIMIZE og udskriv sluttabellerne.

23 22 4. Skyggepriser og følsomhedsanalyse #109: LOAD(C:\DfW5\Users\Simplex.mth) #110: LOAD(C:\DfW5\Users\sluttabel.mth) #111: simplextables := [] Vi vender nu tilbage til tekstilfabrikken for at se nærmere på betydningen af restvariablene. Udgangspunktet var: skjorter (x) bukser (y) timer tilskæring #112: syning pakning fortjeneste maksimeres eller skrevet på LP-form Maksimer #113: f(x, y) := 80 x + 65 y under betingelserne #114: 0.15 x y 110 #115: 0.6 x y 650 #116: 0.05 x y 40 #117: x 0 y 0 Først opstiller vi problemet på ligningform (dette er ikke nødvendigt for at bruge MAXIMIZE, men gøres for at holde styr på restvariablene) #118: 0.15 x y + s = 110 #119: 0.6 x y + t = 650 #120: 0.05 x y + u = 40 og løser ved hjælp af MAXIMIZE #121:MAXIMIZE(80 x+65 y,[0.15 x+0.1 y<110,0.6 x+0.9 y<650, 0.05x+0.05y<40]) #122: [61000, x = 600 y = 200, [0, 110, 0]] Restvariablene (s,t,u) = (0,110,0) er som tidligere nævnt udtryk for, hvor meget der mangler på venstresiderne af ulighedstegnet for at der gælder lighedstegn. At t = 110 betyder således, at der i syafdelingen er 110 timer i "overskud", medens s = 0 og u = 0 betyder, at kapaciteten er fuldt udnyttet i tilskæringsafdelingen og i pakkeafdelingen. Der er således ikke meget fornuft i at "købe"

24 23 flere timer til syafdelingen ude i byen; man kunne derimod "sælge" timer og øge fortjenesten uanset prisen (så længe den er positiv). Dette udtrykkes ved, at skyggeprisen for en time i syafdelingen er 0 kr. Men hvilke skyggepriser gælder for de to andre afdelinger? For at svare på dette får vi brug for slutsimplextabellen: #123: sluttabel_max #124: Sidste række i tabellen er koefficienterne i kriteriefunktionen. Udtrykket for kriteriefunktionen bliver derfor #125: 0 x + 0 y s + 0 t u Heraf ses, at hvis s ændres fra 0 til 1 - hvilket svarer til, at højresiden i første ulighed ændres til vil fortjenesten falde med 300, medens en forøgelse af højresiden til 111 (hvilket i princippet svarer til, at ændre s fra 0 til -1) forøger fortjenesten med 300: Det betyder, at fabrikken maksimalt bør betale 300 kr. for en ekstratime til tilskæringsafdelingen, medens de ved "salg" af timer bør forlange mindst 300 kr. pr. time. Derfor er skyggeprisen for timer i tilskæringsafdelingen 300 kr. Tilsvarende er skyggeprisen for en time i pakkeafdelingen 700 kr. Skyggepriserne kan altså aflæses i nederste række i sluttabellen. I betragtning af det høje antal overskudstimer i syafdelingen får man på fabrikken den ide, at en ændring af lokaler og indretning kunne flytte timer fra én afdeling til en anden og dermed udnytte kapaciteten bedre. Man ønsker derfor at undersøge, om fortjenesten kan øges, når det samlede antal timer ikke kan overstige det nuværende, som er = 800. De betingelser, der skal gælde, er således #126: 0.15 x y p #127: 0.6 x y q #128: 0.05 x y p - q Funktionen MAXIMIZE kan løse dette problem, idet p og q opfattes som normale variable #129: MAXIMIZE(80 x + 65 y, [0.15 x y < p, 0.6 x y < q, 0.05 x y < p - q]) #130: [80000, x = 1000 y = 0 p = 150 q = 600, [0, 0, 0]] Med disse p- og q-værdier, bliver det oprindelige problem #131: MAXIMIZE(80 x + 65 y, [0.15 x y < 150, 0.6 x y < 600, 0.05 x y < 50]) #132: [80000, x = 1000 y = 0, [0, 0, 0]]

25 24 #133: sluttabel_max #134: Vi ser nu, at fortjenesten stiger til (ikke dårligt), der skal kun produceres skjorter, og ressourcerne er fuldt udnyttet (alle restvariable er 0). Imidlertid er skyggeprisen på en time i pakkeafdelingen nu på betyder det, at det kan betale sig at investere (højst 1600) i en ekstra "pakketime"? Vi prøver at øge antallet af timer i pakkeafdelingen fra 50 til 51 og får #135: MAXIMIZE(80 x+65 y,[0.15x+0.1y<150, 0.6x+0.9y<600, 0.05x+0.05y<51]) #136: [80000, x = 1000 y = 0, [0, 0, 1]] Det kunne ikke betale sig; denne time bliver blot til overs (altså skyggepris 0). Men hvad sker der, hvis vi sælger en time? #137: MAXIMIZE(80x+65y [0.15x+0.1 y<150, 0.6x+0.9y<600, 0.05x+0.05y<49]) #138: [78400, x = 980 y = 0, [3, 12, 0]] Den kostede 1600 i fortjeneste (en produktionsnedgang og uudnyttede ressourcer). Denne uoverensstemmelse i skyggepris skyldes, at vi er i et grænsetilfælde, hvor vi i den ene retning har én skyggeværdi og i den anden retning en anden. Øvelse 4.1 Undersøg hvilken påvirkning en ændring på en time i de to andre afdelinger har m.h.t. fortjeneste, produktion, ressourceudnyttelse og skyggepriser. Ovenstående er et af emnerne, der behandles indenfor følsomhedsanalyse i lineære programmeringsmodeller; normalt ser man på hvilke ændringer, der kan forekomme i ressourcebegrænsningerne uden at skyggepriserne ændres. Generelt dækker følsomhedsanalysen påvirkningen af den optimale løsning ved ændring af en eller flere af de koefficienter, der indgår i beskrivelsen af modellen. Vi skal her kun se på betydningen af ændringer i kriteriefunktionen, hvilket i tekstilfabrikkens tilfælde vil sige ændringer i fortjenesten for henholdsvis skjorter og bukser. Det, der kan være interessant at undersøge er, hvor store ændringer, der kan forekomme i fortjenesten på de enkelte produkter, uden at det optimale hjørnepunkt (produktionssammensætningen) ændres. Først antager vi, at fortjenesten pr. skjorte kan skrives som 80 + k, således at fortjenesten beskrives ved kriteriefunktionen f(x,y) = (80 + k)x + 65y, og undersøger så, hvilken betydning en variation af k har. "Simplex"-programmet kan ikke løse problemet i denne udgave, så vi bruger metoden fra eksempel 2.2.

26 25 Starttabellen bliver som følger: x y s t u b #139: A := k Første søjle vælges som pivotsøjle (eneste krav er, at k ), og pivotrækken findes A i,6 #140: VECTOR, i, 2, 4 = A i,1 ƒ 800 altså første talrække hvorved tallet 0.15 bliver pivotelement. Den næste tabel findes 1 #141: C := FORCE0 FORCE0 FORCE0 SCALE_ELEMENT A, 2,, 3, 1, 2, 4, 0.15 ƒ ƒ 1, 2, 5, 1, 2 ƒ ƒ x y s t u b #142: k 20 (k + 80) 2200 (k + 80) k Næste pivotsøjle er y-søjlen (her skal 0 ), og 3 C 1100 i,6 #143: VECTOR, i, 2, 4 = 420 C i,2 ƒ 200 viser, at tallet 1/60 er pivotelement.

27 26 #144: D := FORCE0(FORCE0(FORCE0(SCALE_ELEMENT(C, 4, 60), 2, 2, 4), 3, 2, 4), 5, 2, 4) x y s t u b #145: (k + 15) 0 20 (2 k - 35) (3 k + 305) Denne tabel svarer til vores oprindelige optimalpunkt (x,y) = (600,200), altså er dette sluttabellen. Der skal derfor gælde, at koefficienterne i kriteriefunktionen er ikke-positive: #146: - 20 (k + 15) 0 20 (2 k - 35) 0 35 #147: -15 k 2 Det vil altså sige, at hvis fortjenesten på skjorter ligger mellem 65 kr. og 97,50 kr. (og fortjenesten på bukser er 65 kr.) vil den optimale produktion være 600 skjorter og 200 par bukser. Den samlede fortjeneste findes ved at indsætte værdien af k i 200(3k+305) eller i kriteriefunktionen sammen med værdierne af x og y. Øvelse 4.2 Undersøg fortjeneste, produktionssammensætning, ressourceudnyttelse og skyggepriser ved en fortjeneste på skjorter på henholdsvis 63 kr., 66 kr. og 98 kr. (Fortjenesten på bukser er 65 kr.). Hvis fortjenesten på både skjorter og bukser ændres fås følgende starttabel x y s t u b #148: k + 80 m og sluttabel x y s t u b # (k-m+15) 0 20 (2 k-3 m-35) -200 (3 k + m + 305) Ikke-positive koefficienter i kriteriefunktionen kræver

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Lineær Planlægning (programmering) med Excel MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Lineær Planlægning (programmering) med Excel 2. udgave 2007 1 Indhold FORORD Denne bog forklarer ved anvendelse af nogle typiske eksempler, hvad der er karakteristisk ved LP -

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (QQRWHRPOLQH USURJUDPPHULQJ Lineær programmering, eller LP-modeller, som de ofte kaldes, var en metode, der blev udviklet i 50'erne og 60'erne. I Danmark var især

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for nye måder at arbejde med Diagrammer på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2012 Roskilde

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.

18. december 2013 Mat B eksamen med hjælpemidler Peter Harremoës. P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0. Opgave 6 Vi sætter P = 1000 og isolerer x i ligningen Se Bilag 2! P = 100 x 0.6 y 0.4 1000 = 100 x 0.6 y 0.4 10 = x 0.6 y 0.4 10 y 0.4 = x 0.6 ( 10 y 0.4 )1 /0.6 = x 10 1 /0.6 y 0.4 /0.6 = x x = 10 5 /3

Læs mere

Easy Guide i GallupPC

Easy Guide i GallupPC Easy Guide i GallupPC Version. 6.00.00 Gallup A/S Masnedøgade 22-26 DK 2100 København Ø Telefon 39 27 27 27 Fax 39 27 50 80 Indhold SÅDAN KOMMER DU I GANG MED AT ANVENDE GALLUPPC... 2 TILFØJELSE AF UNDERSØGELSER

Læs mere

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM En blandt mange af Family Tree Maker s styrker er evnen til at præsentere data på mange forskellige måder, og i dette skrift vil bogfunktionen blive gennemgået. Funktionen

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken

Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken - 1 - Vejledning i udtræk af input-output data fra Statistikbanken Introduktion Input-output tabellerne er konsistente med nationalregnskabet og udarbejdes i tilknytning hertil. De opdateres årligt i december

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x = MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere Indholdsfortegnelse Forord... 3 Diskettens indhold... 4 Grafer i koordinatsystemet... 5 Brug af guiden diagram... 5 Indret regnearket fornuftigt... 9 Regneark hentet på Internettet... 15 Læsevenlige tal

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere