Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen

Transkript

1 1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik. Området er i løbet af det 20. århundrede vokset så eksplosivt, og anvendelserne er blevet så righoldige, at fx studiet af statistik de fleste steder i verden har udskilt sig fra matematikstudiet til at være selvstændige fag statistikstudiet, aktuarstudiet (forsikringsmatematik) og lignende. Det er derfor også et af de områder, hvor der ikke er en stærk tradition i undervisningen, man kan hælde sit hoved til. Dertil kommer, at udbredelsen af computere har særlig betydning for et område som dette, hvor man af og til har brug for så mange eksperimenter af samme art, at det er praktisk uoverkommeligt at udføre dem i virkeligheden. Det kalder i vore dage på brug af informationsteknologi. Også i skolen vil man betragte sandsynligheder fra tre synsvinkler: Statistiske sandsynligheder, kombinatoriske sandsynligheder og personlige sandsynligheder. Den statistiske sandsynlighedsmodel er i centrum, men kombinatoriske sandsynligheder er alligevel ikke til at komme uden om. Fra læseplanen for klassetrin: Det er ikke altid muligt og det opleves heller ikke altid som nødvendigt at bestemme sandsynligheder på baggrund af indsamlede data. I sådanne situationer kan eleverne basere deres vurderinger på optælling af mulige udfald, der betragtes som ligevægtede. På den måde indgår også elevernes kombinatoriske overvejelser. Der sigtes ikke direkte på anvendelsen af kombinatoriske formler. Kombinatoriske overvejelser indgår altså i undervisningen, men ikke (nødvendigvis) de formler, der behandles her. De hører til lærerens baggrundsviden den viden, der skal sætte ham eller hende i stand til at tilrettelægge et varieret, spændende erfaringsområde for eleverne. Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at I får lejlighed til kreativt at genopfinde matematik på dette område får mulighed for personlig faglig vækst og fordybelse i et område, der ofte bedømmes som vanskeligt får mulighed for at overveje, hvordan dette emne kan behandles i skolen. -serien består af disse arbejdskort: 1 Formler til kombinatorik 2 Pascals trekant 3 Binomialformlen

2 2 1 Formler til kombinatorik Selv om formler til kombinatorik generelt spiller en mindre rolle i folkeskolen nu end tidligere, er det en klar fordel for matematiklæreren at kende til dem. Formlerne kan bruges til at skyde genvej til løsning af mange forskellige problemstillinger. Det er op til læreren at afgøre, hvilken rolle formlerne skal spille for eleverne i de ældste klasser. En række forskellige problemstillinger med antalsbestemmelse kan omformuleres, så de kan tænkes at handle om forskellige former for stikprøveudtagning. I dette arbejdskort skal I forsøge at udvikle formler for fire forskellige former for stikprøveudtagning og bruge disse formler i forskellige sammenhænge. Det kan være en hjælp at bruge tælletræer i arbejdet eller måske finder I jeres egen fremgangsmåde! Formlerne er udledt (på én måde) i kapitlet, men det kan selvfølgelig gøres anderledes og måske kan du gøre det selv. Hensigten med dette arbejdskort er, at I kommer til at kunne udlede de fire klassiske formler til kombinatorik får erfaringer med at bruge formlerne i praksis. Forestil dig, at du skal udtage stikprøver på 3 kugler fra en krukke med 4 kugler. Det kan være en god idé at kalde de fire kugler noget fx a, b, c og d eller at tænke sig, at kuglerne har forskellige farver. Du udtager kuglerne én ad gangen. Først udtager du ordnede stikprøver dvs., at den rækkefølge, du udtager kuglerne i, har betydning (du skelner fx mellem stikprøverne (b, c, d) og (c, b, d) de tæller begge to i regnskabet). Stikprøven er også med tilbagelægning. Hver gang du har udtaget en kugle, lægger du den tilbage igen i krukken. Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage?

3 3 Prøv så at bestemme antallet af ordnede stikprøver uden tilbagelægning. Du skal altså stadig udtage stikprøver med 3 kugler fra en krukke med 4 kugler en kugle ad gangen. Når du har trukket en kugle, skal den ikke lægges tilbage igen i krukken. Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage? Nu er vi kommet til at bestemme antallet af uordnede stikprøver uden tilbagelægning. Ordningen af stikprøvens elementer har ingen betydning (du skelner fx ikke mellem stikprøverne (b, c, d) og (c, b, d) de tæller kun for én stikprøve i regnskabet). Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage? Endelig mangler du at bestemme antallet af uordnede stikprøver med tilbagelægning. Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage? Skemaet giver overblik over de fire forskellige former for stikprøver. Før dine resultater ind i et sådant skema. 3-stikprøver fra en 4-mængde Ordnet ed tilbagelægning Uden tilbagelægning Uordnet Bestem nu antallet af 2-stikprøver fra en 5-mængde (5 kugler i krukken der skal udtages stikprøver á 2 stk. én ad gangen) ud fra hver af de fire forskellige forudsætninger. Før dine resultater ind i et skema. 2-stikprøver fra en 5-mængde Ordnet ed tilbagelægning Uden tilbagelægning Uordnet Slut af med at gøre dine metoder generelle. Du skal forsøge at udvikle formler for antallet af forskellige r-stikprøver fra en n-mængde (n kugler i krukken der skal udtages stikprøver à r stk.) ud fra hver af de fire forudsætninger. Formlen for den sidste type stikprøve er ret svær at udlede og bruges ikke så tit se evt. guiden på næste side!

4 4 Anbefalet rækkefølge: 1) Ordnet med tilbagelægning Formel: 2) Ordnet uden tilbagelægning Formel: 3) Uordnet uden tilbagelægning Formel: 4) Uordnet med tilbagelægning Formel: Arrangementer: Uordnet stikprøve med tilbagelægning Lad os først gå tilbage til situationen med 3-stikprøven fra en 4-mængde. At udtage en uordnet 3- stikprøve med tilbagelægning fra en 4-mængde svarer til at undersøge, hvor mange forskellige ruter der kan tegnes fra nederste venstre hjørne til øverste højre hjørne i kvadratnettet herunder. Vi kan lade skridt opad (grøn) illustrere, at den pågældende kugle vælges ud, mens skridt til højre (rød) illustrerer, at kuglen ikke vælges. Ruten herunder illustrerer så en stikprøve, der består af én b-kugle og to d-kugler. Hvordan ser ruten ud, hvis den skal illustrere, at der udtages to a-kugler og én c-kugle? Vi kan altså lige så godt finde antallet af denne type stikprøver ved at overveje, hvor mange forskellige ruter, der kan laves! Læg mærke til, at ved en 3-stikprøve fra en 4-mængde bliver ruten altid 6 skridt lang (hvorfor?). Hvor lang bliver ruten ved en r-stikprøve fra en n-mængde? Læg mærke til, at der skal være 3 lodrette skridt på den 6 skridts lange rute (hvorfor?). Du kan fx vælge, at dit skridt nr. 1, 2 og 6 skal være lodrette eller at dit skridt nr. 3, 4 og 5 skal være lodrette. En rute er bestemt af, hvornår du tager de lodrette skridt. Hvis du kan finde antallet af mulige kombinationer, så kender du antallet af mulige ruter og dermed antallet af mulige stikprøver.

5 5 Hvor mange kombinationer er der, når du skal udtage 3 skridt til at være lodrette ud af 6 mulige skridt? Generaliser nu. Hvor mange forskellige uordnede r-stikprøver, med tilbagelægning, kan der foretages fra en n-mængde? Forhåbentlig står I nu med fire formler, der kan bruges til antalsbestemmelse. en brugen af formlerne kræver, at I kan oversætte problemstillinger til at handle om stikprøveudtagning. Eksempel: At udfylde en tipskupon med 13 kampe tilfældigt (1, x eller 2) svarer til at udtage en ordnet 13 stikprøve med tilbagelægning fra en 3-mængde (hvorfor?). De sidste opgaver på arbejdskortet handler om denne form for oversættelse : Hvilken slags stikprøve svarer til udfyldning af lottokupon? Hvor mange forskellige rækker kan der udfyldes (der er 36 tal og 7 skal afkrydses)? Hvilken slags stikprøve svarer til antallet af forskellige dankortkoder, der kan laves? Hvad er resultatet? Hvilken slags stikprøve svarer til antallet af forskellige rækkefølger, man kan placere fem børn i? Hvad er resultatet? På de næste tre sider bringes et klip fra Kolorit, 6. klasse. Løs opgaverne på de tre sider. Diskutér tælletræet som redskab i kombinatorik. Hvilke muligheder og begrænsninger giver tælletræet? Hvilke andre repræsentationsformer kan støtte elever i deres arbejde med kombinatorik? Prøv at oversætte opgaverne til stikprøveudtagning. Hvilke(n) slags stikprøve(r) er der tale om? Find selv på flere problemstillinger, der kan oversættes til stikprøveudtagning. Undersøg, hvilken type stikprøve der er tale om.

6 6

7 7

8 8

9 9 En lille én til søndagskaffen er svært! Det er uhyre let at tænke forket i forbindelse med kombinatoriske overvejelser. For mange matematiklærere er dette område derfor en favoritaversion. Ikke så meget fordi det er let at tænke forkert. Heller ikke fordi opgaverne er svære selv om det godt kan være årsagen men fordi der altid synes at være en kvik elev, som har en anden (ofte meget overbevisende) tilgang til problemet, end du har. en hvis nu elevens svar er et andet end dit svar, formodes du at være i stand til at forklare, hvorfor eleven (eller du selv?) har taget fejl. Her er et eksempel: På hvor mange måder kan man anbringe 3 centicubes en rød, en gul og en grøn i tre glas sådan, at mindst ét glas forbliver tomt? Elev 1: Det er da meget nemt! Først vælger du et tomt glas. Det kan gøres på 3 måder. Dernæst kan du anbringe de 3 centicubes frit mellem de 2 glas på = 8 måder. I alt er der altså 3 8 = 24 måder at gøre det på.. Elev 2: Nej, nej, nej,! an skal gøre sådan her: Først placerer vi den første centicube 3 muligheder. Så placerer vi den anden centicube også 3 muligheder. For den sidste centicube er der nu kun 2 muligheder, fordi mindst ét af glassene skal være tomt. Altså = 18 muligheder i alt. Elev 3: I er helt rundt på gulvet begge to! Næh, nu skal I se. Først tæller vi mulighederne med netop ét tomt glas. Vi kan placere den første centicube frit på 3 måder. Den anden placerer vi i et af de andre glas. Det kan så gøres på 2 måder. Den tredje centicube lægges nu oven i en af de to andre: 2 muligheder. I alt er der altså = 12 muligheder med netop ét tomt glas. ed to tomme glas skal vi vælge ét glas at komme alle tre centicubes ned i. Det kan gøre på 3 måder. I alt er der altså = 15 forskellige måder at gøre det på. Og nu står du altså med problemet som lærer alle ser spørgende på dig og venter på ekspertens afgørelse. Din første reaktion er derfor at sige, at det var vel nok heldigt, at I bragte dette spørgsmål på bane, fordi jeg netop har tænkt, at det skulle være hjemmearbejde til i morgen: Gå hjem og tænk over det! Derved har du reddet dig lidt tid til selv at tænke dig om, men nu slipper du ikke længere: Hvad er det rigtige svar? Hvad er der i vejen med de forkerte svar dvs. hvilke sammensætninger tælles for meget/for lidt med i de forkerte svar?

10 10 2 Pascals trekant Det er som det allerede er nævnt i grundkapitlet den egenskab ved symmetriske sandsynlighedsfelter, at sandsynligheden for en hændelse H kan beregnes ved antal udfald i H PH ( ), antal udfald i U som gør det så væsentligt at kunne finde svaret, når spørgsmålet er hvor mange. Det evigt tilbagevendende spørgsmål i denne sammenhæng er: På hvor mange måder kan man vælge r elementer ud, når man har n elementer at vælge mellem? eller det tilsvarende spørgsmål Hvor mange r-delmængder er der af en n-mængde?, og det er derfor et af de væsentligste i forbindelse med den kombinatoriske sandsynlighedsmodel. Svaret er som det nu er læseren bekendt tallet n n!. r r!( n r)! n n n n Tallene,,,, kaldes binomialkoefficienter af n te orden. Arbejdskort 3 giver en n forklaring på denne betegnelse. Tallene har mange forunderlige egenskaber, og nogle af dem vil afsløre sig i dette arbejdskort. Hensigten med dette arbejdskort er, at I opdager nogle af de egenskaber tallene n r har.

11 11 Udregn tallene 0 1 1,, 0 0 1, ,,,,,,,,,,,,, ,,, og, og stil dem op i et skema som dette (brug kopiarket sidst i arbejdskortet): Række 0: 0 0 Række 1: Række 2: Række 3: Række 4: Række 5: Denne taltrekant kaldes Pascals trekant. Den er opkaldt efter den franske filosof og matematiker Blaise Pascal ( ), der regnes som en af sandsynlighedsregningens fædre. Skemaet var dog kendt i Kina allerede omkring 1300 e.kr. og var formentlig også kendt i Europa, men fik navn efter Pascal pga. hans intense arbejde med sandsynlighedsregning. Betragt tallene i venstre side af Pascals trekant: 1 0, 2 0, 3 0, 4 0 og 5 0 Hvad bemærker du? Kan du formulere en generel regel for tal på formen Kan du argumentere for den? n 0?

12 12 Betragt ligeledes tallene 1 1, 2, 1 3, og 5 1 Hvad bemærker du? Kan du formulere en generel regel for tal på formen Kan du argumentere for den? n 1? Som du måske allerede har bemærket, er hver række i Pascals trekant symmetrisk om midten. Faktisk gælder: n n r n r n n Vis, at r n r dels ved at bruge formlen for n r argument. og dels ved et kombinatorisk Vink: Når du har valgt en delmængde på r elementer fra en mængde med n elementer, hvor mange elementer har du så bortvalgt? Hvad er forbindelsen (tilsyneladende) mellem et tal i det indre af Pascals trekant og de to tal, der står nærmest i rækken ovenover? Bevis, at der gælder: n n 1 n 1 r r 1 r dels ved at bruge formlen for n r kombinatorisk argument. og dels ved et Vink: Hvis man skal finde alle r-delmængder af mængden A { a1, a2, a3,, a n }, kan man dele dem i to typer: De r-delmængder, hvor a 1 er med, og de delmængder, hvor a 1 ikke er med. Hvor mange er der af hver type? Hvor mange er der tilsammen? Brug den viden du nu har om disse tal til at udfylde de næste fem rækker i Pascals trekant.

13 13

14 14 3 Binomialformlen n Tallene, hvor r kan antage værdierne 0, 1, 2,..., n, kaldes som nævnt i arbejdskort 2 for r binomialkoefficienter af n te orden. Hensigten med dette arbejdskort er, at I får forklaring på navnet binomialkoefficient kan forstå og anvende binomialformlen. Betegnelsen polynomium er velkendt. Det betyder i grunden blot en flerleddet størrelse. Tilsvarende betyder binomium en toleddet størrelse som fx a + b (forstavelsen bi- betyder to og kendes i pressen fx fra bilaterale forhandlinger forhandlinger mellem to parter). I skolen optræder toleddede størrelser bl.a. i forbindelse med kvadratet på en toleddet størrelse: ( a b) a 2ab b I skolen udregner man ikke formler for en toleddet størrelse i tredje potens, fjerde potens, femte... men det kan selvfølgelig lade sig gøre ved successivt at gange med (a + b): ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b ) ( a b) a 3a b 3ab b Foretag de mellemregninger, der er antydet ved prikkerne herover. Vis, at ( a b) a 4a b 6a b 4ab b Udregn ( a b), og skriv leddene op efter faldende potenseksponenter for a (og dermed voksende potenseksponenter for b, dvs. i rækkefølgen a 5, a 4 b, a 3 b 2,..., b 5. 5 Herover udregnede du ( a b). Brug dit kendskab til fortegnsregler ved multiplikation til at afgøre, hvilke ændringer der 5 skal foretages i resultatet, hvis du i stedet skal udregne ( a b).

15 Se nu på de led, der indgår i udregningen af ( a b), ( a b), ( a b) og ( a b), og bemærk specielt koefficienterne til de enkelte led, når de skrives op efter faldende potenseksponenter for a. Sammenlign med tallene i Pascals trekant. Hvad bemærker du? Kan du argumentere for din iagttagelse? Hvorfor tror du, at tallene orden? ,,, og 4 4 kaldes binomialkoefficienterne af 4. Binomialformlen er en formel til udregning af ( a b) n. Gør rede for, at der gælder: n n ( a b) a b k0 k n n k k N.B.: Symbolet er et stort græsk S (sigma). I denne forbindelse kaldes det et sumtegn. Variablen k kaldes en summationsvariabel. Idéen er, at først gives k værdien nul (fordi der står k = 0 under sumtegnet), dernæst får k værdien 1 (og der adderes) osv., indtil man når den øvre grænse n (som står over sumtegnet). Symbolsammenstillingen n n a nk b k k 0 k står altså for summen n n n n n a a b a b ab b n1 n n n1 n2 2 n1 n Brug binomialformlen til at udregne 11 4, og Brug binomialformlen til at skrive 4 ( x 1) som et 4. gradspolynomium i x.