Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen"

Transkript

1 1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik. Området er i løbet af det 20. århundrede vokset så eksplosivt, og anvendelserne er blevet så righoldige, at fx studiet af statistik de fleste steder i verden har udskilt sig fra matematikstudiet til at være selvstændige fag statistikstudiet, aktuarstudiet (forsikringsmatematik) og lignende. Det er derfor også et af de områder, hvor der ikke er en stærk tradition i undervisningen, man kan hælde sit hoved til. Dertil kommer, at udbredelsen af computere har særlig betydning for et område som dette, hvor man af og til har brug for så mange eksperimenter af samme art, at det er praktisk uoverkommeligt at udføre dem i virkeligheden. Det kalder i vore dage på brug af informationsteknologi. Også i skolen vil man betragte sandsynligheder fra tre synsvinkler: Statistiske sandsynligheder, kombinatoriske sandsynligheder og personlige sandsynligheder. Den statistiske sandsynlighedsmodel er i centrum, men kombinatoriske sandsynligheder er alligevel ikke til at komme uden om. Fra læseplanen for klassetrin: Det er ikke altid muligt og det opleves heller ikke altid som nødvendigt at bestemme sandsynligheder på baggrund af indsamlede data. I sådanne situationer kan eleverne basere deres vurderinger på optælling af mulige udfald, der betragtes som ligevægtede. På den måde indgår også elevernes kombinatoriske overvejelser. Der sigtes ikke direkte på anvendelsen af kombinatoriske formler. Kombinatoriske overvejelser indgår altså i undervisningen, men ikke (nødvendigvis) de formler, der behandles her. De hører til lærerens baggrundsviden den viden, der skal sætte ham eller hende i stand til at tilrettelægge et varieret, spændende erfaringsområde for eleverne. Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at I får lejlighed til kreativt at genopfinde matematik på dette område får mulighed for personlig faglig vækst og fordybelse i et område, der ofte bedømmes som vanskeligt får mulighed for at overveje, hvordan dette emne kan behandles i skolen. -serien består af disse arbejdskort: 1 Formler til kombinatorik 2 Pascals trekant 3 Binomialformlen

2 2 1 Formler til kombinatorik Selv om formler til kombinatorik generelt spiller en mindre rolle i folkeskolen nu end tidligere, er det en klar fordel for matematiklæreren at kende til dem. Formlerne kan bruges til at skyde genvej til løsning af mange forskellige problemstillinger. Det er op til læreren at afgøre, hvilken rolle formlerne skal spille for eleverne i de ældste klasser. En række forskellige problemstillinger med antalsbestemmelse kan omformuleres, så de kan tænkes at handle om forskellige former for stikprøveudtagning. I dette arbejdskort skal I forsøge at udvikle formler for fire forskellige former for stikprøveudtagning og bruge disse formler i forskellige sammenhænge. Det kan være en hjælp at bruge tælletræer i arbejdet eller måske finder I jeres egen fremgangsmåde! Formlerne er udledt (på én måde) i kapitlet, men det kan selvfølgelig gøres anderledes og måske kan du gøre det selv. Hensigten med dette arbejdskort er, at I kommer til at kunne udlede de fire klassiske formler til kombinatorik får erfaringer med at bruge formlerne i praksis. Forestil dig, at du skal udtage stikprøver på 3 kugler fra en krukke med 4 kugler. Det kan være en god idé at kalde de fire kugler noget fx a, b, c og d eller at tænke sig, at kuglerne har forskellige farver. Du udtager kuglerne én ad gangen. Først udtager du ordnede stikprøver dvs., at den rækkefølge, du udtager kuglerne i, har betydning (du skelner fx mellem stikprøverne (b, c, d) og (c, b, d) de tæller begge to i regnskabet). Stikprøven er også med tilbagelægning. Hver gang du har udtaget en kugle, lægger du den tilbage igen i krukken. Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage?

3 3 Prøv så at bestemme antallet af ordnede stikprøver uden tilbagelægning. Du skal altså stadig udtage stikprøver med 3 kugler fra en krukke med 4 kugler en kugle ad gangen. Når du har trukket en kugle, skal den ikke lægges tilbage igen i krukken. Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage? Nu er vi kommet til at bestemme antallet af uordnede stikprøver uden tilbagelægning. Ordningen af stikprøvens elementer har ingen betydning (du skelner fx ikke mellem stikprøverne (b, c, d) og (c, b, d) de tæller kun for én stikprøve i regnskabet). Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage? Endelig mangler du at bestemme antallet af uordnede stikprøver med tilbagelægning. Hvor mange forskellige stikprøver kan du udtage? Skemaet giver overblik over de fire forskellige former for stikprøver. Før dine resultater ind i et sådant skema. 3-stikprøver fra en 4-mængde Ordnet ed tilbagelægning Uden tilbagelægning Uordnet Bestem nu antallet af 2-stikprøver fra en 5-mængde (5 kugler i krukken der skal udtages stikprøver á 2 stk. én ad gangen) ud fra hver af de fire forskellige forudsætninger. Før dine resultater ind i et skema. 2-stikprøver fra en 5-mængde Ordnet ed tilbagelægning Uden tilbagelægning Uordnet Slut af med at gøre dine metoder generelle. Du skal forsøge at udvikle formler for antallet af forskellige r-stikprøver fra en n-mængde (n kugler i krukken der skal udtages stikprøver à r stk.) ud fra hver af de fire forudsætninger. Formlen for den sidste type stikprøve er ret svær at udlede og bruges ikke så tit se evt. guiden på næste side!

4 4 Anbefalet rækkefølge: 1) Ordnet med tilbagelægning Formel: 2) Ordnet uden tilbagelægning Formel: 3) Uordnet uden tilbagelægning Formel: 4) Uordnet med tilbagelægning Formel: Arrangementer: Uordnet stikprøve med tilbagelægning Lad os først gå tilbage til situationen med 3-stikprøven fra en 4-mængde. At udtage en uordnet 3- stikprøve med tilbagelægning fra en 4-mængde svarer til at undersøge, hvor mange forskellige ruter der kan tegnes fra nederste venstre hjørne til øverste højre hjørne i kvadratnettet herunder. Vi kan lade skridt opad (grøn) illustrere, at den pågældende kugle vælges ud, mens skridt til højre (rød) illustrerer, at kuglen ikke vælges. Ruten herunder illustrerer så en stikprøve, der består af én b-kugle og to d-kugler. Hvordan ser ruten ud, hvis den skal illustrere, at der udtages to a-kugler og én c-kugle? Vi kan altså lige så godt finde antallet af denne type stikprøver ved at overveje, hvor mange forskellige ruter, der kan laves! Læg mærke til, at ved en 3-stikprøve fra en 4-mængde bliver ruten altid 6 skridt lang (hvorfor?). Hvor lang bliver ruten ved en r-stikprøve fra en n-mængde? Læg mærke til, at der skal være 3 lodrette skridt på den 6 skridts lange rute (hvorfor?). Du kan fx vælge, at dit skridt nr. 1, 2 og 6 skal være lodrette eller at dit skridt nr. 3, 4 og 5 skal være lodrette. En rute er bestemt af, hvornår du tager de lodrette skridt. Hvis du kan finde antallet af mulige kombinationer, så kender du antallet af mulige ruter og dermed antallet af mulige stikprøver.

5 5 Hvor mange kombinationer er der, når du skal udtage 3 skridt til at være lodrette ud af 6 mulige skridt? Generaliser nu. Hvor mange forskellige uordnede r-stikprøver, med tilbagelægning, kan der foretages fra en n-mængde? Forhåbentlig står I nu med fire formler, der kan bruges til antalsbestemmelse. en brugen af formlerne kræver, at I kan oversætte problemstillinger til at handle om stikprøveudtagning. Eksempel: At udfylde en tipskupon med 13 kampe tilfældigt (1, x eller 2) svarer til at udtage en ordnet 13 stikprøve med tilbagelægning fra en 3-mængde (hvorfor?). De sidste opgaver på arbejdskortet handler om denne form for oversættelse : Hvilken slags stikprøve svarer til udfyldning af lottokupon? Hvor mange forskellige rækker kan der udfyldes (der er 36 tal og 7 skal afkrydses)? Hvilken slags stikprøve svarer til antallet af forskellige dankortkoder, der kan laves? Hvad er resultatet? Hvilken slags stikprøve svarer til antallet af forskellige rækkefølger, man kan placere fem børn i? Hvad er resultatet? På de næste tre sider bringes et klip fra Kolorit, 6. klasse. Løs opgaverne på de tre sider. Diskutér tælletræet som redskab i kombinatorik. Hvilke muligheder og begrænsninger giver tælletræet? Hvilke andre repræsentationsformer kan støtte elever i deres arbejde med kombinatorik? Prøv at oversætte opgaverne til stikprøveudtagning. Hvilke(n) slags stikprøve(r) er der tale om? Find selv på flere problemstillinger, der kan oversættes til stikprøveudtagning. Undersøg, hvilken type stikprøve der er tale om.

6 6

7 7

8 8

9 9 En lille én til søndagskaffen er svært! Det er uhyre let at tænke forket i forbindelse med kombinatoriske overvejelser. For mange matematiklærere er dette område derfor en favoritaversion. Ikke så meget fordi det er let at tænke forkert. Heller ikke fordi opgaverne er svære selv om det godt kan være årsagen men fordi der altid synes at være en kvik elev, som har en anden (ofte meget overbevisende) tilgang til problemet, end du har. en hvis nu elevens svar er et andet end dit svar, formodes du at være i stand til at forklare, hvorfor eleven (eller du selv?) har taget fejl. Her er et eksempel: På hvor mange måder kan man anbringe 3 centicubes en rød, en gul og en grøn i tre glas sådan, at mindst ét glas forbliver tomt? Elev 1: Det er da meget nemt! Først vælger du et tomt glas. Det kan gøres på 3 måder. Dernæst kan du anbringe de 3 centicubes frit mellem de 2 glas på = 8 måder. I alt er der altså 3 8 = 24 måder at gøre det på.. Elev 2: Nej, nej, nej,! an skal gøre sådan her: Først placerer vi den første centicube 3 muligheder. Så placerer vi den anden centicube også 3 muligheder. For den sidste centicube er der nu kun 2 muligheder, fordi mindst ét af glassene skal være tomt. Altså = 18 muligheder i alt. Elev 3: I er helt rundt på gulvet begge to! Næh, nu skal I se. Først tæller vi mulighederne med netop ét tomt glas. Vi kan placere den første centicube frit på 3 måder. Den anden placerer vi i et af de andre glas. Det kan så gøres på 2 måder. Den tredje centicube lægges nu oven i en af de to andre: 2 muligheder. I alt er der altså = 12 muligheder med netop ét tomt glas. ed to tomme glas skal vi vælge ét glas at komme alle tre centicubes ned i. Det kan gøre på 3 måder. I alt er der altså = 15 forskellige måder at gøre det på. Og nu står du altså med problemet som lærer alle ser spørgende på dig og venter på ekspertens afgørelse. Din første reaktion er derfor at sige, at det var vel nok heldigt, at I bragte dette spørgsmål på bane, fordi jeg netop har tænkt, at det skulle være hjemmearbejde til i morgen: Gå hjem og tænk over det! Derved har du reddet dig lidt tid til selv at tænke dig om, men nu slipper du ikke længere: Hvad er det rigtige svar? Hvad er der i vejen med de forkerte svar dvs. hvilke sammensætninger tælles for meget/for lidt med i de forkerte svar?

10 10 2 Pascals trekant Det er som det allerede er nævnt i grundkapitlet den egenskab ved symmetriske sandsynlighedsfelter, at sandsynligheden for en hændelse H kan beregnes ved antal udfald i H PH ( ), antal udfald i U som gør det så væsentligt at kunne finde svaret, når spørgsmålet er hvor mange. Det evigt tilbagevendende spørgsmål i denne sammenhæng er: På hvor mange måder kan man vælge r elementer ud, når man har n elementer at vælge mellem? eller det tilsvarende spørgsmål Hvor mange r-delmængder er der af en n-mængde?, og det er derfor et af de væsentligste i forbindelse med den kombinatoriske sandsynlighedsmodel. Svaret er som det nu er læseren bekendt tallet n n!. r r!( n r)! n n n n Tallene,,,, kaldes binomialkoefficienter af n te orden. Arbejdskort 3 giver en n forklaring på denne betegnelse. Tallene har mange forunderlige egenskaber, og nogle af dem vil afsløre sig i dette arbejdskort. Hensigten med dette arbejdskort er, at I opdager nogle af de egenskaber tallene n r har.

11 11 Udregn tallene 0 1 1,, 0 0 1, ,,,,,,,,,,,,, ,,, og, og stil dem op i et skema som dette (brug kopiarket sidst i arbejdskortet): Række 0: 0 0 Række 1: Række 2: Række 3: Række 4: Række 5: Denne taltrekant kaldes Pascals trekant. Den er opkaldt efter den franske filosof og matematiker Blaise Pascal ( ), der regnes som en af sandsynlighedsregningens fædre. Skemaet var dog kendt i Kina allerede omkring 1300 e.kr. og var formentlig også kendt i Europa, men fik navn efter Pascal pga. hans intense arbejde med sandsynlighedsregning. Betragt tallene i venstre side af Pascals trekant: 1 0, 2 0, 3 0, 4 0 og 5 0 Hvad bemærker du? Kan du formulere en generel regel for tal på formen Kan du argumentere for den? n 0?

12 12 Betragt ligeledes tallene 1 1, 2, 1 3, og 5 1 Hvad bemærker du? Kan du formulere en generel regel for tal på formen Kan du argumentere for den? n 1? Som du måske allerede har bemærket, er hver række i Pascals trekant symmetrisk om midten. Faktisk gælder: n n r n r n n Vis, at r n r dels ved at bruge formlen for n r argument. og dels ved et kombinatorisk Vink: Når du har valgt en delmængde på r elementer fra en mængde med n elementer, hvor mange elementer har du så bortvalgt? Hvad er forbindelsen (tilsyneladende) mellem et tal i det indre af Pascals trekant og de to tal, der står nærmest i rækken ovenover? Bevis, at der gælder: n n 1 n 1 r r 1 r dels ved at bruge formlen for n r kombinatorisk argument. og dels ved et Vink: Hvis man skal finde alle r-delmængder af mængden A { a1, a2, a3,, a n }, kan man dele dem i to typer: De r-delmængder, hvor a 1 er med, og de delmængder, hvor a 1 ikke er med. Hvor mange er der af hver type? Hvor mange er der tilsammen? Brug den viden du nu har om disse tal til at udfylde de næste fem rækker i Pascals trekant.

13 13

14 14 3 Binomialformlen n Tallene, hvor r kan antage værdierne 0, 1, 2,..., n, kaldes som nævnt i arbejdskort 2 for r binomialkoefficienter af n te orden. Hensigten med dette arbejdskort er, at I får forklaring på navnet binomialkoefficient kan forstå og anvende binomialformlen. Betegnelsen polynomium er velkendt. Det betyder i grunden blot en flerleddet størrelse. Tilsvarende betyder binomium en toleddet størrelse som fx a + b (forstavelsen bi- betyder to og kendes i pressen fx fra bilaterale forhandlinger forhandlinger mellem to parter). I skolen optræder toleddede størrelser bl.a. i forbindelse med kvadratet på en toleddet størrelse: ( a b) a 2ab b I skolen udregner man ikke formler for en toleddet størrelse i tredje potens, fjerde potens, femte... men det kan selvfølgelig lade sig gøre ved successivt at gange med (a + b): ( a b) ( a b) ( a b) ( a 2 ab b ) ( a b) a 3a b 3ab b Foretag de mellemregninger, der er antydet ved prikkerne herover. Vis, at ( a b) a 4a b 6a b 4ab b Udregn ( a b), og skriv leddene op efter faldende potenseksponenter for a (og dermed voksende potenseksponenter for b, dvs. i rækkefølgen a 5, a 4 b, a 3 b 2,..., b 5. 5 Herover udregnede du ( a b). Brug dit kendskab til fortegnsregler ved multiplikation til at afgøre, hvilke ændringer der 5 skal foretages i resultatet, hvis du i stedet skal udregne ( a b).

15 Se nu på de led, der indgår i udregningen af ( a b), ( a b), ( a b) og ( a b), og bemærk specielt koefficienterne til de enkelte led, når de skrives op efter faldende potenseksponenter for a. Sammenlign med tallene i Pascals trekant. Hvad bemærker du? Kan du argumentere for din iagttagelse? Hvorfor tror du, at tallene orden? ,,, og 4 4 kaldes binomialkoefficienterne af 4. Binomialformlen er en formel til udregning af ( a b) n. Gør rede for, at der gælder: n n ( a b) a b k0 k n n k k N.B.: Symbolet er et stort græsk S (sigma). I denne forbindelse kaldes det et sumtegn. Variablen k kaldes en summationsvariabel. Idéen er, at først gives k værdien nul (fordi der står k = 0 under sumtegnet), dernæst får k værdien 1 (og der adderes) osv., indtil man når den øvre grænse n (som står over sumtegnet). Symbolsammenstillingen n n a nk b k k 0 k står altså for summen n n n n n a a b a b ab b n1 n n n1 n2 2 n1 n Brug binomialformlen til at udregne 11 4, og Brug binomialformlen til at skrive 4 ( x 1) som et 4. gradspolynomium i x.

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Sandsynlighed og kombinatorik

Sandsynlighed og kombinatorik Sandsynlighed og kombinatorik Simpel sandsynlighed... 94 Kombinatorik... 95 Sandsynlighed og kombinatorik... 97 Kombinatorik og kugletrækning... 97 Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 93 Sandsynlighedsregning

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Statistik og sandsynlighed Statistik handler om at beskrive og analysere en stor mængde data. som I eller andre har indsamlet. Det kan fx være tal, der fortæller om, hvor mange lynnedslag der er i Danmark

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Modellering med Målskytten

Modellering med Målskytten Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

6.1 ØVEARK. Tæl og skriv tal

6.1 ØVEARK. Tæl og skriv tal 6.1 Tæl og skriv tal 1 2 3 4 6 11 12 13 14 1 16 1 1 1 20 0 30 1 30 1 0 30 30 1 1 0 30 1 30 1 0 1 30 1 0 30 30 1 JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE JUICE

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder.

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder. Dette tema lægger forskellige vinkler på temaet biografen. Udgangspunktet er således ikke et bestemt matematisk område, men et stykke virkelighed, der bl.a. kan beskrives ved hjælp af matematik. I dette

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Emne Mål Brug af IT Materialer Evaluering Timetal

Emne Mål Brug af IT Materialer Evaluering Timetal Årsplan 10 E KJ Generelt er der i klassen stor sprednig, men der er god arbejdsmoral Arbejdet organiseres som en blanding af klasseundervisning, gruppearbejde og pararbejde med hovedvægt på sidstnævnte.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik 1.-10. klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik

Læs mere

Pascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3

Pascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3 Pascals trekant Det mest bemærkelsesværdige ved Pascals trekant er formentlig, at den for en gangs skyld ikke går tilbage til grækerne. I stedet har den gamle indiske, muslimske og kinesiske rødder, der

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning 1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at

Læs mere

Talforståelse. Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. Kopi opgave. Navn:

Talforståelse. Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. Kopi opgave. Navn: Talforståelse opgave 1 Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. 1 Opgave 1 Fagligt område: Talforståelse Kombinere lægge sammen. Der anvendes kun hele kroner, ellers bliver opgaven

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Statistik og sandsynlighedsregning

Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Indhold og mål Mål At I får får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen får indblik i didaktiske

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L F I N N H. K R I S T I A N S E N 2 KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller.

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

T-1.24; Spil læg 3 til.

T-1.24; Spil læg 3 til. T-1.24; Spil læg 3 til. Faglige mål: Addition. At SPØRGE og SVARE i, med, om matematik. At omgås SPROG og REDSKABER i matematik. Lektionsmål: * Kan adderer med 2 og 3. * Stiller spørgsmål, der er relevante

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK)

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 3 2 PRØVERNE 3 2.1 Log in 3 2.2 Lydtjek til lytteprøven 5 2.3 Under prøven 5 3 Prøvens opgaver 7 3.1 Lytteopgaver 7 3.2

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Årsplan Matematik 9. klasse

Årsplan Matematik 9. klasse Årsplan 2017-2018 Matematik 9. klasse Der arbejdes primært på www.matematikbanken.dk. Her ligger der kompendier til hele årets pensum i matematik. Eleverne kan downloade kompendierne, således de kan løse

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Vejledende læseplan Matematik

Vejledende læseplan Matematik 2008 Vejledende læseplan Matematik Fjordskolen Matematik Om faget Ifølge folkeskoleloven 5stk. 2 omfatter undervisningen i den 9-årige grundskole faget matematik for alle elever på alle klassetrin. På

Læs mere