Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye"

Transkript

1 OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6 Assigment-problemer...7 Transhipment-problemer...8 Shortest path...8 Maximum flow...9 Critical path...9 Miminum spanning tree...10 Løsning af generelle heltalsproblemer...11 Rygsækproblemer...12 Travelling Saleaman Problems...12 Lagrange-optimering...13 Kuhn-Tucker-optimering...13 Deterministisk EOQ-model...14.DSLWDO Stokastisk EOQ-model Simpel køteori...16 M / M / 1 / GD / / - køsystemet...17 Tal i parentes refererer til de relevante sider i Winston. Fejl, mangler, udeladelser og unøjagtigheder i disse noter er ingen undskyldning for en dålig eksamenskarakter, og undertegnede kan på ingen måde stilles til regnskab. 1

2 .RQYHUWHULQJWLOVWDQGDUGIRUP( ) Tilføj en slack-variabel s i til alle -bibetingelser og en (minus) excess-variabel e i til alle - bibetingelser. / VQLQJDI/3SUREOHPHUYLDVLPSOH[ LP-problemer på normalform, dvs. alle bibetingelser er -bibetingelser (standard simplex) ( ): 1. Konvertér problemet til standardform. 2. Omform objektfunktion så højresiden er lig Er der tale om et maximerings- (minimerings)problem? 4. Find pivotsøjlen, dvs. den søjle med det største negative (positive) element i række Lav ratios for hvert element i pivotsøjlen (minus række 0) ved at dividere elementet i pivotsøjlen op i rækkens højreside-element. 6. Find pivotelement, dvs. det element i pivotsøjlen med den laveste positive ratio. 7. Bring pivotvariablen ind i basis, dvs. omform pivotelementet til et 1-tal og skab 0 er over og under dette. 8. Er den nuværende løsning optimal, dvs. er alle elementer i række 0 ikke-negative (ikkepositive)? Hvis ikke gå videre fra punkt Når der haves en optimal løsning kan denne aflæses i højre-side -søjlen. Er der tale om et LP-problem, hvor alle bibetingelser er -bibetingelser (268-): 1. Løs det duale problem, og aflæs løsningen til det primære problem i række 0. Er der tale om et LP-problem, hvor mindst 2 af mulighederne,, = indgår ( ): 1. Brug Big M metoden. 2. Konvertér til standardform og tilføj artificiale variable a i til > og =-bibetingelser. 3. Ved maksimering (minimering) tillæg (fratræk) M gange samtlige artificiale variable i objektfunktionen (før omformning), hvor M er et meget stort tal. 4. Eliminér de artificiale variable fra række 0 ved rækkeoperationer. 5. Fortsæt nu med standard-simplex. 2

3 7LOI MHOVHUWLOVLPSOH[ Har en ikke-basis-variabel i det optimale tableau er 0 i ræ kke 0, er den fundne løsning ikke entydig. En anden optimal løsning kan da findes ved bringe den givne variabel ind i basis ( ). Hvis den valgte pivotræ kke udelukkende har negative elementer i bibetingelserne, siges problemet at væ re ubundet (z kan antage vilkårligt store/små væ rdier). Der er ofte i sådanne tilfæ lde noget galt ( ). Hvis en artificial variabel indgår i den optimale løsning i et Big M problem, har problemet ingen løsninger (169)..DSLWDO 6HQVLYLWHWVDQDO\VHU Ændring i optimal løsning ved æ ndring LP-koefficenterne.m m Formler (244): ƒx j s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = c j = c BV B -1 a j - c j. ƒhøjre sider i det optimale tableau = b = B -1 b. ƒx j s bibetingelsessøjle = B -1 a j. ƒz-væ rdi i optimalt tableau = c BV B -1 b. ƒs i s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = i te element i c BV B -1. ƒe i s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = - (i te element i c BV B -1 ). ƒa i s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = (i te element i c BV B -1 ) ± M (+ ved maximering, ved minimering). ƒmatricen B -1 kan findes direkte i det optimale tableau som søjlerne (minus ræ kke 0) under slack- og de artificiale variable i den i tableauet givne ræ kkefølge. Ændring af ræ kke 0-koefficenten for en ikke-basis-variabel ( ): 1. Konstruér ny optimal ræ kke 0-koefficent via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. 3

4 2. Er der tale om maksimering (minimering) vil den fundne basis stadig væ re optimal, hvis c j 0 (c j 0). 3. Hvis den fundne basis ikke læ ngere er optimal, indsæ ttes c j i det optimale tableau og der køres simplex indtil en ny optimal løsning er fundet. Æ ndring af ræ kke 0-koefficenten for en basis-variabel ( ): 1. Bestem c BV B -1 -vektoren. 2. Konstruér nye optimale ræ kke 0-koefficenter for alle ikke-basis-variable via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. Koefficenterne for s i, e i og a i bestemmes direkte via c BV B Hvis der er tale om maksimering (minimering), vil basis forblive optimal, hvis de beregnede koefficienter alle er ikke-negative (ikke-positive). Bemæ rk dog at z æ ndrer sig! 4. Hvis basis ikke læ ngere er optimal, indsæ ttes de fundne koefficienter samt den nye z-væ rdi i det optimale tableau og der køres simplex indtil en ny optimal løsning er fundet. Æ ndring af en højre-side ( ): 1. Konstruér nye højre-sider via formlen b = B -1 b. 2. Hvis alle elementer i b er ikke-negative, forbliver basis optimal. Bemæ rk dog at z samt basisvariablenes væ rdier æ ndrer sig! 3. Hvis ovenstående ikke er tilfæ ldet, indsæ ttes b og den nye z-væ rdi i det optimale tableau, og der køres dual-simplex indtil en ny optimal løsning er fundet. Æ ndring af søjlen for en ikke-basis-variabel ( ): 1. Konstruér ny optimal ræ kke 0-koefficent via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. 2. Er der tale om maksimering (minimering) vil den fundne basis stadig væ re optimal, hvis c j > 0 (c j < 0). 3. Hvis ovenstående ikke er tilfæ ldet, beregnes variablens bibetingelsessøjle som B -1 a j. Denne samt c j indsæ ttes i det optimale tableau og der køres simplex indtil en optimal løsning er fundet. Tilføjelse af ny aktivitet ( ): 1. Konstruér optimal ræ kke 0-koefficent for den nye variabel via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. 4

5 2. Er der tale om maksimering (minimering) vil den fundne basis stadig væ re optimal, hvis c j > 0 (c j < 0). 3. Hvis ovenstående ikke er tilfæ ldet, beregnes variablens bibetingelsessøjle som B -1 a j. Denne samt c j indsæ ttes i det optimale tableau og der køres simplex indtil en optimal løsning er fundet. 'XDOLWHW Konstruktion af det duale problem ( ): 1. Kontrollér at problemet er på normalform. 2. Er problemet ikke på normalform æ ndres -bibetingelser til -bibetingelser ved at gange igennem med 1, og =-bibetingelser æ ndres til en - og en -bibetingelse. 3. Problemet æ ndres fra maksimering til minimering (og omvendt). 4. Højre-siderne bliver nye koefficenter i ræ kke 0, mens de oprindelige koefficenter i ræ kke 0 bliver nye højre-sider. 5. Variablene æ ndrer navn fra x 1,,x n til y n,,y m. 6. Bibetingelse j s venstre-side-koefficienter bliver koefficienter i søjle j (minus ræ kke 0). 7. Hvis der i det primæ re problem var n variable og m bibetingelser, er det nu omvendt. 8. Nu kan problemet konverteres til standardform. Aflæ sning af den duale løsning i det primæ re optimale tableau ( ): ƒoptimal x i /y i ved -bibetingelse = s i -koefficent i ræ kke 0 ƒoptimal x i /y i ved -bibetingelse = (e i -koefficent i ræ kke 0) ƒoptimal x i /y i ved =-bibetingelse = (a i -koefficent i ræ kke 0) M (+M ved min-problem) Den optimale væ rdi af objekt-fuktionen er ens i både det primæ re og det duale problem. Implikationer af dualitet( , ): De duale variable svarer til skyggepriserne i det primæ re problem, dvs. hvor meget øges objektfunktionen, hvis en af højresiderne øges med 1 enhed. Er en bibetingelse ikke bindende, er den tilhørende duale variabel 0. De duale variable kan ofte tolkes som priser på de tilhørende ressourcer. 5

6 Dual-simplex ( ): 1. Bruges til løsning af problemer hvor alle koefficienter i ræ kke 0 er ikke-negative, og der eksisterer mindst én negativ højre-side. 2. Som pivotræ kke væ lges ræ kken med den mest negative højre side. 3. Lav ratios for hvert negative element i pivotræ kken (minus 1. søjle) ved at dividere elementet i pivotræ kken op i søjlens element i ræ kke Find pivotelement, dvs. det element i pivotræ kken med den laveste numeriske ratio. 5. Bring pivotsøjlens variabel ind i basis via U NNHoperationer. 6. Når der ikke er flere negative højresider, er den optimale løsning fundet. Dual-simplex bruges primæ rt i følgende situationer: ƒhvis der tilføjes en ny bibetingelse, som den fundne optimale løsning ikke opfylder. ƒhvis højre-siden æ ndres, så højre-siderne i det optimale tableau ikke alle læ ngere er positive. ƒtil løsning af minimeringsproblemer på normalform. 7UDQVSRUWSUREOHPHU Et transport-problem er balanceret, hvis det samlede udbud er lig den samlede efterspørgsel. Er dette ikke tilfæ ldet balanceres problemet ved at indføre en dummy-størrelse, der således står for det manglende udbud/efterspørgsel. Transportomkostninger til/fra dummyen sæ ttes til 0 ( ). Indledningsvis findes en mulig basis-løsning på én følgende af måder. Minimum-cost metoden ( ): 1. Balancér evt. problemet og opstil transport-tableauet. 2. Kontrollér at der er tale om et minimeringsproblem. Hvis ikke fratræ kkes hver omkostning fra den største, hvorved nye omkostninger fremkommer. 3. Find cellen (minus dummy-celler ) med lavest omkostninger og gør denne så stor som muligt. Ræ kker/søjler der er mæ ttede streges ud (DOGULJ både ræ kke og søjle, selv om begge er mæ ttede ). 6

7 4. Fortsæ t sådan indtil alle ræ kker og streget ud, idet kun ikke udstregede ræ kker og søjler må benyttes. Vogel s metode ( ): 1. Balancér evt. problemet og opstil transport-tableauet. 2. Kontrollér at der er tale om et minimeringsproblem. Hvis ikke fratræ kkes hver omkostning fra den største, hvorved nye omkostninger fremkommer. 3. Konstruér straffe for hver ræ kke og søjle (minus dummy-celler ) som differencen mellem de to laveste omkostninger. 5. Find ræ kken/søjlen med højest straf og i denne cellen med lavest omkostninger og gør denne så stor som mulig. Ræ kker/søjler der er mæ ttede streges ud (DOGULJ både ræ kke og søjle, selv om begge er mæ ttede ). 4. Konstruér nye straffe for ikke udstregede ræ kker og søjler. 5. Fortsæ t sådan indtil alle ræ kker og streget ud, idet kun ikke udstregede ræ kker og søjler må benyttes. Transport-simplex ( ): 1. Find de duale variable for hver ræ kke og søjle, idet første ræ kkes duale variabel sæ ttes lig 0 og de øvrige konstrueres, så omkostningerne i en basis-celle er lig summen af den respektive ræ kke og søjles duale variabel. 2. Konstruér ræ kke 0-koefficenter (c j ) for alle ikke-basis-celler, idet disse er lig summen af den respektive ræ kke og søjles duale variabel fratrukket cellens omkostninger. 3. Hvis alle c j er er ikke-positive, er den fundne løsning optimal. 4. Er ovenstående ikke tilfæ ldet, indæ ttes cellen med størst positiv c j i basis ved at konstruere et loop. Denne celle betegnes OLJH, mens de øvrige basis-variable i loop et betegnes XOLJH, OLJH, XOLJH osv. Mindste XOLJHvæ rdi læ gges til alle lige celler og fratræ kkes alle ulige, således at kun én variabel forlader basis. 5. Nu fortsæ ttes fra pkt. 2 indtil en optimal løsning er fundet. $VVLJQPHQWSUREOHPHU Svarer til transportproblemer, hvor udbuddet fra hver udbyder skal leveres til kun en efterspørger, og hvor udbud og efterspørgsel i hvert punkt er lig 1. 7

8 Den ungarske metode (375): 1. Opstil en n n - omkostningsmatrix. 2. Kontrollér at der er tale om minimering. I tilfæ lde af maksimering fratræ kkes hver omkostning fra den største, hvorved nye omkostninger fremkommer. 3. Fratræ k i hver ræ kke mindste væ rdi i ræ kken. Gør det samme for hver søjle. 4. Dæ k samtlige nuller med mindst mulige antal vandrette og lodrette streger. 5. Hvis antallet af streger er lig n, kan den optimale løsning aflæ ses. 6. Hvis antallet af streger er mindre end n, fratæ kkes mindste udæ kkede væ rdi fra samtlige udæ kkede celler, mens samme væ rdi læ gges til i samtlige dobbelt-dæ kkede celler. 7. Nu fortsæ ttes fra pkt. 3 indtil en optimal løsning er fundet. 7UDQVKLSPHQWSUREOHPHU( ) Som transportproblemer der tillades blot mellemstationer/transhipment-punkter. ƒhvert transhipment-punkt indgår både som udbyder og efterspørger i transport-tableauet. ƒhver transhipment-punkt får udbud/efterspørgsel lig det samlede udbud (incl. dummy). ƒtransportomkostninger fra et transhipment-punkt til sig selv sæ ttes lig 0. ƒer en transport mellem to punkter ikke mulig sæ ttes omkostningerne til M..RUWHVWHYHM±VKRUWHVWSDWK Problemer, hvor den korteste/billigste/hurtigste rute mellem to punkter i et netvæ rk ønskes fundet. Dijkstra s algoritme ( ): 1. Opstil evt. netvæ rket grafisk. 2. Giv startpunktet væ rdien Øvrige punkter kan gives en væ rdi, når samtlige, forudgående tilknyttede punkter har fået en væ rdi. 4. Øvrige punkter gives en væ rdi, der er et minimum af samtlige, forudgående tilknyttede punkters væ rdi plus den respektive vejs læ ngde. 5. Algoritmen slutter når slutpunktet har fået en væ rdi. Denne væ rdi er den korteste vejs læ ngde, 8

9 6. Den korteste vej findes ved at gå tilbage gennem netvæ rket. 0DNVLPDOVWU P±PD[LPXPIORZ Problemer, hvor den størst mulige strøm (af olie, trafik, kapital etc.) mellem to punkter i et netvæ rk ønskes bestemt. Ford-Fulkerson s algoritme ( ): 1. Opstil evt. netvæ rket grafisk. 2. Send en strøm fra start- til slutpunktet, idet man må bevæ ge sig forlæ ns af en vej, hvis den ledige kapacitet er positiv, og baglæ ns, hvis vejens eksisterende strøm er positiv. En strøm må ikke få nogen vejs strøm til overskride sin kapacitet eller til at blive negativ. 3. Pkt. 2 gentages, indtil det ikke er muligt at sende mere fra start- til slutpunktet. 4. Tjek at den fundne løsning er optimal ved at finde det minimale snit. Hvis kapaciteten af dette er lig den fundne strøm, er løsningen optimal..ulwlvnyhm±fulwlfdosdwk Bruges til tilrettelæ gge projekter i tid og til at bestemme kritiske aktiviteter. Konstruktion af netvæ rk.( ): ƒhver vej repræ senterer en aktivitet, mens hvert punkt repræ senterer en tilstand. Læ ngden af hver vej angiver aktivitetens tidsudstræ kning. ƒét punkt angiver en starttilstand, mens ét punkt angiver sluttilstanden. ƒen aktivitet kan repræ senteres ved én vej. ƒto punkter må kun forbindes af én vej (ellers indføres dummy-aktiviteter). Beregning af Early Event Time (ET) ( ): ƒet(i) beregnes for hvert punkt i, som det tidligste tidspunkt hvorpå punktets tilstand kan opnås. ƒet(i) beregnes som maksimum af ET(j) + t ji (for samtlige umiddelbart forudgående punkter j), hvor t ji er læ ngden af vejen fra j til i. 9

10 Beregning af Late Event Time (LT) ( ): ƒlt(i) beregnes for hvert punkt i, som det seneste tidspunkt et punkt kan nås uden at forsinke det samlede projekt. ƒlt(i) beregnes som minimum af T(j) + t ij (for samtlige umiddelbart efterfølgende punkter j),hvor t ij er læ ngden af vejen fra i til j. Beregning af Total Float (TF) ( ): ƒtf(i,j) beregnes for hver vej, som den maksimale tid som en aktivitet kan udsæ ttes uden at forsinke det samlede projekt. ƒtf(i,j) beregnes som LT(j) ET(i) t ij. Bestemmelse af den kritiske vej (421): ƒhver aktivitet med TF = 0 betegnes kritisk aktivitet, idet forsinkelse af en sådan aktivitet vil forsinke det samlede projekt. ƒen rute fra start- til slutpunket, der udelukkende består af kritiske aktiviteter, kaldes en kritisk vej. Beregning af Free Float (TF) (422): ƒff(i,j) beregnes for hver vej, som den maksimale tid en aktivitet kan udsæ ttes uden at forsinke senere aktiviteter. ƒff(i,j) beregnes som ET(j) ET(i) t ij. 0LQGVWXGVS QGWHWU ±PLQLPXPVSDQQLQJWUHH( ) 1. Opstil evt. netvæ rket grafisk. 2. Tag udgangspunkt i et tilfæ ldigt punkt. 3. Forbind dette punkt med næ rmeste andet punkt. 4. Forbind det hidtil dannede træ med næ rmeste andet punkt. 5. Forsæ t med pkt. 4 indtil alle punkter i netvæ rket er forbundet (består netvæ rket af n punkter, skal træ et have n-1 grene ). 10

11 / VQLQJDIJHQHUHOOHKHOWDOVSUREOHPHU Problemer, hvor en eller flere variable kun må antage heltallige, ikke-negative væ rdier. Løsning ved Branch-and-Bound ( ): 1) Løs problemets /3UHOD[DWLRQ. Hvis alle beslutnings-variable er heltallige, er en optimal løsning fundet. 2) Er ovenstående ikke tilfæ ldet væ lges en ikke heltallig variabel x i, hvor a < x i < b (a,b er næ rmeste heltallige væ rdier). Nu dannes to nye underproblemer med den ekstra betingelse x i < a henholdsvis x i > b. 3) Regler for dannelse af nye underproblemer: Giver et underproblem en ikke-heltallig løsning dannes nye underproblemer som i pkt. 2. Giver et underproblem en heltallig løsning dannes LNNH nye underproblemer. Giver et underproblem en mindre optimal z-væ rdi end en heltallig løsning til et andet underproblem, dannes LNNH nye underproblemer. Giver et underproblem en z-væ rdi, som er mindre end 1 enhed mere optimal end en heltallig løsning til et andet underproblem, dannes LNNH nye underproblemer. 4) Når der ikke kan dannes flere nye underproblemer, findes den nye optimale løsning som den heltallige løsning til et underproblem, der har den mest optimale z-væ rdi. Lav gerne et JUHQHGLDJUDP! Løsning af heltals problemer, hvor ikke alle variable skal væ re heltallige (515): ƒder branches kun på heltalsbetingede variable. ƒder benyttes branch-and-bound som ovenfor. Løsning ved Cutting Plane Fractional Cut ( ): 1. Find det optimale simplex-tableau for problemets LP-relaxation. Hvis alle variable antager heltallige væ rdier er den fundne løsning optimal. 2. Find den bibetingelse i tableauet, hvor højresidens brøkdel er tæ ttest på en halv. 11

12 3. Konstruér ny bibetingelse udfra ovenstående bibetingelse. Bibetingelsen bliver: - 1 (sum af brøkdele på venstresiden) < - 1 brøkdel af højresiden (husk ekstra slack-variabel) 4. Find nyt optimalt tableau via dual simplex. 5. Er den fundne løsning ikke optimal, gentages proceduren, idet samtlige tilførte bibetingelser bibeholdes. Bemæ rk at brøkdelen f for negative tal x er [x] + f. F.eks. 2,65 f = 0,35 5\JV NSUREOHPHU±NQDSVDFNSUREOHPV( ) Problemer, hvor hver variabel i kan antage væ rdien 0 eller 1 (valgt vs. ikke valgt), og hvor variabel i, hvis denne væ lges, bidrager til z med en fast væ rdi c i. Hvis i væ lges vil den desuden besæ tte af a i af en given ressource. Den grådigste algoritme: ƒfor hver variabel i beregnes forholdet ci/ai. ƒvæ lg variabel med størst c i /a i. Væ lg dernæ st variabel med næ ststørst c i /a i. Fortsæ t sådan indtil den bedste tilbagevæ rende variabel vil overskride ressourcebeholdningen. Væ lg nu så meget af denne variabel som muligt. ƒlav nu branch-and-bound, idet hvert underproblem løses som i pkt. 2. 7UDYHOOLQJ6DOHVPDQ3UREOHPV Problemer, hvor samtlige punkter i et netvæ rk skal besøges med fæ rrest mulig omkostninger. Løsning ved branch-and-bound ( ): 1. Opstil omkostningsmatricen 2. Løs problemet som et assignment-problem og kontrollér for delture. Findes ingen delture er den fundne løsning optimal. 3. Eksisterer delture, elimineres én af dem ved at danne nye underproblemer, hvor hver vej i delturen på skift repræ senteres ved en streg. 4. Pkt. 2 og 3 gentages via normale branch-and-bound-regler indtil en optimal løsning er fundet. Ovenstående løsningsmodel er betinget af, at man skal vende tilbage til sit startpunket. 12

13 ƒstarter og slutter man i stedet uden for netvæ rket, skal dette ekstra punkt tilføjes omkostningsmatricen (er omkostninger for dette punkt ukendt men ensartede, benyttes et passende højt tal, f.eks. 100 eller 1000). ƒskal man ikke vende tilbage til udgangspunktet og er startpunktet ligegyldigt, løses problemet som punktet ovenfor. ƒskal man ikke vende tilbage til udgangspunktet og er startpunktet fastlagt, MANGLER /DJUDQJHRSWLPHULQJ( ) Optimering af (ikke nødvendigvis lineæ r) objektfunktion med n variable under hensyn til m bibetingelser (af =-form). Bestemmelse af optimal løsning: 1) Er der tale om maksimering eller minimering? 2) Opstil Lagrange-funktionen /(x 1,,x n,λ 1,,λ m). 3) Find første-ordens-betingelser for samtlige variable (incl. λ er). 4) Løs ligningssystemet, dvs. find (x 1 *,,x n *,λ 1*,,λ m*). 5) Er den fundne løsning optimal? a) Er der tale om maksimering og er objektfunktionen konkav, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal. b) Er der tale om minimering og er objektfunktionen konveks, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal..xkq7xfnhurswlphulqj( ) Optimering af (ikke nødvendigvis lineæ r) objektfunktion med n variable under hensyn til m bibetingelser (af - form). Bestemmelse af optimal løsning: 1) Omskriv evt. bibetingelser til den relevante form. 2) Er der tale om maksimering eller minimering? 13

14 3) Skal variablene (x 1,,x n ) væ re ikke-negative? 4) Opstil Kuhn-Tucker-betingelserne a) Svares nej i pkt. 3 benyttes teorem 9/9 s b) Svares ja, men vil (x 1 *,,x n *) aldrig antage negative væ rdier, benyttes teorem 9/9 s c) Svares ja, og vil (x 1 *,,x n *) kunne antage negative væ rdier, benyttes teorem 10/10 s ) Løs ligningssystemet, dvs. find (x 1 *,,x n *,λ 1*,,λ m*)/(x 1 *,,x n *,λ 1*,,λ m*,µ 1*,,µ m*,). 6) Er den fundne løsning optimal? a) Er der tale om maksimering og er objektfunktionen konkav, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal. b) Er der tale om minimering og er objektfunktionen konveks, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal. 'HWHUPLQLVWLVN(24PRGHO Model til beskrivelse af lagerplanlæ gning i en verden uden usikkerhed. Definitioner: ' = efterspørgsel pr. tidsenhed (jæ vnt fordelt i tid).. = setup- / ordreomkostninger. K = lageromkostninger pr. enhed pr. tidsenhed. S = pris pr.enhed. T = EOQ = ordrestørrelsen. / = lead time. 7 = tid mellem to ordrer. / = effektiv lead time. U = genbestillingspunkt (målt i lagerbeholdning). 14

15 Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye Model med L = 0 ( ): Bestemmelse af optimal ordre-størrelse således at de totale omkostninger TC minimeres: 7& ( T) =. ' + S ' + K T T 2 U = 0 2. ' T* = K T 7* = ' Model med L > 0 ( ): I modeller med positiv lead time er de totale omkostninger TC, den optimale ordrestørrelse q samt tiden T mellem to ordrer uæ ndret. Nyt er: Hvis / ' T*: U = / ' Hvis / ' > T*: / / = / 7 7 * * U = / ' 6WRNDVWLVN(24PRGHO Model til beskrivelse af lagerplanlæ gning i en verden med usikkerhed. The news vendor problem diskret efterspørgsel ( ): F = omkostning pr. enhed ved overskudslager. F = omksotning pr. enhed ved underskudslager. 15

16 Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye ' = stokastisk variabel for efterspørgslen. De forventede omkostninger minimeres ved at væ lge den mindste væ rdi T = T*, der tilfredsstiller: F 3 (' T*) F + F The news vendor problem kontinuert efterspørgsel ( ): Svarer til problemet ovenfor T* findes nu blot via ligningen: F 3 (' T*) = F + F Kapitlet angiver alternative løsninger til en ræ kke velkendte problemer, bl.a. shortest path og knapsack-problems. Undertegnede mener ikke, at disse alternative løsningsmetoder bør foretræ kkes fremfor hidtil beskrevne metoder (pensum er 20.1, 20.2, 20.4, 20.5, 20.6). 6LPSHON WHRUL ( ) Det antages, at ankomster foregår enkeltvis og er uafhæ ngige af hinanden, således at tiden mellem to ankomster kan beskrives ved en eksponentialfordeling med parameter λ, hvor λ angiver det forventede antal ankomster pr tidsenhed t. Dermed følger, at antallet af ankomster indenfor en givet tidsperiode t kan beskrives ved en poissonfordeling med parameter λ. Det er vigtigt at præ cisere tidsperioden. Ø nskes f.eks. analysen baseret på den dobbelte tidsperiode, dvs. 2 t, benyttes i både eksponential- og possionfordelingen parameteren 2 λ. Eksponentialfordelingen har ingen hukommelse. Dvs. den fremtidige fordeling påvirkes ikke af, hvor lang tid, der allerede er gået. 16

17 Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye 00*'ffN V\VWHPHW( ) Et køsystem, hvor ankomst- og servicetid er eksponentialfordelt. Der er 1 skranke, og der tillades et uendelig antal kunder i systemet ligesom, ligesom den samlede population antages uendelig stor. Definitioner: λ = parameter for ankomsttidernes eksponentialfordeling (gennemsnitlig antal ankomster pr. tidsenhed). µ = parameter for servicetidernes eksponentialfordeling (gennemsnitlig antal services pr. tidsenhed). ρ = trafikintensitet (sandsynlighed for at skranken er optaget). / = Gennemsnitligt antal i hele systemet. / = Gennemsnitligt antal kunder i kø. / = Gennemsnitligt antal kunder, der modtager service. : = Gennemsnitligt tidsforbrug i hele systemet pr. kunde. : = Gennemsnitligt tidsforbrug i kø pr. kunde. : = Gennemsnitligt tidsforbrug i servicedelen pr. kunde. Formler: ρ = λ µ ρ λ / = = = λ : 1 ρ µ λ 2 2 ρ λ / = = = λ : 1 ρ µ ( µ λ) / = ρ = λ : 1 : = µ λ : : λ = µ ( µ λ) 1 = µ 17

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (QQRWHRPOLQH USURJUDPPHULQJ Lineær programmering, eller LP-modeller, som de ofte kaldes, var en metode, der blev udviklet i 50'erne og 60'erne. I Danmark var især

Læs mere

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten ,QYHVWHULQJ %HJUHEHU Kalkulationsrente: Virksomhedens subjektive tidspræferencerate. Typisk er dette alternativrenten, fx kassekreditrenten. Det er den rente virksomheden PLQGVW skal have i afkast ved

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH /LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH Efterspørgselsfunktionen beskriver sammenhængen mellem den pris man tager for sit produkt, og den mængde man kan forvente at afsætte. Det gælder typisk, at

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide 05-2014 / v1.0 1 I. Produktinformation I-1. Pakkens indhold Smart stikkontakt Lyninstallationsguide CD med hurtig installationsvejledning I-2. Frontpanel Strømlysdioder

Læs mere

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut +YDGHU*36" GPS = Global Position System. Det består af 24 satellitter som cirkulerer ca. 20.000 km. over jorden. Disse sender kontinuerligt et tidssignal, og det er det signals forsinkelse som gør at positionen

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU /DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU,QGKROGVIRUWHJQHOVH 1. Baggrunden for undersøgelsen 2. Hovedindtrykket af undersøgelsen 3. Tidligere undersøgelser 4. Deltagerne i undersøgelsen

Læs mere

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Den.11.juni 2003. QRJXQJGRPVXGGDQQHOVHUQH,QGKROGVIRUWHJQHOVH Indholdsfortegnelse...1 Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Generelt om uddannelsesniveauet...4

Læs mere

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Kontoret for børn og unge mv., Social og Psykiatriforvaltningen i Viborg Amt Januar 2006 Projektleder Lisbeth Ørtenblad

Læs mere

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk.

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen juni 999 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

DiskStation DS211j, DS211

DiskStation DS211j, DS211 DiskStation DS211j, DS211 Hurtig installationsvejledning Dokument-id: Synology_QIG_2bayCL_20101028 SIKKERHEDSINSTRUKTIONER Læ s disse sikkerhedsinstruktioner nøje før brugen, og opbevar denne vejledning

Læs mere

INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP

INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP VELKOMMEN INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP DAGSORDEN 1. Velkomst og kort introduktion til mø det ved medlemmer af arbejdsgruppen,

Læs mere

Gisp Global Internet Service Provider. Bilag 1. Brugerhåndbog. Aalborg Universitet Master i IIT - Systemadministration

Gisp Global Internet Service Provider. Bilag 1. Brugerhåndbog. Aalborg Universitet Master i IIT - Systemadministration Gisp Global Internet Service Provider Bilag 1 Brugerhåndbog Aalborg Universitet Master i IIT - Systemadministration 1. Indledning Dette bilag indeholder en beskrivelse af virkemåden for e-mails skrevet

Læs mere

,QIRIROGHUHQ $GUHVVH. Hollandsvej 9-23 Christian X s Alle 56 60 2800 Lyngby. Rosenhaverne 2

,QIRIROGHUHQ $GUHVVH. Hollandsvej 9-23 Christian X s Alle 56 60 2800 Lyngby. Rosenhaverne 2 Infofolder ,QIRIROGHUHQ Med denne folder vil vi gerne byde nye beboere velkomne og kort redegøre for de forskellige fællesfaciliteter, der er til rådighed og hvad der er kutyme i vores ejendom. $GUHVVH

Læs mere

Afskedigelsesnævnets forretningsorden

Afskedigelsesnævnets forretningsorden Afskedigelsesnævnets forretningsorden Forretningsorden med ændringer pr. 1. marts 2006 for det i henhold til 4, stk. 3, i Hovedaftalen af 1973 med senere ændringer nedsatte permanente nævn, Afskedigelsesnævnet.

Læs mere

K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T. V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015

K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T. V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015 K ØBENHA V NS UNIV ERSITET V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015 K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T NØ R R E G AD E 10 1165 K B H. K F akultet Vejledning s enhed K ontaktpers

Læs mere

FÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 2003 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR

FÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 2003 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR FÆLLESSKAB GIVER MULIGHEDER EKSTRAORDINÆR KONGRES 0 FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE: LO S LEDELSES- OG BESLUTNINGSSTRUKTUR LO S EKSTRAORDINÆRE KONGRES 0 / FORSLAG TIL KONGRESVEDTAGELSE Forslag til kongresvedtagelse:

Læs mere

C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode

C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode Handelshøjskolen i København Statistikgruppen Erhvervsøkonomi-matematik-studiets 4. semester 2003 C++-program til løsning af LP-problemer vha. simplex-baseret metode Lene Hansen leha01ad Morten Høgholm

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Stedprøve Marts 1999, opgave 1 (40%):

Stedprøve Marts 1999, opgave 1 (40%): Stedprøve Marts 999, samlet Stedprøve Marts 999, opgave (4%): Spørgsmål.: Giv en vurdering af de to prisfastsættelsesmetoder, man har anvendt i de foregående to år. Metoden der blev anvendt for to år siden

Læs mere

'HOHELOVRUGQLQJHU LEROLJVHOVNDEHU

'HOHELOVRUGQLQJHU LEROLJVHOVNDEHU 'HOHELOVRUGQLQJHU LEROLJVHOVNDEHU Indhold 352-(.7'(6,*1 3URMHNWRUJDQLVHULQJ 3URMHNWHWVIRUPnORJUDPPH 2UJDQLVHULQJDIGHOHELOVRUGQLQJHU 9DOJDIEROLJRPUnGHU,QIRUPDWLRQRJUHNUXWWHULQJ,QIRUPDWLRQRJPDUNHGVI ULQJ

Læs mere

Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003

Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003 Fællesfonden Urevideret årsregnskab 2003 Dokid 184237 Det konsoliderede årsregnskab for fællesfonden for 2003 er udarbejdet på baggrund af de af stiftsøvrighederne udarbejdede, men endnu ikke reviderede

Læs mere

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål.

Opgaverne, der er afleveret er rettet med den udsendte rettevejlednings vejledende vægtning af de enkelte spørgsmål. Omprøve 1997 Løsningsforslag Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve 8. august 1997 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene

Læs mere

5DSSRUW IUD DUEHMGVJUXSSHQRPWLOJ QJHOLJKHG WLO IRONHNLUNHQVE\JQLQJHU

5DSSRUW IUD DUEHMGVJUXSSHQRPWLOJ QJHOLJKHG WLO IRONHNLUNHQVE\JQLQJHU 5DSSRUW IUD DUEHMGVJUXSSHQRPWLOJ QJHOLJKHG WLO IRONHNLUNHQVE\JQLQJHU Kirkeministeriet, december 2004 ,QGKROGVIRUWHJQHOVH,QGOHGQLQJ 1.1. Baggrund...2 1.2. Arbejdsgruppens kommissorium...2 1.3. Arbejdsgruppens

Læs mere

Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag.

Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Sommereksamen 29. maj 996 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes frem til et bestemt tal. I disse situationer

Læs mere

LO s formand Hans Jensen. Tale ved LO s konference om globalisering. Odense d. 31. jan. 2005

LO s formand Hans Jensen. Tale ved LO s konference om globalisering. Odense d. 31. jan. 2005 LO s formand Hans Jensen Tale ved LO s konference om globalisering Odense d. 31. jan. 2005 --------------------------------------------------------------------- I valgkampe går det alt for ofte sådan,

Læs mere

Uddannelsesstyrelsen att.: Fuldmægtig Troels Breindal H.C. Andersens Boulevard 43 1553 København V 15. november 2002 J.nr.: 001.

Uddannelsesstyrelsen att.: Fuldmægtig Troels Breindal H.C. Andersens Boulevard 43 1553 København V 15. november 2002 J.nr.: 001. Uddannelsesstyrelsen att.: Fuldmægtig Troels Breindal H.C. Andersens Boulevard 43 1553 København V 15. november 2002 J.nr.: 001.1 CHS/HJE 9HGU UHQGHIRUVODJWLOORYRPYHMOHGQLQJRPYDOJDIXGGDQQHOVHRJHUKYHUYVDPW

Læs mere

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Omprøve 12. august 2003. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Omprøve. august 003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Er kommunerne bæredygtige ind i det næste årtusind?

Er kommunerne bæredygtige ind i det næste årtusind? (Kapitel 3 i: Dahler-Larsen, Peter & Klausen, Kurt Klaudi (red.) 2000: Festfyrværkeri eller gravøl - en debatbog om den danske kommune ved årtusindskiftet, Odense Universitetsforlag, Odense) Er kommunerne

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: http://www.math.aau.dk/~gorst/vs7 Litteratur: 1.

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40 Info Praktisk information

Læs mere

Varemæ rker og tilladelser KAZAM er et varemæ rke/registreret varemæ rke ejet af KAZAM Android er et varemæ rke ejet af Google Inc.

Varemæ rker og tilladelser KAZAM er et varemæ rke/registreret varemæ rke ejet af KAZAM Android er et varemæ rke ejet af Google Inc. 1 KVIKVEJLEDNING ALLE RETTIGHEDER FORBEHOLDES Copyright KAZAM Alle rettigheder forbeholdes. Ingen del af dette dokument må reproduceres eller overføres i nogen form eller via noget medie uden forudgående,

Læs mere

1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 28. maj 2003. Spørgsmål 1.1: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Dette er et løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 28. maj 2003 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der skal findes

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal

Læs mere

LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet

LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet September 2000 LO«s notat om anvendelse af arbejdsevnekriteriet Indholdsfortegnelse Forord... 2 Indledning... 3 LO«s forslag til konkrete initiativer... 5 Model til anvendelse af arbejdsevnekriteriet...

Læs mere

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet:

Opgave 1: Sommereksamen 29. maj 2001. Spørgsmål 1.1: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 29. maj 2001 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Ordensreglement DAB. Om OHYHUHJOHUQHLRJRPNULQJ. din bolig. Hvor meget må du støje? Må du have husdyr? Hvordan bruger du fællesarealer?

Ordensreglement DAB. Om OHYHUHJOHUQHLRJRPNULQJ. din bolig. Hvor meget må du støje? Må du have husdyr? Hvordan bruger du fællesarealer? Om OHYHUHJOHUQHLRJRPNULQJ din bolig Hvor meget må du støje? Må du have husdyr? Hvordan bruger du fællesarealer? og meget mere DAB 2UGHQVUHJOHPHQW ) OOHVOHYHUHJOHU En boligafdeling udgør et lille samfund

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

TERP SPEJDERCENTER. Terpinfo 2002. - Stort og små t om centret

TERP SPEJDERCENTER. Terpinfo 2002. - Stort og små t om centret TERP SPEJDERCENTER Terpinfo 2002 - Stort og små t om centret Kæ re læ ser! Denne vejledning er blevet til udfra et ø nske om at såvel kendinge som nye på stedet kan få en mæ ngde praktiske og mindre praktiske

Læs mere

-DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW. Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne)

-DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW. Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne) -DQXDU /LFHQVHOOHUVNDW Rapport fra arbejdsgruppen om den fremtidige finansiering af DR og TV 2 (regionerne) ,QGKROGVIRUWHJQHOVH 1. Baggrund, kommissorium, afgrænsning og sammensætning 2. Arbejdsgruppens

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

www.philips.com/welcome

www.philips.com/welcome Register your product and get support at www.philips.com/welcome PFL42x8 PFL32x8 DA Brugervejledning Indhold 1 Vigtigt 3 Sikkerhed 3 Vedligeholdelse 4 Juridisk 5 Bæ redygtighed 7 Hjæ lp og support 9 2

Læs mere

Tekni opl nger ent opl nger behør

Tekni opl nger ent opl nger behør V GT G NFORMAT ON D mæ m æ æ m m æ mm m M m mæ æ æ mm K E ENDOMSMÆGLERENSOPL YSN NGT LPARTERNE E m mæ m mæ m m N M m mæ m N H m mæ æ m m æ æ æ m m æ m N H Ræ K U B 9 6 98 A F NANS ER NGSF ORSL AG A O BRT

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

BILAG A til. Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS FORORDNING. om det europæiske national- og regionalregnskabssystem i Den Europæiske Union

BILAG A til. Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS FORORDNING. om det europæiske national- og regionalregnskabssystem i Den Europæiske Union DA DA DA EUROPA-KOMMISSIONEN Bruxelles, den 20.12.2010 KOM(2010) 774 endelig Bilag A/Kapitel 14 BILAG A til Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS FORORDNING om det europæiske national- og regionalregnskabssystem

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold...

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold... Br uger vej l edni ngf orlcdskær m Q2778VQE LEDbaggr undsl ys www. aoc. c om 2014AOC. Al lri ght sreser ved. Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet...

Læs mere

Strukturering af Informationer til AnalyseformŒl

Strukturering af Informationer til AnalyseformŒl Data warehousing og Knowledge Management Strukturering af Informationer til AnalyseformŒl AALBORG UNIVERSITET MASTER i INFORMATIONSTEKNOLOGI, INDUSTRIEL IT (MII) PROJEKT GRUPPE: IT i BYGGERIET & IT i INDUSTRIEL

Læs mere

Din brugermanual AEG-ELECTROLUX ERT1575 http://da.yourpdfguides.com/dref/634572

Din brugermanual AEG-ELECTROLUX ERT1575 http://da.yourpdfguides.com/dref/634572 Du kan læse anbefalingerne i brugervejledningen, den tekniske guide eller i installationsguiden. Du finder svarene til alle dine spørgsmål i i brugermanualen (information, specifikationer, sikkerhedsråd,

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

TILLÆG FORSLAG JERNIT TIL REGIONPLAN 2001 OG VVM-REDEGØRELSE. Udvidelse af slagtekyllingeproduktionen. vandindvindingsområder ved Jernit

TILLÆG FORSLAG JERNIT TIL REGIONPLAN 2001 OG VVM-REDEGØRELSE. Udvidelse af slagtekyllingeproduktionen. vandindvindingsområder ved Jernit FORSLAG JERNIT Udvidelse af slagtekyllingeproduktionen samt revision af følsomme vandindvindingsområder ved Jernit Linen 58, 8450 Hammel Hammel Kommune Langå Hadsten Rosenh Gjern Hammel Hinnerup g Galten

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Slutrapport Resultatkontrakt Vedrørende Netværk MidtVind 1. august 2008 31. juli 2011 Journalnum m er:1-30-76-6-09 R egion: R egion Midtjylland(R M) Regional U dvikling Skottenborg 26 8800 Viborg Ean-nr:5

Læs mere

AVG Anti-Virus 2013. Brugervejledning. Dokumentrevision 2013.01 (30.8.2012)

AVG Anti-Virus 2013. Brugervejledning. Dokumentrevision 2013.01 (30.8.2012) AVG Anti-Virus 2013 Brugervejledning Dokumentrevision 2013.01 (30.8.2012) C opyright AVG Technologies C Z, s.r.o. Alle rettigheder forbeholdes. Alle andre varemærker tilhører de respektive ejere. Dette

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

KAPITEL 10 flere eksempler

KAPITEL 10 flere eksempler KAPITEL 10 flere eksempler Afsnit 10.3 Matematik i virksomhedsøkonomiske problemstillinger E3a GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen er konstant I eksempel 3 i kapitel

Læs mere

Bestem den optimale pris og mængde, illustrer løsningen grafisk og beregn det årlige dækningsbidrag. 0 50000 100000 150000 200000 250000 Mængde

Bestem den optimale pris og mængde, illustrer løsningen grafisk og beregn det årlige dækningsbidrag. 0 50000 100000 150000 200000 250000 Mængde Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen 3. maj 007 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor

Læs mere

Lovgivning som forskriften vedrører. Senere ændringer til forskriften Oversigt (indholdsfortegnelse)

Lovgivning som forskriften vedrører. Senere ændringer til forskriften Oversigt (indholdsfortegnelse) Bekendtgørelse om farvning af gas- og dieselolier og petroleum BEK nr 983 af 18/10/2005 (Gældende) LBK Nr. 701 af 28/09/1998 Bilag 1 Bilag 2 Kapitel 1 Kapitel 2 Kapitel 3 Kapitel 4 Kapitel 5 Kapitel 6

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold...

Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold... Sikkerhed... 4 Nationale konventioner... 4 Effekt... 5 Installation... 6 Rengøring... 7 Andet... 8 Installation... 9 PAKKEindhold... 9 Opsæ tning af stander og fod... 10 Indstilling af synsvinkel... 11

Læs mere

Din brugermanual ZANUSSI FLS832C http://da.yourpdfguides.com/dref/662901

Din brugermanual ZANUSSI FLS832C http://da.yourpdfguides.com/dref/662901 Du kan læse anbefalingerne i brugervejledningen, den tekniske guide eller i installationsguiden. Du finder svarene til alle dine spørgsmål i i brugermanualen (information, specifikationer, sikkerhedsråd,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

sprede god praksis Ekstern vurdering Selvevaluering Videndeling Sundhedsstyrelsens tematiske erfaringsopsamling

sprede god praksis Ekstern vurdering Selvevaluering Videndeling Sundhedsstyrelsens tematiske erfaringsopsamling P rojektbeskrivelse:evaluering af program m ed 28 projekter til forstæ rket indsats overfor kronisk sygdom i R egion M idtjylland 2010-2012 (kronikerprojektprogram m et) Sundhedsstyrelsens tematiske erfaringsopsamling

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

ATP-beskæftigelsestal 3. kvartal 2009 Krisen har bidt sig godt fast i IT -branchen D en økonom iske krise har gjort endnu et solidt indhug i IT-branchens beskæ ftigelse. Branchen har nu i de tre første

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

Rentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012

Rentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012 Rentesregning: Lektion A2, Flere rentetilskrivninger, Excel Peter Ove Christensen Forår 2012 1 / 26 Definition Hvilken rentesats giver vores betalingsrække en ønsket værdi? Denne rentesats kaldes for den

Læs mere

%DUULHUHUIRUUHDOLVHULQJDI HQHUJLEHVSDUHOVHULE\JQLQJHU

%DUULHUHUIRUUHDOLVHULQJDI HQHUJLEHVSDUHOVHULE\JQLQJHU Notat %DUULHUHUIRUUHDOLVHULQJDI HQHUJLEHVSDUHOVHULE\JQLQJHU Ole Michael Jensen Statens Byggeforskningsinstitut 2004 2 ,QGKROG Forord... 5 Baggrund... 6 Fremgangsmåde... 8 Tidligere undersøgelser af barrierer...

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Memo risiko analyse på deduster

Memo risiko analyse på deduster Memo risiko analyse på deduster To: All From: DEr CC: Date: January 6, 2015 Re: Risiko analyse på deduster. Indholdsfortegnelse: Indholdsfortegnelse:... 1 Formål:... 2 Risiko analyse:... 2 Risiko resultater

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

%OLYXGYLNOHU GHQNUHDWLYHSURJUDPP U 1RUPDQQ$D1LHOVHQ

%OLYXGYLNOHU GHQNUHDWLYHSURJUDPP U 1RUPDQQ$D1LHOVHQ %OLYXGYLNOHU GHQNUHDWLYHSURJUDPP U 1RUPDQQ$D1LHOVHQ $WY UHXGYLNOHUHUNRQVWDQWDWKDYH MQHQHnEQH IRUGHWLQJGHULNNHILQGHV RJIRUGHWLQJGHUILQGHV PHQVRPNDQ QGUHV Det fortælles at en jøde under anden verdenskrig

Læs mere