Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye"

Transkript

1 OPERATIONSANALYSE - EK SAMENSNOTER Konvertering til standard-form...2 Løsning af LP-problemer via simplex...2 Tilføjelser til simplex...3 Sensitivitetsanalyser...3 Dualitet...5.DSLWDO Transportproblemer...6 Assigment-problemer...7 Transhipment-problemer...8 Shortest path...8 Maximum flow...9 Critical path...9 Miminum spanning tree...10 Løsning af generelle heltalsproblemer...11 Rygsækproblemer...12 Travelling Saleaman Problems...12 Lagrange-optimering...13 Kuhn-Tucker-optimering...13 Deterministisk EOQ-model...14.DSLWDO Stokastisk EOQ-model Simpel køteori...16 M / M / 1 / GD / / - køsystemet...17 Tal i parentes refererer til de relevante sider i Winston. Fejl, mangler, udeladelser og unøjagtigheder i disse noter er ingen undskyldning for en dålig eksamenskarakter, og undertegnede kan på ingen måde stilles til regnskab. 1

2 .RQYHUWHULQJWLOVWDQGDUGIRUP( ) Tilføj en slack-variabel s i til alle -bibetingelser og en (minus) excess-variabel e i til alle - bibetingelser. / VQLQJDI/3SUREOHPHUYLDVLPSOH[ LP-problemer på normalform, dvs. alle bibetingelser er -bibetingelser (standard simplex) ( ): 1. Konvertér problemet til standardform. 2. Omform objektfunktion så højresiden er lig Er der tale om et maximerings- (minimerings)problem? 4. Find pivotsøjlen, dvs. den søjle med det største negative (positive) element i række Lav ratios for hvert element i pivotsøjlen (minus række 0) ved at dividere elementet i pivotsøjlen op i rækkens højreside-element. 6. Find pivotelement, dvs. det element i pivotsøjlen med den laveste positive ratio. 7. Bring pivotvariablen ind i basis, dvs. omform pivotelementet til et 1-tal og skab 0 er over og under dette. 8. Er den nuværende løsning optimal, dvs. er alle elementer i række 0 ikke-negative (ikkepositive)? Hvis ikke gå videre fra punkt Når der haves en optimal løsning kan denne aflæses i højre-side -søjlen. Er der tale om et LP-problem, hvor alle bibetingelser er -bibetingelser (268-): 1. Løs det duale problem, og aflæs løsningen til det primære problem i række 0. Er der tale om et LP-problem, hvor mindst 2 af mulighederne,, = indgår ( ): 1. Brug Big M metoden. 2. Konvertér til standardform og tilføj artificiale variable a i til > og =-bibetingelser. 3. Ved maksimering (minimering) tillæg (fratræk) M gange samtlige artificiale variable i objektfunktionen (før omformning), hvor M er et meget stort tal. 4. Eliminér de artificiale variable fra række 0 ved rækkeoperationer. 5. Fortsæt nu med standard-simplex. 2

3 7LOI MHOVHUWLOVLPSOH[ Har en ikke-basis-variabel i det optimale tableau er 0 i ræ kke 0, er den fundne løsning ikke entydig. En anden optimal løsning kan da findes ved bringe den givne variabel ind i basis ( ). Hvis den valgte pivotræ kke udelukkende har negative elementer i bibetingelserne, siges problemet at væ re ubundet (z kan antage vilkårligt store/små væ rdier). Der er ofte i sådanne tilfæ lde noget galt ( ). Hvis en artificial variabel indgår i den optimale løsning i et Big M problem, har problemet ingen løsninger (169)..DSLWDO 6HQVLYLWHWVDQDO\VHU Ændring i optimal løsning ved æ ndring LP-koefficenterne.m m Formler (244): ƒx j s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = c j = c BV B -1 a j - c j. ƒhøjre sider i det optimale tableau = b = B -1 b. ƒx j s bibetingelsessøjle = B -1 a j. ƒz-væ rdi i optimalt tableau = c BV B -1 b. ƒs i s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = i te element i c BV B -1. ƒe i s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = - (i te element i c BV B -1 ). ƒa i s ræ kke 0-koefficent i det optimale tableau = (i te element i c BV B -1 ) ± M (+ ved maximering, ved minimering). ƒmatricen B -1 kan findes direkte i det optimale tableau som søjlerne (minus ræ kke 0) under slack- og de artificiale variable i den i tableauet givne ræ kkefølge. Ændring af ræ kke 0-koefficenten for en ikke-basis-variabel ( ): 1. Konstruér ny optimal ræ kke 0-koefficent via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. 3

4 2. Er der tale om maksimering (minimering) vil den fundne basis stadig væ re optimal, hvis c j 0 (c j 0). 3. Hvis den fundne basis ikke læ ngere er optimal, indsæ ttes c j i det optimale tableau og der køres simplex indtil en ny optimal løsning er fundet. Æ ndring af ræ kke 0-koefficenten for en basis-variabel ( ): 1. Bestem c BV B -1 -vektoren. 2. Konstruér nye optimale ræ kke 0-koefficenter for alle ikke-basis-variable via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. Koefficenterne for s i, e i og a i bestemmes direkte via c BV B Hvis der er tale om maksimering (minimering), vil basis forblive optimal, hvis de beregnede koefficienter alle er ikke-negative (ikke-positive). Bemæ rk dog at z æ ndrer sig! 4. Hvis basis ikke læ ngere er optimal, indsæ ttes de fundne koefficienter samt den nye z-væ rdi i det optimale tableau og der køres simplex indtil en ny optimal løsning er fundet. Æ ndring af en højre-side ( ): 1. Konstruér nye højre-sider via formlen b = B -1 b. 2. Hvis alle elementer i b er ikke-negative, forbliver basis optimal. Bemæ rk dog at z samt basisvariablenes væ rdier æ ndrer sig! 3. Hvis ovenstående ikke er tilfæ ldet, indsæ ttes b og den nye z-væ rdi i det optimale tableau, og der køres dual-simplex indtil en ny optimal løsning er fundet. Æ ndring af søjlen for en ikke-basis-variabel ( ): 1. Konstruér ny optimal ræ kke 0-koefficent via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. 2. Er der tale om maksimering (minimering) vil den fundne basis stadig væ re optimal, hvis c j > 0 (c j < 0). 3. Hvis ovenstående ikke er tilfæ ldet, beregnes variablens bibetingelsessøjle som B -1 a j. Denne samt c j indsæ ttes i det optimale tableau og der køres simplex indtil en optimal løsning er fundet. Tilføjelse af ny aktivitet ( ): 1. Konstruér optimal ræ kke 0-koefficent for den nye variabel via formlen c j = c BV B -1 a j - c j. 4

5 2. Er der tale om maksimering (minimering) vil den fundne basis stadig væ re optimal, hvis c j > 0 (c j < 0). 3. Hvis ovenstående ikke er tilfæ ldet, beregnes variablens bibetingelsessøjle som B -1 a j. Denne samt c j indsæ ttes i det optimale tableau og der køres simplex indtil en optimal løsning er fundet. 'XDOLWHW Konstruktion af det duale problem ( ): 1. Kontrollér at problemet er på normalform. 2. Er problemet ikke på normalform æ ndres -bibetingelser til -bibetingelser ved at gange igennem med 1, og =-bibetingelser æ ndres til en - og en -bibetingelse. 3. Problemet æ ndres fra maksimering til minimering (og omvendt). 4. Højre-siderne bliver nye koefficenter i ræ kke 0, mens de oprindelige koefficenter i ræ kke 0 bliver nye højre-sider. 5. Variablene æ ndrer navn fra x 1,,x n til y n,,y m. 6. Bibetingelse j s venstre-side-koefficienter bliver koefficienter i søjle j (minus ræ kke 0). 7. Hvis der i det primæ re problem var n variable og m bibetingelser, er det nu omvendt. 8. Nu kan problemet konverteres til standardform. Aflæ sning af den duale løsning i det primæ re optimale tableau ( ): ƒoptimal x i /y i ved -bibetingelse = s i -koefficent i ræ kke 0 ƒoptimal x i /y i ved -bibetingelse = (e i -koefficent i ræ kke 0) ƒoptimal x i /y i ved =-bibetingelse = (a i -koefficent i ræ kke 0) M (+M ved min-problem) Den optimale væ rdi af objekt-fuktionen er ens i både det primæ re og det duale problem. Implikationer af dualitet( , ): De duale variable svarer til skyggepriserne i det primæ re problem, dvs. hvor meget øges objektfunktionen, hvis en af højresiderne øges med 1 enhed. Er en bibetingelse ikke bindende, er den tilhørende duale variabel 0. De duale variable kan ofte tolkes som priser på de tilhørende ressourcer. 5

6 Dual-simplex ( ): 1. Bruges til løsning af problemer hvor alle koefficienter i ræ kke 0 er ikke-negative, og der eksisterer mindst én negativ højre-side. 2. Som pivotræ kke væ lges ræ kken med den mest negative højre side. 3. Lav ratios for hvert negative element i pivotræ kken (minus 1. søjle) ved at dividere elementet i pivotræ kken op i søjlens element i ræ kke Find pivotelement, dvs. det element i pivotræ kken med den laveste numeriske ratio. 5. Bring pivotsøjlens variabel ind i basis via U NNHoperationer. 6. Når der ikke er flere negative højresider, er den optimale løsning fundet. Dual-simplex bruges primæ rt i følgende situationer: ƒhvis der tilføjes en ny bibetingelse, som den fundne optimale løsning ikke opfylder. ƒhvis højre-siden æ ndres, så højre-siderne i det optimale tableau ikke alle læ ngere er positive. ƒtil løsning af minimeringsproblemer på normalform. 7UDQVSRUWSUREOHPHU Et transport-problem er balanceret, hvis det samlede udbud er lig den samlede efterspørgsel. Er dette ikke tilfæ ldet balanceres problemet ved at indføre en dummy-størrelse, der således står for det manglende udbud/efterspørgsel. Transportomkostninger til/fra dummyen sæ ttes til 0 ( ). Indledningsvis findes en mulig basis-løsning på én følgende af måder. Minimum-cost metoden ( ): 1. Balancér evt. problemet og opstil transport-tableauet. 2. Kontrollér at der er tale om et minimeringsproblem. Hvis ikke fratræ kkes hver omkostning fra den største, hvorved nye omkostninger fremkommer. 3. Find cellen (minus dummy-celler ) med lavest omkostninger og gør denne så stor som muligt. Ræ kker/søjler der er mæ ttede streges ud (DOGULJ både ræ kke og søjle, selv om begge er mæ ttede ). 6

7 4. Fortsæ t sådan indtil alle ræ kker og streget ud, idet kun ikke udstregede ræ kker og søjler må benyttes. Vogel s metode ( ): 1. Balancér evt. problemet og opstil transport-tableauet. 2. Kontrollér at der er tale om et minimeringsproblem. Hvis ikke fratræ kkes hver omkostning fra den største, hvorved nye omkostninger fremkommer. 3. Konstruér straffe for hver ræ kke og søjle (minus dummy-celler ) som differencen mellem de to laveste omkostninger. 5. Find ræ kken/søjlen med højest straf og i denne cellen med lavest omkostninger og gør denne så stor som mulig. Ræ kker/søjler der er mæ ttede streges ud (DOGULJ både ræ kke og søjle, selv om begge er mæ ttede ). 4. Konstruér nye straffe for ikke udstregede ræ kker og søjler. 5. Fortsæ t sådan indtil alle ræ kker og streget ud, idet kun ikke udstregede ræ kker og søjler må benyttes. Transport-simplex ( ): 1. Find de duale variable for hver ræ kke og søjle, idet første ræ kkes duale variabel sæ ttes lig 0 og de øvrige konstrueres, så omkostningerne i en basis-celle er lig summen af den respektive ræ kke og søjles duale variabel. 2. Konstruér ræ kke 0-koefficenter (c j ) for alle ikke-basis-celler, idet disse er lig summen af den respektive ræ kke og søjles duale variabel fratrukket cellens omkostninger. 3. Hvis alle c j er er ikke-positive, er den fundne løsning optimal. 4. Er ovenstående ikke tilfæ ldet, indæ ttes cellen med størst positiv c j i basis ved at konstruere et loop. Denne celle betegnes OLJH, mens de øvrige basis-variable i loop et betegnes XOLJH, OLJH, XOLJH osv. Mindste XOLJHvæ rdi læ gges til alle lige celler og fratræ kkes alle ulige, således at kun én variabel forlader basis. 5. Nu fortsæ ttes fra pkt. 2 indtil en optimal løsning er fundet. $VVLJQPHQWSUREOHPHU Svarer til transportproblemer, hvor udbuddet fra hver udbyder skal leveres til kun en efterspørger, og hvor udbud og efterspørgsel i hvert punkt er lig 1. 7

8 Den ungarske metode (375): 1. Opstil en n n - omkostningsmatrix. 2. Kontrollér at der er tale om minimering. I tilfæ lde af maksimering fratræ kkes hver omkostning fra den største, hvorved nye omkostninger fremkommer. 3. Fratræ k i hver ræ kke mindste væ rdi i ræ kken. Gør det samme for hver søjle. 4. Dæ k samtlige nuller med mindst mulige antal vandrette og lodrette streger. 5. Hvis antallet af streger er lig n, kan den optimale løsning aflæ ses. 6. Hvis antallet af streger er mindre end n, fratæ kkes mindste udæ kkede væ rdi fra samtlige udæ kkede celler, mens samme væ rdi læ gges til i samtlige dobbelt-dæ kkede celler. 7. Nu fortsæ ttes fra pkt. 3 indtil en optimal løsning er fundet. 7UDQVKLSPHQWSUREOHPHU( ) Som transportproblemer der tillades blot mellemstationer/transhipment-punkter. ƒhvert transhipment-punkt indgår både som udbyder og efterspørger i transport-tableauet. ƒhver transhipment-punkt får udbud/efterspørgsel lig det samlede udbud (incl. dummy). ƒtransportomkostninger fra et transhipment-punkt til sig selv sæ ttes lig 0. ƒer en transport mellem to punkter ikke mulig sæ ttes omkostningerne til M..RUWHVWHYHM±VKRUWHVWSDWK Problemer, hvor den korteste/billigste/hurtigste rute mellem to punkter i et netvæ rk ønskes fundet. Dijkstra s algoritme ( ): 1. Opstil evt. netvæ rket grafisk. 2. Giv startpunktet væ rdien Øvrige punkter kan gives en væ rdi, når samtlige, forudgående tilknyttede punkter har fået en væ rdi. 4. Øvrige punkter gives en væ rdi, der er et minimum af samtlige, forudgående tilknyttede punkters væ rdi plus den respektive vejs læ ngde. 5. Algoritmen slutter når slutpunktet har fået en væ rdi. Denne væ rdi er den korteste vejs læ ngde, 8

9 6. Den korteste vej findes ved at gå tilbage gennem netvæ rket. 0DNVLPDOVWU P±PD[LPXPIORZ Problemer, hvor den størst mulige strøm (af olie, trafik, kapital etc.) mellem to punkter i et netvæ rk ønskes bestemt. Ford-Fulkerson s algoritme ( ): 1. Opstil evt. netvæ rket grafisk. 2. Send en strøm fra start- til slutpunktet, idet man må bevæ ge sig forlæ ns af en vej, hvis den ledige kapacitet er positiv, og baglæ ns, hvis vejens eksisterende strøm er positiv. En strøm må ikke få nogen vejs strøm til overskride sin kapacitet eller til at blive negativ. 3. Pkt. 2 gentages, indtil det ikke er muligt at sende mere fra start- til slutpunktet. 4. Tjek at den fundne løsning er optimal ved at finde det minimale snit. Hvis kapaciteten af dette er lig den fundne strøm, er løsningen optimal..ulwlvnyhm±fulwlfdosdwk Bruges til tilrettelæ gge projekter i tid og til at bestemme kritiske aktiviteter. Konstruktion af netvæ rk.( ): ƒhver vej repræ senterer en aktivitet, mens hvert punkt repræ senterer en tilstand. Læ ngden af hver vej angiver aktivitetens tidsudstræ kning. ƒét punkt angiver en starttilstand, mens ét punkt angiver sluttilstanden. ƒen aktivitet kan repræ senteres ved én vej. ƒto punkter må kun forbindes af én vej (ellers indføres dummy-aktiviteter). Beregning af Early Event Time (ET) ( ): ƒet(i) beregnes for hvert punkt i, som det tidligste tidspunkt hvorpå punktets tilstand kan opnås. ƒet(i) beregnes som maksimum af ET(j) + t ji (for samtlige umiddelbart forudgående punkter j), hvor t ji er læ ngden af vejen fra j til i. 9

10 Beregning af Late Event Time (LT) ( ): ƒlt(i) beregnes for hvert punkt i, som det seneste tidspunkt et punkt kan nås uden at forsinke det samlede projekt. ƒlt(i) beregnes som minimum af T(j) + t ij (for samtlige umiddelbart efterfølgende punkter j),hvor t ij er læ ngden af vejen fra i til j. Beregning af Total Float (TF) ( ): ƒtf(i,j) beregnes for hver vej, som den maksimale tid som en aktivitet kan udsæ ttes uden at forsinke det samlede projekt. ƒtf(i,j) beregnes som LT(j) ET(i) t ij. Bestemmelse af den kritiske vej (421): ƒhver aktivitet med TF = 0 betegnes kritisk aktivitet, idet forsinkelse af en sådan aktivitet vil forsinke det samlede projekt. ƒen rute fra start- til slutpunket, der udelukkende består af kritiske aktiviteter, kaldes en kritisk vej. Beregning af Free Float (TF) (422): ƒff(i,j) beregnes for hver vej, som den maksimale tid en aktivitet kan udsæ ttes uden at forsinke senere aktiviteter. ƒff(i,j) beregnes som ET(j) ET(i) t ij. 0LQGVWXGVS QGWHWU ±PLQLPXPVSDQQLQJWUHH( ) 1. Opstil evt. netvæ rket grafisk. 2. Tag udgangspunkt i et tilfæ ldigt punkt. 3. Forbind dette punkt med næ rmeste andet punkt. 4. Forbind det hidtil dannede træ med næ rmeste andet punkt. 5. Forsæ t med pkt. 4 indtil alle punkter i netvæ rket er forbundet (består netvæ rket af n punkter, skal træ et have n-1 grene ). 10

11 / VQLQJDIJHQHUHOOHKHOWDOVSUREOHPHU Problemer, hvor en eller flere variable kun må antage heltallige, ikke-negative væ rdier. Løsning ved Branch-and-Bound ( ): 1) Løs problemets /3UHOD[DWLRQ. Hvis alle beslutnings-variable er heltallige, er en optimal løsning fundet. 2) Er ovenstående ikke tilfæ ldet væ lges en ikke heltallig variabel x i, hvor a < x i < b (a,b er næ rmeste heltallige væ rdier). Nu dannes to nye underproblemer med den ekstra betingelse x i < a henholdsvis x i > b. 3) Regler for dannelse af nye underproblemer: Giver et underproblem en ikke-heltallig løsning dannes nye underproblemer som i pkt. 2. Giver et underproblem en heltallig løsning dannes LNNH nye underproblemer. Giver et underproblem en mindre optimal z-væ rdi end en heltallig løsning til et andet underproblem, dannes LNNH nye underproblemer. Giver et underproblem en z-væ rdi, som er mindre end 1 enhed mere optimal end en heltallig løsning til et andet underproblem, dannes LNNH nye underproblemer. 4) Når der ikke kan dannes flere nye underproblemer, findes den nye optimale løsning som den heltallige løsning til et underproblem, der har den mest optimale z-væ rdi. Lav gerne et JUHQHGLDJUDP! Løsning af heltals problemer, hvor ikke alle variable skal væ re heltallige (515): ƒder branches kun på heltalsbetingede variable. ƒder benyttes branch-and-bound som ovenfor. Løsning ved Cutting Plane Fractional Cut ( ): 1. Find det optimale simplex-tableau for problemets LP-relaxation. Hvis alle variable antager heltallige væ rdier er den fundne løsning optimal. 2. Find den bibetingelse i tableauet, hvor højresidens brøkdel er tæ ttest på en halv. 11

12 3. Konstruér ny bibetingelse udfra ovenstående bibetingelse. Bibetingelsen bliver: - 1 (sum af brøkdele på venstresiden) < - 1 brøkdel af højresiden (husk ekstra slack-variabel) 4. Find nyt optimalt tableau via dual simplex. 5. Er den fundne løsning ikke optimal, gentages proceduren, idet samtlige tilførte bibetingelser bibeholdes. Bemæ rk at brøkdelen f for negative tal x er [x] + f. F.eks. 2,65 f = 0,35 5\JV NSUREOHPHU±NQDSVDFNSUREOHPV( ) Problemer, hvor hver variabel i kan antage væ rdien 0 eller 1 (valgt vs. ikke valgt), og hvor variabel i, hvis denne væ lges, bidrager til z med en fast væ rdi c i. Hvis i væ lges vil den desuden besæ tte af a i af en given ressource. Den grådigste algoritme: ƒfor hver variabel i beregnes forholdet ci/ai. ƒvæ lg variabel med størst c i /a i. Væ lg dernæ st variabel med næ ststørst c i /a i. Fortsæ t sådan indtil den bedste tilbagevæ rende variabel vil overskride ressourcebeholdningen. Væ lg nu så meget af denne variabel som muligt. ƒlav nu branch-and-bound, idet hvert underproblem løses som i pkt. 2. 7UDYHOOLQJ6DOHVPDQ3UREOHPV Problemer, hvor samtlige punkter i et netvæ rk skal besøges med fæ rrest mulig omkostninger. Løsning ved branch-and-bound ( ): 1. Opstil omkostningsmatricen 2. Løs problemet som et assignment-problem og kontrollér for delture. Findes ingen delture er den fundne løsning optimal. 3. Eksisterer delture, elimineres én af dem ved at danne nye underproblemer, hvor hver vej i delturen på skift repræ senteres ved en streg. 4. Pkt. 2 og 3 gentages via normale branch-and-bound-regler indtil en optimal løsning er fundet. Ovenstående løsningsmodel er betinget af, at man skal vende tilbage til sit startpunket. 12

13 ƒstarter og slutter man i stedet uden for netvæ rket, skal dette ekstra punkt tilføjes omkostningsmatricen (er omkostninger for dette punkt ukendt men ensartede, benyttes et passende højt tal, f.eks. 100 eller 1000). ƒskal man ikke vende tilbage til udgangspunktet og er startpunktet ligegyldigt, løses problemet som punktet ovenfor. ƒskal man ikke vende tilbage til udgangspunktet og er startpunktet fastlagt, MANGLER /DJUDQJHRSWLPHULQJ( ) Optimering af (ikke nødvendigvis lineæ r) objektfunktion med n variable under hensyn til m bibetingelser (af =-form). Bestemmelse af optimal løsning: 1) Er der tale om maksimering eller minimering? 2) Opstil Lagrange-funktionen /(x 1,,x n,λ 1,,λ m). 3) Find første-ordens-betingelser for samtlige variable (incl. λ er). 4) Løs ligningssystemet, dvs. find (x 1 *,,x n *,λ 1*,,λ m*). 5) Er den fundne løsning optimal? a) Er der tale om maksimering og er objektfunktionen konkav, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal. b) Er der tale om minimering og er objektfunktionen konveks, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal..xkq7xfnhurswlphulqj( ) Optimering af (ikke nødvendigvis lineæ r) objektfunktion med n variable under hensyn til m bibetingelser (af - form). Bestemmelse af optimal løsning: 1) Omskriv evt. bibetingelser til den relevante form. 2) Er der tale om maksimering eller minimering? 13

14 3) Skal variablene (x 1,,x n ) væ re ikke-negative? 4) Opstil Kuhn-Tucker-betingelserne a) Svares nej i pkt. 3 benyttes teorem 9/9 s b) Svares ja, men vil (x 1 *,,x n *) aldrig antage negative væ rdier, benyttes teorem 9/9 s c) Svares ja, og vil (x 1 *,,x n *) kunne antage negative væ rdier, benyttes teorem 10/10 s ) Løs ligningssystemet, dvs. find (x 1 *,,x n *,λ 1*,,λ m*)/(x 1 *,,x n *,λ 1*,,λ m*,µ 1*,,µ m*,). 6) Er den fundne løsning optimal? a) Er der tale om maksimering og er objektfunktionen konkav, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal. b) Er der tale om minimering og er objektfunktionen konveks, mens bibetingelserne er konvekse, er (x 1 *,,x n *) optimal. 'HWHUPLQLVWLVN(24PRGHO Model til beskrivelse af lagerplanlæ gning i en verden uden usikkerhed. Definitioner: ' = efterspørgsel pr. tidsenhed (jæ vnt fordelt i tid).. = setup- / ordreomkostninger. K = lageromkostninger pr. enhed pr. tidsenhed. S = pris pr.enhed. T = EOQ = ordrestørrelsen. / = lead time. 7 = tid mellem to ordrer. / = effektiv lead time. U = genbestillingspunkt (målt i lagerbeholdning). 14

15 Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye Model med L = 0 ( ): Bestemmelse af optimal ordre-størrelse således at de totale omkostninger TC minimeres: 7& ( T) =. ' + S ' + K T T 2 U = 0 2. ' T* = K T 7* = ' Model med L > 0 ( ): I modeller med positiv lead time er de totale omkostninger TC, den optimale ordrestørrelse q samt tiden T mellem to ordrer uæ ndret. Nyt er: Hvis / ' T*: U = / ' Hvis / ' > T*: / / = / 7 7 * * U = / ' 6WRNDVWLVN(24PRGHO Model til beskrivelse af lagerplanlæ gning i en verden med usikkerhed. The news vendor problem diskret efterspørgsel ( ): F = omkostning pr. enhed ved overskudslager. F = omksotning pr. enhed ved underskudslager. 15

16 Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye ' = stokastisk variabel for efterspørgslen. De forventede omkostninger minimeres ved at væ lge den mindste væ rdi T = T*, der tilfredsstiller: F 3 (' T*) F + F The news vendor problem kontinuert efterspørgsel ( ): Svarer til problemet ovenfor T* findes nu blot via ligningen: F 3 (' T*) = F + F Kapitlet angiver alternative løsninger til en ræ kke velkendte problemer, bl.a. shortest path og knapsack-problems. Undertegnede mener ikke, at disse alternative løsningsmetoder bør foretræ kkes fremfor hidtil beskrevne metoder (pensum er 20.1, 20.2, 20.4, 20.5, 20.6). 6LPSHON WHRUL ( ) Det antages, at ankomster foregår enkeltvis og er uafhæ ngige af hinanden, således at tiden mellem to ankomster kan beskrives ved en eksponentialfordeling med parameter λ, hvor λ angiver det forventede antal ankomster pr tidsenhed t. Dermed følger, at antallet af ankomster indenfor en givet tidsperiode t kan beskrives ved en poissonfordeling med parameter λ. Det er vigtigt at præ cisere tidsperioden. Ø nskes f.eks. analysen baseret på den dobbelte tidsperiode, dvs. 2 t, benyttes i både eksponential- og possionfordelingen parameteren 2 λ. Eksponentialfordelingen har ingen hukommelse. Dvs. den fremtidige fordeling påvirkes ikke af, hvor lang tid, der allerede er gået. 16

17 Operationsanalyse Eksamensnoter Frederik Silbye 00*'ffN V\VWHPHW( ) Et køsystem, hvor ankomst- og servicetid er eksponentialfordelt. Der er 1 skranke, og der tillades et uendelig antal kunder i systemet ligesom, ligesom den samlede population antages uendelig stor. Definitioner: λ = parameter for ankomsttidernes eksponentialfordeling (gennemsnitlig antal ankomster pr. tidsenhed). µ = parameter for servicetidernes eksponentialfordeling (gennemsnitlig antal services pr. tidsenhed). ρ = trafikintensitet (sandsynlighed for at skranken er optaget). / = Gennemsnitligt antal i hele systemet. / = Gennemsnitligt antal kunder i kø. / = Gennemsnitligt antal kunder, der modtager service. : = Gennemsnitligt tidsforbrug i hele systemet pr. kunde. : = Gennemsnitligt tidsforbrug i kø pr. kunde. : = Gennemsnitligt tidsforbrug i servicedelen pr. kunde. Formler: ρ = λ µ ρ λ / = = = λ : 1 ρ µ λ 2 2 ρ λ / = = = λ : 1 ρ µ ( µ λ) / = ρ = λ : 1 : = µ λ : : λ = µ ( µ λ) 1 = µ 17

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2

Operationsanalyse 1 Obligatorisk opgave 2 Operationsanalyse Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen. juni Opgave (i) Vi tilføjer først slack-variable til (P ): Minimize Z = x + x + x subject to x + x + x x 4 = x x + x x 5 = x + x x x =

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ

(UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (UKYHUYV NRQRPL)RUnU &KU+MRUWK$QGHUVHQ (QQRWHRPOLQH USURJUDPPHULQJ Lineær programmering, eller LP-modeller, som de ofte kaldes, var en metode, der blev udviklet i 50'erne og 60'erne. I Danmark var især

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=.

Samtlige 3 problemtyper tilhører klassen 8/>A9<5 069A :<9,6/7=. Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP

Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP Chapter 6: Følsomhedsanalyse og dualitet i LP ) Følsomhedsanalyse -> kriteriekoeffricienter -> RHSs ) Dualitet -> økonomisk fortolkning af dualvariable -> anvendelse af dual løsning til identifikation

Læs mere

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten

Kap.værdi / nutidsværdi: Værdien af en betalingsstrøm (ind & udbetalinger) opgjort i NUTIDSKRONER. ( L) QAntal perioder L Kalkulationsrenten ,QYHVWHULQJ %HJUHEHU Kalkulationsrente: Virksomhedens subjektive tidspræferencerate. Typisk er dette alternativrenten, fx kassekreditrenten. Det er den rente virksomheden PLQGVW skal have i afkast ved

Læs mere

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH

/LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH /LQH UHIWHUVS UJVHOVIXQNWLRQRJ0DUJLQDOUHYHQXH Efterspørgselsfunktionen beskriver sammenhængen mellem den pris man tager for sit produkt, og den mængde man kan forvente at afsætte. Det gælder typisk, at

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Grundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Operationsanalyse. Hans Keiding

Operationsanalyse. Hans Keiding Operationsanalyse Hans Keiding Forord 7 Kapitel 1. Hvad er Operationsanalyse? 9 1. Indledning 9 2. Operationsanalysens historie 10 3. Operationsanalytiske problemer og metode 10 4. Litteratur 12 Kapitel

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115

Optimering af New Zealands økonomi. Gruppe G3-115 Optimering af New Zealands økonomi Gruppe G3-115 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Matematik og Matematik-Økonomi Frederik bajersvej 7G Telefon 99409940 http://math.aau.dk Titel: Tema: Optimering

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Lidt supplerende køteori (ikke pensum)

Lidt supplerende køteori (ikke pensum) H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig

Læs mere

Projekt Planlægning: PERT/CPM

Projekt Planlægning: PERT/CPM Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne

Læs mere

Forord... 2. Indledning... 4. Undersøgelsens design og metode... 4. Danske virksomheders arbejde med APV... 5

Forord... 2. Indledning... 4. Undersøgelsens design og metode... 4. Danske virksomheders arbejde med APV... 5 Indholdsfortegnelse Forord... 2 Indledning... 4 Undersøgelsens design og metode... 4 Danske virksomheders arbejde med APV... 5 Danske virksomheders ressourceforbrug ved APV... 8 Danske virksomhedernes

Læs mere

Anm eldelsesblanket fo r tillid s re p ræ s e n ta n te r

Anm eldelsesblanket fo r tillid s re p ræ s e n ta n te r Anm eldelsesblanket fo r tillid s re p ræ s e n ta n te r P e rs o n lig e o p ly s n in g e r T illid s re p ræ s e n ta n t M edlem sorganisation CPR- nr. eller m edlem s num m er Fulde navn Gade/vej

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer

Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk.

Beregn den optimale pris- og mængdekombination og illustrer løsningen grafisk. Dette opgavesæt indeholder løsningsforslag til opgavesættet: Sommereksamen juni 999 Det skal her understreges, at der er tale om et løsningsforslag. Nogle af opgaverne er rene beregningsopgaver, hvor der

Læs mere

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide

SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide SP-1101W/SP-2101W Quick Installation Guide 05-2014 / v1.0 1 I. Produktinformation I-1. Pakkens indhold Smart stikkontakt Lyninstallationsguide CD med hurtig installationsvejledning I-2. Frontpanel Strømlysdioder

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Modeller for ankomstprocesser

Modeller for ankomstprocesser Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet

Læs mere

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut

fordi 45 sekunder = 3/4 minut = 0,750 minut +YDGHU*36" GPS = Global Position System. Det består af 24 satellitter som cirkulerer ca. 20.000 km. over jorden. Disse sender kontinuerligt et tidssignal, og det er det signals forsinkelse som gør at positionen

Læs mere

Frederiksværk Kommune

Frederiksværk Kommune For Møllevang Juni 2005 Frederiksværk Kommune Frederiksværk Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Kopi: Frederiksværk Kommune. Oplag: 200 stk. Lokalplanen er udarbejdet af

Læs mere

G r u p p e G

G r u p p e G M a t e m a t i s k o p t i m e r i n g ( E k s t r e m a, t e o r i o g p r a k s i s ) P 3 p r o j e k t G r u p p e G 3-1 1 7 V e j l e d e r : N i k o l a j H e s s - N i e l s e n 1 4. d e c e m b

Læs mere

Stadsarkitektens kontor Byplanafdelingen Rådhuset Postboks 32 Århus d. 26-4-2003 8100 Århus C

Stadsarkitektens kontor Byplanafdelingen Rådhuset Postboks 32 Århus d. 26-4-2003 8100 Århus C Jan Larsen Kornmodsbakken 176 8210 Århus V Tlf. 8675 0319 E-mail: info@udvandrerne.dk Stadsarkitektens kontor Byplanafdelingen Rådhuset Postboks 32 Århus d. 26-4-2003 8100 Århus C,QGVLJHOVHPRGIRUVODJWLOORNDOSODQ%ROLJRJHUKYHUYVRPUnGHYHG6RPPHUYHMRJ9LERUJYHML

Læs mere

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

%HP UNQLQJHUWLOORYIRUVODJHW $OPLQGHOLJHEHP UNQLQJHU

%HP UNQLQJHUWLOORYIRUVODJHW $OPLQGHOLJHEHP UNQLQJHU %HP UNQLQJHUWLOORYIRUVODJHW $OPLQGHOLJHEHP UNQLQJHU /RYIRUVODJHWVLQGKROG Formålet med den foreslåede lovændring er at overføre dele af Kirkeministeriets kompetence inden for lov om begravelse og ligbrænding

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer.

Læs mere

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en JUDI bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Hvede Byg Rug Roer Kløver 3500 2000 2500 4000 1000

Hvede Byg Rug Roer Kløver 3500 2000 2500 4000 1000 Opgave En landmand dyrker et areal på 35 ha. Af disse er højst 80 ha. egnede til dyrkning af hvede; 00 ha. til byg; 75 ha. til rug; 90 ha. til roer og 45 ha. til kløver. På grund af begrænset maskinkapacitet

Læs mere

Overfø rsel af LP-Bå nd-minidisk til CD

Overfø rsel af LP-Bå nd-minidisk til CD 1 Overfø rsel af LP-Bå nd-minidisk til CD (Kort vejledning i overfø rsel af analog lyd til CD) Version 1.1 20. januarr 2002 Sø ren Rich. Christensen Indledning... 2 Oversigt over processen... 3 Indspilning...

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

DiskStation DS211j, DS211

DiskStation DS211j, DS211 DiskStation DS211j, DS211 Hurtig installationsvejledning Dokument-id: Synology_QIG_2bayCL_20101028 SIKKERHEDSINSTRUKTIONER Læ s disse sikkerhedsinstruktioner nøje før brugen, og opbevar denne vejledning

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling

Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Evaluering af Spædbarnsordningen, Familiecenter Midt, Sabroegårdens Observationsafdeling Kontoret for børn og unge mv., Social og Psykiatriforvaltningen i Viborg Amt Januar 2006 Projektleder Lisbeth Ørtenblad

Læs mere

Forbrug hos Danmarks befolkning. Forbrug hos Danmarks befolkning

Forbrug hos Danmarks befolkning. Forbrug hos Danmarks befolkning DEL 8 BILAG 8. BILAG Bilag 1: Årstal 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Digitalt Tv 27 38 53 60 74 3D-tv 4 14 17 17 Smart-tv 24 34 Bærbar computer, lap-top 72 78 81 81 86 Tablet pc, mini computer

Læs mere

Brugervejledning. ADVARSEL: Voksensamling nødvendig.

Brugervejledning. ADVARSEL: Voksensamling nødvendig. Brugervejledning X580 EN14619 Class A Læ s og forstå denne vejledning, før du lader dit barn bruge dette produkt! Hvis du har brug for hjæ lp, skal du kontakte din forhandler. ADVARSEL: Voksensamling nødvendig.

Læs mere

Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse

Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse Fagplan og mål for matematik 7-9 klasse På Slotsparkens Friskole følger vi Undervisningsministeriets mål for de fag. Kompetencemål se link : http://ffm.emu.dk Fagets kompetenceområder: Matematiske kompetencer

Læs mere

Debat oplæg: Udpegning af indvindingsoplande t il almene vandforsyninger uden f or områder med særlige drikkevandsint eresser,qgkrog

Debat oplæg: Udpegning af indvindingsoplande t il almene vandforsyninger uden f or områder med særlige drikkevandsint eresser,qgkrog Side 1 af 6 Debat oplæg: Udpegning af indvindingsoplande t il almene vandforsyninger uden f or områder med særlige drikkevandsint eresser,qgkrog )RUPnO %DJJUXQG +YRUIRUHUXGSHJQLQJHQYLJWLJ.RQVHNYHQVHU 'HWYLGHUHIRUO

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP

INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP VELKOMMEN INFORMATIONSMØ DE VEDR. MULIGHED FOR KYSTSIKRING/SANDFODRING PÅ STRÆ KNINGEN NORD FOR NØ RLEV TIL SYD FOR LØ NSTRUP DAGSORDEN 1. Velkomst og kort introduktion til mø det ved medlemmer af arbejdsgruppen,

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU

/DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU /DQGVVNDWWHUHWWHQV %UXJHUWLOIUHGVKHGVXQGHUV JHOVH 1RYHPEHU,QGKROGVIRUWHJQHOVH 1. Baggrunden for undersøgelsen 2. Hovedindtrykket af undersøgelsen 3. Tidligere undersøgelser 4. Deltagerne i undersøgelsen

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?

Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser? Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.

Læs mere

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3

Indholdsfortegnelse...1. Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Den.11.juni 2003. QRJXQJGRPVXGGDQQHOVHUQH,QGKROGVIRUWHJQHOVH Indholdsfortegnelse...1 Køn og ungdomsuddannelserne...2 Problemer med statistikken på området...2 Hovedpointerne...3 Generelt om uddannelsesniveauet...4

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Frederiksværk Kommune

Frederiksværk Kommune Lokalplan 02.9 For Asserbo Golfbane Januar 2005 Frederiksværk Kommune Frederiksværk Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Kopi: Frederiksværk Kommune. Oplag: 150 stk. Lokalplanen

Læs mere

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK 98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,

Læs mere

!"# $ #" %&'( *# ( # $ + **,!"#-.

!# $ # %&'( *# ( # $ + **,!#-. O pfølgning 1. marts 2012 Vedrørende DEXADEM, kompetenceopbygning inden for bølgeenergi 1. januar 2010 31. december 2013 Journalnummer:1-30-76-35-09 Kontraktens parter Region: R egion Midtjylland (R M)

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lynguide. Drive Pro bilvideooptager. (Version 0.1)

Lynguide. Drive Pro bilvideooptager. (Version 0.1) Lynguide Drive Pro bilvideooptager (Version 0.1) TOC Indholdsfortegnelse Sikkerhedsforanstaltninger Drive Pro eller appen på ikke betjenes under kørsel for din sikkerheds skyld. Drive Pro må aldrig placeres,

Læs mere

BILAG A til. Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS FORORDNING. om det europæiske national- og regionalregnskabssystem i Den Europæiske Union

BILAG A til. Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS FORORDNING. om det europæiske national- og regionalregnskabssystem i Den Europæiske Union DA DA DA EUROPA-KOMMISSIONEN Bruxelles, den 20.12.2010 KOM(2010) 774 endelig Bilag A/Kapitel 14 BILAG A til Forslag til EUROPA-PARLAMENTETS OG RÅDETS FORORDNING om det europæiske national- og regionalregnskabssystem

Læs mere

Notat. 1. juni 2011 11/003134

Notat. 1. juni 2011 11/003134 Notat Forvaltning: Politik, Kommunikation og Digital service Błrn, Skole og Kultur Dato: J.nr.: Br.nr.: 1. juni 2011 11/003134 Udf rdiget af: Vedrłrende: Udbudsplan for kłrselsomr det Notatet sendes/sendt

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Afskedigelsesnævnets forretningsorden

Afskedigelsesnævnets forretningsorden Afskedigelsesnævnets forretningsorden Forretningsorden med ændringer pr. 1. marts 2006 for det i henhold til 4, stk. 3, i Hovedaftalen af 1973 med senere ændringer nedsatte permanente nævn, Afskedigelsesnævnet.

Læs mere

Medlemmernes forhold til foreningen

Medlemmernes forhold til foreningen VEDTÆ GTER FOR Navn, hjemsted og formål Foreningens navn er Grundejerforeningen Møgelkæ r, og hjemstedet er Viborg Kommune under Retten i Viborg, der er foreningens væ rneting. Foreningens formål er at

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T. V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015

K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T. V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015 K ØBENHA V NS UNIV ERSITET V idendeling og netvæ rk for AC vejledere på K U Udbuds katalog 2014/2015 K ØB E NHA VNS UNIVE R S IT E T NØ R R E G AD E 10 1165 K B H. K F akultet Vejledning s enhed K ontaktpers

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

R70 - UM-6908 COMPUTER FUNKTIONER

R70 - UM-6908 COMPUTER FUNKTIONER R70 Romaskine R70 - UM-6908 COMPUTER FUNKTIONER Menu Bar 1. STOP = STOP status 2. MANUAL = Modstand 1~16 3. PROGRAM = P1~P12 4. WATT (W) = Ydelse 5. BRUGER PROGRAM = U1~U4 profiler 6. H.R.C. = 55% 75%

Læs mere

Stedprøve Marts 1999, opgave 1 (40%):

Stedprøve Marts 1999, opgave 1 (40%): Stedprøve Marts 999, samlet Stedprøve Marts 999, opgave (4%): Spørgsmål.: Giv en vurdering af de to prisfastsættelsesmetoder, man har anvendt i de foregående to år. Metoden der blev anvendt for to år siden

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Frederiksværk Kommune

Frederiksværk Kommune Lokalplan 04.61 For tæt lav boligbebyggelse ved Hanehovedvej og Havnevej Forslag November 2006 Frederiksværk Kommune Frederiksværk Kommune Rådhuset Rådhuspladsen 1 3300 Frederiksværk Tlf. 47 78 40 00 Kopi:

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere