Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2"

Transkript

1 Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Jens Kristian Jensen, David Pisinger og Martin Zachariasen 13. april Formalia Dette er den anden af to godkendelsesopgaver på kurset Dat2A, efterår 2002 og forår Opgaven skal løses i grupper på 2 3 personer (enkeltmandsgrupper kræver begrundelse og skal godkendes af instruktor). Opgaven bliver stillet mandag d. 14/ kl og skal afleveres i førstedelsadministrationen i 2 eksemplarer inden onsdag d. 30/ kl Bedømmelserne foreligger i førstedelsadministrationen senest torsdag d. 15/ Opgaven vil blive bedømt enten godkendt, ikke godkendt eller dumpet. Bedømmelsen ikke godkendt giver mulighed for genaflevering senest d. 22/5 2003, mens bedømmelsen dumpet ikke giver mulighed for genaflevering. Opgavebesvarelser hvori der ikke er gjort et væsentligt forsøg på at besvare alle spørgsmål bliver betragtet som dumpet. Rapporten skal være på højst 12 sider, excl. programudskrifter og udskrifter fra kørsler (der også vedlægges). Desuden skal alle kildetekstfiler herunder en README-fil der beskriver hvordan filerne oversættes til et færdigt program gøres tilgængelige på en 1. delskonto (di-konto) ejet af en af deltagerne; filerne lægges i et katalog med navnet G22A og må ikke rettes efter rapportens aflevering. 1

2 2 Formål Formålet med opgaven er at få praktisk erfaring med implementation af grafalgoritmer forstå betydningen af kvaliteten af grænseværdier i branch-and-bound algoritmer få et indblik i teknikker til løsning af NP-hårde problemer Opgavens formål er at analysere og implementere en række grænseværdier for det symmetriske traveling salesman problem (se afsnit 3), samt eksperimentelt at sammenligne deres fordele og ulemper. Målet skulle være optimal løsning af problemer med op til knuder (byer). Der skal konstrueres en generel algoritme som kan løse problemet. Algoritmen skal implementeres i C++ og gerne ved anvendelse af LEDA. Besvarelsen skal bestå af et tekstafsnit, hvor nedenstående opgaver besvares, samt udskrift af det kommenterede program. Ved bedømmelse af opgaven vil der blive lagt vægt på at alle spørgsmål (hver for sig) er besvaret tilfredsstillende. 3 Symmetrisk traveling salesman problemet Den handelsrejsendes problem, eller traveling salesman problemet (TSP), har altid fascineret forskere: Problemet er simpelt at formulere og alligevel meget svært at løse i praksis. Der er skrevet utallige forskningsartikler om emnet, og flere lærebøger betragter TSP som hovedemne. TSP er ikke blot fascinerende i matematisk betydning, men det er et særdeles vigtigt problem i praksis. En lang række problemer i transportsektoren, produktionsplanlægning og endda arkæologi kan formuleres ved brug af TSP. Hertil kommer at teorien om NP-fuldstændige problemer udsprang af forskeres manglende succes med løsning af TSP. Mange års forskning har flyttet grænserne for, hvor store TSP problemer vi kan løse. Selv om der altid vil eksistere probleminstanser, som kræver eksponentiel løsningstid, udnytter moderne algoritmer strukturen i problemet til konstruktion af stramme grænseværdier. Problemer med flere hundrede knuder (byer) kan nu løses rimelig let. Formelt kan det symmetriske TSP defineres som følgende optimeringsproblem (se også afsnit i CLRS [1]): Lad være en vægtet (komplet) graf med knuder, hvor for angiver afstanden mellem 2

3 knuderne og. Afstanden antages at være symmetrisk, således at for alle par af knuder og. Problemet er da at finde en Hamilton kreds i grafen som har en minimal total længde med hensyn til. I det følgende antages at alle afstande er heltal. Herunder er et eksempel som angiver afstandene mellem 8 byer på Bornholm Den optimale løsning at besøge knuderne (byerne) i rækkefølgen:, hvilket giver en samlet længde af Hamilton kredsen på. 4 Grådig løsning Det grådige princip er en velkendt metode til konstruktion af heuristiske løsninger. For TSP fungerer den grådige algoritme som følger: Sorter alle kanter efter vægt. Tilføj en kant til turen, hvis den ikke danner en knude med grad større end 2 eller danner en deltur med færre end knuder. Opgave 1 Vis at den grådige algoritme kan implementeres til at køre i tid, og implementer denne algoritme. 5 Nedre grænseværdier Vi vil i denne opgave betragte to forskellige nedre grænseværdier for TSP: 1-Tree. Et mindste udspændende træ (MST) konstrueres på grafen, hvor knude 1 midlertidigt er fjernet. Herefter tilføjes de to billigste kanter incidente med knude 1 til det udspændende træ. I ovenstående eksempel finder vi et MST blandt knuderne som kanterne,,,, og. De to billigste kanter fra knude 1 er og. Samlet fås en nedre grænseværdi på. 3

4 Itereret 1-Tree. Princippet er her at omformulere problemet, så en strammere 1-tree grænseværdi opnås. Kursusbog 1, del 1, side 13 nederst beskriver dette princip i detaljer. Lad være antallet af valgte kanter incidente med knude. Vi ønsker at straffe knuder med grad større end 2, mens knuder med grad mindre end 2 belønnes. Derfor modificeres afstandsmatricen på følgende vis: Processen kan gentages et antal gange. I praksis er iterationer passende. Eksempelvis kan man benytte 100 iterationer i rod-knuden af branchand-bound søgetræet, og gradvist mindske antallet af iterationer i forhold til knudens dybde i søgetræet. Knuder, som har en dybde over 10 i søgetræet, kan passende nøjes med 10 iterationer. Bemærk, at en knude i søgetræet ikke bør starte med at iterere afstandsmatricen fra grunden af, men i stedet bør tage udgangspunkt i den bedste modificerede afstandsmatrix fra forældre-knuden. I ovenstående eksempel får vi følgende modificerede afstandsmatrice : Ved løsning af 1-tree for det modificerede problem findes kanterne,,,,,,, og, hvor de første seks kanter angiver MSTet blandt knuderne. Samlet fås en nedre grænseværdi på. De efterfølgende iterationer giver grænseværdierne. Opgave 2 Bevis at grænseværdierne er lovlige nedre grænser. Vurder deres beregningskompleksitet ved brug af store-o notation. Det antages at Kruskal s algoritme bruges til konstruktion af MSTer. Opgave 3 Implementer algoritmer til udregning af grænseværdierne, og eksperimenter med antallet af iterationer i den itererede 1-tree grænseværdi. 4

5 6 Branch-and-bound algoritme Ved konstruktion af en branch-and-bound algoritme skal man overveje om der skal bruges dybde-først eller bedste-først søgning, samt hvilken forgreningsstrategi, der skal benyttes. I det følgende angiver længden af den hidtil bedste løsning. Dybde-først søgning er nemmest at implementere, idet algoritmen da blot bliver en rekursiv procedure som skitseret nedenfor: TSP_BRANCH if find en nedre grænseværdi for problemet. then return if løsningen i grænseværdiberegningen er en Hamilton kreds then gem løsningen, opdater. else vælg en knude som spolerer Hamilton kredsen for alle valgte kanter incidente med knuden forbyd kanten, kald TSP_BRANCH Håndteringen af levende knuder i branch-and-bound træet foretages automatisk af rekursionen, idet tidligere problemer gemmes på stakken. I ovenstående skitse er forgreningstrategien fra kursusbog 1, del 1, side 18, blevet benyttet: En knude udvælges, som har flere end to kanter, og branch-and-bound algoritmen forbyder på skift hver af kanterne ud fra knuden. Opgave 4 Implementer branch-and-bound algoritmen. Benyt gerne det udleverede rammeprogram (se kursets hjemmeside). Beskriv fordele og ulemper ved den valgte forgreningsstrategi og dybde-først søgningen. Hvis tiden tillader det, kan der eksperimenteres med andre søge-strategier og forgrenings-strategier, omend dette ikke er et krav. (Vær opmærksom på at hele løsningsrummet skal dækkes; knude 1 indgår ikke nødvendigvis i en optimal løsning med de to mindste incidente kanter.) 5

6 7 Eksperimenter Afprøv den konstruerede algoritme med de to grænseværdier på følgende probleminstanser, som findes på kursets hjemmeside. Instans Beskrivelse 8 bornholm afstande mellem otte byer på Bornholm 10 rand10 tilfældigt genererede kantvægte 15 rand15 tilfældigt genererede kantvægte 20 rand20 tilfældigt genererede kantvægte 25 rand25 tilfældigt genererede kantvægte 30 rand30 tilfældigt genererede kantvægte 17 gr17 17 byer i Tyskland 21 gr21 21 byer i Tyskland 24 gr24 24 byer i Tyskland Opgave 5 Rapporter: øvre og nedre grænseværdier i rodknuden, antal knuder i branch-and-bound træet, beregningstid pr. knude i branch-and-bound træet, samt total beregningstid. Kommenter resultaterne. Opgave 6 Forsøg at konstruere probleminstanser, hvor ovenstående grænseværdier er svage, f.eks. når MSTet er stjerneformet og dermed langt fra at være en Hamilton kreds. 8 Forbedret Kruskal For de to grænseværdier baseret på 1-tree beregninger viser det sig, at langt den største del af CPU-tiden bruges til sortering af kanter i Kruskal s algoritme. For at reducere denne beregningstid, foreslås det at benytte den forbedrede MSTalgoritme fra G1-opgaven. Opgave 7 Kør tests med alle probleminstanser for den forbedrede MST-algoritme. Kommenter resultaterne. Kan det gøres endnu bedre? (Bemærk at kanternes rækkefølge i sorteringen ofte ikke ændrer sig drastisk.) 6

7 9 Gode råd Tidspunkter for opgavehjælp er annonceret på kursets hjemmeside. Desuden vil svar på spørgsmål af generel interesse løbende blive lagt ud på kursets hjemmeside. Et rammeprogram til løsning af opgaven samt ovennævnte probleminstanser findes på kursets hjemmeside. Hvis det tager mere end et minut at løse en probleminstans, så rapporter at algoritmen ikke kunne løse dette problem. Specielt vil den første grænseværdi baseret på 1-tree beregning næppe kunne løse instanser med mere end 10 knuder. Litteratur [1] T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest and C. Stein: Introduction to Algorithms (2nd ed.), MIT Press, Noter Nogle af de udleverede probleminstanser stammer fra TSPLIB, som findes på internettet på adressen hvor I er velkomne til at kigge efter flere/andre instanser. Som pauselæsning har vi fundet følgende artikel fra New York Times, 27. november 1979, omhandlende betydningen af en polynomiel algoritme til lineær programmering for løsning af bl.a. traveling salesman problemet. 7

8 An Approach to Difficult Problems Mathematicians disagree as to the ultimate practical value of Leonid Khachiyan s new technique, but concur that in any case it is an important theoretical accomplishment. Mr. Khachiyan s method is believed to offer an approach for the linear programming of computers to solve socalled travelling salesman problems. Such problems are among the most intractable in mathematics. They involve, for instance, finding the shortest route by which a salesman could visit a number of cities without his path touching the same city twice. Each time a new city is added to the route, the problem becomes very much more complex. Very large numbers of variables must be calculated from large numbers of equations using a system of linear programming. At a certain point, the complexity becomes so great that a computer would require billions of years to find a solution. In the past, traveling salesman problems, including the efficient scheduling of airline crews or hospital nursing staffs, have been solved on computers using the simplex method invented by George B. Dantzig of Stanford University. As a rule, the simplex method works well, but it offers no guarantee that after a certain number of computer steps it will always find an answer. Mr. Khachiyan s approach offers a way of telling right from the start whether or not a problem will be soluble in a given number of steps. Two mathematicians conducting research at Stanford already have applied the Khachiyan method to develop a program for a pocket calculator, which has solved problems that would not have been possible with a pocket calculator using the simplex method. Mathematically, the Khachiyan approach uses equations to create imaginary ellipsoids that encapsulate the answer, unlike the simplex method, in which the answer is represented by the intersections of the sides of polyhedrons. As the ellipsoids are made smaller and smaller, the answer is known with greater precision. MALCOLM W. BROWNE 8

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen.  og 052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com.

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com. 052430_EngelskC 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau C www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)

Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.),

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for nudeoverdæning Approximations-algoritme for TSP med treantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme for SET-OVERING Fuldt polynomiel-tids

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version)

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Kære Omdeler Julen venter rundt om hjørnet. Og netop julen er årsagen til, at NORDJYSKE Distributions mange omdelere har ekstra travlt med at

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Remember the Ship, Additional Work

Remember the Ship, Additional Work 51 (104) Remember the Ship, Additional Work Remember the Ship Crosswords Across 3 A prejudiced person who is intolerant of any opinions differing from his own (5) 4 Another word for language (6) 6 The

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Design by Contract. Design and Programming by Contract. Oversigt. Prædikater

Design by Contract. Design and Programming by Contract. Oversigt. Prædikater Design by Contract Design and Programming by Contract Anne Haxthausen ah@imm.dtu.dk Informatics and Mathematical Modelling Technical University of Denmark Design by Contract er en teknik til at specificere

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes. Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn

Læs mere

Tirsdag 18. december David Pisinger

Tirsdag 18. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 00-08 Tirsdag 8. december David Pisinger Approximations-algoritmer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP trekantsulighed)

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2012

Rolf Fagerberg. Forår 2012 Forår 2012 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM502 og DM503 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM502 og DM503 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,

Læs mere

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Løsning af skyline-problemet

Løsning af skyline-problemet Løsning af skyline-problemet Keld Helsgaun RUC, oktober 1999 Efter at have overvejet problemet en stund er min første indskydelse, at jeg kan opnå en løsning ved at tilføje en bygning til den aktuelle

Læs mere

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet

Læs mere

Differential Evolution (DE) "Biologically-inspired computing", T. Krink, EVALife Group, Univ. of Aarhus, Denmark

Differential Evolution (DE) Biologically-inspired computing, T. Krink, EVALife Group, Univ. of Aarhus, Denmark Differential Evolution (DE) Differential Evolution (DE) (Storn and Price, 199) Step 1 - Initialize and evaluate Generate a random start population and evaluate the individuals x 2 search space x 1 Differential

Læs mere

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC)

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) - Gruppering af chasere igen bag efter. På den måde kan laves cirkelbevægelser og det kan 2,787.00 DKK Side 1 Sunlite pakke 2006 Standard (EC) LAN (SUN SL512EC

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Dat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende

Dat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende Dat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende Hans Hüttel Foråret 2011 Indhold Indhold 1 1 Kurset er lavet om! 1 2 Kursets indhold 2 2.1 Kursets emner................................ 2

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Statistik for MPH: 7

Statistik for MPH: 7 Statistik for MPH: 7 3. november 2011 www.biostat.ku.dk/~pka/mph11 Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: 333-365, 381-383) Per Kragh Andersen 1 Fra den 6. uges statistikundervisning:

Læs mere

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2014

Rolf Fagerberg. Forår 2014 Forår 2014 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: Format: Programmering og Diskret matematik I (forelæsninger), TE (øvelser), S (arbejde selv og i studiegrupper) Eksamenform: Skriftlig

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00

Læs mere

Matematikken former morgendagens satellitter

Matematikken former morgendagens satellitter Matematikken former morgendagens satellitter Michael Lumholt Adm. Direktør ml@ticra.com "Fremtidens matematik" Maj 2014, KU/DTU Page 1 Agenda Kort introduktion til TICRA Eksempler på hvordan vi arbejder

Læs mere

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign 28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

Baltic Development Forum

Baltic Development Forum Baltic Development Forum 1 Intelligent Water Management in Cities and Companies developing and implementing innovative solutions to help achieve this objective. Hans-Martin Friis Møller Market and Development

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Senest opdateret: 21. november 2016 SPØRGSMÅL OG SVAR. Vedr. offentligt udbud af rammeaftale

Senest opdateret: 21. november 2016 SPØRGSMÅL OG SVAR. Vedr. offentligt udbud af rammeaftale Senest opdateret: 21. november 2016 SPØRGSMÅL OG SVAR Vedr. offentligt udbud af rammeaftale på levering af en-da/da-en oversættelsesarbejde til Aarhus Universitet Aarhus Universitet Indkøbskontoret Fuglesangs

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2014

Trolling Master Bornholm 2014 Trolling Master Bornholm 2014 (English version further down) Den ny havn i Tejn Havn Bornholms Regionskommune er gået i gang med at udvide Tejn Havn, og det er med til at gøre det muligt, at vi kan være

Læs mere

Hamilton-veje og kredse:

Hamilton-veje og kredse: Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds

Læs mere

Statistik for MPH: oktober Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: , )

Statistik for MPH: oktober Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: , ) Statistik for MPH: 7 29. oktober 2015 www.biostat.ku.dk/~pka/mph15 Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: 333-365, 381-383) Per Kragh Andersen 1 Fra den 6. uges statistikundervisning:

Læs mere

Aflevering af OIOXML-skemaer Dokumentation

Aflevering af OIOXML-skemaer Dokumentation Aflevering af OIOXML-skemaer Dokumentation 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 Projektbeskrivelse... 3 Projektansvarlig... 3 Formål... 3 Namespace... 3 Skemafiler... 3 Kontrol... Error! Bookmark

Læs mere

Boligsøgning / Search for accommodation!

Boligsøgning / Search for accommodation! Boligsøgning / Search for accommodation! For at guide dig frem til den rigtige vejledning, skal du lige svare på et par spørgsmål: To make sure you are using the correct guide for applying you must answer

Læs mere

To mikroarkitekturer til MIPS Karakteropgave på Maskinarkitektur 1B

To mikroarkitekturer til MIPS Karakteropgave på Maskinarkitektur 1B To mikroarkitekturer til MIPS Karakteropgave på Maskinarkitektur 1B Martin Zachariasen 10. september 2004 1 Introduktion Dette er den karaktergivende rapportopgave på kurset Maskinarkitektur 1B, efterår

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software Engineering BA i Matematik-Økonomi BA i Anvendt Matematik BA

Læs mere

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006 DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov.

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. På dansk/in Danish: Aarhus d. 10. januar 2013/ the 10 th of January 2013 Kære alle Chefer i MUS-regi! Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. Og

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

Danish Language Course for International University Students Copenhagen, 12 July 1 August Application form

Danish Language Course for International University Students Copenhagen, 12 July 1 August Application form Danish Language Course for International University Students Copenhagen, 12 July 1 August 2017 Application form Must be completed on the computer in Danish or English All fields are mandatory PERSONLIGE

Læs mere

Help / Hjælp

Help / Hjælp Home page Lisa & Petur www.lisapetur.dk Help / Hjælp Help / Hjælp General The purpose of our Homepage is to allow external access to pictures and videos taken/made by the Gunnarsson family. The Association

Læs mere

DET KONGELIGE BIBLIOTEK NATIONALBIBLIOTEK OG KØBENHAVNS UNIVERSITETS- BIBLIOTEK. Index

DET KONGELIGE BIBLIOTEK NATIONALBIBLIOTEK OG KØBENHAVNS UNIVERSITETS- BIBLIOTEK. Index DET KONGELIGE Index Download driver... 2 Find the Windows 7 version.... 2 Download the Windows Vista driver.... 4 Extract driver... 5 Windows Vista installation of a printer.... 7 Side 1 af 12 DET KONGELIGE

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software

Læs mere

Aktivering af Survey funktionalitet

Aktivering af Survey funktionalitet Surveys i REDCap REDCap gør det muligt at eksponere ét eller flere instrumenter som et survey (spørgeskema) som derefter kan udfyldes direkte af patienten eller forsøgspersonen over internettet. Dette

Læs mere

Algorithms & Architectures I 2. lektion

Algorithms & Architectures I 2. lektion Algorithms & Architectures I 2. lektion Design-teknikker: Divide-and-conquer Rekursive algoritmer (Recurrences) Dynamisk programmering Greedy algorithms Backtracking Dagens lektion Case eksempel: Triple

Læs mere

Sortering fra A-Z. Henrik Dorf Chefkonsulent SAS Institute

Sortering fra A-Z. Henrik Dorf Chefkonsulent SAS Institute Sortering fra A-Z Henrik Dorf Chefkonsulent SAS Institute Hvorfor ikke sortering fra A-Å? Det er for svært Hvorfor ikke sortering fra A-Å? Hvorfor ikke sortering fra A-Å? Hvorfor ikke sortering fra A-Å?

Læs mere

Small Autonomous Devices in civil Engineering. Uses and requirements. By Peter H. Møller Rambøll

Small Autonomous Devices in civil Engineering. Uses and requirements. By Peter H. Møller Rambøll Small Autonomous Devices in civil Engineering Uses and requirements By Peter H. Møller Rambøll BACKGROUND My Background 20+ years within evaluation of condition and renovation of concrete structures Last

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 English version further down Johnny Nielsen med 8,6 kg laks Laksen blev fanget seks sømil ud for Tejn. Det var faktisk dobbelthug, så et kig ned i køletasken

Læs mere

Tax Matters Udgave nr. 4, 18 September 2015

Tax Matters Udgave nr. 4, 18 September 2015 Tax Matters Udgave nr. 4, 18 September 2015 Vigtig deadline Mulighed for tilbagebetaling af frivillig acontoskat uden negativ rente Anmodning herom skal indsendes senest 1. oktober 2015 Den 26. august

Læs mere

Multiple Choice Prøver

Multiple Choice Prøver Teori og Praksis for Multiple Choice Prøver Michael I. Schwartzbach Multiple Choice ved Datalogi Anvendt i mange datalogikurser siden 2006: Oversættelse Databaser Webteknologi Programmingssprog Dynamiske

Læs mere

Hvad er IT i matematikundervisningen egentlig? Professor, Ph.d. Morten Misfeldt, Aalborg Universitet, København

Hvad er IT i matematikundervisningen egentlig? Professor, Ph.d. Morten Misfeldt, Aalborg Universitet, København Hvad er IT i matematikundervisningen egentlig? Professor, Ph.d. Morten Misfeldt, Aalborg Universitet, København Spørgsmål der afsøges Hvilke udfordringer og muligheder stiller digitale teknologier matematikuddannelsen

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 English version further down Den første dag i Bornholmerlaks konkurrencen Formanden for Bornholms Trollingklub, Anders Schou Jensen (og meddomer i TMB) fik

Læs mere

Gadeoptræden.... er meget velkommen på byens gågader og pladser. Læs reglerne her...

Gadeoptræden.... er meget velkommen på byens gågader og pladser. Læs reglerne her... Gadeoptræden... er meget velkommen på byens gågader og pladser Læs reglerne her... Gadeoptræden er meget velkommen på byens gågader og pladser uden tilladelse, så længe du tager hensyn og følger et sæt

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Panorama billede fra starten den første dag i 2014 Michael Koldtoft fra Trolling Centrum har brugt lidt tid på at arbejde med billederne fra

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Modtager man økonomisk støtte til et danseprojekt, har en premieredato og er professionel bruger af Dansehallerne har man mulighed for

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter, AAU. Info-møde INS 240907 tbk@learning.aau.dk

De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter, AAU. Info-møde INS 240907 tbk@learning.aau.dk De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter, AAU 1 Hvorfor en ny karakterskala? Baggrund Væk fra undtagelseskarakteren 13 Færre trin omkring middelkarakteren (7,8,9) Væk fra pr. automatik

Læs mere